Pohyb soustavy hmotných bodů

Transkript

1 Pohyb soustavy hotných bodů Tato kapitola se zabývá úlohai, kdy není ožné těleso nahradit jední hotný bode, předevší při otáčení tělesa. Těžiště soustavy hotných bodů a tělesa Při hodu nějaký složitější tělese, například nože nebo sekerou, nelze pohyb tělesa popsat jako pohyb hotného bodu. Pro cíl hodu je pak důležité, jestli byl zasažen rukojetí nebo ostří. Při pohybu takového tělesa dochází k jeho rotaci a každý bod tělesa se pohybuje po jiné dráze jinou rychlostí. Při sledování pohybu takového tělesa lze nalézt bod, který se pohybuje po parabolické dráze jako při šiké vrhu. Tento význačný bod nazýváe střed hotnosti nebo těžiště. Těžiště tělesa nebo soustavy těles je bod, který se pohybuje tak, jako by v ně byla soustředěna veškerá hota tělesa (soustavy) a působily v ně všechny vnější síly působící na těleso (soustavu). Těžiště je takový bod, kdy působení gravitační síly na něj á stejný účinek jako působení na celé těleso. Má-li být těleso podepřeno (nebo zavěšeno) v jedno bodě tak, aby gravitační síla byla vyrovnána, pak svislá těžnice usí procházet bode podepření (nebo závěsu). Určování těžiště geoetricky Pokud je těleso hoogenní, á všude stejnou hustotu a á: - střed souěrnosti, pak těžiště leží v ně. - osu souěrnosti, pak těžiště leží na ní. - rovinu souěrnosti, pak těžiště je v této rovině. Určování těžiště experientálně Při volné zavěšení tělesa v jedno bodě leží těžiště na těžnici příce jdoucí z bodu závěsu svisle dolů. Jinýi slovy, těžiště leží pod bode závěsu. Určování těžiště výpočte Obr. 5.: Těžiště soustavy hotných bodů Dva stejné hotné body leží na ose x (obr. 5.a). Lze očekávat, že střed hotnosti bude uprostřed ezi hotnýi body x + x x T =.

2 Je-li jeden z hotných bodů těžší (obr. 5.b), lze očekávat, že střed hotnosti bude opět na jejich spojnici, tí blíž těžšíu bodu, čí je tento těžší než druhý x x + x = T +. Je-li hotných bodů na ose x víc, pak i xi x T =. Nenachází-li se hotné body na ose, lze výpočet středu hotnosti takové soustavy zobecnit iri rt = = iri, (5.) i M kde M je hotnost celé soustavy. Nejedná-li se o soustavu hotných bodů, ale o spojité těleso, lze ho rozřezat na eleentární tělíska (body) o hotnosti d a sečíst jako v (5.). Suu pak nahradí integrál rd x T = = rd. (5.) d Těžiště ůže ležet i io těleso (například v jeho dutině). Jestliže spojíe dvě tělesa v jedno, bude jeho těžiště ležet uvnitř úsečky spojující těžiště obou částí.. Newtonův zákon pro soustavu hotných bodů Druhý Newtonův zákon (3.) popisuje vztah ezi zrychlení tělesa a výslednicí sil, které na těleso působí. Pokud lze těleso aproxiovat hotný bode, nebývá sil, které usíe brát při výpočtu v úvahu, noho. Horší situace nastane, budee-li popisovat třeba výše zíněnou letící sekeru a uvědoíe-li si, že každý její ato působí nějakýi silai na své sousedy. Pak najednou áe 0 4 sil a stojíe před úkole spočítat výslednici. V této kapitole se pokusíe najít nějaká zjednodušení. Přepiše vztah (5.) do tvaru Mr T = Σ i r i, derivuje rovnici dvakrát podle času d r d M T ri = i. Druhá derivace polohového vektoru podle času je zrychlení Ma T = i ai. (5.3) Zrychlení i-tého bodu je podle (3.) závislé na výslednici všech sil, které na tento bod působí ai = Fij, (5.4) Kde F ij jsou všechny síly, které působí na i-tý bod. Dosadíe-li (5.4) do (5.3) dostanee Ma = F = T ij ij i j i F vně. (5.5) Klíčová je úprava, kdy sua úplně všech sil, které působí na úplně všechny body soustavy, byla nahrazena suou vnějších sil. Tato úprava je ožná proto, že působí-li i-tý bod na k-tý nějakou silou, podle zákona akce a reakce působí k-tý bod na i-tý silou stejně velkou, opačně

