Rojová optimalizace v Matlabu

Transkript

1 Rojová optimalizace v Matlabu hledání ideální (fraktální) antény Miloslav Čapek K13117, B2-819

2 Obsah přednášky Fraktály definice, příklady, typy fraktálů a jejich popis editor IFS fraktálů v Matlabu: IFSMaker IFS motiv jako patchová anténa Numerické a heuristické (evoluční) metody Particle swarm optimalizace princip, chování hejna PSO parametry, nástroj PSOptimizer, postprocessing Zobecnění vstupu do optimalizátoru Jednokriteriální vs. multikriteriální optimalizace Testovací funkce (Levy, Corana, Rosenbrock a další) Ukázky použití, výsledky I. II. IFS kandidáti, kriteriální funkce (CM řešený pomocí FEM) Nastavení optimalizačních mezí (IFSLimiter), start optimalizace Výsledky, plánovaná rozšíření Reference, diskuze III.

3 Fraktály pokus o definici B.B.Mandelbrot (1) topologická dimenze fraktální dimenzi (2) Fraktál je objekt, jehož geometrická struktura se opakuje v něm samém; dělí se na soběpodobné a soběpříbuzné. fraktální charakter nemusí být vždy zcela zřejmý (dynamické atraktory atp.) hodnocení tvaru (fraktální nebo euklidovský) závisí na přiblížení - viz delta řeky 2/46

4 a několik příkladů Příklady: Listy, kůra stromů, řečiště, větvení stromů Chování ekonomiky (Elliottovy vlny), výskyt (a velikost povodní), rušení na telefonní lince (Cantorovo discontinuum) Počasí (Lorenzův atraktor), kapání vody z kohoutku, fibrilace srdečních komor (zdvojnásobování periody) 3/46

5 Topologická x Hausdorffova dimenze D t {0 bod, 1 křivka, 2 povrch, 3 prostor R 3, } D h je obecně kladné reálné číslo objekt D h [-] jedním z prvních, kdo intuitivně využil dimenze D h byl Richardson s měřením obvodu Korsiky Pobřeží Povrch mozku člověka Povrch neerodovaných skal Sierpinského trojúhelník Obvod 2D průmětu mraku *) ~1.26 ~2.76 ~ ~1.33 výpočet na bázi sledování změn struktury podél délky a měřítka Box-counting metoda 4/46

6 Teorie míry mřížková dimenze vnější (a vnitřní) míra μ: systém se σ-algebrou i i1 i1 A A A A i i i1 i1 ε-pokrytí: uvažujeme max. velikost množin, které pokrýváme diam = velikost obalu pro objekty množiny i Hausdorffova míra Hausdorffova dimenze 5/46

7 Metoda box-counting: výpočet D h podstatou je zmenšování měřítka (až k nule) výsledkem je mřížková dimenze D b podle charakteru zdrojového objektu je potom buďto změna měřítka D h log N 1 log změna počtu elementů hodnota D b resp. D h koresponduje s členitostí útvaru 6/46

8 Metoda box-counting: příklady N1 16 N2 52 N log N D h 1 log D b _ sierp D h _ orig log10164 log log 28 log 10 log log nástroj boxcount: D b _ it D b _ it 2 D b _ it3 7/46

9 Fraktály: základní rozdělení příkazy + iterace > gramatika o L systémy deterministický chaos, systém zpravidla popsán dif. rovnicemi > atraktory o IFS fraktály o dynamické systémy o nepravidelné fraktály při tvorbě využíváme náhodných čísel body, transformace, iterace > dláždění deterministický f. stochastický f. deterministický s. stochastický s. Brownův pohyb střední bod spektrální syntéza 8/46

10 Lindenmayerovy (L-) systémy syntetické fraktály fixní gramatika (stanovená před výpočtem) úvodní řetězec: inicializátor G = (V,S,,P) Př.1: Cantorovo mračno Znaky: A, B Konstanty: žádné Start: A Pravidla: (A ABA), (B BBB) n = 0 n = 1 n = 2 A ABA ABABBBABA Př.2: Fibonaccioho čísla Znaky: A, B Konstanty: žádné Start: A Pravidla: (A B), (B AB) n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 A B AB BAB ABBAB BABABBAB ABBABBABABBAB > 1,1,2,3,5,8,13,21,34 9/46

