Vysokofrekvenční technika a antény

Transkript

1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Vysokofrekvenční technika a antény Garant předmětu: Doc. Dr. Ing. Zbyněk Raida Autoři textu: Doc. Dr. Ing. Zbyněk Raida Doc. Ing. Stanislav Hanus, CSc.

2

3 Vysokofrekvenční technika a antény Obsah Úvod...3 Teorie elektromagnetického pole...4. ELEKTROMAGNETICKÉ POLE...4. MAXWELLOVY ROVNICE ROVINNÁ A KULOVÁ VLNA V HOMOGENNÍM PROSTŘEDÍ Šíření rovinné vlny Šíření kulové vlny VÝPOČTY S ROVINNOU VLNOU V MATLABU....5 KONTROLNÍ PŘÍKLADY....6 KONTROLNÍ OTÁZKY... 3 Antény a šíření elektromagnetických vln VLNY V REÁLNÉM TERÉNU Mechanismy šíření vln v blízkosti Země Spojení přímou vlnou Spojení prostorovou vlnou Spojení povrchovou vlnou Spojení ionosférickou vlnou Výpočty šíření v MATLABu Kontrolní příklady Kontrolní otázky ANTÉNY: TEORETICKÝ ZÁKLAD Vyzařování elementárních zdrojů Záření antén Technický výpočet vyzařování antén Výpočet záření anténních soustav Impedance lineárních antén Parametry antén Výpočet parametrů antén v MATLABu Kontrolní příklad Kontrolní otázky NUMERICKÉ ŘEŠENÍ VNITŘNÍ ÚLOHY Momentová metoda Bázové funkce Váhové funkce Drátové antény Implementace metody v MATLABu MIKROVLNNÉ ANTÉNY Mikropáskové antény Trychtýřové antény Reflektorové antény Vedení ZÁKLADNÍ POZNATKY Z TEORIE VEDENÍ Elektromagnetické pole v koaxiálním vedení Klasická teorie vedení Stojatá vlna na vedení Přenos energie po vedení Smithův diagram Výpočty na vedení v MATLABu Kontrolní příklady...83

4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 4..8 Kontrolní otázky PRAKTICKÉ POZNATKY O VEDENÍCH Hlavní druhy vedení s TEM vlnou Parametry vedení Vedení jako obvodový prvek Přizpůsobování a přizpůsobovací obvody Symetrické a asymetrické proudy na vedení Přizpůsobování v MATLABu Kontrolní příklady Kontrolní otázky... 5 Vysokofrekvenční technika ZÁKLADNÍ PRVKY A OBVODY Sériový rezonanční obvod Paralelní rezonanční obvod Transformační vlastnosti rezonančních obvodů Aktivní prvky ZESILOVAČE Základní parametry a vlastnosti úzkopásmové linearizované zesilovače Analýza zesilovače Základní body návrhu jednostupňového zesilovače SMĚŠOVAČE MODULÁTORY Modulátory AM Modulátory FM DEMODULÁTORY Demodulátory AM signálu Demodulátory FM signálu KONTROLNÍ OTÁZKY Mikrovlnná technika MIKROVLNNÁ VEDENÍ Vlnovody Modelování vlnovodů v MATLABu Planární vedení Kvazi-statické modelování mikrovlnných vedení v MATLABu Užitečné vztahy pro přibližný výpočet parametrů mikrovlnných vedení Parametry komerčních mikrovlnných substrátů Kontrolní příklady Kontrolní otázky PASIVNÍ MIKROVLNNÉ OBVODY Induktory a kapacitory Kmitočtové filtry Kontrolní otázky KOMERČNÍ PROGRAMY PRO NÁVRH MIKROVLNNÝCH OBVODŮ Literatura... 67

5 Vysokofrekvenční technika a antény 3 Úvod Předkládaná učebnice je základní studijní literaturou pro kurs Vysokofrekvenční technika a antény (VST), který se přednáší na FEKT VUT v Brně pro studijní obor Teleinformatika. Cílem předmětu je seznámit studenty se základy teorie elektromagnetického pole a s aplikací poznatků z této teorie na řešení praktických problémů současné vysokofrekvenční, mikrovlnné a anténní techniky. Látku, které se budeme v předmětu věnovat, lze rozdělit do pěti velkých bloků. V prvém bloku se seznámíme se základy teorie elektromagnetického pole. Prostudujeme společně základní jevy a zákony elektromagnetismu, naučíme se je matematicky popisovat a pomocí počítačových programů modelovat. Vytvoříme si tak odrazový můstek pro studium následných partií učebnice. Druhý blok učebnice je věnován anténám a šíření elektromagnetických vln v reálném terénu. Prostřednictvím kapitol druhého bloku se seznámíme se základními principy, na nichž jsou založeny antény, a se základními přístupy k jejich matematickému modelování. Matematické modely antén použijeme ke psaní počítačových programů, které nám umožní realizovat automatizovaný návrh anténních struktur. Dále společně prostudujeme základní typy antén, které se nejčastěji používají v současné komunikační technice. Seznámíme se s jejich typickými parametry a s jejich aplikační oblastí. Třetí blok pro nás znamená přechod od volného prostředí, v němž jsme dosud zkoumali šíření vln a do něhož jsme umísťovali antény, k vedením. Vedením rozumíme strukturu, která na sebe váže elektromagnetickou vlnu (která vlnu vede). Signál nesený elektromagnetickým vlněním, se tedy nešíří všemi směry prostoru, ale je směrován od poskytovatele k uživateli. V třetím bloku se seznámíme se základními typy vedení, s jejich parametry a se základními typy výpočtů. U vybraných úloh se opět seznámíme s možnostmi jejich řešení na počítači. Čtvrtý blok je věnován vysokofrekvenčním obvodům, jejich návrhu a optimalizaci. Seznámíme se s typickými reprezentanty vysokofrekvenčních obvodů, s principy jejich činnosti a s odlišnostmi od jejich nízkofrekvenčních protějšků. Poslední blok je věnován obvodům mikrovlnným obvodům, které pracují na ještě vyšších kmitočtech nežli obvody vysokofrekvenční (typicky nad GHz). V mikrovlnném kmitočtovém pásmu je třeba věnovat pozornost kapacitám a indukčnostem všech částí obvodu, což vyžaduje změnu dosavadního pohledu na elektronické obvody. Pomocí počítačového modelování se pokusíme tyto obvody pochopit a naučit se s nimi pracovat. Čeká nás relativně komplikované studium. Jevy vlnové povahy, s nimiž se budeme společně setkávat, jsou totiž abstraktní a relativně komplikované. Dá proto hodně práce se s nimi seznámit a dobře je pochopit. Nicméně, bez důkladného pochopení těchto jevů lze jen velmi těžko proniknout do tajů antén a mikrovlnných obvodů. Další potíž je způsobena skutečností, že jevy vlnové povahy jsou vícerozměrné. Zatímco signály, s nimiž pracujeme v nízkofrekvenčních elektronických obvodech, se mění pouze v jednom rozměru (v čase), u jevů vlnové povahy musíme pracovat i se změnami prostorovými. Pokud pracujeme s trojrozměrnými strukturami, musíme uvažovat ve čtyřech rozměrech (tím čtvrtým je čas).

6 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Konečně poslední potíží je matematický aparát, který je k popisu elektromagnetických jevů a struktur používán. Samotný aparát je relativně komplikovaný a práce s ním je dosti obtížná. Se všemi popsanými problémy se společně popereme. Bez kvalitních antén a bez kvalitních mikrovlnných obvodů jsou totiž současné komunikační systémy nemyslitelné. A jelikož všechny tyto systémy vymysleli a navrhli lidé jako my, není důvod se předem vzdávat. Mnoho příjemných zážitků ve světě elektromagnetických vln vám přejí autoři. Teorie elektromagnetického pole V této kapitole si zopakujeme fyzikální význam základních veličin a základních zákonů teorie elektromagnetického pole. Budeme postupovat od relativně jednoduchého Coulombova zákona, popisujícího vzájemné silové působení dvou statických elektricky nabitých částic, až po Maxwellovy rovnice v integrálním a diferenciálním tvaru, které nám umožňují vyjádřit dynamické elektromagnetické pole v celé jeho kráse.. Elektromagnetické pole Mějme ve vakuu ve vzdálenosti d od sebe umístěny dva bodové náboje Q a Q [C, coulomb], které mají opačnou polaritu a vzájemně jsou v klidu. Tyto dva náboje se budou přitahovat silou o velikosti QQ F = (.) 4πε d Vztah (.) se jmenuje Coulombův zákon. Symbol π v něm značí Ludolfovo číslo a ε je permitivita vakua (ε = 8,85. - F.m - ). Zatímco hmotné body na sebe působí silou gravitační, bodové náboje se přitahují elektrickou silou. Zatímco hmotný bod kolem sebe vytváří gravitační silové pole, bodový náboj je zdrojem pole elektrického. Kvantitativně je elektrické pole bodového náboje Q popsáno vektorem intenzity elektrického pole E [V.m - ]. Intenzita elektrického pole bodového náboje Q v bodě r udává, jakou silou F by působil bodový náboj Q na jednotkový bodový náboj v místě, popsaném polohovým vektorem r Fr ( ) Q Er ( ) = = r (.) 3 Q 4πε r Vztah (.) předpokládá, že zdroj elektrického pole Q leží v počátku souřadného systému. Symbol r značí polohový vektor bodu, v němž intenzitu počítáme. Dále se pokusme zodpovědět otázku, jak se změní silové působení bodového náboje Q na náboj Q jestliže se tento náboj bude pohybovat rychlostí v. Bodový náboj je hypotetické těleso se zanedbatelnou hmotností a zanedbatelnými rozměry. Je nositelem jediné fyzikální veličiny, a to náboje. Hmotný bod je opět hypotetické těleso. Jedinou fyzikální veličinou, jíž je nositelem, je hmotnost.

7 Vysokofrekvenční technika a antény 5 Problém lze řešit jako relativistickou transformaci Coulombovy síly (.) ze souřadné soustavy, která je pevně svázána s bodovým nábojem Q, do souřadné soustavy, jež se pohybuje rychlostí v []. Popsanou cestou dospějeme ke vztahu µ Qv r Fr ( )= Qv (.3) 3 4π r v němž r je polohový vektor bodového náboje Q (Q leží v počátku souřadné soustavy) a v, v jsou rychlosti příslušných bodových nábojů. Síla, kterou na sebe působí bodové náboje v pohybu, je nazývána silou magnetickou. Silové pole, jenž kolem sebe vytváří náboj v pohybu, je nazýváno polem magnetickým. Magnetické pole bodového náboje Q, pohybujícího se rychlostí v, je kvantifikováno magnetickou indukcí 3 B [T, tesla]. Vztah pro magnetickou indukci získáme obdobným způsobem, jakým jsme dostali z Coulombova zákona vztah pro elektrickou intenzitu, a to vyloučením veličin, které se vztahují se k bodovému náboji Q, z rovnice (.3) µ Qv r Br ( )= (.4) 3 4π r Magnetická indukce udává, jakou silou by působil bodový náboj Q, pohybující se rychlostí v, na jednotkový bodový náboj v bodě r, pohybující se jednotkovou rychlostí 4. Symbol µ značí ve vztahu (.4) permeabilitu vakua (µ =,6. -6 H.m - ). Nyní se přenesme z vakua do a) z b) z ideálního dielektrika, tedy do prostředí B(r) F(r) - bez volných nábojů. Kladné a záporné Q náboje, tvořící navenek neutrální atomy - E(r) v dielektrika, se mohou pohybovat jen r r F(r) uvnitř těchto atomů. Necháme-li tedy na + y + naše dielektrikum působit vnější časově Q Q y v neproměnné elektrické pole, uchovají si atomy jako celek nadále svou neutralitu, x x avšak těžiště kladných a záporných nábojů se posune. Z atomů se stanou elek- b) Magnetická síla, magnetická indukce Obr.. a) Elektrická síla, elektrická intenzita trické dipóly - atomy budou polarizovány. Elektrický dipól je popsán momentem elektrického dipólu p [C.m] dp= Q da (.5) kde da je polohový vektor od záporného ke kladnému pólu atomu a Q je náboj na pólech. a) Evněj B vněj b) Polarizovaný atom je vnějším polem orientován tak, že se směr momentu elektrického dipólu blíží směru intenzity vnějšího pole. Uvnitř dielektrika tak vzniká vnitřní elektrické pole, jehož intenzita má opačnou orientaci ve srovnání s polem vnějším. Výsledné pole v dielektriku je slabší než pole vnější. Q Q da + - E vnitř Obr.. ds a) Elektrický dipól b) Magnetický dipól I 3 4 Správně by měl mít vektor B jméno intenzita magnetického pole. Že tomu tak není, je dáno historickým vývojem této teorie. Uvedená definice je platná pouze v případě, že vektory v a r jsou na sebe kolmé a současně v je kolmé na vektorový součin v r. Důvodem jsou vektorové součiny v (.3).

8 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně V každém atomu krouží po orbitech kolem jádra elektrony. Tento pohyb elektronů po orbitech si můžeme představit jako proudovou smyčku, protékanou proudem I. Jelikož náboje v pohybu vytvářejí magnetické pole, popíšeme v analogii k (.5) působení elementární proudové smyčky momentem magnetického dipólu m [A.m ] dm= I ds (.6) kde ds je vektor plochy, ohraničené proudovou smyčkou. Ve feromagnetiku způsobuje vnější magnetické pole takové natáčení proudových smyček, že se směr momentů magnetických dipólů blíží směru vnější magnetické indukce. Tím dochází uvnitř materiálu k zesilování vnějšího pole. Náš dosavadní pohled na svět lze označit jako mikroskopický, jelikož se zabýval elektrickými a magnetickými poli jednotlivých diskrétních nábojů umístěných ve vakuu či jednotlivými atomy materiálů. Duálně k mikroskopickému pohledu však existuje pohled makroskopický, který nahrazuje kvantity mikroskopického prostoru veličinami, které představují střední statistické hodnoty. Na naše vakuum s volnými náboji se můžeme nyní dívat svrchu jako na prostor s objemovou hustotou náboje ρ [C.m -3 ]. V případě našeho dielektrika, jehož polarizované atomy jsme popisovali momenty elektrického dipólu p, přejdeme do makrosvěta prostřednictvím popisu, který je založen na objemové hustotě dipólového momentu P P= dp dv (.7) P [C.m - ] nazýváme vektorem polarizace. V případě momentu magnetického dipólu zavádíme makroskopickou veličinu vektor magnetizace M [A.m - ] M = dm dv (.8) S vektory polarizace a magnetizace jsou spjaty veličiny jako elektrická indukce D [C.m - ] elektrický indukční tok ψ [C] plochou S D = ε E+ P (.9) ψ = D.dS S (.) magnetická intenzita H [A.m - ] H= B µ M (.) a magnetický indukční tok φ [Wb, weber] plochou S φ = B.dS S (.) Rozdílnost znamének u vektoru polarizace v (.9) a vektoru magnetizace v (.) je dána tím, že elektrické pole uvnitř dielektrika je zeslabováno, kdežto magnetické pole uvnitř feromagnetika je zesilováno. Matematický popis, který se objevil ve vztazích (.7) až (.), se začíná jevit dosti nepříjemně. Např. na pravé straně vztahu (.7), který slouží k výpočtu objemové hustoty dipólového momentu, vystupuje derivace momentu elektrického dipólu podle objemu. Co si pod tím představit? Při čtení diferenciálních rovnic je dobré nahradit derivace diferencemi

9 Vysokofrekvenční technika a antény 7 d p p dv V Symbol V nám popisuje velmi malý objem prostoru, symbol p pak vyjadřuje součet všech dipólových momentů v tomto objemu. Podíl těchto dvou veličin (diferencí) nám pak říká, jak velký dipólový moment připadne na jednotkový objem (však jsme také vektor P nazvali objemovou hustotou dipólového momentu). Čím menší objem V budeme uvažovat, tím přesnější bude náhrada derivace podílem diferencí. Další zděšení pravděpodobně vyvolaly plošné integrály ve vztazích (.) a (.). Zděšení je opět zbytečné. D Představme si, že počítáme integrál (.) po ploše čtverce S, který je rozdělený na velmi malé buňky (obr..3). Uprostřed každé buňky změříme vektor D a tento vektor vynásobíme vektorem plochy buňky ds (velikost vektoru ds je rovna ds ploše buňky, směr vektoru je kolmý k ploše buňky). Popsané Obr..3 součiny vypočteme pro všechny buňky, na něž je čtverec rozdělen, a sečteme je. Čím menší bude plocha buňky, tím přesněji K indukčnímu toku bude odpovídat náš výpočet přesnému výpočtu plošného integrálu. V celé této úvodní kapitole jsme hovořili zvlášť o elektrickém a zvlášť o magnetickém poli. Uvědomme si však, že jakmile se na scéně objeví náboj v pohybu (z makroskopického pohledu proud), vznikne v prostoru jako jeden nedělitelný celek pole elektromagnetické, přičemž elektrická složka pole má svou podstatu popsánu Coulombovým zákonem (.) a složka magnetická jeho analogií (.3).. Maxwellovy rovnice Maxwellovy rovnice jsou základními rovnicemi makroskopické elektrodynamiky. Tyto rovnice popisují elektromagnetické pole v každém bodě prostoru. První Maxwellova rovnice vychází z Ampérova zákona celkového proudu. Říká nám, že součet vodivého proudu indukovaného I ind, Obr..4 První a druhá Maxwel. rovnice vodivého proudu vnuceného zdroji I vn a proudu posuvného 5 dψ/dt, které procházejí v kladném směru plochou ohraničenou uzavřenou křivkou l, je roven cirkulaci vektoru 6 intenzity magnetického pole H po této křivce H.dl= Iind + Ivn + dψ dt (.3) l dl H Iind Ivn d ψ /dt dl E d φ/dt 5 6 Časově proměnné vnější elektrické pole způsobí časově proměnnou polarizaci dielektrika. Vázaný pohyb nábojů v rámci neutrálních atomů dielektrika se nám při pohledu zvnějšku jeví jako proud. Cirkulace vektoru, neboli křivkového integrálu vektoru A po uzavřené křivce l, se není třeba bát. Cirkulaci si totiž můžeme představit jako součet skalárních součinů vektoru A a vektoru elementárního úseku křivky dl v určitém počtu bodů na křivce l. Čím více takových bodů bude, tím blíže bude mít naše představa ke skutečné cirkulaci.

10 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Druhá Maxwellova rovnice vyjadřuje Faradayův indukční zákon: záporně vzatá časová změna magnetického indukčního toku -dφ/dt plochou, která je ohraničena spojitou křivkou l, je rovna cirkulaci vektoru intenzity elektrického pole E po této křivce E.d l= d φ dt (.4) l První dvě Maxwellovy rovnice nám krásně ilustrují naši výše uvedenou zmínku o jednolitosti elektromagnetického pole. První rovnice říká, že proudy, tedy elektrické projevy pole, jsou zdroji vírové 7 složky magnetického pole, kdežto z druhé rovnice vidíme, že časová změna magnetického indukčního toku je zdrojem vírové složky pole elektrického. Třetí Maxwellova rovnice představuje Gaussovu větu elektrostatiky: výtok vektoru 8 elektrické indukce D ven z uzavřené plochy S je roven náboji Q v prostoru ohraničeném S D.d S= Q (.5) S čili zdrojem zřídlové 9 složky elektrického pole je prostorový náboj. Čtvrtou Maxwellovou rovnicí je vlastně zákon spojitosti siločar magnetické indukce: integrál vektoru magnetické indukce B po uzavřené ploše S je roven nule B.dS= (.6) S čili není zřídlových složek magnetického pole. Vektory E, H, B, D a J ind jsou vzájemně svázány materiálovými vztahy. V lineárním isotropním prostředí je: vektor elektrické indukce D přímo úměrný vektoru elektrické intenzity E, přičemž konstantou úměrnosti je permitivita prostření ε D= ε E (.7) vektor magnetické indukce B přímo úměrný vektoru magnetické intenzity H, přičemž konstantou úměrnosti je permeabilita prostředí µ B = µ H (.8) vektor plošné hustoty vodivého proudu J [A.m - ] přímo úměrný vektoru elektrické intenzity, přičemž konstantou úměrnosti je měrná vodivost prostředí γ J = γ E (.9) 7 Vírovým polem nazýváme pole, jehož siločáry nemají ani začátek ani konec, nýbrž jsou do sebe uzavřeny. Siločárou vektoru rozumíme křivku, k níž je vektor v každém místě jeho definičního prostoru tečnou. 8 Rovněž výtok vektoru A není nic hrozného - chodíme po ploše S a v určitém počtu bodů plochy sčítáme skalární součiny vektoru A a vektoru příslušné elementární plochy ds. 9 Zřídlovým polem je pole, jehož siločáry začínají ve zdroji pole (částici s nábojem) a stejně i končí. Parametry lineárního prostředí nezávisejí na velikosti elektromagnetického pole, v němž se toto prostředí nachází. Parametry izotropního prostředí jsou stejné ve všech směrech.

11 Vysokofrekvenční technika a antény 9 Permitivitu prostření ε můžeme rozepsat jako součin permitivity vakua ε a relativní permitivity prostředí ε r (udává, kolikrát větší je permitivita daného prostředí nežli permitivita vakua). Z fyzikálního hlediska permitivita prostředí popisuje schopnost prostředí polarizovat se. Čím větší je permitivita prostředí, tím více je v něm zeslabována elektrická intenzita pole. Obdobně jako permitivitu můžeme rozepsat i permeabilitu prostředí µ = µ µ r. Obr..5 Třetí Maxwel. rovnice Permeabilita prostředí popisuje schopnost prostředí magnetizovat se. Čím větší je permeabilita prostředí, tím více je zesilována magnetická indukce vnějšího pole. V případě lineárního prostředí jsou permitivita a permeabilita konstantami, v nelineárním prostředí se jedná o funkce ε=ε(e) a µ=µ(h). Jestliže je prostředí isotropní, jsou permitivita a permeabilita skalární, v neisotropním prostředí se ε a µ stávají tenzory. Popis elektromagnetického pole integrálními rovnicemi (.3) až (.6) má obecnou platnost. Analýza pole, tedy hledání prostorového nebo časového rozložení intenzit či indukcí pole, je však jejich prostřednictvím velmi obtížná. Pro mnoho situací analytické řešení (.3) až (.6) dosud neexistuje, a tudíž musíme využít numerické metody. Další možností, jak se ze vzniklé situace dostat, je převést integrální rovnice (.3) až (.6) na rovnice diferenciální roth= J + J + D (.) rote ind vn t = B t (.) div D = ρ (.) divb = (.3) V (.) značí symbol ρ [C.m -3 ] objemovou hustotu náboje. Ve výše uvedené formulaci Maxwellových rovnic vystupují dva diferenciální operátory, operátor rotace (rot) a operátor divergence (div). S oběma operátory se nyní podrobněji seznámíme. Čtvrtou Maxwellovu rovnici (.3) můžeme v kartézském souřadném systému xyz přepsat do následujícího tvaru: Q + D ds Tenzor není v případě trojrozměrného prostoru nic jiného nežli matice 3 3. Např. pro lineární anisotropní prostředí v kartézském systému bude rozepsaný materiálový vztah (.7) vypadat následovně: Dx εrxx, εrxy, εrxz, Ex D y = ε ryx ryy ryz E ε, ε, ε, y. Dz εrzx εrzy εrzz Ez,,, Velmi často se k řešení integrálních rovnic využívají tzv. momentové metody. Tyto metody jsou založeny na převedení integrální rovnice na soustavu rovnic lineárních. Po vyřešení soustavy (např. Gaussovou eliminací) dostáváme místo hledané závislosti veličiny na prostorové souřadnici či čase její diskrétní hodnoty v příslušné doméně.

12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně div B = Bx x By + y B + z z Bx x By + y Bz + z Na pravé straně nám vystupuje podíl změny velikosti i-té složky vektoru magnetické indukce B i na malém úseku ve směru i-té souřadné osy a délky tohoto malého úseku i. Výsledkem je tedy změna velikosti složky indukce na jednotkovém úseku ve směru její orientace. Tyto jednotkové změny sečteme pro směry všech souřadných os. Čím větší je součet změn, tím větší je divergence pole. Má-li být divergence magnetické indukce nulová, musejí být v daném bodě některé změny indukce ve směrech souřadných os kladné a některé záporné. Nyní se zaměřme na druhou Maxwellovu rovnici (.). Abychom ji mohli rozepsat, musíme vyjádřit rotaci vektoru E. V kartézském souřadném systému xyz rotaci vyjádříme jako determinant matice x rot E = x Ex y y E y z z E z kde x, y, z jsou jednotkové vektory ve směrech souřadných os. Následně lze vektorovou rovnici (.) rozepsat do soustavy tří rovnic skalárních: E E E z x y y E z E z x E y x z = B x = B y = B Uvedené rovnice nám říkají, že časová změna složky magnetické indukce odpovídá prostorovým změnám těch složek elektrické intenzity v těch směrech, které jsou na magnetickou indukci kolmé. Elektrická intenzita tedy rotuje kolem magnetické indukce. Vidíme tedy, že diferenciální rovnice (.) až (.3) jsou jen jiným matematickým vyjádřením zákonů (.3) až (.6) v integrálním tvaru. Diferenciální rovnice (.) až (.3) se řeší snáze nežli rovnice integrální (.3) až (.6). Avšak na druhou stranu, diferenciální rovnice nemají (na rozdíl od rovnic integrálních) obecnou platnost. Popis elektromagnetických jevů diferenciálními rovnicemi platí totiž pouze v oblastech, ve kterých jsou vektory E, H, D a B spojité, a tudíž diferencovatelné. Zmíněné vektory nejsou spojité tam, kde nejsou spojité materiálové konstanty ε, µ a γ, tedy na rozhraní dvou prostředí. Při řešení takového případu musíme nalézt samostatné řešení zvlášť pro každou materiálovou oblast a poté získaná řešení spojit prostřednictvím okrajových podmínek na rozhraní - složky vektorů intenzit E a H tečné k rozhraní a složky vektorů indukcí D a B kolmé k rozhraní musejí být v obou prostředích stejné. V proměnných polích mají zásadní význam první a druhá Maxwellova rovnice, podle nichž je elektrické vírové pole svázáno s časovou změnou pole magnetického a vírové pole magnetické s elektrickým proudem a časovou změnou pole elektrického. Tato vzájemná vazba způsobuje, že se proměnné pole může odpoutat od původních zdrojů a může se samostatně šířit ve formě elektromagnetických vln. Třetí a čtvrtá Maxwellova rovnice určují zdroje zřídlových polí. Jejich význam při analýze proměnných polí je menší, neboť představují pouze počáteční podmínku první a druhé Maxwellovy rovnice. Předpokládejme, že zdrojem elektromagnetického pole je harmonický proud x y z t t t

13 Vysokofrekvenční technika a antény ( ) = ( + ) it I cos ωt ϕ (.4) m kde t [s] značí čas, I m [A] symbolizuje amplitudu, ω [rad.s - ] je úhlový kmitočet (udává, o kolik radiánů se změní fáze proudu za jednu sekundu) a ϕ [rad] počáteční fáze proudu (fáze v okamžiku, kdy začínáme počítat čas). Vztah (.4) můžeme považovat za vyjádření reálné části komplexní funkce j j t ~ I t = I e = I e e = I e j( t+ ) () m ω ϕ ϕ ω jωt m m (.5) (e je Eulerovo číslo, j imaginární jednotka a I ~ m je komplexní amplituda - fázor proudu). Je přirozené, že v lineárním prostředí harmonický proud vybudí harmonické pole. Veličiny pole tedy můžeme rovněž vyjádřit fázorově. To znamená, že jednotlivými složkami vektorů budou komplexní amplitudy. Převedeme-li do fázorové podoby všechny veličiny, vyskytující se v našich rovnicích, budeme moci vykrátit činitele e jωt a místo součinů a součtů hrůzných goniometrických funkcí typu (.4) dostaneme součiny a součty prostých komplexních amplitud. Poetičnost fázoru rovněž tkví v tom, že jeho derivace podle času přechází na násobení členem jω a komplementárně integrace znamená dělení členem jω. Pro harmonická pole můžeme diferenciální Maxwellovy rovnice přepsat do tvaru rot H ~ = ~ J + ~ J + E ~ ind vn jωε (.6) rot E ~ = jωµ H ~ (.7) div D ~ = ~ ρ (.8) ~ div B = (.9) Ve všech následujících částech této učebnice se budeme zabývat pouze harmonickými elektromagnetickými poli. Všechny veličiny pole tedy budou komplexní čísla - fázory. Tím pádem nemůže dojít k záměně fázoru a reálného vektoru, a tudíž je zbytečné upozorňovat na komplexní charakter veličin vlnovkou. Vlnovku budeme tedy používat pouze v případech, kdy budeme chtít zdůraznit komplexní charakter té které veličiny. Omezení se na harmonická pole sníží obecnost dosažených výsledků jen nepatrně. Ve všech lineárních prostředích lze totiž neharmonický průběh složit z řady průběhů harmonických. Nyní, když dobře rozumíme Maxwellovým rovnicím v diferenciálním tvaru pro harmonická pole, pokusíme se je aplikovat na popis šíření elektromagnetických vln v prázdném prostoru. Od čisté teorie tedy pomalu přecházíme k popisu jevů, které denně využíváme v praktickém životě..3 Rovinná a kulová vlna v homogenním prostředí V celé této podkapitole budeme předpokládat, že se pohybujeme v neomezeném lineárním homogenním isotropním prostředí s permitivitou ε = ε ε r, permeabilitou µ = µ µ r a měrnou vodivostí γ. Navíc se omezíme na případ, kdy je námi zkoumaný prostor prost vnucených proudů J vn a kdy je objemová hustota náboje ρ nulová. Uvažovat budeme pouze přítomnost harmonického elektromagnetického pole o úhlovém kmitočtu ω. O vlnách, které budeme analyzovat, budeme předpokládat, že jsou uniformní - tzn. amplituda elektrické a magnetické intenzity je na vlnoploše konstantní. Vlnoplochou rozumíme plochu, na které mají intenzita elektrického a magnetického pole konstantní fázi.

14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Elektromagnetické pole, které vznikne v určitém místě prostoru, nezaplní tento prostor okamžitě, ale šíří se v něm konečnou rychlostí, jež závisí na vlastnostech prostředí. Chceme-li toto šíření pole analyzovat, musíme nalézt řešení rovnic, jimiž jsou popsány vektory intenzity pole E a H. Vektor intenzity elektrického pole E je popsán tzv. vlnovou rovnicí (pokud intenzita pole této rovnici vyhovuje, elektromagnetické pole se šíří prostorem formou vlny) E+ k E = (.3) Rovněž vektor intenzity magnetického pole H je popsán vlnovou rovnicí H+ k H = (.3) Symbol k ve vztazích (.3) a (.3) značí vlnové číslo k = jωµ ( γ + jωε ). (.3) Vektorovou vlnovou rovnici (.3) můžeme rozepsat na soustavu tří rovnic skalárních. V kartézském souřadném systému dostáváme E x x E x y E x z E + y x E + y y E + y z E + z x E + z y E + z z + k E + k E x + k E z y = = = (.33) Obdobně bychom rozepsali vlnovou rovnici (.3) pro intenzitu pole magnetického. Vztahy (.3) a (.3) vděčí za své jméno své podobě s rovnicemi, popisujícími šíření akustických a mechanických vln. Vyřešením rovnic (.3) a (.3) nalezneme elektrickou a magnetickou intenzitu elektromagnetické vlny, šířící se ve výše popsaném prostoru. Předpokládejme, že zdrojem vlny je všesměrový bodový zářič. Pokud bychom si v určitém časovém okamžiku t udělali snímek generovaného elektromagnetického pole, zjistili bychom, že místa se stejnou fází elektrické nebo magnetické intenzity, vlnoplochy, jsou soustředné kulové povrchy se středem v bodovém zářiči. Říkáme tedy, že prostorem se šíří kulová vlna. Společný střed kulových vlnoploch nazýváme fázovým středem. Pokud bude zdrojem vlny harmonický proud, protékající nekonečně dlouhým přímým vodičem, budou mít vlnoplochy válcový tvar a hovořit budeme o šíření válcové vlny. Budeme-li kulovou nebo válcovou vlnu pozorovat z místa téměř nekonečně vzdáleného od zdroje, bude zakřivení vlnoploch tak malé, že budeme moci považovat vlnoplochu za rovinnou. Z našeho hlediska se tedy bude prostorem šířit rovinná vlna..3. Šíření rovinné vlny Pro řešení vlnových rovnic použijeme kartézskou souřadnou soustavu, kterou budeme orientovat tak, aby byla osa z orientována do směru, v němž se vlna šíří, a aby vektor intenzity elektrického pole E ležel v ose x. Vektor E tedy bude mít jedinou nenulovou složku, složku E x. Ze soustavy (.33) nám tedy zůstane pouze první rovnice. Amplituda nenulové složky elektrické intenzity E x se bude měnit pouze ve směru šíření z; v důsledku útlumu se bude zmenšovat. Ve směrech x a y, tedy na vlnoploše, bude vzhledem

15 Vysokofrekvenční technika a antény 3 k předpokládané uniformitě vlny amplituda E x konstantní. To znamená, že všechny parciální derivace podle x a podle y budou nulové. První rovnice soustavy (.33) proto přejde na tvar d Ex + k E x = (.34) dz Obecné řešení rovnice (.34) může být zapsáno dvěma ekvivalentními způsoby, a to pomocí exponenciál jkz Ex = Ae + Be nebo pomocí goniometrických funkcí + jkz ( ) ( ) (.35a) Ex = A sin kz + B cos kz (.35b) Symboly A, B, A a B jsou integrační konstanty. Zápisu (.35b) dáváme přednost v případě, kdy očekáváme vznik stojatého vlnění: primární vlna, která přichází od zdroje, se skládá s vlnou sekundární, jež vznikla např. odrazem primární vlny od nějaké překážky. Jelikož my se budeme v této kapitole zabývat šířením vlny, vybereme si zápis (.35a). V řešení rovnice (.35a) hraje důležitou roli vlnové číslo k. Proto mu nyní věnujme svou pozornost. Nejprve přepíšeme jeho definiční vztah (.3) do tvaru ( ) k = jωµ jω ε jγ ω (.36) Výraz uvnitř závorky budeme nazývat komplexní permitivitou prostředí ε ~. Díky tomuto označení se nám vztah pro vlnové číslo podstatně zjednoduší k = ω µε ~ (.37) Nyní vlnové číslo (.37) odmocněme a omezme se přitom pouze na kladný kořen (skutečnost, že kořeny jsou dva, jsme respektovali již ve vztahu.35a uvažováním dvou sčítanců s rozdílnými znaménky v argumentu exponenciální funkce). Zatímco ω a µ jsou kladná reálná čísla, a tudíž i jejich odmocnina bude kladné reálné číslo, ε ~ je komplexní číslo se záporným argumentem, jehož odmocnina je rovněž komplexní číslo se záporným argumentem. Kladný kořen k tedy můžeme zapsat ve tvaru k = k jk (.38) Výsledek (.38) dosadíme zvlášť do prvního a zvlášť do druhého sčítance v (.35a). Lépe tak totiž vynikne jejich fyzikální význam: ( ) j k jk z kz jkz Ex ()= z Ae = Ae e (.39) Uvědomme si, že pracujeme s fázory. Vyšetřovaná intenzita elektrického pole má tedy i svůj časový rozměr: kz j( ω t k z) Ex ( z, t) = Ae e (.4) Jak bylo zmíněno v předešlém, reálný signál je reálnou částí fázorové funkce kz (, ) = cos( ) Ex z t Ae ω t k z (.4) Ze získaného vztahu nyní krásně vyplývá fyzikální význam konstant: Symbol A značí amplitudu x-ové složky vektoru intenzity elektrického pole v počátku souřadného systému A = E x (z=).

16 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Symbol k [m - ] je tzv. měrný útlum. Popisuje zmenšování amplitudy vlny ve směru osy z, tedy ve směru šíření. V důsledku nenulové vodivosti prostředí γ vlna v tomto prostředí indukuje proudy, které prostředí ohřívají. Vše se děje na úkor energie naší vlny. Symbol k [rad.m - ] je tzv. měrná fáze. Udává nám, o kolik radiánů se na fotografii vlny 3 x změní její fáze na dráze z dlouhé jeden metr. vlnoplocha Vztah (.4) nám rovněž krásně ilustruje časoprostorový E charakter vlny. Stojí-li pozorovatel v místě z = z, bude se mu vlnění jevit jako harmonická funkce v čase. Pokud pozorovatel kz z vyfotografuje vlnu v čase t = t, uvidí na snímku vlnu jako harmonickou funkci v prostoru. α z k k yy Z argumentu kosinu v (.4) vidíme, že časový člen ωt se y směr šíření od členu prostorového kz liší znaménkem. Je-li časový člen kladný a prostorový záporný nebo zdali je tomu naopak, je věcí dohody. My budeme v celé učebnici používat znaménka tak, jak jsou vlny v obecném směru Obr..6 Šíření rovinné uvedena v (.4). Kromě výše uvedených parametrů je vlnění popisováno jeho fázovou rychlostí a vlnovou délkou. Představme si, že v čase t je na vlnoploše (x, y, z ) fáze φ = ωt k z (.4) Fázová rychlost v f [m.s - ] udává vzdálenost z, jakou naše vlnoplocha s fází φ urazí za jednu sekundu, tedy dz d ω v dt dt k t φ f = = (.43) k Jelikož ω, k a φ jsou konstanty, bude výsledkem naznačené derivace vf = ω k (.44) Vlnová délka λ [m] udává dráhu, kterou vlnoplocha s fází φ urazí za dobu, jež odpovídá časové periodě vlny T [s] λ = vft = vf f (.45) Zde f [Hz] je kmitočet vlny a f = T -. Odsud vyplývá, že fázový posuv mezi dvěma body na ose z, které jsou vzdáleny λ, je π radiánů. Jelikož reálná část vlnového čísla udává, o kolik radiánů se změní fáze na jednom metru v ose z, lze k vyjádřit pomocí vlnové délky jako k = π λ (.46) Nyní se opět vraťme k obecnému řešení vlnové rovnice (.35a) a zaměřme svou pozornost na její druhý sčítanec. Reálný časoprostorový signál, odpovídající tomuto členu, bude kz (, ) = cos( + ) Ex z t Ae ω t k z (.47) Fázová rychlost, vyplývající z argumentu goniometrické funkce v (.47), je dána výrazem 3 Představit si pole zároveň v prostoru i čase je velmi obtížné. Zajímá-li nás tedy pouze prostorové rozložení vlny, čas si zastavíme (pole vyfotografujeme a vypočteme jeho závislost na prostorových souřadnicích v jediném časovém okamžiku t = t ).

17 Vysokofrekvenční technika a antény 5 vf = ω k (.48) Vidíme, že fázová rychlost je orientována do směru -z a že amplituda funkce (3.7) ve směru -z klesá. Ze získané zkušenosti tedy můžeme říci, že (.47) popisuje elektrickou intenzitu rovinné harmonické vlny, šířící se ve směru -z. Této vlně se říká zpětná vlna, a jak již bylo řečeno, vzniká např. odrazem přímé postupné vlny (.4) od nějaké nehomogenity prostředí. Vlnové číslo má vektorový charakter. Velikost vlnového vektoru je dána vztahem (.3), jeho směr je totožný se směrem šíření vlny. V námi uvažované situaci byl tedy vlnový vektor k = kz. Pokud bychom souřadný systém pootočili o úhel α ( viz obr..6), bude mít vlnový vektor vedle z-ové složky nenulovou i složku y-ovou. Složky počítáme klasickým způsobem. Např. pro reálné části k platí ( ) ( ) k z = k cos α (.49a) k y = k sin α (.49b) Fázové rychlosti ve směrech souřadných os spočítáme následujícím způsobem: v fy ω = = k y ω k sin = v ( α) sin( α) Obdobně postupujeme při výpočtu vlnové délky ve směrech souřadných os: f (.5) λ y π π = = k sin k y = λ ( α) sin( α) (.5) Skutečnost, že se vzrůstem úhlu mezi směrem šíření a směrem, v němž počítáme vlnovou délku, vlnová délka roste, je ilustrována obr..7. Pokud v určitém směru vzroste vlnová délka, musí v něm vzrůst i fázová rychlost, jelikož fáze musí během periody T nyní urazit větší vzdálenost. Dále zaměřme pozornost na vektor intenzity magnetického pole H naší vlny. Dospějeme k němu buď řešením vlnové rovnice (.3) nebo y dosazením vypočtené intenzity elektrického pole E (.35a) do druhé Maxwellovy rovnice λy λ α λz Obr..7 Pohled "shora" na rovinnou vlnu. Maximum intenzity pole černě, minimum bíle. k z H = j rot E (.5) ωµ Jednotlivé složky vektoru magnetické intenzity jsou pak dány vztahy H y H = x = H = (.53a) z γ + jωε E jωµ x (.53b) Konstanta úměrnosti mezi elektrickou a magnetickou intenzitou Z = µ ε ~ (.54) se nazývá vlnová impedance prostředí Z [Ω]. Všimněme si, že vektory intenzity elektrického a magnetického pole jsou vzájemně kolmé. Oba vektory jsou navíc kolmé ke směru šíření vlny. Můžeme tedy říci, že rovinná vlna

18 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně x H E Obr..8 y Intenzita rovinné vlny ve volném prostoru z ve volném prostoru je příčně (transversálně) elektromagnetická (TEM). Tedy, vektory intenzity elektrického a magnetického nemají podélné (longitudiální) složky neboli jejich složky, rovnoběžné se směrem šíření, jsou nulové (viz obr..8). Obr..8 je znázorňuje okamžitou velikost vektorů E a H v nějakém časovém okamžiku t na ose z. Vzhledem k uniformitě vlny tento obrázek platí i pro libovolnou rovnoběžku s osou z. Obr..8 je nakreslen pro ztrátové prostředí; proto jsou intenzita elektrického pole a intenzita pole magnetického navzájem fázově posunuty, a proto jejich amplituda ve směru šíření klesá. Dále se ještě zmiňme o Poytingovu vektoru * Π = E H (.55) jehož směr je totožný se směrem šíření vlny a jehož velikost má význam plošné hustoty komplexního výkonu, neseného elektromagnetickou vlnou. Ve vztahu (.55) značí symbol vektorový součin a * komplexní sdruženost složek vektoru H 4. x z ϕ ϑ Obr..9 Sférická souřadná soustava (r,, ) ϕϑ r P y.3. Šíření kulové vlny Obecný rozbor šíření kulové vlny je matematicky náročný, a proto se s ním seznámíme jen v přehledu. Rozbor šíření kulové vlny vychází z vlnové rovnice A + k A = (.56) V této rovnici je k vlnové číslo a A značí vektorový potenciál. Dříve, než začneme vlnovou rovnici (.56) řešit, vysvětleme si stručně význam potenciálu. Začněme přitom u nám dobře známého potenciálu skalárního ϕ [V, volt]. Skalární potenciál usnadňuje analýzu elektrostatických problémů, tedy problémů, kdy jsou elektrické náboje v klidu. Pokud jsou elektrické náboje v klidu, všechny časové derivace se rovnají nule a pole je popsáno první a třetí Maxwellovou rovnicí ve tvaru rot E =, dive = (.57a, b) Jelikož rotace gradientu je identicky rovna nule, bude vztah (.57a) vždy splněn, položíme-li E = gradϕ (.58) (ϕ je zmíněný skalární potenciál). Pak nám stačí řešit jedinou skalární rovnici (.57b), která přejde po dosazení za intenzitu elektrického pole z (.58) na tzv. Laplaceovu rovnici 4 Důvod pro komplexní sdruženost vektoru H je shodný s důvodem, z jakého jsme v teorii obvodů při výpočtu komplexního výkonu komplexně sdružovali proud P=UI * : fáze komplexního výkonu je dána fázovým posuvem mezi napětím a proudem, a tudíž musíme od fáze napětí fázi proudu odečíst. Kdybychom nepoužili pro výpočet komplexního výkonu komplexně sdruženého proudu, fáze napětí a proudu bychom při násobení sčítali.

