Geometrie v rovině 2
|
|
- David Bezucha
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 2 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006
2
3 Obsah Úvod 5 1 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník 7 Klíčováslova... 7 Trojúhelník Lomenáčára N-úhelník(mnohoúhelník) Konvexní n-úhelník(mnohoúhelník) Pravidelný n-úhelník Čtyřúhelník Konvexníčtyřúhelník Řešenépříklady Neřešenépříklady Výsledky Kružnice, kruh 41 Klíčováslova Kružnice Úhlyvkružnici Vzájemnápolohapřímkyakružnice Vzájemnápolohadvoukružnic Kruh Řešenépříklady Neřešenépříklady Výsledky Závěr 63 Literatura 65 3
4
5 Geometrie v rovině 2 5 Úvod Tento distanční text volně navazuje na distanční text Geometrie v rovině 1, který zpracovával teorii a její aplikace v rámci tematických celků přímka a její části(úsečka, polopřímka), polorovina, konvexní množina bodů a úhel, a to včetně stručného přehledu polohových vlastností daných geometrických útvarů. Specifickou kapitolou v rámci této struktury byla kapitola zabývající se porovnáváním, sčítáním, odčítáním a násobením úseček a úhlů. V předloženém distančním textu zavedeme pojmy trojúhelník, lomená čára, n- úhelník(mnohoúhelník), kružnice, kruh a budeme zkoumat vzájemnou polohu těchto útvarů. Tento text spolu s textem Geometrie v rovině 1 tvoří ucelený přehled geometrie v rovině pokrývající potřeby budoucího učitele geometrie v dané tematické oblasti. Se zahrnutím didaktiky geometrie příslušného stupně pokrývají tyto dva texty potřebné znalosti a dovednosti, které v profilují budoucího učitele geometrie pro primární vzdělávání. VcelémtextujsemsestejnějakovtextuGeometrie1snažilavyhýbatproblematice míry geometrických útvarů, pokud to nebylo nutné nebo se mi to nejevilo efektivní pro další studium(např. kružnici a kruh zavádím prioritně užitím středu a úsečky, nikoli velikosti poloměru). Všechny kapitoly textu mají stejnou strukturu, na kterou jste si zvykli během studia textu Geometrie v rovině 1, tedy připomínám: stručný průvodce kapitolou vás uvede do její teoretické problematiky a seznámí s jejím obsahem, klíčová slova vám budou nápomocna při vytváření logické osnovy teorie v kapitole obsažené. Poté následují jednotlivé podkapitoly, které definují spolu související pojmy a vyslovují k nim příslušné věty a tvrzení. Tyto podkapitoly obsahují komentář, který vám podle mých několikaletých zkušeností s výukou daného tématu v daném studijním oboru pomůže konkrétní definici, větu nebo tvrzení pochopit ve všech jeho aspektech. Pro vaši kontrolu je každá podkapitola uzavřena souborem otázek. Doporučuji vám pečlivě se těmito otázkami zabývat- může se stát, že vlastní nalezení odpovědi, byť s využitím předchozí teorie, bude časově náročné, ale jen tak získáte velmi důležitou zpětnou vazbu, zda můžete ve studiu textu pokračovat dále. Tyto otázky nahrazují dotazy, které při kontaktní výuce na nažším stupni vzdělání vyslovoval učitel, přičemž zabezpečoval, aby studenti v případě naznalostí většího rozsahu nepokračovali
6 6 Úvod dále. Obdobným testem vlastních znalostí a dovedností, a zejména jejich aplikací, pro vás budou dva soubory příkladů, které jsou zařazeny jako poslední dvě podkapitoly každé kapitoly. Řešené příklady obsahují typové úlohy s návody řešení, neřešené příklady pak úlohy s výsledky. Znovu apeluji na vaši vůli příklady individuálně řešit, důkladně promýšlet alternativy postupu a snažit se najít řešení(nikoli listováním dozadu směrem k výsledkům, ale vždy dopředu směrem k teorii a jejímu vysvětlení). I nyní obsahuje celý text relativně velké množství obrázků, které dokumentují popisované situace jak v teorii tak v zadání příkladů. Ale i nyní doporučuji precizně pracovat s náčrty, neboť geometrie pracuje se znázorněním prostoru a jeho částí- schopnost zhotovit vhodný náčrt vám pomůže nejen správně pochopit zadání úloh a kontrolovat výsledek jejich výsledky, ale i získat dovednost připravovat vhodné náčrty tolik potřebné ve vaší budoucí pedagogické praxi. Renáta Vávrová
7 Geometrie v rovině Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Tato poměrně rozsáhlá kapitola je věnována n-úhelníkům(mnohoúhelníkům), jejichž znalost je významnou součástí geometrických znalostí, a to již od prvního stupně základní školy. Zřejmě nebudeme mít problém s vysvětlením pojmů trojúhelník nebo čtyřúhelník, ale vymezit přesně tyto pojmy by nám bez přípravy již mohlo činit potíže stejně, jako vymezení dalších n-úhelníků nebo popis jejich prvků, vlastností a jejich klasifikace. Navíc zavedeme pojem lomená čára, který budeme nutně potřebovat pro definici nekonvexního n-úhelníka. Klíčová slova: trojúhelník, základní prvky trojúhelníka(vrcholy, strany, vnitřní úhly), další prvky trojúhelníka(vnější úhly, těžnice, těžiště, výšky, ortocentrum, střední příčky), klasifikace trojúhelníků(podle stran, podle vnitřních úhlů), lomená čára, jednoduchá a nejednoduchá lomená čára, uzavřená a otevřená lomená čára, n-úhelník, základní prvky n-úhelníka(vrcholy, strany, vnitřní úhly, úhlopříčky), další prvky n-úhelníka(vnější úhly). 1.1 Trojúhelník. Pojem trojúhelník můžeme definovat více způsoby, např. jako průnik polorovin, sjednocení úseček, průnik konvexních úhlů, jako n-úhelník pro n = 3. Definice 1.1.(Trojúhelník) Nechť jsou dány nekolineární body A, B, C. Trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, CAB, BCA.(Viz obr. 5.1a.) Definice 1.2.(Trojúhelník) Nechť jsou dány nekolineární body A, B, C. Trojúhelníkem ABC nazveme sjednocení úseček AX, kde X je libovolný bod úsečky BC(bod Xprobíháúsečku BC).(Vizobr.5.1b.) Obrázek 1.1
