3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE

Transkript

1 3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak je definována eponenciální a logaritmická rovnice a nerovnice a jaká je základní strategie jejich řešení. Klíčová slova této kapitoly: eponenciální a logaritmická rovnice a nerovnice. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,75 + 1,5 hodiny (teorie + řešení příkladů)

2 Eponenciální rovnice. Definice. Eponenciální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která obsahuje výraz s neznámou v eponentu kladného základu. Metoda řešení. Obecná metoda řešení neeistuje, záleží na konkrétním tvaru. Často je výhodný následující postup: f ( ) g( ) 1) Vhodnými úpravami rovnici převedeme na tvar a = a. f = g. ) Logaritmujeme rovnici při základu a, čímž dostaneme rovnici ( ) ( ) 3) Získanou rovnici vyřešíme. 4) Zkouškou a porovnáním s definičním oborem vyloučíme neplatné kořeny, vzniklé důsledkovými neekvivalentními úpravami. Uvedená metoda není, jak bylo již zmíněno, univerzálním návodem na všechny typy eponenciálních rovnic. Dá se však obecně říci, že postup řešení musí nutně v některém kroku obsahovat logaritmování. Řešený příklad 1. 1 Řešte rovnici 5 = 7. Řešení. Logaritmujeme obě strany rovnice např. přirozeným logaritmem (je možné samozřejmě použít logaritmus o libovolném základu): ( 1 ) ln5= ( ) ln7. Vzniklá rovnice je lineární ln 5 + ln 7 ln ( 5 7 ) ln 45 a jejím řešením je = = =. Vzniklý výraz již rozumně upravit ln 5 + ln 7 ln ( 5 7) nelze, maimálně jej můžeme převést na tvar log35 45, který je ale pro číselný výpočet méně vhodný. Proveďme ještě zkoušku, i když jsme použili pouze ekvivalentní úpravy a definičním oborem původních výrazů je množina všech reálných čísel. a tedy L ( ) ( ) ln 45 ln35 ln 45 / 45 ln 1/ 7 ln7 1 ln35 ln35 ln35 ln35 L = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = ln 7 ln 5 ln 7 ln 5 ln 7 = ( e ) = ep ln 5 = ep, ln 45 ln 45 ln35 ln( 45/35 ) ln( 1/ 5) ln5 ln5 ln35 ln35 ln35 ln 7 ln 7 ln P = = = = = = ( e ) = ep = P. Nalezený kořen Logaritmická rovnice. ln 45 = je platný. Definice. Logaritmickou rovnicí nazýváme takovou rovnici, která obsahuje výraz s neznámou v argumentu logaritmické funkce.

3 Metoda řešení. Obecná metoda řešení ani zde neeistuje, záleží na konkrétním tvaru. Často je výhodný následující postup: log f = log g. 1) Vhodnými úpravami rovnici převedeme na tvar a ( ) a ( ) ) Odlogaritmujeme rovnici při základu a, dostaneme rovnici f ( ) = g( ). 3) Získanou rovnici vyřešíme. 4) Zkouškou a porovnáním s definičním oborem vyloučíme neplatné kořeny, vzniklé důsledkovými neekvivalentními úpravami. Uvedená metoda není, jak bylo již zmíněno, univerzálním návodem na všechny typy logaritmických rovnic. Dá se však obecně říci, že postup řešení musí nutně v některém kroku obsahovat odlogaritmování (jinak řečeno aplikaci eponenciální funkce). Řešený příklad. log 13 + = 1. Řešte v R rovnici ( ) 4 Řešení. Pravou stranu upravíme ( 1 = log4 4 ) a celou rovnici odlogaritmujeme. Dostaneme lineární rovnici 13 + = 4, jejímž řešením je 9 L= log 13 9 = log 4 = 1 = P. =. Zkouška: ( ) 4 4 Eponenciální a logaritmické nerovnice. Definice. Eponenciální, resp. logaritmickou nerovnicí nazýváme takovou nerovnici, která obsahuje výraz s neznámou v eponentu, resp. logaritmu kladného základu. Metoda řešení. Eponenciální a logaritmické nerovnice řešíme obdobně jako rovnice, tzn. převedeme na vhodný tvar a zbavíme se eponenciální funkce, resp. logaritmu, logaritmováním, resp. odlogaritmováním. Výslednou nerovnici řešíme vhodnou metodou. Při logaritmování, resp. odlogaritmování, je ale nutné dávat pozor na znaménko nerovnosti, protože, jak už víme, eponenciála a logaritmus jsou rostoucí pro a > 1 a klesající pro 0 < a < 1. Proberme dva elementární obecné příklady: Řešený příklad 3. Řešte v R nerovnici a > b, kde a, b> 0, a 1. Řešení. Pro a > 1 je logaritmus rostoucí, proto a > b log a > log b > log b log b,. a a a a ( ) Pro 0 < a < 1 je logaritmus klesající, proto a > b log a < log b < log b, log b. ( ) a a a a Řešený příklad 4. Řešte v R nerovnici log > b a, kde, a > 0, a 1.

