7.3. Diferenciální rovnice II. řádu
|
|
- Daniel Šimek
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Diferenciální rovnice 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme zabývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficienty Obecný tvar: ay + ay + a0 y = Q( ) kde a 0 a a0 jsou reálné konstanty Dělíme je do dvou typů: zkrácená pro Q ( ) : ay + ay + a0y úplná pro Q ( ) 0: ay + ay + a0 y = Q( ) Řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu se zabýval švýcarský matematik Leonhard Euler 7 Zkrácená rovnice a y a y a y Euler zjistil že řešení má tvar y = e kde r je konstanta zvaná charakteristický kořen Pro derivace platí y = re y = r e Dosadíme do zadání are + are + ae 0 vytkneme e e ( ar + ar+ a0) Protože e 0 musí platit ar + ar + a0 (6) Rovnice (6) se nazývá charakteristická rovnice lineární diferenciální rovnice II řádu Je to kvadratická rovnice pro neznámou r Můžeme ji snadno odvodit přímo ze zadání jestliže 0 do zadání místo y dosadíme r místo y dosadíme r = r a místo y dosadíme r = Řešení zkrácené rovnice závisí na tom jaká jsou charakteristické kořeny r: a) r r reálné různé charakteristické kořeny fundamentální systém řešení tvoří složky ( ) y = y = e ( ) y = y = e obecné řešení má tvar y = Ce + C e (A) 0 b) r = r = r reálný dvojnásobný charakteristický kořen fundamentální systém řešení tvoří složky ( ) y = y = e ( ) y = y = e obecné řešení má tvar y0 = Ce + C e (B) c) r = a± bi kompleně sdružené charakteristické kořeny fundamentální systém řešení tvoří složky ( ) y = y = e cos b ( ) y = y = e sin b obecné řešení má tvar y0 = e ( Ccosb+ Csin b) (C) Poznámka: Aby složky y = y ( ) a y = y ( ) tvořily fundamentální systém řešení musí být funkce y = y ( ) a y = y ( ) lineárně nezávislé O lineární nezávislosti funkcí rozhodneme pomocí Wronského determinantu (Wronskiánu): y( ) y( ) W( ) = y ( ) y ( ) pro W ( ) 0: y ( ) y ( ) lineárně nezávislé pro W ( ) : y ( ) y ( ) lineárně závislé
2 Diferenciální rovnice Příklad 7: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y y + y Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r r+ rozložíme na součin lineárních činitelů ( r )( r ) r = r = (nebo vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) a podle (A) napíšeme obecné řešení: y = Ce + C e 0 Příklad 74: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y 4y + 4y Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r+ 4 upravíme podle vzorce a ab+ b = ( a b) ( r ) r = (nebo vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) a podle (B) napíšeme obecné řešení: y = Ce + C e 0 Příklad 75: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y 4y Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r vytkneme r rr ( 4) r r = 4 a podle (A) napíšeme obecné řešení: 4 y0 = Ce + Ce Příklad 76: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y + 4y 4 0 y = C + C e Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r + 4 upravíme r = 4 r = ± i (nebo vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) Porovnáním s (C) zjistíme a b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: 0 y = e ( C cos+ C sin ) y0 = Ccos + Csin Příklad 77: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y 4y + 5y Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r+ 5 vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu 4 ± ( 4) 45 4± 4 4± i r = = = = ± i Porovnáním s (C) zjistíme a= b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: y0 = e ( Ccos+ Csin ) 0 y = e ( C cos+ C sin ) 7 Úplná rovnice ay + ay + a0 y = Q( ) Obecné řešení úplné rovnice má tvar (7) kde y 0 je řešení příslušné zkrácené rovnice ay + ay + a0y ŷ je partikulární integrál příslušný pravé straně Q ( ) Úplnou rovnici řešíme:
3 Diferenciální rovnice Lagrangeovou metodou variace konstant (univerzální metoda použitelná pro každou lineární diferenciální rovnici) metodou neurčitých koeficientů (metoda použitelná pouze v případě speciálních tvarů pravé strany Q) ( ) Lagrangeova metoda variace konstant Princip metody je analogický řešení lineární diferenciální rovnice I řádu Proto si pouze ukážeme na konkrétním příkladu nejjednodušší algoritmus řešení Příklad 78: Vyřešte diferenciální rovnici: y + 9y = Řešení: I Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici: y + 9y napíšeme charakteristickou rovnici r + 9 r = 9 r = ± i porovnáním s (C) zjistíme a b= fundamentální systém řešení tvoří složky y = e y = e sin a podle (C) napíšeme obecné řešení zkrácené rovnice: y0 = C+ Csin (8) II Metoda variace konstant C = C( ) C = C( ) tedy C Cjsou funkce proměnné Vypočítáme Wronskián y( ) y( ) sin W( ) = = = cos + sin = (cos + sin ) = 0 y ( ) y ( ) sin Ve Wronskiánu nahradíme (Cramerovo pravidlo) první sloupec sloupcem sin sin Q ( ) = a vytvoříme tak determinant W ( ) = = a Ve Wronskiánu analogicky nahradíme druhý sloupec sloupcem Q ( ) = a vytvoříme tak determinant W ( ) = = = sin a Konstanty C C vypočítáme podle vztahů: sin W ( ) cos sin sin ( ) C = d = d d d ln K W( ) = = = + 9 W ( ) C( ) = d = d K W( ) = + III Dosazením do obecného řešení zkrácené rovnice (8) za C C získáme obecné řešení úplné rovnice: y = ( ln cos + K)cos + ( + K)sin 9 y = K+ Ksin+ ln + sin 9
