INVERZNÍ FUNKCE A SLOŽENÉ FUNKCE

Transkript

1 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí reistrační číslo projektu: CZ..07/.5.00/ IV- Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické ramotnosti žáků středníc škol INVERZNÍ FUNKCE A SLOŽENÉ FUNKCE Autor Hana Macolová Jazyk čeština atum vytvoření Cílová skupina žáci 8 9 let Stupeň a typ vzdělávání ymnaziální vzdělávání ru učebnío materiálu vzorové příklady a příklady k procvičení Očekávaný výstup žák cápe pojem inverzní unkce, umí rozodnout, ke kterým unkcím eistuje inverzní unkce, k dané unkci umí zjistit předpis inverzní unkce a načrtnout její ra, rozumí pojmu složená unkce, dokáže u složené unkce určit vnější a vnitřní unkci, umí určit předpis pro složenou unkci a zjistit její deiniční odbor. Anotace materiál je vodný nejen k výkladu a procvičování, ale i k samostatné práci žáků, k jejic domácí přípravě, velké uplatnění najde zejména při přípravě žáků k maturitní zkoušce

2 Řešené příklady:. Rozodněte, ke kterým z následujícíc unkcí eistují unkce inverzní v deiničním oboru, a svoje tvrzení zdůvodněte: a. : y 4 b. : y c. : y lo d. : y 4 e. : y 5. : y 6 Řešení: Nutnou podmínkou pro eistenci inverzní unkce je, aby původní unkce byla prostá. a. : y 4 - unkce lineární je prostá v množině reálnýc čísel, tedy v celém deiničním oboru eistuje k ní inverzní unkce. b. : y - unkce eponenciální je prostá v množině reálnýc čísel, tedy v celém deiničním oboru eistuje k ní inverzní unkce. c. : y lo - unkce loaritmická je prostá v množině kladnýc reálnýc čísel, tedy v celém deiničním oboru eistuje k ní inverzní unkce. d. : y 4 unkce kvadratická není prostá v množině reálnýc čísel v jejím deiničním oboru) neeistuje k ní v množině reálnýc čísel inverzní unkce. e. : y 5 - tato unkce je prostá v množině všec nezápornýc celýc čísel, tedy v celém deiničním oboru eistuje k ní inverzní unkce.

3 . U danýc unkcí určete deiniční obor, nakreslete ra, určete obor unkčníc odnot a monotónnost. Rozodněte, zda eistuje unkce inverzní. Pokud ano, do téže soustavy souřadnic načrtněte její ra a dále určete její deiniční obor, obor unkčníc odnot a unkční předpis. a. : y = R H = R Funkce je rostoucí. Funkce je prostá v celém deiničním oboru, proto k ní eistuje inverzní unkce. Gra na obr. Obr. Inverzní unkce - : - = R = H - H = R = - je rostoucí stejně jako původní unkce). Předpis inverzní unkce získáme záměnou a y v předpisu původní unkce a vyjádřením y z této rovnice. : y : y y y

4 b. : y = R \{0} H = R \{} Funkce je klesající v intervalec ;0 a ; 0. Funkce je prostá v celém deiničním oboru, proto k ní eistuje inverzní unkce. Gra viz obr. Obr. Inverzní unkce - : - = R \{} = H - H = R \{0}= - je klesající stejně jako původní unkce), avšak v intervalec ; a ;. Předpis inverzní unkce získáme záměnou a y v rovnici původní unkce a vyjádřením y: : y : y y y 4

5 c. : y = R H = R Funkce je rostoucí. Funkce je prostá v celém deiničním oboru, proto k ní eistuje inverzní unkce. Gra viz obr. Obr. Inverzní unkce - : - = R = H - H = R = - je rostoucí stejně jako původní unkce) Předpis inverzní unkce získáme záměnou a y v rovnici původní unkce a vyjádřením y: : y : y y d. 6 k : y 0; k = 0 H k = 0 ; ; Funkce k je klesající. Funkce k je prostá v celém deiničním oboru, proto k ní eistuje inverzní unkce. Gra viz obr. 4 5

6 Inverzní unkce k - : - k = 0 ; = H k - H k = 0 ; = k Obr. 4 k - je klesající stejně jako původní unkce) Předpis inverzní unkce získáme záměnou a y v rovnici původní unkce a vyjádřením y: k : y k 6 6 : y 6 6 y y y 6 e. l : y lo ) l = ; H l = R Funkce l je klesající. Funkce l je prostá v celém deiničním oboru, proto k ní eistuje inverzní unkce. 6