19 Vysokofrekvenční technika a antény 7 ϕ = (.59) Vztah (.59) platí všude tam, kde je potenciál konečný a spojitý. Díky (.59) máme pole popsáno jedinou parciální diferenciální rovnicí pro skalární funkci ϕ. Na druhou stranu, jestliže vztah (.59) platí pro nějaký potenciál ϕ, bude platit i pro ϕ =ϕ + konst, protože derivace konstanty je nula. Potenciál tudíž není vztahem (.59) určen jednoznačně. Díky této skutečnosti získáváme naprostou volnost volby hladiny nulového potenciálu. Potenciál ϕ má i svůj fyzikální význam, vyplývající ze vztahu (.58) E dr = grad ϕ dr = dϕ Jelikož součin E dr je roven práci, kterou by pole vykonalo při přesunu jednotkového náboje po elementární dráze dr (připomeňme, že intenzita je síla lomeno náboj), udává nám elementární potenciál dϕ úbytek (proto záporné znaménko) potenciální energie tohoto jednotkového náboje v našem elektrostatickém poli. Co se týká vektorového potenciálu A [T.m], ten zavedeme tak, aby byla identicky splněna čtvrtá Maxwellova rovnice div B = Jelikož identicky rovna nule je divergence rotace, definujeme vektorový potenciál vztahem B = rot A (.6) Rozložení potenciálu A tedy jednoznačně určuje pole B. Naopak určitému poli B neodpovídá jediný potenciál A. Jestliže (.6) platí pro nějaký vektor A, je potom tento vztah splněn i pro všechny možné vektory A =A + grad ψ, kde ψ je libovolná skalární funkce. Rotace gradientu je totiž identicky rovna nule. Popsané nejednoznačnosti se zbavíme, pokud formulujeme pro A nějakou dodatečnou podmínku. Zavedení této dodatečné podmínky je nazýváno kalibrací potenciálu. Jednou z možných kalibrací je kalibrace Lorentzova: ( ω ) ϕ = j k div A (.6) Použijeme-li tuto kalibraci, je dynamický elektromagnetický systém popsán nehomogenní vlnovou rovnicí pro vektorový potenciál A + k A = µ Jvn (.6) a homogenní vlnovou rovnicí pro potenciál skalární ϕ + k ϕ = (.63) Díky vektorovému a skalárnímu potenciálu nám stačí řešit namísto osmi rovnic pro šest neznámých (.6) až (.9) 5 pouze čtyři rovnice (.6) a (.63) pro čtyři neznámé A x, A y, A z a ϕ. Magnetickou intenzitu vypočteme z upraveného (.6) H= rot A µ (.64) Vztah pro elektrickou intenzitu dostaneme dosazením skalárního potenciálu ϕ z kalibrační podmínky (.6) do vztahu 5 První dvě Maxwellovy rovnice jsou rovnicemi vektorovými, které můžeme rozepsat vždy na soustavu tří rovnic skalárních (dohromady tedy dostáváme soustavu šesti rovnic). Třetí a čtvrtá Maxwellova rovnice jsou rovnicemi skalárními. Dohromady tedy dostáváme osm skalárních rovnic pro tři neznámé složky intenzity elektrického pole E = (E x, E y, E z ) a pro tři neznámé složky intenzity pole magnetického H = (H x, H y, H z ).

20 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně čímž dospějeme ke vztahu E+ jω A = grad ϕ (.65) ( grad div k ) E= jω A+ A (.66) Ze vztahu (.6) je vidět, že vektorový potenciál má stejný směr jako je směr vnucených proudů. Známe-li tedy směr vektoru hustoty proudu J vn, který je zdrojem pole, známe i směr hledaného vektorového potenciálu A. To nám může dosti ulehčit výpočet. Závěrem se zmiňme o fyzikálním významu potenciálů A a ϕ. Význam vektorového potenciálu A vyplývá z definičního vztahu pro magnetický indukční tok plochou S (.6) Φ= B. ds = rot A. ds = A. dr S S l Na základě uvedeného vztahu můžeme říci, že magnetický indukční tok plochou S je roven cirkulaci vektorového potenciálu po okrajové křivce této plochy. Co se týká skalárního potenciálu ϕ, budeme při hledání jeho významu postupovat stejně jako u elektrostatického pole. Vyjdeme přitom ze vztahu (.65) dϕ = grad ϕ. dr = E. dr+ jωa. dr Z výše uvedeného vztahu je nyní zřejmé, že celkový úbytek potenciální energie jednotkového náboje -dϕ je dán prací elektrického pole E dr a prací pole magnetického jωa dr. O vztahu elektrického pole a skalárního potenciálu jsme se již zmínili, vztah potenciálu ϕ a magnetického pole je dán Faradayovým indukčním zákonem ϕ = jωφ = jωa. dl l který říká, že indukované napětí je rovno časové změně magnetického toku plochou, ohraničenou křivkou l. Nyní, když jsme si vysvětlili význam vektorového potenciálu, vrátíme se k vlnové rovnici (.56) a operátor rozepíšeme pro sférický (kulový) souřadný systém: ϑ A A A + sin + k A + = (.67) r r sinϑ ϑ ϑ sin ϑ ϕ Řešení rovnice (.67) je založeno na předpokladu, že každou složku vektorového potenciálu A lze vyjádřit ve tvaru A = R() r φ( ϕ) Θ ( ϑ) (.68) Tímto předpokladem v podstatě vyjadřujeme skutečnost, že rozložení pole v jednom směru je nezávislé na rozložení pole ve zbývajících dvou směrech. Separací proměnných získáme pro funkci R(r) Besselovu rovnici ( + ) d R nn + R = (.69) dr ρ kde ρ=kr a n je separační konstanta. Řešení (.69) lze zapsat pomocí Besselovy funkce R πρ ( ρ) ( ρ) = J n + (.7a)

21 Vysokofrekvenční technika a antény 9 nebo pomocí Hankelovy funkce druhého druhu R πρ ( ) ( ρ) ( ρ) = H n + (.7b) Pro funkci φ(ϕ) vychází diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty, jejímž řešením je lineární kombinace goniometrických funkcí. Pro funkci Θ(ϑ) dojdeme k Laplaceově diferenciální rovnici d dθ m ( x ) nn ( ) dx dx + + Θ = (.7) x kde x=cosϑ a m je separační konstanta. Složitý výsledek se podstatně zjednoduší pro uniformní vlnu (m=n=) ve velké vzdálenosti od zdroje (kr>>) jkr E = Ce r (.7) kde C je zdrojová konstanta. V bezeztrátovém prostředí (reálné vlnové číslo k) klesá amplituda ve směru šíření nepřímo úměrně s první mocninou vzdálenosti r a fáze se mění stejně jako u rovinné vlny. Uvážíme-li, že výkon, procházející libovolnou kulovou plochou se středem ve zdroji, musí být v bezeztrátovém prostředí konstantní a že plocha kulového povrchu je dána vztahem S = 4π r (.73) neměl by být pro nás (.7) žádným překvapením. Jelikož kulová vlna je důležitá pro naše další studium, určíme ještě zdrojovou konstantu C. Budeme přitom předpokládat, že naší kulovou uniformní vlnu produkuje všesměrový (isotropní) bodový zdroj. Dále předpokládejme, že vlastnosti kulové vlny se blíží vlastnostem vlny rovinné, a tudíž výkon, procházející libovolnou kulovou plochou se středem ve zdroji, je roven výkonu, vyzařovanému zdrojem E PΣ = 4π r (.74) Z Známe-li výkon vyzařovaný zdrojem P Σ, můžeme po dosazení (.7) do (.74) vypočíst zdrojovou konstantu C P Z = Σ (.75) π Jelikož v bezeztrátovém prostředí platí pro vlnovou impedanci vztah Z = π µ r ε r (.76) přejde (.75) na tvar C = 6P 4 Σ µ r ε r (.77) Na základě (.7) a (.77) můžeme napsat vztah pro efektivní hodnotu elektrické intenzity kulové vlny ve vzdálenosti r od zdroje

22 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně P r Eef = 3 Σ µ 4 (.78) r ε r Skutečné zdroje nejsou prakticky nikdy isotropní. To však nemění nic na podstatě kulové vlny. Jen intenzity pole v různých směrech mají různou velikost, tzn. vlna není uniformní. Tato skutečnost se často respektuje směrově závislým činitelem D(ϕ,ϑ), který připisujeme pod odmocninu ve vzorci (.78) E ef (, ) PD r = 3 Σ ϕϑ µ 4 r ε r (.79) Veličinu D(ϕ,ϑ) nazýváme činitelem směrovosti zdroje. Činitel směrovosti D nabývá hodnoty větší než jedna v těch směrech, do nichž zdroj záření soustřeďuje. Činitel směrovosti D nabývá hodnoty menší než jedna v těch směrech, v nichž je záření potlačováno. Činitel směrovosti všesměrového zdroje je pro všechny směry roven jedné..4 Výpočty s rovinnou vlnou v MATLABu Při řešení problémů s rovinnou vlnou se jeví jako nejnáročnější přepočet intenzity (elektrické nebo magnetické) z jednoho bodu homogenního ztrátového prostředí do bodu jiného. Proto si ukážeme, jak naprogramovat tuto transformaci v MATLABu: function [ modb, phsb] = AToB( moda, phsa, xa, ya, xb, yb, bet, f, mir, epr, gam) mi = 4e-7*pi; % permeabilita vakua ep = 8.85e-; % permitivita vakua c = 3e+8; % rychlost světla ve vakuu lam = c/f; % vlnová délka ve směru šíření ve vakuu bet = bet*pi/8; % převod úhlu dopadu vlny na radiány eprc = epr - j*6*lam*gam; % komplexní permitivita k = *pi/lam; % vlnové číslo ve směru šíření ve vakuu k = k * sqrt( mir*eprc); % vln.číslo přepočteno pro dané prostředí kx = k*cos( bet); % velikost průmětu vln.vektoru do osy x ky = k*sin( bet); % velikost průmětu vln.vektoru do osy y IA = moda*exp(j*phsa); % intenzita v bodě A (fáze v radiánech) IB = IA*exp( -j*kx*(xb-xa)-j*ky*(yb-ya)); modb = abs( IB); % modul intenzity v bodě B phsb = angle( IB)*8/pi; % fáze intenzity v bodě B Funkce AToB počítá na základě modulu moda a fáze phsa intenzity pole (elektrické nebo magnetické) v bodě A (xa, ya) modul modb a fázi phsb intenzity pole (elektrického nebo magnetického) v bodě B (xb, yb). K provedení popsaného výpočtu musíme samozřejmě znát kmitočet vlny f, úhel šíření vlny bet, relativní permeabilitu mir a permitivitu epr prostředí a jeho měrnou vodivost gam..5 Kontrolní příklady. Uniformní rovinná vlna o kmitočtu f = 5 MHz se šíří ve směru, odchýleném od osy x o úhel α = 6, homogenním prostředím s relativní permitivitou ε r = 9, relativní permeabilitou µ r = a měrnou vodivostí γ =. S/m. V bodě A (4 m, - m) byla naměřena intenzita elektrického pole E (A) = mv/m s referenční (nulovou) fází. Následující veličiny

23 Vysokofrekvenční technika a antény vypočtěte nejprve při zanedbání ztrát v prostředí a poté je srovnejte s přesným výsledkem: a) vlnovou délku ve směru šíření λ a vlnové délky ve směrech souřadných os λ x, λ y ; b) fázovou rychlost ve směru šíření v f, fázovou rychlost ve směru souřadné osy x v f,x a fázovou rychlost ve směru β = 45 v fβ ; c) vlnové číslo ve směru šíření k a vlnová čísla ve směrech souřadných os k x, k y ; d) intenzitu magnetického pole v bodě A H (A) a fázový posuv mezi elektrickou a magnetickou intenzitou v daném bodě; e) činný výkon plochou S =. m, která se nachází v bodě A a je () kolmá na směr šíření, () leží v rovině xz; f) intenzitu elektrického pole v bodě B (- m, m) E (B) ; g) vzdálenost dvou bodů na rovnoběžce s osou x, v nichž je rozdíl fází intenzity pole Φ = 35 ; h) vzdálenost dvou bodů na ose x, v nichž je poměr amplitud intenzity pole q = 3. [ a) λ = m; λ x = 4 m; λ y =.3 m; b) v f = 8 m/s; v fx =. 8 m/s; v fβ =.4 8 m/s; c) k = 3.4 rad/m; k x =.57 rad/m; k y =.7 rad/m; d) H (A) = 7.96 µa/m; Φ = ; e) P č =.59 nw; P č =.38 nw; f) E (B) = e j.6 mv/m; g) x =.5 m; h) v bezeztrátovém prostředí je amplituda vlny všude stejná a) λ =.96 m; λ x = 3.9 m; λ y =.6 m; b) v f = m/s; v fx = m/s; v fβ =. 8 m/s; c) k' = 3. rad/m; k x ' =.6 rad/m; k y ' =.77 rad/m; k" =.6 /m; k x " =.3 /m; k y " =.54 /m; d) H (A) = 8.5 µa/m; Φ = -.9 ; e) P č =.6 nw; P č =.4 nw; f) E (B) =.7 e j.9 mv/m; g) x =.47 m; h) x = m]. Rovinná uniformní vlna o kmitočtu f = 3 MHz se šíří prostředím s relativní permitivitou ε r =, relativní permeabilitou µ r = 9 a zanedbatelnou měrnou vodivostí ve směru, odchýleném od osy x o úhel α = -3. V bodě A (r = 3 m, ϕ = ) má vlna intenzitu E (A) =. mv/m. Vypočtěte: a) intenzitu elektrického a magnetického pole v bodě B( r = m, ϕ = 5 ); b) fázovou rychlost a vlnovou délku ve směru osy y; c) výkon, procházející plochou S = cm, jež leží v rovině xz; d) tři body na ose x ležící nejblíže počátku P (, ), v nichž má vlna nulovou fázi. [ a) E (B) =. exp(+j33 ) mv/m; H (B) = 7.7 exp(+j33 ) µa/m; b) v f,y =. 8 m/s; λ y = 66.7 m; c) P = 7.7 pw; d) x = m,.65 m, 4. m ] 3. Rovinná uniformní vlna o kmitočtu f = 3 MHz se šíří prostředím s relativní permitivitou ε r = 4, relativní permeabilitou µ r = 4 a zanedbatelnou měrnou vodivostí ve směru odchýleném od osy x o úhel α =. V bodě A ( m, 5 m) má vlna magnetickou intenzitu H (A) = µa/m. Vypočtěte: a) intenzitu elektrického pole v bodě B (5 m, m); b) fázovou rychlost a vlnovou délku ve směru β = 3 ; c) výkon, procházející plochou S = dm, která je kolmá na směr β = 3 ;

24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně d) výkon všesměrového zdroje záření, který ze vzdálenosti r = km vytvoří v počátku souřadné soustavy P (,) stejně velkou intenzitu pole, jakou má naše rovinná uniformní vlna. [ a) E (B) = 3.77 exp(+j47.5 ) mv/m; b) v f = m/s; λ β =.5 m; c) P = 3.77 nw; d) P =.474 W ].6 Kontrolní otázky. Jakou silou se vzájemně přitahují dva bodové náboje +Q a Q, které jsou od sebe vzdáleny d metrů a jsou v klidu?. Jak se silové působení mezi náboji z otázky č. změní v případě, kdy se bodový náboj Q začne pohybovat rychlostí v, která je kolmá na spojnici obou nábojů? 3. Vysvětlete, co je to elektrický dipól a magnetický dipól. 4. Vysvětlete postup, kterým přejdeme od mikroskopického pohledu na elektromagnetické jevy k pohledu makroskopickému. 5. Jaké makroskopické veličiny odpovídají mikroskopickému momentu elektrického dipólu a momentu magnetického dipólu? 6. Vysvětlete pojmy elektrický indukční tok a magnetický indukční tok. Jak můžeme numericky vyčíslit plošné integrály, které vystupují ve vztazích pro toky? 7. Vysvětlete fyzikální podstatu jevů, které jsou popsány Maxwellovými rovnicemi. 8. Vzájemně porovnejte vyjádření Maxwellových rovnic v integrálním tvaru s vyjádřením v tvaru diferenciálním. Jaké jsou rozdíly mezi zmíněnými způsoby zápisu? 9. Vysvětlete fyzikální význam vektorového a skalárního potenciálu. V jakých jednotkách se potenciály udávají?. Co vyjadřuje termín vlnoplocha? Jak klasifikujeme vlny z hlediska tvaru vlnoplochy?. Vysvětlete termíny vlnové číslo, měrná fáze a měrný útlum. Jaký je vzájemný vztah mezi uvedenými veličinami? V jakých jednotkách se tyto veličiny udávají?. Vysvětlete termíny fázová rychlost a vlnová délka. Jak tyto veličiny v případě rovinné vlny závisejí na úhlu mezi směrem šíření a směrem, v němž tyto veličiny počítáme? 3. Co je to vlnová impedance prostředí, jak ji vypočteme a v jakých jednotkách ji udáváme? 4. Co je to Poyntingův vektor, jak ho vypočteme a v jakých jednotkách ho udáváme? 5. Jak závisí amplituda intenzity pole na vzdálenosti od zdroje u rovinné vlny a u vlny kulové (v bezeztrátovém prostředí)? 3 Antény a šíření elektromagnetických vln Třetí kapitola naší učebnice sestává ze dvou částí. První část navazuje na předchozí kapitolu studiem šíření elektromagnetických vln v reálném terénu. Druhá část se pak věnuje zdrojům elektromagnetických vln tedy anténám.

25 Vysokofrekvenční technika a antény 3 3. Vlny v reálném terénu V předchozí kapitole jsme poznali zákony šíření elektromagnetických vln v prázdném homogenním prostředí. Ve většině praktických aplikací (rádiové komunikace, radiolokace, radionavigace ap.) se vlny šíří podél povrchu Země anebo v jeho blízkosti. Zde je prostředí nestejnorodé a značně složité. To má podstatný vliv na šíření vln. S hlavními důsledky se nyní seznámíme. 3.. Mechanismy šíření vln v blízkosti Země V blízkosti Země se vlny šíří podél rozhraní dvou prostředí, která mají podstatně rozdílné elektrické parametry. Vzduch se z elektrického hlediska blíží vakuu, povrch Země je částečně vodivé dielektrikum. Z geometrického hlediska je rozhraní v makroskopickém pohledu kulovité, místně je různě zvlněné a v detailu je drsné (malé terénní nerovnosti, porost, zástavba). Samotná atmosféra není homogenní a ve větších výškách je ionizována působením slunečního záření. To vše má vliv na šíření vln. Je zřejmé, že v technické praxi není možné respektovat všechny tyto skutečnosti přesně v každé jednotlivé situaci. Pro výpočty si proto vytvoříme zjednodušené modely. Každý model vezme v úvahu jen ty faktory, které jsou v určitých podmínkách nejpodstatnější. Při navrhování rádiového spojení si vybereme z těchto modelů ten, který je v naší konkrétní situaci nejvýstižnější a podle něho počítáme. O volbě optimálního modelu rozhodují hlavně kmitočet vlny, délka trasy a poloha antény. Podle obr. 3. si nyní vysvětlíme 4 ionosféra pět hlavních modelů šíření. Místo 5 termínu model šíření budeme v dalším používat v přesně stejném smyslu termín P V mechanismus šíření (spojení) anebo 3 zkráceně jen termín vlna s konkrétní specifikací. Mezi vyvýšenou vysílací anténou V Obr. 3. Mechanismy šíření vln. a přijímací anténou P se může vlnění šířit () vlna přímá, (+) vlna prostorová, (3) vlna povrchová, (4) vlna ionosférická, pouze vzduchem podél spojnice VP, v (5) troposférický rozptyl obrázku označené. Šíření není ovlivněné zemí ani ionosférou. Pak hovoříme o mechanismu šíření přímou vlnou, anebo krátce o vlně přímé. Mechanismus je typický při spojení na velmi vysokých kmitočtech (několik GHz a víc) a při výše položených anténách, mezi nimiž je přímá viditelnost. Současně s vlnou přímou často existuje i vlna odražená, v obrázku označená. Obě vlny existují současně, intenzita pole v P je součtem intenzit přímé a odražené vlny. Takovou situaci (model) budeme nazývat mechanismus šíření prostorou vlnou, nebo prostě šíření prostorové vlny. Mechanismus vyžaduje vyvýšené antény, přímou viditelnost a je typický pro kmitočtovou oblast asi od 3ti MHz do několika GHz. Rozhraní mezi vodivým prostředím (povrch Země) a nevodivým (vzduch) je schopné vést elektromagnetické vlny podobně jako třeba vodivý drát. Tento mechanismus (3) budeme nazývat povrchovou vlnou (přízemní vlnou). Povrchová vlna sleduje zemský povrch. Vybudí se, když vertikální antény jsou bezprostředně při zemi a je typická pro spojení na nízkých kmitočtech do několika MHz. Mechanismus ionosférické vlny (4) využívá působení ionosférických vrstev na dráhy vln. Ty se v ionosféře zakřivují a za vhodných podmínek se obrací zpět k Zemi. Tak lze za-

26 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně bezpečit rádiové spojení na vzdálenost až 4 km jediným odrazem od ionosféry. Několika odrazy střídavě od země a od ionosféry lze pak dosáhnout prakticky kteréhokoli místa na Zemi. Pro ionosférickou vlnu je typická kmitočtová oblast do 3ti MHz. Mechanismus šíření troposférickým rozptylem (5) využívá existence nehomogenit v troposféře. Vlivem turbulentního proudění vzduchu vznikají místa s nepatrně odlišnými fyzikálními parametry a tedy i s odlišnou permitivitou. Jsou to nepravidelné útvary s rozměry řádově jednotek až desítek metrů. Okem nejsou viditelné, ale pro rádiové vlny se chovají jako dielektrická tělesa. Dopadající vlnění rozptylují a rozptýlené vlnění lze pak přijímat až poměrně daleko za horizontem. Je ovšem velmi slabé. Popsaný mechanismus je typický pro kmitočtovou oblast stovek MHz a jednotek GHz a lze jím překlenout vzdálenosti řádu stovek kilometrů. V poslední době se tento mechanismus využívá málo. Nahrazuje jej spojení pomocí družic. 3.. Spojení přímou vlnou Přímá vlna se šíří volnou atmosférou. Až do kmitočtu asi GHz se atmosféra chová téměř jako vakuum, takže intenzitu pole přímé vlny lze počítat podle vztahu (.79), odvozeného v čl..3. pro kulovou vlnu: Eef = 3P Σ D r (3.) E ef je efektivní hodnota intenzity pole ve vzdálenosti r, P Σ je vyzařovaný výkon a D je činitel směrovosti vysílací antény. Na vyšších kmitočtech než GHz se začíná v projevovat dodatečný útlum. Jednou z příčin útlumu jsou atmosférické srážky (déšť, sněžení, mlha aj.). Útlum působený vodními částicemi (hydrometeority) závisí na druhu a intenzitě srážek a na kmitočtu vlnění. Byl změřen a udává se v decibelech na km dráhy vlny. Např. mírný déšť (4 mm/hod) způsobí na kmitočtu GHz útlum asi.5 db/km. To znamená, že vlnění, které se šíří dešťovou clonou např. km dlouhou, bude zeslabeno o.6 db vůči hodnotě vypočtené podle (3.). Zdá se to málo, ale už na kmitočtu GHz jsou decibelové hodnoty útlumu téměř desetkrát větší! Druhou významnou příčinou útlumu jsou vlastní rezonance molekul atmosférických plynů, hlavně kyslíku a vodní páry. Každá molekula tvoří totiž složitý elektromechanický rezonanční systém s mnoha rezonančními frekvencemi. Je-li frekvence šířícího se vlnění blízká některé z nich, je vlnění značně tlumené. Tak dochází k velkému útlumu v úzkých kmitočtových pásmech, zatímco mimo ně je útlum malý. Kmitočtovým oblastem s malým útlumem se říká atmosférická okna. Jedno z oken je v okolí kmitočtu 8 GHz (délka vlny 4 mm), kde je útlum asi. db/km. Na kmitočtu 6 GHz je však útlum 5 db/km, působený molekulami kyslíku. Atmosféra ovlivňuje nejen intenzitu pole, ale i trajektorie vln. Příčinou je změna vlastností atmosféry s rostoucí výškou, zejména pokles tlaku. V důsledku toho se s výškou mění i permitivita. Při povrchu země je relativní permitivita atmosféry přibližně.67. S rostoucí výškou její hodnota za obvyklých podmínek klesá k ryzí jedničce. Protože fázová rychlost vlny je nepřímo úměrná odmocnině z permitivity, tak ve větší výšce se šíří V h R ef h Obr. 3.a Atmosférická refrakce a zavedení efektivního poloměru Země V P oblast stínu R z θ r p =R Obr. 3.b Význam přímé rádiové viditelnosti z θ

27 Vysokofrekvenční technika a antény 5 vlnění větší fázovou rychlostí než při zemi. V důsledku toho dráha vlny není přímková, nýbrž je zakřivená směrem k Zemi (obr. 3.a, dráha ). Tomuto jevu se říká atmosférická refrakce nebo atmosférický lom. Po určitém zjednodušení je dráha vlny obloukem kružnice s poloměrem asi 5 km. To je hodnota sice velká, ale je srovnatelná s poloměrem Země. Jev nelze zanedbat. Aby nepůsobil potíže při geometrických úvahách, postupujeme následovně: zakřivenou dráhu napřímíme (přímka v obr. 3.a) a současně zvětšíme poloměr Země na hodnotu R ef tak, aby přímková dráha byla stejně vysoko nad novým povrchem jako původní trajektorie () nad skutečným povrchem Země. Zvětšený poloměr R ef je tzv. efektivní zemský poloměr. Za průměrných atmosférických podmínek má hodnotu asi 85 km, ale za nestandardní situace v atmosféře (např. při teplotní inverzi) může mít hodnotu jinou. Poměr efektivního a skutečného poloměru Země se nazývá činitel atmosférické refrakce. Jeho běžná hodnota je přibližně 85/638 = 4/3. Podmínkou možnosti spojení přímou vlnou je dostatečně velký volný prostor mezi vysílací a přijímací anténou. Geometricky můžeme podmínku formulovat tak, že spojnice antén nesmí být přerušena žádnou překážkou. Ve skutečném terénu může být takovou překážkou např. kopec nebo budova. Ale i nad hladkou zemí je možnost existence přímé vlny omezena jistou maximální vzdáleností r p mezi anténami, jak dokumentuje obr. 3.b. Když překročíme vzdálenost r p, spojnici VP přeruší vrchlík Země. Vzdálenost r p se nazývá přímá rádiová viditelnost. Závisí na výškách antén a na efektivním poloměru Země vztahem Pro R ef = 85 km je ( ) r = R h + h (3.a) p ef ( ) rp = 4, h + h [km; m; m] (3.b) Je-li přijímač ve větší vzdálenosti než je přímá rádiová viditelnost, říkáme, že je v oblasti stínu, za rádiovým horizontem. Přímá vlna vzniknout nemůže. Přesto však intenzita pole nemusí být v místě příjmu nulová. Vlnění se tam dostane difrakcí, ohybem. Vztah (3.) pak ovšem neplatí, intenzita pole je menší. Přímá viditelnost může být narušena také různými překážkami (pohoří, kopec, blok domů,...). Má-li se vlnění volně šířit, musí být i v těchto případech spojnice obou antén volná. Ale to nestačí. Mezi spojnicí VP a vrcholem překážky musí zůstat volný prostor, protože vlnění se nešíří po nekonečně tenké přímce VP. Vzniká otázka, jak je tlustý elektromagnetický svazek a jak velký prostor nad překážkou vlastně potřebuje. Pro odpověď zavedeme pojem Fresnelovy zóny (čti Frenelovy). V libovolném rovinném řezu kolmém na spojnici VP (obr. 3.3) nalezneme body A tak, aby lomená dráha VA P byla právě o polovinu délky vlny delší než přímá spojnice VP. Takových bodů je nekonečně mnoho. Leží na kružnici, která má střed v bodě O. Plocha ohraničená touto kružnicí je tzv. první Fresnelova zóna a OA = r je její poloměr. Stejně můžeme nalézt další body A,... A n, pro které platí VA P VP n n = + λ (3.3) Plocha mezikruží mezi kružnicemi A a A je druhá Fresnelova zóna, atd. Poloměr n-té zóny lze vypočítat podle přibližného vzorce r = OA = n n n dd λ (3.4) d + d

28 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Opakujeme-li popsanou úvahu např. pro body A v různých místech (řezech) podél spojnice VP, dostaneme různé hodnoty poloměru první Fresnelovy zóny. Všechny takto získané body A leží na rotačním elipsoidu, který se nazývá první Fresnelův elipsoid. Vraťme se k původní otázce, jak je tlustý elektromagnetický svazek. Přísně vzato, vlna se šíří celým prostorem, a tedy všechny Fresnelovy zóny by měly být volné. V praxi však můžeme učinit značný ústupek od tohoto požadavku. Rozhodující elektromagnetické děje probíhají totiž jen ve Fresnelových zónách s nízkými indexy (např. do indexu 4). Proto často stačí, když mezi spojnicí VP a vrcholem překážky a je volná jen první Fresnelova zóna nebo dokonce jen její polovina..fresnelův elipsoid Obr. 3.3 Fresnelovy zóny Popsaná modelová představa, podle které se vlnění šíří od vysílací antény k přijímací anténě jen volným prostorem (přímá vlna), je v dobré shodě se skutečností při spojení na velmi vysokých frekvencích od několika GHz výše (tj. na vlnových délkách kratších než asi cm). Pro tak krátké vlny je totiž zemský povrch příliš drsný a vlny se od něho v pravém slova smyslu neodrážejí (i když je třeba v blízkosti). Model šíření přímé vlny se používá v radiolokační technice, při spojení s družicemi a při navrhování tzv. radioreléových spojů. Radioreléové spoje slouží k přenosu různých signálů na střední a velké vzdálenosti. Celá trasa je rozdělena na úseky dlouhé 3 až 5 km. Každý úsek obvykle začíná a končí na vysokém kopci, kde navazuje na úsek sousední. Signály, namodulované na vysoký nosný kmitočet, se přenášejí od jednoho vrcholu k druhému, dalším zařízením k třetímu, atd. Délka celé trasy může být až několik tisíc kilometrů, ale vzhledem k relativně malé délce jednoho úseku probíhá šíření vln jen na přímou viditelnost (přímou vlnou). Na každém úseku lze na trasu napojit uživatele v okolí. Zařízení pro radioreléové spoje mají běžně několik set i několik tisíc nezávislých kanálů a umožňují tedy současný přenos stejného počtu signálů. Nosný kmitočet bývá od několika GHz do 4 GHz i více. Díky vysokému kmitočtu mohou mít antény veliký zisk a pro přenos na jednom úseku stačí velmi malý výkon vysílače (asi W). Radioreléovými spoji se přenášejí meziměstské (i mezinárodní) telefonní hovory a datové přenosy. Po stejných trasách se rozvádí i modulace k většině pozemních rozhlasových a televizních vysílačů. Radioreléová zařízení poznáme podle 3 až 5 m vysokých věží na kopcích. Na ochozu nesou několik parabolických antén Spojení prostorovou vlnou Jestliže vlnová délka je větší než asi cm, může se již vlna odrážet od zemského povrchu. Prakticky všudypřítomný zemský povrch pak způsobí, že do místa příjmu příchází s přímou vlnou alespoň jedna vlna odražená. Obě (všechny) vlny spolu interferují sečítají se s ohledem na své fáze - a vytvoří výslednou intenzitu pole vlny r P prostorové. Stejně jako při šíření samotné přímé vlny musí být h ovšem splněna podmínka přímé viditelnosti (3.) a uplatní se V h R také atmosférická refrakce. r O Pro teoretický rozbor vyjdeme ze zjednodušené situace V' r S nakreslené na obr Nad rovinnou zemí jsou vysílací anténa V a přijímací anténa P ve výškách h a h. Vzdálenost antén je r Obr. 3.4 Šíření prostorové vlny.do místa P přichází po dráze r přímá vlna. Její intenzitu E můžeme vypočítat podle (3.). Po dráze r, která je o r = r - r delší, přichází odražená vlna s intenzitou E. Rozdíl r je malý a jeho vliv na amplitudu zanedbáme. Vliv na fázi zanedbatelný není a proto musíme V S A3 A A O d d P

29 Vysokofrekvenční technika a antény 7 počítat s fázovým zpožděním k r odražené vlny (k = π/λ). Kromě toho odražená vlna změní svou amplitudu i fázi při odrazu od povrchu země. Označíme-li činitele odrazu ρ^ = ρ.e -jθ, můžeme vyjádřit intenzitu pole odražené vlny E a následně součet E + E následovně: jθ E = E ρ e e jθ jk r 3PΣ D Eef = E ef + ρe e = + ρ + ρcos( θ + k r) (3.5) r Dráhový rozdíl r = r - r vypočteme pomocí pravoúhlých trojúhelníků VRP a V SP. Dráhy r a r jsou jejich přeponami. Protože obvykle je h, << r, použijeme při úpravě pravidla pro počítání s malými čísly: jk r [ ] ( h ± h ) = r + [( h ± h ) r] r +, [( h h ) r], = r + 5 r ± r = r r hh r (3.6) Činitel odrazu od povrchu země závisí na vlastnostech povrchu (ε,γ), na kmitočtu dopadajícího vlnění a na úhlu dopadu vlny. Vzorce pro výpočet činitele odrazu lze nalézt v učebnicích teorie pole. Je-li úhel dopadu (měřený od normály k povrchu) blízký π/, pak činitel odrazu se blíží hodnotě -. Tedy ρ =, θ = π. Taková situace nastane, když výšky antén jsou malé vůči vzdálenosti r, což bývá často splněno. Tuto limitní hodnotu činitele odrazu spolu s dráhovým rozdílem (3.6) dosadíme do (3.5). Po úpravě dostaneme pro intenzitu pole prostorové vlny vztah [ ] ( ) Eef = 3PΣ D r sin khh r (3.7) Z výsledku vidíme, že intenzita pole prostorové vlny je periodickou funkcí každé z výšek, resp. výrazu kh h /r. Při zvětšování výšky roste intenzita pole z nuly do maxima (E ) a pak klesá k nule. Je to výsledek skládání přímé a odražené vlny - stojaté vlnění ve svislém směru. Maximum intenzity vznikne, když obě vlny přicházejí ve fázi, tj. dráhový rozdíl (3.6) je lichým násobkem poloviny vlnové délky. V minimu jsou obě vlny v protifázi. Když kh h /r<<, lze sinus v (3.7) nahradit jeho argumentem. Intenzita pole je pak přímo úměrná výškám antén. V praxi se výsledek aplikuje tak, že antény umísťujeme co nejvýše. Obecně však tato zásada neplatí. Možnost nahradit sinus argumentem je omezená právě jen na malé výšky a teprve z obecnějšího vztahu (3.7) je vidět, jak to s intenzitou pole skutečně je. Vzorec (3.7), případně ještě obecnější vztah (3.5) lze v praxi použít, ale je nutné respektovat několik skutečností. Předně musí být splněna podmínka přímé viditelnosti s určitou rezervou. Není-li tomu tak, přichází vlnění do místa příjmu difrakcí a intenzita pole je menší. Dále se musí správně určit nebo alespoň odhadnout výšky antén. Výšky, které se dosazují do (3.5) nebo (3.7), jsou výšky antén nad rovinou odrazu (viz obr. 3.5). Abychom je zjistili, musíme znát profil terénu na trase. Ale i když profil známe, je často obtížné nalézt správnou rovinu odrazu. Proto se v praxi aplikuje statistický přístup: na základě zobecněných výsledků měření se počítá, s jakou pravděpodobností bude dosaženo té či oné intenzity pole. V posledních letech je snahou přenést analýzu terénu na počítač s využitím digitalizované mapy. Popsaný model (mechanismus) šíření prostorové vlny se uplatňuje při rádiovém spojení v kmitočtovém pásmu od 3ti MHz do několika GHz, pokud antény neleží bezprostředně u V h P h Obr. 3.5 Výšky antén se měří od roviny odrazu

30 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně zemského povrchu. To je např. při šíření televizního signálu, signálu vkv rozhlasu z pozemních stanic a při zajišťování všech radiokomunikačních služeb, které využívají uvedené kmitočtové pásmo. Jsou to mobilní telefony, různé dispečerské služby, spoje pro zabezpečení dopravy, armádní spoje aj Spojení povrchovou vlnou Ze vztahu (3.7) vyplývá, že při zmenšování výšek antén zmenšuje se intenzita prostorové vlny k nule. Pokusem se lze přesvědčit, že tomu tak není. Intenzita klesá jen do jistého minima a při dalším zmenšování výšek už se nemění nebo dokonce trochu roste. Příčinou je skutečnost, že při malých výškách antén se začne uplatňovat mechanismus šíření vlnou povrchovou. Tento mechanismus vede k nenulovým a za vhodných podmínek i k dosti velkým intenzitám v místě příjmu. Šíření povrchové vlny je difrakcí vlny na (kulovité) Zemi jako na dielektrickém a částečně vodivém tělese. Útlum povrchové vlny je proto závislý na elektrických parametrech zemského povrchu. Útlum závisí dále na kmitočtu a na polarizaci vlny. Kvalitativní vztah mezi zmíněnými faktory a útlumem lze vyjádřit následovně: má-li být útlum vlny malý, musí být kmitočet vlny nízký a vodivost povrchu vysoká. Polarizace musí být vertikální; horizontálně polarizovaná povrchová vlna má tak veliký útlum, že se pro spojení nehodí. Výpočet intenzity pole povrchové vlny je složitý. Proto se v praxi užívají mezinárodně dohodnuté křivky. Platí pro vertikálně polarizovanou vlnu a pro určité parametry ε r a γ. Na vodorovnou osu je vynesena vzdálenost od vysílače, parametrem je kmitočet a na svislé ose je vynesena intenzita E v decibelech nad µv/m. Protože útlum povrchové vlny rychle roste s rostoucím kmitočtem, využívá se tento mechanismus převážně na nízkých kmitočtech do několika MHz. Žádná teoretická horní kmitočtová mez sice neexistuje, ale pro velký útlum se spojení stane neefektivní. Tento mechanismus využívá hlavně dlouhovlnný a středovlnný rozhlas Spojení ionosférickou vlnou Bezprostředně při povrchu Země, v tzv. troposféře, je atmosféra směsí dusíku, kyslíku, kysličníku uhličitého, vzácných plynů a vodní páry. S rostoucí výškou se její složení mění. Rychle ubývá vodní páry a ve výškách nad 9 km se diferencují ostatní plyny. Mění se také teplota. Do výšky asi 5 km klesá (-5 C), pak roste, ale ve výšce asi 8 km je další lokální minimum (-7 C). Následuje růst až na stovky stupňů Celsia. Tento fyzikálně chemický obraz atmosféry doplňuje ještě sluneční záření, které zahrnuje široké spektrum vlnových délek s různou intenzitou. Ultrafialové záření s vlnovou délkou menší než nm má energii přes ev a ta stačí pro ionizaci atmosférických plynů. Jejich molekuly a případně i atomy jsou štěpeny na kladný ion a záporný elektron. Současně s ionizací probíhá i rekombinace, takže v ustáleném stavu je v jednotce objemu jistý počet N volných elektronů, stejný počet iontů a mohou tam být i neionizované molekuly. Koncentrace elektronů N je v různých výškách různá. Příčinou je měnící se chemické složení atmosféry, různá teplota a také skutečnost, že směrem k povrchu ztrácí ionizující záření svou energii, takže např. v troposféře je ionizace zanedbatelná. Ionizovaná oblast atmosféry se nazývá ionosféra a je to oblast asi od 4ti km výše. Typické rozložení koncentrace elektronů v ionosféře je nakresleno na obr Vidíme, že koncentrace N se mění v širokých mezích a má zřetelná lokální maxima ve výškách asi 5 km, km, km a 3 km. Oblasti kolem lokálních maxim se nazývají ionosférické vrstvy a označují se písmeny D, E, F a F. Protože hlavním ionizačním činitelem je sluneční záření,

31 Vysokofrekvenční technika a antény 9 jsou vlastnosti ionosférických vrstev závislé na intenzitě sluneční činnosti. Koncentrace volných elektronů a v malé míře i výška vrstev se mění během roku a během dne. Vliv má i jedenáctiletá perioda kolísání sluneční aktivity. V důsledku pomalé rekombinace nezanikají vrstvy E a F ani v noci. 3 h [km] F F E D -3 N[m ] Nmax N=, εo,n= f 5 f 4 ψ ο ε min h zd N max ψ ο f f f 3 Obr. 3.6 Výšková závislost Obr. 3.7a,b koncentrace volných elektronů Dráhy vln v ionizované vrstvě Elektromagnetické vlnění šířící se ionizovaným prostředím působí Coulombovou silou na částice s nábojem (elektrony, ionty) a rozkmitá je. Kmity relativně hmotných iontů jsou malé a nevýznamné. Lehké elektrony kmitají s mnohem větší amplitudou a představují proudy, které zpětně působí na šířící se vlnění. Lze ukázat, že prostředí s volnými elektrony ovlivňuje šíření vlny stejně jako dielektrikum s permitivitou εi = εεir = ε Nq mω (3.8) Symboly q a m označují po řadě náboj a hmotnost elektronu, N je počet elektronů v jednotce objemu (koncentrace) a ω je úhlový kmitočet vlnění. Výsledek (3.8) je zajímavý z několika hledisek. Předně ukazuje, že ionizované prostředí je opticky řidší než vakuum, neboť ε i < ε. Dále je zřejmé že ε i a tudíž i fázová rychlost vlny v=c.ε -/ ir závisí na kmitočtu; ionizované prostředí je tedy prostředí disperzní. Konečně ze (3.8) vyplývá, že při dost malé frekvenci ω anebo při dost velké koncentraci elektronů N může být ε i =. V prostředí s nulovou permitivitou se elektromagnetické vlny šířit nemohou a ani do takového prostředí nevniknou. Kmitočet, při kterém je dosaženo nulové permitivity, nazveme kritický kmitočet. Ze vztahu (3.8) dostaneme: Nq f krit = 8, 6 N (3.9) π mε Na obr. 3.7a je schematicky nakreslena idealizovaná ionosférická vrstva. Idealizace spočívá v předpokladu, že nad a pod vrstvou je koncentrace elektronů nulová. Koncentrace N tedy narůstá zdola od nuly do jistého maxima a pak opět klesá k nule. Podle (3.8) je průběh permitivity reciproký: z hodnoty ε klesá do minima a pak opět roste. Podobně se mění také index lomu prostředí n = ε / ir.vlnění vstupuje do vrstvy pod úhlem ψ. Protože vniká z prostředí opticky hustšího do řidšího (n<), láme se od kolmice. Jak vlna vniká hlouběji do vrstvy, lom pokračuje. V příznivém případě získá vlna horizontální směr (ψ=π/) a to stačí k tomu, aby se vrátila zpět k Zemi. Při šíření dolů se totiž vrací do opticky hustšího prostředí a láme se ke kolmici. Ačkoli ve vrstvě nastává postupný lom, běžně se hovoří o odrazu vlny. Pak je logické si představit pomyslnou plochu, od níž se vlna zdánlivě odráží. Výška této plochy je tzv. zdánlivá výška vrstvy h zd (obr. 3.7a). Podmínku odrazu vlny odvodíme ze Snellova zákona lomu:

32 3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně n sinψ = n k sinψ k n a ψ jsou index lomu a směr šíření vlny na dolní hranici vrstvy, indexem "k" jsou označeny tytéž veličiny někde uvnitř vrstvy. Má-li se vlna odrazit, musí být ψ k =π/. Dále dosadíme n =, n k =ε ir /, a ε i ze vztahu (3.8). Když veličiny q, m, ε nahradíme jejich číselnými hodnotami, dostaneme podmínku odrazu ve tvaru ( ) Nk = 86, f cos ψ (3.) Výsledek interpretujeme takto: když do vrstvy vstupuje vlnění s kmitočtem f pod úhlem ψ, pak na vrcholu dráhy musí být koncentrace elektronů N k. Čím vyšší kmitočet vlna má, tím větší koncentrace je nutná a tím hlouběji vlna vnikne. Je-li kmitočet tak veliký, že potřebná koncentrace je větší než největší koncentrace elektronů ve vrstvě, pak se vlna neodrazí a vrstvou projde. Na obr. 3.7b jsou zakresleny dráhy vln dopadajících pod stejným úhlem, ale s různými kmitočty f <f <f 3... Pro kmitočet f 3 je splněna podmínka (3.) právě v místě největší koncentrace. Vlny s vyššími kmitočty vrstvou projdou. Vlny s velmi vysokými kmitočty vrstva neovlivní. Pro návrh spojení ionosférickou vlnou je potřeba především vědět, jaký nejvyšší kmitočet může vlna mít, aby se ještě odrazila. Do (3.) dosadíme N k = N max a rovnici řešíme pro kmitočet f. S použitím (3.9) dostaneme ( ψ ) f ( ) f max = 8.6 N max cos = krit cos ψ (3.) Veličina f krit je tzv. kritický kmitočet ionosférické vrstvy. Je to nejvyšší kmitočet vlny, která se ještě od vrstvy odrazí při kolmém dopadu. Při šikmém dopadu se odrazí i vlna s kmitočtem vyšším než je kritický (f max >f krit ). Kritický kmitočet a zdánlivá výška jsou důležité parametry ionosférických vrstev. Jejich hodnoty lze poměrně snadno měřit přímo z povrchu země s využitím radiolokačního principu. Svisle nahoru se vyšle krátký rádiový impuls. Skutečnost, zda se vrátil nebo nevrátil, nás informuje, zda byl či nebyl překročen kritický kmitočet. Z doby, která uplyne do návratu impulsu, lze vypočítat zdánlivou výšku. Hodnoty f krit a h zd typické pro naši zeměpisnou šířku jsou uvedeny v tab. 3.. vrstva zdánlivá výška [km] kritický v poledne [MHz] kmitočet v noci [MHz] D 6,4 rekombinuje E 3, až 4,,9 F 3 5, až 5, 3, až 8, Tab. 3. Typické hodnoty zdánlivé výšky a kritických kmitočtů Hodnoty kritického kmitočtu a zdánlivé výšky určují do značné míry význam jednotlivých vrstev. Vrstva D má velmi nízký kritický kmitočet. Ve dne, kdy existuje, usnadňuje dálkové šíření dlouhých vln. Střední vlny (.5 až MHz) vrstvou D procházejí, ale s velikým útlumem. Proto je spojení ionosférickou vlnou ve středovlnném pásmu ve dne prakticky vyloučeno. Zato v noci, kdy vrstva D rekombinuje, šíří se střední vlny velmi dobře odrazem od vrstvy E. Mechanismus spojení ionosférickou vlnou má největší význam v krátkovlnném pásmu ( až 3 MHz). Krátké vlny se odrážejí hlavně od vrstvy F. Na své cestě však musí nejméně dvakrát projít vrstvou E, která vnáší přídavný útlum. Jedním odrazem (skokem) lze překonat vzdálenost až 4 km (měřeno podél povrchu Země). Střídavými odrazy mezi vrstvou F a zemským povrchem lze navázat spojení po celé zeměkouli, pokud se podaří

33 Vysokofrekvenční technika a antény 3 nalézt pracovní kmitočet, pro který je splněna (3.) ve všech bodech odrazu. Každý z bodů má totiž jiný sluneční čas a vrstva F má jiný kritický kmitočet. Spojení ionosférickou vlnou vyžaduje pečlivý výběr pracovního kmitočtu. Ten nesmí být příliš vysoký, aby byla splněna podmínka odrazu (3.) ve vrstvě F. Nesmí být ani příliš nízký, protože pak roste útlum ve vrstvě E. Technická praxe používá tři důležité hodnoty. Maximální pracovní kmitočet (mezinárodní zkratka MUF) je určen podmínkou odrazu ve vrstvě F. Minimální pracovní kmitočet (zkratka LUF) je stanoven s ohledem na útlum ve vrstvě E. Optimální kmitočet (FOT) pro spojení je asi o % až 5% menší než MUF. Všechny kmitočty závisejí na stavu ionosféry (tedy na denní a roční době a na stupni sluneční aktivity) a také na délce spoje (ta určuje úhel dopadu ). Má-li být pracovní kmitočet vždy blízký FOT, nemůže být stálý. Běžně se používá jiný kmitočet v noci a jiný ve dne pro tentýž spoj. Aby bylo možné určovat pracovní kmitočet s předstihem, vydávají některé instituce (u nás Akademie věd ČR) tzv. ionosférické předpovědi. V nich jsou uvedeny očekávané hodnoty MUF a LUF pro nejbližší časové období (např. měsíc). Pro danou délku spoje a denní dobu si můžeme bezprostředně přečíst očekávané hodnoty kmitočtů MUF, LUF i FOT. Typickým jevem při šíření ionosférické vlny je únik. Projevuje se náhodným kolísáním intenzity pole při příjmu. Příčinou jsou lokální změny v ionosférických vrstvách.ty způsobují, že do místa příjmu přichází více odražených vln po různých a měnících se drahách. Změny v délce drah mají za následek změny fází a tím i konečného součtu Výpočty šíření v MATLABu V podkapitole 3..3 o šíření prostorové vlny jsme si vysvětlili, že v místě příjmu se s přímou vlnou sčítá vlna odražená od země. Fázový posuv obou vln vzniká při odrazu a vlivem rozdílných délek drah r obou vln. Výsledná intenzita pole je pak dána vztahem (3.5) E= 3P D r Σ + ~ ρ exp ( jk r) Dráhový posuv vypočteme jako r = r - r h h /r (viz obr. 3.4). Symbol ρ značí Fresnelův činitel odrazu ( r j ) ( j ) ~ ε 6λγ sin εr j6λγ cos ρv = ε 6λγ sin + ε j6λγ cos ~ ρ = H r ( r j ) ( j ) ε 6λγ ε j6λγ cos ε 6λγ + ε j6λγ cos r r r r (3.a) (3.b) Vztah (3.a) platí pro horizontální polarizaci vlny, vztah (3.b) pro polarizaci vertikální. Ve vztazích (3.) značí = arctg[(h +h )/r] úhel mezi paprskem a rovinou rozhraní. Vztah (3.5) předpokládá, že vektory intenzity pole přímé a odražené vlny jsou téměř rovnoběžné, v plném rozsahu však postihuje vliv fázového posunutí obou vln. V případech, kdy výšky antén jsou malé proti vzdálenosti r, je malý i úhel a činitel odrazu se blíží hodnotě ρ -. Podmínkou je splnění nerovnosti h +h < - r při vertikální polarizaci a h +h < 5. - r při horizontální polarizaci. Pak můžeme intenzitu pole počítat dosazením do vztahu (3.7). V opačném případě musíme vyčíslit činitele odrazu podle (3.).

34 3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Výpočet intenzity prostorové vlny dle vztahů (3.5) a (3.) je pracný. Následující funkce MATLABu umožní výpočet intenzity pole při šíření prostorové vlny nad hladkou rovinou rozhraní s prostředím o známých parametrech ε r a γ za předpokladu, že vyzařování vysílací antény ve směrech přímé a odražené vlny je stejné a není nutno respektovat rozdílné směry vektorů E obou vln v prostoru. function [Ev, Eh] = spacwave( h, h, r, epr, gam, f, P, D) ep = 8.85e-; % permitivita vakua lam = 3e+8/f; % vlnová délka k = *pi/lam; % vlnové číslo delta = atan( (h+h)/r); % elevační úhel del_r = *h*h / r; % rozdíl drah přímé a odražené vlny E = sqrt( 3*P*D) / r; % intenzita přímé vlny term = ep*epr - j*6*lam*gam; % pomocné členy pro výpočet term = sqrt( term - cos( delta)^); % činitelů odrazu term3 = term*sin(delta); rhov = (term3-term) / (term3+term); % č.odrazu pro vertikál.polarizaci rhoh = (term-term) / (term+term); % č.odrazu pro horizont.polarizaci Ev = E * abs( + rhov*exp(j*k*del_r)); % výsl.intenzita při vertikál.pol. Eh = E * abs( + rhoh*exp(j*k*del_r)); % výsl.intenzita při horizont.pol. Smysl programu by měl být zřejmý z komentářů jednotlivých řádků Kontrolní příklady. Směrový mikrovlnný spoj pracuje na kmitočtu f = 6 GHz a jeho vysílač o výkonu P Σ =.63 W budí parabolickou anténu (D = 5). Vypočtěte: a) intenzitu elektrického pole a hustotu výkonu v místě protistanice ve vzdálenosti km; b) jak se změní obě hodnoty při silném dešti, kdy útlum dosahuje hodnoty. db/km. [a) E = 8.4 mv/m; Π = 88 nw/m b) E = 6.7 mv/m; Π = 9 nw/m ] E [V/m].4 E [V/m] r [km] r [km] Obr. 3.8 Rozložení intenzity pole podél trasy. Na stanovišti s nadmořskou výškou 43 m je ve výšce 6 m umístěn anténní systém VKV vysílače, který pracuje na kmitočtu 9 MHz. Efektivní vyzářený výkon je P D = kw při horizontální polarizaci vlny. Vypočtěte rozložení intenzity pole do vzdálenosti 3 km od vysílače ve výšce metrů nad rovinatým terénem s nadmořskou výškou m se suchou půdou, jež má parametry ε r = 4 a γ = -3 S/m.

35 Vysokofrekvenční technika a antény 33 Řešení: Převládne prostorová vlna. Výšky antén nad rovinou odrazu (h = m) jsou h = = 83 m a h = m. Vzdálenost přímé rádiové viditelnosti je rovna r p = 4.( h + h ) = 8 km > 3 km, a tudíž můžeme zanedbat zakřivení Země. Při výpočtu je nutno nejprve určit hodnotu ρ a pak sečíst přímou a odraženou vlnu podle vztahu (3.5). K tomu využijeme počítač a získáme výsledky zakreslené v obr Všimněme si zvláště výrazných změn intenzity pole blízko vysílací antény Kontrolní otázky. Vyjmenujte modely šíření elektromagnetických vln reálným terénem a uveďte, kdy hraje který mechanismus dominantní roli.. Na jakých parametrech závisí velikost intenzity elektrického pole při šíření přímé vlny? Na jakých kmitočtech je zapotřebí uvažovat dodatečný útlum vlny a proč? 3. Jaký je praktický význam pojmů atmosférická refrakce a přímá rádiová viditelnost? 4. Vysvětlete termín Fresnelova zóna. Jaké mají Fresnelovy zóny praktické použití? 5. Co ovlivňuje parametry spoje, pro něhož je dominantní mechanismus šíření prostorovou vlnou? 6. Kdy lze u prostorové vlny předpokládat, že činitel odrazu od zemského povrchu je blízký hodnotě? 7. Pro kterou polarizaci a pro jaké kmitočty je dominantním mechanismem šíření povrchová vlna? 8. Na čem závisí útlum povrchové vlny? 9. Vysvětlete termín ionosférická vrstva. Jaké vrstvy znáte a jak tyto vrstvy vznikají?. Vysvětlete chování elektromagnetické vlny v ionosféře.. Co je to troposférický rozptyl? 3. Antény: teoretický základ Když jsme se na počátku našeho výkladu zabývali šířením vln, nezajímali jsme se o to, jak vlny vznikly. Proces vzniku vlnění v prostoru (proces vyzařování) budeme vyšetřovat v této kapitole. Z fyziky víme, že zdrojem elektromagnetických vln je střídavý (vysokofrekvenční) proud. Úlohu o vyzařování můžeme tedy formulovat tak, že známe proud tekoucí v prostoru (na vysílací anténě) a chceme zjistit, jaké intenzity polí vytvoří tento proud kdekoli jinde v prostoru. Matematicky jde o řešení nehomogenní soustavy Maxwellových rovnic rot H = J+ jωε E rot E = jωµ H v níž proudová hustota J je známá a intenzity E a H se hledají. Je známo několik metod řešení této soustavy. My budeme postupovat tak, že řešení soustavy převedeme na řešení vlnové rovnice pro vektorový potenciál (viz podkapitola.3.)

36 34 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně A+ k A = µ J (3.3) k = ω εµ Řešení vlnové rovnice omezíme na část prostoru V, ohraničenou plochou S (obr. 3.9). Oblast V musí být jednoduše souvislá. Známé proudové zdroje jsou uvnitř oblasti, ale nevyloučíme možnost, že nějaké zdroje leží i vně. Bod P je bodem pozorování, tedy bodem, ve kterém chceme vypočítat potenciál A. Bod P je pevný a r je vzdálenost mezi ním a libovolným bodem Q kdekoli v oblasti V. Q(x,y,z) r V S S n S P S 3 Obr. 3.9 Oblast integrace vlnové rovnice Nyní zavedeme dvě skalární funkce ψ a ψ spojité a jednoznačné až do druhých derivací. Funkce ψ bude zastupovat některou kartézskou složku vektorového potenciálu (A x, A y, A z ), takže musí vyhovovat skalární nehomogenní vlnové rovnici ψ + k ψ = µ J (3.4) Funkce ψ může být do jisté míry libovolná. Musí však vyhovovat homogenní vlnové rovnici ψ + k ψ = (3.5) a musí mít charakter funkce e -jkr /r.očekáváme totiž, že příspěvky k potenciálu v bodě P, přicházející z jednotlivých míst Q, budou kulové vlny. Protože funkce ψ nesplňuje požadavek regularity v bodě P, vyloučíme P z oblasti V malou kulovou plochou (S ) a požadavek jednoduché souvislosti oblasti V zajistíme řezem s těsně přiléhajícími plochami S, S 3. Rovnici řešíme pro ψ (P) a tuto funkci zaměníme dle dohody za kteroukoli složku A: jkr ( P) µ e ( S ) dψ d A J dv A r dn dn A ( S ) ds xyz,, = xyz,, + xyz,, ψ xyz,, (3.6) 4π 4π V Vztah (3.6) je hledaným řešením rovnice (3.3) a tedy i řešením formulované úlohy. Výklad získaného výsledku je následující. První člen na pravé straně (objemový integrál) vyjadřuje příspěvek proudů tekoucích v oblasti V k potenciálu v bodě P. Je to součet elementárních kulových vln, které vyzařují jednotlivé proudové elementy. Druhý člen pravé strany, plošný integrál, je příspěvkem zdrojů, které (případně) leží vně oblasti V. Tyto zdroje jsou však respektovány nepřímo, prostřednictvím potenciálu, který vytvoří na ploše S. To znamená, že při výpočtu příspěvku zdrojů vně oblasti musíme nejprve vypočítat jejich potenciál A (S) na ploše S a ten teprve dosadit do plošného integrálu v (3.6). Samotný druhý krok lze však interpretovat také tak, že každý bod plochy S (přesněji každý její element ds), který je z vnějšku ozářen vlněním, je sám pro oblast uvnitř S zdrojem elementární kulové vlny. Plošný integrál Kirchhoffova řešení je tedy obecnou matematickou formulací známého Huygensova principu. Výsledek (3.6) nám také ukázal, že zdrojem elektromagnetického vlnění může být nejen střídavý proud, ale také ozářená plocha. 3.. Vyzařování elementárních zdrojů Z předchozího je zřejmý postup výpočtu vyzařování skutečných zdrojů vlnění. Je-li zdrojem vlnění proud, musíme nejprve znát rozložení proudové hustoty J v prostoru (kde teče S

37 Vysokofrekvenční technika a antény 35 proud a jak je velký, tedy např. tvar a polohu vodičů vysílací antény a proud v nich). Toto rozložení proudové hustoty dosazujeme pak do objemového integrálu v (3.6); plošný integrál se neuplatní. Je-li zdrojem vlnění ozářená plocha (např. otevřené ústí vlnovodu či ústí parabolické antény), potřebujeme znát rozložení potenciálu A (S) (x,y,z) na této ploše. K dalšímu výpočtu použijeme pak plošný integrál v (3.6). V některých technických úlohách lze výpočty zjednodušit, když si předem vypočítáme intenzity polí od tzv. elementárních zdrojů: od nekonečně krátkého proudového elementu (elementárního elektrického dipólu) a od nekonečně malé ozářené plošky (tzv. Huygensova zdroje). Skutečné zdroje (antény) pak považujeme buď za soubory elementárních dipólů (tzv. lineární antény) nebo za soubory Huygensových zdrojů (plošné antény). a) Elementární elektrický dipól Vyšetříme elektromagnetické vlnění buzené elementárním elektrickým dipólem, který leží v počátku souřadnic, má směr osy z a délku dz (obr. 3.). Dipólem protéká proud I. Součin I.dz = J.dV je tzv. moment dipólu. Proud má nenulovou složku pouze I z a proto vektorový potenciál má jen složku A z. První část Kirchhoffova řešení (3.6) v diferenciální podobě dává: da I dz e jkr µ z = 4π r Ze známého vektorového potenciálu vypočteme intenzitu elektrického a magnetického pole (vztahy.64,.66). Operátory grad div A a rot A rozepíšeme v kulových souřadnicích a po úpravě dostaneme: de r Idz j k 3 jkr = cos ϑ + e (3.7a) 3 4πε ω ( kr) ( kr) de ϑ = Idz k 4πε ω 3 j j sin ϑ + + e ( kr) ( kr) ( kr) jkr (3.7b) 3 dh ϕ j = I dz k sin ϑ + e ( kr) ( kr) jkr (3.7c) 4π de = dh = dh r =. (3.7d) ϕ ϑ Vidíme, že složky intenzit polí jsou úměrné momentu dipólu I.dz, závisí na směru (ϑ) a dosti složitým způsobem na vzdálenosti r bodu příjmu; k = π/λ je vlnové číslo. V nejmenších vzdálenostech, ve kterých je kr <<, rozhodují z I ϑ P(r, ϕ, ϑ ) o intenzitách polí prakticky jen členy s nejvyšší mocni- r nou kr ve jmenovateli (první členy v závorkách). Oblast, splňující y podmínku kr << je tzv. blízká oblast. Její hranice je ϕ x Obr. 3. ve vzdálenosti asi % vlnové délky od dipólu. Leží-li bod Elementární elektrický dipól pozorování P uvnitř blízké oblasti, můžeme zanedbat členy s Pro tuto polohu platí (3.7) nižšími mocninami kr. Naopak ve velkých vzdálenostech kdy kr >>, jsou v rovnicích (3.7) rozhodující pouze členy s první mocninou kr ve jmenovateli. Podmínka kr >> vymezuje tzv. vzdálenou oblast, (nazývá se také oblast záření). Její hranici

38 36 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně klademe do vzdálenosti několika vlnových délek od dipólu. Leží-li bod pozorování v této oblasti, můžeme v rovnicích (3.7) ponechat pouze členy s první mocninou kr ve jmenovateli. Pro výpočty vyzařování antén potřebujeme znát především intenzitu pole elementárního dipólu ve vzdálené oblasti (bod příjmu bývá daleko od vysílací antény). Ponecháme-li tedy ve vztazích (3.7) pouze členy s první mocninou kr a dosadíme-li za ε a µ parametry vakua, dostaneme po úpravě jkr de I j k dz e ϑ = 6 sin ϑ (3.8a) r dh ϕ de = (3.8b) Vzorce udávají intenzity polí elementárního dipólu v oblasti záření, je-li dipól situován podle obr. 3. a je-li v okolí vakuum (vzduch). Elektrické i magnetické pole mají jedinou složku. Intenzita elektrického pole má složku E ϑ, tedy vektor E je kolmý na průvodič r a v prodloužení protíná (podélnou) osu dipólu. Vektor H je kolmý na vektor E a také na průvodič r. Ve vztahu (3.8a) pro intenzitu elektrického pole se vyskytuje součin 6.I.e -jkr /r. Stejný součin se objevuje ve výrazech pro intenzitu pole všech proudových zdrojů (lineárních antén). Zbývající část výsledku (mimo uvedený součin) je specifická pro určitou anténu a nazývá se funkce záření antény. Budeme ji označovat F(ϕ,ϑ). Obecně můžeme tedy vyjádřit intenzitu elektrického pole jakékoli antény vztahem jkr e E = 6 I F( ϕϑ, ) (3.9) r a různé antény se liší jen funkcí F. Pro elementární dipól v poloze podle obrázku 3. je F( ϕϑ, ) = j k sinϑdz (3.) Vůči proměnné ϕ je funkce konstantou. To znamená, že vzhledem k souřadnici ϕ září dipól všesměrově. ϑ π F/F max ϑ F/F = max F/F max ϑ Obr. 3. Směrová charakteristika elementárního dipólu v polárních a v kartézských souřadnicích Funkce záření v sobě zahrnuje hlavně směrové, ale i některé jiné závislosti. Pro některý směr (ϕ, ϑ) má maximum F max. Poměr F ku F max již vyjadřuje jen směrovou závislost vyzařování a nazývá se poměrnou (normovanou) funkcí záření. Pro elementární dipól je F/F max = sinϑ. Grafickým znázorněním absolutní hodnoty poměrné funkce záření je směrová charakteristika antény. Vynáší se buď v polárních anebo v kartézských souřadnicích. Polární diagram je názornější, ale v kartézské soustavě se lépe odečítají číselné hodnoty. Obecně je funkce záření funkcí dvou proměnných (ϕ a ϑ) a lze si ji představit v prostoru jako nějaké těleso.

39 Vysokofrekvenční technika a antény 37 Grafem (křivkou) lze znázornit jen některý rovinný řez. Směrová charakteristika elementárního dipólu v rovině proložené osou z je nakreslena na obr. 3.. Matematické vyjádření funkce záření je specifické nejen pro určitou anténu, ale i pro její polohu v souřadné soustavě. Závislosti na poloze se můžeme zbavit tím, že místo vztahu (3.8) použijeme vektorové formy jkr k e de = 6I j ( dl r ) r (3.) r která je invariantní k transformaci souřadnic; r je směrový vektor bodu příjmu a dl je vektor proudového elementu. Konstanta 6 = Z / π = π / π v předchozích rovnicích má rozměr ohmů. b) Huygensův zdroj (elementární ploška) V některých úlohách je známé rozložení intenzity elektrického pole na nějaké ploše a potřebujeme vypočítat intenzitu v ostatních bodech prostoru. Jak již bylo řečeno, k úlohám tohoto typu patří např. výpočet záření plošných antén. Tyto úlohy řešíme pomocí plošného integrálu ve vztahu (3.6), tedy pomocí Huygensova principu. Aplikaci si nyní ukážeme. Jestliže v (3.6) nemusíme uvažovat elektrické proudy, pak samotný plošný integrál lze aplikovat přímo na intenzitu pole: ( P) ( S ) dψ d E E dn dn E ( S ) ds xyz,, = xyz,, ψ xyz,, (3.) 4π S Chceme-li jej využít pro další výpočet, musíme však znát nejen rozložení intenzity elektrického pole E (S) x,y,z na ploše S, ale i příslušné derivace podle normály. Tuto nesnáz lze vtipně obejít díky jisté volnosti při volbě funkce ψ.tuto funkci zvolíme tak, aby splňovala stanovené podmínky a aby ještě navíc buď byla nulová na ploše S, tedy () ψ = na S nebo její derivace byla nulová na S, tedy dψ () /dn = na S (3.3) Touto volbou se zjednoduší vztah (3.) alternativně na ( P) ( S) d ( ) E = E ψ ds 4π dn (3.4a) nebo E d dn E S = 4 ds π ψ. (3.4b) ( P) ( ) ( ) Pak stačí znát buď jen hodnoty samotné intenzity pole E (S) na ploše S anebo hodnoty samotné derivace intenzity podle normály. Funkce ψ se nazývá Greenova funkce. Konkrétní tvar Greenovy funkce závisí na tvaru plochy S. V technických aplikacích bývá plochou S rovina. Ovšem plocha S musí být plochou uzavřenou. Proto uzavřeme rovinu polokoulí v nekonečnu (obr. 3.a). Plošný integrál po části plochy S v nekonečnu je roven nule a tak stačí, aby jedna nebo druhá z podmínek (3.3) byla splněna na rovinné části plochy S (na "rovině" S). Vhodný tvar Greenovy funkce pro rovinnou plochu S je jkr (),( e e ) = ± r r ψ jkr (3.5a,b )

40 38 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Bod P' v obr. 3.a je zrcadlově souměrný k bodu P podle roviny S. Je očividné, že když bod Q padne na rovinu S, je splněna jedna z podmínek (3.3) podle volby znaménka v (3.5). Dosazením Greenovy funkce (3.4a) do (3.3a) a provedením naznačených derivací dostaneme j E E ( n r) e jkr ( P) ( S = ) cos, ds (3.6) λ r S To je praktický vzorec pro výpočet záření rovinné plochy S, na které byla vybuzena intenzita pole E (S). Vynecháním integračního znaménka na pravé straně a připsáním diferenciálu na levé straně (3.6) získáme vztah pro intenzitu pole Huygensova zdroje (elementární plošky). P' r' S Q n r P V S (v nekonečnu) apertura S E (S) = V (S) E r n (n,r) P Obr. 3. a) Význam veličin pro volbu Greenovy funkce b) Volba plochy S při výpočtu záření trychtýřové antény Když např. počítáme záření trychtýřové antény (obr. 3..b), proložíme rovinu S ústím antény (je nakresleno v řezu a tlustě). Na této části roviny S je nenulová intenzita E (S), zatímco na zbývající části roviny S předpokládáme, že E (S) =. Toto rozložení se dosazuje do (3.6). 3.. Záření antén Vysílací anténa se obecně definuje jako transformátor, který převádí vlnění šířící se podél vedení na vlnění ve volném prostoru. Přijímací anténa plní funkci opačnou. Z praktického i z teoretického hlediska můžeme anténu také považovat za účelné uspořádání elementárních zdrojů. Podle této představy lze antény třídit do dvou skupin. a) Lineární antény jsou antény, které je možné a účelné považovat za soubor mnoha různě položených elementárních elektrických dipólů. Jsou to vesměs různé konfigurace vodičů - drátů, trubek, pásků - takže předem známe v každém místě alespoň směr proudu. Lineární antény jsou typické pro nižší kmitočty až do několika gigahertzů. b) Plošné antény lze s výhodou považovat za soubor Huygensových zdrojů. Vyzařujícím útvarem, "anténou", je v teoretickém smyslu jen samotná plocha ústí, tzv. apertura plošné antény. Příkladem je trychtýřová anténa, štěrbinová anténa, reflektorová anténa aj. Plošné antény se užívají hlavně na vlnách centimetrových a kratších (včetně optického pásma). Výpočet vlastností antény má dvě etapy. V první etapě hledáme rozložení proudu (na lineární anténě) nebo rozložení pole v apertuře antény plošné. Tato část řešení se nazývá vnitřní úlohou antény. V druhé etapě pak počítáme vlastní vyzařování, tedy intenzity pole v okolním prostoru a směrovou charakteristiku. To je tzv. vnější úloha. Zde se seznámíme se

41 Vysokofrekvenční technika a antény 39 základními myšlenkami řešení vnější úlohy. Při výkladu se budeme držet lineárních antén; rozšíření úvah na plošné antény není obtížné. Lineární anténu si představíme jako soubor elementárních dipólů, z nichž každý vyzařuje své "vlastní" vlnění. Všechna tato vlnění jsou koherentní a dochází ke vzájemné interferenci: v bodě příjmu se intenzity všech elementárních vln sčítají. Při sečítání se musí respektovat různé prostorové směry vektorů E a jejich různé amplitudy a různé fáze. Z těchto tří faktorů mají hlavní význam vzájemné fáze příspěvků. Vzdálenosti jednotlivých míst antény k bodu příjmu nejsou totiž stejné a proto se liší i fázová zpoždění, která vzniknou při šíření jednotlivých elementárních vln. Když např. dráhy vln vyzářených ze dvou různých míst antény se liší o polovinu délky vlny, posunou se fáze těchto vln o π a oba příspěvky se mohou navzájem zrušit. Naopak jiné příspěvky se mohou sečíst. V každém místě takto interferuje nekonečně mnoho elementárních vln a výsledek jejich interference pozorujeme jako směrovou charakteristiku antény. Matematické vyjádření uvedených skutečností je následující. Uvažujme podle obr. 3.3 lineární anténu (přímý drát) délky l, ležící v ose z. Na anténě je vyznačen jeden z proudových elementů (elementární dipól) ve výšce z ; Proud v něm je I(z). Bod pozorování P je určen pravoúhlými souřadnicemi r a ζ. Budeme předpokládat, že vzdálenost r je alespoň několik vlnových délek, takže bod P leží v oblasti záření. Příspěvek nakresleného elementu k intenzitě pole v P je dán vztahem (3.8a). Intenzita E (P), kterou vybudí v bodě P celá anténa, je dána součtem příspěvků všech elementů, tedy integrálem l () E I z j k dz e ( P) = 6 sinϑ rz P l r(z, ζ ) I(z) dz r ζ z ϑ r o O O' Obr. 3.3 Označení veličin při výpočtu záření lineární antény (, ζ ) jkr z (, ζ ) (3.7) Abychom mohli integrál vyřešit, jsou nutná některá zjednodušení. Předně sinϑ jako pomalu měnící se funkci v okolí ϑ = π/ vytkneme před integrál. Dále ve jmenovateli položíme výraz r(z,ζ) = r = konst; rozdíly r(z,ζ) - r jsou totiž malé vůči vzdálenosti r a s uvedenou přibližností se dopustíme malé chyby v amplitudě příspěvků. V exponentu exp(-jkr(z,ζ)) tak postupovat nemůžeme, protože bychom přiřkli všem příspěvkům stejnou fázi a s překvapením bychom zjistili, že všechny antény jsou všesměrové. Rozdíly r(z,ζ) - r, i když jsou malé vůči r, nemusí být malé vůči vlnové délce a fáze příspěvků se mohou lišit. Při úpravě funkce r(z,ζ) rozlišíme dvě situace. a) Bod P není příliš daleko, takže délka antény l není zanedbatelná vůči r. V exponentu vyjádříme vzdálenost r(z,ζ) s využitím pravidel počítání s malými čísly takto: ( ζ z) ζ z rz (,ζ) = r + ( ζ z) = r + r + (3.8) r r Podle (3.7) pak je: ( ) E( ) j k e jkr l ζ z ζ = 6 sinϑ Iz () jk dz r exp (3.9) r Integrál (3.9) je prostudovaný a pro nepříliš složité funkce I(z) je řešitelný. Oblast prostoru, kde lze takto počítat (použít úpravu 3.8 s výsledkem 3.9), se nazývá Fresnelova oblast. Tato oblast začíná ve vzdálenosti několika vlnových délek od antény a jde do nekonečna.

42 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně b) Bod P je tak daleko, že délka antény je velmi malá vůči vzdálenosti r, tedy l << r. Pak je možné další zjednodušení. Zavedeme polární souřadnice (r,ϑ, viz obr. 3.3), v nichž ζ = r cosϑ, a upravíme (následuje vztah 3.3) z zζ z rz (, ζ) = r ζ + ( ζ z) = r + z zζ r + = r + z cosϑ r r Ve velkých vzdálenostech l/r a protože proměnná z nemůže být nikdy větší než l, lze prostřední člen ve výsledku zanedbat. Pak r(z,ζ) = r - z cosϑ a pro intenzitu pole máme jkr ( ϑ) = sinϑ ( ) E 6 j k e Ize r l + jkz cosϑ dz (3.3) Intenzita elektrického pole jako funkce směru ϑ je dána integrální transformací funkce rozložení proudu I(z) na anténě. Tato integrální transformace je známou Fourierovou transformací. Úlohu "kmitočtu" hraje veličina k cosϑ, která se nazývá prostorový kmitočet. Oblast, kde je možné počítat intenzitu pole pomocí (3.3), se nazývá Fraunhoferova oblast. Její hranice je dána možností zanedbání výše zmíněného členu a v technické praxi se vymezuje podmínkou r l λ (3.3) Podmínka (3.3) je rovnocenná s představou, že trajektorie vedené z jednotlivých bodů antény do místa příjmu jsou rovnoběžné. Činitel e -jkr v (3.3) dokládá, že do místa příjmu přichází od antény kulová vlna. Střed kulové vlnoplochy se nazývá fázový střed antény Technický výpočet vyzařování antén Při technických výpočtech záření antén se předpokládá, že bod příjmu P leží ve Fraunhoferově oblasti. Je tedy tak daleko, že dráhy vln od všech elementů antény jsou rovnoběžné. Postup si výpočtu si ukážeme na několika příkladech. Nejprve vypočítáme intenzitu pole přímého vodiče délky l, který je na jednom konci napájen. Vodič umístíme do kartézské souřadné soustavy (obr. 3.4). Polohu bodu příjmu vymezíme kulovými souřadnicemi r,ϑ. Na vodiči si zvolíme jeden obecně položený element. Jeho příspěvek k intenzitě pole v bodě P je podle vztahu (3.8a) de I z j k dz e ( P) = 6 ( ) sinϑ r Ve jmenovateli položíme r(z) = r a v exponentu vyjádříme funkci r(z) pomocí souřadnic bodu P (r,ϑ) a pomocí souřadnice z zvoleného elementu. Z pravoúhlého trojúhelníka vyznačeného v obr. 3.4a plyne: ( ϑ) rz, = r zcosϑ Po dosazení a integraci (sečtení příspěvků) dostaneme: jkr jkr E jk I z e dz e ( P) jkz cosϑ = 6 sin ϑ ( ) r l (3.33) Pro konečný výpočet je třeba znát ještě funkci rozložení proudu I(z) na vodiči. Jak jsme se již zmínili, nalezení funkce rozložení proudu (funkce proudové distribuce) na lineární anténě je teoreticky obtížná úloha. Při výpočtech vyzařování však můžeme předpokládat, že proudová distribuce je harmonická funkce:

43 Vysokofrekvenční technika a antény 4 [ k( l z) ] I( z) = I max sin (3.34) Protože kl = πl/λ, je funkce záření (a tedy i tvar směrové charakteristiky dipólu) závislá na relativní délce ramene l/λ. Pro konkrétní poměr l/λ můžeme vyšetřit, v jakém směru ϑ má funkce F maximum, zjistit jeho velikost, vypočítat poměrnou funkci F/F max a nakreslit směrovou charakteristiku. Na obr. 3.5 jsou nakresleny charakteristiky pro čtyři různé délky ra- Zbývá již jen dosadit do (3.33) a integrovat. Jako další příklad vypočítáme funkci záření symetrického dipólu. Symetrický dipól tvoří dva kolineární vodiče oddělené malou mezerou a v této mezeře symetricky napájené (obr. 3.4b). Je to jednoduchá a v praxi velmi často používaná anténa. Pro náš výpočet si můžeme představit, že symetrický dipól vznikne "rozevřením" rovnoběžných vodičů symetrického vedení na konci naprázdno. Rozevřením vodičů se docílí toho, že proudy, P P r (z) které ve vodičích vedení byly protisměrné, mají v prostoru stejný směr a I(z) l l l r(z) P I P vyzařují. Z této představy také plyne, dz z r ϑ že rozložení proudu na ramenech dipólu je stejné jako na vedení naprázd- ϑ r r=konst z z r no. Pro horní rameno v obr. 3.4b (z) platí vztah (3.34) přímo, pro dolní Obr. 3.4 I r rameno v argumentu sinu dosazujeme a) Přímý vodič v ose z l (l + z), protože z je záporné. b) Symetrický dipól c) Monopól Při výpočtu záření dipólu můžeme postupovat stejně jako při výpočtu záření přímého vodiče na počátku tohoto článku. Integrál (3.33) aplikujeme postupně na každé rameno a výsledky sečteme. U symetrických antén však s výhodou postupujeme tak, že nejprve sečteme elementární příspěvky dvou symetricky položených elementárních dipólů. Podle obr. 3.4b je tento součet jkr ( z) jkr ( z) ( + ) 6I( z) j k sinϑ dz e e r Z naznačených pravoúhlých trojúhelníků dosadíme r ( z) = r z cosϑ, ( ) a s použitím Eulerova vzorce upravíme součet v závorce: r z = r + z cosϑ ( cosϑ) ( cosϑ) + = cos( cosϑ) jk r z jk r + z jkr e e kz e Společný příspěvek dvojice elementárních dipólů je tedy de( z) I z j k jkr e = 6 ( ) sinϑ dz cos( kz cosϑ ) (3.35) r Nyní dosadíme za I(z) funkci rozložení (3.34) a integrujeme po horním rameni, protože příspěvky spodního jsou již zahrnuty v (3.35): l jkr e E = 6I max jk sinϑ sin[ k( l z) ] cos( kzcosϑ) dz = 6I r ( kl ϑ) ( kl) cos cos cos F = j sinϑ max e F r jkr (3.36)

44 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně mene. Při délkách ramene okolo λ/4 a kratších má směrová charakteristika tvar dvojice křivek blízkých kružnicím. (Obrázek je ovšem jen rovinným řezem prostorového útvaru, který vznikne rotací nakresleného obrazce kolem svislé osy). Při prodlužování ramene se záření koncentruje do směru kolmého k ose dipólu a při překročení délky ramene λ/ se objeví boční laloky. Při dalším prodlužování dipólu boční laloky rychle rostou a původně "hlavní" lalok se začne zmenšovat. Když délka ramene je rovna délce vlny, dipól nezáří vůbec kolmo ke své ose. l/ λ =.5 l/ λ =.5 l/ λ =.7 l/ λ =. Obr. 3.5 Směrové charakteristiky symetrického dipólu V praxi se setkáváme s anténou, která se nazývá monopól anebo podle provedení např. prutová anténa nebo tyčová anténa ap. Tvoří ji jedno rameno symetrického dipólu umístěné kolmo nad vodivou plochou, např. deskou, střechou, "zemí" (obr. 3.4.c). Je buzena nesymetricky vůči této "zemi". Podle principu zrcadlení lze vliv země nahradit zářením zrcadlového obrazu antény (čárkovaně v obr. 3.4c), takže skutečná anténa společně se zrcadlovým obrazem vytvoří symetrický dipól. Pro intenzitu pole monopólu platí tedy (3.36) beze změny, ovšem jen v horním poloprostoru; pod "zemí" je intenzita pole nulová. Jako poslední příklad vypočítáme záření obdélníkového ústí plošné antény, na kterém je intenzita pole podél jedné strany konstantní a podél druhé strany se mění podle kosinového zákona. Zvolená poloha ústí antény v souřadné soustavě je patrná z obr..5 a rozložení pole v ústí popisuje rovnice E y b ( x, y) = E cos ( S ) π max (3.37) Uvažované rozložení je např. v ústí ploché trychtýřové Předpokládáné rozložení intenzity (S) antény. E (náčrt vlevo nahoře) Postup výpočtu je obdobný jako u lineárních antén. Zvolíme obecně položený bod příjmu, pak elementární Huygensův zdroj (ds) na apertuře. Vzdálenost plošky od bodu příjmu závisí na poloze plošky a vyjádříme ji pomocí pevné vzdálenosti r a souřadnic plošky x, y: rxy (, ) = r xsinϑ cosϕ ysinϑ sinϕ Příspěvek plošky k intenzitě pole v bodě P je podle vztahu (3.6) de j E S e = ( x, y ) cosϑ λ ( P) ( ) ds(x,y) Obr. 3.5 x Obdélníkové ústí plošné antény. jkr( x, y) r a b rozlož.e (S) dx dy E max z r P r(x,y) y

45 Vysokofrekvenční technika a antény 43 Ve jmenovateli bylo dosazeno r(x,y) = r. Dosadíme funkci rozložení pole E (S) (3.37) a integrujeme po apertuře (podle x a y). Výsledek je málo přehledný a proto se většinou vyšetřují jen směrové charakteristiky ve dvou navzájem kolmých rovinách: v rovině xz a yz: E E xz yz j = E λ max ( kasinϑ) e ( kasinϑ) r jkr 8 sin cos ϑ ab. (3.38a) π ( kbsinϑ) j 8 cos e = Emaxcosϑ ab λ π π kbsinϑ r jkr (3.38b) Všimněme si, že směrová charakteristika v rovině xz je vyjádřena funkcí sinα/α, v níž α=ka.sinϑ. Funkce sinα/α má hlavní relativní maximum pro α = a "po obou stranách" řadu dalších relativních maxim, která se postupně zmenšují. Relativní maxima funkce sinα/α odpovídají hlavnímu a bočním lalokům směrové charakteristiky Výpočet záření anténních soustav Anténní soustavu tvoří skupina antén, napájených ze společného zdroje. Hlavním důvodem pro seskupování antén do soustav je snadnější možnost získání požadovaných směrových vlastností. Jednotlivé antény anténní soustavy jsou její prvky. Prvky soustavy mohou být jednoduché antény (např. symetrické dipóly), ale také jednodušší soustavy. Vlastnosti anténní soustavy jsou určeny uspořádáním prvků v prostoru, vlastnostmi každého prvku a způsobem buzení tj. amplitudami a fázemi proudů v prvcích. Způsob buzení je důležitý; u téže soustavy můžeme měnit směrovou charakteristiku fázováním budicích proudů. Z hlediska geometrie seskupení prvků se nejčastěji používají soustavy řadové: fázové středy prvků leží na přímce. Velmi často jsou navíc ekvidistatntní: mají stejné vzdálenosti mezi sousedními prvky. Běžné jsou také soustavy, složené z několika rovnoběžných řadových soustav; jedná se pak o "řadovou soustavu řadových soustav", která má základní prvky rozmístěny na ploše. y P(r, ϕ) Z hlediska fázových relací proudů v prvcích rozlišujeme soustavy synfázní (soufázové), u nichž jsou fáze proudů ve všech prvcích stejné. Druhou důležitou skupinou ϕ jsou soustavy protifázové: fáze proudů v I d I I d 3 I d 4 x sousedních prvcích se liší o π.existují však také soustavy, u nichž nelze fáze proudů vyjádřit jednoduchým pravidlem. S výhodou situujeme souměrně dle počátku Obr. 3.6 Čtyřprovková řadová soustava Příklady anténních soustav známe z běžné praxe televizního příjmu. Prvky televizních přijímacích antén jsou až na malé výjimky symetrické dipóly. S cílem získat úzký hlavní lalok směrové charakteristiky se dipóly sestavují v synfázní řadové soustavy. Osa řady je většinou svislá a řada má čtyři i více prvků. Shodnost fází je zabezpečena systémem napájecích vedení. Pro potlačení příjmu z jednoho směru ("zadního") se doplňují tyto soustavy rovinným reflektorem. Podle principu zrcadlení je účinek reflektoru totožný s vyzařováním zrcadlového obrazu soustavy, který leží "za" reflektorem. Fáze proudů v prvcích zrcadlového obrazu jsou opačné než ve skutečné soustavě, pokud prvky jsou rovnoběžné s rovinou reflektoru. Dvojice <skutečná soustava + její zrcadlový obraz> je tedy protifázovou dvouprvkovou řadovou soustavou. Kromě řadových soustav s reflektorem se používají v technice televizního příjmu také řadové soustavy s obecnými fázovými poměry proudů v prvcích.