4 Diferenciální rovnice 4 Metoda neurčitých koeficientů Metodu můžeme použít pouze v případě těchto speciálních tvarů pravé strany Q: ( ) α) Q ( ) = e (eponenciální funkce) β) Q ( ) = Pn ( ) (polynom stupně n) γ) Q ( ) = cosbnebo sin b (goniometrické funkce) δ) kombinace α β γ Partikulární integrál ŷ příslušný pravé straně Q ( ) vytvoříme podle následující tabulky: Pravá strana Q ( ) Charakteristický kořen r zkrácené rovnice ay + ay + a0y Partikulární integrál ŷ Pn ( ) r k násobný k R n ( ) r 0 Rn ( ) e r = a k násobný r a k A e Ae cosb sin b Pn ( ) e cosb Pn ( ) e sinb r =± ib ( Acosb+ Bsin b) r ± ib Acosb+ Bsin b r = a± ib e ( Rn( )cos b+ Sn( )sin b) r a± ib e ( Rn( )cos b+ Sn( )sin b) Pn ( ) n Rn ( ) Sn( ) jsou polynomy stupně n ( A0 + A + A + + An ) Výpočet touto metodou si ukážeme opět na příkladu Příklad 79: Vyřešte diferenciální rovnici y + y + y = Q( ) Řešení: I Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici: y + y + y napíšeme charakteristickou rovnici r + r+ ( r+ )( r+ ) r = r = fundamentální systém řešení tvoří lineárně nezávislé složky y = e y = e a podle (A) napíšeme obecné řešení zkrácené rovnice: y0 = Ce + Ce II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto zkrácenou rovnici volit různé pravé strany ( ) Q a k nim vytvářet podle tabulky příslušný partikulární integrál
5 Diferenciální rovnice 5 α) Pro Qα ( ) = 4e řešíme rovnici Mocnitel na pravé straně rovnice vypočítáme derivace y + y + y = 4e = a = a r y = Ae y = Ae y = 4Ae a dosadíme do zadání α): 4Ae + Ae + Ae = 4e vykrátíme e 0 a sečteme A = 4 A = y = e III α) Dosazením do (7) získáme obecné řešení úplné rovnice: yα = Ce + Ce + e II β) Pro Qβ ( ) = 4e řešíme rovnici y + y + y = 4e Mocnitel na pravé straně rovnice = a = = r ( k = ) y = Ae vypočítáme derivace y = Ae Ae y = Ae Ae + 4Ae = 4Ae 4Ae a dosadíme do zadání β): 4Ae 4Ae + ( Ae Ae ) + Ae = 4e Členy s e se vyruší vykrátíme y = 4e III β) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: 4 yβ = Ce + C e e e 0 a sečteme A = 4 A = 4 II γ) Pro Qγ ( ) = 4 řešíme rovnici y + y + y = 4 Na pravé straně rovnice je polynom stupně a r 0 y = A + B + C vypočítáme derivace y = A+ B y = A a dosadíme do zadání γ): A + ( A + B) + ( A + B + C) = 4 upravíme: A + (6A + B) + (A + B + C) = 4 porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin : u : A= 4 A= u :6A+ B B= A= = 6 0 u : A+ B+ C = C = A B= ( 6) = C = 6 y = 6+ 6 III γ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: yγ = Ce + Ce II δ) Pro Qδ ( ) sin řešíme rovnici y + y + y sin Na pravé straně rovnice je funkce sin a b= r 0± i y = Acos + Bsin
6 Diferenciální rovnice 6 vypočítáme derivace: y = Asin + Bcos y = 4Acos 4Bsin a dosadíme do zadání δ): ( 4Acos 4Bsin ) + ( Asin+ Bcos ) + ( Acos+ Bsin ) sin upravíme: cos ( A+ 6 B) + sin ( 6A B) sin porovnáme koeficienty u jednotlivých funkcí: u cos : A+ 6B A= B u sin : 6A B 6B B B= A= y = cos sin III δ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: yδ = Ce + Ce cos sin Příklad 70: Vyřešte diferenciální rovnici y + y = Q( ) Řešení: I Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici: y + y napíšeme charakteristickou rovnici fundamentální systém řešení tvoří lineárně nezávislé složky a podle (A) napíšeme obecné řešení zkrácené rovnice: r + r rr+ ( ) r = r y = e y = e = 0 y = Ce + C = Ce + C II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto zkrácenou rovnici opět volit různé pravé strany Q ( ) a k nim vytvářet partikulární integrál podle výše uvedené tabulky: ε) Pro Qε ( ) = e řešíme rovnici Mocnitel na pravé straně rovnice vypočítáme derivace: a dosadíme do zadání ε): vykrátíme y + y = e = a = a r y = Ae y = Ae y = 9Ae 9Ae + Ae = e e 0 a sečteme 5A = III ε)dosazením do (7) získáme obecné řešení: yε = Ce + C + e 5 A = 5 II φ) Zvolme Qϕ ( ) = 4 řešíme rovnici y + y = 4 Na pravé straně rovnice je polynom stupně a protože r y = ( A+ B) = A + B vypočítáme derivace: y = A + B y = A a dosadíme do zadání φ): A+ ( A+ B) = 4 upravíme: 4 A + (A + B) = 4 porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin : u : 4A= 4 A= 0 u :A+ B B= A= ŷ = y = e 5