7 Gra viz obr. 5 Inverzní unkce l - : - l = R = H l - H l = ; = l Obr. 5 l - je klesající stejně jako původní unkce) Předpis inverzní unkce získáme záměnou a y v rovnici původní unkce a vyjádřením y: l : y lo ) l : lo lo y y y ) y ). Jsou dány dvojice unkcí: a. ), ) 7

8 8 b. ), ) Najděte složené unkce a k a určete jejic deiniční obory. Řešení: a. ), ) )) {0} 0}, { \ \ R R R )) k 0 {0}, \ R \ R R k b. ), ) )) ; 0 0;, R k )) ; 0 0;, k R 4. Jsou dány unkce: ), ). Napište předpisy složenýc unkcí a k a načrtněte jejic ray. )) Gra viz obr. 6 Obr. 6

9 k )) Gra viz obr. 7 Obr U danýc složenýc unkcí určete unkci vnější a unkci vnitřní: a. y 4 b. y lo c. y lo a. Funkce y 4 je složena z unkcí ) 4 a ) jako tedy b. Funkce ) je vnitřní unkce a ) 4 je vnější unkce). y lo složena z unkcí ) lo a ) je vnitřní unkce a ) lo c. Funkce y lo je složena z unkcí ) lo je vnitřní unkce a jako ) je vnější unkce). a ) lo ) je vnější unkce). ) tedy jako tedy 9

10 Příklady k procvičování:. Rozodněte, ke kterým z následujícíc unkcí eistují unkce inverzní v deiničním oboru, a svoje tvrzení zdůvodněte: a. y 4 b. y 5 c. y 5 ; 0; d. y ; e. y lo. y 4 [a. eistuje, b. neeistuje, c. eistuje, d. neeistuje, e. eistuje,. neeistuje]. U danýc unkcí určete deiniční obor, nakreslete ra a určete obor unkčníc odnot. Rozodněte, zda eistuje unkce inverzní. Pokud ano, do téže soustavy souřadnic načrtněte její ra a určete její deiniční obor, obor unkčníc odnot a unkční předpis. a. : y ; ; [ ; H ; H 0;, eistuje, ra na obr. 8, : y ] b. : y ; 0 ; Obr. 8 0

11 [ 0; H ; H ;, eistuje, ra na obr. 9, : y ] c. Obr. 9 : y [ R \{-} H ; H R \{-}, eistuje, ra na obr. 0, : y ] Obr. 0

12 . Najdi unkce, ze kterýc jsou složeny následující unkce a určete unkci vnější a unkci vnitřní: a. b. c. d. : y 5 : y : y 4 : y sin e. : y lo lo 5 [a. a 5 ) ) jako b. ) a ) jako c. ) a ) jako d. ) sin a ) jako e. ) a ) lo jako ]

13 Použité zdroje a literatura: BUŠEK, Ivan. Řešené maturitní úloy z matematiky.. vydání. Praa: SPN, 985. BENA, Petr. A KOL. Sbírka maturitníc příkladů z matematiky. 8. vydání. Praa: SPN, 98. FUCHS, Eduard a Jose KUBÁT. Standardy a testové úloy z matematiky pro čtyřletá ymnázia: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy.. vyd. Praa: Prometeus, 998, 47 s. Učebnice pro střední školy Prometeus). ISBN KUBÁT, Jose, a HRUBÝ a Jose PILGR. Sbírka úlo z matematiky pro střední školy: maturitní minimum.. vyd. Praa: Prometeus, 996, 95 s. Učebnice pro střední školy Prometeus). ISBN OVÁRKO, Oldřic A KOL. Matematika pro II. Ročník ymnázií.. Vyd. Praa: SPN, 985. PETÁKOVÁ, Jindra a Leo BOČEK. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy.. vyd. Praa: Prometeus, 998, 0 s. Učebnice pro střední školy Prometeus). ISBN POLÁK, Jose. Přeled středoškolské matematiky. 4. vydání. Praa: SPN, 98. VEJSAA, František a František TALAFOUS. Sbírka úlo z matematiky pro ymnasia.. vydání. Praa: SPN, 969.