11 IFS fraktály syntetický původ, deterministické x stochastické pomocí zvolených (afinních) transformací dlaždíme objekt X IFS potenciální antény: TVAR? (~ jaké parametry PSO) w( X ) m i1 x ( w) w ( X ), i X AW B R n mřížková dimenze fraktální dimenze pozoruhodné vlastnosti (obvod vs. obsah vs. objem apod.) 10/46

12 IFS fraktály afinní transformace: posun bodu o vzdálenost [p x p y ] změna měřítka M s horizontální změna měřítka M x vertikální změna měřítka M y horizontální zešikmení S x vertikální zešikmení S y rotace kolem počátku o úhel α x w y new new a c rotace b x d y změna měřítka old old e f posun 1.iterace 3.iterace 11/46

13 Dynamické fraktály počáteční podmínky + popis soustavou (diferenciálních) rovnic některé dynamické systémy nedivergují, ani se neustalují zpravidla fraktální dynamika, užil se termín deterministický chaos atraktor dynamického systému: stav, do něhož systém směřuje krom jiných (bodový, periodický, chaotický) tzv. podivný atraktor bifurkační graf (zdvojování periody, růst populace) Lorenzův atraktor 12/46

14 Nepravidelné fraktály (pseudo)náhodná čísla - koeficienty, pozice atp. roli může hrát pravděpodobnost Brownův pohyb půlení vzdálenosti spektrální syntéza (Fourierovy obrazy, jejich inverze je fraktál) z principu stochastický přístup 13/46

15 Generátor fraktálů (IFSMaker) Intuitivní, velice rychlá generace základní objekt (body) trasformace počet iterací (omezeno) export, další operace FRC struktura FRC.base FRC.tran FRC.iter FRC.type 14/46

16 IFSMaker FRC.base = [ ]; FRC.tran = [ FRC.iter = [3 3 3]; FRC.type = pntstrns ; ]; 15/46

17 Vytvořené fraktály 16/46

18 Hegel, Pascal 17/46

19 Evoluční optimalizace Jak je možné, že hejna relativně primitivních jedinců vykazují nesmírně komplexní chování? GA, PSO, ACO, neuronové sítě optimalizovaná funkce hledané minimum f ( x min ) f ( x) pro x D hledané minimum n-dim. proměnné za podmínky: množina přípustných řešení (solution space v PSO) f : D 18/46

20 Particle swarm optimization (PSO) r (Kennedy, Eberhart) roje včel, hejna ryb a ptáků silně kolektivní chování celý koncept vychází z modelu chování, který navrhl Reynolds: všichni členové hejna ~ agenti definované 3 operace: separace (agent hledá prázdné místo v s.s.) uspořádanost (agent se natáčí do směru, kterým se pohybují ostatní agenti) spojitost (agent hledá v okolním prostoru místo, které průměru pozici okolních sousedů) J.Kennedy R.Eberhart 19/46

21 Koncept PSO Kennedy a Eberhart upravili předchozí model následovně: zavádějí tzv. roost všichni agenti jsou přitahování k/do roostu zavedena paměť agenta pamatuje si, kde byl nejblíže roostu každý agent sdílí informaci o svém největším přiblížení k roostu s (původně všemi) ostatními agenty Avšak jak zajistit pohyb agentů do minima (neznámé) funkce? 20/46

22 Matematický popis rojení částic konvergence (lokální minima, kvalita řešení) dostatečná diverzita agentů váhovací faktor poznávací koef. rand() (0,1) v wv rychlost agenta c r minimum agenta n n ( pid id ) c2r2 sociální koef. ( p n1 n n n n n id id 1 1 gd id aktuální poloha agenta minimum celého roje ) stará pozice nová pozice v = 1 n1 n n1 id id t id nová rychlost absorbční zeď odrazná zeď neviditelná zeď omezení rychlosti 21/46

