7.3. Diferenciální rovnice II. řádu

Transkript

1 Diferenciální rovnice 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme zabývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficienty Obecný tvar: ay + ay + a0 y = Q( ) kde a 0 a a0 jsou reálné konstanty Dělíme je do dvou typů: zkrácená pro Q ( ) : ay + ay + a0y úplná pro Q ( ) 0: ay + ay + a0 y = Q( ) Řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu se zabýval švýcarský matematik Leonhard Euler 7 Zkrácená rovnice a y a y a y Euler zjistil že řešení má tvar y = e kde r je konstanta zvaná charakteristický kořen Pro derivace platí y = re y = r e Dosadíme do zadání are + are + ae 0 vytkneme e e ( ar + ar+ a0) Protože e 0 musí platit ar + ar + a0 (6) Rovnice (6) se nazývá charakteristická rovnice lineární diferenciální rovnice II řádu Je to kvadratická rovnice pro neznámou r Můžeme ji snadno odvodit přímo ze zadání jestliže 0 do zadání místo y dosadíme r místo y dosadíme r = r a místo y dosadíme r = Řešení zkrácené rovnice závisí na tom jaká jsou charakteristické kořeny r: a) r r reálné různé charakteristické kořeny fundamentální systém řešení tvoří složky ( ) y = y = e ( ) y = y = e obecné řešení má tvar y = Ce + C e (A) 0 b) r = r = r reálný dvojnásobný charakteristický kořen fundamentální systém řešení tvoří složky ( ) y = y = e ( ) y = y = e obecné řešení má tvar y0 = Ce + C e (B) c) r = a± bi kompleně sdružené charakteristické kořeny fundamentální systém řešení tvoří složky ( ) y = y = e cos b ( ) y = y = e sin b obecné řešení má tvar y0 = e ( Ccosb+ Csin b) (C) Poznámka: Aby složky y = y ( ) a y = y ( ) tvořily fundamentální systém řešení musí být funkce y = y ( ) a y = y ( ) lineárně nezávislé O lineární nezávislosti funkcí rozhodneme pomocí Wronského determinantu (Wronskiánu): y( ) y( ) W( ) = y ( ) y ( ) pro W ( ) 0: y ( ) y ( ) lineárně nezávislé pro W ( ) : y ( ) y ( ) lineárně závislé

2 Diferenciální rovnice Příklad 7: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y y + y Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r r+ rozložíme na součin lineárních činitelů ( r )( r ) r = r = (nebo vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) a podle (A) napíšeme obecné řešení: y = Ce + C e 0 Příklad 74: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y 4y + 4y Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r+ 4 upravíme podle vzorce a ab+ b = ( a b) ( r ) r = (nebo vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) a podle (B) napíšeme obecné řešení: y = Ce + C e 0 Příklad 75: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y 4y Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r vytkneme r rr ( 4) r r = 4 a podle (A) napíšeme obecné řešení: 4 y0 = Ce + Ce Příklad 76: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y + 4y 4 0 y = C + C e Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r + 4 upravíme r = 4 r = ± i (nebo vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu) Porovnáním s (C) zjistíme a b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: 0 y = e ( C cos+ C sin ) y0 = Ccos + Csin Příklad 77: Vyřešte zkrácenou lineární diferenciální rovnici y 4y + 5y Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r 4r+ 5 vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu 4 ± ( 4) 45 4± 4 4± i r = = = = ± i Porovnáním s (C) zjistíme a= b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: y0 = e ( Ccos+ Csin ) 0 y = e ( C cos+ C sin ) 7 Úplná rovnice ay + ay + a0 y = Q( ) Obecné řešení úplné rovnice má tvar (7) kde y 0 je řešení příslušné zkrácené rovnice ay + ay + a0y ŷ je partikulární integrál příslušný pravé straně Q ( ) Úplnou rovnici řešíme:

3 Diferenciální rovnice Lagrangeovou metodou variace konstant (univerzální metoda použitelná pro každou lineární diferenciální rovnici) metodou neurčitých koeficientů (metoda použitelná pouze v případě speciálních tvarů pravé strany Q) ( ) Lagrangeova metoda variace konstant Princip metody je analogický řešení lineární diferenciální rovnice I řádu Proto si pouze ukážeme na konkrétním příkladu nejjednodušší algoritmus řešení Příklad 78: Vyřešte diferenciální rovnici: y + 9y = Řešení: I Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici: y + 9y napíšeme charakteristickou rovnici r + 9 r = 9 r = ± i porovnáním s (C) zjistíme a b= fundamentální systém řešení tvoří složky y = e y = e sin a podle (C) napíšeme obecné řešení zkrácené rovnice: y0 = C+ Csin (8) II Metoda variace konstant C = C( ) C = C( ) tedy C Cjsou funkce proměnné Vypočítáme Wronskián y( ) y( ) sin W( ) = = = cos + sin = (cos + sin ) = 0 y ( ) y ( ) sin Ve Wronskiánu nahradíme (Cramerovo pravidlo) první sloupec sloupcem sin sin Q ( ) = a vytvoříme tak determinant W ( ) = = a Ve Wronskiánu analogicky nahradíme druhý sloupec sloupcem Q ( ) = a vytvoříme tak determinant W ( ) = = = sin a Konstanty C C vypočítáme podle vztahů: sin W ( ) cos sin sin ( ) C = d = d d d ln K W( ) = = = + 9 W ( ) C( ) = d = d K W( ) = + III Dosazením do obecného řešení zkrácené rovnice (8) za C C získáme obecné řešení úplné rovnice: y = ( ln cos + K)cos + ( + K)sin 9 y = K+ Ksin+ ln + sin 9

4 Diferenciální rovnice 4 Metoda neurčitých koeficientů Metodu můžeme použít pouze v případě těchto speciálních tvarů pravé strany Q: ( ) α) Q ( ) = e (eponenciální funkce) β) Q ( ) = Pn ( ) (polynom stupně n) γ) Q ( ) = cosbnebo sin b (goniometrické funkce) δ) kombinace α β γ Partikulární integrál ŷ příslušný pravé straně Q ( ) vytvoříme podle následující tabulky: Pravá strana Q ( ) Charakteristický kořen r zkrácené rovnice ay + ay + a0y Partikulární integrál ŷ Pn ( ) r k násobný k R n ( ) r 0 Rn ( ) e r = a k násobný r a k A e Ae cosb sin b Pn ( ) e cosb Pn ( ) e sinb r =± ib ( Acosb+ Bsin b) r ± ib Acosb+ Bsin b r = a± ib e ( Rn( )cos b+ Sn( )sin b) r a± ib e ( Rn( )cos b+ Sn( )sin b) Pn ( ) n Rn ( ) Sn( ) jsou polynomy stupně n ( A0 + A + A + + An ) Výpočet touto metodou si ukážeme opět na příkladu Příklad 79: Vyřešte diferenciální rovnici y + y + y = Q( ) Řešení: I Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici: y + y + y napíšeme charakteristickou rovnici r + r+ ( r+ )( r+ ) r = r = fundamentální systém řešení tvoří lineárně nezávislé složky y = e y = e a podle (A) napíšeme obecné řešení zkrácené rovnice: y0 = Ce + Ce II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto zkrácenou rovnici volit různé pravé strany ( ) Q a k nim vytvářet podle tabulky příslušný partikulární integrál

