Cvičení 1. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Transkript

1 1 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Rudolf Blažek 2011 BI-PST, LS 2010/11 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnos@

2 Pravděpodobnost & Statistika Vše začalo hazardními hrami! 2

3 Věštění & Hazardní hry Starobylé Civilizace: Házení několika kostiček prstů s očíslovanými stranami (astragali = talus = knucklebone) Egyptské Hrobky Kostky nalezeny v hrobech z doby 2000 let před Kristem Renezance Hazardní hry s kostkami 3

4 Chevalier de Méré, 1654 Dva lidé, A a B, hrají opakovaně férové (50:50) náhodné hry dokud jeden hráč nevyhraje 6x. Oba hráči vsadili stejnou částku, vítěz bere vše. Série her je předčasně přerušena: A vyhrál 5x a B vyhrál 3x. Jak by si měli rozdělit vloženou sázku? 4

5 Blaire Pascal and Pierre de Fermat A by měl dostat 7/8 celkové výhry. Proč? 5

6 Blaire Pascal and Pierre de Fermat A by měl dostat 7/8 celkové výhry. Nápověda: A vyhrál 5x a B vyhrál 3x. Pokud by se ve hře pokračovalo, jak by B mohl vyhrát 6x? Hráči A stačí vyhrát pouze jednou Takže B už nesmí prohrát P(BBB) = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8 6

7 Házení mincí Měl bych hrát následující hru? Hoď 2x mincí (Head / Tail; Panna / Orel) Vyhraji, pokud se výsledky liší: HT or TH Pravděpodobnost výhry P(HT, TH) = P(HT) + P(TH) = P(H1)P(T2) + P(T1)P(H2) Vyvážená mince: (1/2) (1/2) + (1/2) (1/2) = 1/2 P(H) = 1/4: (1/4) (3/4) + (3/4) (1/4) = 3/8 P(H) = 3/4: (3/4) (1/4) + (1/4) (3/4) = 3/8 Ujistěte se, že mince je vyvážená! 7

8 Statistické Metody Pravděpodobnost versus statistické metody 8

9 Statistické Metody Pravděpodobnost Vyberu náhodně 30 kuliček (s vracením) Vidím do krabičky: V krabičče mám 60% červených kuliček Nevidím do dlaně P(20 z 30 je červených) =? (0.6) 20 (0.4) 10 =

10 Statistické Metody Statistika Vyberu náhodně 30 kuliček (s vracením) Vidím do dlaně: 20 z 30 je červených Nevidím do krabičky Kolik procent kuliček v krabičce je asi červených? 10

11 Statistické Metody Statistika: Bodové a intervalové odhady Vyberu náhodně 30 kuliček (s vracením) Vidím do dlaně: 20 z 30 je červených Kolik procent kuliček Nevidím do krabičky v krabičce je asi červených? Bodový odhad: cca 2/3 = 66.67% Intervalový odhad s 95% spolehlivostí: 48.76% 84.57% 11

12 Statistické Metody Statistika: Testování hypotéz Vyberu náhodně 30 kuliček (s vracením) Vidím do dlaně: 20 z 30 je červených Nevidím do krabičky Je v krabičce 40% červených kuliček? Závěr s 95% jistotou: NE Protože na 95% věřím: 48.76% 84.57% 12

13 Základy Pravděpodobnosti P (A) = size of A size of Vennův Diagram! A P (A) = area(a) area( ) Pravděpodobnost negace, doplňku P (Ā) =1 P (A) 13

14 Základy Pravděpodobnosti Pravděpodobnost sjednocení (A nebo B)! A B P (A B) = area(a B) area( ) area(a B) =area(a)+area(b) area(a B) P (A B) =P (A)+P (B) P (A B) P (A B) =P (A)+P (B) pro disjunktní jevy (A B = ) 14

15 Prostor elementárních jevů a pravděpodobnost Cvičení Pravděpodobnost Pravděpodobnostní zákon Každému náhodnému jevu A přiřadíme jeho pravděpodobnost P(A). Ta musí splňovat přirozené axiomy: Definice (Axiomy pravděpodobnosti) Nezápornost. P(A) 0 pro každý jev A. Normalizace. Pravděpodobnost souboru všech elementárních jevů je 1, P( ) =1. (Množina je ve svém souhrnu vyčerpávající.) Aditivita. Jsou-li A a B dva disjunktní jevy (jinými slovy vzájemně exklusivní), je pravděpodobnost jejich sjednocení součtem jejich pravděpodobností, P(A [ B) =P(A)+P(B). Obecněji, je-li A 1, A 2,... posloupnost disjunktních jevů (A i \ A j =? pro i 6= j), pak P([ i 1 A i )= X i 1 P(A i ). RomanRudolf Kotecký, Blažek, Rudolf Ph.D. Blažek (ČVUT) (FIT ČVUT) Základní Pravděpodobnost pojmy pravděpodobnosti a statistika BI-PST, LSBI-PST, 2010/11, LS2010/11 Přednáška 1 8 / 1815

16 Základy Pravděpodobnosti Dokažte, že pro jevy A, B a C platí P(A [ B [ C) =P(A) +P(B) +P c P(A \ B) P(B \ C) P(C \ A) + P(A \ B \ C) 16

17 Základy pravděpodobnosti Student si musí vybrat přesně dva ze tří volitelných předmětů Kreslení; Francoužština; Matematika Víme, že si vybere Kreslení s pravděpodobností 5/8 Francoužštinu s pravděpodobností 5/8 Kreslení a Francoužštinu zároveň s pravděpodobností 1/4 Jaká je pravděpodobnost, že student si vybere Matematiku? Kreslení nebo Matematiku? Rada: Nakreslete si Vennův diagram 17