Ondřej Peisar

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Ondřej Peisar"

Pavla Urbanová
před 5 lety
Počet zobrazení:

2 Motivace Merkur generuje vlastní magnetické pole (dynamo) slabé magnetické pole na povrchu (1% zemského), dominantní příspěvek dipólového členu velké jádro (75 % poloměru planety) zajímá nás příspěvek Jouleovského tepla k plášťové konvekci

3 Formulace řeším sférickou rovnici B + k 2 s B = 0, kde k 2 s = ıωµ 0 σ s vrstevnatý model, vodivost v jednotlivých vrstvách považuji za konstantní magnetické pole generováno hluboko ve vnitřním jádru (Christensen, 2006)

4 Formulace dvouslupkový model poloměr spodku stabilní vrstvy: r 0 = 1250km poloměr na hranici jádro-plášť: r CMB = 1900km poloměr planety: r p = 2440km uvažujeme nulový vnější ponteciál: U (ext) = 0 předepisujeme radiální složku pole na spodní hranici (hranice vnitřního jádra a stabilní vrstvy) normálová a tečná složka musí být spojitá na hranicích vrstev

5 Vztahy magnetické pole uvnitř B = j j=1 m= j j+1 l=j 1 αl w l(kr) Y l (ϑ, ϕ) potenciál U = r j p j=1 m= j [( r r p ) j G (e) + ( rp r )j+1 G (i) ]Y (ϑ, ϕ) vede na vztah pro mag. pole vně B = U = j j=1 m= j [ j(2j + 1)( r r p ) j 1 G (e) Y j 1 (ϑ, ϕ) + r (j + 1)(2j + 1)( p r )j+2 G (i) Y j+1 (ϑ, ϕ)]

6 Vztahy žádné plošné proudy, podmínka spojitosti B na rozhraní e r. B s = j 2j+1 αj 1 [w j 1(k s r) + w j+1 (k s r)]y (ϑ, ϕ) = j(2j + 1)α j 1 w j (k sr) k sr Y (ϑ, ϕ) e r B s = i j+1 2j+1 αj 1 [w j 1(k s r) j j+1 w j+1(k s r)] Y j (ϑ, ϕ) 2j+1 = i j+1 αj 1 1 d k sr dr (rw j(k s r)) Y j parametry α jsou v daných vrstvách konstantní

7 Označení h (r) := α j 1 1 k sr w j(k s r) t (r) := d dr (rw j(k s r)) αj 1 k s což vede na jednodušší zápis: e r. B s = 1 r e r B s = i r j 2j+1 h (r)y j+1 2j+1 t (r) Y j

8 Maticový tvar α j 1 k s w j (k s r) = a s J j(k s r) + b s Y j(k s r) = h (r) t (r) = a s d dr (rj j(k s r)) + b s d dr (ry j(k s r)) maticově: kde ( h t ( A s j (r) = ) (r) = A s j (r) ( a s b s ) J j (k s r) Y j (k s r) d dr (rj j(k s r)) d dr (ry j(k s r)) )

9 Maticový tvar ze vztahu na dolní, resp. horní, hranici: ( ) ( h a (r t s 1 ) = A s s ) j (r s 1 ) b s t ( h t ) (r s ) = A s j (r s ) ( a s b s získáme maticový vztah na hranicích dané vrstvy ( ) ( ) h (r s ) = A s j (r s )[A s j (r s 1 )] 1 h (r t s 1 ) (Pěč et al., 1985) )

10 Maticový tvar přenosová matice s-té vrstvy má tvar ( Bj s P = j + z 2 Q j P j + z 1 R j + z 2 Q j + z 1 z 2 S j kde z 1 = k s r s a z 2 = k s r s 1 P j P j z 1 R j ) z 2 P j+1 = S j + j2 z 1 z 2 P j j z 1 Q j j z 2 R j Q j+1 = j z 1 P j j+2 z 2 P j+1 R j R j+1 = j z 2 P j j+2 z 1 P j+1 Q j S j+1 = R j (j+2)2 z 1 z 2 P j+1 j+2 z 1 Q j+1 j+2 z 2 R j+1

11 Maticový tvar kontrolní součin a počáteční podmínky mají tvar: P j S j Q j R j = 1 z 2 1 z2 2 P 0 = sin(z 2 z 1 ) z 1 z 2 Q 0 = cos(z 2 z 1 ) z 1 z 2 sin(z 2 z 1 ) z 1 z 2 2 R 0 = cos(z 2 z 1 ) z 1 z 2 sin(z 2 z 1 ) z 2 1 z 2 S 0 = sin(z 2 z 1 ) z 1 z 2 cos(z 2 z 1 ) z 2 1 z 2 + cos(z 2 z 1 ) z 1 z sin(z 2 z 1 ) z 2 1 z2 2

12 Maticový tvar vztah pole na spodní hranici výpočetní oblasti (horní hranice magnetokonvekce) a pole na povrchu h (r p ) = rp [jg (e) j(2j+1) t (r p ) = r p (j + 1) kde C = 2 s=n Bs známe: G (e), h (r 0 ) počítáme: G (i), t (r 0 ) ( h = C. t j 2j+1 (i) (j + 1)G ] ) (r 0 ) [G (e) + G (i) ]

13 Momentální stav používaný kód byl otestován na správné použití rekurzí Besselových funkcí proti kódu prof. Martince uvažujeme periodu T = yr ve stabilní vrstvě předpokládáme vodivost σ = 10 6 S.m 1 v plášti pak σ = 1S.m 1 a menší (až o dva řády) z pak nabývá ve stabilní vrstvě hodnot okolo 1, v plášti pak 10 4 program funguje dobře pro malá j (do j=4) snahy o zlepšení výpočtů: čtyřnásobná přesnost 1 vytknutí z 1 z 2 počítání Besselových funkcí jako nekonečné řady

15 Jouleovské teplo počítáme Jouleovské teplo 1 r µ 0 H 2 dv lze pomocí rekurzí pro Besselovy funkce a vztahy pro sférické harmoniky upravit na tvar 1 µ 0 r 2 j j=1 n= j (αj 1 2j+1 )2 j+1 (k sw j (k s r)) 2 dr r

16 Co nás čeká stabilizace kódu pro větší j integrace vztahu obsahujícího Besselovy funkce, pomocí knihovny slatec spočítání výsledků pro různé hodnoty vodivosti

Podobné dokumenty

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Fyzikální geodézie 2/7 Gravitační potenciál a jeho derivace