46 44 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Při výpočtu záření anténní soustavy sečítáme příspěvky jednotlivých prvků v obecně položeném vzdáleném bodě. Dodržujeme stejné zásady i stejný postup jako v předchozím článku. Pro ilustraci vypočítáme funkci záření čtyřprvkové řadové soustavy na obr Prvky soustavy jsou stejné a každý sám má funkci záření F. Proudy v prvcích jsou různé: I ~ až I ~ 4. Pro zjednodušení budeme řešit úlohu jako dvourozměrnou: prvky leží v rovině nákresny a zajímáme se o funkci záření pouze v této rovině. Bod příjmu P leží ve Fraunhoferově oblasti (trajektorie vln jsou rovnoběžné) a směr k bodu P je určen úhlem ϕ. Součet čtyř příspěvků je jkr jkr jkr jkr E I F e I F e I F e 3 I F e 4 ( P) ~ ~ ~ ~ = r r r r Dosadíme d d d d r = r + 3 cosϕ, r = r + cosϕ, r3 = r cosϕ, r4 = r 3 cosϕ Vytkneme exp(-jkr), funkci F a z formálních důvodů také jeden z proudů: 3 ~ ~ ~ 3 jkr j kd I j kd P I j kd I j kd ( ) ~ cosϕ cosϕ + cosϕ + cosϕ e 3 4 E = 6I F e + ~ e + ~ e + ~ e (3.39) I I I r Součet, uzavřený v lomených závorkách, je tzv. skupinová funkce záření anténní soustavy: 3 ~ ~ ~ 3 j kdcosϕ I j kdcosϕ I + j kdcosϕ I + j kdcosϕ 3 4 Fskup = e + ~ e + ~ e + ~ e (3.4) I I I Výsledek (3.39) můžeme pak formálně zapsat ve tvaru jkr ( P) ~ e E = 6I F Fskup (3.4) r Výsledná funkce záření je rovna součinu vlastní funkce záření jednoho prvku F a skupinové funkce F skup. Tato skutečnost je označována jako princip násobení charakteristik. Součet, vyjadřující skupinovou funkci, lze ve zvláštních případech upravit pomocí Eulerových vzorců. Tak např. kdyby uvažovaná čtyřprvková soustava byla synfázní, je I =I =I 3 = =I 4, v (3.39) sečteme první člen se čtvrtým a druhý se třetím a dostaneme [ cos( cosϕ) cos( cosϕ )] 3 Fskup = kd + kd Maximum skupinové funkce synfázní řady je vždy ve směru ϕ = π/. U protifázové řady je I = -I = I 3 = -I 4, [ sin( cosϕ) sin( cosϕ )] 3 F j kd kd skup = a při vzdálenosti sousedních prvků λ/ je maximum ve směrech ϕ = a ϕ = π Impedance lineárních antén Lineární anténa je jednobran a poměr fázorů vstupního napětí a vstupního proudu definuje tzv. vstupní impedanci antény. Vstupní impedance je veličina stejně důležitá jako funkce záření, protože rozhoduje o přizpůsobení antény k napájecímu vedení. Vstupní impedance je obecně komplexní: má reálnou část (vstupní odpor) a imaginární část (vstupní reaktanci). Obě složky bezprostředně souvisí s činností antény. Anténa vyzařuje jistý činný výkon, a tudíž

47 Vysokofrekvenční technika a antény 45 nejméně stejný činný výkon musí také odebírat ze zdroje. Z hlediska uživatele se tudíž musí jevit na svorkách antény takový reálný odpor, který by odebíral tentýž výkon. Ve skutečnosti má anténa ztráty (část přivedeného činného výkonu se mění v teplo), takže odebíraný výkon bude o něco větší a odpor na svorkách také. Kromě toho anténa během každé periody si vyměňuje energii s elektromagnetickým polem ve svém blízkém okolí a to se projeví existencí jisté reaktance na vstupu.této úvaze odpovídá náhradní obvod antény nakreslený na obr Odpor R Σvst je tzv. odpor záření antény vztažený ke vstupnímu proudu. Místo odpor záření se užívají také názvy vyzařovací odpor nebo zářivý odpor. Odpor R ztr je ztrátový odpor antény. V součinu se čtvercem efektivní hodnoty vstupního proudu tyto odpory určují vyzařovaný a ztrátový výkon antény: vyzařovaný výkon: ztrátový výkon: P P = I Σ vst ef RΣ vst (3.4) ztr Protože na anténě je obvykle stojaté vlnění, je proud v každém místě jiný. Vyzařovaný výkon je však jeden. Podle prvního z uvedených vztahů přísluší tedy každému proudu, a tedy i každému místu na anténě, jiná hodnota odporu záření. Nebo naopak, každá hodnota odporu záření je vztažena k určitému proudu (místu) na anténě. Nejčastěji se odpor záření vztahuje buď k proudu vstupnímu (I vst ) nebo k proudu v kmitně (I max ). Vyzařovaný výkon je tedy alternativně: = I Σ = Ivstef RΣvst = P vstef I R max ef ztr R Σm (3.43) R Σ m je odpor záření vztažený ke kmitně proudu. Vztah (3.43) umožňuje přepočítat odpor záření z jednoho místa do druhého, známe-li funkci proudové distribuce. Veličina je tzv. reaktance záření vztažená ke vstupnímu proudu. Vstupní impedance antény, kterou pozorujeme (měříme) na svor- Ivst kách, je rovna součtu Z = R + R + jx vst Σ vst ztr Σ vst Uvst RΣ vst Obraťme nyní pozornost k výpočtu jednotlivých prvků v náhradním obvodu. Odpor záření antény lze vypočítat uvážením skutečnosti, že výkon, který prochází uzavřenou plochou obklopující anténu v bezeztrátovém prostředí musí být roven výkonu, který anténa vyzařuje. Pro integraci zvolíme kulovou plochu s velkým poloměrem a pak platí: Rztr XΣ vst Obr. 3.7 Náhradní obvod antény Tudíž ππ E I Π 6 ds = ds = π π r max F r sinϑ dϑdϕ = P Σ = I max R Σm π π 3 RΣ m = F sin ϑ dϑ dϕ (3.44) π Integrál lze někdy řešit analyticky, ale vždy numericky. Předpokladem pro výpočet odporu je tedy pouze znalost funkce záření. Analytický výpočet pro elementární dipól dává ( ) ( ) RΣ el. dip = kl = 8π l λ (3.45)

48 46 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Metoda integrace Poyntingova vektoru po kulové ploše s velkým poloměrem je jednoduchá, ale dovoluje získat jen reálnou část impedance záření (R Σ m ). Je to proto, že ve velkých vzdálenostech od antény vlnění nese jen činný výkon a vektory E a H jsou ve fázi. Imaginární složka impedance záření X Σ m souvisí s blízkým polem a pro její výpočet je nutné přenést plochu integrace co nejblíže k anténě. Integruje se přímo po povrchu anténního vodiče. Jde však o náročnější úlohu, kterou se zde nebudeme zabývat. Dipóly se obvykle navrhují tak, aby pracovaly v první (čtvrtvlnné) nebo ve druhé rezonanci; zjednoduší se tím přizpůsobovací obvody. Dipól s délkou ramene l = λ/4 přesně má impedanci (73 + j 4) Ω.Jestliže jej "doladíme" do rezonance patřičným zkrácením ramene, imaginární složka vymizí a reálná o několik ohmů klesne. Vzhledem ke všudypřítomným ztrátám však zůstává okolo 7ti ohmů. V půlvlnné rezonanci je vstupní odpor asi až ohmů v závislosti na tloušťce vodiče. Ještě několik poznámek ke ztrátovému odporu. Ztráty v anténě vznikají v důsledku konečné vodivosti anténního vodiče, konečné jakosti anténních izolátorů a v důsledku pohlcování energie v blízkých nedokonale vodivých předmětech (nosná konstrukce, stromy, zemský povrch). Výpočtem ztrátového odporu se zde zabývat nebudeme. Pro představu uveďme, že jeho hodnota většinou bývá v jednotkách až desítkách ohmů Parametry antén Elektrické vlastnosti antén různých typů se charakterizují stručnými číselnými údaji, které nazýváme parametry. Jejich znalost je důležitá při navrhování rádiových soustav. Jeden ze základních parametrů, funkci záření F(ϕ,ϑ ) jsme již poznali. Funkce záření dovoluje vypočítat intenzitu pole, známe-li proud v anténě: E = 6I max F(, ) jkr e ϕϑ (3.46) r Funkce záření může být daná také graficky jako směrová charakteristika. Ze směrové charakteristiky se odvozují další parametry. Úhlová šířka hlavního laloku je úhel vymezený směry, v nichž intenzita pole poklesne o 3 db vůči maximu (obr. 3.8). Činitel zpětného záření je relativní intenzita záření ve směru opačném vůči směru maxima (obr. 3.8). Úroveň bočních laloků je relativní velikost prvního, případně dalších bočních laloků vůči hlavnímu. Dalším důležitým parametrem je činitel směrovosti D. Ten dovoluje vypočítat intenzitu pole, známe-li vyzařovaný výkon: (, ) PD Eef = 3 Σ ϕϑ r (3.47) Položíme-li vzájemně rovné pravé strany rovnic (3.46) a (3.47) a dosadíme-li za P Σ ze vztahu (3.43), získáme užitečný vztah pro výpočet činitele směrovosti: D( ϕϑ, ) F( ϕϑ, ) = R Σ m Emax Ezpět E max (3.48) Při výpočtu D nejprve najdeme funkci záření, pak podle (3.44) vypočteme odpor záření vztažený ke kmitně a ze (348) získáme činitele směrovosti. Je zřejmé, že činitel směrovosti antény závisí jen na funkci záření F, tedy na tvaru směrové charakteristiky (dvě různé antény se stej- θ,7 Obr. 3.8 Vymezení hlavního laloku

49 Vysokofrekvenční technika a antény 47 nými charakteristikami mají i stejné hodnoty D). Díky tomu lze odvodit vzorce pro výpočet přibližné hodnoty činitele směrovosti jen ze stručných údajů o směrové charakteristice. Má-li anténa dobře vyjádřený hlavní lalok "doutníkového" tvaru a nevelké boční laloky, platí přibližný vztah Dmax = 35 (3.49) θ θ v němž θ E a θ H jsou úhlové (celé) šířky hlavního laloku ve dvou navzájem kolmých rovinách (v rovinách E a H), vyjádřené ve stupních. Účinnost antény se definuje poměrem vyzařovaného výkonu ku příkonu. Dělením rovnic (3.4) odvodíme jednoduchý vztah: η = R R Σ vst E Σ vst + R ztr H (3.5) Dobrá účinnost antény je podmíněna buď malým ztrátovým odporem a (nebo) velkým odporem záření. Naopak nízkou účinnost mají antény s malým odporem záření - a to jsou antény krátké proti délce vlny. Často používaný parametr zisk antény má v literatuře různý obsah. Původně byl definován jako součin činitele směrovosti a účinnosti antény. V tomto významu se dnes používá jen u antén pro kmitočty asi do 3ti MHz. Antény pro vyšší kmitočty mívají účinnost blízkou jedné a uvedená definice ztrácí význam. V těchto pásmech se parametr zisk používá pro decibelové vyjádření absolutní nebo relativní hodnoty činitele směrovosti D max : absolutní zisk: G abs = log D max zisk vůči půlvlnnému dipólu: G rel = log (D max /,64). (3.5) Konstanta,64 je maximální hodnota činitele směrovosti půlvlnného dipólu. Účinná (efektivní) délka antény se definuje jako délka elementárního dipólu, který by (ve směru kolmém ke své ose) vybudil stejnou intenzitu pole jako příslušná anténa. Předpokládá se, že bod pozorování leží ve stejné vzdálenosti od obou antén, a že proud tekoucí elementárním dipólem je roven alternativně proudu v kmitně (I max ) nebo proudu na vstupu (I vst ) příslušné antény. U i=e lef Z i= Z Σ Podle volby vztažného proudu se získá účinná délka vztažená ke kmitně proudu nebo ke vstupnímu proudu. Definici je ovšem nutné chápat spíše číselně. Účinná délka nějaké antény je číslo, které má rozměr délky. Když toto číslo dosadíme za dz do vztahu (3.8a) pro intenzitu pole elementárního dipólu, dále tam dosadíme proud I max (nebo I vst ) srovnávané antény, a nakonec ještě ještě sinϑ =, dostaneme stejnou intenzitu pole jako od příslušné antény. Účelný výpočtový vztah pro účinnou délku l ef získáme pomocí (3.9), který jednou aplikujeme na příslušnou anténu, jednou na elementární dipól, a intenzity E položíme sobě rovné. Tak dostaneme: l ef = F(ϕ,ϑ)/jk vztažená ke kmitně l ef = F(ϕ,ϑ)/jk (I max /I vst ) vztažená ke vstupu (3.5) F je funkce záření, k vlnové číslo. Účinná délka symetrického dipólu s ramenem λ/4 je λ/π. Účinná délka je parametr, který je užitečný pro výpočet poměrů na přijímacích anténách. Pomocí principu reciprocity lze dokázat, že přijímací anténu můžeme považovat za napěťový zdroj s jistým vnitřním elektromotorickým napětím U i a vnitřní impedancí Z i. Vnitřní ~ vst (zátěž) Z Obr. 3.9 Náhradní obvod přijímací antény

50 48 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně napětí U i je rovno součinu účinné délky antény a intenzity pole v okolí a vnitřní impedance Z i je rovna vstupní impedanci téže antény při vysílání (obr. 3.9). Známe-li tedy parametry antény při vysílání, pak snadno z nich vypočteme i potřebné veličiny pro přijímací režim. Z předchozího plyne, že anténa má stejnou impedanci a stejnou směrovou charakteristiku jako při vysílání. Přijímací anténa jako zdroj dodává do zátěže největší výkon tehdy, je-li zátěž výkonově přizpůsobená (komplexně sdružená k vnitřní impedanci antény) a jsou -li ztráty v obvodu nulové. Tento výkon je P př Ui = Z + Z i * i ( Elef ) E lef lef Ri = = = = S 4R 3π π Π Π π 4R R i i Σ vst ef (3.53) a nazývá se přijímaný výkon. Je to největší výkon, který můžeme z přijímací antény získat. Skutečně získaný výkon je vždy menší v důsledku ztrát a příp. nepřizpůsobení. Veličina S = 3π l RΣ (3.54) ef ef vst je tzv. účinná plocha antény [m ]. Definuje se jako plocha kolmá na směr šíření přijímané vlny, kterou prochází výkon rovný přijímanému výkonu Výpočet parametrů antén v MATLABu V tomto odstavci si ukážeme, jak můžeme v MATLABu počítat parametry symetrického dipólu (odst ) a jak lze v MATLABu analyzovat dipólovou anténní řadu (odstavec 3..7.) Parametry symetrického dipólu V prvním kroku vytvoříme soubor patt.m, který bude počítat směrovou charakteristiku dipólu v závislosti na změně úhlu ϑ. Proto do hlavičky funkce zavedeme parametr th, což je vektor úhlů ϑ, pro něž chceme vyčíslit funkci záření. Při programování funkce záření musíme ošetřit případy, pro něž jmenovatel v (3.36) nabývá nulové hodnoty. Proto si vektor hodnot jmenovatele uložíme do pomocné proměnné dn a hledáme nejmenší absolutní hodnotu jeho prvků (řádek ++). Je-li nejmenší absolutní hodnotou nula, nahradíme tuto nulu jedničkou a do vektoru m uložíme index změněného prvku (řádek ++). To provádíme tak dlouho, dokud je minimální prvek různý od nuly. Po této akci můžeme vyčíslit funkci záření pro vektor úhlů th. Na závěr pak dosadíme za hodnoty funkce záření, odpovídající nulovému jmenovateli, hodnotu nula, jelikož dipól do těchto směrů nezáří. Function Fd = patt( th) l =.5; % délka ramene dipólu f = 4.e+8; % kmitočet napájecího napětí c = 3e+8; % rychlost světla ve vakuu k = *pi*f/c; % vlnové číslo dn = sin( th); % jmenovatel funkce záření [a,b] = min( abs( dn)); % ++ in = ; while a== % je-li ve jmenovateli nula in = in + ; m(in) = b; % ++

51 Vysokofrekvenční technika a antény 49 dn(b) = ; % nahradíme ji jedničkou [a,b] = min( abs( dn)); end Fd = (cos(k*l*cos( th))-cos( k*l))./ dn; % funkce záření for n=:in Fd( m( n)) = ; % pro sin( th) = dipól nezáří end V dalším kroku vytvoříme soubor radiat.m, obsahující integrand ve vztahu (3.44) pro výpočet odporu záření. Uvážíme-li osovou symetrii dipólu, přejde vztah (3.44) na tvar π RΣ m = 6 F sinϑ dϑ Parametrem funkce radiat je opět vektor úhlů th, který je předáván funkci patt. (3.55) function Rm = radiat( th) F = patt( th); Rm = F.*F.*sin( th); V posledním kroku vytvoříme soubor dipole.m, který vypočítá odpor záření (3.55), vyčíslí činitele směrovosti ve směru maxima záření (ϑ = π/ rad) a vykreslí směrovou charakteristiku dipólu v závislosti na úhlu ϑ, a to jak v kartézských tak v polárních souřadnicích. function dipole Rm = 6*quad8( 'radiat',... % integrujeme funkci radiat, pi,... % v intervalu od do pi e-5) % s přesností e-5 D = *abs( patt(pi/))^ / Rm % činitel směrovosti v th=pi/ th = -8:8; % vektor úhlů theta ve stupních thr = th*pi/8; % převod úhlů na radiány F = abs( patt( thr)); % vyčíslení funkce záření F = F / max( F); % normování figure; plot( th, F); % kartézská směrová charakteristika figure; polar( thr, F); % polární směrová charakteristika Tímto je naše práce s výpočtem odporu záření, činitele směrovosti a směrových charakteristik hotova. z Parametry soustavy dipólů V předchozím odstavci jsme si ukázali, jak vypočíst parametry symetrického dipólu. Nyní si rozšíříme naše vědomosti tak, abychom byli schopni určit parametry dipólové anténní soustavy. Své vědomosti budeme rozšiřovat při řešení konkrétního příkladu, jehož zadání je následující: Mějme čtyři symetrické rovnoběžné dipóly a s nimi rovnoběžně umístěný d x d h l d Obr. 3. Čtyřprvková dipólová soustava, doplněná rovinným reflektorem 3 4 y

52 5 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně rovinný reflektor. Dipóly jsou buzeny soufázově se stejnými amplitudami. Vzdálenost mezi dipóly je d =.5 m, vzdálenost reflektoru od dipólů je h =.4 m. Dipóly mají ramena dlouhá l =.5 m a napájeny jsou napětím o kmitočtu f = MHz.. Odvoďte obecný vztah pro funkci záření F(ϕ, ϑ) v kulových souřadnicích.. Obecný výsledek zjednodušte do tvarů vhodných pro roviny E a H. 3. Dosaďte dané číselné hodnoty a nakreslete normované směrové charakteristiky v rovinách E a H, a to jak v kartézských tak v polárních souřadnicích. 4. Integrací prostorové funkce záření určete činitele směrovosti D max a zisk ve směru maxima záření. Výsledek srovnejte s přibližným ziskem určeným pomocí šířek hlavního laloku v rovinách E, H. 5. Formulujte obecně při jaké vzdálenosti h soustava nezáří ve směru ϑ od normály k reflektoru a při jaké rozteči dipólů d soustava září maximálně ve směru ϑ v rovině H. vlnoplocha d d d I I ' x z y h Obr. 3. Odstranění rovinného reflektoru pomocí principu zrcadlení P ψ x r x r Obr. 3. r Dráhové posuvy vln, vyzařovaných čtveřicí dipólů d d d Řešení: ad ) V prvním kroku se zbavíme rovinného reflektoru využitím principu zrcadlení (vliv dokonale vodivé roviny, umístěné rovnoběžně s dipólem, lze nahradit zrcadlovým obrazem dipólu; "obraz" je napájen proudem s touž velikostí a s opačnou fází jako skutečný dipól). Využitím tohoto principu lze anténu z obr. 3. převést na ekvivalentní osmi-prvkovou soustavu na obr. 3.. V druhém kroku sečteme příspěvky jednotlivých dipólů jedné čtveřice (obr. 3.) k intenzitě elektrického pole v bodě P, ležícím tak daleko, že vlny od jednotlivých dipólů do něj běží po přibližně rovnoběžných drahách. S využitím ( ϑ) = 6 ( ϑ) exp ( ) E I F jkr r m m dostáváme E= E+ E + E3+ E4 = 6 I F exp jk r + exp jk r + exp + jk r + exp + jk r exp jkr r m { ( ) ( ) ( ) ( )} ( ) { cos( ) cos( )} exp( ) exp( ) = 6 I F k r + k r jkr r m = 6 I F F jkr r m sk

53 Vysokofrekvenční technika a antény 5 kde I m je proud v kmitnách dipólů, F je funkce záření samotného dipólu (všechny dipóly v naší soustavě jsou stejné), k je vlnové číslo, úhel ψ x je úhlem mezi osou x a průvodičem bodu P, r je vzdálenost středu čtveřice dipólů od bodu P a dráhové posuvy r a r jsou znázorněny na obr Z obrázku je navíc zřejmé, že tyto dráhové posuvy můžeme vypočíst podle vztahů 3 r = dcosψ x r = dcosψ x V tuto chvíli můžeme čtveřici dipólů nahradit bodovým zářičem, jenž leží ve středu čtveřice a který má funkci záření popsánu vztahem F F sk. Neboť obě čtveřice dipólů z obr. 3. jsou identické, budou identické i jejich funkce záření. Naše soustava osmi dipólů tedy přechází na soustavu dvou bodových zářičů (obr. 3.3), které můžeme opět sdružit do jediného bodového zářiče ležícího v jejich středu E = 6 I F F exp jk r exp + jk r exp jkr r m { ( ) ( )} ( ) sin( ) exp( ) exp( ) sk 3 3 = 6 Im F Fsk j k r3 jkr r = 6I F F F jkr r m sk r Z obr. 3.3 je zřejmé, že dráhový posuv r 3 lze vyjádřit jako r3 = hcosψ z kde úhel ψ z je úhlem mezi osou z a průvodičem bodu P. Abychom získali obecný vztah pro funkci záření v kulových souřadnicích, musíme za funkci záření dipólu F dosadit ze vztahu F ( y ) ψ ( kl ψ y ) ( kl) cos cos cos = sinψ y a úhly ψ x, ψ y a ψ z musíme vyjádřit pomocí úhlů sférického souřadného systému ϑ a ϕ cosψ x = sinϑ cosϕ cosψ y = sinϑsinϕ cosψ = cosϑ z Dostáváme tak výsledný obecný vztah pro funkci záření naší soustavy v kulových souřadnicích { [ ] [ ]} [ ( ) ( )] 3 { cos[ kd sin( ϑ) cos( ϕ) ] cos[ kd sin( ϑ) cos( ϕ) ]} { jsin[ khcos( ϑ) ]} ( ) ( ) ( ) F ϕ, ϑ = cos klsin ϑ sin ϕ cos kl sin ϑ sin ϕ + (3.56) ad ) V případě naší anténní soustavy je rovina E shodná s rovinou yz a rovina H s rovinou xz. Je tedy zřejmé, že dosazením za ϕ = 9 do (3.56) dostaneme funkci záření pro rovinu E { cos[ sin ] cos[ ]} cos( ) 4 sin[ cos( )] ( ) ( ) FE ϑ = kl ϑ kl ϑ j kh ϑ a po dosazení za ϕ = do (3.56) získáme funkci záření pro rovinu H z r 3 + I h m ψ z h - I r vlnoplocha m 3 Obr. 3.3 Čtveřice dipólů nahrazeny bodovými zářiči

54 5 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně { [ ] [ ( )]} ( ( )) 3 ( ) { [ ]} ( ) FH ϑ = cos kl cos kdsin ϑ + cos kdsin ϑ jsin khcos ϑ ad 3, 4) Co se týká směrových charakteristik, výpočtu odporu záření a výpočtu zisku, stejně jako v předchozí kapitole využijeme ke splnění zmíněných úkolů matlab. V prvém kroku vytvoříme soubor patt.m, který nám bude vracet pro zadané úhly ϕ a ϑ odpovídající hodnotu funkce záření naší anténní soustavy function F = patt( th, ph) l =.5; % délka ramene dipólu d =.5; % vzdálenost mezi dipóly h =.4; % vzdálenost dipólů od reflektoru f =.e+8; % kmitočet budícího napětí c = 3e+8; % rychlost světla ve vakuu k = *pi*f/c; % vlnové číslo cospx = sin( th) * cos( ph); % prostorové úhly cospy = sin( th) * sin( ph); dn = sqrt(-cospy.*cospy); % funkce záření dipólu [a,b] = min( abs( dn)); % viz předchozí kapitola in = ; while a== in = in + ; m(in) = b; dn(b) = ; [a,b] = min( abs( dn)); end Fd = (cos(k*l*cospy)-cos( k*l))./ dn; for n=:in Fd( m( n)) = ; end Fr = *sin( k*h*cos(th)); % funkce záření, popisující reflektor Fs = *cos(.5*k*d*cospx)+... *cos(.5*k*d*cospx); % f.z., popisující čtveřici dipólů F = Fd.* Fr.* Fs; % výsledná funkce záření V dalším kroku vytvoříme opět soubor radiat.m, který bude odpovídat integrandu vztahu pro výpočet odporu záření. Jelikož záření naší soustavy není rotačně souměrné, jako tomu bylo v případě symetrického dipólu, musíme integrovat jak podle úhlu ϕ tak podle úhlu ϑ π π / RΣ = 3 F sinϑ dϑdϕ π Připomeňme, že funkce F(ϕ,ϑ) i výsledek R Σ jsou vztaženy ke stejnému proudu. V našem případě jsme tyto parametry vztahovali k proudu v kmitně jednoho z dipólů I m. Jelikož naše anténní soustava září pouze do poloprostoru před reflektorem změnili jsme horní integrační mez pro ϑ na π/. Implementace integrandu tedy bude vypadat následovně function Rm = radiat( th, ph) F = patt( th, ph); Rm = F.*F.*sin( th); Implementace samotné integrace a vykreslení směrových charakteristik takto

55 Vysokofrekvenční technika a antény 53 function out = array Rm = (3/pi)*dblquad( 'radiat',... % dvojitá integrace funkce radiat, pi/,, *pi,... % theta: <,pi/>, fi: <,*pi> e-5, 'quad8') % požadovaná přesnost e-5 D = *abs( patt(, ))^ / Rm % č. směr. ve směru max. záření th = -9:9; % theta [deg] pro směr.charakt. thr = th*pi/8; % theta v radiánech Fe = abs( patt( thr, pi/)); % funkce záření v rovině E Fe = Fe / max( Fe); % normování figure; plot( th, Fe); % kartézský graf title('rovina E'); figure; polar( thr, Fe); % polární graf title('rovina E'); Fh = abs( patt( thr, )); % funkce záření v rovině H Fh = Fh / max( Fh); % normování figure; plot( th, Fh); % kartézský graf title('rovina H'); figure; polar( thr, Fh); % polární graf title('rovina H'); Tímto máme body 3 a 4 našeho zadání splněny. Pokud navíc určíme číselnou hodnotu šířky hlavního laloku v rovinách E a H, tedy θ E a θ H, můžeme vypočíst přibližnou hodnotu činitele směrovosti ve směru maximálního záření podle následujícího vztahu Dmax = 35 θ θ E H [ -, deg, deg] (3.57) ad 5) Co se týká závislosti funkce záření na vzdálenosti dipólů od reflektoru h, ta je popsána jediným součinovým členem sin[ kh cos(ϑ)]. Bude-li tedy tento člen nulový pro úhel ϑ, nebude naše soustava do směru ϑ zářit. Popsanou podmínku lze vyjádřit vztahem ( ) khcos ϑ = nπ kde n je celé číslo. Úpravou dospějeme k hledané podmínce h= n λ cosϑ Co se týká závislosti funkce záření v rovině H na vzdálenosti mezi dipóly d, ta je opět popsána jediným součinovým členem, který tentokrát sestává ze dvou sčítanců cos[.5kd sin(ϑ)] + cos[.5kd sin(ϑ)]. Budou-li oba kosiny pro úhel ϑ rovny + nebo -, nabude tento člen maximální možné absolutní hodnoty, a naše soustava bude daném směru maximálně zářit. Popsanou podmínku lze vyjádřit vztahy ( ) ( ) 5. kd sin ϑ = nπ 5. kd sin ϑ = nπ (3.58a) nebo ( ) ( ) ( ) ( ) 5. kd sin ϑ = n+ π 5. kd sin ϑ = n+ π (3.58b) kde n je opět celé číslo. Řešením (3.58) dospějeme k hledané podmínce

56 54 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně d= nλ sinϑ Tím je celý zadaný úkol vyřešen Kontrolní příklad Dva rovnoběžné dipóly l = λ/4 ve vzdálenosti d = λ/4 jsou napájeny stejně velkými proudy, jejichž fáze se liší o Φ = π/. Řešte úkoly a) až d) předchozího příkladu. Řešení Po umístění do souřadné soustavy podle obr. 3.4 sečteme příspěvky k intenzitě pole s respektováním fázového posuvu Φ. Zvolíme-li vztažný proud I tak, aby platilo ~ ~ I = I exp jφ/ a I = I exp + jφ/ ( ) ( ) dostaneme skupinovou funkci záření soustavy F sk ve tvaru F sk [ ( )] kd ψx Φ 4 ( π ϕ ϑ π) [ ] = cos cos = cos cos sin Další postup je obdobný řešení předchozího příkladu. Pro zadané rozměry a fázový posuv dostaneme Θ E = 76.5 o Θ H = 8 o D max = 3.3 Šířky hlavního laloku se výrazně liší a použití přibližného vzorce (3.57) není vhodné. V případě umístění dipólu "" do počátku souřadné soustavy a při volbě I = I exp(-jφ ), I = I dostaneme jen formálně jiný výsledek π [ ( x Φ )] ( ) π [ ] [ ( )] F = + exp j kdcosψ = + sin cosϕ sinϑ jcos cosϕ sinϑ sk 3..9 Kontrolní otázky. Jaké elementární zdroje elektromagnetického záření znáte? K čemu jsou tyto elementární zdroje dobré?. Popište vyzařování elementárního dipólu (směrová charakteristika, nenulové složky intenzit pole). d/ ~ y I "" x Obr. 3.4 Dvouprvková soustava s fázovým posuvem proudů 3. Popište vyzařování elementárního plošného zdroje (směrová charakteristika, nenulové složky intenzit pole). 4. Do jakých dvou etap lze rozdělit výpočet vlastností antény? Jak se tyto etapy nazývají? 5. Na jakém principu je založen technický výpočet parametrů drátové antény? 6. Jak se mění směrová charakteristika symetrického dipólu při zvyšování poměru délky ramene k vlnové délce? 7. Na jakém principu je založen technický výpočet parametrů dipólových soustav? 8. Z jakých odporů a reaktancí sestává impedance antény? Jaký je vztah mezi vstupní impedancí antény a impedancí vztaženou k proudu v kmitně? d/ z ~ I ""

57 Vysokofrekvenční technika a antény Jaký význam má činitel směrovosti antény? Co je to zisk antény? 3.3 Numerické řešení vnitřní úlohy Všechny důležité technické parametry antén, jakými jsou např. zisk, vstupní impedance nebo směrová charakteristika, mohou být relativně snadno vypočteny, pokud známe rozložení proudu na anténním vodiči. Výpočet rozložení proudu je však bohužel dosti komplikovaný, protože při jeho určování je třeba řešit integrální rovnice. K řešení integrálních rovnic existují dva základní přístupy iterační a momentový. Iterační metody vycházejí z hrubé aproximace proudového rozložení (uvažujeme např. sinusové rozložení proudu na drátovém dipólu), z a která je iteračně zpřesňována. Oproti tomu momentové metody převá- dějí řešení integrální rovnice na řešení soustavy rovnic lineárních, s nimiž h si bez problémů poradí např. MATLAB. My se budeme zabývat pouze momentovou analýzou drátových antén. Ve všech případech budeme předpokládat, že anténa je tvořena kruhovým válcem o poloměru a a že je dlouhá h. Osu anténního vodiče umístíme do osy z (obr. 3.5) válcového souřadného systému (r, ρ, z). Dále předpokládáme, h že se anténa nachází ve vakuu (µ = µ, ε = ε, σ = ) a že veš- keré možné ztráty jsou nulové. Uprostřed anténního vodiče (z=) budeme uvažovat krátkou štěrbinku. Tuto štěrbinku připojíme k hypotetickému harmonickému zdroji, který vytváří rotačně souměrné budicí pole (obr. 3.6). Napětí ve štěrbince pak můžeme popsat vztahem V = E dz (3.59) gap Dále předpokládáme, že toto napětí je rovno jednomu voltu. Ve vztahu (3.59) značí E z z-ovou složku intenzity budícího elektrického pole ve štěrbině, a tedy i na (válcovém) povrchu této krátké části antény (obr. 3.6). Mimo štěrbinu je E z nulové, protože předpokládáme dokonalou elektrickou vodivost vodiče antény Momentová metoda z Obr. 3.5 Drátový dipól Uvažujme obecnou integrální rovnici ve tvaru E z b ( z ξ ) dξ g( z) f, = (3.6) a Obr. 3.6 Budicí elektrické pole ve vstupní štěrbině kde f je neznámá funkce (v našem případě rozložení proudu na anténě), <a,b> značí analyzovanou oblast a g je známá funkce, popisující působení zdrojů. Momentové řešení rovnice (3.6) potom můžeme rozepsat do následujících tří kroků:

58 56 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně. Neznámou funkci f aproximujeme pomocí lineární kombinace 6 známých bázových funkcí f n a neznámých koeficientů c n N ~ f f = c n f n (3.6) n=. Formální aproximaci (formální proto, že neznáme koeficienty c n ) hledané funkce f ~ dosadíme zpět do řešené rovnice a zaměníme pořadí sčítání a integrování N n= b ( z) R( z) cn f n ( z, ξ ) dξ = g + (3.6) a V uvedeném vztahu značí R(z) tzv. reziduum, které vyjadřuje skutečnost, že aproximace řešení f ~ není identická se zcela přesným řešením rovnice. Vztah (3.6) je jednou rovnicí pro N neznámých koeficientů c n. 3. Co možná nejpřesnější aproximaci řešení získáme tehdy, když reziduum R bude minimální. Reziduum tudíž minimalizujeme tzv. metodou vážených reziduí: součin vhodné váhové funkce w a rezidua R, integrovaný přes analyzovanou oblast <a, b> musí být nulový. Pokud pro váhování postupně použijeme N různých váhových funkcí, získáme soustavu N lineárních rovnic pro N neznámých aproximačních koeficientů c n N b ( z) R( z) dz = m =,, N wm... (3.63a) a b b ( z) f ( z,ξ ) dξ dz w ( z) g( z)dz cn wm n = n= a a b a m (3.63b) Jak váhové funkce tak funkce bázové musejí být lineárně nezávislé na intervalu <a,b> Bázové funkce Bázové funkce mohou globální nebo lokální povahu. Globální bázové funkce jsou definovány přes celou analyzovanou oblast <a,b>. Např. soustava funkcí z = cos π nz h (3.64) f n ( ) ( ) je lineárně nezávislá na intervalu <a,b> a koeficienty c n f ( z) ~ f ( z) = = N n= c n N n= cos c n f n = ( π nz h) (3.65) zde mají význam Fourierových koeficientů proudového rozložení. a) b) c c 3 c c 4 c c 5 c 6 c7 ~ f(z) Obr. 3.7 Vícebázová aproximace po částech konstantní (a), po částech lineární (b) z z f(z) c c 5 c 3 c 4 c 6 c7 ~ f(z) f(z) f i f i bázové funkce 6 Lineární kombinací vektorů (funkcí) rozumíme takový vektor (takovou funkci), kterou dostaneme sečtením původních vektorů (původních funkcí), vynásobených libovolnými skalárními nenulovými koeficienty.

59 Vysokofrekvenční technika a antény 57 Aproximaci založenou na globálních bázových funkcích nazýváme jednobázovou aproximací. Lokální bázové funkce jsou definovány přes celou analyzovanou oblast také, avšak pouze na určité podoblasti nabývají nenulové funkční hodnoty (obr. 3.7). Pokud jsou bázové funkce normovány (tzn. pokud se jejich funkční hodnota mění od nuly do jedničky), pak koeficienty c n mají význam uzlových hodnot (vzorků) hledané funkce f (obr. 3.7). Aproximaci založenou na lokálních bázových funkcích nazýváme vícebázovou aproximací Váhové funkce Mezi nejčastěji používané přístupy k minimalizaci rezidua patří kolokační metoda a metoda Galerkinova. Kolokační metoda využívá k váhování Diracovy impulsy 7, umístěné do bodů, v nichž počítáme hodnoty neznámého proudového rozložení w ( z) ( z ) = δ (3.66) m z m Kolokační metoda vykazuje velmi nízké výpočetní nároky, jelikož díky filtrační vlastnosti Diracových impulsů je jedna integrace eliminována N ( z,ξ ) dξ g( z ) cn f n m = n= b a m (3.67) Na druhou stranu je minimalizace rezidua vztažena pouze k bodům z m, do nichž byly umístěny váhovací impulsy. Galerkinova metoda váhuje funkcemi, které jsou identické s funkcemi bázovými wm ( z) = f m ( z) (3.68) Galerkinova metoda vykazuje ve srovnání s metodou kolokační vyšší výpočetní nároky protože v jejím případě k eliminaci jednoho integrování nedochází. Na druhou stranu jsou však do procesu minimalizace rezidua zahrnuty všechny body analyzované oblasti z <a,b> Drátové antény Uvažujme drátovou anténu z obr Potom můžeme vyzařované elektromagnetické pole popsat pomocí vektorového potenciálu A (popisuje působení proudů na anténě) a skalárního potenciálu ϕ (popisuje působení nábojů na anténě). Potenciály musejí vyhovovat nehomogenním vlnovým rovnicím Az z ( z) ( z) = µ J ( z) + k A (3.69a) z z 7 Diracův impuls je impulsem nekonečně úzkým (nabývá nenulové hodnoty v jediném bodě) a zároveň nekonečně vysokým (ve zmíněném jediném bodě nabývá nekonečné hodnoty). Velmi významná je tzv. filtrační vlastnost Diracova impulsu b ( x) ( x x ) dx = f ( ) f δ a x Jelikož Diracův impuls δ (x-x ) nabývá nenulové hodnoty pouze v bodě x, je výsledkem integrování funkční hodnota funkce f právě v bodě x.

60 58 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně ϕ z ( z) ( z) ρ ε ( z) + k = (3.69b) ϕ Zde J z značí z-ovou složku proudové hustoty [A.m - ], vnucenou anténě zdrojem, ρ je objemová hustota náboje [C.m -3 ] na anténním vodiči, A z značí z-ovou složku vektorového potenciálu, ϕ je skalární potenciál, k=π/λ značí vlnové číslo a λ vlnovou délku. Elektrony, které přitékají do antény jako proud, se hromadí na anténním vodiči jako náboj. V druhé polovině periody se směr proudu otočí a náboje z konců anténního vodiče odtékají zpět do zdroje. Jelikož náboje a proudy na anténě spolu souvisejí, musíme vzájemně je svázat. Činíme tak podmínkou kontinuity J z ( z) z + jω ρ( z) = (3.7a) Pokud je poloměr anténního vodiče mnohem menší než vlnová délka a<<λ, potom můžeme předpokládat, že proudy a náboje jsou soustředěny na ose vodiče. Tento předpoklad je samozřejmě nesprávný (v důsledku povrchového jevu jsou náboje a proudy soustředěny na povrchu vodiče), avšak metoda i přes tento nesprávný předpoklad dává překvapivě dostatečně přesné výsledky. Řešíme-li (s uvážením chybného předpokladu) soustavu (3.69), dostáváme A ϕ z µ 4π ( z) = I ( ξ ) 4πε ( z) = σ ( ξ ) exp z h, exp h, [ jkr( z, ξ )] R( z ξ ) [ jkr( z, ξ )] R( z ξ ) dξ dξ (3.7b) (3.7c) Zde I z (ξ) značí proud [A] tekoucí v ose anténního vodiče, σ(ξ) je délková hustota náboje [C.m - ] na ose anténního vodiče, R(z,ξ) je vzdálenost mezi pozicí ξ zdroje pole I z (ξ) a σ(ξ), dále z je místo, v němž počítáme potenciály A(z) a ϕ(z). Známe-li potenciály A(z) a ϕ(z), můžeme vypočíst intenzitu vyzařovaného elektrického pole E s z ( z) jω A ( z) ϕ( z) z = (3.7d) z Elektrická intenzita musí splňovat okrajovou podmínku 8 na povrchu dokonale elektricky vodivého anténního vodiče S i E E = na S (3.7e) + s z z 8 Okrajové podmínky popisují, jaké musí elektromagnetické pole být na dokonalém elektrickém vodiči a na dokonalém vodiči magnetickém. Okrajové podmínky můžeme rozdělit na podmínku Dirichletovu a podmínku Neumannovu. Dirichletova podmínka říká, že ta složka vektoru elektrické (magnetické) intenzity, která je tečná k dokonalému elektrickému (magnetickému) vodiči, musí být na tomto vodiči nulová E t = na PEC H t = na PMC Neumannova podmínka říká, že derivace (změna) vektoru elektrické (magnetické) intenzity ve směru normály k dokonalému magnetickému (elektrickému) vodiči musí být na tomto vodiči nulová n grad E j = j = x, y, z na PMC n grad H j = j = x, y, z na PEC Zkratkou PEC značíme dokonalý elektrický vodič (Perfect Electric Conductor), zkratkou PMC dokonalý vodič magnetický (Perfect Magnetic Conductor). Symbol n značí normálu k vodivému povrchu.