4 Řešení. Pro 1 log a > je eponenciála rostoucí, proto log b a a a b a b ( a b a, ) Pro 0 a 1 > > >. log < < je eponenciála klesající, proto log b a a a b a b ( 0, a b a ) > < <. Shrnutí kapitoly: Eponenciální rovnicí rozumíme rovnici s neznámou v eponentu kladného základu. Postup řešení závisí na konkrétním tvaru rovnice. Obecnou strategií řešení je připravit si úpravami výhodné logaritmování rovnice, což vede k převedení rovnice na jednodušší tvar. Logaritmickou rovnicí rozumíme rovnici s neznámou v logaritmu kladného základu. Postup řešení závisí i zde na konkrétním tvaru rovnice. Obecnou strategií řešení je připravit si úpravami výhodné odlogaritmování rovnice a převést tak rovnici na jednodušší tvar. U obou typů rovnic je nutné na závěr provést zkoušku. Eponenciální a logaritmické nerovnice definujeme i řešíme obdobně jako rovnice. Situace je ovšem komplikovanější v tom, že při úpravách nerovnice se znaménko nerovnosti může obracet. Zejména při logaritmování nebo odlogaritmování nerovnice je nutné uvážit, jakou hodnotu má základ a zda je příslušná logaritmická nebo eponenciální funkce rostoucí nebo klesající. Otázky: Jak je definována eponenciální rovnice? Jakou strategií se řeší? Jak je definována logaritmická rovnice? Jakou strategií se řeší? Jak jsou definovány eponenciální a logaritmické nerovnice? Jak se řeší a na co je třeba dávat zvláště pozor?

5 Příklad 1. Řešte v R eponenciální rovnici: a) b) c) d) e) 56 0, 5 = ; = 0 ; = 100 ; = 4 ; = 405 ; = 0 ; f) ( ) g) h) = ; 3( 1) 1 + 0,15 = 1. Příklad. Řešte v R logaritmickou rovnici: a) ( ) ( ) b) log log = ; log log log 5 + = ; log 3+ 1 = log 3 ; c) ( ) ( ) d) 3 3 log log log log log 1 + = + ; e) log 3( log ) 1 = ; f) ( ) ( ) ( ) g) h) i) log + 3 log 1 = 1 log + 1 log ; log 3 = 79 ; 0,1+ 0,log = ; log log = 1; j) log3log4log5 = 0. Řešení příkladů: 1a) { 3 }; 1b) { 1, }; 1c) a). {} h) { 100 }; i) { } 3 ; b) { } 5 log log 40 ; 1d) { 1 } ; 1e) { 3 } ; 1f) { 3,5 } ; 1g) { 1, 7 } ; c) {} 10 ; j) { 4 } ; 1h) { } 4 ; d) { 0,001 }; e) { 1000, 1 10 }; f) { }; g) { } 100 ;

6 Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]