5 Diferenciální rovnice 5 α) Pro Qα ( ) = 4e řešíme rovnici Mocnitel na pravé straně rovnice vypočítáme derivace y + y + y = 4e = a = a r y = Ae y = Ae y = 4Ae a dosadíme do zadání α): 4Ae + Ae + Ae = 4e vykrátíme e 0 a sečteme A = 4 A = y = e III α) Dosazením do (7) získáme obecné řešení úplné rovnice: yα = Ce + Ce + e II β) Pro Qβ ( ) = 4e řešíme rovnici y + y + y = 4e Mocnitel na pravé straně rovnice = a = = r ( k = ) y = Ae vypočítáme derivace y = Ae Ae y = Ae Ae + 4Ae = 4Ae 4Ae a dosadíme do zadání β): 4Ae 4Ae + ( Ae Ae ) + Ae = 4e Členy s e se vyruší vykrátíme y = 4e III β) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: 4 yβ = Ce + C e e e 0 a sečteme A = 4 A = 4 II γ) Pro Qγ ( ) = 4 řešíme rovnici y + y + y = 4 Na pravé straně rovnice je polynom stupně a r 0 y = A + B + C vypočítáme derivace y = A+ B y = A a dosadíme do zadání γ): A + ( A + B) + ( A + B + C) = 4 upravíme: A + (6A + B) + (A + B + C) = 4 porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin : u : A= 4 A= u :6A+ B B= A= = 6 0 u : A+ B+ C = C = A B= ( 6) = C = 6 y = 6+ 6 III γ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: yγ = Ce + Ce II δ) Pro Qδ ( ) sin řešíme rovnici y + y + y sin Na pravé straně rovnice je funkce sin a b= r 0± i y = Acos + Bsin

6 Diferenciální rovnice 6 vypočítáme derivace: y = Asin + Bcos y = 4Acos 4Bsin a dosadíme do zadání δ): ( 4Acos 4Bsin ) + ( Asin+ Bcos ) + ( Acos+ Bsin ) sin upravíme: cos ( A+ 6 B) + sin ( 6A B) sin porovnáme koeficienty u jednotlivých funkcí: u cos : A+ 6B A= B u sin : 6A B 6B B B= A= y = cos sin III δ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: yδ = Ce + Ce cos sin Příklad 70: Vyřešte diferenciální rovnici y + y = Q( ) Řešení: I Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici: y + y napíšeme charakteristickou rovnici fundamentální systém řešení tvoří lineárně nezávislé složky a podle (A) napíšeme obecné řešení zkrácené rovnice: r + r rr+ ( ) r = r y = e y = e = 0 y = Ce + C = Ce + C II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto zkrácenou rovnici opět volit různé pravé strany Q ( ) a k nim vytvářet partikulární integrál podle výše uvedené tabulky: ε) Pro Qε ( ) = e řešíme rovnici Mocnitel na pravé straně rovnice vypočítáme derivace: a dosadíme do zadání ε): vykrátíme y + y = e = a = a r y = Ae y = Ae y = 9Ae 9Ae + Ae = e e 0 a sečteme 5A = III ε)dosazením do (7) získáme obecné řešení: yε = Ce + C + e 5 A = 5 II φ) Zvolme Qϕ ( ) = 4 řešíme rovnici y + y = 4 Na pravé straně rovnice je polynom stupně a protože r y = ( A+ B) = A + B vypočítáme derivace: y = A + B y = A a dosadíme do zadání φ): A+ ( A+ B) = 4 upravíme: 4 A + (A + B) = 4 porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin : u : 4A= 4 A= 0 u :A+ B B= A= ŷ = y = e 5