8 8 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Body A, B, C se nazývají vrcholy trojúhelníka, úsečky AB, BC, AC se nazývají strany trojúhelníka, konvexní úhly ABC, BCA, CAB se nazývají vnitřní úhly trojúhelníka, úhly vedlejší k vnitřním úhlům trojúhelníka se nazývají vnější úhly trojúhelníka. Symbolický zápis: Slovní vyjádření trojúhelník ABC zapisujeme symbolicky ABC. Strany trojúhelníka ABC můžeme pojmenovat podle protilehlého vrcholu a,b,c(naprotivrcholu Astrana a,naprotivrcholu B strana batd.), vnitřní úhly trojúhelníka ABC většinou α, β, γ(naproti vrcholu A vnitřní úhel α, naproti vrcholu B vnitřní úhel β atd.), vnější úhly trojúhelníka ABC většinou α, β, γ (vedlejšíkúhlu αúhel α,vedlejšíkúhlu βúhel β atd.).(viz obr.5.2.) V grafickém znázornění trojúhelníka popisujeme vrcholy v abecedním pořadí v kladném smyslu obíhání(proti směru hodinových ručiček). Obrázek 1.2 Věta 1.1.(Trojúhelníková nerovnost) Grafický součet kterýchkoli dvou stran každého trojúhelníka je větší než strana třetí. Věta 1.2. Grafický součet všech vnitřních úhlů každého trojúhelníka je úhel přímý. Věta 1.3. Kterýkoli vnější úhel každého trojúhelníka je roven grafickému součtu protějších vnitřních úhlů. Věta 1.4. V každém trojúhelníku leží proti větší straně větší vnitřní úhel. Proti většímu vnitřnímu úhlu větší strana. Definice 1.3.(Těžnice trojúhelníka) Nechť je dán trojúhelník ABC. Těžnicí trojúhelníka nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhel-
9 Geometrie v rovině 2 9 níka a střed protější strany. Symbolickýzápis: t a,t b,t c (těžnicepříslušnástraně a,těžnicepříslušnástraně batd.). Všechny tři těžnice trojúhelníka se protínají v jediném bodě, tzv. těžiště trojúhelníka.značíme T.Těžištědělítěžnicivpoměru2:1(dvadílyodvrcholu ajedendílodstředustrany). Na obrázku 5.3a jsou znázorněny těžnice a těžiště ostroúhlého trojúhelníka, na obrázku 5.3b tupoúhlého trojúhelníka. Obrázek 1.3 Dokážeme sestrojit těžnice a těžiště pravoúhlého trojúhelníka? Jaká bude jejich poloha vzhledem k danému trojúhelníku? Je pravda, že těžiště libovolného(ostroúhlého, pravoúhlého i tupoúhlého trojúhelníka) je vždy bodem daného trojúhelníka? Definice 1.4. (Střední příčka trojúhelníka) Nechť je dán trojúhelník ABC. Střední příčkou trojúhelníka nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou středy jeho dvou stran. Symbolickýzápis: s a,s b,s c (střednípříčkapříslušnástraně a,střednípříčka příslušná straně b atd.). Každá střední příčka každého trojúhelníka je rovnoběžná s tou stranou trojúhelníka, jejíž střed není jejím krajním bodem. Tato strana je rovna dvojnásobku příslušné střední příčky. Na obrázku 5.4a jsou znázorněny střední příčky ostroúhlého trojúhelníka, na obrázku 5.4b tupoúhlého trojúhelníka.
10 10 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Obrázek 1.4 Definice 1.5.(Výška trojúhelníka) Nechť je dán trojúhelník ABC. Výškou trojúhelníka nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníka a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími dvěma vrcholy. Symbolickýzápis: v a,v b,v c (výškapříslušnástraně a,výškapříslušnástraně b atd.). Všechny tři přímky, v nichž leží výšky trojúhelníka, se protínají v jediném bodě, tzv. ortocentrum trojúhelníka. Značíme O. Na obrázku 5.5a jsou znázorněny výšky a ortocentrum ostroúhlého trojúhelníka, na obrázku 5.5b tupoúhlého trojúhelníka. Obrázek 1.5
11 Geometrie v rovině 2 11 Dokážeme sestrojit výšky a ortocentrum pravoúhlého trojúhelníka? Jaká bude jejich poloha vzhledem k danému trojúhelníku? Je pravda, že ortocentrum libovolného(ostroúhlého, pravoúhlého i tupoúhlého trojúhelníka) je vždy bodem daného trojúhelníka? Každému trojúhelníku lze vepsat i opsat kružnici. Budeme pracovat s pojmy osaúsečkyaosaúhlu. Věta 1.5.(Kružnice trojúhelníku opsaná) Osy všech tří stran každého trojúhelníka se protínají v jediném bodě, a to ve středu kružnice tomuto trojúhelníku opsané. Značíme k(s O ;r). Na obrázku 5.6a jsou znázorněna kružnice opsaná ostroúhlému trojúhelníku, na obrázku 5.6b tupoúhlému trojúhelníku. Obrázek 1.6 Dokážeme sestrojit kružnici opsanou pravoúhlému trojúhelníku? Je pravda, že střed kružnice opsané libovolnému trojúhelníku(ostroúhlému, pravoúhlému i tupoúhlému trojúhelníku) je vždy bodem daného trojúhelníka? Věta 1.6.(Kružnice trojúhelníku vepsaná) Osy všech tří vnitřních úhlů každého trojúhelníka se protínají v jediném bodě, a to ve středu kružnice tomuto trojúhelníku vepsané. Značíme k(s V ;ρ).