61 Vysokofrekvenční technika a antény 59 E i z značí z-ovou složku (tj. složku tečnou k povrchu anténního vodiče) vektoru elektrické intenzity dopadající vlny. Dopadající vlna je vytvořena zdroji mimo vlastní anténu. Když analyzujeme anténu jako vysílací, je E i z intenzita vytvořená napájecím zdrojem v budicí štěrbině (E z v obr. 3.6). Když analyzujeme anténu jako přijímací, je E i z intenzita přijímaného vlnění (po celé délce vodiče). Chceme-li určit rozložení proudu na anténě, musíme vyřešit soustavu (3.7). Abychom se mohli postarat o splnění okrajové podmínky (3.7e), musíme počítat elektrickou intenzitu (a tudíž i potenciály A a ϕ) na povrchu anténního vodiče. Proto můžeme vzdálenost mezi zdroji pole (na ose) a místy pozorování (na povrchu vodiče) vyjádřit jako ( z, ξ ) = a + ( z ξ ) R (3.7) V dalších odstavcích budeme předpokládat po částech konstantní bázové funkce a Diracovy funkce váhové. S využitím těchto funkcí budeme hledat řešení soustavy (3.7). V prvém kroku musíme analyzovanou anténu diskretizovat. Tato diskretizace je naznačena na obr Dolní hranice segmentů je označena indexem -, horní hranice indexem +. Dolní hranice prvního segmentu a horní hranice posledního segmentu jsou posunuty o polovinu segmentu za konec anténního vodiče, aby bylo možno modelovat uzel proudu I(-h)=I(h)= na koncích antény. Délka všech segmentů je stejná = α. Dosadíme-li po částech konstantní aproximaci do (3.7b,c), dostáváme A ϕ z ( z) ( z) µ 4π 4πε N I h+ ( n+.5) n n=, h+ N σ h+ ( n.5) ( n+.5) ( n.5) exp n n=, h+ exp [ jkr( z, ξ )] R( z ξ ) [ jkr( z, ξ )] R( z ξ ) dξ (3.7b) dξ. (3.7c) Ve výše uvedených vztazích jsou I n a σ n uzlové hodnoty proudu a nábojové hustoty. Jelikož první derivace po částech konstantní aproximace je nulová na konstantní části funkce a neexistuje na hranicích, derivace v (3.7a) a (3.7d) jsou nahrazeny konečnými diferencemi 9. Uvážíme-li že I n = I z (-h+n ), můžeme rovnici kontinuity přepsat do tvaru α h ~ I(z) Obr. 3.8 Po částech konstantní aproximace z 9 Konečné diference používáme k nahrazení hodnoty derivace v případech, kdy derivaci funkce nemůžeme vypočíst. Derivace funkce f v bodě x udává směrnici f(x) tečny k funkci v daném bodě (na obrázku naznačeno černou čárou. Přibližnou hodnotu směrnice můžeme určit červeného pravoúhlého trojúhelníka jako f ( ) ( x + h) f ( x h) f C x = h x-h x x+h Diferencování, kdy bod x leží uprostřed výpočetního intervalu, nazýváme středovým (centrálním) diferencováním. Vidíme, že směrnice červené a černé přímky jsou si velmi blízké. Kromě středového diferencování se můžeme setkat s diferencováním dopředným (tmavě žlutý trojúhelník)

62 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně ( h + ( n + ) ) I ( h + n ) I z z + jωσ ( h + ( n +.5) ) (3.73a) a vztah pro výpočet intenzity elektrického pole přechází na s ϕ ( ) ( ) [ h+ ( n+.5) ] ϕ[ h+ ( n.5) ] Ez h + n jω Az h + n (3.73d) Vztahy (3.73a) a (3.73d) odpovídají skutečnosti, že Diracovy impulsy jsou při váhování umístěny do středu segmentu u vektorového potenciálu A z ( h + m ) µ 4π N n= I h+ n h+ a do krajů segmentů u potenciálu skalárního n= ( n+.5) ( n.5) h+ exp [ jkr( h + m, ξ )] R( h + m ξ ), ( n+ ) h+ n dξ { jkr[ h + ( m +.5), ξ ]} R[ h + ( m +.5), ξ ] (3.73b) N exp ϕ [ h+ ( m +.5) ] σ + n dξ (3.73c) 4πε Ve vztahu (3.73c), σ n+ = σ [-h+(n+.5) ]. Vztah (3.73) přepíšeme do kompaktní formy I n+ I n σ + n j (3.74a) ω n n=, n [ jkr( m, ξ )] R( m ξ ) N µ exp Az ( m) I dξ 4π [ jkr( m+, ξ )] N + ( m ) σ + dξ n + 4πε n= R( m, ξ ) n+ (3.74b) exp ϕ (3.74c) + i ϕ( m ) ϕ( m ) Ez ( m) jω Az ( m) (3.74d) Nyní se podrobněji podívejme na rovnici kontinuity (3.74a). Tato podmínka vyjadřuje skutečnost, že jednotlivé segmenty antény mohou být nahrazeny elementárními elektrickými dipóly (obr. 3.9). Uvážíme-li tento fakt, můžeme vyjádřit příspěvek n-tého segmentu (elementárního dipólu) k hodnotě skalárního potenciálu na pravé hranici m-tého segmentu díky (3.74c) jako + exp ( ) ( jkr) exp( jkr) m = I n dξ I n ϕ dξ jωε 4π R 4π R. (3.75) n+ n ( x + h) f ( x) f f F ( x) = h a s diferencováním zpětným (modrozelený trojúhelník) f ( ) ( x) f ( x h) f B x = h Vidíme, že směrnice modrozelené a tmavožluté přímky se od směrnice tečny liší mnohem výrazněji nežli v případě středové diference.

63 Vysokofrekvenční technika a antény 6 Dosazením (3.75) a (3.74b) do (3.74d) a vynásobením obou stran rovnice délkou segmentu dostáváme i E z = ZI (3.76) Pro prvky Z mn impedanční matice Z platí: Z mn exp = jωµ 4 n [ jkr( m, ξ )] π R( m, ξ ) [ jkr( m+, ξ )] dξ + [ jkr( m, ξ )] exp exp + + dξ + jωε 4π R( m, ξ ) 4π R m n+ n jωε [ jkr( m, ξ )] exp 4π R m (, ξ ) dξ n+ n + (, ξ ) [ jkr( m, ξ )] exp 4π R m Z mn popisuje příspěvek proudu a náboje na segmentu n k napětí indukovanému na segmentu m. Jelikož složka elektrické intenzity, tečná k anténnímu vodiči, je nulová na všech segmentech vyjma napájecí štěrbiny, prvky sloupcového vektoru napětí (levá strana rovnice 3.76) jsou nulové vyjma případu napájecí štěrbiny (na štěrbince jsme předpokládali napětí V). Z rovnice (3.76) tedy můžeme vyjádřit sloupcový vektor uzlových hodnot rozložení proudu na anténě I. Poměr vstupního napětí a vstupního proudu je potom roven vstupní impedanci antény Implementace metody v MATLABu dξ dξ (, ξ ) (3.77) Právě popsanou momentovou metodou můžeme relativně snadno sestavit v MATLABu. V prvém kroku numericky vypočteme integrál funkce [ exp ( jkr) π R] dξ ψ = 4 pro všechny možné vzájemné vzdálenosti jednotlivých segmentů diskretizované antény. V MATLABovské syntaxi for m = :(N+) z = (m-)*del; % del = délka segmentu psi(m) = quad8( 'g', -del/, +del/, e-5,, z, a, k); end V uvedeném výpisu značí quad8 standardní matlabovskou funkci pro numerickou integraci. Dále, g je řetězec se jménem m-souboru, v němž je naprogramována integrovaná funkce. Symboly del/ a +del/ označují integrační meze, e-5 je požadovaná maximální možná chyba integrace a z, a, k jsou parametry (z je vzdálenost zdrojového a cílového segmentu, a značí poloměr anténního vodiče a k je vlnové číslo). Integrovaná funkce je naprogramována následovně: function out=g( ksi, z, a, k) R = sqrt( a^ + (z-ksi)^); out = exp(-j*k*r)/(4*pi*r); -I / jω % ksi (- /; + /) % Greenova funkce - + +I / jω -I / jω - +I / jω Obr. 3.9 Anténa jako soubor elementárních elektrických dipólů +

64 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Máme-li vypočteny integrály pro všechny možné vzdálenosti segmentů, můžeme sestavit impedanční matici for m = :N for n = m:n dist = abs(m-n); % vzdálenost zdroje a cíle hlp = *psi(+dist) - psi(+abs(dist-)) - psi(+abs(dist+)); Z(m,n) = j*omega*mi*del*psi(+dist) + hlp/(j*omega*epsilon*del); end end Z(n,m) = Z(m,n); % matice je symetrická V uvedeném výpisu jsou mi a epsilon permeabilita a permitivita vakua, omega značí úhlový kmitočet a j imaginární jednotku. V posledním kroku je impedanční matice invertována. Sloupec inverzní matice, který odpovídá napájecí štěrbince, přímo udává uzlové hodnoty rozložení proudu na anténě. 3.4 Mikrovlnné antény Moderní komunikační systémy využívají ke své činnosti kmitočtová pásma, jejichž dolní hranice leží v blízkosti GHz a jejichž horní hranice dosahuje desítek GHz. Pro tyto kmitočty se nejčastěji používají mikropáskové antény, trychtýřové antény a antény dipólové. Pokud potřebujeme koncentrovat výkon vlny, která na anténu dopadá, použijeme k tomu anténní reflektor. Jelikož dipólovým anténám jsme se podrobně věnovali v předchozích kapitolách, nyní se pouze zmíníme o anténách mikropáskových, trychtýřových a reflektorových Mikropáskové antény Mikropáskové antény jsou v současných systémech bezdrátových komunikací velice rozšířeným druhem antén. Je to dáno tím, že tyto antény vynikají velice nízkým profilem, a proto mohou být bez větších potíží umísťovány na trupy letadel, na stěny budov, či na odvrácené strany mobilních telefonů. Navíc, mikropáskové antény jsou vyráběny stejnou technologií jako tištěné spoje, a proto je jejich výroba velmi levná a dobře reprodukovatelná. Konečně, mikropáskové antény lze velice snadno integrovat přímo do mikrovlnných obvodů, založených na mikropáskové technologii, a tudíž není zapotřebí žádných speciálních vedení, symetrizačních členů či konektorů, jako je tomu v případě většiny antén klasických. Nicméně, mikropáskové antény mají i své stinné stránky. Hlavní nevýhodou těchto antén přitom bývá jejich úzkopásmovost. Díky této úzkopásmovosti je pak velmi složité navrhovat mikropáskové anténní řady s dostatečně nízkou úrovní bočních laloků. Problémy mohou vznikat i s napájecím mikropáskovým vedením: jeho parazitní vyzařování může deformovat směrovou charakteristiku mikropáskové antény a ztráty v tomto vedení mohou vyústit v relativně nízkou účinnost antény jako celku. Jeden z nejčastěji používaných typů mikropáskové antény je schématicky nakreslen na obr. 3.3a (patch antenna, v české literatuře se někdy používá termín flíčková anténa). Anténu tvoří vodivý obdélník o rozměrech A B, který je nanesený na dielektrickém substrátu. Anténa bývá napájena mikropáskovým vedením (na obr. 3.3 vede mikropásek z dolní hrany substrátu šikmo zleva). Druhá strana substrátu (na obr. 3.3a je nakreslena jako spodní) je souvisle pokovena. Tato pokovená strana tvoří jakýsi reflektor alespoň v tom smyslu, že má

65 Vysokofrekvenční technika a antény 63 (z hlediska napájení) nulový potenciál a že omezuje vyzařování směrem dolů. V dalším textu tuto plochu nazýváme zemní plochou. Na mikropáskovou anténu, napájenou mikropáskovým vedením (obr. 3.3a) můžeme pohlížet jako na otevřené (nestíněné) mikropáskové vedení na konci naprázdno, které je u konce výrazně rozšířeno. Pokud se podél tohoto mikropáskového vedení šíří elektromagnetická vlna, dochází na nehomogenitách (skokové rozšíření mikropásku na hranici mezi napájecím vedením a anténním prvkem a otevřený konec vedení na konci mikropáskového elementu) k vyzařování elektromagnetické energie do okolního prostoru. Struktura se tedy chová jako vysílací anténa. Pokud je navíc délka mikropáskového anténního prvku rovna polovině vlnové délky na tomto rozšířeném vedení, vstupní impedance antény je čistě reálná. Říkáme, že anténa je v rezonanci. Vyzařování mikropáskové antény je možno vysvětlit i jinými způsoby. Můžeme např. vycházet z rozložení proudu na mikropáskovém anténním prvku, na který se pak můžeme dívat jako na drátovou anténu, sestávající z velmi širokého a velmi tenkého anténního vodiče. Nebo můžeme vyjít ze siločar vektoru elektrické intenzity na přední a na zadní hraně anténního prvku (z hlediska napájecího mikropásku) a vyzařování můžeme vysvětlit pomocí výrazné horizontální složky (tj. složky rovnoběžné se zemní plochou) vektoru elektrické intenzity na těchto hranách. Alternativou k napájení mikropáskové antény mikropáskovým vedením je napájení koaxiálním kabelem (obr. 3.3b). Zatímco vnější vodič koaxiálního kabelu je připojen k zemní desce, vnitřní vodič prochází otvorem v této zemní ploše směrem do dielektrického substrátu a přes něj pokračuje k mikropáskovému anténnímu prvku, na který je napojen (obr. 3.3c). Velkou výhodou koaxiálního napájení je přitom výrazné potlačení parazitního vyzařování napájecího vedení. a) A b) A B B L A/ w ε r h ε r h Obr. 3.3 Mikropásková anténa, sestávající z jediného obdélníkového mikropáskového anténního prvku. Napájení mikropáskovým vedením (a). Napájení koaxiálním vedením (b). Průřez anténou (b) v rovině středního vodiče koaxiálního napáječe. c) A/ d p t h Na druhou stranu však při koaxiálním napájení ztrácíme jednu významnou přednost mikropáskových antén, a to snadnou realizaci napájecího systému při sdružování mikropáskových anténních prvků do anténních soustav (obr. 3.3). Asi posledních 5 let se často vyskytuje nepřímé buzení mikropáskových antén. Využívá se přitom elektricky malých vazebních štěrbin v zemní ploše. Tyto štěrbiny se nacházejí zpravidla pod středem elementů. V místě pod štěrbinou, kde se nachází přívodní mikropásek, se jeví určitá impedance (induktivního charakteru). Tato impedance pak fyzikálně reprezen-

66 64 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně tuje anténní zářič, který odsává energii z mikropáskového vedení. Vlastní mikropásek pokračuje dále za štěrbinu (viz přesahy červených čar v obr. 3.3b), aby se takto vzniklým pahýlem kompenzovala jalová složka zmiňované impedance. Jak antény se štěrbinovým buzením tak antény s buzením mikropáskovým mají řadu společných vlastností a řadu odlišností. a) b) Společnou vlastností je velmi malá impedanční šířka pásma. Ta se u antén s mikropáskovým napájením pohybuje jen okolo až 3% a u antén se štěrbinovým ε r buzením okolo 4 až 6%. Důvodem malé šířky pásma je vysoký činitel jakosti běžně používaných zářičů. Ty se totiž chovají jako rezonátory s činitelem jakosti v řádu několika desítek. Dalším sledovaným parametrem je účinnost antény. Účinnost vyzařování (počítá se pro případ bezeztrátové antény) je dána poměrem výkonu vyzářeného anténou (získá se integrací Poyntingova vektoru ve vzdálené oblasti přes celý poloprostor) a činného výkonu na napájecí svorce zářiče (antény). Energie, která není anténou vyzářena, je odvedena formou povrchových vln po nekonečně rozlehlém dielektrickém substrátu (i když ve skutečnosti je substrát omezen). Prakticky je však zajímavá účinnost celková. Na ní se podílejí kromě ztrát v dielektriku také ztráty povrchovými vlnami. Ztráty povrchovými vlnami jsou zvláště nepříjemné. Ztrátové dielektrikum, které vede povrchové vlny si lze představit jako ztrátové vedení. Při použití substrátu s konečnými rozměry dojde ke vzniku stojatých povrchových vln v substrátu. Ztráty v dielektriku budou v takovém případě tím větší čím větší je poměr stojatých vln. Tento nárůst ztrát při nárůstu poměru stojatých vln se někdy označuje jako ztráty stojatými vlnami. Celková účinnost mikropáskových antén je asi o až decibely horší než účinnost antén reflektorových. Mikropáskové antény dále vynikají velmi dobrou úrovní křížové polarizace. U mikropáskových antén pracujících pouze s lineární polarizací není většinou tato vlastnost příliš zajímavá. Nabude však na důležitosti, pokud se snažíme navrhnout duální anténu s vysokou polarizační izolací. d ε r ε ra Obr. 3.3 Klasická mikropásková anténa (a). Štěrbinová mikropásková anténa (b); napájecí vedení na dolní straně spodního substrátu vyznačeno červeně, štěrbiny v zemní desce zeleně. d d a 3.4. Trychtýřové antény Na obr. 3.3 jsou nakresleny dva typy trychtýřových antén. Je to plochý trychtýř a kuželový trychtýř. Anténou je vlastně jen rozšířené ústí vlnovodu. Rozložení intenzity E (S) v ústí trychtýře se přibližně shoduje s rozložením ve vlnovodu a to není optimální z hlediska záření. Aby nedošlo k nežádoucí deformaci hlavního laloku směrové charakteristiky, nesmí se trychtýř rozšiřovat příliš "zprudka". To v praxi znamená, že Obr. 3.3 Plochý a kuželový trychtýř Vlnovodem rozumíme dutou kovovou trubici, jejíž příčné rozměry jsou srovnatelné s délkou vlny přenášeného signálu. Vlnění se vlnovodem šíří v podélném směru způsobem, který je možno interpretovat jako postupné odrazy od stěn. V příčném směru vzniká stojatá vlna (v různých bodech příčného průřezu je obecně různá amplituda intenzity pole).

67 Vysokofrekvenční technika a antény 65 trychtýř s přijatelnou délkou má poměrně malé ústí (několik vlnových délek). Z výše uvedených vzorců vyplývá, že bude mít malý zisk a jeho charakteristika široký hlavní lalok. Lepší parametry vyžadují větší ústí a úměrně tomu i délku trychtýře, která je většinou pro praxi neúnosná (až několik tisíc vlnových délek). Proto se trychtýřové antény používají hlavně tam, kde jejich malý zisk stačí a kde se uplatní jejich konstrukční jednoduchost a tedy i nízká cena. Často se s nimi setkáme jako s primárními zářiči v ohnisku reflektorových antén Reflektorové antény Snad nejrozšířenějšími reflektorovými anténami jsou různé druhy parabolických antén (obr. 3.33). Reflektor je opět jen sekundární zářič, který musí být ozařován z ohniska mírně směrovým zářičem primárním (bývá to trychtýř, dipólek, šroubovicová anténka ap.). O vlastnostech antény rozhodují hlavně velikost, tvar a přesnost provedení reflektoru. V menší míře je ovlivňuje i směrová charakteristika primárního zářiče. a) b) c) V "klasickém" provedení na obr. 3.33a má reflektor tvar vrchlíku rotačního paraboloidu. V jeho ústí je opět rovinná vlna (tedy všude stejná fáze anebo - z pohledu geometrické optiky - jsou tam všechny paprsky rovnoběžné). Apertura je kruhová, takže pro šířku hlavního laloku platí vztah θ = 59λ d [grad] (d>λ) (3.78) (d je průměr kruhového ústí parabolického reflektoru a λ značí vlnovou délku). Pro činitele směrovosti (resp. zisk) pak platí vztah D = ( 4π S λ )ν (3.79) max (S je plošný obsah ústí antény, λ značí vlnovou délku a ν je tzv. činitel využití ústí nebo také redukovaný zisk antény ). Při návrhu se obvykle vychází z požadovaného zisku a vypočítá se průměr reflektoru d.ohnisková vzdálenost f se stanoví tak, aby poměr f/d byl blízký hodnotě.4. Primární zářič totiž nesmí být ani příliš blízko ani příliš daleko od reflektoru. Kdyby byl příliš blízko, pak (vzhledem ke své vlastní směrové charakteristice) nestačí dostatečně ozářit okrajové části reflektoru. Příliš vzdálený primární zářič naopak ozařuje nejen reflektor, ale i jeho okolí a část energie tak přichází nazmar. Nesprávný poměr f/d zmenšuje hodnotu ν. V uspořádání podle obr. 3.33a je reflektor částečně zastíněn před ním upevněným primárním zářičem. Důsledkem je nižší hodnota činitele ν. Tuto nevýhodu lze odstranit provedením "ofset", která je nakreslena na obr. 3.33b. Reflektor je stále součástí parabolické plochy, ale ne právě jeho vrchlíkem. Fokusační vlastnosti zůstávají zachovány, ale ohnisko leží d f O Obr a) Rotační parabolický reflektor b) Provedení ofset c) Cassegrainova anténa O Geometrická optika je metoda pro řešení vlnových dějů ve složitějších prostředích, která od klasické geometrické optiky převzala představu o šíření vln podél paprsků. Na rozdíl od klasické geometrické optiky však můžeme navíc počítat i změny amplitudy a fáze intenzity pole a polarizaci vln při šíření prostředím se spojitou změnou parametrů. Je to číslo menší než a zahrnuje v sobě všechny vlivy, které více či méně anténu degradují: na příklad zastínění části apertury konstrukcí, konečnou vodivost materiálů, nepřesnosti tvarů aj. Do hodnoty ν se zahrnuje i případné nerovnoměrné rozložení budícího pole E (S). Praktická hodnota činitele využití ústí bývá asi.5 až.6.

68 66 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně mimo vyzařovaný svazek. Činitel ν se tak zvýší asi o jednu desetinu. Takto jsou řešeny mnohé antény pro příjem družicové televize. Na obr. 3.33c je nakresleno schématické uspořádání antény se dvěma zrcadly. Hlavní zrcadlo (větší) je parabolické, pomocné je hyperbolické. Předností tohoto uspořádání je možnost umístění primárního zářiče a všech ostatních přístrojů a zařízení dozadu za hlavní reflektor. Popsaná anténa se nazývá Cassegrainova anténa podle francouzského optika N. Cassegraina, který žil v 7. století. Běžné parabolické antény mají činitele směrovosti (D max ) několik tisíc (zisk 35 až 4 decibelů). U antén pro speciální účely lze dosáhnout zisku až kolem 6ti db. Omezujícím faktorem pro další zvyšování zisku je hlavně omezená přesnost, s jakou lze vyrobit a udržet správný tvar reflektoru při velikých průměrech. V běžné technické praxi se používají reflektory do průměru asi 4 metry. Pro kosmický výzkum a radioastronomii se staví parabolické antény s průměrem až 4 metrů. Stacionární reflektor v Arecibu má průměr 3 metrů. 4 Vedení V předchozí kapitole jsme se zabývali šířením elektromagnetických vln ve volném prostoru. Nyní budeme zkoumat, jak se změní situace, pokud máme k dispozici nějakou vlnovodnou strukturu, nějaké vedení. Vlnovodnou strukturou může být koaxiální kabel (4.a), kterým vedeme signál z přijímací antény ke svému televizoru, dvojlinka (4.b), jež napájí ze sítě náš radiopřijímač, či vlnovod (4.c), jehož úkolem je "dopravit" signál vysokofrekvenčního generátoru radaru k jednotlivým prvkům anténního systému. a) b) dielektrikum vnitřní vodič vnější vodič Obr. 4. a) Koaxiální kabel. b) Dvojlinka. c) Obdélníkový vlnovod Jak z uvedených příkladů tak ze samotného názvu vyplývá, že vlnovodné struktury slouží k přenosu elektromagnetické energie od antény k přijímači, od vysílače k anténě, zkrátka od zdroje k zátěži. Zatímco ve volném prostoru se vlna šířila všemi směry, u valné většiny vlnovodných struktur je přinucena šířit se směrem jediným. Např. u koaxiálního kabelu je elektromagnetické pole "uvězněno" v dielektriku mezi vnějším a vnitřním vodičem a vlně nezbývá nežli se šířit ve směru osy tohoto vedení. Kapitola o vedení je rozčleněna do dvou podkapitol. První podkapitola je spíše teoretičtějšího ražení. Popisuje šíření vln na vedení a zabývá se matematickým aparátem, který je možno k tomuto popisu využít. Podkapitola končí uvedením Smithova diagramu, který je v oblasti vysokých kmitočtů a mikrovln standardně používán k zobrazování kmitočtových závislostí parametrů zkoumaných systémů. Druhá podkapitola je orientována praktičtěji. Je věnována nejčastěji používaným typům vedení, zabývá se symetrizací a přizpůsobováním. Doplňující informace o mikrovlnných vedeních pak čtenář nalezne v poslední kapitole naší učebnice, která je věnována mikrovlnné technice. c)

69 Vysokofrekvenční technika a antény Základní poznatky z teorie vedení Mějme libovolnou vlnovodnou strukturu, která je přímá, leží ve směru osy z a je homogenní (podél vedení se její průřez nemění, je pořád stejný). Za předpokladu, že jsme daleko od zdrojů, bude pole vlnovodné struktury popsáno homogenními vlnovými rovnicemi. Jejich řešením dospějeme ke vztahu, který popisuje závislost velikosti složek pole na podélné souřadnici. Řešení můžeme vyjádřit prostřednictvím goniometrických nebo exponenciálních funkcí. Protože předpokládáme, že se bude podél vedení šířit vlna, volíme funkce exponenciální γ z T = C e + C e γ z (4.) Zde C a C značí integrační konstanty, konstanta γ se nazývá součinitel přenosu nebo konstanta šíření. Součinitel přenosu (můžeme ho považovat za obdobu vlnového čísla) je obecně komplexní číslo γ = α + jβ (4.) kde α je měrný útlum (obdoba k ) a β je měrná fáze (obdoba k ). Vlnovodné struktury můžeme rozdělit na ty, u nichž vlastnosti v příčných směrech mají vliv na šíření, a na ty, u nichž vlastnosti v příčných směrech vlnění neovlivňují. Lze ukázat, že v prvém případě se jedná o vedení, jejichž průřez je ohraničen uzavřenou obrysovou křivkou libovolného tvaru. V druhém případě jde o vedení, sestávající z dvou a více vodičů. Věnujme se vedení, které sestává z dvou a více vodičů. Podél takového vedení se šíří příčně elektromagnetická (TEM) vlna. Pro výpočet fázové rychlosti a vlnové délky na tomto typu vedení můžeme tedy použít vztahů, částečně odvozených v. kapitole: v = c µε = ξ c (4.3) f r r λ = vf f = ξ c f = ξ λ (4.4) Ve vztazích (4.3) a (4.4) značí c rychlost šíření vlny ve vakuu a λ délku vlny ve vakuu, µ r a ε r jsou parametry dielektrika vedení, f je kmitočet vlny a součinitel ξ = µ rεr (4.5) je činitel zkrácení. Délka vlny na vedení s TEM vlnou je totiž vždy kratší nežli ve vakuu. 4.. Elektromagnetické pole v koaxiálním vedení Mezi nejpopulárnější dvouvodičová vedení patří a b r τ ds vedení koaxiální (obr. 4.). Předpokládejme, že vedení, +τ které máme k dispozici, sestává z dokonalého vnitřního a vnějšího vodiče, mezi nimiž leží bezeztrátové homogenní dielektrikum s permitivitou ε a permeabilitou µ. z H τ Vedení je napájeno harmonickým proudem tak, že E z proud tekoucí vnitřním vodičem ve směru z je týž, jaký se vrací ve směru -z po vnitřní straně vodiče vnějšího. Obr. 4. Koaxiální vedení Vedení je konfigurováno takovým způsobem, aby se veškerá energie, dodávaná do vedení generátorem, spotřebovávala v zátěži a neodrážela se zpět. Při zkoumání elektrického pole koaxiálního vedení v určitém místě z=konst využijeme výše uvedeného konstatování, že povrchy jednotlivých vodičů musejí být ekvipotenciálami. Mezi vodiči tedy bude napětí U, které nám popisuje radiální elektrické pole (E leží v rovině

70 68 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně z=konst a je kolmé k vodivým povrchům 3 ). Napětí mezi vodiči U a intenzita elektrického pole E jsou svázány vztahem U b = E. d r (4.6) a Vztah (4.6) je integrálem v radiálním směru od vnitřního vodiče r=a po vodič vnější r=b. Velikost intenzity elektrického pole můžeme dále vyjádřit z Gaussovy věty D.dS = τ z (4.7) S Symbol D značí vektor elektrické indukce. Diferenciál ds je elementární plocha libovolného válce, ležícího mezi vnitřním a vnějším vodičem a majícího s mini společnou osu; válec začíná na naší souřadnici z=konst a dlouhý je z. Délka válce je tak malá, abychom na tomto úseku vedení mohli považovat všechny veličiny za konstantní. Symbol τ značí délkovou hustotu náboje na vnitřním vodiči v úseku válce. Vnější vodič má v úseku válce stejnou hustotu náboje, ovšem polarita je opačná. Na základě uvedených předpokladů můžeme (4.7) vzhledem k axiální souměrnosti přepsat do tvaru ε E π r z = τ z a odsud τ E = (4.8) πεr Po dosazení (4.8) do (4.6) a po integraci dostáváme vztah pro napětí mezi vodiči b U = τ ln (4.9) πε a Porovnáním vztahů (4.8) a (4.9) dospíváme k rovnici U E = r (4.) ln Při určování magnetické intenzity musíme představu statického pole opustit. Vyjdeme z Ampérova zákona celkového proudu, v němž položíme vnucené proudy rovny nule (jsme daleko od zdrojů) H.dl= I + dψ dt (4.) l Vektor intenzity magnetického pole H bude opět ležet v rovině z=konst a bude kolmý na vektor E (transversálně elektromagnetická vlna). Integrovat tedy budeme po libovolné kružnici l, ležící v rovině z=konst, která je soustředná s vodiči. Vzhledem ke kruhové symetrii vedení bude velikost magnetické intenzity na této kružnici konstantní H=konst. Dále si uvědomme, že elektrický indukční tok ψ plochou kružnice l je nulový, neboť vektor této plochy S (směřuje do z) a vektor elektrické indukce D (směřuje do r) jsou vzájemně kolmé. Vzhledem k výše uvedeným skutečnostem přejde vztah (4.) na tvar b a 3 Fakt, že vektor E leží v rovině z=konst, je ekvivalentem skutečnosti, že se podél vedení šíří příčně elektrická vlna. Kolmost vektoru E k dokonale vodivým povrchům odpovídá známé skutečnosti, že složka elektrické intenzity, tečná k dokonale vodivému povrchu, musí být nulová.

71 Vysokofrekvenční technika a antény 69 H = I ( π r) (4.) Nyní, když máme k dispozici vztahy mezi elektrickou intenzitou a napětím mezi vodiči a mezi magnetickou intenzitou a proudy ve vodičích, pokusme se vyjádřit kapacitu a indukčnost jednoho metru našeho vedení. Kapacita jednoho metru vedení je dána nábojem Q, který musíme tomuto úseku vedení dodat, aby bylo mezi jeho vodiči napětí jeden volt Q τ z C = = (4.3) U U Dosazením (4.9) do (4.3) dostáváme C z b a z = πε ln (4.4) Indukčnost jednoho metru vedení je dána magnetickým indukčním tokem Φ, který je vytvořen proudem ampér, procházejícím vodiči vedení L = Φ I. (4.5) Magnetický indukční tok počítáme pro plochu, kolmou na vektor magnetické intenzity. V radiálním směru tedy integrujeme od vnitřního po vnější vodič, ve směru axiálním (směr z) integrujeme po délce z ; jelikož předpokládáme, že v úseku z je vše konstantní, přechází tato druhá integrace na násobení integrandu číslem z Po dosazení integrovaného (4.6) do (4.5) dostáváme z b Φ= B.dS= µ H dr (4.6) S b L = µ ln (4.7) π a Zavedeme-li charakteristickou impedanci vedení Z V jako podíl napětí a proudu v určitém místě vedení z=konst, dojdeme na základě (4.) a (4.) ke vztahu U E b ZV = = ln (4.8) I π H a Dosadíme-li navíc místo podílu elektrické a magnetické intenzity vlnovou impedanci TEM vlny v bezeztrátovém dielektriku, dostáváme se ke vztahu µ b ZV = ln (4.9) π ε a Ten lze s využitím (4.4) a (4.7) přepsat na tvar Z a z = L C (4.) V Díky výše uvedeným krokům jsme při analýze koaxiálního vedení přešli od vektoru intenzity elektrického pole E ke skalárnímu napětí mezi vodiči vedení U a od vektoru intenzity magnetického pole H ke skalárnímu proudu vodiči I. Místo popisování vedení permitivitou a permeabilitou dielektrika mezi vodiči můžeme vyjádřit parametry vedení kapacitou a indukčností na metr délky. Na základě výše uvedených parametrů lze vytvořit náhradní obvod vedení, tvo-

72 7 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně řený obvodovými prvky se soustředěnými parametry, a vedení analyzovat pomocí postupů, známých z teorie obvodů. Na této myšlence je založena klasická teorie vedení. 4.. Klasická teorie vedení Mějme homogenní dvouvodičové vedení, např. kdysi tak populární televizní dvojlinku. Není pochyb o tom, že každý vodič dvojlinky bude mít svou indukčnost L a svůj odpor R. Dále je zřejmé, že mezi vodiči dvojlinky bude existovat vzájemná kapacita C. Navíc, pokud dielektrikum, obalující vodiče, nebude dokonalé, bude moci protékat příčně mezi vodiči vedení vodivý proud, což vyjádříme příčnou vodivostí G. Je jasné, že se s růstem délky vedení zvyšuje i jeho celkový odpor, indukčnost, kapacita, vodivost. Abychom se této délkové závislosti parametrů vedení zbavili, zavádíme indukčnost na metr délky L [H.m - ], odpor na metr délky R [Ω.m - ], kapacitu na metr délky C [F.m - ] a vodivost na metr délky G [S.m - ]. Úbytek napětí na úseku vedení dz je dán podélnou impedancí na m délky Z = R+ jω L (4.) tedy du = I Z dz (4.) Naproti tomu úbytek proudu na elementárním úseku vedení dz závisí na příčné admitanci na metr délky Y = G+ jω C (4.3) tedy di = U Y dz (4.4) Podělíme-li obě strany rovnic (4.) a (4.4) elementární délkou dz, dostaneme du dz = I Z, di dz = U Y (4.5a, b) Nyní obě strany vztahu (4.5a) derivujeme podle z a do pravé strany dosadíme za di/dz pravou stranu (4.5b) dudz = UZY (4.6a) Obdobně derivováním (4.5b) podle z a dosazením za du/dz z (4.5a) dostaneme d I dz Vztahům (4.6) se říká telegrafní rovnice. Obecným řešením diferenciální rovnice pro napětí (4.6a) je kde () = IZ Y (4.6b) γ U z = Ae z + Be je tzv. konstanta šíření nebo součinitel přenosu. + γ z L dz ( R j L )( G j C ) R dz I(z) du I(z)-dI U(z) Cdz Gdz Obr. 4.3 Náhradní schéma dvouvodičového vedení, (4.7a) γ = + ω + ω (4.8) di dz U(z)-dU

73 Vysokofrekvenční technika a antény 7 kde Dosazením (4.7a) do (4.5b) a následnou integrací dospějeme k výsledku γ z + γ z I( z) = ( Ae Be ), (4.7b) Z Z V V = R G + jωl + jωc (4.9) je tzv. charakteristická impedance vedení. Ze vztahů (4.7) vidíme, že rozložení napětí U(z) a proudu I(z) je vyjádřeno obdobnými vztahy, jakými jsme v. kapitole vyjádřili rozložení elektrické a magnetické intenzity rovinné vlny ve směru šíření. Na základě této analogie můžeme přímo bez dalšího odvozování objasnit fyzikální význam vztahů (4.7): Člen e -γz představuje napětí, resp. proud vlny, šířící se ve směru osy z, tedy od zdroje k zátěži. Tuto vlnu nazveme vlnou přímou a budeme ji značit horním indexem P: U P (z), I P (z). Integrační konstanta A, resp. A/Z V, udává napětí, resp. proud, přímé vlny na počátku vedení z =. Člen e +γz představuje napětí, resp. proud vlny, šířící se proti směru osy z, tedy od zátěže ke zdroji. Tuto vlnu nazveme vlnou zpětnou nebo odraženou a budeme ji horním indexem Z: U Z (z), I Z (z). Integrační konstanta B, resp. B/Z V, udává napětí, resp. proud, zpětné vlny na počátku l vedení z =. Z technického hlediska je vhodnější vyjadřovat napětí a proud na vedení v závislosti na vzdálenosti od konce vedení. Napěťové a proudové poměry na vedení jsou totiž, jak se za chvíli dozvíme, podstatně ovlivňovány zakončovací impedancí Z k. Proto si zaveďme substituci (viz obr. 4.4) a dosaďme ji do vztahů (4.7) z= l ζ (4.3) γ l + γ ζ + γ l γ ζ ( ζ ) = [ ] + [ ] l l [ V ] [ V ] U Ae e Be e (4.3a) γ + γ ζ + γ γζ I( ζ ) = Ae Z e Be Z e (4.3b) Obsahy hranatých závorek vyjadřují napětí nebo proud přímé nebo zpětné vlny, transformované z počátku na konec vedení. S využitím zavedené notace můžeme tedy (4.3) přepsat na ( ζ ) = P( ) γζ + Z( ) ( ζ ) = P( ) γζ Z( ) + γζ U U e U e (4.3a) + γζ I I e I e (4.3b) Na základě vztahů (4.3) a (4.3) můžeme udělat následující závěry: z= z ζ ζ= Celkové napětí ve vzdálenosti ζ od konce vedení U(ζ ) je dáno součtem napětí přímé vlny U P (ζ) a napětí vlny zpětné U Z (ζ) na dané souřadnici ζ. Celkový proud ve vzdálenosti ζ od konce vedení I(ζ ) je dán rozdílem proudu přímé vlny I P (ζ) a proudu vlny zpětné I Z (ζ) na dané souřadnici ζ. U g Z Obr. 4.4 Vedení, zakončené impedancí Z k Z k

74 7 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Napětí přímé vlny ve vzdálenosti ζ od konce vedení U P (ζ)je přímo úměrné proudu přímé vlny ve vzdálenosti ζ od konce vedení; konstantou úměrnosti je charakteristická impedance Z V (4.9). Totéž platí pro odraženou vlnu P ( ζ) = ( ζ), U Z Z ( ζ) Z I ( ζ) P U Z I V = (4.33a, b) Poměr celkového napětí a celkového proudu není roven charakteristické impedanci P Z U( ) U ( ) U ( ) ( ) ( ) Z I P I Z ζ ζ + ζ ζ + ζ = = P Z V, (4.34) P Z I ζ I ζ I ζ I ζ I ζ ( ) ( ) ( ) V ( ) ( ) nýbrž impedanci Z(ζ ), kterou bychom naměřili na vstupu našeho vedení, dlouhého ζ a na konci zatíženého stále stejnou impedancí Z k. Poměr napětí (záporně braného proudu 4 ) odražené vlny k napětí (proudu) vlny přímé je nazýván činitelem odrazu ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) Z Z U I ρζ ( ) = = (4.35) P P U I Vyjádříme-li ve (4.35) jednotlivá napětí (proudy) pomocí napětí (proudů) na konci vedení (viz vztahy 4.3), dojdeme k výrazu ( ) = ρ( ) ρζ γζ e (4.36) Činitele odrazu ve vzdálenosti ζ od konce vedení ρ(ζ) můžeme na základě (4.34) vyjádřit pomocí impedance v daném místě Z(ζ) - čitatele i jmenovatele dělíme proudem přímé vlny, čímž se dostáváme k činiteli odrazu, kterého můžeme osamostatnit na levé straně Z ρζ ( ) = Z Ze známého činitele odrazu v určitém místě vedení můžeme určit impedanci v tomto místě Z ( ζ ) = Z V ( ζ ) ( ζ ) Z + Z V V ( ) ( ) + ρζ ρζ (4.37) (4.38) Výsledky, jichž jsme dosáhli prostřednictvím klasické teorie vedení, budeme diskutovat v následujících odstavcích Stojatá vlna na vedení V předchozím článku jsme konstatovali, že se mohou podél vedení šířit dvě vlny, přímá a zpětná. Výsledná vlna na vedení je dána superpozicí těchto dvou vln. Napětí výsledné vlny v místě ζ je dáno součtem napětí přímé vlny v ζ a napětí odražené vlny v ζ P γζ Z ( ζ ) = ( ) + ( ) + γζ U U e U e (4.39a) Proud výsledné vlny je rozdílem proudů přímé a odražené vlny 4 U proudu odražené vlny respektujeme záporným znaménkem skutečnost, že se při odrazu od zátěže mění fáze proudu o 8 o ; proto je také celkový proud rozdílem přímé a zpětné vlny.