23 Parametry PSO počet agentů: doporučení počet agentů = dimenze x počet iterací: závisí na složitosti funkce, v řádu stovek pro hodnocení výsledků je nutné průměrovat více cyklů (typicky 25 nebo 50) hodnocení efektivity optimalizace je obecně složité (NFL, fit.f., kritéria: sucess rate vs. best minimum) vhodné nastavení všech parametrů optimalizace optimalizace (metaoptimalizace) zásadní je způsob omezení agentů v s.s. (zdi) a topologie váhovací koeficient w může být vytknut před závorku 22/46

24 Topologie komunikace mezi jednotlivými agenty lze ovlivnit rychlost, jakou jsou transportovány informace napříč hejnem (1) plně propojená topologie (fully connected) (2) čtvercová topologie (squared topology) (3) kruhová topologie (ring topology) (4) hvězda (star topology) (5) strom (tree topology) (6) a další... (dynamic neighborhood,...) 23/46

25 Testovací funkce napovídají o efektivitě optimalizace (+ nastavení) velkou roli hraje dimenze problému a metodika měření Rosenbrockovo sedlo Rastrigrinova funkce funkce Levy3 funkce Levy5 24/46

26 Testovací funkce 4. de Jongova funkce Mastersova cosinová funkce Ackleyho II. funkce stretched sin wave Schwefelova funkce Griewangkova funkce Ranova funkce 25/46

27 Aplikace PSOptimizer využívá rojení částic (PSO) s neviditelnou ohraničující zdí plně náhodná generace vektorů r 1 a r 2 plně propojená topologie agentů, nastavitelné c 1 a c 2 váhovací faktor w klesá lineárně z 0.9 do 0.4 Př.: funkce Levy5 Rozsah s.s.: <-10 x 10> (x,y) Dimenze: 2 (x,y) Iterací: 50 (na obr. 150) Agentů: 20 (na obr. 30) Glob.min.: <x,y>: <-1.307,-1.425> + MOPSO Matlab toolbox? PsoData_Levy5. data1 = [2 2] data2 = [] data3 = [] rank = 2 type = psopt cond = {[1 1 1] [1 1 2]} bound = {[-10 10] [-10 10]} f l5 ( x, y) ( icos(( i 1) x i)) ( j cos(( j 1) y j)) ( x ) ( y ) i1 j1 26/46

28 Universalita PSOptimizeru universální vstup (m-file jako f.f.) neomezený počet dimenzí PsoData.data1.data2.data3.cond.bound. ~ FRC.base = [x 1 y 1 ;x 2 y 2 ; ]; ~ FRC.tran = [a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 ; ]; ~ FRC.iter = [total from to]; ~ {[1 1 2],[2 1 3;2 1 6]} ~ {[10 15],[ ]} PSOptimizer fitness funkce function fval = mfileexmp(sg,in) % sg = eval ; in.data1, in.data2, in.data3 % zdrojový kód % % fval ~ hodnota fitness funkce results. ResTb = PSOptimizer(PsoData, mfileexmp, 25, 175) PSO input data fitness function agents iteration 27/46

29 PSOptimizer: pseudokód 28/46

30 Postprocessing nástroj PSOPost pohyb hejna je názorný omezení jen na dim = 2 29/46

31 Vliv parametrů, výsledky Levy5 kvadrat.fce. 30/46

32 Vliv parametrů, výsledky Levy5 Rosenbrock 31/46

33 Rozšíření PSO SPSO: stretched PSO GSO: kombinace genetického algoritmu (GA) a rojení částic (PSO) MOPSO: Multiobjective PSO decision & objective space úkolem je nalezení Paretovo hranice (obecně hyperplochy) nutný vyšší level abstrakce M.Lepš: Moderní metody optimalizace, FsV 32/46

34 MOPSO M.Lepš: Moderní metody optimalizace, FsV 33/46

35 Optimalizace IFS patch antén Motivace: optimalizace antény vzhledem k f r (pracovní frekvenci), vyzařovacímu diagramu atd. výhodné vlastnosti fraktálních antén modální řešení IFS skvělé na optimalizace (zejm. se spřažením ) nutná spolupráce všech bloků, ošetření všech vyjímek Postup: (1) generace antény podle výsledků it-1 (2) úprava geometrie, fyziky, ošetření vyjímek (3) CM solver (Comsol, FEM) (4) úprava výsledků, jejich návrat do optimalizátoru 34/46