7 Diferenciální rovnice 7 III φ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: y = Ce + C + ϕ II σ) Pro Qσ ( ) = 8cos 4 řešíme rovnici y + y = 8cos4 Na pravé straně rovnice je funkce cos 4 a b= 4 r 0 ± 4i y = Acos 4+ Bsin 4 vypočítáme derivace: y = 4Asin4+ 4Bcos4 y = 6Acos4 6Bsin4 a dosadíme do zadání σ): ( 6A cos 4 6Bsin 4 ) + ( 4Asin 4+ 4Bcos 4 ) = 8cos 4 upravíme: cos 4 ( 6A+ 8 B) + sin 4 ( 8A 6 B) = 8cos 4 porovnáme koeficienty u jednotlivých funkcí: u sin 4 : 8A 6B A= B u cos 4 : 6A+ 8B= 8 6( B) + 8B= 8 B= A= 5 5 y = cos 4+ sin III σ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: yσ = Ce + C cos 4+ sin Příklad 7: Vyřešte diferenciální rovnici y + 4 y = Q( ) Řešení: I Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici: y + 4y napíšeme charakteristickou rovnici r + 4 r = 4 r =± i a b= fundamentální systém řešení tvoří lineárně nezávislé složky y = cos y = sin a podle (C) napíšeme obecné řešení zkrácené rovnice: y0 = Ccos + Csin II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto zkrácenou rovnici opět volit různé pravé strany Q ( ) a k nim vytvářet partikulární integrál ς) Pro Qς ( ) = 4e řešíme rovnici Mocnitel na pravé straně rovnice vypočítáme derivace: a dosadíme do zadání ς): vykrátíme e 0 a sečteme: 8A = y + y = e = a = a r y = Ae y = Ae y = 4Ae 4Ae + 4Ae = 4e A = y III ς) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: yς = Ccos + Csin + e = e
8 Diferenciální rovnice 8 II ξ ) Pro Q ξ = řešíme rovnici y + 4y = Na pravé straně rovnice je polynom 0 stupně (konstanta) a protože r 0 y = A vypočítáme derivace y y a dosadíme do zadání ξ ): 0+ 4A= A= y = III ξ ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: yξ = Ccos + Csin Příklad 7: Určete tvar partikulárního integrálu pro rovnici y + 4y + = Q( ) je-li a) e Q ( ) = b) Q ( ) = c) Q ( ) = sin d) Q ( ) = sin e) Q ( ) = e Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu ± ± ± + 4r i r = = = r = ± i Porovnáním s (C) zjistíme a= b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: 0 y = e ( C + C sin ) a) Pro e Q ( ) = řešíme rovnici y + 4y + y = e Mocnitel na pravé straně rovnice = a = a r y = Ae b) Pro Q ( ) = řešíme rovnici y + 4y + y = Na pravé straně rovnice je polynom stupně a protože r 0 ŷ = A + B + C + D c) Pro Q ( ) = sinřešíme rovnici y + 4y + y = sin Na pravé straně rovnice je funkce sin a b= r 0 ± i y = A+ Bsin d) Pro Q ( ) = sin cos řešíme rovnici y + 4y + y = sin Na pravé straně rovnice je funkce sin a b= r 0± i y = A+ Bsin
9 Diferenciální rovnice 9 e) Pro Q ( ) = e řešíme rovnici Na pravé straně rovnice je funkce r = a± bi= ± i y + 4y + y = e e a= b= y = e ( A+ Bsin ) Příklad 7: Určete tvar partikulárního integrálu pro rovnici y + 5 y = Q( ) je-li a) b) 5 ( ) = e Q e Q ( ) = c) Q ( ) = d) Q ( ) = cos Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r + 5r vytkneme r rr+ ( 5) r r = 5 a podle (A) napíšeme obecné řešení: y = Ce + C e y = C + C e 0 0 a) Pro b) Pro 5 ( ) e Q = řešíme rovnici 5 5 y + y = e Mocnitel na pravé straně rovnice = a= a r e Q ( ) = řešíme rovnici y + 5y = e Mocnitel na pravé straně rovnice = a = 5 a = r y = Ae y = Ae c) Pro Q ( ) = řešíme rovnici y + 5y = Na pravé straně rovnice je polynom stupně a protože r y = ( A + B + D) d) Pro Q ( ) = cos řešíme rovnici y + 5y = cos Na pravé straně rovnice je funkce cos a b= 5 r 0 + 5i y = Acos+ Bsin
Diferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 7 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležitou částí matematické analý protože umožňují řešit mimo jiné celou řadu úloh fik a technické prae Při řešení
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
Diferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
Obyčejné diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH
9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
9.4. Rovnice se speciální pravou stranou
Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta
9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními
pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
6.3. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty
H VRBENSKÁ J BĚLOHLÁVKOVÁ 63 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s onstantními oeficienty 631 Definice Definice Lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s onstantními oeficienty nazýváme rovnici
Diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