75 Vysokofrekvenční technika a antény 73 P + γζ Z γζ I( ζ ) = I ( ) e I ( ) e (4.39b) Pro tento okamžik položme v (4.39) ζ= (jsme na konci vedení) P Z U( ) U ( ) U ( ) P Z ( ) ( ) ( ) = + (4.4a) I = U Z U Z (4.4b) V V Známe-li celkové napětí a celkový proud na konci vedení U() a I() a charakteristickou impedanci Z V, můžeme z (4.4) vypočíst napětí přímé a odražené vlny na konci vedení Po dosazení (4.4) do (4.39a) dostáváme ( ) ( ) V ( ) ( ) ( ) ( ) P U = U + Z I (4.4a) Z U = U Z I (4.4b) V ( ζ) = ( ) ( γζ) + ( ) ( γζ) U U cosh Z I sinh (4.4a) Pokud bychom soustavu (4.4) modifikovali tak, abychom na pravé straně měli proudy přímé a odražené vlny, mohli bychom tyto proudy vyjádřit a dosadit do (4.39b). Dospěli bychom tak ke vztahu V ( ) = ( ) ( ) + ( ) Při odvozování vztahů (4.4) jsme uvážili, že [ ] ( ) I ζ I cosh γζ U Z V sinh γζ (4.4b) α α ( e e ), α α coshα = ( e + e ) sinhα = Krása soustavy (4.4) tkví v tom, že jejich prostřednictvím mohu vypočíst celkové napětí a celkový proud kdekoli na vedení na základě celkového napětí a celkového proudu na jeho konci. Celkové napětí a proud mohu totiž na zátěži přímo naměřit, kdežto napětí resp. proud přímé a odražené vlny přímo změřit nelze. Pro bezeztrátové vedení (α ) přejde soustava (4.4) na U ζ = U cos βζ + jz I sin βζ (4.43a) ( ) ( ) ( ) V ( ) ( ) ( ζ ) I( ) cos( βζ ) j[ U ( ) Z ] sin( βζ ) I = + (4.43b) V Vezměme si speciální případ, kdy je vedení zakončeno "téměř nekonečně" velkou impedancí (je na konci "naprázdno"). Tak velkou impedancí poteče zanedbatelný proud I(). Výkon spotřebovaný v zátěži P() = U() I * () bude tím pádem rovněž zanedbatelný. To znamená, že veškerá energie, nesená přímou vlnou, se vrací ve formě energie odražené vlny zpět ke generátoru. Amplituda napětí resp. proudu přímé a odražené vlny budou stejné. Výsledná vlna, která je superpozicí přímé a odražené vlny, tedy nepřenáší žádnou energii, tedy se nešíří. Říkáme, že na vedení vzniklo stojaté vlnění. Pokud dosadíme do vztahu (4.43) I(), zjistíme, že amplituda napětí výsledné vlny bude mít kosinový průběh. To znamená, že v určitých místech ζ bude neustále nulové napětí. Tato místa nazýváme uzly napětí. Vzniknou na těch souřadnicích, na nichž se potkávají přímá a odražená vlna v protifázi. Naopak v místech, v nichž se potkávají přímá a odražená vlna se stejnou fází, bude amplituda napětí výsledného vlnění maximální. Říkáme, že v těchto místech vzniká kmitna napětí. Právě vyřčené myšlenky ilustruje obr V prvním a třetím sloupci jsou prostorové průběhy napětí vlny přímé (tečkovaně) a odražené (plná čára). V čase t = jsou přímá a odra-

76 74 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně žená vlna v každém bodě vedení v protifázi, a tudíž bychom v tomto okamžiku naměřili v každém místě vedení nulové napětí. Se vzrůstajícím časem se vzájemná fáze přímé a odražené vlny mění, což má za důsledek růst okamžité hodnoty napětí výsledné vlny; největší je tento růst napětí v místech kmiten, v místech uzlů se zachovává napětí nulové. Za čtvrtinu periody nabude napětí maxima a poté klesá k nule. Kdybychom tedy v libovolném místě vedení (vyjma uzlů) měřili časový průběh napětí, získali bychom harmonický signál. u(z) polohy kmiten u(z) polohy kmiten t= t=3t/8 t=t/8 t=t/ t=t/4 t=5t/8 z Obr. 4.5 polohy uzlů z polohy uzlů Vznik stojatého vlnění na vedení na konci naprázdno Dosud jsme mluvili napětí, avšak vše platí i o proudu výsledné vlny. Jediná odlišnost je v tom, že v místech uzlů napětí se nacházejí kmitny proudu a naopak. Tento rozdíl vyplývá ze skutečnosti, že napětí výsledné vlny je dáno součtem napětí přímé a odražené vlny, ale proud výsledné vlny je dán rozdílem proudů přímé a odražené vlny. Stojaté vlnění je kvantifikováno poměrem stojatých vln (PSV). PSV je pro bezeztrátové vedení definován jako poměr amplitudy napětí (proudu) stojaté vlny v kmitně k amplitudě napětí (proudu) v uzlu PSV = U U = I I (4.44) max min max min V našem případě vedení naprázdno byly napětí a proud v uzlech nulové, a tudíž hodnota PSV konvergovala k nekonečnu. Za této situace hovoříme o ryzí stojaté vlně. Opakem ryzí stojaté vlny je vlna postupná. Ta na vedení vzniká tehdy, když je veškerá energie, nesená přímou vlnou, spotřebována v zátěži. Tím pádem má zpětná vlna nulovou amplitudu. Amplituda napětí a proudu výsledné vlny je za této situace totožná amplitudě napětí a proudu přímé vlny. Na bezeztrátovém vedení jsou zmíněné amplitudy konstantní U(ζ) = U min = U max = U P (totéž platí pro proud), a tudíž PSV =. Takovémuto vedení říkáme výkonově přizpůsobené. Jelikož v kmitně se potkávají přímá i zpětná vlna ve fázi, bude v tomto místě napětí stojaté vlny dáno součtem amplitud přímé a zpětné vlny P Z Umax = U + U (4.45a)

77 Vysokofrekvenční technika a antény 75 V uzlu mají přímá a odražená vlna fáze opačné, a tudíž napětí stojaté vlny bude v tomto místě dáno rozdílem amplitud přímé a odražené vlny P Z Umin = U U (4.45b) Dosazením (4.45) do (4.44) a úpravou s uvážením definice činitele odrazu (4.35) získáme ( ) PSV ζ = + ( ) ( ) ρζ ρζ (4.46) Vztah (4.46) již můžeme použít i pro ztrátová vedení. Jelikož se na nich PSV s podélnou souřadnicí ζ mění, musíme počítat jeho hodnotu v místě ζ z veličin v tomtéž místě. Nyní by tedy mělo být zřejmé, proč je pro ztrátová vedení (4.44) nepoužitelný Přenos energie po vedení Pokud čtenář úspěšně prošel základním kursem z teorie obvodů, jistě ho nepřekvapí, budeme-li výkon přímé vlny v místě ζ počítat jako součin fázoru napětí a komplexně sdruženého fázoru proudu přímé vlny v daném místě * P ( ζ) = ( ζ) ( ζ) = ( ζ) V = V ( ζ) P P αζ P αζ P αζ P ( ζ ) U ( ) e I ( ) e = P ( ) e P P P P P U I U Z Z I Analogicky můžeme psát vztah pro výkon vlny odražené (4.47a) = (4.48a) * Z ( ζ) = ( ζ) ( ζ) = ( ζ) V = V ( ζ) Z Z αζ Z αζ Z αζ P ( ζ ) = U ( ) e I ( ) e = P ( ) e Z Z Z Z P U I U Z Z I (4.47b) (4.48b) Výkon vstupující do vedení vyjádříme jako rozdíl výkonu přímé a odražené vlny na počátku vedení (ζ=l) Z ( ) ( ) P P = P l P l (4.49) Výkon spotřebovaný v zátěži je rozdílem výkonu přímé a odražené vlny na konci vedení P Z P P ( ) P ( ) = (4.5) Účinnost vedení potom definujeme jako poměr výkonu, spotřebovaného v zátěži, k výkonu, vstupujícímu do vedení P Z P ( ) ( ) P P η = = P βl Z βl (4.5) P P ( ) e P ( ) e Uvážíme-li můžeme (4.5) přepsat do tvaru P P Z P ( ζ ) ( ζ ) η = e ( ζ ) ( ζ ) Z Z V U = = ρζ ( ) P Z U V β l ρ ρ( ) ( ) e 4β l (4.5)

78 76 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Přenosové ztráty jsou definovány jako poměr výkonu spotřebovaného v zátěži k výkonu na zátěž dopadajícímu P Z P ( ) ( ) P P 4PSV ( ) P = P = ρ = (4.53) P ( ) P ( ) ( PSV + ) Napěťovým (proudovým) namáháním vedení rozumíme velikost napětí (proudu) v kmitně stojaté vlny 4..5 Smithův diagram U = max PZ V PSV (4.54a) I = max P Z V PSV (4.54b) V předchozích článcích této kapitoly jsme se seznámili s rozložením napětí a proudu podél vedení. Poměr napětí a proudu přímé vlny (zpětné vlny) v libovolném místě homogenního vedení, zakončeného libovolnou impedancí, je roven vlnové impedanci daného vedení. Poměr napětí a proudu výsledné vlny v určitém místě ζ vedení, zakončeného impedancí Z(), je roven impedanci, kterou bychom naměřili měřičem impedance na vstupu vedení, dlouhého ζ, zatíženého Z(). Na základě vztahů (4.4) můžeme pro impedanci výsledné vlny psát U( ζ ) U( ) coshγζ + [ Z V I( ) ] sinhγζ Z( ζ ) = = (4.55) I ζ I coshγζ + U Z sinhγζ ( ) [ V ] ( ) ( ) Jelikož poměr celkového napětí U() a celkového proudu I() na konci vedení je roven zatěžovací impedanci Z(), můžeme vztah (4.55) přepsat do tvaru U( ζ ) Z( ) coshγζ + Z V sinhγζ Z( ζ ) = = Z V (4.56) I ζ Z coshγζ + Z sinhγζ ( ) V Používat vztah (4.56) pro praktické výpočty by bylo jistě dosti nepříjemné. Přímo z něj tedy budeme vycházet pouze ve speciálních případech, jakými jsou čtvrtvlnné a půlvlnné vedení, přizpůsobené vedení, vedení nakrátko a naprázdno. a) Čtvrtvlnné vedení je vedení, jehož délka je rovna čtvrtině délky vlny na vedení l = λ/4. Pro bezeztrátové vedení bude argument hyperbolických funkcí v (4.56) π λ π γ l = jβl = j = j λ 4 a (4.56) přejde na Zl ( ) Z Z( ) (4.57) = V Je-li zatěžovací impedance ryze reálná, naměříme i na vstupu čtvrtvlnného vedení ryze reálnou impedanci. b) Půlvlnné vedení je dlouhé polovinu vlnové délky na vedení. Dosazením do (4.56) bychom za předpokladu bezeztrátovosti vedení dospěli k výsledku ( )

79 Vysokofrekvenční technika a antény 77 ( ) Z( ) Zl = (4.58) Na vstupu půlvlnného vedení tedy naměříme zatěžovací impedanci. c) Přizpůsobené vedení je zakončeno impedancí Z() = Z V. Dosazením do (4.56) dojdeme ke vztahu Z(ζ) = Z V Na počátku libovolně dlouhého úseku přizpůsobeného vedení tedy naměříme vždy charakteristickou impedanci tohoto vedení. d) Vedení nakrátko je zakončeno impedancí Z() = Ω. Dosazením do (4.56) získáme vztah Z(ζ) = Z V tgh(γζ) a pro bezeztrátové vedení Z(ζ) = j Z V tg(βζ) Na vstupu libovolně dlouhého bezeztrátového vedení, zakončeného zkratem, tedy vždy naměříme čistou reaktanci. Bude-li délka vedení kratší, nežli čtvrtina vlnové délky, bude mít vstupní reaktance indukční povahu. Bude-li vedení dlouhé okolo λ/4, budou se vstupní svorky vedení chovat jako svorky ideálního paralelního rezonančního obvodu. Při délce vedení mezi λ/4 a λ/ bude vstupní reaktance kapacitního charakteru. Vstupní svorky vedení, dlouhého okolo λ/, se budou chovat stejně jako vstupní svorky sériového rezonančního obvodu. Pro délky vedení nad λ/ se situace opakuje (viz obr. 4.6). X(l) R(l) X(l) λ/4 λ/ 3λ/4 l λ/4 l Obr. 4.6 Závislost vstupní imedance úseku vedení zakončeného zkratem na délce úseku Obr. 4.7 Detail obr. 4.6 pro ztrátové vedení Má-li vedení nenulový útlum, bude mít vstupní impedance úseku vedení i resistenční složku. Ta bude dosahovat maximální hodnoty pro délku vedení, odpovídající stavu paralelní

80 78 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně rezonance a hodnoty minimální pro stav rezonance sériové. Co se týká reaktanční složky vstupní impedance, ta bude jak v paralelní tak v sériové rezonanci nulová (viz obr. 4.7). Na obrázku 4.7 je reálná část impedance nakreslena plnou čarou, imaginární část přerušovaně. e) Vedení naprázdno je zakončeno impedancí Z(). Dosazením do (4.56) Z coshγζ + Z ( ) ( ζ ) = Z V sinhγζ + Z lim lim ( ) [ Z V Z( ) ] sinhγζ [ Z Z( ) ] coshγζ získáme vztah Z(ζ) = Z V cotgh(γζ) a pro bezeztrátové vedení Z(ζ) = -j Z V cotg(βζ) Z obr. 4.7, který znázorňuje závislost vstupní impedance vedení na konci naprázdno na jeho délce, vyplývá, že vstupní impedance je opět čistě reaktanční. Co se týká samotného průběhu reaktance, platí o ní totéž, co bylo řečeno u vedení nakrátko, ovšem s tím rozdílem, že nyní je celý průběh "posunut o λ/4". To znamená, že vedení kratší než λ/4 má na vstupních svorkách reaktanci kapacitního charakteru, následuje sériová rezonance, atd. Nenulový útlum vedení má stejné důsledky jako u vedení zakončeného zkratem. V X(l) j Im( ρ ) - ρ( l ) ρ () -4 π l λ Re( ρ ) λ/4 λ/ 3λ/4 l Obr j Transformace činitele odrazu ke zdroji Im( ρ ) k zátěži.5.5 Re( ρ ) Obr. 4.8 Závislost vstupní imedance úseku vedení na konci naprázdno délce úseku.375 Obr. 4. Cejchování kružnice ρ = Nyní se vraťme zpět k vedení, zakončenému obecnou impedancí Z(). Abychom se vyhnuli nepříjemnému vztahu (4.56), půjdeme na výpočet vstupní impedance vedení oklikou. Podle modifikovaného (4.37) spočítáme činitele odrazu na konci vedení ( ) ρ ( ) ( ) z = z + (4.59)

81 Vysokofrekvenční technika a antény 79 kde z() = Z()/Z V je normovaná zatěžovací impedance, poté činitele odrazu transformujeme na počátek vedení ρ α j l ( l) ( ) e l β ρ e = (4.6) a z činitele odrazu na vstupu vypočteme podle (4.38) normovanou vstupní impedanci ( l) zl () = + ρ (4.6) ρ() l Naznačený postup si graficky znázorněme ve fázorové rovině činitele odrazu (obr. 4.9). Jelikož modul činitele odrazu nemůže být nikdy větší než jedna (amplituda odražené vlny nemůže být větší nežli amplituda vlny dopadající), bude se všechen děj odehrávat v uvnitř jednotkové kružnice. V prvním kroku tedy do fázorové roviny zakreslíme fázor činitele odrazu na konci vedení ρ(). Nyní tento fázor otočíme o úhel βl ve směru hodinových ručiček (ve vztahu 4.6 má fázový člen záporné znaménko, a tudíž musíme fázorem otáčet v záporném směru), čímž dostáváme fázi fázoru na vstupu vedení. Následuje výpočet modulu na vstupu vedení ρ(l) = ρ().e -α l a výpočet odpovídající impedance. Postup, kterým jsme se vyhnuli vztahu (4.56), se může zdát v tuto chvíli pracnější, než přímý výpočet impedance dle (4.56). Pokusme se ho tedy zefektivnit. Prvním, nepříliš náročným krokem, může být ocejchování jednotkové kružnice (obr. 4.). Cejchování provedeme tak, abychom nemuseli počítat fázi činitele odrazu βl = 4πl/λ a poté ji pomocí úhloměru vynášet do grafu, ale aby nám stačilo určit poměr délky vedení k délce vlny l/λ a pak abychom mohli pomocí kóty vynést fázor činitele odrazu do fázorové roviny. Navíc jsme do obrázku přidali kladný směr (šipka k zátěži), kterým se budeme pohybovat při výpočtu zatěžovací impedance ze známé impedance vstupní. Dále si všimněme vztahů (4.59) a (4.6). Ty nám říkají, že ke každému fázoru činitele odrazu existuje právě jedna impedance a naopak. Díky této skutečnosti můžeme celou komplexní rovinu zatěžovacích impedancí zobrazit dovnitř naší jednotkové kružnice. Nejdříve rozepišme pravou stranu vztahu (4.6) tak, abychom měli zvlášť reálnou a zvlášť imaginární část z = r + jx = ( ρ jρ ) ρ ρ = + j ( ρ jρ ) ( ρ ) + ρ ( ρ ) Nyní můžeme psát rovnici zvlášť pro normovaný odpor ρ + ρ r = a zvlášť pro normovanou reaktanci x = Vztah (4.6a) můžeme přepsat do tvaru ρ ρ ( ρ ) + ρ ρ ( ρ ) + ρ [ ρ r ( r+ ) ] + ρ = ( r+ ) (4.6a) (4.6b) (4.63a)

82 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně což není nic jiného nežli rovnice kružnice se středem (ρ'=r/(r+); ρ''=) a s poloměrem /(r+). Kružnice pro r=.5, r= a r= jsou nakresleny v obr. 4.a. Obdobně dostaneme vztah pro reaktanci ( ρ ) ( ρ ) + x = x (4.63b) Opět se jedná o rovnici kružnice. Tentokrát má střed souřadnice (ρ'=; ρ''=/x) a poloměr je /x. Kružnice pro x=±.5, x=± a x=± jsou nakresleny na obr. 4.b. Im( ρ ) x=/ Im( ρ ) r = / Re( ρ) Re( ρ ) Obr. 4.a Kružnice konstantního odporu -/ - - Obr. 4.b Kružnice konstantní reaktance Překrytím obrázků 4. a 4. vznikne tzv. Smithův diagram. Jeho kouzlo spočívá v tom, že umožňuje transformovat impedanci z konce vedení na jeho vstup, aniž bychom museli cokoli počítat. Stačí nám:. normovat zatěžovací (vstupní) impedanci;. vynést normovanou impedanci do diagramu, zakreslit odpovídající fázor činitele odrazu; 3. s využitím cejchování na obvodu diagramu pootočit fázor činitele odrazu o l/λ jednotek směrem ke zdroji (k zátěži); 4. je-li vedení ztrátové, vynásobit modul činitele odrazu činitelem e -α l (e +α l ); 5. odečíst odpovídající normovanou vstupní (zatěžovací) impedanci; 6. normovanou impedanci odnormovat. Uvedený postup ilustrujme na následujícím příkladu: Na vstupních svorkách vedení s charakteristickou impedancí Z V = 8Ω, činitelem zkrácení ξ =,7, měrným útlumem α =,5m - a délkou l = m byla naměřena na pracovní frekvenci f = 5MHz na vstupních svorkách impedance Z(l) = ( - j6)ω. Jakou impedancí je vedení zatíženo? ad ) Normujeme vstupní impedanci z(l) = Z(l)/Z V = ( - j6) / 8 =.5 - j.75. ad ) Vynesení normované impedance do diagramu je naznačeno na obr. 4.. Z diagramu můžeme rovnou odečíst hodnotu činitele odrazu na vstupu vedení; v našem případě to je ρ(l) =.33e -j53. ad 3) Délka vlny na našem vedení je λ = ξ c/f =, / 5. 8 =,4m. Poměr vlnové délky k délce vedení nám vychází l/λ = 4,76. Jelikož poměr l/λ =.5 znamená otočení fázoru o 36, a tedy jeho návrat do výchozí pozice, má pro nás význam pouze zbytek dělení našeho poměru l/λ hodnotou,5. Fázor tedy budeme otáčet o (l/λ) mod,5 =,6. Protože chceme na základě znalosti vstupní impedance vypočíst impedanci zatěžovací, budeme fázorem otáčet o hodnotu,6 směrem k zátěži. Na obvodovém cejchování

83 Vysokofrekvenční technika a antény 8 Smithova diagramu nalezneme na stupnici "směrem k zátěži" u ρ(l) kótu,77. Konci vedení bude odpovídat kóta,77 +,6 =,437. ad 4) Modul činitele odrazu se směrem k zátěži zvětšuje, a tudíž ρ() = ρ(l).e +α l. V našem případě ρ() =,33.e +.,5. =,4. Fázor činitele odrazu na konci vedení je opět nakreslen v obr. 4.. ad 5) Fázoru ρ() odpovídá normovaná impedance z() =,48 + j,33. ad 6) Hodnota absolutní zatěžovací impedance je Z() = z(). Z V = (38,4 + j6,4) Ω. Mimo transformace impedance na vedení a přepočtu impedance na odpovídajícího činitele odrazu a naopak, můžeme Smithova diagramu využít i k výpočtu dalších veličin: Poměr stojatých vln je svázán s modulem činitele odrazu vztahem (4.46). Jeho úpravou dostaneme ( ) ρζ = PSV PSV Srovnáme-li tento vztah se vztahem mezi činitelem odrazu a normovanou impedancí (4.59) narazíme na jejich formální shodu. Jediný rozdíl spočívá v absolutní hodnotě na levé straně (4.64). To znamená, že se ve Smithově diagramu omezujeme pouze na kladnou část reálné osy. Chceme-li tedy určit pomocí Smithova diagramu poměr stojatých vln, odpovídající danému činiteli odrazu či dané impedanci, vezmeme velikost korespondujícího fázoru, sklopíme ho do kladné reálné osy a ze stupnice pro normované odpory přímo čteme PSV. Levá strana (4.64) bude totiž kladná reálná, právě z ρζ ( ) = z z() ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) + + (4.64) když z(ζ) = r(ζ). Určení PSV na konci vedení z našeho ilustračního příkladu je naznačeno na obr 4.3. Číselně by měly vyjít hodnoty PSV() =,4 a PSV(l) =,. Poloha kmiten a uzlů. Jak jsme se již zmínili, kmitna napětí (uzel proudu) vzniká na vedení v místech, v nichž je fáze činitele odrazu. V naší fázorové má činitel odrazu žádanou fázi tehdy, když leží v kladné reálné ose. Naopak, uzel napětí (kmitna proudu) je podmíněn fází činitele odrazu 8, čemuž odpovídá záporná reálná osa fázorové roviny. Na obr. 4.4 je nakresleno určení vzdálenosti první kmitny a prvního uzlu napětí od počátku vedení. Číselně vychází vzdálenost první kmitny napětí (uzlu proudu) od počátku vedení x kmit =,73 λ = =,3 m a vzdálenost prvního uzlu napětí (kmitny proudu) od počátku vedení x uz =,33 λ =,36 metru. Výpočet admitance. Normovaná admitance je převrácenou hodnotou normované impedance z(l) Obr. 4. Určení normované impedance na konci vedení z() Obr. 4.3 Určení poměru stojatých vln na konci vedení

84 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně y ( ζ ) ( ζ) Z( ζ) ( ζ ) Z Y V = = = = Y z Y V ( ζ ) Z (4.65) Nyní si vyjádřeme činitele odrazu pomocí normovaných admitancí tak, že čitatele i jmenovatele (4.59) vydělíme členem z(ζ) ρζ ( ) = z + z Vztah (4.66) se liší od (4.59) pouze ve znaménku. Záporné znaménko činitele odrazu neznamená nic jiného než změnu fáze o 8. Změna fáze činitele odrazu o 8 se projeví překlopením fázoru podle počátku fázorové roviny. Na obr. 4.5 je výpočet admitance ilustrován určením Y() z našeho příkladu. Normovaná zatěžovací admitance vyjde y() =,4-j, a po odnormování Y() = y().y V = y()/z V = (,4-j,)/ 8 = (8 - j3) ms. ( ζ ) ( ζ ) y = y ( ζ ) ( ζ ) + V (4.66) Na závěr se vraťme k důvodu, jenž nás motivoval k práci se Smithovým diagramem. Tím důvodem byla snaha vyhnout se výpočetně náročným vztahům pro transformaci impedance na vedení (4.56), pro vzájemný přepočet impedance a činitele odrazu (4.37), (4.38) a tak dále. Majitelé kalkulátorů, vybavených komplexní aritmetikou a hyperbolickými funkcemi, budou jistě tvrdit, že výpočet impedance prostřednictvím (4.37), (4.38), (4.56) a dalších je mnohem snadnější a mnohem přesnější než výpočet prostřednictvím Smithova diagramu, a proto Smithův diagram odmítnou jako přežitek. Smithův diagram však přežitkem není. Jeho popularita přetrvává i v současném počítačovém věku, a to proto, že inženýrům, pracujícím s vedeními, velmi názorně pomáhá vybudovat si představu, co se na vedení děje a jakým způsobem k daným jevům dochází Výpočty na vedení v MATLABu Při řešení příkladů s homogenním vedením je pravděpodobně výpočetně nejnáročnějším úkonem přepočet celkového napětí a celkového proudu z místa ζ (U, I) do místa ζ (U, I). Proto opět s výhodou využijeme MATLABu a jednoduše do něj přepíšeme vztahy kde γ = α + jβ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ( )] [ ] [ ( ) ] [ ( )] U ζ = U ζ cosh γζ ζ + Z I ζ sinh γζ ζ I ζ = I ζ cosh γ ζ ζ + U ζ Z sinh γ ζ ζ function [U, I] = transline( U, I, Z, alpha, beta, l) gama = alpha + j*beta; % komplexní konstanta šíření U = U*cosh( gama*l) + (I*Z)*sinh( gama*l); I = I*cosh( gama*l) + (U/Z)*sinh( gama*l); xuz λ Obr. 4.4 z(l) Určení vzdálenosti první kmitny a uzlu od počátku xkmit λ z() y() Obr. 4.5 Určení normované admitance na konci vedení

85 Vysokofrekvenční technika a antény 83 Kromě napětí a proudu ve výchozím místě patří mezi vstupní parametry charakteristická impedance vedení Z, měrný útlum alpha, měrná fáze beta a vzdálenost l výchozího místa od pozice, na níž celkové napětí a celkový proud počítáme. Pokud bychom si chtěli svou práci se Smithovým diagramem kontrolovat na počítači, opět k tomu můžeme s výhodou využít MATLABu. V souboru smith.m je implementován program, který na základě zadané hodnoty impedance Z v místě dzt a charakteristické impedance vedení Z spočítá modul rhm a fázi rhp odpovídajícího činitele odrazu. Poté je na základě činitele zkrácení ksi, kmitočtu f a místa dzt spočítána impedance Z v místě dzt a modul rhm a fáze rhp činitele odrazu v tomtéž místě: function [rhm,rhp,rhm,rhp,z]= smith( Z, Z, dzt, dzt, ksi, f, beta) % frequency is inserted in MHz lam = ksi*3/f; % wavelength on the transmission line alp = *pi/lam; % phase constant gam = beta + j*alp; % complex propagation constant ar = gam * (dzt-dzt); % transforming impedance num = Z*cosh( ar) + Z*sinh( ar); % from dzeta to dzeta den = Z*cosh( ar) + Z*sinh( ar); Z = Z * num / den; z = Z / Z; % normalized impedance in dzeta rho = (z-)/(z+); % reflection coefficient in dzeta rhm = abs( rho); % module of reflection coefficient rhp = angle( rho)*8/pi; % phase of reflection coefficient z = Z / Z; % normalized impedance in dzeta rho = (z-)/(z+); % reflection coefficient in dzeta rhm = abs( rho); % module of reflection coefficient rhp = angle( rho)*8/pi; % phase of reflection coefficient Vidíme, že díky MATLABu můžeme všechny výpočty na vedení realizovat velmi snadno Kontrolní příklady. Homogenní vedení s charakteristickou impedancí Z = 75 Ω, s činitelem zkrácení ξ =/3 a se zanedbatelným měrným útlumem α je napájeno napětím o kmitočtu f = 5 MHz. Na konci je vedení zatíženo odporem R k = 5 Ω. Na zatěžovacím odporu bylo naměřeno napětí U k = voltů. Vypočtěte: a) fázovou konstantu β; b) napětí přímé a odražené vlny na konci vedení; c) proud přímé a odražené vlny a výsledný proud na konci vedení; d) polohu kmiten a uzlů napětí a proudu; e) výsledné napětí a proud v kmitně a uzlu; f) poměr stojatých vln na vedení; g) výkon přímé a odražené vlny na konci vedení, přenosové ztráty a účinnost vedení; h) jak se změní vypočtené výsledky, bude-li vedení vykazovat měrný útlum α =.5 m -. [a) α = π/ rad.m - ; b) U f () = V, U b () = - V; c) I f () =.67 A, I b () = -.33 A; I() =.4 A; d) ζ U max = ζ I min = m, ζ I max = ζ U min = m; e) U max = 3 V, U min = V, I max =.4 A, I min =.33 A; f) PSV= 3; g) P f () = 5.33 W, P b () =.33 W, P() = 4 W, P ztr =.75, η = ]

86 84 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně [a) až d) řešení beze změny; e) U max = 39 V, U min = V, I max =.4 A, I min =.36 A; f) PSV()= 3, PSV()=.45; g) výkony beze změny, η=.9 pro vedení dlouhé l= m]. Dvě různá homogenní vedení jsou zapojena v kaskádě. Formulujte rovnice pro rozložení napětí a proudu na popsaném systému. Řešení: Při odvozování začneme s vedením s indexem. Ze známých poměrů na zakončovací impedanci Z k (např. změříme napětí na Z k a z Ohmova zákona určíme I k ) můžeme určit rozložení celkového napětí a celkového proudu na prvním úseku vedení U( ζ) = U( ) cosh[ γ ζ] + Z I( ) sinh [ γ ζ] ( ζ) = ( ) cosh[ γ ζ] + [ ( ) ] sinh [ γ ζ] I I U Z Na jeho výstupních svorkách druhého vedení je vstupní napětí a vstupní proud vedení prvého U(l ) a I(l ). Pro rozložení napětí a proudu na druhém vedení tedy můžeme psát vztahy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ( )] [ ] [ ( ) ] [ ( )] U ζ = U l cosh γ ζ l + Z I l sinh γ ζ l I ζ = I l cosh γ ζ l + U l Z sinh γ ζ l Z Z l Z k ζ 3. Homogenní bezeztrátové vedení s charakteristickou impedancí Z = 3 Ω a s činitelem zkrácení ξ = /3 je napájeno napětím o kmitočtu f = MHz a zakončeno je ) odporem R k = 6 Ω; ) odporem R k = 5 Ω; 3) impedancí Z k = (3+j3) Ω; 4) impedancí Z k = (3-j3) Ω. Vypočtěte: a) činitele odrazu na konci vedení; b) poměr stojatých vln na vedení; c) polohu první kmitny a prvního uzlu napětí stojaté vlny od konce vedení; d) velikost napětí v kmitně a v uzlu, protéká-li zátěží proud I k = ma. ρ k PSV ζ km [m] ζ uz [m] U km [V] U uz [V] / / e +j e -j Homogenní vedení má vlnovou impedanci Z, zanedbatelné ztráty a délku l = λ v /4. Zatíženo je impedancí Z k a napájeno napětím U p. Vypočtěte:

87 Vysokofrekvenční technika a antény 85 a) proud tekoucí zátěží; b) impedanci na počátku vedení; c) impedanci na počátku vedení, zvýšíme-li dvojnásobně kmitočet signálu. [ a) I k = -j U p /Z ; b) Z p = Z /Z k ; c) Z p = Z k ] 5. Na zátěži homogenního bezeztrátového vedení s charakteristickou impedancí Z = 75 Ω a s délkou l = m byl naměřen proud I k =.5 A a napětí U k = 5 V. Délka vlny na veení je λ v = m. Určete: a) napětí a proud přímé a odražené vlny na konci vedení; b) polohu uzlů a kmiten napětí a proudu; c) napětí a proud v uzlech a kmitnách; d) výkon, nesený přímou vlnou a odraženou vlnou; e) přenosové ztráty; f) účinnost vedení, pokud uvážíme nenulový měrný útlum α =.5 db/m. [ a) U f () = 3.5 V; U b () = -6.5 V; I f () = 47 ma; I b () = -83 ma; b, c) ζ =. m - uzel napětí U min = 5 V a kmitna proudu I max = 5 ma; ζ =.5 m - uzel proudu I min = 334 ma a kmitna napětí U max = 37.5 V ; d) P f = 3. W; P b = 5 mw; e) P zt =.96; f) η =.69 ] 6. Vedení s charakteristickou impedancí Z = 3 Ω, činitelem zkrácení ξ =.8, měrným útlumem α =.868 db/m a délkou l = 4.6 m je zatíženo impedancí Z k = ( + j75) Ω. Pro kmitočet f = 6 megaherzů pomocí Smithova diagramu vypočtěte: a) impedanci a admitanci na počátku vedení; b) činitele odrazu na počátku a na konci vedení; c) polohu první kmitny a prvního uzlu napětí od konce vedení; d) poměr stojatých vln na počátku a na konci vedení. [ a) Z P = ( 46 + j 66) Ω, Y P = (.33 - j.4) ms; b) ρ P =. exp( j4 ), ρ K =.3 exp( j3 ); c) ζ km =.73 m, ζ uz =.73 m; d) PSV P =.5, PSV K =.6 ] 7. TV anténa má svod s parametry Z = 7 Ω, α =. m -, ξ = /3, který je dlouhý l = = 3.5 metrů. Na kmitočtu f = 6 MHz byla na konci svodu naměřena impedance Z Pt = (9 - j 3) Ω. Vypočtěte pomocí Smithova diagramu vstupní impedanci antény. [ Z vst = Z K = (.6 + j 9.4) Ω ] 8. Vedení s charakteristickou impedancí Z = 3 Ω, činitelem zkrácení ξ =.8, zanedbatelným měrným útlumem α a délkou l = 4 mm je zakončeno kapacitorem s kapacitou C k = 4 pf. Pro kmitočet f = MHz určete pomocí Smithova diagramu impedanci na vstupu vedení a zdánlivé prodloužení vedení (vzhledem ke zkratu). [ Z P Ω (vedení je v rezonanci), l =.49 m ]

88 86 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 9. Nalezněte pomocí Smithova diagramu hodnotu Y = /Z pro Z = (5 + j) Ω. [ Y = (3. - j.7) ms ]. Vedení s charakteristickou impedancí Z = Ω a zanedbatelným měrným útlumem α je zatíženo odporem R k = Ω. V jaké vzdálenosti od konce vedení je reálná část impedance Ω? [ l =.83 m ]. Kaskáda dvou ztrátových vedení je zákončena impedancí Z k = (4 + j) Ω. Vedení, připojené k této impedanci má činitele zkrácení Z β ξ Z β ξ Z k ξ =.8, délku l =.4 m, měrný útlum α =.5 m - a charakteristickou impedanci l l Z = 8 Ω. Impedance na vstupních svorkách právě popsaného vedení tvoří zakončovací impedanci druhého vedení, které má parametry ξ =.7, l =.5 m, α =. m - a Z = 7 Ω. Pomocí Smithova diagramu určete pro kmitočet f = 3 MHz impedance, činitele odrazu a poměr stojatých vln na vstupních svorkách obou vedení. [ Z = (3. - j46.4) Ω, PSV = 4.7, ρ =.65 exp(-j7 ), Z = (9.6 - j.3) Ω, PSV = 3.7, ρ =.57 exp(-6 ) ] 4..8 Kontrolní otázky. Jaký je rozdíl mezi šířením vlny ve volném prostoru a šířením podél vedení?. U jakých vedení závisejí přenosové vlastnosti na příčných rozměrech vedení a u jakých nikoli? 3. Co vyjadřuje součinitel přenosu (konstanta šíření)? Jak lze součinitele matematicky popsat? 4. Co nám vyjadřuje charakteristická impedance vedení? Na jakých parametrech závisí charakteristická impedance koaxiálního vedení? 5. Co jsou to telegrafní rovnice? 6. Co popisuje činitel odrazu? Uveďte všechny možné veličiny, z nich lze činitele odrazu vypočíst. 7. Jaká je největší a jaká nejmenší velikost činitele odrazu? 8. Jak závisí velikost činitele odrazu na podélné souřadnici vedení? 9. Co je to poměr stojatých vln? Jak můžeme vypočíst činitele pro ztrátové a jak pro bezeztrátové vedení?. Jaká je největší a jaká nejmenší velikost poměru stojatých vln?. Kdy vznikne na vedení stojatá vlna a kdy nikoli?. Co je to uzel a co kmitna? 3. Jaký průběh má impedance na bezeztrátovém vedení, které je zakončeno nakrátko? V čem se průběh impedance liší u vedení, které je na konci naprázdno? 4. Charakterizujte Smithův diagram.

89 Vysokofrekvenční technika a antény Popište kroky, které je třeba vykonat při výpočtu transformace impedance na vedení pomocí Smithova diagramu. 6. Lze Smithův diagram využít k určení polohy kmiten a uzlů na vedení? 4. Praktické poznatky o vedeních Nyní, když jsme vyzbrojeni dostatečnými teoretickými znalostmi týkajícími se vedení, zaměříme se na praktickou stránku věci. Seznámíme se se základními typy vedení, popíšeme si možnosti využití úseku vedení jako obvodového prvku, naučíme se navrhovat přizpůsobovací a symetrizační obvody, sestávající z úseků vedení. 4.. Hlavní druhy vedení s TEM vlnou Jedním z nejvíce používaných druhů vedení je koaxiální (souosé) vedení. Podélný řez je nakreslen na obr. 4.6a. Vnější vodič může být zvenčí pokryt ochrannou izolační vrstvou, zabraňující vnikání vlhkosti. Je to vedení nesymetrické: při správném provozu má být vnější vodič na nulovém napětí a střední vodič je "živý". Charakteristickou impedanci koaxiálního vedení můžeme vypočítat podle vzorce 6 a Z V = ln (4.67) ε a Vztah platí jen když dielektrikum vyplňuje celý prostor mezi oběma vodiči. Pro různá použití v průmyslu i v domácnostech se vyrábějí koaxiální vedení (koaxiální kabely) různých typů. Středním vodičem je buď plný drát nebo lanko, podle požadavků na ohebnost. Vnějším vodičem je měděné opletení nebo vlnitá fólie. Dielektrikum bývá plné, méně často jsou to navlečené dielektrické korálky (vedení s korálky má menší ztráty). Na trhu jsou běžně dostupné koaxiální kabely s charakteristickou impedancí 5 Ω, 75 Ω, ale i 6 Ω, 5 Ω a u výrobců je možné objednat i vedení s jinou hodnotou Z V. Kabely se vyrábějí v různých tloušťkách (podle požadavků na přenášený výkon), s různě důkladnou vnější izolací. Jako dielektrikum se používá hlavně polyetylén (zkratka PE, ξ =.67) nebo pěnový polyetylén (PL, ξ =.8). Méně často se setkáme s vedením, v němž je použit polytetrafluoretylen (PTFE, teflon, ξ =.69). Měrný útlum většiny vyráběných koaxiálních vedení bývá.3 až.3 db/m na frekvenci MHz. Mění se přibližně přímo úměrně s druhou odmocninou z frekvence (např. na kmitočtu 9 MHz je asi třikrát větší). U kvalitních kabelů je útlum závislý hlavně na průměru a na provedení středního vodiče; kabely s tlustějším a plným vodičem mají útlum menší. Pro přístrojové aplikace se koaxiální vedení vyrábí z trubek potřebných rozměrů, které mohou být na aktivních površích postříbřené (obr. 4.6b). Dielektrikem bývá vzduch. Při větších délkách je střední vodič držen ve správné poloze distančními kroužky. Relativní permitivita kroužků je větší než. Aby se v místě kroužku nezměnila charakteristická impedance, musí se upravit průměr vodičů (např. dle obr. 4.6b). Při zalomení vedení v pravém úhlu se doporučuje zkosit hrany vnitřního vodiče dle obr.4.6c. a) b) c) ε r a a Obr. 4.6 a) Řez koaxiálním vedením. b) Uložení distančních kroužků c) Zkosení středního vodiče při ohybu v pravém úhlu r

90 88 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Dalším důležitým druhem je dvouvodičové symetrické vedení. Dva rovnoběžné vodiče jsou držené ve správné poloze buď kompaktním proužkem dielektrika nebo dielektrickými rozpěrkami (obr. 4.7a). Je to vedení symetrické. Ve správném režimu má být buzené tak, aby napětí vodičů proti zemi měla stejnou velikost, ale opačnou fázi. Pro charakteristickou impedanci platí vztah d Z V = ln (4.68) ε a Lze jej dobře použít pro vzduchové vedení s nepříliš hustými rozpěrkami, když dosadíme za ε r =. U konstrukcí s větším objemem dielektrika vzorec použít nelze. Dielektrikum totiž téměř nikdy nepokrývá vodiče tak daleko, abychom mohli počítat s plnou hodnotou jeho permitivity. Změnou průměru vodičů a jejich vzdálenosti lze v praxi dobře realizovat vzduchová vedení s charakteristickou impedancí asi od 3 Ω do 7 Ω. ε Pro některá použití se r b symetrické vedení vyrábí také komerčně ("dvojlinka") s a) a d h c) charakteristickou impedancí Ω až 3 Ω. Činitel zkrácení je asi.8. b) Obr. 4.7 a) Dvouvodičové symetrické vedení s rozpěrkami b) Složitější vícedrátové typy vedení c) Mikropáskové vedení; příčný řez a pohled shora na zkosení středního vodiče při ohybu r Dlouhá napájecí vedení krátkovlnných antén se montují na izolátory upevněné na dřevěných sloupech podobně jako u telefonních vedení. Mají charakteristickou impedanci asi 6 Ω. Pro dosažení jiných (menších) hodnot Z V se používají složitější struktury, složené z většího počtu paralelních vodičů. Dva příklady jsou nakresleny (v řezu) na obr. 4.7b. V mikrovlnných přístrojích a zařízeních se používají mikropásková vedení. Požadovaná struktura vedení je nanesena na tenké dielektrické podložce (podobně jako u plošných spojů). Používá se několik různých struktur. Na obr. 4.7c nahoře je příčný řez nesymetrickým mikropáskovým vedením. Na jedné straně podložky je je souvislá vodivá plocha ("země") a na druhé straně je úzký pásek. Tloušťka podložky bývá několik desetin milimetru, šířka pásku je asi téhož řádu. Přibližnou hodnotu charakteristické impedance můžeme vypočítat podle 3 Z (4.69) V ( + b h) ε r Význam veličin je zřejmý z obr. 4.7c. Materiál podložky musí mít dostatečně malé ztráty na vysokých frekvencích. Pro mikrovlnnou oblast (frekvence řádu GHz) se používá korundová keramika (ε r 4.5) nebo beryliová keramika ( ε ). Ve spodní části obrázku 4.7c je nakresleno (v pohledu shora) useknutí růžku pásku při prudkém ohybu vedení. Používá se proto, aby se zachovala hodnota Z V v místě ohybu. 4.. Parametry vedení V kapitole 4.. jsme zavedli primární parametry vedení: indukčnost (L ), kapacitu (C ), odpor (R ) a vodivost (G ) na jednotku délky. Pomocí nich jsme pak definovali běžně používané parametry sekundární: charakteristickou impedanci Z V, měrný útlum (konstantu útlumu)

91 Vysokofrekvenční technika a antény 89 α, měrnou fázi (fázovou konstantu) β a činitele zkrácení ξ. Protože ztráty běžně používaných vedení jsou většinou malé, lze vztahy mezi parametry zjednodušit. Uvedeme si zde přehled důležitých vzorců ve tvarech, v jakých se používají v praxi. Zjednodušené vzorce získáme z obecných vztahů v čl. 4.., v nichž položíme buď R =G = nebo R <<ωl, G <<ωc. Při úpravě se používá pravidel počítání s malými čísly. Pro charakteristickou impedanci se užívají alternativně dva vztahy: Z V = L C (4.7a) ~ Z V = L C ( jβα) = Z V( jβα ) (4.7b) První z nich (4.7a) předpokládá nulové ztráty, druhý ztráty nenulové, ale malé. Běžně vystačíme s (4.7a), výjimečně je třeba vzít v úvahu komplexní charakteristickou impedanci podle (4.7b). Pro měrný útlum α platí R G α + Z V Z V (4.7) U vzduchových vedení a často i u vedení s jiným dielektrikem lze druhý člen zanedbat. Pro fázovou konstantu β je β = ω L C (4.7) resp. β = π λ v, λ v = ξ λ, ξ = ε r (4.73a,b,c) Fázová rychlost vlny na vedení je v = LC = ξ c= c ε (4.74) f Když mezi sebou násobíme nebo dělíme rovnice (4.7a) a (4.74), získáme užitečné vzorce: Z V =, Z V = v f L. (4.75a,b) v f C V technických úlohách bývá někdy nutné parametry vedení vypočítat. Je-li tvar vedení geometricky jednoduchý (koaxiální vedení, dvojdrát), bývá schůdná následující cesta. Ze známého elektrického a magnetického pole v okolí vodičů vypočítáme jednotkovou kapacitu C a jednotkovou indukčnost L. Charakteristickou impedanci pak vypočteme ze vztahu (4.7a). Protože obvykle známe permitivitu dielektrika, můžeme si předem vypočítat fázovou rychlost podle (4.74), a pak (podle 4.75) už stačí znát jen jednu z veličin L nebo C. Pro výpočet měrného útlumu použijeme (4.7), ve kterém má obvykle rozhodující vliv první člen. Protože ztrátový odpor R je podstatně ovlivněn povrchovým jevem, nejprve vypočítáme efektivní hloubku vniku, která závisí na měrné vodivosti materiálu γ a frekvenci: δ = πµ γ f (4.76) a pak teprve odpor R. Pro válcový vodič s poloměrem a je R r = (4.77) γ π a δ

92 9 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně (Průřez, kterým teče proud je πaδ; je tedy úměrný obvodu vodiče.) Konstanta útlumu α vypočítaná podle (4.7) je úměrná f /. Naznačený výpočet ovšem nezahrnuje takové faktory jako je např. vyzařování nebo koroze povrchu vodičů, a proto je vedení podle výpočtu vždy "lepší", než je ve skutečnosti Vedení jako obvodový prvek Úseky vedení naprázdno a nakrátko mají na vstupních svorkách dobře definovanou reaktanci a v technice vysokých a velmi vysokých kmitočtů se používají místo klasických cívek, kondenzátorů a jejich kombinací. Konstrukce s nimi jsou robustnější a jejich elektrické hodnoty jsou lépe definované. Úseky vedení kratší než čtvrtina délky vlny mohou nahradit cívku (s indukčností L) nebo kondenzátor (s kapacitou C) podle vztahů známých z čl. 4..5: X L ( βl) = ωl = Z tg (nakrátko) (4.78) X C = = Z V cotg( βl) (naprázdno) ωc Indukčnost L a kapacita C nejsou obecně konstanty, ale závisí na kmitočtu. Frekvenční závislost se stane zanedbatelnou, když vedení jsou velmi krátká proti délce vlny; tak krátká, že tg(β l) β l. Např. pro vedení nakrátko je Z V Z V Z V L L = ( l) l = LC l= LC l= Ll ω tg α ω α ω ω C Vedení s délkou nλ/4 jsou v rezonanci a v okolí těchto délek se chovají podobně jako rezonanční obvody LC. Mohou je tedy úspěšně nahradit. Prakticky největší význam má využití vedení nakrátko jako paralelního rezonančního obvodu. Takové vedení se nazývá rezonátor. Častěji se používá koaxiální vedení (koaxiální rezonátor) a konkrétní provedení závisí na účelu, k němuž má být využito. Přesně čtvrtvlnný úsek vedení se používá tam, kde je potřeba připojit paralelní rezonanční obvod jako jednobran (filtry, kompenzační obvody). Lze dokázat, že v okolí rezonance je čtvrtvlnný úsek ekvivalentní klasickému rezonančnímu obvodu s parametry L, C, činitelem jakosti Q a rezonančním odporem R r, jsou-li splněny následující vztahy: LC V = ( 4 π ), Q = ( π 4)( αl) Z V R r = Z αl (4.79) db df = π Z V f db/df je strmost průběhu susceptance obvodu B v okolí rezonančního kmitočtu. V jiných aplikacích (rezonanční zesilovače, oscilátory) se používá rezonanční obvod jako dvojbran. V mnoha případech má být navíc laditelný nebo alespoň doladitelný. V takových případech se používá rezonátor zkrácený (obr. 4.8a). Délka vedení nakrátko je menší než λ/4, takže reaktance "na vstupu" A-A je induktivní. Aby byl systém v rezonanci, musí být doladěn V AA l< λ/4 G C L Obr. 4.8 a) Koaxiální rezonátor laděný kapacitou b) Způsoby vazby: G - galvanická, C - kapacitní, L - induktivní