12 12 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Na obrázku 5.6a jsou znázorněna kružnice vepsaná ostroúhlému trojúhelníku, na obrázku 5.6b tupoúhlému trojúhelníku. Obrázek 1.7 Dokážeme sestrojit kružnici vepsanou pravoúhlému trojúhelníku? Je pravda, že střed kružnice vepsané libovolnému trojúhelníku(ostroúhlému, pravoúhlému i tupoúhlému trojúhelníku) je vždy bodem daného trojúhelníka? Trojúhelníky dělíme na základě dvou kritérií, a to jednak podle jejich stran a jednak podle jejich vnitřních úhlů. 1. Klasifikace trojúhelníků podle stran: a) trojúhelníky rovnoramenné: alespoň dvě strany jsou shodné, trojúhelníky rovnostranné: všechny tři strany jsou shodné, trojúhelníky nerovnostranné: právě dvě strany jsou shodné, b) trojúhelníky nerovnoramenné: žádné dvě strany nejsou shodné. 2. Klasifikace trojúhelníků podle vnitřních úhlů: a) trojúhelníky pravoúhlé: právě jeden vnitřní úhel je pravý, b) trojúhelníky kosoúhlé: všechny vnitřní úhly jsou kosé(ostré nebo tupé), trojúhelníky ostroúhlé: všechny vnitřní úhly jsou ostré, trojúhelníky tupoúhlé: právě jeden vnitřní úhel je tupý. V tuto chvíli bychom měli umět zavést pojem trojúhelník, a to různými způsoby (jako průnik polorovin, jako sjednocení úseček), měli bychom dokázat popsat
13 Geometrie v rovině 2 13 základní prvky trojúhelníka(vrcholy, strany, vnitřní úhly) a popsat a sestrojit další jeho prvky(vnější úhly, výšky, těžnice a střední příčky daného trojúhelníka, těžiště a ortocentrum), danému trojúhelníku bychom měli umět vepsat i opsat kružnici. Množinu všech trojúhelníků bychom měli dokázat rozdělit podle stran a podle vnitřních úhlů. Pro jistotu, že jsme správně porozuměli problematice související s pojmem trojúhelník, odpovíme na následující otázky. Nápovědou nám mohou být grafická znázornění. 1. Platí pro každý trojúhelník, že podmnožinami tohoto trojúhelníka jsou všechny jeho: a) těžnice, b) střední příčky, c) výšky? 2. Platí pro každý trojúhelník, že body tohoto trojúhelníka jsou jeho: a) těžiště, b) ortocentrum? 3. Je dán trojúhelník ABC. Symbolicky zapište popis konstrukce jeho: a) těžnic, těžiště, b) středních příček, c) výšek, ortocentra. 4. Platí pro každý trojúhelník, že bodem tohoto trojúhelníka je střed kružnice tomuto trojúhelníku: a) opsané, b) vepsané? 5. Je dán trojúhelník ABC. Symbolicky zapište popis konstrukce kružnice tomuto trojúhelníku: a) vepsané, b) opsané. 6. Je každý rovnoramenný trojúhelník zároveň rovnostranný?
14 14 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník 7. Je každý rovnostranný trojúhelník zároveň rovnoramenný? 8. Nechť R je množina všech rovnoramenných trojúhelníků, S množina všech rovnostranných trojúhelníků. Určete: a) R S, b) R S. 9. Nechť O je množina všech ostroúhlých trojúhelníků, T množina všech tupoúhlých trojúhelníků, P množina všech pravoúhlých trojúhelníků. Určete: a)(t O) P, b)(t O) P, c)(t O) P. 10. Umíme definovat trojúhelník jako průnik polorovin a jako sjednocení úseček. Pokusme se definovat trojúhelník jako průnik konvexních úhlů. Formulujte definici(opravdu se pokuste nejprve přemýšlet a svůj nápad zapište, výsledky poslouží jen ke kontrole). Měli bychom odpovědět: 1-a)ANO,b)ANO,c)ANO(těžnice,střednípříčkyavýškyjsouvždy podmnožinami daného trojúhelníka), 2- a) ANO, b) NE(ortocentrum tupoúhlého trojúhelníka není nikdy jeho bodem, ortocentrum ostroúhlého a pravoúhlého trojúhelníka je vždy jeho bodem- ortocentrum pravoúhlého trojúhelníkasplývásvrcholemjehopravéhoúhlu),4-a)ne(středkružniceopsané tupoúhlému trojúhelníku není nikdy jeho bodem, střed kružnice opsané ostroúhlému a pravoúhlému trojúhelníku je vždy jeho bodem- střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku splývá se středem jeho přepony), b) ANO, 6-a)NE,b)ANO,8-a) R S= R,b) R S= S,9-a)(T O) P=,b) (T O) P= P,(T O) P= T,10- Nechťjsoudánynekolineárníbody A, B, C. Trojúhelníkem nazveme průnik konvexních úhlů ABC, BCA, BAC, tedy ABC= <) ABC <) BCA <) BAC. Pokud jsme neudělali žádnou chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Trojúhelník úspěšně zvládli a můžeme pokračovat ve studiu podkapitoly Lomená čára. Pokud jsme však někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení pokračovat dále nebudeme.
