Tento text se snaží být takovým atlasem elementárních funkcí podobně jako atlas hub, ptáků či květin.

Transkript

1 A T L A S F U N K C Í Každý absolvent(ka) gynázia či střední odborné školy zaěřené na techniku by si ěl(a) do života po aturitě odnést povědoí o eleentárních funkcích, jejich seznau a vlastností jednotlivých druhů. Měl(a) by uět bez zaváhání načrtnout jejich graf a pokud u(jí) je předložen graf okažitě poznat, o kterou eleentární funkci jde. Tento tet se snaží být takový atlase eleentárních funkcí podobně jako atlas hub, ptáků či květin. Eleentární funkce lze rozdělit do několika skupin: Polynoické konstantní lineární (příá úěra) kvadratická polynoická Racionální loené reciproká (nepříá úěra) lineární loená racionální loená Mocninné ocninná Eponenciální eponenciální logaritická Gonioetrické sinus kosinus tangent kotangent Ostatní absolutní hodnota signu celá část desetinná část

2 K O N S T A N T N Í F U N K C E název: konstantní funkce předpis: y = k zařazení: patří do skupiny polynoických funkcí definiční obor: celá nožina reálných čísel R obor hodnot: jednoprvková nožina {k} graf: křivka: příka rovnoběžná s osou asyptoty: neá funkce inverzní: konstantní funkce není prostá, funkce inverzní neeistuje derivace: y = užití: poznáka: protože grafe je příka - linea, je konstantní funkce zahrnována pod funkce lineární zvláštní případ: funkce y = se nazývá nulová, grafe je osa

3 L I N E Á R N Í F U N K C E název: lineární funkce (příá úěra) předpis: y = k + q, k zařazení: patří do skupiny polynoických funkcí definiční obor: celá nožina reálných čísel R obor hodnot: celá nožina reálných čísel R graf: sklon příky k ose určuje znaénko koeficientu k křivka: příka asyptoty: neá funkce inverzní: lineární funkce je prostá, funkce inverzní je opět lineární y k q k derivace: y = k užití: veli pestré; lze říci, když nevíe jak na to, použijee lineární funkci; lineární interpolace; všude ta, kde jsou jevy spolu svázány přío úěrně poznáka: a) grafe je příka - linea, odtud název; b) z důvodu podobnosti grafu k ní bývá připojena také konstantní funkce jako součást c) žádná lineární funkce neá za graf příku rovnoběžnou s osou y zvláštní případ:

4 3 K V A D R A T I C K Á F U N K C E název: kvadratická funkce předpis: y a b c, a zařazení: patří do skupiny polynoických funkcí definiční obor: celá nožina reálných čísel R obor hodnot: pro a> interval 4ac b 4a graf: sěr otevření určuje znaénko koeficientu a, ), pro a< interval (, 4 ac b 4a křivka: parabola asyptoty: neá funkce inverzní: kvadratická funkce není prostá derivace: y = a + b užití: veli pestré; spolu s lineární funkcí je kvadratická funkce nuericky i logicky dostupná široké veřejnosti b poznáka: v bodě á funkce etré; pro a> iniu a pro a< aiu a zvláštní případ:

5 4 P O L Y N O M I C K Á F U N K C E název: polynoická funkce stupně n n n n předpis: y an an an... a a a, a, a, a,... a, a, a R zařazení: patří do skupiny polynoických funkcí definiční obor: celá nožina reálných čísel R obor hodnot: pro lichý stupeň celé R, pro sudý stupeň nelze obecně říci graf: příliš individuální křivka: příka, parabola, další nejsou pojenovány asyptoty: neá n n n funkce inverzní: polynoická funkce obecně není prostá; záleží na konkrétní zadání n n n 3 derivace: y na ( n ) a ( n ) a... a a n užití: kroě příého zadání se používá k aproiaci jiných funkcí poznáka: zvláštní případ: některé stupně ají zvláštní pojenování n= konstantní n= lineární n= kvadratická n=3 kubická n=4 bikvadratická n n

6 5 R E C I P R O K Á F U N K C E název: reciproká funkce (nepříá úěra) předpis: y k, k zařazení: patří do skupiny racionálních loených funkcí definiční obor: celá nožina reálných čísel R, kroě obor hodnot: celá nožina reálných čísel R, kroě graf: tvar křivky závisí na znaénku koeficientu k křivka: rovnoosá hyperbola asyptoty: á dvě asyptoty, které jsou totožné se souřadnýi osai a y funkce inverzní: reciproká funkce je prostá, funkce inverzní je táž reciproká funkce k y k derivace: y užití: veli časté; všude ta, kde jsou jevy spolu svázány nepřío úěrně poznáka: reciproká funkce je zvláštní případe funkce lineární loené zvláštní případ:

7 6 L I N E Á R N Í L O M E N Á F U N K CE název: lineární loená funkce předpis: y a b a b c d, c, c d ad bc zařazení: patří do skupiny racionálních loených funkcí definiční obor: nožina reálných čísel R\{-d/c} obor hodnot: nožina reálných čísel R\{a/c} graf: tvar křivky závisí na znaénku deterinantu křivka: rovnoosá hyperbola asyptoty: á dvě asyptoty rovnoběžné se souřadnýi osai a y: příka rovnoběžná s osou y a protínající osu v bodě -d/c. příka rovnoběžná s osou a protínající osu y v bodě a/c. funkce inverzní: lineární loená funkce je prostá, funkce inverzní je též lineární loená funkce d b y c a derivace: y ( c d) užití: veli časté; všude ta, kde jsou jevy spolu svázány nepřío úěrně s počáteční a b a K konstantou K, kde K dostanee rozklade y, c d c c d K c poznáka: zvláštní případ: reciproká funkce, kde a=d=, c=, b=k a tedy k

8 7 R A C I O N Á L N Í L O M E N Á F U NKCE název: racionální loená funkce stupně n/ předpis: y n n a n a n... a a, b b... b b a, a, a,... a, a, a, b, b, b,... b, b, b R n n n zařazení: patří do skupiny racionálních loených funkcí definiční obor: nožina reálných čísel R, kroě reálných kořenů rovnice obor hodnot: nelze obecně říci b b b... b b b graf: příliš individuální křivka: hyperbola, další není pojenováno asyptoty: á rovnoběžné asyptoty s osou y a v kořenech rovnice b b b... b b b Je-li n<, pak jednou asyptotou je osa. Jsou-li n=, pak á jednu asyptotu rovnoběžnou s osou a protínající osu y v bodě a y b. Platí-li n=+, pak á jednu šikou asyptotu. funkce inverzní: racionální loená funkce není obecně prostá, funkce inverzní obecně neeistuje derivace: nutno použít pravidel pro derivování na konkrétní případ užití: poznáka: zvláštní případ: některé stupně ají zvláštní pojenování n=, = reciproká n=, = lineární loená

9 8 M O C N I N N Á F U N K C E název: ocninná funkce s reálný eponente předpis: y t, R, t R zařazení: definiční obor: nožina kladných reálných čísel R obor hodnot: nožina kladných reálných čísel R graf: všiněte si, jak eponent t ovlivňuje tvar křivky křivka: asyptoty: pro t< jsou souřadné osy asyptotai, jinak neá funkce inverzní: ocninná je prostá, funkce inverzní je též ocninná funkce y t t derivace: y t t užití: veli časté hlavně v ekonoii a fyzice poznáka: ocninná funkce á varianty podle hodnot jichž ůže nabývat eponent; srovnejte s funkcí eponenciální zvláštní případ: grafy všech ocninných funkcí procházejí bode [; ]

10 9 E X P O N E N C I Á L N Í F U N K C E název: eponenciální funkce o základu z předpis: y z, z>, z zařazení: patří do skupiny eponenciálních funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: nožina kladných reálných čísel R graf: křivka: eponenciela asyptoty: á jednu asyptotu, kterou je osa funkce inverzní: eponenciální funkce je prostá, funkcí inverzní je logaritická funkce o základu z y log derivace: y z ln z, speciální případ pro z=e: ( e ) užití: veli časté v ekonoii, fyzice a astronoii poznáka: každou eponenciální funkci o základu z lze převést na eponenciální funkci o ln z základu e - Eulerovo číslo: y z e zvláštní případ: pro z=e je derivace funkce rovna stejné funkci grafy všech eponenciálních funkcí procházejí bode [; ] z e

11 L O G A R I T M I C K Á F U N K C E název: logaritická funkce o základu z předpis: y log, z>, z z zařazení: patří do skupiny eponenciálních funkcí definiční obor: nožina kladných reálných čísel R obor hodnot: nožina všech reálných čísel R graf: grafy logaritické funkce a eponenciální funkce jsou zrcadlové podle osy. a 3. kvadrantu křivka: eponenciela (někdy se uvádí logaritická křivka) asyptoty: á jednu asyptotu, kterou je osa y funkce inverzní: logaritická funkce je prostá, funkcí inverzní je eponenciální funkce o základu z derivace: y ln z y z, speciální případ pro z=e: (ln ) užití: veli časté v ekonoii, fyzice a astronoii poznáka: funkce dekadického a přirozeného logaritu je vydávána v tabulkách; logaritus převádí násobení na sčítání, ocnění na násobení; byl to nástroj, který poohl Keplerovi s výpočte pohybu planet a zforulování jeho pohybových zákonů každou logaritickou funkci o základu z lze převést na logaritickou funkci o základu e - ln Eulerovo číslo: y log z ln z zvláštní případ: některé základy ají zvláštní pojenování z= dekadický logaritus y=log z = e přirozený logaritus y=ln grafy všech logaritických funkcí procházejí bode [; ]