6. Lineární ODR n-tého řádu
6. Lineární ODR n-tého řádu A. Obecná homogenní LODRn V předcházející kapitole jsme diferenciální rovnici (libovolného řádu) nazvali lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci y a
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
1 Diference a diferenční rovnice
1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou
Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
Kapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.7/1.5./34.5 Šablona: III/ Přírodovědné předměty
Goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u
rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
DMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok.
DMA Přednáška Rekurentní rovnice Rekurentní rovnice či rekurzivní rovnice pro posloupnost {a n } je vztah a n+1 = G(a n, a n 1,..., a n m ), n n 0 + m, kde G je nějaká funkce m + 1 proměnných. Jejím řešením
Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
Elementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Obyčejné diferenciální rovnice
1 Obyčejné diferenciální rovnice Příklad 0.1 (Motivační). Rychlost chladnutí hmotného bodu je přímo úměrná rozdílu jeho teploty minus teploty okolí. Předpokládejme teplotu bodu 30 o C v čase t = 0 a čase
A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)
A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení..
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE
INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
Integrální počet funkcí jedné proměnné
Integrální počet funkcí jedné proměnné V diferenciálním počtu jsme určovali derivaci funkce jedné proměnné a pomocí ní vyšetřovali řadu vlastností této funkce. Pro připomenutí: derivace má uplatnění tam,
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1
Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,
Rovnice v oboru komplexních čísel
Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a
12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy
12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)
Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a
Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1
Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové
SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Pro různé situace se hodí různé metody (výpočtu!). Jak již bylo několikrát zdůrazněno,
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Analytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Matematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
Lineární diferenciální rovnice n tého řádu
Kapitola 2 Lineární diferenciální rovnice n tého řádu 2.1 Cauchyova úloha pro lineární rovnici n tého řádu Klíčová slova: obyčejná lineární diferenciální rovnice n tého řádu, rovnice s konstantními koeficienty,
y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti
Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika. Navazuje
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice
KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice Požadované dovednosti: Řešení lineárních rovnic a nerovnic Řešení kvadratických rovnic Řešení rovnic s odmocninou Řešení rovnic s parametrem Řešení rovnic s absolutní
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Limita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika.
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
Limita ve vlastním bodě
Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické funkce Autor: Ondráčková
Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Mathematical Assistant on Web
Mathematical Assistant on Web Robert Mařík Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Mathematical Asistant on Web MAW) Jak se rodila myšlenka na vytvoření aplikace Vláda ČR a EU podporují celoživotní
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
Matematická analýza 2 1
Matematická analýza 2 Obsah Diferenciální rovnice 3. Motivace....................... 3.2 Diferenciální rovnice. řádu............ 3.3 Metody řešení diferenciálních rovnic. řádu... 7.3. Ortogonální systémy
4. Lineární diferenciální rovnice rovnice 1. ádu
4. Lineární diferenciální rovnice rovnice. ádu y + p( ) y = (4.) L[ y] = y + p( ) y p q jsou spojité na I = (ab) a < b. Z obecné teorie vyplývá že množina všech ešení rovnice (4.) na intervalu I (tzv.
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:
Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální
Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................
Základy matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních