Statistika pro každého. Párový test Test shody dvou rozptylů Dvouvýběrový t-test Porovnání středních hodnot při nestejných rozptylech

Transkript

1 Statistika pro každého Párový test Test shody dvou rozptylů Dvouvýběrový t-test Porovnání středních hodnot při stejných rozptylech

2 Testovací kuchařka 1 2

3 Párový t-test 1 2

4 Párový t-test -test užijeme v případě, že na každém objektu provedeme dvě měření-objekty jsou závislé, měření jsou ale závislá -mějme náhodný výběr (Y1; Z1), (Y2; Z2),..., (Yn; Zn) z nějakého dvourozměrného rozdělení -vektor středních hodnot je (μ1; μ2) -je třeba testovat následující hypotézu: H0: μ1 - μ2 = Δ oproti alternativě H1: μ1 - μ2 Δ - Δ je předem dané číslo, většinou Δ = 0

5 Párový t-test -zadefinujeme Xi = Yi - Zi -veličiny Xi jsou závislé -pokud je Xi z N(μ; σ 2 ), očividně platí μ1 - μ2 = μ -párový t-test tedy přechází v jednovýběrový t-test, se kterým umíme pracovat

6 Párový t-test -za platnosti hypotézy H0 má statistika Studentovo t-rozdělení (náhodný výběr) T = (X µ 0 ) n S t n 1 (α) -Hypotézu H0 zamítme na hladině významnosti α, jestliže T tn-1(α) -Hypotézu H0 zamítme na hladině významnosti α, jestliže α p

7 Příklad 3.1 Nový trenér navrhl novou tréninkovou metodu, o které však ostatní trenéři tvrdili, že povede ke zlepšení výkonu. Aby dokázal, že nová metoda vede ke zlepšení výkonu, převzal trenér družstvo skokanů, u kterých byly zaznamenány jejich poslední výkony. Po 3 měsících tréninku podle nové metody byly opět změřeny jejich výkony. Podařilo se trenérovi prokázat vhodnost jeho metody? (Předpokládejme, že výkony mají normální rozdělení).

8 Příklad 3.2 V Jižních Čechách byly na třech místech měřeny imise oxidu siřičitého a prachu (viz. data). Určete na hladině významnosti 0.05, zda se hodnoty oxidu siřičitého v srpnu 2009 v Českých Budějovicích a Táboře lišily.

9 Testovací kuchařka 1 2

10 Test shodnosti dvou rozptylů 1 2

11 Test shodnosti dvou rozptylů -mějme dva závislé náhodné výběry X1, X2,..., Xn a Y1, Y2,..., Ym, oba z N(μ; σ 2 ) -předpoklad, že n; m > 2, σ1 2 > 0 a σ2 2 > 0 -je třeba testovat následující hypotézu: H0: σ1 2 = σ2 2 oproti hypotéze H1: σ1 2 σ2 2 -Hypotézu H0 zamítme, jestliže podíl Sx 2 /Sy 2 je přibližně roven jedné

12 Test shodnosti dvou rozptylů - Hypotézu H0 zamítme na hladině významnosti α, jestliže S X 2 S Y 2 k 1 bo S X 2 S Y 2 k 2 kde k 1 = F n 1,m 1 (1 α 2 ); k 2 = F n 1,m 1 ( α 2 ) - Fn-1,m-1(α) - kritická hodnota Fisherova- Sdecorova rozdělení - Hypotézu H0 zamítme na hladině významnosti α, jestliže α p

13 Testovací kuchařka 1 2

14 Dvouvýběrový t-test 1 2

15 Dvouvýběrový t-test -mějme dva závislé náhodné výběry X1, X2,..., Xn a Y1, Y2,..., Ym, oba z N(μ; σ 2 ) -předpokládáme, že n; m > 2 -víme, že σ1 2 = σ2 2,přičemž σ 2 > 0 známe -je třeba testovat následující hypotézu: H0: μ1 - μ2 = Δ oproti alternativě H1: μ1 - μ2 Δ - Δ je předem dané číslo, většinou Δ = 0

16 Dvouvýběrový t-test - Hypotézu H0 zamítme na hladině významnosti α, jestliže T = X Y Δ S X 2 2 n + S Y m t n+ m 2 (α) - Hypotézu H0 zamítme na hladině významnosti α, jestliže α p

17 Testovací kuchařka 1 2

18 Porovnání středních hodnot 1 2

19 Porovnání středních hodnot -mějme dva závislé náhodné výběry X1, X2,..., Xn a Y1, Y2,..., Ym, oba z N(μ; σ 2 ) -předpokládáme, že n; m > 2 -víme, že σ1 2 σ2 2,přičemž σ 2 > 0 známe -je třeba testovat následující hypotézu: H0: μ1 - μ2 = Δ oproti alternativě H1: μ1 - μ2 Δ - Δ je předem dané číslo, většinou Δ = 0

20 Porovnání středních hodnot -Je-li m n, utvoříme rozdíly Xi - Yi -tyto rozdíly se řídí N(μ1 - μ2; σ1 2 + σ2 2 ) -výhodou je, že přijdeme o některá data -jde také o efektivní využití veličin -v praxi se používá přibližný výpočet

21 Porovnání středních hodnot - Hypotézu H0 zamítme na hladině významnosti α, jestliže X Y S v X t n 1 (α) + v Y t m 1 (α) v X + v Y kde v = S 2 X Y n ; v Y = S Y 2 m ; S = v X + v Y - Hypotézu H0 zamítme na hladině významnosti α, jestliže α p

22 Příklad 4.1 V Jižních Čechách byly na třech místech měřeny imise oxidu siřičitého a prachu (viz. data). Určete na hladině významnosti 0.05, zda se hodnoty prachu v prvním kvartálu 2008 a prvním kvartálu 2009 v Českých Budějovicích lišily.

23 Příklad 4.2 Ve výrobně betonu bylo vyrobeno a vyzkoušeno 11 krychlí betonu B15 ze dvou různých směsí. Otestujte na hladině významnosti 0.05, zda oba 2 druhy betonu jsou stejně kvalitní. Předpokládáme, že pevnost betonu je náhodná veličina s normálním rozdělení.

24 Příklad 4.3 Ve dvou cementárnách byla provedena kontrola dávkovačů. Zvážením 13 náhodně vybraných pytlů cementu z 1. cementárny byly získány hodnoty. Zvážením 9 náhodně vybraných pytlů z 2. cementárny byly získány hodnoty. Zjistěte na hladině významnosti 0.05, zda oba dávkovače pracují stejně.

25 Příklad 4.4 Na dvou základních školách byly měřeny vědomosti žáků z matematiky stejným didaktickým testem. Na škole I se zúčastnilo 31 žáků, na škole II celkem 30 žáků. Jejich bodové výsledky jsou v tabulce. Máme na hladině významnosti 0.05 rozhodnout, zda je mezi průměrnými výsledky testu na obou školách významný rozdíl.

26 Děkuji za pozornost!