ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU ROVINNÉ ÚTVARY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ...

Transkript

1 O B C H O D N Í A K A D E M I E O R L O V Á M A T E M A T I K A I II Z Á K L A D Y G E O M E T R I E U Č E B N Í T E X T P R O D I S T A N Č N Í F O R M U V Z D Ě L Á V Á N Í E V A B A R T O Ň O V Á P A V E L K V Ě T O Ň ORLOVÁ 006

2

3 ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU ROVINNÉ ÚTVARY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ KORESPONDENČNÍ ÚKOL TROJÚHELNÍK A JEHO VLASTNOSTI OBVOD A OBSAH TROJÚHELNÍKA... 0 SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ... PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ... 5 KORESPONDENČNÍ ÚKOL MNOHOÚHELNÍKY... 9 VLASTNOSTI PRAVIDELNÉHO MNOHOÚHELNÍKU OBVODY A OBSAHY MNOHOÚHELNÍKŮ... 3 KORESPONDENČNÍ ÚKOL KRUH, KRUŽNICE ÚHLY V KRUŽNICI OBVOD A OBSAH KRUHU A JEHO ČÁSTÍ KORESPONDENČNÍ ÚKOL 4: VÝSLEDKY 1. KAPITOLY KONSTRUKČNÍ ÚLOHY MNOŽINY BODŮ DANÉ VLASTNOSTI KORESPONDENČNÍ ÚKOL 5: VÝSLEDKY. KAPITOLY: ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ OSOVÁ SOUMĚRNOST STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST POSUNUTÍ (TRANSLACE) OTOČENÍ (ROTACE) IDENTITA STEJNOLEHLOST (HOMOTETIE) KORESPONDENČNÍ ÚKOL 6: VÝSLEDKY 3. KAPITOLY: STEREOMETRIE POLOHOVÉ VLASTNOSTI GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ V PROSTORU7 VOLNÉ ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ... 7 VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU ROVIN VZÁJEMNÁ POLOHA TŘÍ ROVIN ŘEŠENÍ POLOHOVÝCH KONSTRUKČNÍCH ÚLOH KORESPONDENČNÍ ÚKOL METRICKÉ VLASTNOSTI GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK ODCHYLKA DVOU ROVIN ODCHYLKA PŘÍMKY A ROVINY KOLMOST PŘÍMEK A ROVIN

4 VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY A OD ROVINY VZDÁLENOST PŘÍMEK A ROVIN KORESPONDENČNÍ ÚKOL GEOMETRICKÁ TĚLESA POVRCH A OBJEM TĚLES... 9 KORESPONDENČNÍ ÚKOL VÝSLEDKY 4. KAPITOLY VÝZNAM PIKTOGRAMŮ

5 Úvod Vážení studenti, v tomto studijním textu si připomenete základy geometrie. Následující text by Vám měl být oporou a provést Vás krok za krokem následujícími kapitolami: V první části se naučíte vlastnosti o úhlech v trojúhelnících a kružnicích. Budete umět vypočítat obvody a obsahy geometrických obrazců a také tyto obrazce zkonstruovat 1. Zopakujete si shodnost a podobnost trojúhelníků. V druhé části se budete věnovat množinám bodů dané vlastnosti a jejich využití při řešení konstrukčních úloh. Ve třetí části se pak budete věnovat shodným a podobným zobrazením a jejich využití při řešení některých konstrukčních úloh. V závěrečné čtvrté části se seznámíte s polohovými a metrickými vlastnostmi útvarů v prostoru a budete se věnovat volnému rovnoběžnému promítání, tělesům řezy na tělesech a výpočtům objemů a povrchů těles. Až zasednete ke svému stolu a počítači, měli byste mít po ruce papír, rýsovací potřeby, matematické tabulky a kalkulačku. V každé kapitole je teorie vysvětlována na příkladech, jsou uváděny jen nejdůležitější definice a věty. Na procvičení máte uvedeny úlohy a kontrolou Vašich osvojených vědomostí a dovedností bude vypracování sedmi korespondenčních úkolů, které odešlete elektronicky. Přejeme Vám při studiu hodně úspěchu, trpělivosti a pečlivosti při vypracovávání konstrukčních úloh. 1 Vzhledem k oboru, který jste si zvolili a v souladu s platnými osnovami předmětu, jsou konstrukční úlohy omezeny pouze na ukázku těch nejzákladnějších: konstrukce trojúhelníku, rovnoběžníku a lichoběžníku. 5

6 6

7 Cíle předmětu Po prostudování textu budete znát: základní planimetrické pojmy trojúhelník a jeho vlastnosti mnohoúhelníky kružnici, kruh geometrická zobrazení polohové a metrické vlastnosti útvarů v prostoru tělesa jejich objem a povrch. Získáte dovednosti: pracovat s rovinnými a prostorovými útvary rozpoznat a pojmenovat geometrické útvary využívat geometrickou představivost při analýze rovinných a prostorových vztahů měřit a odhadovat výsledek měření řešit početně geometrickou úlohu řešit konstrukčně geometrickou úlohu odhalit kvantitativní nebo prostorové vztahy a zákonitosti použít tradiční prostředky grafického vyjadřování Budete schopni: správně užít základní planimetrické pojmy využít polohové a metrické vztahy mezi geometrickými útvary v rovině i prostoru rozlišit konvexní a nekonvexní útvary, popsat a správně užívat jejich vlastnosti při řešení úloh využívat množiny bodů dané vlastnosti pojmenovat základní objekty v trojúhelníku a rozlišit základní druhy čtyřúhelníků a kruhu a správně užít jejich vlastností aplikovat metrické poznatky o trojúhelnících, mnohoúhelnících a kruhu a kružnici v úlohách početní a konstrukční geometrie aplikovat poznatky o shodnosti a podobnosti v úlohách konstrukční geometrie charakterizovat jednotlivá tělesa, vypočítat jejich objem a povrch využít poznatků o tělesech v praktických úlohách Čas potřebný k prostudování učiva předmětu: 50 hodin 7

8 8

9 1. Rovinné útvary Cílem kapitoly je naučit vás jak správně užít pojmy bod, přímka, polopřímka, rovina, polorovina, úsečka, úhly vedlejší,vrcholové, střídavé, souhlasné, středové a obvodové, jak znázornit geometrické objekty jak užít s porozuměním polohové a metrické vztahy mezi geometrickými útvary v rovině rozlišit konvexní a nekonvexní útvary, popsat a správně užívat jejich vlastnosti základní vlastnosti a prvky rovinných obrazců, jejich konstrukce výpočet obvodů a obsahů základních rovinných obrazců Klíčová slova této kapitoly: B o d, přímk a, p o l o př í m k a, ú s ečka, r o v i n a a p o l o r o v i n a, k o n v e x n í a n e k o n v e x n í ú h e l, ú t v a r, t r o j ú h e l n í k, m n o h o ú h e l n í k, k r u h, k r u ž n i c e. Učivo úvodní kapitoly o planimetrii 1 je poměrně rozsáhlé a pro snadnější osvojení a zapamatování je rozděleno do pěti kapitol. 1 Planimetrie se zabývá rovinnými geometrickými útvary a vztahy mezi nimi. Geometrické učivo, s nímž jste již seznámili dříve, bylo většinou známo již ve starověku. Vzniklo z hospodářských potřeb společnosti - při vyměřování pozemků, stavbách chrámů a pyramid, v mořeplavectví a v astronomii. Mezi učence, kteří položili základy této nauky patří např.: Thales z Miletu (7. 6. st. př. n. l.), Pythagoras ze Samu (6. st. př. n. l.), Platón (5. 4. st. př. n. l.) a přestavitelé zlaté epochy řecké matematiky ve st. př. n. l. zejména Euklides z Alexandrie, Archimédes ze Syrakus a Apollonios z Pergy.Díky svým geometrickým znalostem mohli učenci zjišťovat výšku pyramid pomocí jejich stínů, předpovídat zatmění Slunce a mnoho dalšího. 9

10 1.1. Základní planimetrické pojmy Cílem kapitoly je naučit vás jak správně užít pojmy bod, přímka, polopřímka, rovina, polorovina, úsečka, úhly vedlejší,vrcholové, střídavé, souhlasné, středové a obvodové, jak znázornit objekty jak užít s porozuměním polohové a metrické vztahy mezi geometrickými útvary v rovině (rovnoběžnost, kolmost a odchylka přímek, délka úsečky a velikost úhlu, vzdálenosti bodů a přímek) rozlišit konvexní a nekonvexní útvary, popsat a správně užívat jejich vlastnosti Klíčová slova této kapitoly: B o d, přímka, p o l o přímka, ú s ečka, r o v i n a a p o l o r o v i n a, b o d l e ž í ( n e l e ž í ) n a přímce, v z d á l e n o s t d v o u b o dů, d é l k a ú s ečky, r o v n o běžnost, k o l m o s t přímek; k o n v e x n í a n e k o n v e x n í ú t v a r, ú h e l. Značení a zápis základních planimetrických útvarů Připomeňte si zápis a znázornění bodu a množin bodů (útvarů), které si dovedete představit: Obrázek

11 Kontrolní otázky: Co vznikne sjednocením dvojice opačných polopřímek? Co vznikne sjednocením dvojice opačných polorovin? Dokázali byste zapsat užitím symbolů výše uvedená slovní vyjádření? Pojmy k zapamatování Přehled symbolů: přímka AB polopřímka AB konvexní úhel AVB nekonvexní úhel AVB délka úsečky AB velikost úhlu AVB AB AB AVB AB AVB AVB Pojem přímka (stejně jako bod, rovina, prostor) patří mezi základní matematické pojmy, které neumíme definovat nemáme pomocí čeho je definovat, ale pouze je objasňujeme, tj. vytváříme jejich model. Říkáme, že přímku si můžeme představit jako nekonečně tenkou, nekonečně dlouhou, rovnou čáru. Modely přímky jsou např. pevně natažená niť, prodloužená hrana stolu atd. V Eukleidovské geometrii platí, že každé dva body určují právě jednu přímku, která oběma body prochází. Tato přímka představuje nejkratší spojnici mezi těmito body. Dvě různé přímky p, q ležící v jedné rovině, mohou mít společný právě jeden bod, který nazýváme průsečík. tyto přímky jsou různoběžné (různoběžky). Dvě přímky, které nemají společný bod, se nazývají rovnoběžné (rovnoběžky). Pokud mají nekonečně společných bodů, jsou obě přímky splývající totožné. Platí věty: V dané rovině lze vést daným bodem k dané přímce právě jednu rovnoběžku. Daným bodem lze vést k dané přímce v rovině právě jednu kolmici. (Průsečík s danou přímkou se jmenuje pata kolmice.) Vzdálenost dvou rovnoběžek pak nazýváme vzdálenost pat jejich společné kolmice. Pomoci základních planimetrických útvarů můžeme vymezit další útvary: Úsečka AB je část přímky p, kterou tvoří dva různé body A, B a všechny body P, které leží mezi body A, B. Body A, B se nazývají krajní body úsečky AB, ostatní body úsečky AB se nazývají vnitřní body. Jinak: úsečku AB můžeme definovat jako průnik dvou polopřímek AB a BA. Každé úsečce lze přiřadit kladné číslo zvané délku úsečky. Vzdáleností dvou různých bodů A, B rozumíme velikost úsečky AB. 11

12 Podívejme se na řešení úloh, které se týkají základních pojmů a geometrických konstrukcí. Příklad 1: Je dána přímka p, bod K ležící na přímce, bod M ležící mimo přímku p. Sestrojte: a) rovnoběžku s přímkou p., která prochází bodem M, b) kolmici k přímce p, která prochází bodem M, c) kolmici k přímce p, která prochází bodem L, d) všechny přímky, které procházejí bodem K a svírají s přímkou p úhel o velikosti 60, e) všechny přímky, které procházejí bodem M a svírají s přímkou p úhel o velikosti 60, f) bod souměrný s bodem M podle přímky p Řešení je patrné z následujícího obrázku: Obrázek 1. 1

13 Úhel AVB je část roviny omezená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímky VA, VB se nazývají ramena úhlu, bod V vrchol úhlu. Při takto definovaném úhlu si však musíme uvědomit, že polopřímky VA a VB vymezují dva různé úhly a to : konvexní úhel AVB s označením AVB nekonvexní úhel AVB s označením AVB. Obrázek 1.3 Konvexnost není vlastnost přisuzována jen úhlům, ale i přímce, polopřímce, rovině, polorovině. Obecně můžeme říci, že pro konvexní útvar (množinu bodů) je charakteristické, že každé dva jejich body lze spojit úsečkou, která celá leží v daném útvaru. Nekonvexní útvar znamená, že alespoň jednu dvojici bodů nelze spojit úsečkou, která celá patří danému útvaru. Vyzkoušejte si Úlohy k procvičení 1. Načrtněte přímku p a na ní tři různé body A, B, C. Zapište každou polopřímku, která má počátek v některém z bodů A, B, C. Kolik je těchto polopřímek?. Na přímce OI zvolte bod V mezi body O, I, bod N na prodloužení úsečky OI za bod I a bod R na prodloužení úsečky za bod O. Nakonec zvolte bod A tak, aby bod N ležel mezi body I, A. V jakém pořadí leží všechny označené body na přímce? 3. Zvolte tři body X, Y, Z neležící v přímce; určete všechny poloroviny jimi určené. 4. Ukažte příklady čtyřúhelníků, pětiúhelníků a šestiúhelníků, které jsou konvexními útvary. Totéž proveďte pro nekonvexní útvary. 5. Je dána přímka q, na ní bod L, mimo ní bod M. Sestrojte: rovnoběžku s přímkou q, která prochází bodem M, kolmici k přímce q, která prochází bodem M, kolmici k přímce q, která prochází bodem L, všechny přímky, které procházejí bodem L a svírají s přímkou q úhel o velikosti 60, 6. Je dána úsečka AB, sestrojte její osu. (Nápověda: osa úsečky je množina všech bodů, která má od krajních bodů stejnou vzdálenost; značí se čerchovanou čarou). 13

14 7. Je dán úhel AVB. sestrojte osu úhlu AVB ( Nápověda: osa úhlu je množina všech bodů, které mají od přímek VA, VB stejnou vzdálenost). Obrázek V lichoběžníku EFGH (EF GH) vyznačte: odchylku přímek EH, FG; (α) vzdálenost přímek EF, GH; (v) vzdálenost bodu H od přímky EF (w). Korespondenční úkol 1 Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a b; dále přímky p, q, které s nimi svírají úhly alfa o velikosti 65 ; beta o velikosti 50 (viz obr.1.4). Určete velikosti úhlů alfa, alfa 1, beta, gama a gama 1. K zadanému úhlu alfa určete úhel vedlejší, střídavý, vrcholový, souhlasný a přilehlý. Obrázek

15 Malá nápověda ke korespondenčnímu úkolu (pokud si nebudete vědět rady): Vrcholové úhly (jsou shodné) Vedlejší úhly (jejich součet je úhel přímý) Doplňkové úhly (jejich součet je úhel pravý) Přilehlé úhly (obsahují společné rameno VW) Souhlasné úhly (velikosti obou úhlů se rovnají) Střídavé úhly (velikosti obou úhlů se rovnají) Obrázek

16 V následující tabulce je uvedeno rozdělení úhlů podle velikosti. Obrázek 1.7 Shrnutí kapitoly: v této kapitole jste se naučili, jak správně užít pojmy bod, přímka, polopřímka, rovina, polorovina, úsečka, úhly vedlejší,vrcholové, střídavé, souhlasné, středové a obvodové, jak znázornit objekty, jak užít s porozuměním polohové a metrické vztahy mezi geometrickými útvary v rovině (rovnoběžnost, kolmost a odchylka přímek, délka úsečky a velikost úhlu, vzdálenosti bodů a přímek), rozlišit konvexní a nekonvexní útvary, popsat a správně užívat jejich vlastnosti. 16

17 1.. Trojúhelník a jeho vlastnosti Cíl kapitoly: V této kapitole si zopakujete základní vlastnosti a prvky trojúhelníka, výpočet jeho obvodu a obsahu. Zopakujete základní věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníka a odvodíme další věty, které platí pro úhly v trojúhelnících. Klíčová slova: Úhel, strana, těžnice, výška, střední příčka, kružnice opsaná a vepsaná, obvod a obsah trojúhelníka, vnitřní a vnější úhly v trojúhelníku, shodnost a podobnost trojúhelníků, Pythagorova věta a věty Euklidovy. Trojúhelník ABC můžeme definovat jako průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník ABC lze popsat také takto: Jsou-li dány body A, B, C, které neleží v přímce, pak trojúhelník ABC je množina úseček AX, kde bod X probíhá úsečku BC. Na následujících obrázcích si zopakujeme pojmy, které již znáte. Obr. 1.8 Platí následující tvrzení: Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je úhel přímý. Trojúhelníková nerovnost: pro a o b: a b n c n a + c Kontrolní otázka: Zamyslete se nad tím, jaké může mít trojúhelník vnitřní úhly, kolik může mít úhlů nekonvexních, přímých, tupých, pravých, ostrých... Může být pravoúhlý trojúhelník zároveň rovnoramenný? 17

18 Malá nápověda: Klasifikace trojúhelníků podle stran (obr. 1.9) a podle úhlů (obr. 1.10): Obr 1.9 Obr 1.10 Úlohy k procvičení 1.Je dán ostroúhlý nerovnostranný trojúhelník (rozměry si zvolte sami). Sestrojte: a) těžiště trojúhelníka b) průsečík výšek (ortocentrum) c) střed kružnice vepsané d) střed kružnice opsané e) střední příčky trojúhelníka Můžete provést i pro ostatní typy trojúhelníků. 18

19 A opět malá nápověda: obrázek 1.11 Výšky trojúhelníku Vlastnosti Výška trojúhelníku k určité straně je úsečka, jejímiž krajními body jsou protější vrchol trojúhelníku a pata kolmice spuštěné z protějšího vrcholu na tuto stranu (případně její prodloužení). Výška označuje v trojúhelníku jak úsečku, tak její délku. Těžnice trojúhelníku Průsečík výšek O nazýváme ORTOCENTRUM trojúhelníku Vlastnosti Těžnice trojúhelníku je úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem jeho protilehlé strany Průsečík těžnic se nazývá těžiště trojúhelníku a označujeme ho T. Tento bod dělí těžnice v poměru :1 tak, že delší úsek těžnice leží vždy u vrcholu. Kružnice trojúhelníku opsaná Vlastnosti Střed kružnice trojúhelníku opsané leží na průsečíku os stran. Poloměr označujeme r. Kružnice trojúhelníku vepsaná Vlastnosti Střed kružnice trojúhelníku vepsané leží na průsečíku os úhlů. Poloměr označujeme D. 19

20 Obvod a obsah trojúhelníka Vzorce pro výpočet obvodu o a obsahu S trojúhelníka jsou uvedeny v Matematických tabulkách. K již známým vzorcům uvedeme některé další. Ukážeme si řešení některých typových úloh. Příklad 1 Vypočtěte obsah trojúhelníka, jestli-že známe délky tří stran. Jeho rozměry jsou a = 10 cm, b = 15 cm, c = 19 cm. Řešení: K výpočtu obsahu použijeme tzv. Heronův vzorec: S = s.( s a).( s b).( s c), 1 kde... s = ( a + b + c). Dosadíme do vzorce a vypočítáme: 1 s = s = S = S = ( ) S = 138,8cm ( 10 )(. 15 )(. 19) 197. Obsah trojúhelníka je přibližně 138,8 cm. Příklad Vypočtěte délku strany a v rovnostranném trojúhelníku, jestliže jeho obsah je 400 cm. Řešení: Ze vzorce pro výpočet obsahu rovnostranného trojúhelníka si vyjádříme délku strany a; dosadíme zadané údaje: a S = 4 a = a = 4S a = 30,4cm. Délka strany a je přibližně 30,4 cm. 0

21 Příklad 3 Jaký je obsah rovnostranného trojúhelníku, jestliže poloměr kružnice vepsané D = 5 cm? Řešení: V rovnostranném trojúhelníku je střed kružnice vepsané zároveň těžištěm a výška je těžnicí. Využijeme vlastnosti těžiště (dělí těžnici na dvě části v poměru 1:). Podle označení na obrázku 1.1 můžeme odvodit: Platí : 1 1 OS = ta = va = 5cm 3 3 SC = ta = va = 10cm 3 3 SC = AS = 10cm. obr.1.1 Délku strany a vypočítáme z pravoúhlého trojúhelníka užitím Pythagorovy věty: a = AS Dosadíme : a 4 a = 10 = OS Obsah : 1 S = av Dosadíme : a = S = 17,3 15 a = 17,3 S = 130cm. Obsah rovnostranného trojúhelníka je přibližně 130 cm. 1

22 Shodnost trojúhelníků Jedním ze základních pojmů v geometrii je shodnost. Říkáme, že dva útvary jsou shodné, lze-li jeden z nich přemístit tak, že se pak ztotožní s druhým útvarem. (Ke shodnosti a shodným zobrazením se dostaneme dále v textu.) Abychom si mohli odvodit věty o vnitřních a vnějších úhlech trojúhelníka, připomeňme si věty o shodnosti trojúhelníků: Dva trojúhelníky jsou shodné, jestliže se shodují: ve všech třech stranách (věta sss), ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném ( věta sus), v jedné straně a úhlech k ní přilehlých (věta usu), ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich (věta Ssu). Věty o vztazích mezi stranami a úhly v trojúhelníku: Proti shodným stranám leží shodné úhly. Proti shodným úhlům leží shodné strany. Proti větší straně leží větší úhel. Proti většímu úhlu leží větší strana. Rozdíl dvou stran je menší něž třetí strana. Součet dvou stran je větší než třetí strana. Dále si dokážeme věty o vnitřních a vnějších úhlech trojúhelníku: Věta 1: V každém trojúhelníku je vnější úhel u jednoho vrcholu větší než vnitřní úhel u kteréhokoli dalšího vrcholu. Obrázek 1.13 Důkaz věty je patrný z obrázku 1.13 (trojúhelník ABC doplníme na rovnoběžník CABA )

23 Věta : Každém trojúhelníku je vnější úhel u jednoho vrcholu roven součtu vnitřních úhlů u ostatních dvou vrcholů. Obrázek 1.14 Důkaz provedeme tak, že bodem C vedeme rovnoběžku s AB (obrázek 1.14). Podle věty o střídavých úhlech platí: " = " 1, $ = $ 1, $ = " 1 + γ = " + ( Věta 3: V každém trojúhelníku je grafický součet jeho vnitřních úhlů roven přímému úhlu. Větu 3 můžeme zobecnit na libovolný k-úhelník: Věta 4: Součet velikosti všech vnitřních úhlů libovolného konvexního k-úhelníku se rovná (k ).180. Obrázek 1.15 Důkaz: v k-úhelníku M 1 M M 3 M k (obrázek.8) si zvolme libovolný bod O uvnitř mnohoúhelníka. Úsečky OM 1, OM, OM 3, OM k patří celé do konvexního k-úhelníku a dělí ho na k trojúhelníků. Jejich vnitřní úhly skládají dohromady všechny vnitřní úhly mnohoúhelníku (kromě těch u vrcholu O). Odečteme od součtu k.180 těch 360, dostaneme: k = k = (k )

24 Příklad 4 Je dán pravoúhlý trojúhelník KLM s vnitřními úhly α, β, γ = 90. Průsečíky os vnějších úhlů trojúhelníku tvoří trojúhelník OPQ. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku OPQ pomocí úhlů α, β, γ (viz obrázek 1.15): Obrázek 1.16 Řešení: vnější úhly trojúhelníku KLM mají u vrcholů K, L, M po řadě velikosti α; 180 β; 90. Osy úhlů je dělí na polovinu. Pomocí úhlů v trojúhelnících LOM, MPK, KQL získáme: ËLOK = (90 - ½ β) 45 = 45 + ½ β ËMPK = (90 - ½ α) 45 = 45 + ½ α ËKQL = (90 - ½ α) (90 ½ β)= ½ (α + β) = 45. Úloha k pro náročné: V ostroúhlém trojúhelníku ABC sestrojte paty E, F výšek v a, v b. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku EFC pomocí úhlů α, β, γ. 4

