Metody rekonstrukce obrazu a

Transkript

1 Metody rekonstrukce obrazu a odstranění šumu z obrazu Jan Švihlík svihlj1@fel.cvut.cz České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra radioelektroniky

2 Obsah Konvoluce - Definice, vlastnosti, konvoluční teorém, implementace Modely šumů - Aditivní,, multiplikativní,, transformace modelů Druhy šumů v obraze - Gaussovský, Heavy-tailed tailed,, sůl s l a pepř, kvantizační, Poissonovský Potlačen ení aditivního šumu - Konvoluční filtrace, maska ve spektru, mediánov nová filtrace Potlačen ení signálov lově závislého šumu - Homomorfní filtr, Anscombova transformace Rekonstrukce obrazu - Inverzní filtr, Wienerův filtr

3 Konvoluce Definice 1D konvoluční integrál () () = ( τ ) ( τ ) f t g t f g t Definice 2D konvoluční integrál Vlastnosti konvoluce (, ) (, ) = (, ) (, ) f x y g x y f α β g x α y β dαdβ f g = g f - komutativnost ( ) cf cg= cc f g ( ) f g + g = f g + f g [ ] [ ] f f f = f f f Násobení konst. - Distributivnost vůčv ůči i sčítánís - asociativnost

4 Konvoluce Konvoluční teorém Konvoluci předmětů odpovídá součin jejich spekter a součinu předmp edmětů odpovídá konvoluce konvoluce spekter. { } (, ) = (, ) F uv FT f xy (, ) = FT gxy (, ) Guv { } (, ) (, ) (, ) (, ) f x y g x y F u v G u v (, ) (, ) (, ) (, ) f x y g x y F u v G u v Běžná filtrace lze díky d konvolučnímu teorému převp evést na násobenn sobení spekter filtrovaného signálu a impulsové odezvy filtru.

5 Konvoluce Diskrétn tní konvoluce Mr Nr ( ) = ( ) ( ) cij, rmn, hi mj, n, m= 0 n= 0 0 i< Mr+ Mh 1,0 j< Nr+ Nh 1, r a m představujp edstavují konvolvované matice, Mr a Nr jsou rozměry ry matice r, Mh a Nh jsou rozměry ry matice h. Implementace diskrétn tní konvoluce Posun konvolučního jádra přes p obrazovou matici, počítání součtů součin inů mezi koeficienty konv.. jádra j a obrazovou maticí.. Nutnost ošeto etřit okraje matice nuly, ozrcadlení pův.. signálu apod. Jádro Obrazová matice

6 ákladní metody pro potlačen ení šumu v obraze

7 Modely šumu Model aditivního šum y= x+ n Model multiplikativního šum Transformace modelů y = x n e = e = e e y x+ n x n ( y) = ( x n) = ( x) + ( n) log log log log

8 Druhy šumů v obraze se vyskytující Gaussovský šum Hustota pravděpodobnosti podobnosti Gaussovského rozptylem σ 2 je dánad ( ) ( x µ ) σ p x e x n šumu se středn ední ( ) =,, σ 2π hodnotou µ Gaussovský model lze použít t zejména na limitní případy pady některých n obrazových šumů,, kupř.. Poissonovský šum. Testovací obrázek Brada kontaminovaný Gaussovským aditivním šumem se σ = 20. a

9 Druhy šumů v obraze se vyskytující Heavy-tailed šum Hustota pravděpodobnosti podobnosti (tzv. dvojitá středn ední hodnotou µ a rozptylem σ 2 je dánad x µ 1 pn x e x 2σ exponenciála) σ ( ) =, (, ) Heavy-tailed šumu se Tento druh šumu vzniká zejména v případp padě nedokonalého splnění centráln lního limitního teorému (kupř.. náhodnn hodné proměnn nné přispívající ke generaci Gaussovské náhodné proměnn nné nejsou zcela nezávisl vislé). Porovnání hp Gaussovské a heavy-tailed tailed.. Z obr. je zřejmz ejmé, že Gaussovská hp jde k nule mnohem rychleji Heavy-Tailed Gaussian p n (x) x

10 Druhy šumů v obraze se vyskytující Šum sůl s l a pepř Pravděpodobnost, že e dojde ke změně bitu V na W při i průchodu kanálem je dánad i ( ) P V W = 2 = ε, i= 0,1,..., B 1. Tento druh šumu vzniká zejména při p i přenosu p obrazu digitáln lním m kanálem, kdy se změní některé hodnoty pixelů na nulové, popř blízk zké nule nebo naopak na hodnoty blízk zké 255. γ γ P( y= a) = 1 γ, P( y= 0 ) =, P( y= 255 ) =, 2 2 Pouze změna MSB způsob sobí vznik černých a bílých b bodů.. MSE zapříčin iněné změnou MSB lze vyjádřit B-1 B-1 ε 2 = ε4 ( ) 2 Obrázek Brada kontaminovaný šumem sůl s l a pepř s γ = 0.05.

11 Druhy šumů v obraze se vyskytující Kvantizační šum Kvantizační šum je modelován n jako uniformní s kvant. krokem a hp p n ( x) 1, n = 2 2, 0, jinde x Tento druh šumu vzniká transformací spojité náhodné veličiny iny na diskretní náhodnou veličinu, inu, popř.. transformací diskretní náhodné veličiny iny na diskrétn tní náhodnou veličinu inu s menší bitovou hloubkou. Fixed threshold Random threshold Floyd-Steinberg dither p n (x)

12 Druhy šumů v obraze se vyskytující Poissonovský šum (Photon( counting) Hp Poissonovského šumu je dánad k λ λ e P( Ω= k) = pn ( k; λ) =, k = 0, 1, 2,... k! Tento druh šumu se vyskytuje kupř.. na sensorech,, které pracují jako čítač fotonů (CCD). Sensor v daném časovém m intervalu načítá náhodný počet fotonů pohybující se kolem středn ední hodnoty λ p n (k) k

13 Potlačen ení aditivního šumu Máme Chceme POTLAČEN ENÍ ŠUMU Konvoluční filtrace Patří mezi nejjednodušší metody pro potlačen ení šumu. Metoda je založena na odfiltrování kmitočtových tových složek mimo pásmo p užiteu itečného signálu. Redukujeme prostorovou rozlišovac ovací schopnost. Jednoduché konvoluční jádro provádějící průměrov rování. Gauss σ = 20 Filtrované

14 Potlačen ení aditivního šumu Maska ve spektráln lní rovině Patří mezi nejjednodušší metody pro potlačen ení šumu. Metoda je založena na aplikace masky ve spektru signálu. Na rozdíl l od konvolučních filtrů,, můžm ůže e maska realizovat libovolné typy filtrů. Masky, které mají ve spektru ostré rozhraní způsob sobí v prostorové doméně vznik nežádouc doucích ch artefaktů. C( u, v) = R( u, v) H( u, v) = R( u, v) H( u, v) Φ( u, v), Gauss σ = 20 Filtrované

15 Potlačen ení aditivního šumu Mediánov nová filtrace Patří mezi nelineárn rní metody. Obrazový bod je nahrazen mediánem spočteným v poli mediánu. Medián m náhodné proměnn nné X je dánd ( ) ( ) P X m 0.5 P X m. Jinak řečeno, eno, medián n posloupnosti (s lichým počtem členů) ) je definován n jako hodnota členu, pro který platí, že e polovina členů je většív a polovina menší než hodnota mediánu. Gauss σ = 20 Filtrované Medián n lépe l zachová hrany oproti konv. Filt. Hodí se zejména pro impulsní šumy.

16 Potlačen ení signálov lově závislého šumu Multiplikativní Homomorfní filtr Po zlogaritmování aplikujeme běžb ěžné algoritmy pro odstranění aditivního šumu. Po odstranění šumu se na obrazovou matici aplikuje exponenciáln lní převodní charakteristika. y= x n Poissonovský Anscombova transformace ( y) = ( x) + ( n) log log log Anscombova transformace provede tzv. stabilisaci variance a transformuje Poissonovská data I(λ) na přiblip ibližně Gaussovské s distribuční funkcí N(0,1). 3 AT{ I ( λ) } = 2 I ( λ) +. 8 Pro odstranění Poissonovského šumu lze rovněž použít průměrov rování v čase přímý odhad λ.. Je nutné mít t více v realizací snímku. Popř.. delší exposice.

17 Základní metody rekonstrukce obrazu

18 Rekonstrukce obrazu Obrazový systém Zobraz. systém Obrazový sensor Zprac. a přenos Zobraz. Průchod signálu obrazovým systémem způsob sobí informace. degradaci obrazu a ztrátu tu Lineárn rní funkční bloky se chovají většinou jako filtr DP, což způsob sobí omezení kmitočtov tového pásma. p Lineárn rní bloky zanáší šum do signálu. Impulsní odezva PSF(x,y) neznáme, máme m me pouze degradovaný snímek.

19 Rekonstrukce obrazu Inverzní filtr Inverzní filtr kompensuje přenosovou p frekvenční charakteristiku obrazového systému H(u,v) (dekonvoluce). C(u,v) představuje spektrum degradovaného obrazu. Cuv (, ) = Ruv (, ) Huv (, ) + Nuv (, ) Inverzní filtr pro systém m bez aditivního šumu N(u,v) lze rekonstrukční filtr H R (u,v) zapsat takto. 1 Cuv (, ) HR( u, v) = CR( u, v) = = R( u, v) H( uv, ) Huv (, ) Rekonstruovaný obraz C R (u,v) ze systému s aditivním šumem N(u,v) lze zapsat takto. Nuv (, ) CR( u, v) = R( u, v) + H ( uv, ) V případp padě, že e frekvenční přenosová charakteristika systému je DP, potom inverzní filtr je HP jehož přenos roste s kmitočtem tem nade všechny v meze šumové složky jsou v horní části pásma p mimořádn dně zesíleny => šumová katastrofa. R

20 Rekonstrukce obrazu Wienerův filtr Wienerův filtr je filtr při p i jehož použit ití nedochází k šumové katastrofě.. Princip filtru vychází z minimalizace středn ední kvadratické chyby mezi původnp vodní r(x,y) obrazovou maticí a rekonstruovanou obrazovou maticí c r (x,y). [ (, ) (, )] 2 MSE = E r x y c x y r H R ( u, v) = * H ( u, v) SN ( u, v) (, ) (, ) + SR( u, v) * H u v H u v Nejjednodušší způsob jak odhadnout spektráln lní výkonovou hustotu původnp vodního nezkresleného obrazu S R (u,v) je uvažovat spektráln lní hustotu šumu S N (u,v) = σ 2 z čehož lze určit 2 S ( u, v) S ( u, v) σ R Rozptyl šumu můžm ůžeme odhadnout kupř.. z jednolitých ploch v obraze. C

21 Doporučen ená literatura [1] Klíma, M. Bernas, M. Hozman, J. Dvořák, P.: Zpracování obrazové informace. První vydání. Praha: ČVUT, stran. ISBN [2] Gonzales, C Woods, R.: Digital Image Processing. Second edition. New Jersey, ISBN

22 Děkuji za pozornost?