36 Cavity model = dutinový model anténu považujeme za 2D rezonátor aproximace E z 0, H z 0 ; for z 0, z h, H n 0, En 0 ; ( t n z, n boundary of antenna. x 2 k ) E 0 kde t y 2 numerický výpočet vlastních čísel rezonanční frekvence potom: f n c 0 2 2, 0. 2 n kn r 35/46

37 Optimalizace IFS patch antén IFSLimiter zadávání podmínek (+check, sweep) EvalInFem (obecný problém) 36/46

38 Optimalizace obdélníku a FRC_A 37/46

39 Optimalizace FRC_B a FRC_C 38/46

40 Výsledky zatím nutná kontrola komerčním softwarem pracujeme na teorii charakteristických modů pracujeme na multikriteriální optimalizaci (MOPSO) 39/46

41 1. problém: určení vnější normály Můžeme integrovat plošný proud nebo proud na hranách. Výpočet na hranách je výrazně rychlejší: hledáme vnější normála +z / -z L z nv ( c)... dc hodnota pole na hraně Problém zejm. s děravými objekty obtížné určení směru vnější normály. 40/46

42 2. problém: operace nad polygony Existuje algoritmus, který umožňuje vyřadit duplicitní body? Balík na práci s polygony (Booleovské operace, ) 41/46

43 3. problém: vyzařování fraktálních obj. Fraktální charakter zásadním způsobem mění způsob disipace energie. Lze tvrdit, že fraktálové antény mají z hlediska vyzařování optimální TVAR? (Sapoval stanovil hypotézu, že pobřeží má fraktální charakter z důvodu ideálního tlumení dopadající vlny). Matematicky i fyzikálně velice komplexní problém (viz Sapoval, Berry a další) 42/46

44 IFS+PSO+CM v Matlabu (1) 43/46

45 IFS+PSO+CM v Matlabu (2) 44/46

46 Reference Tým: Ing. Miloslav Čapek (student Ph.D. etapy 1.rok) Ing. Pavel Hazdra, Ph.D (školitel specialista) Ing. Pavel Hamouz (student Ph.D etapy 3.rok) Prof. Ing. Miloš Mazánek, CSc. (školitel) - všichni z katedry elektromagnetického pole (K13117) Podpora: prezentovaná témata budou částí dizertační práce, součást většího celku (Širokopásmové a multipásmové antény) doktorský grant (DG 13117/13/08005) SGS grant (SGS ) aplikace využívá diplomant (katedra elmag. pole) 45/46

47 Literatura Publikační činnost: Čapek, M., Hazdra, P.: PSO optimalizace v Matlabu, TCP 2008 Čapek, M.: PSO optimalization of IFS fractal patch antennas, Poster 2009 Čapek, M.: Rojová optimalizace v Matlabu, Rektorysova soutěž 2009 Čapek, M.: Design of IGS Patch Antennas Using Particle Swarm Optimization, EuCAP 2010 Hazdra, P., Čapek, M.: IFS Tool for Fractal Microstrip Patch Antenna Analysis, COMITE, 2008 Další: Hazdra, P., Čapek, M., Kraček, J.: Optimization Tool for Fractal Patches Based on the IFS Algorithm, EuCAP 2009 Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. W.H.Freeman,1982 James Kennedy, Russell Eberhart: Particle Swarm Optimization. In Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks,pages , USA, IEEE Press. Constantine A.Balanis: Antenna Theory: Analysis and Design. 2nd ed., USA, John Wiley J. R. James, P. S. Hall: Handbook of Microstrip Antennas vol.1. London, Peter Peregrinus M. V. Berry: Distribution of Modes in Fractal Resonators. University of Bristol, Bristol Jacob Robinson, Yahya Rahmat-Samii: Particle Swarm Optimization in Electromagnetics. IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. 52, No. 2, pp , February 2004 K. E.Parsopoulos, M. N.Vrahatis: Recent approaches to global optimization problems through Particle Swarm Optimization. Natural Computing, pp , /46

48 Děkuji za pozornost