15 Geometrie v rovině Lomená čára. Pojem lomená čára budeme definovat jako sjednocení úseček, pro které platí určité vlastnosti. Definice 1.6. (Lomená čára) Lomenou čárou A 0 A 1 A 2...A n 1 A n (pro n 2)nazvemesjednoceníúseček A 0 A 1,A 1 A 2,A 2 A 3,...,A n 2 A n 1,A n 1 A n, znichžkaždédvěsousednímajíspolečnýpouzekrajníbodaneležívtéže přímce.(viz obr. 5.8.) Body A 0,A 1,A 2,...A n 1,A n budeme nazývat vrcholy lomené čáry, úsečky A 0 A 1,A 1 A 2,A 2 A 3,...,A n 2 A n 1,A n 1 A n budemenazývatstranylomenéčáry. Slovnívyjádřenílomenáčára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n budemesymbolickyzapisovat A 0 A 1 A 2...A n 1 A n.tedynaopakkaždou n-ticivelkýchtiskacíchpísmen A 0 A 1 A 2...A n 1 A n neoddělených čárkou musíme přečíst lomená čára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n. Definice1.7.(Uzavřenálomenáčára) Nechťjedánalomenáčára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n.tatolomenáčárasenazýváuzavřenálomenáčára,právěkdyž jejívrcholy A 0 a A n splynou.(vizobr.5.8a.) Lomená čára, která není uzavřená, se nazývá otevřená lomená čára.(viz obr. 5.8b.) Obrázek 1.8 Definice 1.8. (Jednoduchá lomená čára) Nechť je dána lomená čára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n.tatolomenáčárasenazývájednoduchálomenáčára,
16 16 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník právě když žádné dvě její nesousední strany nemají společný bod.(viz obr. 5.8.) Nyní rozumíme pojmu lomená čára a umíme určit, kdy je lomená čára uzavřená a kdy otevřená, kdy je lomená čára jednoduchá a kdy jednoduchá není. Znalosti pojmů souvisejících s pojmem lomená čára budeme potřebovat při zavedení pojmu mnohoúhelník a dalších pojmů s ním souvisejících. Následujícími úkoly prověříme, zda jsme textu dostatečně porozuměli. 1)Načrtnětepříkladlomenéčáry A 0 A 1 A 2 A 3 A 4,kteráje: a) jednoduchá uzavřená, b) nejednoduchá uzavřená, c) jednoduchá otevřená, d) nejednoduchá otevřená. 2 Jsou pravdivé následující výroky? a)každálomenáčárajevmnožině E 2 konvexní. b)existujealespoňjednalomenáčára,kterájevmnožině E 2 konvexní. c)žádnálomenáčáranenívmnožině E 2 konvexní. d) Každá jednoduchá lomená čára je otevřená. e) Existuje alespoň jedna jednoduchá lomená čára, která je otevřená. f) Žádná jednoduchá lomená čára není otevřená. g)každálomenáčáramáalespoň3vrcholy. h) Dvě nesousední strany každé lomené čáry mají nejvýše jeden společný bod. 3) Jsou geometrické útvary zobrazené na obrázku 5.9 lomené čáry? Pokud ano,pakpopištejejichvrcholyaurčete,ojakélomenéčárysejedná (otevřená x uzavřená, jednoduchá x nejednoduchá). Měli bychom odpovědět: 1-Např.vizobrázek5.10,2-a)NE,b)NE,c)ANO,d)NE,e)ANO,f)NE, g)ano,h)ano,3-a)ano(uzavřenánejednoduchá),b)ano(otevřená nejednoduchá, c) ANO(uzavřená jednoduchá), d) NE(popis vrcholů např. viz obrázek 5.11).
17 Geometrie v rovině 2 17 Obrázek 1.9 Obrázek 1.10 Obrázek 1.11
18 18 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Pokud jsme nechybovali, pak jsme základní teorii podkapitoly Lomená čára úspěšně zvládli. Pokud jsme někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. 1.3 N-úhelník(mnohoúhelník). Pro zavedení pojmu n-úhelník budeme potřebovat dosud nedefinovaný pojem vnitřní oblast. Tento pojem zavedeme nyní pouze intuitivně(pomocí grafickéhonázoru),detailněsesnímseznámímevjinémtextu,kterýsevěnuje problematice míry geometrických útvarů. Definice 1.9. (N-úhelník (mnohoúhelník)) Nechť je dána jednoduchá uzavřenálomenáčára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n pro n 3. N-úhelníkem(mnohoúhelníkem) A 1 A 2...A n 1 A n nazvemesjednocenítétolomenéčáryajejívnitřní oblasti.(viz obr ) Vrcholylomenéčáry A 0,A 1,A 2,...A n 1,A n senazývajívrcholy n-úhelníka, stranylomenéčáry A 0 A 1,A 1 A 2,A 2 A 3,...,A n 2 A n 1,A n 1 A n senazývajístrany n-úhelníka,konvexníúhly A 0 A 1 A 2,A 1 A 2 A 3,...,A n 2 A n 1 A n senazývají vnitřní úhly n-úhelníka, úhly vedlejší k vnitřním úhlům n-úhelníka se nazývají vnější úhly n-úhelníka. V grafickém znázornění n-úhelníka popisujeme vrcholy v abecedním pořadí, resp. číselném pořadí, v kladném smyslu obíhání(proti směru hodinových ručiček).(viz obr ) Obrázek 1.12 Pojem trojúhelník, který jsme zaváděli v předchozí podkapitole, je tedy možné chápatijako n-úhelníkpro n=3.kjižznámýmtřemdefinicímtrojúhelníka (průnik polorovin, sjednocení úseček, průnik konvexních úhlů) tak přibývá