93 Vysokofrekvenční technika a antény 9 kapacitou. Ta bývá konstrukčně zasazena do mezery A-A. Podmínka rezonance obvodu je X C = -X L, tedy ( α ) ω V C = Z tg l ; α = π λv = πf ξ c (4.8) Pro danou rezonanční frekvenci lze dvě z veličin C, Z V, l zvolit, třetí se vypočítá. Má-li být rezonátor laditelný, je kapacita C proměnná a je ovládána zvenčí. Jindy je kapacita pevná a rezonátor se ladí změnou délky (posuvným zkratovacím pístem). Rezonátor je uzavřený. Připojení k vnějším obvodům zabezpečuje vazba. Tři hlavní možnosti vazby jsou nakresleny na obr. 4.8b. Je to vazba galvanická (G), kapacitní (C) a induktivní (L). U galvanické vazby lze měnit její stupeň polohou odbočky, Vazba je nejtěsnější tam, kde je největší napětí, tj. v blízkosti místa A; vpravo u zkratu by byla nulová. Stupeň kapacitní vazby lze měnit podobně, ale navíc ještě hloubkou zasunutí "anténky". Induktivní vazba je vazba magnetickým polem a je nejtěsnější tam, kde je intenzita magnetického pole největší. To je v místě kmitny proudu, tedy v blízkosti zkratu (vpravo). Induktivní vazbu lze měnit také velikostí smyčky. (Obrázek 4.8b slouží jen pro výklad; se třemi různými druhy vazby v jediném rezonátoru se běžně nesetkáme.) 4..4 Přizpůsobování a přizpůsobovací obvody Vedení, zabezpečující přenos vysokofrekvenční energie, pracují optimálně tehdy, když zatěžovací impedance Z k je rovna charakteristické impedanci Z V. Říkáme, že zátěž je přizpůsobená. Stav přizpůsobení je optimální z mnoha hledisek: na vedení je jen přímá postupná vlna a účinnost přenosu je největší, vstupní impedance vedení je reálná a stálá, napětí a proudy na vedení jsou při daném přenášeném výkonu nejmenší. Nulová odražená vlna je také podmínkou bezchybné funkce některých systémů a zařízení. Je proto samozřejmé, že se snažíme stavu přizpůsobení dosáhnout. Když prvek (zařízení) na konci vedení podmínku přizpůsobení nesplňuje (Z k Z V ), a to bývá často, je nutné zapojit mezi vedení a zátěž přizpůsobovací obvod. Ten transformuje impedanci zátěže Z k na hodnotu Z V. Podmínku Z k = Z V není vždy možné splnit úplně přesně. Pak se snažíme stavu přizpůsobení alespoň přiblížit. V takových případech má smysl zavést nějaké kritérium kvality přizpůsobení. Kvalita přizpůsobení se většinou hodnotí podle velikosti poměru stojatých vln na vedení anebo podle absolutní hodnoty činitele odrazu. Obě tyto veličiny by měly být co nejmenší (ideálně PSV =, ρ = ). Co je "dobré" a co "špatné" přizpůsobení, to je pochopitelně relativní a závisí na náročnosti systému, ve kterém je vedení použito. Pro základní orientaci lze uvést následující hodnoty: velmi dobré přizpůsobení: PSV <. (např. televizní vysílače) dobré přizpůsobení: PSV <.5 až (běžná zařízení) vyhovující přizpůsobení: PSV < 3 až 5 (nenáročná zařízení) Přizpůsobovací obvody je možné třídit podle různých hledisek. Podle šířky frekvenčního pásma se rozlišují obvody "laděné" (úzkopásmové) a širokopásmové. Od širokopásmových obvodů přizpůsobovacích musíme odlišovat obvody kompenzační, které plní poněkud jinou funkci. Zatím co přizpůsobovací obvody transformují (v jistém kmitočtovém pásmu) konstantní impedanci Z k na Z V, kompenzační obvody mají za úkol převádět kmitočtově závislou impedanci Z k na konstantní Z V. Musí být tedy "šité na míru" konkrétní zátěži a jejich návrh je náročnější. Přizpůsobovací obvody je možné třídit též dle provedení. Jsou obvody složené se soustředěných prvků L, C (rezistory se nepoužívají kvůli ztrátám) a obvody složené z úseků ve-

94 9 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně dení. První jsou běžné na nižších kmitočtech a druhé na vyšších. Hranice je neostrá (desítky, stovky MHz). V následující části si vysvětlíme činnost několika důležitých obvodů složených z úseků vedení. Impedanci zátěže, která se má přizpůsobit, budeme označovat Z k (Z k = R k + jx k ) a charakteristickou impedanci vedení, ke které se má Z k přizpůsobit, označíme Z V (ta je reálná). Při studiu i při vlastní práci mějme vždy na paměti, že přizpůsobovací obvod musí mít nejméně dva stupně volnosti. Musí být schopen nezávisle na sobě eliminovat imaginární část Z k a transformovat reálnou část Z k.. Přizpůsobení vloženým vedením využívá transformace impedance na úseku vedení, které je vloženo mezi zátěž a napájecí vedení (Z V ). Vložené vedení musí mít charakteristickou impedanci Z T a délku l T, vyhovující rovnicím tg ( β l ) T Z = T = Z V Z V Z R R X Z R V k k k V ( Z R )( Z R R X ) Abychom dostali reálné hodnoty veličin Z T a l T, musí být V k Z ( ) V V Z R + X R, Z R V k k k X k k k k V k k (4.8) (4.8) Tzn. že vloženým vedením nelze přizpůsobit jakoukoli impedanci k jakékoli hodnotě Z V. Přes toto omezení má vložené vedení svůj význam pro konstrukční jednoduchost.. Přizpůsobení čtvrtvlnným transformátorem využívá transformačních vlastností úseku vedení s délkou λ/4, který je vložen mezi zátěž a napájecí vedení. Čtvrtvlnné vedení s charakteristickou impedancí Z T transformuje zákončovací impedanci Z k na hodnotu Z T /Z k. Má-li být rovna Z V, musí ZT = Z VZk (4.83) Protože charakteristické impedance Z V i Z T jsou reálné, lze rovnici (4.83) splnit jen pro reálné Z k. Přizpůsobení čtvrtvlnným transformátorem je proto použitelné jen pro přizpůsobení reálných zátěží. p 3 R =Z p k V Rk prk R k ZV ZT3 ZT ZT λ /4 λ /4 λ /4 ZV a) b) Obr. 4.9 a) Třístupňový kaskádní transformátor b) Přizpůsobení vloženým vedením a čtvrtvlnným transformátorem Přizpůsobení čtvrtvlnným vedením je z kmitočtového hlediska úzkopásmové. Čím větší je poměr Z k /Z V =R k /Z V (pro R k >Z V ) anebo čím větší je poměr Z V /R k (pro R k <Z V ), tím užší je kmitočtové pásmo, ve kterém transformátor splní stanovené požadavky na PSV. Situace se zlepší (pásmo se rozšíří), když transformaci Z k na Z V neprovedeme najednou (jediným vedením), nýbrž postupně v několika krocích, tedy několika čtvrtvlnnými transformátory za sebou v kaskádě (obr. 4.9a). Optimální je, když každý ze čtvrtvlnných úseků transfor- Z T λ /4 A Z vl l Z k

95 Vysokofrekvenční technika a antény 93 muje impedanci "stejněkrát", např. p-krát. Má-li kaskádní transformátor n stupňů, je zřejmě p = (Z V / R k ) /n. Impedance v místech styku dvou sousedních úseků snadno vypočteme postupným násobením poměrem p (viz obr. 4.9a). Charakteristické impedance jednotlivých úseků pak vypočítáme podle vz. (4.83). Např. charakteristická impedance Z T prostředního úseku na obr. 4.9a je Z T = (pr k p R k ) / = R k p 3/. 3. Přizpůsobení vloženým vedením a čtvrtvlnným transformátorem Spojíme-li čtvrtvlnný transformátor s nějakým prvkem, který nás zbaví imaginární složky impedance zátěže, můžeme přizpůsobovat zátěže s komplexním charakterem. Např. do série se zátěží Z k = R k + jx k zapojíme cívku (kondenzátor) s reaktancí X p = - X k. Imaginární složky se zruší a reálnou hodnotu R k přizpůsobíme čtvrtvlnným vedením. Úlohu kompenzační cívky nebo kondenzátoru zastane úsek vedení nakrátko nebo naprázdno. Můžeme také impedanci zátěže nejprve transformovat úsekem pomocného (vloženého) vedení s takovou délkou, aby na počátku tohoto vedení (řez A v obr. 4.9b) byla transformovaná hodnota ryze reálná. Tu přizpůsobíme čtvrtvlnným transformátorem. Délku vloženého vedení určíme na Smithově diagramu. Oblouk, znázorňující transformaci na vloženém vedení, začíná v bodě z k, točí se směrem ke zdroji a končí na svislé ose diagramu (ryze reálné impedance leží na svislé ose). Na této ose čteme také odpor, který jsme po transformaci získali. Řešení je dvojznačné (průsečík oblouku kružnice s dolní a s horní poloosou). Diagram je normován k charakteristické impedanci vloženého vedení, která nemusí být rovna Z V. 4. Přizpůsobení sériovým pahýlem Poněkud zvláštní název je vžitý pro přizpůsobení vloženým vedením s následnou kompenzací imaginární složky sériovou reaktancí podle schématu na obr. 4.a. Označením "pahýl" je míněn úsek vedení (nakrátko nebo naprázdno), který kompenzační reaktanci realizuje. Funkce obvodu je následující. Úsekem vloženého vedení (l ) se transformuje Z k na takovou hodnotu Z = R + jx v místě A, aby její reálná část byla rovna Z V (tj. R = Z V ). Zbývající imaginární část Z se kompenzuje sériovou reaktancí X p = - X. Tím je v místě A dosaženo přizpůsobení (na úseku l zůstává stojatá vlna). K návrhu obvodu použijeme Smithův diagram, na kterém budeme sledovat transformaci Z k do místa A. Diagram musí být normován k charakteristické impedanci vloženého vedení Z vl. Předpokládejme nejprve, že impedance vloženého vedení Z vl je rovna impedanci napájecího vedení Z V. Pak je diagram současně normován i k Z V. Požadavek, aby v místě A byla R = Z V znamená, že stav v místě A je v diagramu zobrazen bodem, ležícím na kružnici R /Z V = (na jednotkové kružnici odporu). Oblouk znázorňující transformaci po vloženém vedení začíná v bodě z k, točí se ke zdroji a končí na některém ze dvou průsečíků s jednotkovou kružnicí R/Z =. Délka oblouku od z k do z (nebo do z, řešení je dvojznačné) udává délku vloženého vedení l /λ. Na "reaktanční" kružnici procházející bodem z pak čteme reaktanci x = X /Z V (viz skica diagramu vpravo). Řešení se dokončí výpočtem "pahýlu" - úseku vedení na konci nakrátko (či naprázdno), jehož vstupní reaktance je X p = - X. Délku pahýlu lze nalézt početně nebo pomocí Smithova diagramu. Jestliže charakteristická impedance vloženého vedení se nerovná Z V, je postup návrhu obdobný. Změna je v tom, že oblouk transformace končí na "odporové" kružnici s hodnotou Z V /Z vl. Připomeňme ještě, že na symetrických vedeních se musí reaktance X p zařadit do obou vodičů vedení, do každého polovina (X p /). 5. Přizpůsobení paralelním pahýlem Zapojení sériového pahýlu vyžaduje přerušení napájecího vedení a to není výhodné. Proto se častěji používá přizpůsobení paralelním pahýlem (obr. 4.b). Základní myšlenka je

96 94 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně stejná, jen kompenzační reaktance (susceptance) se připojuje paralelně k vedení. Je účelné řešit obvod v admitančním Smithově diagramu (obr. 4.b vpravo). Admitance zátěže Y k se transformuje úsekem l na takovou hodnotu Y = G + B, aby její reálná část byla rovna charakteristické admitanci hlavního vedení: G = Y V = /Z V. To znamená, že v admitančním diagramu musí normovaná admitance y = Y /Y V ležet na jednotkové kružnici vodivosti (pokud Y V = Y vl ). Zbývající susceptance B se kompenzuje pahýlem, jehož susceptance musí být B p = - B. Při návrhu vyjdeme z normované hodnoty y k a zjistíme délku oblouku l /λ k hodnotě y (nebo y, řešení je dvojznačné). Susceptanční kružnice procházející bodem y určí B /Y V. Vypočteme B, pak B p = - B a případně ještě X p = -/ B p. Zvolíme pahýl nakrátko nebo naprázdno a z hodnoty B p nebo X p vypočteme jeho délku l p. K tomu můžeme použít Smithův diagram nebo vzorec pro vstupní reaktanci vedení nakrátko (naprázdno). a) X p A Z Z Z V vl k l Z Z Z V vl k l z Z zk z l / λ l / λ x z b) YV A B p Yk Y yk b YV l Yk y y l / λ l / λ y c) YV YV B B λ /4 lp λ /4 Yk l p Yk yk yk y bk yk bk yk Obr. 4. Přizpůsobení a) sériovým pahýlem, b) paralelním pahýlem, c) dvěma pahýly. Postup řešení nabízí několik variant: dvě různé délky l pahýl nakrátko nebo naprázdno. Zpravidla se dává přednost pahýlu nakrátko a pak je lepší, když X p je induktivní, protože pahýl je kratší. Je samozřejmé, že susceptance B p může být realizována také kondenzátorem nebo cívkou. 6. Přizpůsobení dvěma pahýly Někdy musíme počítat s tím, že hotový přizpůsobovací obvod se bude experimentálně nastavovat. Výše popsaná řešení nejsou z tohoto hlediska příliš vhodná, protože změna délky l se realizuje obtížně. Dobře lze měnit délku pahýlu nakrátko posouváním koncového zkratu. Toho využívá přizpůsobovací obvod se dvěma pahýly (obr. 4.c). Jeden paralelní pahýl bývá paralelně k zátěži (ale může být kdekoli před ní) a druhý pahýl je v pevné vzdálenosti λ/4 před prvním. Přizpůsobení se dosáhne pouze změnou délek pahýlů. Připojení prvního pahýlu (u zátěže) změní pouze zakončovací admitanci Y k na Y k = Y k + jb p (B p je sousceptance prvního pahýlu). Tato změna se projeví v admitančním diagramu posunem b y

97 Vysokofrekvenční technika a antény 95 bodu y k po kružnici konstantní vodivosti do bodu y k. Tento bod musí mít takovou polohu v diagramu, aby po následující transformaci po dráze λ/4, tedy po otočení o 8 stupňů (v diagramu), padl právě na jednotkovou kružnici vodivosti (y ). Je tedy zřejmé, že bod y k musí ležet na pomocné kružnici, která je středově souměrná k jednotkové kružnici vodivosti (viz obrázek). Při návrhu obvodu tedy vycházíme z normované admitance zátěže y k, tento bod posuneme po kružnici konstantní vodivosti na pomocnou kružnici (středově souměrnou k jednotkové kružnici, v obrázku je nakreslena čerchovaně) a získáme bod y k. Následující transformace znamená přechod do středově souměrného bodu y, který již leží na jednotkové kružnici vodivosti a zabezpečuje shodu reálné části admitance s hodnotou Y V. Normovaná susceptance prvního pahýlu je rovna rozdílu b k - b k, normovaná susceptance druhého pahýlu je rovna záporně vzaté hodnotě b (viz náčrt Smithova diagramu na obr. 4.c vpravo) Symetrické a asymetrické proudy na vedení V praxi se používají vedení symetrická a vedení nesymetrická. Aby pro ně platila teorie, kterou jsme poznali v kapitole 4., musí způsob napájení a charakter zátěže odpovídat charakteru vedení. Symetrické vedení musí být buzené symetricky a zatížené také symetricky. Analogická podmínka musí být splněna i u nesymetrického vedení. Tento požadavek však nemusí být vždy dodržen. S důsledky se seznámíme v tomto článku. Na obr. 4.a je nakresleno symetrické vedení, které je buzené (napájené) nesymetricky: jeden vodič a také jeden pól zdroje jsou uzemněné. Tím vznikla složitá soustava, která má tři vodiče. Vodič, (na obrázku horní a na první pohled "živý"), vodič a vodič 3 - "zemi", např. kostru přístroje. Protože vodiče a 3 jsou spolu u zdroje spojeny, bude se elektrické pole uzavírat z vodiče zčásti na vodič, ale zčásti i na vodič 3, k zemi. Také "zpětný" proud se bude ke zdroji vracet vodičem jen zčásti; zbývající část poteče zemí. Ukážeme, že tuto složitější situaci můžeme složit ze dvou základních: symetricky buzeného symetrického vedení a nesymetricky buzeného nesymetrického vedení. Využijeme principu superpozice a zdroj, který vedení napájí, složíme ze dvou zdrojů tak aby a) napětí na svorkách vedení se nezměnila, b) jeden zdroj byl symetrický a druhý nesymetrický. Náhradní zapojení, vyhovující těmto požadavkům, je nakresleno na obr. 4.b. Zdroje a a b mají vyvedený střed a skládají dohromady symetrický zdroj. Podle principu superpozice můžeme vypočítat proudy v soustavě tak, že nejprve necháme působit jen jeden zdroj (a druhý nahradíme jeho vnitřní impedancí, u ideálního zdroje zkratem). Pak necháme působit jen druhý zdroj a dílčí výsledky sečteme. Obě dílčí situace jsou nakreslené na obr. 4.c. Symetrický náhradní zdroj budí tzv. symetrický proud I s, který protéká vedením tak, jak u symetrického vedení očekáváme: v každém místě má v jednom vodiči opačnou fázi (směr) než ve vodiči druhém. proto se také nazývá protifázový. Země se na jeho toku nepodílí. Asymetrický náhradní zdroj budí proud, který protéká oběma vodiči stejným směrem a vrací se zpět zemí. Nazývá se asymetrický nebo také soufázový proud (I as ). Tento proud neprotéká zátěží vedení, pokud není spojena se zemí. Výsledný proud v každém místě vedení je roven součtu I s + I as s respektováním fází obou proudů. Používáme-li vedení jako přenosový prvek, je asymetrický proud zpravidla nežádoucí. Asymetrický proud má svou obdobu i na nesymetrickém vedení. To je již samo třívodičovou soustavou. Vzhledem k vyhraněnému povrchovému jevu jsou totiž vnitřní povrch pláště a vnější povrch pláště samostatnými vodiči, které jsou spolu spojeny jen na začátku a na konci vedení. Správná funkce souosého vedení je nakreslena na obr. 4.d. Proud teče po povrchu vnitřního vodiče, protéká zátěží a vrací se po vnitřním povrchu pláště zpět. Proudy tam a zpět

98 96 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně "uvnitř" vedení jsou vždy co do velikosti stejné, protože oba jsou produktem téhož magnetického pole. Plášť má nulový potenciál. Příklady "nesprávného" zapojení koaxiálního vedení vidíme na obr. 4.e a 4.f. Na obr.4.e je připojena symetrická zátěž. V důsledku toho má bod A nenulové napětí a to je příčinou proudu, který teče po vnějším povrchu pláště a uzavírá se zemí. Na obr. 4.f není plášť nikam připojen. Protože uvnitř vedení musí být vždy zachována rovnost proudů tam a zpět a protože v bodě B nemůže "zpětný" proud vznikat, musí po vnějším povrchu pláště přitékat do bodu B proud I p = I s. Na přenosovém vedení je proud po vnějším povrchu pláště pochopitelně nežádoucí. a) U Z d) ~ 3 b) U a Z e) U b U c) a b I s I as / Is I as / I as f) I s Is Is Is Is Is I p Obr. 4. a-c) Při nesymetrickém buzení symetrického vedení vzniká asymetrický proud, který teče oběma vodiči stejným směrem d-f) Při nesprávném připojení zátěže ke koaxiálnímu vedení teče proud po vnějším povrchu pláště a stínící účinek mizí 4..6 Přizpůsobování v MATLABu Vraťme se nyní k dříve popsané problematice přizpůsobování. Všechny probrané postupy přizpůsobování lze totiž relativně jednoduše naprogramovat na počítači. Jako příklad si uveďme program, který navrhuje přizpůsobení sériovým pahýlem. Pro jednoduchost program hledá pouze nejmenší délku vloženého vedení, předpokládá zkrat na konci pahýlu a zanedbává ztráty na všech vedeních. Takže, nejdříve vytvoříme pomocnou funkci trans, která na základě charakteristické impedance vedení Z, impedance na konci vedení Z a měrné fáze bet vypočte normovaný odpor r a normovanou reaktanci x ve vzdálenosti dzt od konce vedení. Jádrem funkce trans je vztah pro transformaci impedance na vedení [ ] + ( )] [ γ ζ ζ ] + Z( ζ ) sinh[ γ ( ζ ζ )] ( ) cosh ( ) cosh ( ) Z( ) Z Z ζ ζ Z γ ζ ζ γ ζ ζ = Z Vztah upravíme pro ζ = (impedance, kterou hodláme transformovat, leží na konci vedení) a α (vedení má zanedbatelné ztráty) Z Z ( ζ ) Z( ) cos [ βζ ] + jz sin[ βζ ] Z cos [ βζ ] + j ( ) sin[ βζ ] Z I p. A B. Z Z/ I p Z Z/ = (4.84).

99 Vysokofrekvenční technika a antény 97 Ve výše uvedeném vztahu značí Z charakteristickou impedanci vedení, Z() je impedance na konci vedení, α je měrná fáze a ζ je vzdálenost místa na vedení, v němž počítáme impedanci. function [r, x] = trans( Z, Z, bet, dzt) ar = Bet*dzt; num = Z*cos( ar) + j*z*sin( ar); % numerator of eqn den = Z*cos( ar) + j*z*sin( ar); % denominator of eqn z = num/den; r = real( z); % normed resistance in dzeta x = imag( z); % normed reactance in dzeta Nyní můžeme začít s psaním hlavního souboru serial.m. Jeho úkolem je navrhnout přizpůsobení impedance Z k vedení s charakteristickou impedancí iz. Potřebujeme k tomu znát činitele zkrácení na vloženém vedení iksi (charakteristická impedance vloženého vedení je táž jako charakteristická impedance vedení, k němuž přizpůsobujeme, tedy iz), charakteristickou impedanci vedení pro realizaci pahýlů sz a jeho činitele zkrácení sksi a kmitočet f, pro nějž přizpůsobení navrhujeme. Dále potřebujeme zadat, zda bude kompenzační pahýl symetricky rozdělen do dvou větví (br=) či nikoli (br=). V prvém kroku si rozdělíme množinu všech možných přizpůsobovaných normovaných impedancí na čtyři podmnožiny (obr. 4.). Leží-li normovaná přizpůsobovaná impedance v oblasti, budeme mít na vstupu vloženého vedení normovanou impedance - jx a délka vloženého vedení bude z intervalu (, λ v /8), neboť k dosažení jednotkového normovaného odporu nám stačí otočit fázor činitele odrazu maximálně o 9. Rovněž impedance z oblasti budou mít na vstupu vloženého vedení normovanou impedanci - jx, avšak na rozdíl od předchozího musíme v limitním případě pootočit fázor činitele odrazu až o 8, takže délka vloženého vedení bude v tomto případě z intervalu (, λ v /4). Nalézá-li se normovaná přizpůsobovaná impedance v oblasti nebo, bude na vstupu vloženého vedení normovaná impedance + jx a fázory činitele odrazu musíme pootočit až o 8 pro či dokonce o 36 pro. V programu tomuto rozdělení impedancí odpovídají řádky 8 -. Zároveň na těchto řádcích ukládáme do pomocné proměnné xu hodnotu + pro případ kladné reaktance na vstupu vloženého vedení a hodnotu - pro případ opačný. Zatímco ve Smithově diagramu při hledání vstupní impedance vloženého vedení pohodlně otáčíme fázorem činitele odrazu tak dlouho, dokud se nedostaneme na jednotkovou kružnici normovaného odporu, v programu musíme numericky řešit rovnici ( ) cos[ βζ ] + jz sin[ βζ ] cos[ βζ ] + jz( ) sin[ βζ ] Obr. 4. Rozdělení impedancí pro program serial.m Z r ( ζ ) = Re = (4.85) Z a to vzhledem k délce vloženého vedení ζ. V našem programu je rovnice řešena metodou půlení intervalu (řádky 3 až 3). Podstata této metody je jednoduchá. Hodnota levé stany rovnice v krajních bodech intervalu (ζ min, ζ max ), na němž hledáme řešení, je jednom bodě záporná (pro xu=- se jedná o mez ζ min dz a pro xu=+ se jedná o mez ζ max dz) a v druhém kladná. Ze Smithova diagramu je totiž zřejmé, že v jedné mezi je normovaný odpor větší než jednička a v druhé menší. Dále interval rozpůlíme ζ = (ζ min + ζ max )/ a pro dané ζ spočítáme hodnotu levé strany (ř. 5 a 6). Je-li tato hodnota menší než jedna, posuneme mez původního intervalu se zápornou funkční hodnotou do ζ, a naopak (ř. 8-3). Tímto postupem postupně

100 98 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně zmenšujeme interval řešení tak dlouho, až se dostaneme do blízkosti nulové hodnoty, a tedy do blízkosti řešení (4.85). Nyní, když známe délku vloženého vedení, a tedy i normovanou reaktanci na jeho vstupu, můžeme vypočíst délku kompenzačního pahýlu. Reaktanci na vstupu vloženého vedení přenormujeme na charakteristickou impedanci pahýlu a změníme její znaménko, aby pahýl svou vstupní reaktancí kompenzoval vstupní reaktanci vloženého vedení. V případě, že kompenzační pahýl má být rozdělen na pahýly dva (pokud impedanci přizpůsobujeme k symetrickému vedení a nechceme porušit symetrii), přenormovanou reaktanci s opačným znaménkem dělíme dvěma (ř. 35). Konečně, ze vztahu pro normovanou vstupní reaktanci vedení, které je na konci zkratované x ζ = tg βζ (4.86) vypočteme délku pahýlu (ř. 36, 38) ( ) ( ) [ x( ζ )] β ζ = arctg (4.87) Musíme se však postarat o to, aby délka pahýlu nevyšla záporná (ř. 37). function [ li, ls] = serial( Z, iz, sz, iksi, sksi, f, br) % frequency in MHz z = Z / iz; % normed imp. at end of inserted TL r = real( z); % normed resistance x = imag( z); % normed reactance ilam = iksi*3/f; % wavelength on the inserted TL ibet = *pi/ilam; % phase constant on the inserted TL dz = ; % 8: lower limit for all if (r<)&(x<), dz = ilam/8; xu=-; end % 9: upper limit for if (r<)&(x>), dz = ilam/4; xu=-; end % : upper limit for if (r>)&(x>), dz = ilam/4; xu=+; end % : upper limit for if (r>)&(x<), dz = ilam/; xu=+; end % : upper limit for err = e+3; % 3: set error to very high value while abs(err)>. % 4: repeat until error is small dz = (dz+dz)/; % 5: middle point of actual interval [ri,xi]= trans( iz, Z, ibet, dz); % 6: normed imped. in middle point err = ri - ; % 7: how normed res. differs from if xu==- % 8: shifting margins of interval if err> % 9 dz = dz; % else % dz = dz; % end % 3 else % 4 if err< % 5 dz = dz; % 6 else % 7 dz = dz; % 8 end % 9 end % 3 end % 3 li = dz; % 3: length of inserted TL slam = sksi*3/f; % wavelength on the inserted TL sbet = *pi/slam; % phase constant on the inserted TL xi = -xi*iz/sz/br; % 35: normed react. at input of shunt

101 Vysokofrekvenční technika a antény 99 ls = atan( xi); if ls<, ls=ls+pi; end ls = ls/sbet; % 36:shunt length by phase constant % 37: correction of negative length % 38: length of the shunt Co se týká programů pro jiné druhy přizpůsobení, ty by se dělaly podobně Kontrolní příklady 4. Navrhněte přizpůsobení antény se vstupní impedancí Z vst = (93 - j) Ω ke svodu s charakteristickou impedancí Z = 7 Ω a délkou vlny λ v = m. K přizpůsobení použijte úseku vedení s charakteristickou impedancí Z = 5 Ω. Dále určete poměr stojatých vln na jednotlivých úsecích vedení. [ sériový pahýl, symetricky rozdělený, na konci zkrat: l i =.6 m, l i =.344 m, l s =.43 m, l s =.457 m; paralelní pahýl, na konci zkrat: l i =.94 m, l i =.3 m, l s =.6 m, l s =.94 m; čtvrtvlnný transformátor: l i =.3 m, l i =.453 m, Z T = 58 Ω, Z T = 86 Ω ] 4. Na anténním napáječi s charakteristickou impedancí Z = 8 Ω, činitelem zkrácení ξ = a zanedbatelným měrným útlumem α bylo naměřeno PSV = 3.5. Dále bylo zjištěno, že vzdálenosti prvního minima napětí od zátěže je ζ min =.37 m. Měření probíhala na kmitočtu f = 3 MHz. a) Vypočtěte vstupní impedanci antény Z k. b) Navrhněte přizpůsobení dvěma sériovými pahýly (aby byla zachována symetrie vedení) s charakteristickou impedancí Z P = Ω. c) Navrhněte přizpůsobení paralelním pahýlem s charakteristickou impedancí Z P = Ω. d) Navrhněte přizpůsobení vloženým vedením a čtvrtvlnným transformátorem; charakteristická impedance vloženého vedení je Z v = 4 Ω. V úlohách b, c, d nalezněte obě možná řešení. [ a) Z k = (44 + j7) Ω; b) l =.4 m, l k =.35 m, l =. m, l k =.95 m; c) l =.9 m, l k =.76 m, l =.45 m, l k =.4 m; d) l =.64 m, Z = Ω, l =.3 m, Z = 7 Ω ] 4.3 Zakončovací impedance Z k = (4 - j 36) Ω má být přizpůsobena k vedení s charakteristickou impedancí Z = 3 Ω. Vložené vedení má přitom charakteristickou impedanci Z = 4 Ω. Vlnová délka na všech použitých vedeních je λ v = m. Navrhněte: a) přizpůsobení dvěma sériovými pahýly (aby byla zachována symetrie vedení), je-li charakteristická impedance pahýlu Z S = 8 Ω; b) přizpůsobení paralelním pahýlem, je-li charakteristická impedance pahýlu Z S = Ω; c) přizpůsobení čtvrtvlnným vedením. Řešení: Je-li charakteristická impedance vloženého vedení jiná nežli charakteristická impedance vedení hlavního, nesnažíme se pro případ sériového pahýlu dosáhnout ve Smithově diagramu jednotkové reálné části normované impedance, nýbrž normovaná reálná část musí být rovna poměru charakteristické impedance hlavního vedení a charakteristické

102 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně impedance vedení vloženého (v našem případě tedy otáčíme fázorem činitele odrazu tak dlouho, dokud neprotneme kružnici r = 3/4). V případě paralelního pahýlu je situace obdobná, v případě čtvrtvlnného transformátoru se na klasickém postupu nic nemění. [ a) l i =.83 m, l i =.483 m, l s =.93 m, l s =.37 m; b) l i =.68 m, l i =.96 m, l s =.4 m, l s =.96 m; c) l i =.3 m, l i =.38 m, Z T = 9 Ω, Z T = 639 Ω ] 4.4 A symmetrical transmission line with the characteristic impedance Z = 4 Ω is asked to be matched to the impedance Z k = ( + j) Ω by a matching circuit consisting of two identical serial shunts (in order to preserve symmetry of the circuit). The matching circuit is designed to work on the frequency f = 75 MHz. The velocity factor can be supposed to be ξ =. Compute: a) such a length of an inserted transmission line which requires a compensation shunt exhibiting an inductive behaviour; b) standing wave ratio on the inserted transmission line; c) length of a compensation shunt (characteristic impedance of a transmission line is Z s = 75 Ω); d) What is the standing wave ratio on the main transmission line and how does this value change when short ends of shunts in both the branches are damaged and they behave as open ones? [ a) l =. m; b) SWR = 3.6; c) l s =.5 m; d) SWR = and SWR ] 4.5 A symmetrical transmission line with the characteristic impedance Z = 4 Ω and with the velocity factor ξ = is ended by the impedance Z k = (6 + j) Ω. Design a matching circuit consisting of two identical serial shunts (in order to preserve symmetry of the circuit) which are supposed to work on a frequency f = 5 MHz. Compute: a) such a length of a transmission line so that it can be longer than m and the behaviour of the shunt is inductive; b) standing wave ratio at the inserted transmission line; c) length of the shunt if its end is short and open (in both the cases, Z s = 6 Ω). [ a) l =.96 m; b) SWR =.8; c) l s =.68 m; d) l o = 5.6 m ] 4..8 Kontrolní otázky. Vyjmenujte druhy vedení, které se nejčastěji používají v praxi. Jednotlivé druhy vedení stručně charakterizujte.. Které obvodové prvky můžeme realizovat pomocí úseku vedení? 3. Co je to přizpůsobení? Jak můžeme realizovat přizpůsobovací obvod pomocí úseků vedení (vyjmenujte jednotlivé přístupy)? 4. Popište postup návrhu přizpůsobovacího obvodu pomocí čtvrtvlnného úseku vedení, sériového pahýlu a paralelního pahýlu. 5. Co jsou to symetrické a asymetrické proudy a jak vznikají?

103 Vysokofrekvenční technika a antény 5 Vysokofrekvenční technika 5. Základní prvky a obvody 5.. Sériový rezonanční obvod Sériovým spojením kondenzátoru (kapacitoru) a cívky (induktoru) vznikne sériový rezonanční obvod. Jeho obvodový model nakreslený na obr. 5. se skládá z kapacitoru, rezistoru (ideálního) a induktoru. Rezistor R zde reprezentuje ztráty kondenzátoru a cívky, případně zahrnuje i vnitřní odpor reálného napájecího zdroje. Pro impedanci obvodu platí ωc jϕ Z ( ω ) = R + j ωl = R + jx = Ze. (5.) Při harmonickém buzení obvodu ze zdroje napětí s amplitudou U, závisí proud tekoucí obvodem na modulu impedance Z a tedy i na kmitočtu signálu zdroje. Grafické znázornění závislosti proudu I na kmitočtu f (nebo ω ) se nazývá rezonanční křivka. Je nakreslena na obr. 5.a a lze ji popsat rovnicí I = U R + ωl ωc. (5.) Prochází počátkem souřadnic, neboť při f = je kapacitní reaktance nekonečně veliká. Pro f je nekonečně veliká zase induktivní reaktance, takže velikost proudu tekoucího obvodem se opět blíží nule. Stav, kdy kapacitní a induktivní reaktance jsou si rovny, tj. výsledná reaktance obvodu je rovna nule, se nazývá sériovou rezonancí obvodu. Z podmínky X = lze stanovit Thomsonův vztah pro výpočet rezonančního kmitočtu ω = resp. f LC π LC =. (5.3) Při rezonanci nabývá modul impedance obvodu své minimální hodnoty Z = R, proud tekoucí obvodem nabývá naopak své maximální hodnoty I r = U R. Šířka propustného pásma B sériového rezonančního obvodu je definována jako rozmezí dvou kmitočtů v okolí rezonance, při kterých je absolutní hodnota reaktance obvodu rovna jeho činnému odporu. Jestliže tedy platí X = R, potom Z R + X = R Obr. 5. Sériový rezonanční obvod Obr. 5. a) Rezonanční křivka sériového rezonančního obvodu, b) kmitočvá závislost argumentu impedance obvodu = a pro uvažovaný případ lze psát I B U U = = Z R Ir =,77 Ir B = nebo log = log = log = 3 db. (5.4a,b) I I r

104 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Šířka pásma sériového rezonančního obvodu je tedy určena dvěma kmitočty, při kterých poklesne proud tekoucí obvodem na hodnotu I B =,77 Ir neboli o 3 db oproti proudu tekoucímu obvodem za rezonance. Na obr. 5.b je nakreslena kmitočtová závislost argumentu impedance sériového rezonančního obvodu, někdy označovaná jako jeho fázová charakteristika. Na podrezonančních kmitočtech má obvod kapacitní charakter neboť kapacitní reaktance je větší než reaktance induktivní. Argument impedance má proto záporné znaménko a pro kmitočty jdoucí k nule se jeho Obr. 5.3 Rezonanční křivky sériového hodnota blíží 9. Naopak při nadrezonančních rezonančního obvodu pro různé hodnoty kmitočtech má obvod induktivní charakter neboť odporu R ( R induktivní reaktance je větší než reaktance kapacitní. Argument impedance má proto kladné zna- < R < R, L a C jsou 3 konstantní) ménko a pro f se jeho hodnota blíží +9. Při rezonanci má obvod reálný charakter, a proto argument impedance je roven nule. Pro krajní kmitočty propustného pásma platí X = R, takže argument impedance bude roven ± 45. Jestliže změníme u sériového rezonančního obvodu velikost odporu R, např. použitím prvků (kondenzátoru nebo cívky) s většími nebo menšími ztrátovými odpory nebo použitím napěťového zdroje s jiným vnitřním odporem, změní se proud tekoucí obvodem za rezonance i celkový tvar rezonanční křivky, jak vyplývá z rovnice (5.). V důsledku toho se změní i šířka propustného pásma B. Na obr. 5.3 jsou nakresleny rezonanční křivky pro různé hodnoty odporu R. Kvalitu rezonančního obvodu můžeme vyjádřit pomocí činitele jakosti obvodu, který se označuje symbolem Q. Je definován vztahem Obr. 5.5 Rezonanční křivky sériového rezonančního obvodu pro různé poměry L/C ( R je konstantní, L/C < L/C < L3/C3) Q ω P A =, (5.5) kde A je energie, která přechází z elektrického pole do magnetického pole (kmitá) a P je činný výkon, který se ztrácí v odporu R (ztrátový odpor). Součin ω A představuje jalový výkon induktoru nebo kapacitoru při rezonanci. Poněvadž platí I A = L a R I P =, (5.6) můžeme po dosazení (5.6) do (5.5) psát ωl Q = = = R ω CR R L C Z = R. (5.7) Činitel jakosti sériového rezonančního obvodu lze tedy určit jako podíl induktivní nebo kapacitní reaktance obvodu za rezonance a odporu R. Převrácená hodnota činitele jakosti se nazývá činitel tlumení a označuje se symbolem d. Veličina Z je charakteristická impedance obvodu a lze ji vyjádřit pomocí různých veličin, např. Z = L = = ω C L C ω. (5.8)

105 Vysokofrekvenční technika a antény 3 Ze vztahu (5.8) vyplývá, že činitel jakosti Q je přímo úměrný charakteristické impedanci obvodu Z vyjádřené ve tvaru L C. Máme-li tedy sériový rezonanční obvod naladěný na kmitočet f, potom při konstantní hodnotě odporu R můžeme změnit jeho činitel jakosti změnou poměru L C. Současně s tím se změní i šířka propustného pásma B. Tuto skutečnost dokumentuje obr Jestliže budíme sériový rezonanční obvod ze zdroje harmonického signálu s amplitudou U, protéká při rezonanci obvodem proud I r daný vztahem I r = U R. Poněvadž za rezonance má obvod reálný charakter, napětí zdroje U a proud I r jsou ve fázi. Napětí na odporu R je proto stejné, jako je napětí napájecího zdroje. Pro napětí U Lr na induktoru a napětí U Cr na kapacitoru při rezonanci lze psát U U Lr = jω L I r = jωl = jqu a QU R U U Cr = I C r = j = j jω ω C R. (5.9a,b) Napětí na induktoru předbíhá napětí zdroje a tím i proud I r o 9, zatímco napětí na kapacitoru se zpožďuje za napětím zdroje a proudem I r o 9. Za rezonance jsou tedy napětí na induktoru a kapacitoru stejně veliká, ale opačného směru (jejich součet je roven nule). Ve srovnání s napětím zdroje jsou obě napětí Q krát větší. Jestliže budíme sériový rezonanční obvod např. z generátoru s výstupním napětím U = V a činitel jakosti obvodu je např. Q =, bude napětí na kondenzátoru U Cr = V!!! Proto je třeba použít kondenzátor s dostatečně vysokým průrazným napětím. Úpravou vztahu (5.) pro impedanci sériového rezonančního obvodu dostáváme Z ω ( ) ω = R + j ωl = R + jωl = R + jωl. (5.) ωc ω ωωlc ω ω ω ω Výraz v závorce se nazývá činitel rozladění a označuje se symbolem F. Lze psát F = ω ω ω = ω S pomocí (5.) můžeme vztah (5.) zjednodušit ω ω ω ω f f + f f ω L. (5.) Z ( ω ) = R + jω L = R + jω LF = R j F = R( + jqf ) = R( jα ). (5.) + Součin QF = α se nazývá stupeň rozladění. Pro kmitočty f a f, které určují propustné pásmo, tj. f f = B, lze podle [] a [3], odvodit velice důležitý a pro praxi užitečný vztah R f Q =. (5.3) B Rezonanční kmitočet f se rovná geometrickému průměru kmitočtů f a f, tj. platí f = f f. Rezonanční křivka tedy není osově souměrná podle přímky procházející bodem f kolmo na osu kmitočtu!!! 5.. Paralelní rezonanční obvod Duálním obvodem k sériovému rezonančnímu obvodu, nakresleném na obr. 5., je paralelní rezonanční obvod, jehož obvodový model je uveden na obr K proudovému zdroji je připojena paralelní kombinace vodivosti, kapacitoru a induktoru. Vodivost G reprezentuje

106 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně ztráty obou reálných akumulačních prvků, případně zahrnuje i vnitřní vodivost reálného zdroje. Pro admitanci obvodu platí jϕ Y ( ω ) = = G + j ωc = G + jb = Ye, (5.4) Z ( ω) ωl kde B je výsledná susceptance obvodu. Při harmonickém buzení obvodu ze zdroje proudu s amplitudou I, závisí napětí na rezonančním obvodu na modulu admitance Y a tedy i na kmitočtu signálu zdroje. Grafické znázornění závislosti napětí U na kmitočtu f (nebo ω ) se nazývá rezonanční křivka. Lze ji popsat rovnicí I I U = = = ZI. (5.5) Y G + ωc ωl Z podmínky B = lze stanovit vztah pro výpočet rezonančního kmitočtu ω = resp. f LC =. (5.6) π LC Podobně jako u sériového rezonančního obvodu, lze i pro paralelní rezonanční obvod odvodit vztahy pro admitanci obvodu ve tvaru ( ω ) = G( + jα ) Y a = G + α Y. (5.7a,b) Při rezonanci, kdy α =, nabývá modul admitance obvodu své minimální hodnoty Y = G, zatímco napětí na obvodu nabývá naopak své maximální hodnoty kde Obr. 5.6 Paralelní rezonanční obvod R = G se nazývá rezonanční odpor. I U r = = IR, (5.8) G Šířka propustného pásma B paralelního rezonančního obvodu je definována jako rozmezí dvou kmitočtů v okolí rezonance, při kterých poklesne napětí na rezonančním obvodu na hodnotu,77 Ur (pokles o 3 db ), jak je naznačeno na obr. 5.7a. Poněvadž napětí na rezonančním obvodu je přímo úměrné impedanci obvodu, bývá rezonanční křivka kreslena také jako závislost modulu impedance obvodu na kmitočtu. Mezi šířkou propustného pásma a činitelem jakosti obvodu platí opět vztah (5.3). Činitel jakosti obvodu Q je definován vztahem (5.5). Poněvadž pro energii A a činný výkon P platí A = CU U a P =, (5.9) R lze po dosazení (5.9) do (5.5) psát Q R R R ωc ω CR = = = = = ωl L Z G ωlg C =. (5.) Činitel jakosti paralelního rezonančního obvodu se tedy rovná podílu rezonančního odporu a induktivní nebo kapacitní reaktance obvodu za rezonance. Pro charakteristickou impedanci obvodu Z platí vztah (5.8).