25 Podobnost trojúhelníků Říkáme, že trojúhelník A B C je podobný trojúhelníku ABC, (zapisujeme: ª A B C - ª ABC ) jestliže existuje kladné reálné číslo k tak, že pro jejich strany platí: A B =k. AB ; B C =k. BC ; A C =k. AC Kladné reálné číslo k se nazývá poměr podobnosti. Je- li k>1, podobnost se nazývá zvětšení, je-li k<1, podobnost se nazývá zmenšení jestliže k = 1 jedná se o shodnost. Při určování podobnosti trojúhelníků stačí ověřit, zda je splněno některé z kritérií podle následujících vět o podobnosti trojúhelníků. Věty o podobnosti trojúhelníků: dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se ve dvou úhlech ( věta uu) dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v jednom úhlů a v poměru délek stran ležících na jeho ramenech (věta sus) dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v poměru délek dvou odpovídajících si stran a v úhlu proti větší z nich (věta Ssu) Podobnosti se užívá při řešení praktických úloh jako je měřítko plánů a map, zvětšování a zmenšování a při konstrukčních úlohách. Příklad 5: Určete měřítko mapy, jestliže trojúhelníkové pole o rozměrech 16,5 m; 117,5 m a 180 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník o stranách 6,5 mm; 4,7 mm a 7, mm Řešení: oba trojúhelníky jsou podobné a proto pro délky jejich stran musí platit: k = A B AB Dosadíme : 4,7 117,5.10 B C = = BC 6,5 = 16,5.10 A C AC 7, = = 5.10 = Měřítko mapy je 1: : 5000 Dá se dokázat, že pro obsahy podobných geometrických útvarů platí: S = k.s. Stejně tak pro objemy podobných geometrických těles platí: V = k 3.V. 5

26 Na základě podobnosti trojúhelníků lze odvodit Euklidovy věty. obr.1.17 Euklidova věta o výšce: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony. v = c a.c b Euklidova věta o odvěsnách: obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé. a = c. c a b =c. c b Sečtením obou vět o odvěsně dostaneme a + b = c (c a + c b ), nebo-li a + b = c, což je zápis Pythagorovy věty. Ke všem uvedeným větám lze odvodit věty obrácené. (Nejdůležitější je věta obrácená k Pythagorové větě: Platí-li pro délky stran trojúhelníka ABC vztah a + b = c, pak trojúhelník je pravoúhlý a strana c je přepona.) Uvedených vět můžeme použít k sestrojení úsečky, která má délku iracionální odmocniny. Příklad 6: Sestrojte úsečku délky s15. Podle Euklidovy věty o výšce.je úsečka délky s15 výškou pravoúhlého trojúhelníku s přeponou délky 8 a přilehlými úseky 5 a 3 cm (viz obr. 1.18) obr

27 Příklad 7: Sestrojte úsečku délky x = ab/c, jestliže znáte délky úseček a, b, c. Postup řešení: Přepíšeme si výraz: x:b = a:c. Hledanou úsečku sestrojíme využitím podobnosti trojúhelníku. zvolíme libovolný úhel s vrcholem V; na jednom rameni sestrojíme úsečku VA ( VA = a) a úsečku VB ((VC = c). Na druhém rameni sestrojíme úsečku VB ( VB = b. Bodem A vedeme rovnoběžku s přímkou BC a její průsečík s ramenem VB označím X. Výsledek řešení je na obr. 1.19: Úsečka VX má hledanou délku x. Úhel CVB se nazývá redukční úhel. obr.1.19 Úlohy k procvičení. Vypočtěte obsah trojúhelníka, poloměr kružnice opsané a poloměr kružnice vepsané, znáte-li délky jeho tří stran: a = 16,5 cm; b = 0, 5 cm; c = 31 cm. 3. Užitím Pythagorovy věty sestrojte úsečku délky s 13 (druhá odmocnina ze 13) 4. Užitím Euklidovy věty o výšce ( odvěsně ) sestrojte úsečku délky s 1 (druhá odmocnina ze 1) Shrnutí kapitoly: V této kapitole jste poznali základní vlastnosti a prvky trojúhelníka, výpočet jeho obvodu a obsahu. Osvojili jste si základní věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníka a odvodili další věty, které platí pro úhly v trojúhelnících. 7

28 Korespondenční úkol (využijte nápovědy obr. 1.11): 1. Vyzkoumejte, na čem záleží, zda ortocentrum leží uvnitř, nebo vně trojúhelníku.. Sestavte takový trojúhelník, který má všechny výšky stejně dlouhé. Jak se takovému trojúhelníku říká? 3. Zjistěte, kde má ortocentrum pravoúhlý trojúhelník. 4. Jaká pravidla platí pro výšky u rovnoramenného a rovnostranného trojúhelníku? 5. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku? 6. Jaké pravidlo platí pro těžnice a těžiště u rovnoramenného a rovnostranného trojúhelníku? 7. Kde se nachází těžiště u kružnice, čtverce, kosočtverce, obdélníka? 8. Bude ležet střed S kružnice opsané vždy uvnitř trojúhelníku? 9. Kde leží střed kružnice opsané u pravoúhlých trojúhelníků? 10. Může se u nějakého trojúhelníku nacházet střed kružnice vepsané vně trojúhelníku? 11. Jaký je obsah rovnostranného trojúhelníku, jestliže průměr kružnice opsané r = 5 cm? 1. Určete skutečné rozměry trojúhelníkového pole, které je na mapě o měřítku 1 : zakresleno jako trojúhelník o rozměrech a = 4,5 cm; b = 3,8 cm; c = 5 cm. Jaká je rozloha tohoto pozemku ve skutečnosti? (Vyjádřete v hektarech.) 8

29 1.3. Mnohoúhelníky Cíl kapitoly: po prostudování této kapitoly budete umět rozlišit mnohoúhelníky, znát vlastnosti stran, úhlů, úhlopříček a umět vypočítat jejich obvody a obsahy. Předpokládá se, že znáte pojmy čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník, rovnoběžník, lichoběžník a že dokážete tyto útvary narýsovat. Klíčová slova: pravidelný n-úhelník, vlastnosti stran, úhlů, úhlopříček, obvod, obsah mnohoúhelníků. Je dáno n různých bodů A 1, A, A 3,., A n, z nichž žádné tři neleží v téže přímce. Množinu všech úseček A 1 A, A A 3, A 3 A 4,, A n-1 A n nazýváme lomená čára A 1 A A 3 A n. obr. 1.0 Lomenou čáru A 1 A A 3 A n A 1 nazýváme uzavřenou lomenou čarou. Geometrický útvar tvořený uzavřenou lomenou čarou a částí roviny, kterou tato lomená čára ohraničuje, se nazývá mnohoúhelník Mnohoúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran, označuje se výčtem vrcholů v jejich přesném pořadí. U speciálních mnohoúhelníků (trojúhelník, čtverec, obdélník,...) se v zápise před výčet vrcholů umisťuje příslušný symbol (...). Vrcholy, strany a úhly mnohoúhelníka se zapisují stejným způsobem jako body, úsečky a úhly. (obr. 3.1) obr.1.1 Má-li mnohoúhelník n-vrcholů (n je větší nebo rovno 3), říká se mu n-úhelník. n-úhelník má n vrcholů, n stran a n(n 3)/ úhlopříček. Součet vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku je roven (n )

30 Mnohoúhelníky můžeme rozdělit na: pravidelné (všechny strany i vnitřní úhly jsou shodné) nepravidelné, konvexní (všechny vnitřní úhly jsou menší než 180 ) nekonvexní (alespoň jeden vnitřní úhel je vetší než 180 ), pravoúhelníky (všechny vnitřní úhly jsou pravé, příp. 70 ) nepravoúhelníky (aspoň jeden vnitřní úhel se nerovná pravému úhlu). tečnové (lze mu vepsat kružnici) tětivové (lze mu opsat kružnici). Nejčastěji se v geometrii setkáte s mnohoúhelníky, kde n = 4. Takovéto n-úhelníky se nazývají čtyřúhelníky, které dále můžeme rozdělit na rovnoběžníky, různoběžníky a lichoběžníky. Jejich základní vlastnosti určitě znáte, připomeňme jen, že rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protější strany jsou rovnoběžné. Podle velikosti úhlů můžeme rovnoběžníky rozdělit na pravoúhlé (čtverec a obdélník) a kosoúhlé (kosodélník a kosočtverec). Podle délky stran pak na rovnostranné ( čtverec a kosočtverec) a různostranné (obdélník a kosodélník). Méně známým čtyřúhelníkem pro vás bude deltoid (obr. 1.). Úkol k zamyšlení: Narýsujte uvedené rovnoběžníky a promyslete si vlastnosti jejich stran, úhlů a úhlopříček a jejich vzájemných vztahů. Vlastnosti pravidelného mnohoúhelníku obr.1. Shrňme si výše uvedené poznatky o mnohoúhelnících: Velikost vnitřního úhlu pravidelného n-úhelníku má hodnotu α n n = 180 n Velikost středového, popř. vnějšího úhlu je rovna α n 180 = n Pravidelnému mnohoúhelníku lze opsat i vepsat kružnici. Středy obou kružnic leží ve stejném bodě, který je totožný s těžištěm mnohoúhelníku. 30

31 Příklad 1: Do dané kružnice o poloměru r vepište pravidelný pětiúhelník. Řešení: v zadané kružnici k sestrojíme dva k sobě kolmé průměry AB a CD. Poloměr SD rozpůlíme bodem E a sestrojíme kruhový oblouk o středu E a poloměr EA. jeho průsečík s poloměrem CS označíme F. Potom platí: 1. AS = a 6 strana pravidelného šestiúhelníku. AF = a 5 strana pravidelného pětiúhelníku 3. FS = a 10 strana pravidelného desetiúhelníku. Postup si prohlédněte na obrázku: obr

32 Obvody a obsahy mnohoúhelníků Podívejme se, jak se jak se výše uvedené vztahy využijí při výpočtech obvodů a obsahů některých mnohoúhelníků. Příklad. Vypočtěte obsah kosodélníku EFGH, jestliže víte, že. EF = 5 cm, EH = 6cm, FEH = α Řešení: Pro obsah kosodélníku (rovnoběžníku) platí: S = ab. sin " (1) Po dosazení číselných hodnot do (1) dostáváme: S = 30. sin " Obsah kosodélníku je 30. sin " cm. Příklad 3 Vypočtěte obsah lichoběžníku EFGH (EF, GH jsou rovnoběžné základny), jestliže víte, že. EF = 11 cm, GH = 7cm, FEH = 60, EFG = 60. Řešení: Pro obsah lichoběžníku platí: S ( a + c) v = 1.(1) Jelikož jde o rovnoramenný lichoběžník tak platí v = : () tg30 Po dosazení číselných hodnot do (1) dostáváme: ( a + c) S = ( a + c) = = 31,cm tg30. tg30. 1 Obsah lichoběžníku je přibližně 31, cm... Příklad 4. Zvětší-li se každý rozměr obdélníku o 3 cm, zvětší se velikost jeho úhlopříčky o 4 cm a jeho obsah o 60 cm. Určete rozměry obdélníku. Řešení: Podle zadání sestavíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých a, b: ( a + 3)( b + 3) = ab + 60 ( a + 3) + ( b + 3) = a + b + 4 Po úpravě první rovnice dostaneme: ab + 3a + 3b + 9 = ab + 60 a + b =17 Z toho vyjádříme a: a = 17 - b A to dosadíme do druhé rovnice: ( 0 b ) + ( b + 3) = ( 17 b) + b + 4 3

33 Po umocnění: ( 0 b ) + ( b + 3) = ( 17 b) + b + 8 ( 17 b) + b + 16 Po roznásobení a převedení všech členu kromě odmocniny na levou stranu dostáváme: 104 = 8 b 34b + 17 Po vydělení cele rovnice 8 a umocnění: 13 = b 34b + 17 Převedeme všechny členy na jednu stranu a získáme kvadratickou rovnici: b 17b + 60 = 0 Která má kořeny: b b 1, 1 17 ± = = 1,... b = ± 7 = Po dosazení do a = 17 b dostáváme: a 1 = 5, a =1. Rozměry obdélníku jsou 5 cm a 1 cm. Úlohy k procvičení 1. Vypočtěte velikost zbývajících vnitřních úhlů: a) v lichoběžníku, kde úhly " = 50, ( = 10 ; b) v rovnoběžníku, kde úhel " = 80.. Sestrojte pravidelný pětiúhelník, desetiúhelník, jestliže poloměr kružnice opsané je 5 cm. 3. Vypočtěte obsah desetiúhelníku, jestliže poloměr kružnice vepsané se rovná 3 cm. 4. Vypočtěte obvod a obsah lichoběžníku, jestliže je dáno: a = 10 cm, c = 4 cm, vzdálenost těchto rovnoběžných stran je 3 cm.a velikost jednoho úhlu mezi základnou a jedním ramenem je 55. (Pro výpočet obvodu si udělejte náčrtek a doplňte obdélník a ze vzniklých pravoúhlých trojúhelníků dopočítejte délky zbývajících stran.) 33