19 Geometrie v rovině 2 19 definice čtvrtá: Nechť jsou dány nekolineární body A, B, C. Trojúhelníkem ABCnazvemesjednocenílomenéčáry ABCAajejívnitřníoblasti. Definice1.10.(Úhlopříčka n-úhelníka) Nechťjedán n-úhelník A 1 A 2... A n 1 A n.úhlopříčkou n-úhelníkanazvemekaždouúsečku,jejímižkrajnímibody jsou nesousední vrcholy daného n-úhelníka. Je zřejmé, že úhlopříčka n-úhelníka není vždy jeho podmnožinou. Dokázali bychom zobrazit několik n-úhelníků, jejichž všechny uhlopříčky podmnožinami daných n-úhelníků jsou a několik n-úhelníků, pro které to neplatí? Dokázali bychom formulovat závěr? Umíme zavést pojem n-úhelník, popsat jeho prvky(vrcholy, strany, vnitřní úhly, vnější úhly, úhlopříčky) a vše graficky znázornit. Chápeme souvislost mezi trojúhelníkem a obecným n-úhelníkem. Pro jistotu, že jsme pojmům dobře porozuměli, vyzkoušejme si vyřešit několik úloh. 1.Nechťjedán n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.kolikmátento n-úhelníkvrcholů, stran a úhlopříček? Řešení: Každý n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n má nvrcholů, nstrana n (n 3) 2 úhlopříček. Proč? Počet vrcholů a stran přímo vyplývá z definice n-úhelníka. Počet úhlopříček určíme takto: Vezmemevrchol A 1 aptámese,kolikúhlopříček n-úhelníkamákrajní bod právě v tomto vrcholu(resp. s kolika vrcholy n-úhelníka mohu vrchol A 1 spojittak,abysejednalooúhlopříčku).určitěnemůžemespojit vrcholsámsesebou(nebylabytoaniúsečka),adálejejnemůžemespojit se soudními dvěma vrcholy(jednalo by stranu n-úhelníka, nikoli o jeho úhlopříčku).tedycelkemnemůžemevrchol A 1 spojitsetřemivrcholy n-úhelníka. Tedy naopak existuje celkem n 3 vrcholů, se kterými můžemevrchol A 1 spojit,zbodu A 1 vedecelkem n 3úhlopříček. Vezmemedalšíbod A 2 aptámesestejně.zjistíme,žezbodu A 2 opět vedecelkem n 3úhlopříček(jepravda,žeúhlopříčku A 2 A 1 jsmejižzapočítalidopočtuúhlopříčekzbodu A 1,aletovyřešímenakonciúlohy). Uvažujemedále,zkaždéhoznvrcholů n-úhelníkamůžemevést n 3 úhlopříček.tojecelkem n (n 3)úhlopříček.Každouznichjsmezapo-
20 20 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník čítalidvakrát(jednoujako A k A l,podruhéjako A l A k ).Protojepotřeba součin n (n 3)dělitdvěma. Odpovídáme:Každý n-úhelníkmá n (n 3) 2 úhlopříček. 2. Bylo by možné definovat každý n-úhelník jako průnik polorovin? Pokud ano, pak vyslovte definici. Řešení: Ne, jako průnik polorovin lze definovat pouze některé n-úhelníky. Které? A jak bude znít jejich definice? Nechťjedáno nbodů A 1,A 2,...,A n 1,A n,znichžžádnétřisousedníneležívpřímce.zobrazmegrafickyprůnikpolorovin A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,..., A n 2 A n 1 A n.mohounastatdvapřípady(vizobrázek5.13).vprvním případě(viz obr. 5.13a) je průnikem polorovin opravdu n-úhelník, ve druhém(viz obr. 5.13b) nikoliv. Odpovídáme: Jako průnik polorovin je možné definovat pouze n-úhelník, který je konvexní(nekonvexní n-úhelníky takto definovat nelze). Znění definice n-úhelníka prozradíme níže. Obrázek Konvexní n-úhelník(mnohoúhelník). Definice 1.11.(Konvexní n-úhelník(mnohoúhelník)) Nechť je dáno n bodů A 1,A 2,..., A n 1,A n,znichžžádnétřisousedníneležívpřímce.konvexním n-úhelníkem(mnohoúhelníkem) A 1 A 2...A n 1 A n nazvemeprůnikpolorovin A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,...,A n 2 A n 1 A n,a n 1 A n A 1,A n A 1 A 2.
21 Geometrie v rovině 2 21 Poloroviny A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,...,A n 2 A n 1 A n senazývajíopěrnépoloroviny konvexního n-úhelníka(mnohoúhelníka). Definice 1.12.(Opěrná polorovina konvexního n-úhelníka) Nechť je dánkonvexní n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.opěrnoupolorovinoukonvexního n- úhelníka nazveme každou polorovinu, v níž daný n-úhelník leží a která má s tímto n-úhelníkem společnou právě jednu jeho stranu. Věta 1.7.(Kritérium konvexnosti n-úhelníka) N-úhelník je konvexní, právě když leží v jedné z polorovin určené kteroukoliv jeho stranou(opěrná polorovina). Pomocí pojmu opěrná polorovina můžeme definovat pojem vnitřní úhel konvexního n-úhelníka. Definice (Vnitřní úhel konvexního n-úhelníka) Nechť je dán konvexní n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.vnitřnímúhlemkonvexního n-úhelníka nazveme průnik opěrných polorovin jeho sousedních stran. Věta 1.8.(Kritérium konvexnosti n-úhelníka) N-úhelník je konvexní, právě když je každá jeho úhlopříčka jeho podmnožinou. Takto jsme odpovídali na otázku, zda jsou úhlopříčky každého n-úhelníka vždy jeho podmnožinami. Měli jsme říci, že nikoli. Všechny úhlopříčky jsou podmnožinami pouze v případě n-úhelníků konvexních. Samozřejmě, že o konvexnosti daného n-úhelníka můžeme rozhodnout i podle obecného kritéria konvexnosti množiny bodů. Věta 1.9.(Kritérium konvexnosti n-úhelníka) N-úhelník je konvexní, právě kdyžprokaždédvajehobody X,Y platí,žeúsečka XY jejehopodmnožinou. Umíme vymezit pojmy konvexní n-úhelník(definujeme jej jako průnik polorovin), opěrná polorovina konvexního n-úhelníka a známe další definici vnitřního úhlu konvexního n-úhelníka. Umíme bezpečně poznat, zda je daný n-úhelník konvexní, a to na základě tří různých kritérií. Můžeme nyní prověřit naše znalosti následujícími kontrolními úkoly. 1. Na obrázku 5.14 jsou znázorněny n-úhelníky.
22 22 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník a) U každého n-úhelníka zjistěte počet jeho úhlopříček a symbolicky je zapište. b) Určete, zda jsou zobrazené n-úhelníky konvexní. c) U každého konvexního n-úhelníka zjistěte počet jeho opěrných polorovin a daný n-úhelník zapište jako jejich průnik. Obrázek Rozhodněte o pravdivosti následujících výroků: a) Každý dvacetiúhelník má dvacet různých opěrných polorovin. b) Každý trojúhelník má tři různé opěrné poloroviny. c) Každý dvacetiúhelník je možné definovat jako průnik dvaceti konvexních úhlů. d) Každý trojúhelník je možné definovat jako průnik tří konvexních úhlů. e) Konvexní dvacetiúhelník má 170 úhlopříček. f) Nekonvexní dvacetiúhelník má 170 úhlopříček. g) Nekonvexní n-úhelník nemá žádné úhlopříčky. 3.Nechťjedánkonvexní n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.určetesoučetvelikostí všechjehovnitřníchúhlůpro n=3, n=4, n=5, n=6, n=20, n. Měli bychom odpovídat takto:
23 Geometrie v rovině a)a-žádnáúhlopříčka;b-2úhlopříčky-a 1 A 3,A 2 A 4 ;C-2úhlopříčky 5úhlopříček-A 1 A 3,A 1 A 4, A 2 A 4,A 2 A 5,A 3 A 5 ;F- n (n 1) 2 úhlopříček - A 1 A 3,A 1 A 4,...,A 1 A n 1,A 2 A 4, A 2 A 5,...,A 2 A n,...,a n 2 A n. - A 1 A 3,A 2 A 4 ;D-5úhlopříček-A 1 A 3,A 1 A 4,A 2 A 4,A 2 A 5,A 3 A 5 ;E- b)a-ano(každýtrojúhelníkjekonvexní),b-ne,c-ano,d- NE,E-ANO,F-ANO. c)a-trojúhelník A 1 A 2 A 3-3opěrnépoloroviny: A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 A 1 A 3 A 1 A 2 ;B-čtyřúhelník A 1 A 2 A 3 A 4-4opěrnépoloroviny: A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 A 4 A 3 A 4 A 1 A 4 A 1 A 2 ;D-n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n - n opěrných polorovin: A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 A 4 A 3 A 4 A 5... A n 1 A n A 1 A n A 1 A a) NE(jen konvexní, počet opěrných polorovin nekonvexního n-úhelníka jemenšínež n-vizdefiniceopěrnépoloroviny),b)ano,c)ne(jako průnik konvexních úhlů je možné definovat jen konvexní n-úhelníky), d) ANO, e) ANO, f) ANO(počet úhlopříček nekonvexního n-úhelníka stejnějakokonvexního n-úhelníkajemožnépočítámezevztahu n (n 3) 2 ), g) NE(viz předchozí úloha). 3. Úhlopříčky vycházející z jednoho vrcholu konvexního n-úhelníku rozdělí tento n-úhelník na n 2 trojúhelníky(viz obr. 5.15). Součet velikostí vnitřníchúhlůvtrojúhelníkujeúhelpřímý(180 ).Součetvnitřníchúhlů vkonvexním n-úhelníkujetedy(n 2) 180.Součetvelikostívnitřníchúhlůkonvexníhočtyřúhelníkaje(4 2) 180 =360,konvexního pětiúhelníka(5 2) 180 =540,konvexníhošestiúhelníka(6 2) 180 = 720,konvexníhodvacetiúhelníka(20 2) 180 =3240.Pronekonvexní n-úhelníky nelze tento vztah použít. Obrázek 1.15
24 24 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Pravidelný n-úhelník. Definice 1.14.(Pravidelný n-úhelník) Nechť je dán konvexní n-úhelník. Tento n-úhelník se nazývá pravidelný n-úhelník, právě když má shodné všechny strany a všechny vnitřní úhly. Pravidelný trojúhelník se nazývá rovnostranný trojúhelník, pravidelný čtyřúhelník se nazývá čtverec. Pro ostatní pravidelné n-úhelníky(tj. pro n 5) žádné speciální označení neexistuje.(viz obr ) Obrázek 1.16 Každému pravidelnému n-úhelníku lze opsat i vepsat kružnici. Popisujeme stejnějakovpřípadětrojúhelníka S O -středkružniceopsané, r-poloměr kružniceopsané, S V -středkružnicevepsané, ρ-poloměrkružnicevepsané. Ve středu kružnice pravidelnému n-úhelníku opsané leží jeho těžiště. Obrázek 1.17 Měli bychom umět do dané kružnice vepsat pravidelné n-úhelníky pro n = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12. Tedy rovnostranný trojúhelník, čtverec, pravidelný pětiúhelník, pravidelný šestiúhelník, pravidelný osmiúhelník, pravidelný devítiúhelník, pravidelný desetiúhelník, pravidelný dvanáctiúhelník. Měli bychom zvládnout přibližnou konstrukci libovolného pravidelného n-úhelníka. Protože je přitom potřeba využít pojmů, s nimiž se detailně seznámíme až v následujících kapitolách, zařadíme tuto část do kapitoly Kružnice, kruh. V tuto chvíli již známe pojem pravidelný n-úhelník, umíme uvést příklady pravidelných n-úhelníků. Víme, že nás v rámci kapitoly Kružnice, kruh čeká
25 Geometrie v rovině 2 25 konstrukce pravidelných n-úhelníků(jejich vepsání do kružnice). Prověříme, zda rozumíme všemu a správně tak, že odpovíme na následující otázky. 1) Je každý konvexní n-úhelník pravidelný? 2) Je každý pravidelný n-úhelník konvexní? 3) Je každý vnitřní úhel pravidelného n-úhelníka konvexní? 4) Má každý pravidelný n-úhelník shodné vnitřní úhly? 5)Nechťjedánkonvexní n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.určetevelikostjeho vnitřníhoúhlupro n=3, n=4, n=5, n=6, n=20, n. Měli bychom odpovídat: 1-NE,2-ANO,3-ANO,4-ANO,5-ukážemevýpočetvnitříhoúhlu v každém pravidelném n-úhelníku: Víme, že součet všech vnitřních úhlů v konvexním n-úhelníku vypočítáme ze vztahu(n 2) 180(n-úhelník jsme dělili jeho úhlopříčkami na n 2 trojúhelníky a sečetli jejich vnitřní úhly). Protože pravidelný n-úhelník má všechny vnitřní úhly navzájem shodné, stačí součet vnitřníchúhlůdělitjejichpočtem.počítámetedy (n 2) 180 n. Pro konkrétní n- úhelníky dostáváme následující výsledky: Rovnostrannýtrojúhelník:součetvnitřníchúhlů180,každýznich60. Čtverec:součetvnitřníchúhlů360,každýznich90. Pravidelnýpětiúhelník:součetvnitřníchúhlů540,každýznich108. Pravidelnýšestiúhelník:součetvnitřníchúhlů720,každýznich120. Pravidelnýdvacetiúhelník:součetvnitřníchúhlů3240,každýznich 162. Pro nepravidelné n-úhelníky nelze tento vztah použít Čtyřúhelník. Definice čtyřúhelníka by nám neměla dělat potíže, budeme aplikovat definici n-úhelníka.