3 orientovanou. To znaená, že každá taková vnitřní síla je v součtu započítána dvakrát. Jednou jako akce a podruhé s opačný znaénke jako reakce. Vnitřní síly se v součtu vyruší a zůstanou pouze vnější síly. Na základě (5.5) lze zforulovat tvrzení: Vnitřní síly neohou nijak ovlivnit pohyb těžiště soustavy. Zákon zachování hybnosti Hybnost hotného bodu je definována vztahe (3.3). Hybnost soustavy hotných bodů definujee jako součet hybností všech bodů soustavy P = Σp i = Σ i v i. (5.6) Po derivaci (5.6) podle času a s uvážení (3.4) dostanee dp dvi = a = F. (5.7) i i i = vně Podle (5.7) je zěna hybnosti soustavy dána výslednicí vnějších sil působících na soustavu. Vnitřní síly tedy neohou zěnit hybnost soustavy. Zákon zachování hybnosti: Je-li součet vnějších sil působících na soustavu nulový, hybnost soustavy se zachovává. Ráz těles Při srážkách (rázech) těles dochází pouze k vzájenéu působení těchto těles a vnější působení je ožno zanedbat. Proto všechny síly, které na tělesa při srážce působí, jsou vnitřní síly, součet vnějších sil je nulový a podle (5.7) se hybnost soustavy při rázech zachovává. Rozlišujee dva extréní případy ráz dokonale pružný a ráz dokonale nepružný. V praxi jde vždy o situaci někde ezi těito extréy a reálná srážka zpravidla není ani dokonale pružná ani dokonale nepružná. Vadou reálných situací je, že se obtížně počítají. Proto se vždy snažíe reálnou situaci aproxiovat některý z ideálních případů. Ráz dokonale pružný Při dokonale pružné rázu nedochází k trvalé deforaci těles, to znaená, že se žádná echanická energie nepřeění na teplo a platí kroě zákona zachování hybnosti i zákon zachování energie. Ze zákona zachování energie plyne rovnice v + v = v + v (5.8) a ze zákona zachování hybnosti pak v + v = v + v. (5.9) Indexy a se vztahují k jednou a druhéu tělesu, nečárkované jsou rychlosti před srážkou, čárkované po srážce. Připoeňe, že rovnice (5.9) je vektorová a jsou v ní tak skryty jedna, dvě nebo tři rovnice pro jednotlivé složky podle toho, zda řešíe problé na příce, v rovině nebo v prostoru. Ráz dokonale nepružný Při dokonale nepružné rázu zůstávají tělesa po srážce spojena. Dochází k trvalé deforaci těles to znaená, že se část echanické energie přeění na teplo a zákon zachování echanické energie neplatí (zákon zachování energie saozřejě platí vždy).

4 Protože jsou tělesa po srážce spojena, ají společnou rychlost v a zákon zachování hybnosti pak ůžee napsat v + v = + ) v. ( Energie rotující soustavy, oent setrvačnosti Předpokládeje soustavu hotných bodů (těleso), která rotuje kole nějaké osy o. Vzhlede k tou, že jednotlivé body soustavy se pohybují, á soustava kinetickou energii. Kinetická energie soustavy je součte kinetických energii všech hotných bodů W k = ivi. (5.0) Jelikož soustava hotných bodů rotuje, á každý z hotných bodů jinou rychlost v závislosti na vzdálenosti od osy rotace. To znaená, že vypočítat títo způsobe kinetickou energii je prakticky neožné. Všechny hotné body ale ají stejnou úhlovou rychlost ω. Dosaďe podle (.3) v i = ωr i k = ( iri ) ω W. (5.) Závorka ve vztahu (5.) je charakteristikou soustavy hotných bodů, která se pro danou soustavu a osu rotace neění. Označe tento součet J a nazvěe ho oent setrvačnosti: J = r i i. (5.) Pokud áe ísto soustavy hotných bodů spojité těleso, lze oent setrvačnosti spočítat poocí vztahu J = r d. (5.3) Kinetickou energii pak lze napsat jako Wk = J ω. (5.4) Všiněe si, že při přechodu od translačního k rotačníu pohybu, vypadá vzorec (5.4) podobně jako (4.6) s tí, že ísto je J a ísto v pak ω. Moent setrvačnosti á při rotační pohybu stejný význa jako hotnost pro translační pohyb. Obě veličiny vyjadřují setrvačné vlastnosti tělesa. Steinerova věta Vzhlede k tou, že oent setrvačnosti á stejný význa jako hotnost, je to při studiu rotačního pohybu veli důležitá veličina. Steinerova věta je nástroje, jak vypočítat oent setrvačnosti k nějaké ose, znáe-li již oent setrvačnosti k jiné (s novou rovnoběžné) ose. Měje těleso ve tvaru desky zobrazené na obr. 5..

5 Obr. 5.: Steinerova věta Osy x a y leží v rovině desky. Počátek je zvolen v těžišti tělesa. Osa o je kolá k rovině desky a prochází těžiště (počátke). Osa o je rovnoběžná s osou o. Vzdálenost ezi o a o je h. Moent setrvačnosti vzhlede k ose o je J. J = r d = (( x + h) + y ) d = ( x +. h. x + h + y ) d = = ( x + y ) d +. x. hd + h d = J 0 + xt + h J je nyní součte tří členů:. (x +y )d = r d = J 0 podle (5.3) oent setrvačnosti vzhlede k ose o procházející těžiště.. xd = x T podle (5.) x-souřadnice těžiště, ale těžiště je v počátku, tedy x T = h d = h d = h Steinerova věta je vyjádřena rovnicí J = J 0 + h. (5.5) Moent setrvačnosti tělesa vzhlede k libovolně zvolené ose o je součte J 0 (oent setrvačnosti vzhlede k ose o, která je rovnoběžná s o a prochází těžiště) a součinu h, kde h je vzdálenost osy o od těžiště. Moent síly Obr. 5.3: Moent síly Při otáčení nějakého tělesa (například otevírání dveří) účinek síly závisí nejen na vzdálenosti od osy rotace (tlačit na dveře blízko pantů není úplně dobrý nápad), ale i na sěru síly (síla

6 působící ve sěru F n na obr. 5.3 ůže dveře vytrhnout z pantů, ale neotočí jii). Lze očekávat, že otáčivý účinek síly bude úěrný délce raene síly r a složce síly kolé k raeni F t.= F.sinα. Moent síly je vektorová fyzikální veličina, která vyjadřuje otáčivý účinek síly. M = r F (5.6) Moent síly je vektorový součine raene a síly. Připoeňe, že u vektorového součinu záleží na pořadí činitelů (nelze tedy ísto r F napsat F r). M je vektor kolý na rovinu definovanou vektory r a F. Sěr vektoru M určuje pravidlo pravé ruky: Zahnuté prsty pravé ruky ukazují sěr otáčení tělesa, vztyčený palec ukazuje sěr oentu síly. Moent hybnosti Moent hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje rotační pohyb tělesa. b = r p (5.7). ipulsová věta Pokuse se najít vztah ezi oente síly a oente hybnosti: dp d db M = r F = M = r = ( r p) = (5.8) Analogicky ke vztahu (3.4), který nazýváe. ipulsová věta, vztah (5.8) nazvee. ipulsová věta. Srovnání vztahů pro translační a rotační pohyby: translace rotace poloha r ϕ rychlost v = dr/ ω = dϕ/ zrychlení a = dv/ ε = dω/ setrvačnost J síla F M= r F hybnost p = v b= r p ipulsová věta F = dp/, F =.a M = db/, M = J.ε kinetická energie W k = ½..v W k = ½.J.ω