7 Diferenciální rovnice 7 III φ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: y = Ce + C + ϕ II σ) Pro Qσ ( ) = 8cos 4 řešíme rovnici y + y = 8cos4 Na pravé straně rovnice je funkce cos 4 a b= 4 r 0 ± 4i y = Acos 4+ Bsin 4 vypočítáme derivace: y = 4Asin4+ 4Bcos4 y = 6Acos4 6Bsin4 a dosadíme do zadání σ): ( 6A cos 4 6Bsin 4 ) + ( 4Asin 4+ 4Bcos 4 ) = 8cos 4 upravíme: cos 4 ( 6A+ 8 B) + sin 4 ( 8A 6 B) = 8cos 4 porovnáme koeficienty u jednotlivých funkcí: u sin 4 : 8A 6B A= B u cos 4 : 6A+ 8B= 8 6( B) + 8B= 8 B= A= 5 5 y = cos 4+ sin III σ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: yσ = Ce + C cos 4+ sin Příklad 7: Vyřešte diferenciální rovnici y + 4 y = Q( ) Řešení: I Vyřešíme příslušnou zkrácenou rovnici: y + 4y napíšeme charakteristickou rovnici r + 4 r = 4 r =± i a b= fundamentální systém řešení tvoří lineárně nezávislé složky y = cos y = sin a podle (C) napíšeme obecné řešení zkrácené rovnice: y0 = Ccos + Csin II Z metodických důvodů teď budeme pro tuto zkrácenou rovnici opět volit různé pravé strany Q ( ) a k nim vytvářet partikulární integrál ς) Pro Qς ( ) = 4e řešíme rovnici Mocnitel na pravé straně rovnice vypočítáme derivace: a dosadíme do zadání ς): vykrátíme e 0 a sečteme: 8A = y + y = e = a = a r y = Ae y = Ae y = 4Ae 4Ae + 4Ae = 4e A = y III ς) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: yς = Ccos + Csin + e = e

8 Diferenciální rovnice 8 II ξ ) Pro Q ξ = řešíme rovnici y + 4y = Na pravé straně rovnice je polynom 0 stupně (konstanta) a protože r 0 y = A vypočítáme derivace y y a dosadíme do zadání ξ ): 0+ 4A= A= y = III ξ ) Dosazením do (7) získáme obecné řešení: yξ = Ccos + Csin Příklad 7: Určete tvar partikulárního integrálu pro rovnici y + 4y + = Q( ) je-li a) e Q ( ) = b) Q ( ) = c) Q ( ) = sin d) Q ( ) = sin e) Q ( ) = e Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu ± ± ± + 4r i r = = = r = ± i Porovnáním s (C) zjistíme a= b= a podle (C) napíšeme obecné řešení: 0 y = e ( C + C sin ) a) Pro e Q ( ) = řešíme rovnici y + 4y + y = e Mocnitel na pravé straně rovnice = a = a r y = Ae b) Pro Q ( ) = řešíme rovnici y + 4y + y = Na pravé straně rovnice je polynom stupně a protože r 0 ŷ = A + B + C + D c) Pro Q ( ) = sinřešíme rovnici y + 4y + y = sin Na pravé straně rovnice je funkce sin a b= r 0 ± i y = A+ Bsin d) Pro Q ( ) = sin cos řešíme rovnici y + 4y + y = sin Na pravé straně rovnice je funkce sin a b= r 0± i y = A+ Bsin

9 Diferenciální rovnice 9 e) Pro Q ( ) = e řešíme rovnici Na pravé straně rovnice je funkce r = a± bi= ± i y + 4y + y = e e a= b= y = e ( A+ Bsin ) Příklad 7: Určete tvar partikulárního integrálu pro rovnici y + 5 y = Q( ) je-li a) b) 5 ( ) = e Q e Q ( ) = c) Q ( ) = d) Q ( ) = cos Řešení: Napíšeme charakteristickou rovnici r + 5r vytkneme r rr+ ( 5) r r = 5 a podle (A) napíšeme obecné řešení: y = Ce + C e y = C + C e 0 0 a) Pro b) Pro 5 ( ) e Q = řešíme rovnici 5 5 y + y = e Mocnitel na pravé straně rovnice = a= a r e Q ( ) = řešíme rovnici y + 5y = e Mocnitel na pravé straně rovnice = a = 5 a = r y = Ae y = Ae c) Pro Q ( ) = řešíme rovnici y + 5y = Na pravé straně rovnice je polynom stupně a protože r y = ( A + B + D) d) Pro Q ( ) = cos řešíme rovnici y + 5y = cos Na pravé straně rovnice je funkce cos a b= 5 r 0 + 5i y = Acos+ Bsin