34 Shrnutí kapitoly: po prostudování této kapitoly umíte rozlišit mnohoúhelníky, znáte vlastnosti stran, úhlů, úhlopříček a umíte vypočítat jejich obvody a obsahy. Zdokonalili jste si znalosti o pojmech a vlastnostech čtverce, obdélníku, kosočtverce, kosodélníku, rovnoběžníku, lichoběžníku a dokážete tyto útvary narýsovat. Korespondenční úkol 3 1. Oplocená zahrada má tvar lichoběžníku. Velikosti rovnoběžných stran jsou 106 a 7 m, vzdálenost těchto stran je 46 m. Vypočítejte obsah pozemku v hektarech.. Vypočítejte obvod a obsah pravidelného šestiúhelníku, jestliže délka strany a = 5 cm. 3. Sestrojte lichoběžník, je-li dáno: a = 7 cm, b = 3,5 cm, d = 5 cm a úhel " = Vypočtěte velikost zbývajícího vnitřního úhlu v konvexním čtyřúhelníku, kde úhel " = 70, $ = 10, ( =

35 1.4. Kruh, kružnice Cíl kapitoly: V této kapitole se naučíte chápat základní pojmy kružnice, kruh, kruhový oblouk, kruhová výseč a úseč, mezikruží. Vypočítat jejich obvod a obsah.. Užít polohové vztahy mezi body, přímkami a kružnicemi. Umět k danému oblouku vyznačit příslušný středový a libovolný obvodový a úhel. Aplikovat poznatky o kružnici a kruhu v úlohách konstrukční geometrie. Klíčová slova: kružnice, kruh, tětiva, kruhový oblouk, kruhová výseč a úseč mezikruží, obvodový a středový úhel. Z dřívějšího učiva určitě víte, že kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od pevně daného bodu zvaného střed kružnice stejnou vzdálenost. Kružnici označujeme k (S, r), kde S je její střed a r je poloměr kružnice. Uvědomte si, že kružnice je uzavřená křivka (čára). S kružnicí úzce souvisí i pojem kruh, což je množina bodů složená z kružnice a jejího vnitřku, tedy všech bodů ve stejné nebo menší vzdálenosti od středu než je poloměr. Prohlédněte si obrázek: obr. 1.4 Spojíme-li libovolné dva body A, B ležící na kružnici, vznikne úsečka, která se nazývá tětiva. Tětiva procházející středem je ze všech nejdelší a nazývá se průměrem kružnice (označuje se d). Body A, B dělí kružnici na dva kružnicové oblouky, je-li AB průměr, jedná se o půlkružnice. Tětiva dělí kruh na dvě kruhové úseče (viz obr Je-li AB průměr kruhu, nazývá se kruhová úseč půlkruh. Dva poloměry SA, SB rozdělí kruh na dvě části, které nazýváme kruhové výseče (viz obr. 1.5.): 35

36 Připomeňme, že dvě soustředné kružnice k (S, r) a k 1 (S, r 1 ), kde r 1 < r, ohraničují mezikruží. 1 obr Typicky mají tvar mezikruží podložky pod šrouby, těsnění spojek potrubí, disky kol, ložiska a další součástky. Tvar mezikruží má řez dutou koulí nebo dutým válcem kolmo na podélnou osu. S mezikružím se můžeme setkat též na polích a loukách v podobě odlišného (nebo žádného) růstu kulturních rostlin. Tyto jevy bývají nejčastěji připisovány anomáliím v půdním profilu (podhoubí, archeologická památka), ale také jevu označovaném jako UFO 36

37 Prozkoumejme vzájemnou polohu přímky a kružnice. Vzájemná poloha přímky a kružnice (ležící v téže rovině) závisí na vzdálenosti s středu kružnice od přímky a poloměru r. 1. s > r: přímka nemá s kružnicí žádný společný bod (tzv. vnější přímka kružnice). s = r: přímka se nazývá tečnou ke kružnici a má s ní 1 společný bod dotyku 3. s < r: přímka se nazývá sečna a má s kružnicí společné body (průsečíky) a úsečka s krajními body v průsečících se nazývá tětiva (nejdelší tětiva je průměr) Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě: obr. 1.7 Stejně tak se můžeme zamyslet nad vzájemnou polohou dvou kružnic. Připomeňme, že dvě kružnice v rovině se společným středem se nazývají soustředné. Dvě kružnice s různými středy se nazývají nesoustředné. Úsečka, jejímiž krajními body jsou jejich středy se nazývá středná. 37

38 Příklad 1. Podle obrázku rozhodněte, která kružnice má s kružnicí k: 1. vnější dotyk (k 5 ) a) vnitřní dotyk (k 3 ) b) leží uvnitř (k 1; k ) c) leží vně (k 6 ) d) mají právě jeden společný bod (k 3, k 5 ) e) nemají žádný společný bod (k, k 6 ) f) mají právě dva společné body (k 4 ). obr

39 Úhly v kružnici Úhly jsme probírali v první kapitole. Zaměříme se podrobněji na úhly v kružnici. Je dána kružnice k (S, r) a dva body A, B na kružnici. Pak úhly α, β určené polopřímkami SA, SB se nazývají středové úhly příslušné obloukům k 1, k. Na oblouku k 1 zvolíme libovolný bod V, na oblouku k zvolíme libovolný bod U. Úhel AVB(úhel AUV) se nazývá obvodový úhel příslušný středovému úhlu α, (β). Platí věty: obr. 1.8 V1:Středový úhel příslušný menšímu oblouku je konvexní úhel, středový úhel příslušný většímu oblouku je nekonvexní úhel, středový úhel příslušný půlkružnici je úhel přímý. V:Středové úhly příslušné ke shodným tětivám jsou shodné. V3:Středový úhel nad větší tětivou je větší. V4:Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku jsou shodné, jejich velikost je rovna polovině středového úhlu příslušnému k témuž oblouku. obr

40 Příklad. Určete velikost úhlu, který na hodinovém ciferníku svírají spojnice číslic 7, a 1, 4. Řešení: Načrtneme situaci a označíme průsečík spojnic P. Vznikl trojúhelník ABP. obr. 1.9 Máme určit velikost úhlu BPC = ËT; ten je vnějším úhlem trojúhelníku ABP. Platí, že velikost vnějšího úhlu trojúhelníku je rovna součtu velikosti vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech. Potřebujeme určit velikost obvodových úhlů ABD a BAC. Úhel BAC je obvodovým úhlem příslušným k oblouku BC. K témuž oblouku přísluší středový úhel BSC, jehož velikost je (360 /1).3 = 90. Podle věty V4 je velikost úhlu BAC rovna 45. Podobně vypočítáme i velikost úhlu ABD = 15 (přísluší k oblouku AD, středový úhel ASD má velikost 30 ). Protože platí: ËBPC = ËBAC + ËABD je ËBPC = = 60. Zvláštním příkladem věty V4 je Thaletova věta: Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý. Jinak: všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé. Kružnice, která je součástí konstrukce Thaletovy věty, bývá označována jako Thaletova kružnice. Thaletova věta (kružnice) se využívá ke konstrukci tečen ke kružnici. obr Thales z Milétu nebyl první, kdo tuto větu vyslovil. Byla známá již Egypťanům a Babylóňanům, ačkoli ti ji znali jen ze zkušenosti, nedokázali ji. To udělal až Thales, který využil znalostí toho, že úhly při základně rovnoramenného trojúhelníku mají stejnou velikost a součet úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým úhlům. 40

41 Obvod a obsah kruhu a jeho částí Na následujících příkladech si ukážeme některé základní úlohy pro výpočet obvodu a obsahu obrazců. K řešení příkladů: si připomeňme vzorce: Délka kružnice (obvod kruhu) je: Obsah kruhu je Délka oblouku kružnice je: Obsah kruhové výseče je Obvod kruhové výseče je o = π. r (1) S π =. r () π.r l = α (3) 180 π. r S = α (4) 180 π. r o = α + r 180 Obsah mezikruží je S ( r 1 r ) Obsah kruhové úseče je (5) = π, r 1 > r (6) r π α S = sin a 180 (r je poloměr kružnice (kruhu), α je příslušný středový úhel ve stupních). Příklad 3: Určete poloměr kružnice, jejíž délka je 10 m. Řešení: Ze vzorce pro obvod kružnice (1) : o = B r vyjádříme r = o/b. Dosadíme do vzorce a vypočítáme: r = 10/(.3,14) Poloměr kružnice je 1,6 metrů. r = 1,6 m. Příklad 4: Jaký poloměr má kruh, jehož obsah je 314 m? Řešení: Ze vzorce pro obsah kruhu (): S = B r vyjádříme r =/(S/B). Dosadíme do vzorce a vypočítáme: r = /(314/3,14) Poloměr kruhu je 10 m. r = 10 m. Příklad 4.5: Kruhová výseč má obvod 17 cm. Jaký je její poloměr jestliže středový úhel má velikost 60? Řešení: Ze vzorce (5) vyjádříme r. Dostáváme: Po dosazení dostáváme: Poloměr kruhové výseče je 5,58 cm o r =. π. α r = 3, r = 5,58cm. (7) 41

42 Příklad 6: Kruhová výseč má obsah 117 cm. Jaký je její poloměr jestliže středový úhel má velikost 60? Řešení: Ze vzorce (4) vyjádříme r. Dostáváme: Po dosazení dostáváme: Poloměr kruhové výseče je 6,1 cm. r = 180. S. π.α r = ,14.60 r = 6,1cm. Příklad 7: Kružnice je rozdělena na dva oblouky, jejichž délky jsou v poměru 3:4. V jakém poměru jsou obsahy příslušných úsečí.? Řešení: Jsou-li délky oblouků v jistém poměru, jsou v tomto poměru i velikosti jednotlivých středových úhlů α 1 a α. Platí tedy: l l 1 1 = = α α 3 4 Jelikož součet úhlů musí dát celý kruh, platí: α 1 + α = π 3 Pro α 1 tedy platí: α1 = π 7 Pro α tedy platí: α = 4 π 7 Pro poměry obsahů kruhových úsečí platí: vzorec (7), po zkrácení dostáváme: S S 1 = 6 6 π sin π 7 7 = = 0, π sin π Poměr obsahů je tedy přibližně v poměru 0,5613, což velice dobře odpovídá celočíselnému poměru 9:16. Není však obecným pravidlem, že jeli poměr oblouků a:b, je poměr obsahů a : b. 4

43 Úlohy k procvičení: 1. Určete velikost úhlu, který na hodinovém ciferníku svírají spojnice číslic 8, 11 a 11,.. V kružnici o poloměru 10 cm je dán středový úhel " = 36. Určete: a) délku oblouku, který přísluší středovému úhlu " = 36 b) obsah výseče se středovým úhlem " = Kolik kg travního semene je zapotřebí na osetí záhonu tvaru mezikruží, jehož hraniční kružnice mají poloměry r 1 =,5 m a r = 5 m. Jeden kg travního semene vystačí na 8 m. 4. Sestrojte tečnu t ke kružnici k (S;r) jdoucí bodem O. Ke konstrukci využijte Thaletovu kružnici. Postup: Je dána kružnice k, její poloměr, střed S a bod O v její vnější oblasti. Sestrojíme osu o úsečky SO. Vyznačíme bod P, který je průnikem úsečky SO a osy o. Sestrojíme kružnici l se středem v bodě P tak, aby body S a O na ní ležely. Body, v nichž se obě kružnice protínají označíme T a T' Sestrojíme úsečky ST a ST' Sestrojíme tečny t a t' tak, aby byly kolmé na úsečku ST (respektive ST' ) Shrnutí kapitoly: Po prostudování této kapitoly umíte vymezit základní pojmy kružnice, kruh, kruhový oblouk, kruhová výseč a úseč, mezikruží. Vypočítat jejich obvod a obsah.. Užít polohové vztahy mezi body, přímkami a kružnicemi. Umět k danému oblouku vyznačit příslušný středový a libovolný obvodový a úhel. Aplikovat poznatky o kružnici a kruhu v úlohách konstrukční geometrie. Korespondenční úkol 4: 1. Určete velikost úhlu, který na hodinovém ciferníku svírají spojnice číslic 7, 8 a 8,11.. V kružnici o poloměru 15 cm je dán středový úhel " = 45. Určete: a) délku oblouku, který přísluší středovému úhlu " b) obsah výseče se středovým úhlem ". 3. Z obdélníkové desky byla vyříznuta podložka podle obrázku. Délka strany AB = 6 cm, délka strany AC = cm. A B C D obr a) Vypočtěte obvod vyšrafované části. b) Vypočtěte odpad. c) Kolik % z obsahu obdélníka tento odpad činí? 43

44 Výsledky 1. kapitoly Úlohy Je jich celkem šest. Jsou to polopřímky AB, BA, AC, CA, BC, CB.. R, O, V, I, N, A. 3. Jsou to poloroviny XY, Z; XZ, Y; YZ, X a poloroviny k nim opačné. 4. Jsou to např.: Konvexní obr obr obr Nekonvexní obr obr obr Výsledek: 6. Osa úsečky obr obr Osa úhlu 8. Lichoběžník obr obr obr

45 Úlohy Viz obr. 1.11; obr obr S = 155,3 cm, ρ = 4, 56 cm, r = 16, 89 cm obr obr Úlohy a) β = 60, δ = 130 (rozdělíme výškou na dva pravoúhlé lichoběžníky a použijeme větu: součet úhlů ve čtyřúhelníku se rovná 360 ); b) γ = α = 80, β = δ = Využijte obr S = 9, 4 cm. 4. S = 1 cm, o = 1, 3 cm. Úlohy Úhel, který svírají ručičky je Délka oblouku příslušného střed. úhlu 36 je 6, 8 cm, obsah kruhové výseče je 31, 4 cm. 3. Spotřebuje se 7, 36 kg travního semene ( S = 58, 9 cm ). 4. Viz návod u zadání. 45

46 46

47 . Konstrukční úlohy Cíl kapitoly: V této kapitole se naučíte znát charakteristickou vlastnost uvedených množin a umět je sestrojit (kružnice, rovnoběžky s danou přímkou p, soustředné kružnice, osa pásu dvou rovnoběžek, množina bodů, z nichž je vidět úsečku AB pod daným úhlem)a využít je při konstrukci základních geometrických útvarů. Klíčová slova: množiny bodů dané vlastnosti (kružnice, rovnoběžky s danou přímkou p, soustředné kružnice, osa úsečky AB, osa úhlů a pásu dvou rovnoběžek, množina bodů, z nichž je vidět úsečku AB pod daným úhlem). Předpokládá se, že již zvládáte tyto základní konstrukce: - kolmice k dané přímce daným bodem - střed úsečky, osa úsečky, osa úhlu, úhel 60 - přenášení úseček a úhlů - tečnu ke kružnici v daném bodě. Konstrukční úlohy můžeme řešit na základě tří metod: 1. Metoda množin všech bodů dané vlastnosti.. Metoda algebraická (na základě výpočtu - např. sestrojení úsečky dané délky - příklady jsou uvedeny v kapitole o podobnosti trojúhelníků) 3. Metoda geometrických zobrazení (příklady budou uvedeny v následující kapitole o geometrických zobrazeních). Na následujícím příkladě si připomeneme schéma řešení konstrukčních úloh. Příklad 1: Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, jestliže je dáno: délka strany a = 4 cm, c = 5,5 cm, t b = 4,5 cm. Postup řešení: I. Rozbor Rozbor bude vždy obsahovat náčrtek. Vyznačíme na něm, co je zadáno: obr..1 47

48 Druhá část, kterou bude rozbor vždy obsahovat, je určení podmínek řešitelnosti úlohy. V této části ověříme, jestli trojúhelník lze podle daných parametrů sestrojit. U většiny konstrukcí za pomoci tečny používáme doplnění trojúhelníka na rovnoběžník. Sestrojíme trojúhelník ABD podle věty sss. Dále sestrojíme střed pomyslného rovnoběžníka ABCD. Bod C leží na polopřímce AS a zároveň bod C leží na kružnici k (B, a). II. Zápis konstrukce: 1. Sestrojíme trojúhelník ABD (podle věty sss). S; S ke střed DB 3. Bod C; C leží na polopřímce AS a kružnici k (B, 4 cm) 4. Sestrojíme trojúhelník ABC. Konstrukce: III. Diskuse o počtu řešení: obr.. Řešením jsou dva trojúhelníky, v každé polorovině určené přímkou AB jeden. Množiny bodů dané vlastnosti Říkáme, že vlastnost V je pro prvky množiny M v rovině charakteristickou vlastností, jestliže: každý prvek množiny má vlastnost V, každý bod roviny, který má vlastnost V, je prvkem množiny M Na následujících příkladech si ukážeme množiny bodů, které nejčastěji využíváme k řešení geometrických úloh. 48

49 Příklad 1: Určete množinu bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou různých bodů. BA. Řešení je osa o úsečky AB obr..3 Příklad : Určete množinu bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek a, b. Řešení je osa rovnoběžek a, b. obr..4 Příklad 3: Určete množinu bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou různoběžek a, b. Řešení je osa různoběžek a, b. obr..5 49

50 Příklad 4: Množina středů kružnic, které procházejí dvěma různými body. A,B.,Řešení je osa úsečky AB. obr..6 Příklad 5: Množina středů kružnic, které se dotýkají dvou rovnoběžek a, b. Řešení je opět osa rovnoběžek a, b. obr..7 Příklad 6: Množinu středů kružnic daného poloměru r, které procházejí daným bodem M. Řešení je kružnice k(m, r). 50 obr..8

51 Příklad 7: Množina středů kružnic daného poloměru r, které se dotýkají přímky p. obr..9 Řešení: dvě rovnoběžky u, v s přímkou p, jejichž vzdálenost od přímky p je r. Příklad 8: Množinu středů kružnic daného poloměru r, které mají s danou kružnicí k(s,r), poloměr R > r, vnější (vnitřní) dotyk. Řešení: dvě kružnice h(s, R +r), l(s, R- r). obr..10 Příklad 9: Množinu bodů, z nichž je danou úsečku AB, *AB* = 5 cm, vidět pod úhlem a) α =30 ; b) β = 135. Řešení Jedná se o dva kruhové oblouky k, k, jejichž středy S, S, leží na ose úsečky AB tak, že velikost úhlu ÊASB je (podle vlastnosti středového a obvodového úhlu) rovna a) 60 ; b) 90, což je doplňkový úhel do 360 pro 70 = Viz obr.,11.1 a.11.: 51

52 obr obr..11. Na závěr kapitol o konstrukčních úlohách si ukážeme sestrojení trojúhelníku a kosočtverce: Příklad 10: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:c = 4,5 cm, v c = 3 cm, γ = 60. Řešení: Velikost výšky určuje vzdálenost bodu C od přímky AB. Množina bodů vzdálených od přímky AB o velikost v c je přímka, která je rovnoběžná s přímkou AB (řešíme jen v jedné polorovině určené přímkou AB). Vrchol C je bod, z něhož je vidět úsečku AB pod úhlem γ. Množina bodů, z nichž je danou úsečku vidět pod daným úhlem, je kruhový oblouk k..hledaný bod C je průsečík kruhového oblouku k a přímky q. Úloha má v jedné polorovině dvě řešení. obr..1 5

53 Úloha: Je dána úsečka AB, *AB* = 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které platí: γ = 45 ; *BC* = 4,5 cm. Shrnutí kapitoly: po prostudování této kapitoly budete schopni sestrojit jednodušší geometrické útvary s využitím množin bodů dané vlastnosti a poznatků nabytychý v předchozí kapitole. Korespondenční úkol 5: 1. Sestrojte obdélník ABCD, je-li dáno: a = 8cm, b = 15.. Sestrojte ABC, je-li dáno: c = 6cm, a = 4,5cm, t b = 5cm 3. Je dána kružnice k (S; r = 5cm); t tečna v bodě A. Sestrojte všechny kružnice l (S ; r = cm), které se zároveň dotýkají tečny t a kružnice k. 53

54 Výsledky. kapitoly: Množina bodů, jejichž vzdálenost od bodu B je *BC*, je kružnice l(b, r =*BC*). Množina bodů, z nichž je úsečku AB vidět pod úhlem 45, jsou dva kruhové oblouky k 1, k, které procházejí body A, B. Bod C je průsečík kružnice l s oblouky k 1, k. Úloha má čtyři řešení. 54

55 3. Zobrazení v rovině Cíl kapitoly: V této kapitole se naučíte popsat a určit zobrazení v rovině (c), užít jejich vlastnosti a aplikovat poznatky o shodnosti a stejnolehlosti v úlohách konstrukční geometrie. Klíčová slova: zobrazení, shodná zobrazení, osová a středová souměrnost, posunutí, otočení, identita, stejnolehlost. Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny (říkáme mu vzor) přiřazuje právě jeden bod X (ten nazýváme obraz). Zapisujeme Z: X 6 X Samodružné body zobrazení jsou body, pro které platí: X = X. Zobrazení, ve kterém je každý bod samodružný, se nazývá IDENTITA. Zobrazení nazýváme prosté, jestliže různým vzorům X, Y přiřadíme různé obrazy X, Y Shodná zobrazení v rovině Zobrazení nazýváme shodným, jestliže přiřazuje každé úsečce AB úsečku A B stejné délky. Rozlišujeme následující shodná zobrazení: přímou shodnost (zachovává orientaci trojúhelníku); nepřímá shodnost (mění orientaci trojúhelníku na opačnou). Vysvětlíme na příkladě. Mějme dvě průsvitné folie, na každé z nich je narýsovaný shodný trojúhelník. Jestliže přesuneme jednu folii na druhou a trojúhelníky se shodují (překryjí se), mluvíme o přímé shodnosti. Jestliže musíme folie překlopit, aby trojúhelníky splynuly, jedná se o shodnost nepřímou. Každé shodné zobrazení má následující vlastnosti: obrazem polopřímky AB je polopřímka A B ; obrazy opačných polopřímek jsou opačné polopřímky; obrazem přímky AB je přímka A B ; obrazem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné přímky; obrazem poloroviny pa je polorovina pa ; obrazy opačných polorovin jsou opačné poloroviny; obrazem úhlu AVB je úhel A V B shodný s úhlem AVB. V tomto textu se budeme zabývat následujícími shodnými zobrazeními: osová a středová souměrnost, posunutí, otočení a identita. 55

56 3.. Osová souměrnost Mějme danou přímku o. Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení O(o), které přiřazuje: 1. každému bodu X ó o bod X tak, že přímka XX je kolmá k přímce o a střed úsečky XX leží na přímce o. každému bodu Y 0 o bod Y = Y. Přímka o se nazývá osa souměrnosti. Osově souměrné útvary podle osy o se dají rozdělit přímkou na dvě shodné části, pro které platí: když překlopíme jednu část podle této přímky, kryje se přesně s druhou částí. Prohlédněte si ukázky a pokuste se doplnit osu (osy) souměrnosti: Podívejte se, jak se provádí konstrukce zobrazení v osové souměrnosti: Příklad 1..Sestrojte libovolný 5-ti úhelník a zobrazte ho v osové souměrnosti podle osy o, která leží mimo uvedený útvar. Postup: všechny body jsou zobrazeny na druhou stranu podle pevné přímky, jejich obraz má stejnou vzdálenost od přímky, jako původní bod. Sestrojíme kolmici z bodu A na osu o, protáhneme na opačnou stranu a ve stejné vzdálenosti sestrojíme bod A. Takto postupujeme i u ostatních bodů. Výsledek vidíte na obr. 3. 1: obr

57 Osová souměrnost se využívá i při řešení konstrukčních úloh. Příklad. Mějme lichoběžník ABCD, základny AB, CD. Sestroj lichoběžník, který je s ABCD souměrný podle osy, jestliže je v této souměrnosti bodu A přiřazený bod X, který je středem strany BC Postup řešení: Má-li být bod X obrazem bodu A v osové souměrnosti, musí být osou této souměrnosti osa úsečky AX. Sestrojíme tedy tuto osu o a následně postupně zobrazíme zbývající vrcholy lichoběžníka ABCD Popis a konstrukce: Výsledek vidíte na obrázku 3. obr.3. Spojením bodů X, B, C a D vznikne hledaný lichoběžník X D C B 57

58 3.3. Středová souměrnost Je dán bod S. Středová souměrnost se středem v bodě S je shodné zobrazení, které: každému bodu X S přiřazuje bod X tak, že bod S je středem úsečky XX ; bodu S přiřazuje bod S = S. Bod S se nazývá střed středové souměrnosti a je samodružný. Všechny přímky, které procházejí středem souměrnosti jsou samodružné. Na základě výše uvedené definice rozhodněte, zda úvary jsou středově souměrné: a) b) obr. 3.3 V následujícím příkladu si ukážeme, jak se provádí středové souměrnosti. zobrazení útvaru ve Příklad 3. Sestrojte 5-ti úhelník a zobrazte ho ve středové souměrnosti se středem S; bod S leží mimo útvar. Postup řešení: všechny body jsou zobrazeny na druhou stranu podle pevného středu, jejich obraz má stejnou vzdálenost od středu, jako původní bod. Popis a konstrukce: obr

59 Rovněž i středová souměrnost se dá využít při konstrukčních úlohách, jak se o tom přesvědčíte v následujícím příkladu. Příklad 4 V soustavě souřadnic Pxy je daný bod S[4; ]. Sestroj čtverec ABCD tak, aby vrchol A ležel na ose x, vrchol C na ose y a bod S byl jeho středem Předpokládáme, že úloha má řešení. Postup řešení: Má-li bod S být středem čtverce ABCD, pak musí bod C být obrazem bodu A ve středové souměrnosti podle S. Jelikož bod A má ležet na x a bod C na y. Zobrazíme osu x ve středové souměrnosti podle S. Tak nám vznikne přímka x. Průnik y a x určuje bod C, který je obrazem bodu A. Bod A zkonstruujeme jako obraz bodu C ve středové souměrnosti opět se středem v S. Konstrukce zbylých bodů čtverce je již zřejmá. Popis konstrukce a konstrukce: obr.3.5 Dokončením vznikne hledaný čtverec. 59

60 3.4. Posunutí (Translace) Chceme-li definovat posunutí, je potřeba vymezit pojem orientovaná úsečka. Orientovaná úsečka je taková úsečka, u které je určeno, který její krajní bod je počáteční a který je koncový. Orientovanou úsečku značíme AB ( počáteční bod A a koncový bod B) Graficky je označena šipkou u koncového bodu. Délka orientované úsečky AB je rovná délce úsečky AB. Bod je orientovaná úsečka o nulové délce. Posunutí je shodné zobrazení T(AB), které: každému bodu X přiřazuje X tak, že orientované úsečky AB a XX mají stejnou délku a jsou souhlasně orientovány. Vlastnosti: délka orientované úsečky AB určuje délku posunutí posunutí je přímá shodnost posunutí nemá žádné samodružné body přímky, které jsou rovnoběžné se směrem posunutí se nazývají samodružné přímky Konstrukce posunutí: všechny body roviny jsou posunuty stejným směrem o stejnou vzdálenost - směr a vzdálenost jsou dány orientovanou úsečkou, nazývanou vektor posunutí. Prohlédněte si obrázek 3.6: obr

61 Příklad 5: Jsou dané dvě různoběžky a,b a úsečka MN. Sestroj čtverec ABCD tak, aby byla strana AB shodná a rovnoběžná s úsečkou MN, bod A ležel na přímce a a bod B na přímce b. Předpokládáme, že úloha má řešení. Postup řešení: Má-li být strana AB shodná a rovnoběžná s úsečkou MN, povede k jejímu sestrojení posunutí úsečky MN. Jelikož má bod A ležet na a a bod b na B stačí, když jednu z přímek, třeba b posuneme o orientovanou úsečku MN. Průnik posunuté přímky b s přímkou a udává polohu bodu A. Ke konstrukci bodu B použijeme kružnici k se středem v A a poloměrem MN. Průnik této kružnice a přímky b udává bod B. Konstrukce ostatních bodů čtverce je analogická. Popis konstrukce a konstrukce: obr.3.7 Dokončením vznikne hledaný čtverec. Řešením jsou dva čtverce, každý v jedné polorovině s dělící přímkou AB. 61

62 3.5. Otočení (Rotace) Abychom mohli definovat otočení, je nutné nejprve definovat orientovaný úhel: Orientovaný úhel je úhel, u něhož je určeno, které rameno je počáteční a které je koncové kladný směr (otáčíme proti směru hodinových ručiček) záporný směr (otáčíme po směru hodinových ručiček) Mějme dán orientovaný úhel, jehož velikost je (, a bod S. Otočení (rotace) je shodné zobrazení R(S; (), které každému X různému od S přiřazuje X tak, že XS = XS a orientovaný úhel XSX má velikost ( bodu S přiřadí tentýž bod, tedy S = S (samodružný bod) Vlastnosti otočení: bod S se nazývá střed otočení orientovaný úhel o velikosti ( je úhel otočení otočení je přímá shodnost otočení má jediný samodružný bod střed otočení Konstrukci otočení útvaru kolem bodu S o úhel ( je provedeno následovně: všechny body roviny jsou otočeny kolem pevně daného bodu S (středu otočení) o stejný úhel ( (úhel otočení) prohlédněte si obrázek 3.8: 6 obr.3.8

63 Podívejme se na následující příklad. Příklad 6. Jsou dány dvě soustředné kružnice k(s, 3 cm), l(s, 5 cm) a bod A tak, že SA = 3,3 cm. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC, pro které platí že B 0 l, C 0 k. Předpokládáme, že úloha má řešení. Vyznačte, co znáte ze zadání: Vnitřní úhly v rovnostranném trojúhelníku jsou rovny 60-ti stupňům. Proto otočíme-li jeden vrchol podle jiného, zobrazí se na třetí vrchol. Postup řešení: Otočíme-li tedy k1 kolem bodu A o +60 (-60 ). Dostaneme kružnice k 1, k 1. Průnik těchto kružnic s kružnicí l určuje body B, B. Konstrukce bodu C je již triviální. Postup a konstrukce: obr.3.9 Dokončením vzniknou z každého otočení dva trojúhelníky, tedy celkem čtyři Identita je zobrazení, které každý bod zobrazuje na sebe sama. Lze jí podle potřeby považovat ze posunutí o úsečku nulové délky nebo za otočení o nulový úhel. obr

64 Na závěr si ukážeme řešení praktické úlohy, při které využijeme vlastnosti shodného zobrazení. Příklad Kterým směrem se má z bodu A vyslat kulečníková koule tak, aby se odrazila od dvou sousedních mantinelů a narazila do koule B? Postup řešení: Úloha typu kulečník se řeší osovou souměrnosti, podle odrazu na mantinelu. Nejprve zobrazíme bod A podle osy p, vznikne bod A. Bod A zobrazíme přes osu q a vznikne bod A. Ten spojíme s bodem B, bod T vznikne jako průnik q a BA. Bod A spojíme s bodem T, bod T vznikne jako průnik p a A T. Popis a konstrukce: Úlohu můžeme modifikovat na odraz od libovolných dvou i více mantinelů obr.3.11 Úlohu můžeme modifikovat na odraz od libovolných dvou i více mantinelů. 64

65 Úlohy 1. Sestrojte obrazy útvarů v osové souměrnosti s osou o obr Vyjmenujte ještě alespoň pět osově souměrných útvarů. 3. Rozhodněte, zda úvary jsou středově souměrné: obr Sestrojte útvary středově souměrné k těmto útvarům: a) b) obr

66 3.7. Stejnolehlost (Homotetie) Stejnolehlost je významným příkladem zobrazení v rovině, které řadíme mezi podobná zobrazení (o podobných zobrazeních jsme se zmínili v souvislosti s podobností trojúhelníků viz kapitola.3. Podobnost trojúhelníků) Nechť je dán bod S a reálné číslo 6 (6 0). Stejnolehlost se středem S a koeficientem 6 je zobrazení H (S; 6), které přiřazuje: každému bodu X S bod X tak, že platí SX = 6. SX o pro 6 > 0 leží bod X na polopřímce SX o pro 6 < 0 leží bod X na polopřímce opačné k polopřímce SX. bodu X = S bod X = S. Je-li 6 = 1 je každý bod roviny samodružný a zobrazení je identita. Je-li 6 = - 1 je stejnolehlost středovou souměrností. Příklad 1. Ve stejnolehlosti H (S, ) sestrojte obraz úsečky OP Řešení: 6 =, tedy SO =. SO a bod O leží na polopřímce SO. Stejně sestrojíme i bod P Výsledek: obr.3.15 Příklad. Ve stejnolehlosti H (S, 1/) sestrojte obraz úsečky RT Řešení: 6 = 1/, tedy RT = 1/. RT a bod R leží na opačné polopřímce SR. Stejně sestrojíme i bod T. Výsledek: obr

67 Pro stejnolehlost platí následující tvrzení: Přímka a její stejnolehlý obraz jsou rovnoběžné. Úsečka a její stejnolehlý obraz jsou rovnoběžné. (Je-li 6 > 0, je úsečka souhlasně orientovaná, je-li 6 < 0, je úsečka nesouhlasně orientovaná.) Poměr délek obrazu úsečky a jejího vzoru se rovná 6. Obrazem úhlu je úhel s ním shodný. Na následujícím obrázku ukážeme konstrukci stejnolehlosti (6 > 0). Mějme dán nepravidelný pětiúhelník ABCDE a střed stejnolehlosti S ležící vně. Máme sestrojit nepravidelný pětiúhelník A B C D E ve stejnolehlosti se středem S a koeficientem 6 = 7/4. Konstrukce je zřejmá z obrázku ( SA = 7/4 SA ; stejně tak platí i pro ostatní vrcholy 5-ti úhelníku). obr Pomocí stejnolehlosti se řeší velmi rozmanité konstrukční úlohy. tradiční úlohou, kde využíváme stejnolehlosti, je konstrukce středů stejnolehlosti dvou kružnic. Příklad 3. Narýsujte středy stejnolehlosti dvou kružnic k 1, k, víte-li, že k 1 (S 1 ; 4 cm), k (S ; 3 cm), S 1 S =6 cm. Postup řešení: Nejprve sestrojíme kružnice k 1, k. Středy obou stejnolehlostí(vždy existují právě dvě) a středy obou kružnic leží na téže přímce. Pro určení středů sestrojíme na jedné z kružnic bod a najdeme jeho obraz na druhé kružnici. Bod stejnolehlosti bude ležet na spojnici těchto odpovídajících si bodů. Popis a konstrukce: obr

68 Jelikož má přímka q s kružnicí k dva společné body vzniknou jako jejich průnik body X 1, X 1 následně díky tomu vzniknou i dva středy stejnolehlosti, O 1 vnitřní střed a O 1 - vnější střed (není vidět na nákresně). Příklad 4. Do trojúhelníku ABC vepište čtverec KLMN, jehož strana KL leží na úsečce AB. Postup řešení: Nechť KLMN je hledaný čtverec a K L M N je pomocný čtverec sestrojený tak, že K L d AB, N 0 AC. Pak budou čtverce KLMN a K L M N stejnolehlé podle středu S = A. Bod M určíme jako průsečík polopřímky SM a úsečky BC. Zbývající vrcholy hledaného čtverce leží na rovnoběžkách se stranami pomocného čtverce a na příslušných stranách trojúhelníka Popis a konstrukce: obr.3.19 Úlohy k procvičení 5. Do daného trojúhelníku vepište jiný trojúhelník, který má strany rovnoběžné se třemi libovolně zvolenými přímkami. (návod: použijte stejnou úvahu jako v příkladu 4.) Shrnutí kapitoly: v této kapitole jste se naučili popsat a určit zobrazení v rovině (souměrnosti, posunutí, otočení, identitu a stejnolehlost), užít jejich vlastnosti a aplikovat poznatky o shodnosti a stejnolehlosti v úlohách konstrukční geometrie. 68

69 Korespondenční úkol 6: 1. Kolik os souměrnosti má čtverec, kružnice a kolik obdélník, pravidelný n- úhelník? Útvary načrtněte a vyznačte osy souměrnosti.. Sestrojte útvar středově souměrný k útvaru: Dvě zrcadla stojí kolmo k sobě. V pravém úhlu, který svírají, leží v rovině kolmé k oběma zrcadlům body A a B. Kterým směrem se má z bodu A vyslat paprsek tak, aby se odrazil od obou zrcadel a poté prošel bodem B? (návod: použijte úvahu z příkladu o kulečníku). 4. Do daného trojúhelníku vepište jiný trojúhelník, který má strany kolmé ke stranám daného trojúhelníku (návod: použijte úvahu jako v příkladu 4.). 69

70 Výsledky 3. kapitoly: 1. Sestrojte obrazy útvarů v osové souměrnosti s osou o obr Pět osově souměrných útvarů: (čtverec, obdélník, rovnoramenný trojúhelník, rovnostranný trojúhelník, kružnice, rovnoramenných lichoběžník, kosočtvere) 3. Rozhodněte, zda úvary jsou středově souměrné: NEJSOU obr Sestrojte útvary středově souměrné k těmto útvarům: a) C A b) A B obr

71 4. Stereometrie Cílem kapitoly je naučit vás základy stereometrie - polohové a metrické vlastnosti útvarů zobrazování těles ve volném rovnoběžném promítání a výpočet jejich povrchů a objemů Klíčová slova této kapitoly: b o d, přímka, r o v i n a, p r o s t o r, v z á j e m n á p o l o h a ú t v a rů, v z d á l e n o s t d v o u m i m o běžek, těl e s o, o b j e m a p o v r c h tě l e s. Následující výklad se bude týkat útvarů v trojrozměrném prostoru, který označujeme E 3. Základními útvary jsou: bod, přímka a rovina 1. Vlastnosti útvarů v prostoru zkoumá část geometrie zvaná stereometrie. Průvodce studiem Stereometrie je považována za jednu z nejobtížnějších částí školské matematiky. Největším problémem bývá u studentů prostorová představivost, kterou lze však zdokonalovat a rozvíjet. K tomu vám mohou sloužit různé modely. Tradičním modelem částí přímek a rovin mohou být špejle, dráty, tužky, listy papíru, desky stolu. Můžete však používat i větší modely, jako jsou různé krabice či stěny místností. Rychlejší než modelování je grafické znázorňování. (body a přímky znázornit umíte a roviny znázorňujeme libovolným rovinným útvarem, nejčastěji rovnoběžníkem). Prostorovou představivost si můžete vyzkoušet na následující úloze k zamyšlení: Určete, která z krychlí vznikne složením pláště krychle: obr V prostoru máme nekonečně mnoho rovin. Pro označení útvarů používáme stejné označení jako v planimetrii.

72 4.1. Polohové vlastnosti geometrických útvarů v prostoru Cíl kapitoly: V této kapitole se nejdříve naučíte používat volné rovnoběžné promítání při zobrazování těles v rovině, dále se naučíte rozpoznat vzájemnou polohu přímek, rovin, přímky a roviny. Poznáte kritérium rovnoběžnosti dvou přímek a seznámíte se s novým pojmem příčka mimoběžek Klíčová slova: přímka, rovina, prostor, rovnoběžnost, mimoběžnost přímek, příčka mimoběžek Volné rovnoběžné promítání Jak už bylo řečeno, stereometrie se zabývá studiem polohových a metrických vztahů mezi body, přímkami a rovinami v prostoru. Abychom mohli tyto vztahy zkoumat, musíme nejdříve prostorové útvary zobrazit do roviny, jednoduše řečeno nakreslit na papír. Metodami zobrazení prostorových útvarů do roviny se zabývá samostatná disciplína deskriptivní geometrie. V tomto učebním textu budeme používat volné rovnoběžné promítání. Tato názorná zobrazovací metoda je vhodná pro řešení méně náročných úloh na jednoduchých hranatých tělesech., na kterých můžeme demonstrovat vztahy prostorových útvarů. Při zobrazování těles používáme tyto zásady: Rovinný obrazec ležící v rovině rovnoběžné s nákresnou (tzv. průmětna) se zobrazí ve skutečné velikosti. Dvě rovnoběžné přímky se zobrazí jako rovnoběžky. Dvě rovnoběžné a shodné úsečky se zobrazí jako rovnoběžné shodné úsečky. Úsečky kolmé k nákresně zobrazujeme tak, že svírají s horizontálními přímkami úhel 45 a jejich velikost zkracujeme na polovinu. Příklad 1: Zobrazte krychli ABCDEFGH o straně a = 10 cm. Postup řešení Přední stěna krychle čtverec ABEF je v průmětně, narýsujeme ho ve skutečné velikosti, stranu AB volíme v horizontální poloze vodorovně. Boční hrany AD, BC, FG, DH, které jsou k rovině čtverce ABFE a tedy i k nákresně kolmé, narýsujeme tak, aby s přímkami AB, EF svíraly úhel 45 a jejich velikost bude poloviční. Viditelnost hran volíme tak, aby obraz krychle byl nadhled zprava. 7

73 Úkol pro zájemce: obr. 4. Pokuste si načrtnout krychli i v jiných pohledech: nadhled zleva, podhled zprava a podhled zleva. Příklad : Zobrazte trojboký jehlan (čtyřstěn) ABCV výšky v = 10 cm, jehož podstava je rovnostranný trojúhelník ABC o straně a = 7 cm. Postup řešení: Nejdříve sestrojíme pomocný rovnostranný trojúhelník o straně 7 cm a jeho výšku. Pro konstrukci jehlanu narýsujeme úsečku AB v horizontální poloze délky 7 a ve středu této úsečky narýsujeme polopřímku tak, aby svírala s úsečkou AB úhel 45 a naneseme na ni polovinu výšky pomocného trojúhelníka, čímž získáme bod C. Sestrojíme střed podstavy jako těžiště trojúhelníka ABC, vztyčíme kolmici k přímce AB a vyznačíme bod V tak, že VS má velikost v = 10 cm. Úloha k procvičení: 1. Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte: 73 obr. 4.3 a) kvádr ABCDEFGH o stranách a = 4 cm, b = 5 cm, c = 1 cm; b) pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV o hraně podstavy a = 5 cm a výšce v = 8 cm.

74 Vzájemná poloha dvou přímek Dvě přímky v prostoru mohou být splývající (totožné), rovnoběžné, různoběžné a mimoběžné. Vzájemnou polohu dvou přímek můžeme názorně demonstrovat na krychli ABCDEFGH, kde navíc sestrojíme bod K jako střed hrany FG a bod L na přímce GH tak, aby bod G byl středem úsečky HL (viz obr. 4.4). obr Přímky FK, KG jsou splývající neboli totožné, mají všechny body společné. Píšeme F = KG. Přímky AB, EF jsou rovnoběžné. Nemají žádný společný bod a leží v jedné rovině,tou je stěna ABFE krychle. Píšeme AB // FE. Přímky EK, FG jsou různoběžné. Mají jeden společný bod K, který se nazývá průsečík. Píšeme K = EK 1 FG. Přímky EL, AB jsou mimoběžné. Nemají žádný společný bod a neleží v jedné rovině. Přímka, která protíná dvě mimoběžky, se nazývá příčka dvou mimoběžek. Na obrázku je přímka BK příčka mimoběžek AB, FL.. Úloha k procvičení:. Najděte na krychli a zapište alespoň tři další dvojice přímek a) rovnoběžných, b) různoběžných, c) mimoběžných. 74

75 Vzájemná poloha přímky a roviny Na obrázcích 4.5 je narýsovaná krychle ABCDEFGH. Určíme počet společných bodů roviny D = ABC a přímky q: obr. 4.5 a obr. 4.5 b obr. 4.5 c Pro vzájemnou polohu přímky a roviny platí: Má-li přímka s rovinou společné dva body, pak leží v rovině. Přímka AB leží v rovině D. Píšeme: AH d D. (obr. 4.5 a ) Má-li přímka s rovinou jeden společný bod, pak říkáme, že je s rovinou různoběžná. Přímka q = CE protíná přímku BC v bodě C, bod C je průsečík přímky q s rovinou D. Píšeme: C = q 1 D. (obr. 4.5 b ) Nemá-li přímka s rovinou žádný společný bod, je s rovinou rovnoběžná. Přímka q = EF je rovnoběžná s rovinou D. Píšeme:.q // q. (obr. 4.5 c ) Příklad 3:V kvádru ABCDEFGH vyznačíme rovinu D = BCH a přímky q = FG a p = SS, kde body S, S jsou středy podstav ABCD, EFGH.(viz obr. 4.6) Určete, která přímka je s rovinou D rovnoběžná, různoběžná, či leží v rovině: Podle výše uvedeného platí: obr. 4.6 Má-li přímka s rovinou společné dva body, pak leží v rovině. Přímka BH leží v rovině D. Píšeme: BH d D. 75

76 Má-li přímka s rovinou jeden společný bod, pak říkáme, že je s rovinou různoběžná. Přímka p = SQ protíná přímku BH v bodě R, bod R je průsečík přímky p s rovinou D. Píšeme: R = p 1 D. Nemá-li přímka s rovinou žádný společný bod, je s rovinou rovnoběžná. Přímka q = FG je rovnoběžná s rovinou D. Píšeme:.p // q. Pro rovnoběžnost přímky s rovinou platí následující věty: Je-li přímka q rovnoběžná s rovinou D, pak každá rovina obsahující přímku q a protínající rovinu D protne rovinu D v přímce rovnoběžné s přímkou q. Na obrázku rovina stěny BCGF obsahuje přímku q = FG a protíná rovinu D v přímce BC, která je rovnoběžná s přímkou q. Je-li přímka rovnoběžná s některou přímkou roviny D, je s touto rovinou rovnoběžná. Na obrázku je přímka AD rovnoběžná s přímkou BC, je tedy přímka AD rovnoběžná s rovinou D. Úloha k procvičení: 3. Je dána krychle ABCDEFGH, určete alespoň tři přímky, které procházejí vrcholem G a s rovinou ABC jsou a) rovnoběžné b) různoběžné 76

77 Vzájemná poloha dvou rovin Podívejme se nyní na to, jakou vzájemnou polohu mohou mít dvě roviny. Demonstrovat budeme tuto situaci na pravidelném čtyřbokém hranolu ABCDEFGH, sestrojíme středy K, L, M, N hran,ae, BF, CG, DH. Příklad 4: Vyznačíme roviny " = KBC, $ = ELM. (viz obr.4.7). Pro vzájemnou polohu dvou rovin platí: obr. 4.7 Dvě roviny, které mají všechny body společné, jsou splývající. Rovina určená body ELM je splývající (totožná, shodná) s rovinou určenou body LMH. Dvě roviny, které mají společný bod, mají společnou přímku, která tímto bodem prochází a nazývají se různoběžné. Společná přímka se nazývá průsečnice. Rovina $ = ELM a rovina stěny BCGH mají společnou průsečnici LM. Dvě roviny, které nemají žádný společný bod, jsou rovnoběžné. Roviny " = KBC, $ = ELM jsou rovnoběžné. Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin Pro rovnoběžnost rovin platí: dvě roviny jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich obsahuje dvě různoběžky, z nichž každá je rovnoběžná s druhou rovinou. Na obrázku 4.7 jsou rovnoběžné dvojice přímek BC, LM a KB, EL, jsou tedy roviny " = KB a $ = ELM rovnoběžné. Dále platí: Je-li přímka p q, q D, pak také p D. Je- li přímka rovnoběžná s dvěma různoběžnými rovinami, potom je rovnoběžná i s jejich průsečnicí. Těchto poznatků využíváme při řešení polohových úloh. 77

78 Vzájemná poloha tří rovin Vzájemnou polohu tří navzájem různých rovin si předvedeme na pravidelném čtyřbokém hranolu ABCDEFGH, ve kterém sestrojíme body K, L, M, N jako středy hran AE, BF, CG, DH. Příklad 5: Vyznačíme roviny " = ABC, $ = KLM, ( = EFG, c, D = BCG, F = ABF. (viz obr. 4.8) obr. 4.8 Pro tři různé roviny může nastat jedna z pěti možností: Všechny tři roviny jsou navzájem rovnoběžné. Roviny " = ABC, $ = KLM,( = EFG jsou navzájem rovnoběžné (" $ (), nemají žádný společný bod. (viz také obr. 4.9) Dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí je protíná ve dvou navzájem rovnoběžných průsečnicích. Roviny " = ABC, $ = KLM, jsou rovnoběžné, rovina * = EBC je protíná v přímkách BC a UV, které jsou rovnoběžné. (viz také obr. 4.10) Všechny tři roviny jsou vzájemně různoběžné, každé dvě mají společnou průsečnici. Tyto tři přímky jsou různé a procházejí jediným společným bodem všech tří rovin. Na obrázku pro roviny $ = KLM, * = EBC, F = ABF, platí:$ 1 * = UV, $ 1 F = KL, * 1 F = BE, UV 1 KL 1 BE = U, $ 1 * 1 F = U. (viz také obr. 4.11) Každé dvě roviny jsou různoběžné, přitom všechny tři průsečnice splývají v jedinou přímku. Roviny " = ABC, * = EBC, D = BCG jsou navzájem různoběžné a mají společnou přímku BC. (viz také obr. 4.1) Každé dvě roviny jsou různoběžné, přitom všechny tři průsečnice jsou různé a rovnoběžné. Pro roviny " = ABC, * = EBC, D = BCG: $ 1 * = UV, $ 1 D = ML, * 1 D = BC,průsečnice UV, ML, BC jsou rovnoběžné. (viz také obr. 4.13) 78

79 Příklad 5 ukazuje všech pět možností pro vzájemnou polohu tří různých rovin. Možná srozumitelnější se vám bude jevit následující zobrazení: obr. 4.9 obr obr Obr. 4.1 obr Úloha k procvičení: 4. Je dán čtyřstěn ABCD a dále body K, L, M, které jsou po řadě středy hran AD, BD, CD. Zjistěte vzájemnou polohu následujících tří rovin: a) :ABC, :BKM, :KML b) :ABC, :ABD, :ABM. Na závěr této kapitoly si ukážeme řešení několika jednoduchých polohových konstrukčních úloh. 79

80 Řešení polohových konstrukčních úloh V následujících řešených příkladech si ukážeme sestrojení průsečíku přímky a roviny, řez tělesa rovinou a sestrojení příčky mimoběžek. Příklad 6: V pravidelném čtyřbokém hranolu ABCDEFGH sestrojte průsečík přímky p = AG, s rovinou F = BDH. Řešení: Přímka p = AG, leží v rovině ACG, která je v hranolu určena obdélníkem ACGE. Průsečnice této roviny s rovinou F = BDH, je průsečík přímek p a SQ, což je bod R.(viz obr. 4.14) obr V dalším příkladě se podíváme na řez tělesa rovinou. Řez tělesa je průnik tělesa a roviny. V obecném případě je řezem hranatého tělesa n-úhelník. Řez sestrojíme tak, že určujeme buď průsečnice roviny řezu s rovinami stěn tělesa nebo průsečíky jednotlivých hran tělesa s rovinou řezu. Při konstrukci řezu využíváme vztahy, které platí pro vzájemnou polohu přímek a rovin v prostotu. Příklad 7: Zobrazte krychli ABCDEFGH a její řez rovinou D = MNP, kde body M, N, P jsou středy hran AB, BC, CG. Řešení: Úsečky MN, NP leží na stěnách krychle, jsou částí řezu. Sestrojíme bod X jako průsečík přímky MN s přímkou CD. Přímka PX leží v zadní stěně krychle a protíná hranu GH v bodě Q. Další strany řezu sestrojíme na základě rovnoběžnosti protějších stěn krychle: QR.MN, RS NP. Řezem je šestiúhelník MNPQRS. (viz obr ) 80

81 obr Příklad 8: Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV a rovina D = MNP, kde bod M je střed hrany AV, bod N leží na hraně CV tak, že platí: CN : NV = 1 : a bod P leží na prodloužení hrany AB za bodem B tak, že platí:bp : AB = Sestrojte řez. Řešení : V jehlanu nejsou protější stěny rovnoběžné, používáme vlastnost tří různoběžných rovin, jejichž průsečnice procházejí jedním bodem. Při konstrukci řezu jehlanu zpravidla sestrojíme průsečnici roviny řezu s rovinou podstavy. Přímka PM leží v přední stěně jehlanu a protíná hranu BV v bodě R. Přímky BC a RN leží v rovině stěny BCV, přímka BC leží v podstavě jehlanu, přímka RN v rovině řezu a protínají se v bodě Q. Přímka p = PQ je průsečnice roviny řezu a roviny podstavy. Přímka CD protíná přímku p v bodě X, který je společný bod roviny řezu, roviny podstavy a roviny stěny CDV. Přímka XN protíná hranu v bodě T. Řezem je čtyřúhelník RNTM. (obr ). obr

82 Shrnutí kapitoly: V této kapitole jste se naučili používat volné rovnoběžné promítání při zobrazování těles v rovině, umíte rozpoznat vzájemnou polohu přímek, rovin, přímky a roviny. Také jste poznali kritérium rovnoběžnosti dvou přímek a seznámili jste se s novým pojmem příčka mimoběžek. Korespondenční úkol 7 1. V kvádru ABCDEFGH určete a zapište: a) alespoň mimoběžky AB b) 3 různoběžné přímky s přímkou BD c) 1 různoběžnou rovinu s rovinou ABE. Určete vzájemnou polohu přímek znázorněných na následujících obrázcích: a) b) c) 3. Je dán čtyřstěn ABCD a dále body K, L, M, které jsou po řadě středy hran AD, BD, CD. Zjistěte vzájemnou polohu následujících tří rovin: :ABD, :KLM, :BCD 4. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou ABX (X je středem hrany CG). 8

83 4.. Metrické vlastnosti geometrických útvarů Cíl kapitoly: V této kapitole se naučíte rozpoznat odchylku dvou přímek, rovin, přímky a roviny, kolmost dvou přímek a rovin a naučíte se určit vzdálenost bodu od přímky a roviny a vzdálenost přímek a rovin. Klíčová slova: odchylka přímek a rovin, vzdálenost bodu od přímky a roviny, vzdálenost přímek a rovin. Průvodce studiem: Metrickými vlastnostmi útvarů nazýváme odchylky a vzdálenosti těchto útvarů. Odchylku dvou přímek, dvou rovin a přímky od roviny převádíme na určení velikosti úhlu dvou různoběžek Při řešení úloh se předpokládá, že zvládáte řešení pravoúhlého trojúhelníka užitím goniometrických funkcí a Pythagorovy věty. Odchylka dvou přímek Můžeme říci, že platí : Odchylka dvou přímek splývajících nebo rovnoběžných je rovna nule. Odchylka dvou různoběžných přímek je velikost každého z ostrých nebo pravých úhlů, které spolu přímky svírají. Odchylka dvou mimoběžných přímek je odchylka dvou různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžně s danými mimoběžkami. (Bod M může ležet na některé z mimoběžek.) Na příkladu si ukážeme, jak můžeme graficky znázornit odchylku přímek. Příklad 1: Je dána krychle ABCDEFGH. Určete graficky odchylku přímek a) AB, EG, b) AH, CF, Řešení: na následujících obrázcích hledaná odchylka přímek úhel n není zobrazen ve skutečné velikosti (jak je z obrázků 4.17 a 4.18 patrno, v obou případech má úhel velikost n = 45 ) a) obr b) obr

84 Úloha: 1. Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku přímek (Využijte vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku). a) AH a AE b) AH a AC c) AH a CF d) CF a AC. Odchylka dvou rovin Můžeme říct, že: Odchylka dvou rovin splývajících nebo rovnoběžných je rovna nule. Odchylku dvou různoběžných rovin α, β určíme takto: na průsečnici r těchto rovin zvolíme bod a vedeme tímto bodem přímky az r, a0 α, bz r, b 0 β. Velikost úhlu různoběžek a, b je odchylka obou rovin. Situaci si ukážeme na řešeném příkladě: Příklad : V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV o hraně podstavy a a výšce v určete odchylku a) roviny boční stěny od roviny podstavy, b) rovin dvou protějších stěn, c) rovin dvou sousedních stěn. Řešení: Nejprve danou situaci načrtneme a popíšeme si postup řešení: (viz obr. 4.19) obr

85 a) Sestrojíme střed podstavy S a středy P, Q hran BC, AD. Přímka BC je průsečnice roviny podstavy ABCD a roviny boční stěny BCV. Přímka PQ leží v rovině podstavy, přímka PV leží v rovině boční stěny BCV, obě jsou kolmé k přímce BC. Odchylka obou rovin je určena úhlem α = ÊSPV, pro jehož velikost platí: v tg α =. a b) Odchylka protějších stěn je určena úhlem β =ÊPVQ, který vypočteme ze o vztahu α + β = 90.(Využijeme vlastnosti pravoúhlého trojúhelníka VSP). c) Přímka CV je průsečnice rovin sousedících stěn BCV a CDV. Bod R je pata kolmic, které vedeme v obou stěnách body B, D kolmo k přímce CV. Odchylku obou rovin určuje úhel γ = ÊBRD v rovnoramenném trojúhelníku BRD. Pro určení jeho velikosti musíme vypočítat velikost úsečky BR, což je výška v trojúhelníku BCV. Obsah tohoto trojúhelníku můžeme vyjádřit dvěma způsoby: BC PV CV BR =, kde PV = v a +,... CV a =. v + γ v + a Pak pro úhel γ platí: sin =. (Tato úloha je poměrně 4v + a náročná). Úloha:. Vypočítejte odchylku α rovin ABC a BCV v pravidelném čtyřbokém jehlanu AB = BC = 5cm, SV = v = 7cm. (v je výška jehlanu) Viz obr. 4.0:. obr

86 Odchylka přímky a roviny Platí následující tvrzení: Přímka, která v dané rovině leží nebo je s ní rovnoběžná má od této roviny odchylku rovnu nule. Odchylka přímky různoběžné s rovinou je velikost úhlu, který svírá daná přímka se svým kolmým průmětem do dané roviny. Kolmý průmět přímky m do roviny ρ je průsečnice m roviny ρ s rovinou procházející přímkou m kolmo k rovině ρ. Kolmý průmět přímky kolmé k rovině je bod. Příklad 3: V krychli ABCDEFGH o hraně podstavy délky a určete odchylku přímky AM od roviny podstavy ABCD, kde bod M je střed hrany GH. (Situace viz obr. 4.1) Postup řešení: obr. 4.1 Sestrojíme kolmý průmět přímky AM do roviny ABCD, přímku AP, kde P 0 CD, MPzCD. Odchylka přímky AM od roviny ABCD je určena úhlem a 5 α = ÊMAP, pro který platí: tgα = =. Délku úsečky AP 5 5 a vypočítáme z pravoúhlého trojúhelníku ADP. Úloha: 3. Vypočítejte odchylku přímky BH od roviny krychle ABC. Délka hrany krychle je a. (viz obr. 4.) obr

87 Kolmost přímek a rovin Pro kolmost přímek a rovin platí následující věty, které vysvětlíme na následujícím příkladě: Příklad 4: Mějme dánu krychli ABCDEFGH se středy podstav S, Q: (viz obr. 4.3) Můžeme říct: 87 obr. 4.3 Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám této roviny. Pro zjištění, zda je přímka kolmá k rovině, používáme tzv.kritérium kolmosti přímky k rovině: přímka je k rovině kolmá, je-li kolmá ke dvěma různoběžkám této roviny. V dané krychli je přímka FB kolmá k přímkám AB, BC, je tedy kolmá k rovině ABCD. Daným bodem lze sestrojit jedinou rovinu kolmou k dané přímce. Rovina, vedená bodem Q kolmo k přímce BF v dané krychli, je rovina EFGH. Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou kolmici. Kolmice k rovině ABCD jdoucí bodem Q je přímka QS. Všechny přímky kolmé k téže rovině jsou navzájem rovnoběžné. Hrany krychle AE, BF, CG, DH jsou kolmé k rovině ABCD a jsou navzájem rovnoběžné. Všechny roviny kolmé k téže přímce jsou navzájem rovnoběžné. Roviny ABCD, EFGH jsou kolmé k přímce BF a jsou navzájem rovnoběžné. Obsahuje-li jedna rovina kolmici k druhé rovině, pak jsou tyto roviny navzájem kolmé. Rovina ACGE obsahuje přímku kolmou k rovině ABCD, jsou tedy roviny ABCD, ACGE navzájem kolmé. Jsou-li dvě různoběžné roviny kolmé k třetí rovině, je jejich průsečnice rovněž kolmá k této rovině. Různoběžné roviny ACGE, BDHF jsou kolmé na rovinu ABCD, jejich průsečnice QS je také kolmá k rovině ABCD.

88 Přímkou různoběžnou s danou rovinou lze vést jedinou rovinu kolmou k dané rovině. Přímka EC je různoběžná s rovinou ABCD a jediná rovina, která prochází touto přímkou kolmo k rovině ABCD, je rovina ACGE. Vzdálenost bodu od přímky a od roviny Vzdálenost dvou bodů A, B je délka úsečky AB. Značíme ji *AB*. Vzdálenost bodu A od přímky p určujeme jako vzdálenost bodu od přímky v rovině. Označujeme *Ap*. Je-li A0 p, pak *Ap*= 0. Vzdálenost bodu A od roviny ρ, je vzdálenost bodu A od jeho pravoúhlého průmětu A do roviny ρ. Označujeme *Aρ*. Je-li A0 ρ, pak *Aρ*= 0. Příklad 5: Je dána krychle ABCDEFG, délka hrany a = 5 cm. a) Určete vzdálenost bodu B od přímky p = :AD. Vzdálenost je rovna délce hrany (viz obr.4.4). Platí tedy *Bp*= 5. b) Určete vzdálenost bodu B od přímky q = :GH. Vzdálenost vypočítáme z pravoúhlého trojúhelníku BCG a je rovna délce jeho přepony (viz obr.4.4). Platí tedy Bq =.. obr. 4.4 c) Určete vzdálenost bodu M od roviny r = ABG. (Bod M je střed hrany EF.) Vzdálenost bodu M od roviny ρ = ABG je určena úsečkou MR, kde R = MN 1 PQ. Její velikost je polovina úhlopříčky čtverce MPON,. Platí : M ρ = 5.(Viz obr. 4.5.) 88 obr. 4.5