12 F U N K C E S I N U S název: sinus předpis: y = sin zařazení: patří do skupiny gonioetrických funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: interval <-; > graf: křivka: sinusoida asyptoty: neá funkce inverzní: funkce sinus není prostá derivace: y = cos užití: veli časté v trigonoetrii, fyzice a astronoii poznáka: kroě rovinné trigonoetrie je také sférická trigonoetrie zvláštní případ:

13 F U N K C E K O S I N U S název: kosinus předpis: y = cos zařazení: patří do skupiny gonioetrických funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: interval <-; > graf: grafy funkce sinus a kosinus jsou stejné jen posunuté o / křivka: sinusoida asyptoty: neá funkce inverzní: funkce kosinus není prostá derivace: y = - sin užití: veli časté v trigonoetrii, fyzice a astronoii poznáka: kroě rovinné trigonoetrie je také sférická trigonoetrie zvláštní případ:

14 3 F U N K C E T A N G E N T název: tangent předpis: y = tg zařazení: patří do skupiny gonioetrických funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R kroě všech lichých násobků čísla / obor hodnot: nožina všech reálných čísel R graf: křivka: tangentoida asyptoty: nekonečně noho rovnoběžných s osou y protínající osu v lichých násobcích čísla / funkce inverzní: funkce tangent není prostá derivace: y cos užití: v trigonoetrii, fyzice a astronoii poznáka: kroě rovinné trigonoetrie je také sférická trigonoetrie zvláštní případ:

15 4 F U N K C E K O T A N G E N T název: kotangent předpis: y = cotg zařazení: patří do skupiny gonioetrických funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R kroě všech sudých násobků čísla / (všech násobku ) obor hodnot: nožina všech reálných čísel R graf: křivka: tangentoida asyptoty: nekonečně noho rovnoběžných s osou y protínající osu v sudých násobcích čísla / funkce inverzní: funkce kotangent není prostá derivace: y sin užití: v trigonoetrii, fyzice a astronoii poznáka: kroě rovinné trigonoetrie je také sférická trigonoetrie zvláštní případ:

16 5 F U N K C E A B S O L U T N Í H O D N O T A název: absolutní hodnota předpis: y = zařazení: patří do skupiny speciálních funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: nožina všech nezáporných reálných čísel R graf: křivka: asyptoty: neá funkce inverzní: funkce absolutní hodnota není prostá derivace: y neeist. pro pro pro užití: v ateatice a ekonoii poznáka: v bodě nula á funkce bod zvratu zvláštní případ: platí vztah = sgn() a také = sgn()

17 6 F U N K C E S I G N U M název: signu (znaénko) pro předpis: y sgn zařazení: patří do skupiny speciálních funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: tříbodová nožina {-; ; } graf: křivka: asyptoty: neá funkce inverzní: funkce signu není prostá derivace: y = pro, pro = neeistuje užití: v ateatice a ekonoii poznáka: v bodě nula je funkce nespojitá zvláštní případ: platí vztah = sgn() a také = sgn()

18 7 F U N K C E C E L Á Č Á S T název: celá část předpis: y = [], každéu reálnéu číslu je přiřazeno nejbližší nižší celé číslo zařazení: patří do skupiny speciálních funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: nožina všech celých čísel graf: křivka: asyptoty: neá funkce inverzní: funkce celá část není prostá derivace: y = pro Z, pro Z neeistuje užití: v ateatice a ekonoii Mateatické zaokrouhlování na celá čísla je dáno vzorce: y = [ +,5] V zákoně o dani z příjů se praví, že základ daně se zaokrouhlí na tisíce korun nahoru; odpovídající vzorec á tvar y = [/ +,999] poznáka: v každé celočíselné bodě je funkce nespojitá zvláštní případ: platí vztah = [] + {}

19 8 F U N K C E D E S E T I N N Á Č Á S T název: desetinná část předpis: y = {}, každéu reálnéu číslu je přiřazena jeho desetinná část zařazení: patří do skupiny speciálních funkcí definiční obor: nožina všech reálných čísel R obor hodnot: interval <; ) graf: křivka: asyptoty: neá funkce inverzní: funkce desetinná část není prostá derivace: y = pro Z, pro Z neeistuje užití: v ateatice a ekonoii poznáka: v každé celočíselné bodě je funkce nespojitá funkce je periodická s periodou zvláštní případ: platí vztah = [] + {}