Nelineární systémy a teorie chaosu

Transkript

1 Martin Duspiva KOIF2-2007/2008

2 Definice Lineární systém splňuje podmínky linearita: f (x + y) = f (x) + f (y) aditivita: f (αx) = αf (x) Každý systém, který nesplňuje jednu z předchozích podmínek nazveme nelineární. Příklady x 5 x + 1 = 0 u x + u2 = 0

3 Definice Problém nelineárních odr je nemožnost hledat řešení jako kombinace předchozích řešení. (princip superpozice) Analytické metody řešení nelineárních ode. Rovnice prvního řádu - separace proměnných Řešení rovnic vyšších řádů často v implicitním tvaru i s integrály (close soloution) Konkrétní postupy použitím zákonů zachování linearizace Taylorův rozvoj bifukrační teorie (rozvětvení) poruchová teorie Analytické metody řešení nelineárních pde. Transformace proměnných, převod na soustavu ode, scale theory

4 Definice Problém nelineárních odr je nemožnost hledat řešení jako kombinace předchozích řešení. (princip superpozice) Analytické metody řešení nelineárních ode. Rovnice prvního řádu - separace proměnných Řešení rovnic vyšších řádů často v implicitním tvaru i s integrály (close soloution) Konkrétní postupy použitím zákonů zachování linearizace Taylorův rozvoj bifukrační teorie (rozvětvení) poruchová teorie Analytické metody řešení nelineárních pde. Transformace proměnných, převod na soustavu ode, scale theory

5 Příklady nelineárních diferenciálních rovnic Definice Boltzmanova transportní rovnice: f t + f p x m + f p F = f t coll Navier-Stokesova ( ) rovnice: v ρ t + v v = p + T + f Benjamin-Bona-Mahonyho rovnice (proudění kapalin): u t + u x + uu x + u xxt = 0

6 Lineární systémy Atraktory Aplikace, příklady Popisuje chování nelineárních dynamických systémů, které jsou velmi citlivé na počáteční podmínky. (Dvě blízké trajektorie se postupem času rozbíhají exponenciálně.) Chování systému se jeví jako náhodné, i přesto že je zcela deterministické Systém se chová stejně, jen pokud jeho počáteční konfigurace stejná. (efekt motýlích křídel)

7 Atraktory Lineární systémy Atraktory Aplikace, příklady Definice Pokud popisujeme systém pomocí fázového diagramu, pak trajektorie (bod), ve které systém končí nazveme atraktor. Typy atraktorů bodový atraktor: Pohyb ustane, často spojeno s disipací energie. eliptické cykly: Periodický pohyb. podivné atraktory: chaotický pohyb, fraktály složité detailní struktury.

8 Atraktory - příklady Lineární systémy Atraktory Aplikace, příklady Lorenzův atraktor Nelineární 3. dimenzionální dynamický systém dx dt dy dt dz dt = σ(y x) = x(r z) y = xy bz Pro jistou množinu hodnot parametrů σ, r, b vykazuje chaotické chování, atraktor je fraktál s Hausdorfovou dimenzí mezi 2 a 3. Systém vzniká v laserech, dynamech a specifických vodních kolech.

9 Lorenzův atraktor

10 Aplikace, příklady Lineární systémy Atraktory Aplikace, příklady příklady chaotických systémů dvojité kyvadlo biliard aplikace Herónova mapa Chuasův elektrický obvod matematika, biologie, ekonomie, finance, psychologie, růst populace úspěšná aplikace v ekologii: Rickerův model, ukázka růstu populace v medicíně: studium epilepsie

11 WWW Knihy Filmy en.wikipedia.org - online skripta, matematický základ - univerzita Maryland, katedra teorie chaosu Alligood, K. T. (1997). Chaos: an introduction to dynamical systems. Springer-Verlag New York Gollub, J. P.; Baker, G. L. (1996). Chaotic dynamics. Cambridge University Press. π - Darren Aronowsky (1998) The Butterfly Effect - Eric Bress (2004)