26 26 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Definice 1.15.(Čtyřúhelník) Nechť je dána jednoduchá uzavřená lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 (A 4 = A 0 ).Čtyřúhelníkem A 1 A 2 A 3 A 4 nazvemesjednocení této lomené čáry a její vnitřní oblasti. Stejně tak můžeme aplikovat další části teorie o obecných n-úhelnících, tedy definice vrcholů, stran, vnitřních úhlů, vnějších úhlů a úhlopříček, grafické znázornění(popis vrcholů). Stejně jako obecné n-úhelníky můžeme i čtyřúhelníky rozdělit na konvexní a nekonvexní. V dalším textu se budeme zabývat konvexními čtyřúhelníky Konvexní čtyřúhelník. Definice konvexního čtyřúhelníka by nám neměla dělat potíže, budeme aplikovat definici konvexního n-úhelníka. Definice1.16.(Konvexníčtyřúhelník) Nechťjsoudánybody A 1,A 2,A 3, A 4, z nichž žádné tři sousední neleží v přímce. Konvexním čtyřúhelníkem A 1 A 2 A 3 A 4 nazvemeprůnikpolorovin A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,A 3 A 4 A 1,A 4 A 1 A 2. Poloroviny A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,A 3 A 4 A 1,A 4 A 1 A 2 senazývajíopěrnépoloroviny konvexního čtyřúhelníka. Zatímco každému trojúhelníku bylo možné opsat i vepsat kružnici, u čtyřúhelníků to neplatí. Podle toho, zda kružnici opsat resp. vepsat lze, zavádíme pojmy čtyřúhelníky tětivové, tečnové, dvojstředové. Definice 1.17.(Tětivový čtyřúhelník) Nechť je dán konvexní čtyřúhelník ABCD. Tento čtyřúhelník se nazývá tětivový čtyřúhelník, právě když mu lze opsat kružnici. Název tětivový proto, že strany čtyřúhelníka jsou tětivami kružnice tomuto čtyřúhelníku opsané. Definice 1.18.(Tečnový čtyřúhelník) Nechť je dán konvexní čtyřúhelník ABCD. Tento čtyřúhelník se nazývá tečnový čtyřúhelník, právě když mu lze vepsat kružnici. Název tečnový proto, že strany čtyřúhelníka leží v tečnách kružnice tomuto čtyřúhelníku vepsané. Definice 1.19.(Dvojstředový čtyřúhelník) Nechť je dán konvexní čtyř-
Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
VíceOmezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.
MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný
VícePLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
Více5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
Vícen =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram
4.5 Mnohoúhelníky Obrázek 28: Tangram Mnohoúhelník můžeme charakterizovat jako část roviny ohraničenou uzavřenou lomenou čarou (tj. čarou, která se skládá z na sebe navazujících úseček). Již víme, že rozlišujeme
Více1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině
1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
VíceÚsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.
Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.
VíceOpakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce
Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VíceÚvod. Cílová skupina: 2 Planimetrie
PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matemati ky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování
VíceTROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik
TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající
VícePLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ
PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky
VíceSyntetická geometrie II
Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD
VícePRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ
VíceKružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice
KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k
VíceGEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková
GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak
VíceObrázek 13: Plán starověké Alexandrie,
4 Geometrické útvary v rovině Obrázek 13: Plán starověké Alexandrie, https://commons.wikimedia.org Jestliže rovinu chápeme jako množinu bodů, potom uvažované geometrické útvary jsou jejími podmnožinami.
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceDIDAKTIKA MATEMATIKY
DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body
VícePLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
VíceTéma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
VíceSčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444
ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní
VíceVýukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné
VíceP L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
VíceTrojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011
MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován
Více( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
Více6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)
6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,
VíceStřední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné
VícePlanimetrie úvod, základní pojmy (teorie)
Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie
VícePLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04
PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek
VíceTrojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.
Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky
VíceM - Planimetrie pro studijní obory
M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
VíceZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky
VíceZákladní geometrické tvary
Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.
VíceGeometrie v rovině 1
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 1 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006 Obsah Úvod 5 1Přímkaajejíčásti 7 Klíčováslova...
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VícePřípravný kurz - Matematika
Přípravný kurz - Matematika Téma: Konstrukční úlohy Klíčová slova: rozbor, náčrt, popis, diskuse počtu řešení, kružnice opsaná a vepsaná Autor: trojúhelníku Mlynářová 12 19 9:02 Kontrukční úlohy Výsledkem
Více3.1.2 Polorovina, úhel
3.1.2 Polorovina, úhel Předpoklady: 3101 Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hranicí (hraniční přímkou). p Hraniční přímka patří do obou polorovin. ody, které neleží
VícePlanimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s.
Planimetrie Část matematiky, zabývající se studiem rovinných geometrických objekt (rovinná geometrie). bstrakcí z hmotných objektů vznikly základní geometrické pojmy bod přímka Bod Body označujeme velkými
VíceSHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky HODNÁ PODOBNÁ ZOBRZENÍ V ROVINĚ Pomocný učební text Petra Pirklová Liberec, září 2013
VíceM - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceSHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,
Více9. Planimetrie 1 bod
9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,
Vícez přímek a kružnic 35. Čtverec s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 2. Oblouk E-AB (F); 3. Přímky AF, BF a vzniklé průsečíky
ČTVERCE A KOSOčTVERCE z přímek a kružnic Jednoduché čtyřúhelníkové konstrukce se dají zvládnout snadno. Abyste sestrojili kružnici opsanou čtverci nebo obdélníku, nejprve zakreslete úhlopříčky a pak narýsujte
VíceProjekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA KVALITY Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/ EU PENÍZE ŠKOLÁM
ZÁKLDNÍ ŠKOL OLOMOU příspěvková organizace MOZRTOV 48, 779 00 OLOMOU tel.: 585 427 142, 775 116 442; fax: 585 422 713 email: kundrum@centrum.cz; www.zs-mozartova.cz Projekt: ŠKOL RDOSTI, ŠKOL KVLITY Registrační
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím
Více8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
VíceGEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
GEOMETRIE pracovní sešit pro 6. ročník Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Tato publikace byla vytvořena v souladu s RVP ZV v rámci projektu
VícePočítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek
Počítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek Cílem této přednášky je obohatit vaše znalosti z planimetrie o nové metody, založené na algebraickém přístupu. Nebudeme ovšem sáhodlouze upravovat obrovskévýrazy,jakbysemohlozdát.naopaksiukážemepříklady,vnichžnástrocha
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Čtyřúhelníky PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Diplomová práce. Katedra matematiky. Brno Vedoucí práce: RNDr. Růžena Blažková, CSc.
MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Čtyřúhelníky Diplomová práce Brno 2008 Vedoucí práce: RNDr. Růžena Blažková, CSc. Autor práce: Mgr. Marta Mrázová 1 Prohlášení Prohlašuji, že
VíceNěkolik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny
VíceGEODETICKÉ VÝPOČTY I.
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TROJÚHELNÍK PYTHAGOROVA VĚTA TROJÚHELNÍK Geodetické výpočty I. trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi
VícePLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ
PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky
VíceTémata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA
Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie B
Návody k domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechna osmimístná čísla taková, z nichž po vyškrtnutí některé čtveřice sousedních číslic dostaneme čtyřmístné číslo, které je 2 019krát menší. (Pavel
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
VíceMáme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.
8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceZáklady geometrie - planimetrie
Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme
VíceÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ...
O B C H O D N Í A K A D E M I E O R L O V Á M A T E M A T I K A I II Z Á K L A D Y G E O M E T R I E U Č E B N Í T E X T P R O D I S T A N Č N Í F O R M U V Z D Ě L Á V Á N Í E V A B A R T O Ň O V Á P
Více16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013
16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání
VícePlanimetrie pro studijní obory
Variace 1 Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Planimetrie Planimetrie
Více2) Přednáška trvala 80 minut a skončila v 17:35. Jirka na ni přišel v 16:20. Kolik úvodních minut přednášky Jirka
Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška
Více6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly
6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 7. ročník - 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6.1. Základní pojmy 6.1.1. n úhelník n - úhelník pro n > 2 je geometrický obrazec, který má n vrcholů ( stran,
VíceKonvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru
Konvexní útvary Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru In: Jan Vyšín (author): Konvexní útvary. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 49 55. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403505
VíceMgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku
Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Autor Mgr. Monika Urbancová Datum 28. 8. 2014 Ročník 6. ročník Vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vzdělávací obor MATEMATIKA
VíceUNIVERZITA KARLOVA V PRAZE
UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Pedagogická fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Výuka rovinné geometrie na středních školách Plane geometry teaching at secondary schools Autor: Bc. Lucie Machovcová
VíceTrojúhelník. Jan Kábrt
Trojúhelník Jan Kábrt Co se učívá ve školách Výšky, jejich průsečík ortocentrum O Těžnice, jejich průsečík těžiště T Osy stran, střed kružnice opsané S o Osy úhlů, střed kružnice vepsané S v Někdy ještě
VícePRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná
PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
VíceMATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci
MATEMATIKA Úloha o čtverci a přímkách ŠÁRKA GERGELITSOVÁ TOMÁŠ HOLAN Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci (například podobnosti)
VíceMATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
VíceFebruary 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace
Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název
Více66. ročníku MO (kategorie A, B, C)
Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené
Víceod zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem
Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.
VíceShodné zobrazení v rovině
Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů
VíceUžití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz
VíceZákladní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální
Vícep ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm
Úloha Je dán pravoúhlý trojúhelník ACD s pravým úhlem při vrcholu C, AC = 7,5 cm, CD =,5 cm. Na přímce CD určete bod B tak, aby AB = BD Řešení: Úlohu vyřešíme nejprve geometrickou konstrukcí. a) Z rozboru
VícePracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
VíceTest Zkušební přijímací zkoušky
Test Zkušební přijímací zkoušky 1. Vypočtěte: ( 10 1.5) ( 4 ).( 15). ( 5 6). Doplňte číslo do rámečku, aby platila rovnost:.1. 4 11 10. 8 16 6.. 49 7 1.. + 1. Proveďte početní operace:.1. 6x 4x ( 4x x)
VíceM - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl
6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,
VíceÚvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Úvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost Prima 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní
VíceMATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo
Více