107 Vysokofrekvenční technika a antény 5 Jestliže budíme paralelní rezonanční obvod ze zdroje harmonického signálu s amplitudou I, je za rezonance na obvodu napětí U r dané vztahem (5.8). Poněvadž admitance obvodu je za rezonance reálná, je napětí U r ve fázi s proudem I. Proud tekoucí vodivostí G je stejný, jako proud tekoucí z napájecího zdroje. Pro proudy I Lr tekoucí induktorem a I Cr tekoucí kapacitorem při rezonanci platí U r j I I Lr = = j = j Q I ω L ω L G (5.) Cr U r I = = jωc = jq I G jω C I. (5.) Proud tekoucí induktorem se zpožďuje za proudem zdroje I a tím i napětím U r o 9, zatímco Obr. 5.7 a) Rezonanční křivka paralelního rezonančního obvodu, proud tekoucí kapacitorem předbíhá proud I a b) kmitočtová závislost argumentu tedy i napětí U r o 9. Za rezonance jsou tedy impedance obvodu proudy tekoucí induktorem a kapacitorem stejně veliké, ale opačného směru (jejich součet je roven nule). Ve srovnání s proudem zdroje jsou oba proudy Q krát větší. Jestliže budíme paralelní rezonanční obvod např. z generátoru s výstupním proudem I = ma a činitel jakosti obvodu je např. Q =, je proud tekoucí cívkou I Lr = A!!! Proto je třeba pro konstrukci cívky použít vodič dostatečného průřezu. Model paralelního rezonančního obvodu, nakreslený na obr. 5.6, vytvořený jako duální obvod k sériovému rezonančnímu obvodu, nevystihuje přesně chování skutečného rezonančního obvodu, především při nulovém kmitočtu a v jeho blízkém okolí. Rezonanční křivka skutečného obvodu, nakreslená na obr. 5.7a, vykazuje při nulovém kmitočtu určité malé napětí, které v obvodu vzniká v důsledku nenulového odporu vinutí cívky. Tuto skutečnost lépe vystihuje model nakreslený na obr Cívka je modelována sériovou kombinací induktoru L a ztrátového rezistoru R L, podobně kondenzátor je modelován sériovým spojením kapacitoru C a ztrátového rezistoru R C. Impedance obou větví můžeme vyjádřit ve tvaru Z L = RL + jx L a C = RC jxc Z. Pro výslednou impedanci obvodu lze psát ZL ZC ( RL + jx L )( RC jxc ) Z = =. (5.3) ZL + ZC ( RL + jx L ) + ( RC jxc ) Po oddělení reálné a imaginární části je rezonanční podmínka dána vztahem X LZC XCZL X = =. (5.4) Z s Obr. 5.8 Model paralelního rezonančního obvodu se dvěma větvemi

108 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně kde Z s je modul impedance, která se rovná sériovému spojení impedancí Z L a Z C, takže platí ( ) ( ) Zs = RL + RC + X L XC a dále Z L = RL + X L, Z C = RC + XC. Z podmínky (5.4) vyplývá, že rezonanční kmitočet závisí nejen na indukčnosti L a kapacitě C, ale i na ztrátových rezistorech R. Pouze v případě, kdy platí R << R <<, tj. rezistory v jednotli- R L a C L X L a C vých větvích můžeme zanedbat vůči jejich reaktancím, lze podmínku (5.4) zjednodušit do tvaru X C X L =, což je stejná podmínka, jaká platí pro sériový rezonanční obvod. Z ní je možné stanovit rezonanční kmitočet ve tvaru (5.3). Jestliže nelze splnit podmínky R L << X L a R C << X C, musíme rezonanční kmitočet vypočítat z (5.4), tj. ze vztahu X LZC XCZL =. Dostaneme X C Z RL Z RL ω = resp. f LC Z RC LC Z RC kde Z je charakteristická impedance obvodu daná vztahem (5.8). = π, (5.5) Odpor obvodu za rezonance neboli rezonanční odpor určíme z (5.3), při uvažování rezonanční podmínky (5.4). Jestliže navíc platí i zjednodušující podmínky dostáváme R R = L X C L C ( R + R ) RL + RC RL + RC L + R C C X L = X = X. (5.6) Rezonanční odpor paralelního rezonančního obvodu se tedy rovná druhé mocnině reaktance libovolné větve obvodu za rezonance, dělené celkovým odporem obou větví v sérii R s = RL + RC. Po dosazení do (5.6) za reaktance jednotlivých větví a úpravě, dostáváme další vztahy pro výpočet rezonančního odporu ω R = R L = s ωc R s Z = R s = L CR s = Q R s = QZ. (5.7) Obr. 5.9 Rezonanční křivka paralelního re- Obr. 5. Rezonanční křivka paralelního zonančního obvodu pro různé hodnoty od- rezonančního obvodu pro různé poměry poru Rs ( R< R< R3, L a C jsou konstantní) L/C ( R s je konstantní, L/C < L/C < L3/C3 ) Rezonanční křivky obvodů jsou pro různé hodnoty odporu R s nakresleny na obr Kmitočtová závislost argumentu impedance paralelního rezonančního obvodu (5.3) je nakreslena na obr. 5.7b. Za rezonance je impedance obvodu reálná a tedy argument impedance je nulový. Na podrezonančních kmitočtech má obvod induktivní charakter neboť impedance induktivní větve je menší než impedance kapacitní větve a při jejich paralelním spojení se výrazněji podílí na výsledné impedanci obvodu. Argument impedance proto nabývá kladných hodnot a

109 Vysokofrekvenční technika a antény 7 pro kmitočty jdoucí k nule se jeho hodnota blíží +9. Na nadrezonančních kmitočtech má obvod kapacitní charakter neboť na výsledné impedanci obvodu se nyní výrazněji podílí impedance kapacitní větve. Argument impedance je proto záporný a pro kmitočet f se jeho hodnota blíží Transformační vlastnosti rezonančních obvodů Na obr. 5. je nakreslen paralelní rezonanční obvod složený ze tří prvků kapacitoru C, induktoru L a vodivosti G, která reprezentuje pouze ztráty reálných akumulačních prvků. Poněvadž k obvodu není připojen budící zdroj ani zátěž, nazývá se takový obvod nezatížený. Pro tento ryze teoretický případ můžeme podle známých vztahů určit příslušné parametry obvodu. Skutečnost, že parametry platí pro nezatížený obvod, vyjádříme indexem nula u příslušného symbolu. Proto vodivost nezatíženého obvodu označujeme symbolem G a pro činitel jakosti Q nezatíženého obvodu a šířku propustného pásma B nezatíženého obvodu používáme výpočtové vztahy Obr. 5. Nezatížený paralelní rezonanční obvod Q ω C = = a G ωlg f B =. (5.8a,b) Q Kdybychom k nezatíženému rezonančnímu obvodu připojili zátěž Y Z nebo budící zdroj s vnitřní admitancí Y G (případně oba prvky), jak je čárkovaně naznačeno na obr. 5., rezonanční obvod by výrazně změnil svoje parametry. Vlivem imaginárních částí připojených admitancí by došlo ke změně rezonančního kmitočtu, tj. obvod by se rozladil, a současně by došlo k zatlumení obvodu a tím ke zmenšení jeho činitele jakosti. Celková vodivost zatíženého obvodu by byla G = G + G + (5.9) G G Z a pomocí ní bychom mohli určit činitele jakosti Q zatíženého obvodu i šířku propustného pásma B zatíženého obvodu. Z vypočítaných parametrů by vyplynulo, že kromě rozladění obvodu se zhorší i jeho selektivní vlastnosti. Proto se v praxi budící zdroj i zátěž připojují k rezonančnímu obvodu jiným způsobem než je naznačeno na obr. 5., a to buď na odbočku cívky - autotransformátorová (indukční) vazba nebo pomocí kapacitního děliče - kapacitní vazba a nebo pomocí vazebního vinutí - transformátorová vazba. Ve všech těchto případech bude vliv připojených admitancí výrazně omezen. Příklady jednotlivých vazeb jsou nakresleny na obr. 5., kde je pro jednoduchost naznačeno pouze připojení zátěže. Obdobným způsobem je však možné k rezonančnímu obvodu připojit i budicí zdroj. M L C M U C G L L U Y Z U L G C U Y Z U C G L L V U Y Z a) b) c) Obr. 5. Způsoby připojení zátěže (nebo zdroje) k paralelnímu rezonančnímu obvodu a) autotransformátorová (indukční) vazba, b) kapacitní vazba, c) transformátorová vazba

110 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Za předpokladu, že modul admitance Y Z (nebo Y G ) je mnohem menší než modul admitance části rezonančního obvodu v bodech připojení a uvažujeme kmitočtové pásmo v okolí rezonance, můžeme pro každou vazbu definovat tzv. transformační činitel p. Pro autotransformátorovou vazbu (obr. 5.a) je transformační činitel definován vztahem p L + M U = <, (5.3) L U kde L je indukčnost mezi odbočkou a uzemněným (studeným) koncem cívky, M je vzájemná indukčnost mezi částmi cívky L oddělenými odbočkou a L = L + L je indukčnost celé cívky. Transformační činitel pro kapacitní vazbu (obr. 5.b) lze určit ze vztahu p C U = <. (5.3) C + C U A konečně při transformátorové vazbě (obr. 5.c) je transformační činitel definován vztahem LV + M U p = <, (5.3) L U kde L V je indukčnost vazební cívky, M je vzájemná indukčnost mezi oběma cívkami a L je indukčnost cívky rezonančního obvodu. Uvažujme nyní oboustranně zatížený paralelní rezonanční obvod, který je nakreslený na obr. 5.3a. Budící zdroj s admitancí Y G je připojen k rezonančnímu obvodu kapacitní vazbou s transformačním činitelem p a zátěž Y Z Obr. 5.3 a) Oboustranně zatížený paralelní rezonanční obvod, je k obvodu připojena b) ekvivalentní obvod s transformovanými admitancemi autotransformátorovou vazbou s činitelem p. Připojení obou admitancí ovlivní opět parametry rezonančního obvodu, především Q a B, avšak nyní již poněkud jiným způsobem než v případě naznačeném na obr. 5.. Jejich vliv si lze představit tak, jako by se obě připojené admitance transformovaly do rezonančního obvodu, a to s druhou mocninou transformačních činitelů. Ekvivalentní obvod s transformovanými admitancemi je nakreslen na obr. 5.3b. Výslednou admitanci rezonančního obvodu po připojení obou admitancí lze určit ze vztahu kde Y = p p Y, (5.33) YG + Y + Z CC Y = G + jω +. (5.34) C + C jω L

111 Vysokofrekvenční technika a antény 9 Po dosazení do (5.33) za Y G, Y a Y Z dostáváme C C Y = p ω p C. (5.35) GG + jω pcg + G + jω + + pgz + j C + C jωl Transformované kapacity způsobí rozladění obvodu, ale protože oba transformační činitelé jsou menší než jedna, nebude toto rozladění tak výrazné, jako v případě naznačeném na obr. 5.. Pro celkovou vodivost obvodu lze psát GG + G + pg Z G = p. (5.36) Ze srovnání vztahů (5.9) a (5.36) vyplývá, že použití transformačních vazeb omezuje také vliv připojených vodivostí a tudíž nesnižuje výrazně činitel jakosti obvodu. Čím menší budou transformační činitelé, tj. připojené admitance budou navázány na rezonanční obvod volně, tím méně budou ovlivněny selektivní vlastnosti rezonančního obvodu. Obr. 5.4 Transformace admitance Uvedený případ transformace platí i v opačném směru, kdy se admitance připojená přímo k rezonančnímu obvodu transformuje na vstupní nebo výstupní odbočku prostřednictvím příslušné vazby. Na obr. 5.4 je do rezonančního obvodu, který je vyladěn do rezonance, připojena admitance Y. Na vstupní odbočce obvodu se tato admitance jeví jako admitance Y, přičemž platí transformační vztah Z Y Y =. (5.37) p Transformační vlastnosti rezonančních obvodů lze tedy využívat nejen k omezení vlivu připojených admitancí na parametry selektivního obvodu, ale i jako transformátoru admitancí na požadovanou hodnotu. Ve vysokofrekvenční technice se většinou využívá pouze transformace vodivostí neboť imaginární složky transformované do rezonančního obvodu můžeme eliminovat vyladěním obvodu do rezonance. Rezonanční obvody jsou obvykle konstruovány tak, že umožňují přesné doladění rezonančního kmitočtu buď pomocí dolaďovacího kondenzátoru nebo změnou polohy jádra cívky, případně roztažením nebo stlačením závitů u samonosné cívky Aktivní prvky Základními aktivními prvky ve vysokofrekvenční technice jsou bipolární a unipolární tranzistory. Dalšími aktivními prvky jsou hybridní nebo monolitické integrované obvody, které jsou však většinou určeny pro konkrétní aplikace a jejich zapojení se také obvykle liší podle výrobce. Vývojově starší bipolární tranzistory jsou v současné době používány v kmitočtové oblasti až do cca GHz. Vyrábějí se typy s extrémně malým šumovým číslem i s velkým rozsahem výstupních výkonů dosahujících až stovek wattů. Pro vývojově mladší unipolární tranzistory neboli tranzistory řízené elektrickým polem FET (Field Effect Transistor) se používá následující označení elektrod: emitor S (Source), kolektor D (Drain) a hradlo G (Gate). Ve srovnání s bipolárními tranzistory mají odlišné admitanční vlastnosti, menší nelineární zkreslení a příznivější šumové vlastnosti. Běžné typy se používají do kmitočtů cca GHz. Tranzistory FET se Schottkyho hradlem typu MESFET (MEtall Semiconductor FET) a zejména nejnovější tranzistory HEMT (High Electron Mobility Transistor) se mohou používat až do kmitočtů desítek GHz (oblast mikrovlnné techniky).

112 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Podobně jako u pasivních reálných součástek je třeba sestavit vhodné modely i pro reálné tranzistory. Poněvadž tranzistory jsou nelineární prvky, jejichž parametry závisí na teplotě a kmitočtu, budou příslušné modely složité. Před použitím tranzistoru v libovolném obvodu určeném pro požadovanou aplikaci je třeba nejdříve nastavit a teplotně stabilizovat jeho klidový (stejnosměrný) pracovní bod. Potřebné údaje ( I E, ID, UCE, UDS, IB, UGS, aj.) uvádí výrobce tranzistorů ve svém katalogu. Pracuje-li tranzistor s velkým střídavým signálem, pohybuje se pracovní bod po příslušné charakteristice v takovém rozsahu, že se projeví její nelinearita. V takovém případě je pro popis chování tranzistoru vhodný fyzikální model tranzistoru, vystihující nejen jeho nelineární vlastnosti, ale i případnou kmitočtovou a teplotní závislost parametrů jednotlivých prvků tohoto modelu. Tyto modely jsou složité a využívají se při přesném počítačovém návrhu obvodů. Pracuje-li tranzistor s malým signálem, pohybuje se pracovní bod pouze v blízkém okolí klidového pracovního bodu a jeho dráhu po příslušné charakteristice lze považovat za téměř lineární. Při splnění této omezující podmínky je možné tranzistor považovat za linearizovaný dvojbran (téměř lineární neboli kvazilineární) a popsat jej pomocí matematického modelu podle teorie dvojbranů. Je zřejmé, že parametry matematického modelu závisí na poloze klidového pracovního bodu, pracovním kmitočtu a teplotě přechodů PN resp. okolí. Matematický model je jednoduchý a vhodný pro rychlé orientační návrhy úzkopásmových obvodů. Matematické modely využívají k popisu tranzistoru dvojbranových rovnic s vhodnými parametry. Ze všech známých parametrů (impedanční - Z, admitanční - Y, kaskádní - A, zpětné kaskádní - B, hybridní - H, zpětné hybridní - K, rozptylové - S, rozptylové kaskádní t ) se z důvodů jejich snadného měření používají ve vf technice pouze parametry admitanční (Admittance Parameters) a rozptylové (Scattering Parameters). Pro pomocné výpočty se někdy využívá i kaskádních a rozptylových kaskádních parametrů. Admitanční parametry jsou definovány při zkratovaném vstupu nebo výstupu tranzistoru (zkrat je proveden pouze pro střídavé signály poloha klidového stejnosměrného pracovního bodu se nezmění!!!), což lze provést kondenzátorem s dostatečnou kapacitou, avšak pouze do kmitočtů cca 3 MHz. Na vyšších kmitočtech se již používají pouze rozptylové parametry, definované pro impedanční přizpůsobení na vstupu i výstupu. U ostatních parametrů by bylo nutné realizovat stavy naprázdno, což je ve vf technice prakticky nesplnitelné Bipolární tranzistory Matematický model bipolárního tranzistoru s admitančními parametry se vyjadřuje dvojbranovými rovnicemi ve tvaru I = y U + y U, I = y U + y U. (5.38a,b) Poněvadž veličiny I, I, U, U jsou komplexní amplitudy příslušných branových proudů a napětí, jsou admitanční parametry komplexní čísla. Na obr. 5.5 je nakreslen matematický model tranzistoru sestavený na základě rovnic (5.38). Z těchto rovnic vyplývá i definice jednotlivých admitančních parametrů tranzistoru: I = U y... vstupní admitance při výstupu nakrátko, tj. při U, (5.39a) I = U U = y... zpětnovazební admitance při vstupu nakrátko, tj. při U, (5.39b) I = U U= y... přenosová admitance při výstupu nakrátko, tj. při U, (5.39c) U = = = =

113 Vysokofrekvenční technika a antény I = U y... výstupní admitance při vstupu nakrátko, tj. při U. (5.39d) U= = a) b) Obr. 5.5 a) Matematický model tranzistoru, b) modifikovaný matematický model tranzistoru Parametry y a y udává výrobce obvykle v kartézském tvaru, tj. jejich reálnou a imaginární část, neboť v tomto tvaru lze tyto skutečné admitance změřit např. admitančním mostem. Naproti tomu parametry y resp. y mají sice rozměr admitance, ale ve skutečnosti jsou to přenosy vyjadřující zpětné ovlivňování vstupu výstupem (zpětnovazební admitance) resp. zesilovací schopnosti tranzistoru (přenosová admitance). Proto je výrobce udává v polárním tvaru. Podle zapojení tranzistoru (SE, SB, SC) se k admitančním parametrům připisuje index e, b nebo c. Mezi admitančními parametry tranzistoru v různých zapojeních platí známé přepočtové vztahy. Je třeba však zdůraznit, že přepočítané parametry opět platí pouze pro jeden pracovní bod, jeden kmitočet (s malou nepřesností i pro úzké pásmo kmitočtů) a jednu teplotu, tedy pro stejné podmínky, za jakých byly určeny parametry původní. V některých případech je výhodnější použití modifikovaného modelu, nakresleného na obr. 5.5b, obsahujícího pouze jediný proudový zdroj s parametrem Y m, nazývaným strmost tranzistoru. Jeho další výhodou je, že obsahuje skutečnou admitanci mezi vstupní a výstupní svorkou, která způsobuje vnitřní zpětnou vazbu tranzistoru. U matematického modelu tranzistoru s rozptylovými parametry nejsou vlastnosti tranzistoru charakterizovány branovými proudy a napětími, ale dopadajícími a odraženými napěťovými vlnami (vztaženo k tranzistoru). Tyto vlny se vytvářejí na vedeních o charakteristické impedanci Z C, kterými jsou k tranzistoru připojeny zdroj s vnitřní impedancí Z G a zátěž s impedancí Z Z, jak je nakresleno na obr Dopadající vlny jsou označeny symbolem a, odražené vlny symbolem b. Index označuje vlny na vstupu tranzistoru, index vlny na výstupu tranzistoru. Vzájemnou závislost dopadajících a odražených napěťových vln vyjadřují rovnice =, (5.4a) =, (5.4b) b + s a s a s a s a b + ze kterých vyplývají definiční vztahy i význam jednotlivých rozptylových parametrů tranzistoru: b = a s... vstupní napěťový činitel odrazu při Z Z = ZC a tedy a =, (5.4a) a = Obr. 5.6 Zapojení pro stanovení rozptylových parametrů tranzistoru

114 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně b = a s... vložné napěťové zesílení ve zpětném směru při Z G = ZC a tedy a =, (5.4b) b = a a= s... vložné napěťové zesílení v přímém směru při Z Z = ZC a tedy a =, (5.4c) b = a a = s... výstupní napěťový činitel odrazu při Z G = ZC a tedy a =. (5.4d) a= Rozptylové parametry tranzistoru jsou bezrozměrná komplexní čísla závislá na pracovním bodě tranzistoru, kmitočtu, teplotě a také na charakteristické impedanci vedení Z C. Při jejich měření bývá impedance vedení reálná a platí Z C = ZG = ZZ = 5Ω. Parametry s a s se obvykle zakreslují do Smithova diagramu a jejich modul nabývá hodnot v rozmezí až. Modul parametru s bývá menší než, a modul parametru s bývá větší než (do cca 3). Výrobci udávají rozptylové parametry tranzistorů buď v tabulkové formě nebo graficky. Kromě admitančních a rozptylových parametrů tranzistoru se ve vysokofrekvenční technice někdy používají i kaskádní parametry A a rozptylové kaskádní parametry t tranzistoru. Jejich vzájemné přepočtové vztahy se v literatuře uvádějí pro tzv. normované admitanční parametry, závislé na charakteristické impedanci vedení Z C. Jejich souvislost se skutečnými admitančními parametry vyplývá ze vztahu y = Z y. norm Fyzikální model tranzistoru poskytuje názorný pohled na jeho vnitřní strukturu a usnadňuje pochopení různých fyzikálních jevů, které souvisí s jeho činností. Čím složitější je fyzikální model, tím přesněji jsou popsány vlastnosti a činnost tranzistoru. Pro počítačové návrhy obvodů jsou v knihovnách tranzistorů k dispozici již dostatečně přesné modely vystihující dostatečně přesně chování tranzistoru. Ve vf technice se nejčastěji používají fyzikální modely Ebersův-Mollův a Giacolettův. Pro střídavá napětí menší než termické napětí U T a kmitočty do cca 3 MHz se používá fyzikální lineární model, nakreslený na obr. 5.7a. Výstupní proud závisí na strmosti g m (někdy označované S ) a napětí u b e, které se vytváří na kmitočtově závislém děliči ( r bb, g b e, C b e, r ee ) a výrazně ovlivňuje kmitočtové vlastnosti tranzistoru. Při konstantním vstupním napětí u be a rostoucím kmitočtu se napětí u b e výrazně zmenšuje, což má za následek také pokles výstupního proudu tranzistoru. Paralelní kombinace prvků C b c a g b c modeluje vnitřní zpětnou vazbu tranzistoru, která bývá hlavní příčinou jeho případného nestabilního stavu. Dalšími prvky modelu jsou parazitní odpory přívodů r bb, r cc, r ee spojují vlastní (vnitřní) tranzistor ( E C s okolím., které B ) C skut Obr. 5.7 a) Fyzikální lineární model pro kmitočty do cca 3 MHz, b) Giacolettův model tranzistoru

115 Vysokofrekvenční technika a antény 3 Zanedbáním vlivu odporů r cc, r ee (nahradí se zkratem) dostáváme známý Giacolettův model bipolárního tranzistoru, nakreslený na obr. 5.7b. Jeho prvky lze pro kmitočty menší než, ft pokládat za kmitočtově nezávislé, a proto je tento model vhodný k návrhu širokopásmových zesilovačů. Schopnost tranzistoru pracovat na vyšších kmitočtech udávají mezní kmitočty tranzistoru. Jejich definice vychází z kmitočtových závislostí modulů proudových zesilovacích činitelů tranzistoru α, β a maximálního dosažitelného výkonového zesílení tranzistoru A P max. V praxi je nejvíce užívaný mezní kmitočet f T, nazývaný tranzitní kmitočet, pomocí kterého můžeme vypočítat modul proudového zesilovacího činitele β na kmitočtu f ze vztahu f T = β. f, přičemž musí být splněna podmínka < β < βnf. Uvedený vztah tedy platí pouze v oblasti poklesu charakteristiky β ( f ) se sklonem db / dek. Mezní kmitočet f max je největší ze všech mezních kmitočtů tranzistoru a udává hranici, při jejímž překročení se tranzistor stává pasivním prvkem. Šumové vlastnosti tranzistoru se popisují jeho šumovým modelem. V něm se u bipolárního tranzistoru uvažují zdroje výstřelového šumu přechodu BE a BC a tepelný šum odporu r bb. Šumový model tranzistoru je výchozím bodem pro stanovení šumového činitele F (Noise Factor) tranzistoru, který lze určit podle vztahu Střední kvadrát celkového šumového F = napětí na výstupu tranzistoru naprázdno. Střední kvadrát šumového napětí na výstupu tranzistoru naprázdno, (5.4) způsobený pouze vlivem reálného rezistoru R Výpočet šumového činitele (bezrozměrné číslo) je poměrně komplikovaný. Nezávisí jen na prvcích fyzikálního modelu, zesilovacím činiteli a mezním i pracovním kmitočtu tranzistoru, ale také na odporu zdroje signálu R G. Provedeme-li derivaci vztahu (5.4) podle R G a výsledek položíme roven, můžeme stanovit existenci extrému funkce F = f ( ). Řešením rovnice F R G = G R G (5.43) obdržíme kořen R G = RGopt, který po dosazení do druhé derivace funkce F = f ( R G ) dává výsledek F >. Hledaným extrémem této funkce je tedy minimum F min. Stav, kdy je tranzistor buzen ze zdroje signálu s vnitřním odporem R Gopt a dosahuje tedy minimálního šumového činitele F min, se nazývá šumové přizpůsobení tranzistoru. Grafické závislosti F = f ( R G ), případně R Gopt a F min pro různé pracovní body, udávají výrobci tranzistorů ve svých katalozích. Pro konkrétní typ tranzistoru a dané pracovní podmínky lze tyto závislosti, důležité pro nastavení šumového přizpůsobení, také poměrně jednoduchým způsobem změřit Tranzistory řízené elektrickým polem Podle toho, jak je odděleno hradlo od kanálu, rozdělují se tranzistory řízené elektrickým polem do dvou velkých skupin. Je-li hradlo odděleno od kanálu závěrně pólovaným PN přechodem, hovoříme o tranzistorech JFET (Junction FET). U druhé skupiny tranzistorů označovaných IGFET (Insulated Gate FET) je hradlo od kanálu izolováno vrstvou dielektrika. Zde podle vnitřní struktury rozeznáváme tranzistory MISFET (hradlo izolant polovodič) a tranzistory MOSFET (zkráceně označované MOS), u kterých je izolantem oxid.

116 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Podobně jako u bipolárních tranzistorů, jsou i pro tranzistory FET sestaveny matematické a fyzikální modely. Matematické modely, vhodné pro linearizovaný tranzistor, opět využívají admitančních a rozptylových parametrů. Poněvadž tranzistory FET mají jinou fyzikální strukturu než bipolární tranzistory, jejich fyzikální modely se liší. Vstupní a zpětnovazební obvod jsou zde modelovány kombinacemi RC, které vystihují typické vlastnosti těchto tranzistorů - velký vstupní odpor (stejnosměrný i nízkofrekvenční), řádově až Ω. S ros- 9 toucím kmitočtem však vstupní impedance poměrně rychle klesá (přibližně nepřímo úměrně s kvadrátem kmitočtu), takže na kmitočtu MHz má hodnotu asi 5 až k Ω a při kmitočtu 3 MHz již pouze až 3 k Ω. Tranzistory JFET a MOSFET se používají do kmitočtu asi GHz. Pro vyšší kmitočty se používají tranzistory MESFET, u kterých je hradlo odděleno od kanálu Schottkyho diodou. Při použití kanálu z křemíku je mezní kmitočet cca GHz. Je-li použit arzenid galia s několikráte vyšší pohyblivostí elektronů, zvýší se mezní kmitočet až na několik desítek GHz. Takto vysoký mezní kmitočet dosahují i tranzistory HEMT. Tato problematika však spadá do oblasti mikrovlnné techniky. Mezní kmitočet f max tranzistorů FET je definován podobně jako u bipolárních tranzistorů. U tranzistorů řízených elektrickým polem jsou nejdůležitějšími zdroji šumu: tepelný šum kanálu, indukovaný šum hradla a tepelné šumy parazitních odporů. Méně důležitý je kmitočtově nezávislý výstřelový šum stejnosměrného proudu hradla, který lze především u tranzistorů MOS zanedbat. Šumové přizpůsobení tranzistoru se téměř shoduje s výkonovým přizpůsobením (nepřesnost bývá až %). Z kmitočtových závislostí šumového činitele bipolárních a unipolárních tranzistorů vyplývá [3], že tranzistory FET jsou z pohledu dosažení malého šumového činitele vhodnější než tranzistory bipolární, zvláště v oblasti vyšších kmitočtů. Velkou předností tranzistorů FET ve srovnání s bipolárními tranzistory je jejich větší odolnost vůči vzniku intermodulačního zkreslení včetně křížové modulace, což je způsobeno téměř kvadratickou převodní charakteristikou těchto tranzistorů. 5. Zesilovače Zesilovače patří k nejčastěji používaným obvodům ve vysokofrekvenční technice. Obvykle zesilují signály v určitém kmitočtovém rozsahu, a proto se označují jako pásmové zesilovače. Podle šířky přenášeného pásma se rozdělují na úzkopásmové a širokopásmové. Hranice tohoto dělení není přesně definovaná, avšak nejčastěji se používá dělení podle hodnoty poměru šířky pásma B (pro pokles o 3 db ) ku střednímu kmitočtu f S. Pro úzkopásmové zesilovače platí B <, f S, pro širokopásmové B >, f S. Podle napěťových nebo výkonových úrovní zesilovaných signálů se zesilovače dělí na napěťové a výkonové. U napěťových zesilovačů mají zpracovávané signály malou úroveň, a proto můžeme použité aktivní nelineární prvky uvažovat jako téměř li- Obr. 5.8 Schéma zapojení jednostupňového zesilovače

117 Vysokofrekvenční technika a antény 5 neární. Proto se tyto zesilovače také nazývají linearizované. Používají se například ve vstupních obvodech všech typů rádiových přijímačů nebo měřících přístrojů. U výkonových zesilovačů dosahují signály tak velké úrovně, že režim aktivního prvku je nelineární. Tyto zesilovače se používají v koncových stupních rádiových vysílačů a všude tam, kde je třeba dodat do zátěže signál dostatečně velkého vf výkonu. 5.. Základní parametry a vlastnosti úzkopásmového linearizovaného zesilovače Podrobné schéma zapojení jednostupňového úzkopásmového linearizovaného zesilovače je nakresleno na obr Klidový pracovní bod tranzistoru (například doporučený výrobcem pro danou aplikaci) je nastaven a teplotně stabilizován pomocí rezistorů R, R a R 3. Kapacitor C 3 má velkou kapacitu (například tantalový kondenzátor), takže pro střídavé signály představuje malou reaktanci. Rezistor R 3 proto zavádí v obvodu pouze stejnosměrnou, zápornou, proudovou, sériovou zpětnou vazbu, která zajišťuje stabilizaci klidového pracovního bodu tranzistoru. Stejnosměrné napájecí napětí U N je filtrováno kapacitorem C N s velkou kapacitou, který má pro střídavé signály opět zanedbatelnou reaktanci. Vstupní signál ze zdroje U G (vstupní signál zesilovače) prochází do zátěže R Z (zátěž zesilovače) přes rezonanční obvod L C, tranzistor T v zapojení SE a rezonanční obvod L C. Oba rezonanční obvody zajišťují potřebnou selektivitu zesilovače. Aby nedocházelo k výrazného zhoršení jejich selektivních vlastností, jsou připojeny ke zdroji, tranzistoru i zátěži pomocí transformačních vazeb. Pro další popis vlastností úzkopásmového linearizovaného zesilovače nakresleného na obr. 5.8, sestavíme jeho schéma zapojení pouze pro střídavé signály. K tomu využijeme skutečnost, že bod napájecího napětí U N je pro střídavé signály spojen se zemí přes C N a také emitor tranzistoru je pro střídavé signály spojen se zemí přes C 3. Napěťový zdroj signálu nahradíme jeho ekvivalentním zdrojem proudu a tranzistor znázorníme jeho matematickým modelem s admitančními parametry. Výsledné schéma je nakresleno na obr Další zjednodušení schématu zapojení provedeme tak, že obvod z pohledu vstupní svorky tranzistoru včetně zdroje signálu (na obr. 5.9 ohraničen čárkovanou čarou) nahradíme podle věty o náhradním zdroji paralelním spojení proudového zdroje s proudem I g a admitance Y g. Podobně zjednodušíme i obvod z pohledu výstupní svorky tranzistoru, který nahradíme admitancí Y z. Výsledné obecné náhradní zapojení zesilovače je nakresleno na obr. 5.. Obr. 5.9 Schéma zapojení zesilovače z obr. 5.8 pouze pro střídavé signály Obr. 5. Obecné náhradní zapojení zesilovače

118 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obecné zapojení zesilovače na obr. 5. můžeme matematicky popsat čtyřmi rovnicemi I Ig Yg U (5.44) I = Yz U, (5.45) I = y U + y U, (5.46) I = y U + y. (5.47) U Rovnice (5.44) popisuje vstupní obvod, rovnice (5.45) výstupní obvod a rovnice (5.46) a (5.47) jsou dvojbranové admitanční rovnice tranzistoru. Jednoduchými matematickými postupy můžeme z těchto rovnic odvodit základní obvodové funkce zesilovače. Vstupní admitance zesilovače Y vst je definovaná vztahem Y vst = G vst I yy + j Bvst = = y (5.48) U y + Y a je funkcí admitance zátěže Y z. Při Y z = stanovíme vstupní admitanci ze vztahu yy = y. (5.49) Y vst y Jestliže Y z (výstup tranzistoru nakrátko), bude Y vst = y což odpovídá definici parametru y tranzistoru. Velice důležitý stav nastane při y =, tj. když vnitřní zpětná vazba tranzistoru bude nulová nebo zanedbatelně malá. Potom bude opět platit Y vst = y a jakákoliv změna admitance na výstupu tranzistoru se na jeho vstupu neprojeví. To je výhodné v případě, kdy ladíme výstupní rezonanční obvod a neovlivňujeme tím nastavení rezonančního obvodu na vstupu tranzistoru. Výstupní admitance zesilovače (uvažujeme I = ) se určí ze vztahu g z Y výst = G výst I yy + j Bvýst = = y. (5.5) U y + Y g Výstupní admitance Y výst je funkcí admitance generátoru Y g. Tuto závislost můžeme opět odstranit splněním podmínky y =. Rozbor použití vztahu (5.5) je obdobný jako v případě vztahu pro vstupní admitanci. Je-li tranzistor popsán matematickým modelem s rozptylovými parametry S, je vhodnější místo Y vst a Y výst používat vyjádření pomocí činitele odrazu Γ. Uvažujme proto připojení generátoru a zátěže k tranzistoru pomocí vedení s charakteristickou impedancí Zc = Yc při níž jsou definovány S parametry tranzistoru. V praxi nejčastěji platí Z c = R c = 5Ω a tedy Yc = Gc = ms. Potom je možné připojení zdroje a zátěže vyjádřit pomocí činitele odrazu na straně generátoru resp. zátěže vztahy Y Y c g Γ g = resp. Yc + Yg Pro činitele odrazu na vstupu resp. výstupu tranzistoru lze podle [4] psát Y Y c z Γ z =. (5.5a,b) Yc + Yz Γ vst s s Γ z = s + resp. s Γz Γ výst s s Γ g = s +. (5.5a,b) s Γg Napěťové zesílení se vypočítá podle vztahu

119 Vysokofrekvenční technika a antény 7 A u U = U y = y + Y z. (5.53) Poněvadž je definováno jako poměr komplexních amplitud výstupního a vstupního napětí tranzistoru, je bezrozměrnou komplexní veličinou. Nezávisí na vlastnostech generátoru, ale je funkcí zátěže a parametrů tranzistoru. Maximální hodnoty nabývá modul A u při Y z =, kdy je tranzistor naprázdno. Pro Y je A =. z u Proudová zesílení jsou definována dvěma vztahy podle toho, který z proudů považujeme za vstupní A i I y z = =, I y( y + Yz ) y y Y A I y Y z i = =. (5.54a,b) Ig ( y + Yg )( y + Yz ) y y Proudové zesílení je také bezrozměrnou komplexní veličinou. Při Y z = je A i =, neboť výstup tranzistoru je naprázdno. Pro Y z, kdy je výstup tranzistoru nakrátko, je A i = y y. Na rozdíl od napěťového a proudového zesílení je výkonové zesílení (Power Gain) bezrozměrnou skalární veličinou. Obecně je definováno jako poměr činného výkonu dodávaného do zátěže a činného výkonu dodávaného zdrojem do vstupu tranzistoru. Poněvadž napětí a proudy na obr. 5. jsou komplexní amplitudy a činný výkon se vyjadřuje efektivními hodnotami napětí a proudů, budou mít vztahy pro P z a P vst tvar P U z Re Y z = ( ) nebo I Pz = Re Yz, (5.55a,b) P U vst Re Y vst = ( ) nebo I Pvst = Re Yvst. (5.56a,b) Obecné výkonové zesílení (vstup i výstup tranzistoru nemusí být přizpůsobeny) definujeme pomocí vztahů (5.55) a (5.56) A P = P P z vst U Re = U Re ( Y ) ( Y ) I Re Yz = = I Re Yvst ( Yz ) ( Y ) z Re Au = Ai Re vst vst Re Yz Re Yvst. (5.57) Provozní výkonové zesílení je poměr činného výkonu dodávaného do zátěže (nemusí být přizpůsobena) a činného výkonu dodávaného generátorem do vstupu tranzistoru za podmínky výkonového přizpůsobení, kdy platí Y Y. g = vst Dosažitelné výkonové zesílení je poměr činného dosažitelného výkonu P výsta, který je tranzistor schopen dodat do přizpůsobené zátěže a činného dosažitelného výkonu P ga, který je generátor schopen dodat do přizpůsobeného vstupu tranzistoru. Vstup i výstup tranzistoru nemusí být přizpůsobeny. Obecně platí, že dosažitelný výkon zdroje nezávisí na zátěži a je funkcí pouze parametrů zdroje. Maximální dosažitelné výkonové zesílení je poměr činného výkonu dodávaného do zátěže za podmínky výkonového přizpůsobení ( Y z = Y výst ) a činného výkonu dodávaného gene- rátorem do vstupu tranzistoru také za podmínky výkonového přizpůsobení ( Y g = Y vst ). Definice platí pro absolutně stabilní tranzistor.

120 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Z pohledu stability můžeme zesilovače (obecně dvojbrany) rozdělit do dvou skupin. První skupinu tvoří zesilovače, u kterých je G vst > a současně G výst > při libovolné pasivní admitanci zátěže Y z resp. generátoru Y g. Pro pasivní admitance přitom platí G z > nebo Γ z < resp. G g > nebo Γ g <. U druhé skupiny zesilovačů může při určitých hodnotách pasivní admitance zátěže Y z resp. generátoru Y g platit G vst < nebo G výst < a zesilovač může být nestabilní. Na základě uvedeného rozdělení je možné definovat pojmy absolutní stabilita a potenciální nestabilita. Zesilovač je absolutně stabilní, jestliže připojením libovolných kladných vodivostí ke vstupu nebo výstupu platí G > a současně G >. vst Zesilovač je potenciálně nestabilní, jestliže existují určité hodnoty kladných vodivostí, pro které (po připojení ke vstupu nebo výstupu) platí G < nebo G <. Podmínky stabilního režimu zesilovače G vst > resp. G výst > je možné vyjádřit také pomocí činitelů odrazu, a to relacemi Γ < resp. Γ <. vst K vyšetřování stability zesilovače (dvojbranu) existuje řada kritérií. Ne všechna jsou však vhodná pro použití ve vysokofrekvenční technice. Zde se nejčastěji používá imitanční kritérium, využívající admitančních nebo rozptylových parametrů, pomocí kterých se stanoví tzv. Rolletův činitel stability definovaný vztahem k R výst výst vst gg Re( yy ) =. (5.58) Pokud platí k >, je zesilovač absolutně stabilní, je-li k < je potenciálně nestabilní. R y Při popisu šumových vlastností zesilovače se již nezkoumají jeho jednotlivé vnitřní zdroje šumu, ale obvykle pomocí jedné veličiny jsou charakterizovány jeho výsledné šumové vlastnosti. Šumový činitel F (Noise Factor) linearizovaného zesilovače (obecně lineárního dvojbranu) je definován vztahem sg y švýst R šg F =, (5.59) Psvýst P kde P sg je výkon signálu na vstupu zesilovače, P šg je výkon šumu na vstupu zesilovače, P svýst je výkon signálu na výstupu zesilovače, P švýst je výkon šumu na výstupu zesilovače. Vztah (5.59) můžeme dále upravit kde v šzes Pšvýst APaPšg + Pšzes P P šzes šzes F =. = = + = + = + F A P A P A kt B kt B šzes Pa Pa šg Pa šg P P Pa š výst š v, (5.6) P = P A je vlastní šumový výkon na výstupu zesilovače přepočítaný na vstup a F je vlastní šumový činitel zesilovače. Šumový činitel je bezrozměrné číslo, které udává, kolikrát je větší poměr signál/šum na vstupu zesilovače než na jeho výstupu. Pro reálný zesilovač platí F >, pro ideální nešumící zesilovač je = F. Šumové číslo F db (Noise Figure) je šumový činitel vyjádřený v db podle vztahu

121 Vysokofrekvenční technika a antény 9 F db = log F. (5.6) Uvažujme kaskádu zesilovačů zapojených podle obr. 5.. První zesilovač má šumový činitel F a dosažitelné výkonové zesílení A Pa, druhý F a A Pa, atd. Výsledný šumový činitel této kaskády zesilovačů je určen Friisovým vzorcem F F3 F4 F = F (5.6) A A A A A A Pa Pa Pa Pa Pa Pa3 Generátor F, A Pa F, A Pa F 3, A Pa3 F 4, A Pa4... Obr. 5. Kaskádní řazení zesilovačů V případě, že zesílení A Pa bude dostatečně veliké, lze druhý, třetí a další členy pravé strany vzorce (5.6) zanedbat a výsledný šumový činitel bude určen především šumovým činitelem prvního zesilovače, tj. F F. Pro dosažení minimálního šumového činitele je tedy důležité, jak budou jednotlivé zesilovače v kaskádě seřazeny. Úzkopásmový linearizovaný zesilovač vykazuje určité selektivní vlastnosti. Je-li na jeho vstupu pouze šumový signál s konstantní spektrální hustotou výkonu (bílý šum), potom na výstupu dostáváme tzv. selektivní šum, jehož spektrální hustota výkonu nabývá maximální hodnoty p ( f ) obvykle na rezonančním kmitočtu selektivního obvodu zesilovače, jak je nakresleno na obr. 5.. Šumová šířka pásma B š zesilovače se určí na základě rovnosti celkového šumového výkonu na výstupu zesilovače a ekvivalentního šumového výkonu, který bychom získali na výstupu zesilovače s ideální obdélníkovou přenosovou charakteristikou. Podle obr. 5. musí platit, že plocha pod křivkou () f platí p se rovná ploše obdélníka se stranami ( ) p () f df = p( f ) B p f a š B. Pro šumové výkony š Bš = () ( ) p f df. (5.63) p f Pro stanovení B š se někdy místo kmitočtové závislosti p ( f ) využívá kmitočtové závislosti výkonového zesílení A P zesilovače [9]. Z uvedené definice je zřejmé, že šumová šířka pásma B š není totožná s šířkou pásma B pro pokles o db 3. Obr. 5. Grafické znázornění šumové šířky pásma Obr. 5.3 Upravené schéma zapojení zesilovače

122 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 5.. Analýza zesilovače Uvažujme jednostupňový zesilovač, jehož schéma zapojení pro střídavé signály je nakresleno na obr S využitím transformačních vlastností rezonančních obvodů překreslíme schéma do podoby uvedené na obr Z důvodu obecnějšího přístupu uvažujme místo odporu generátoru R G admitanci Y G a místo odporu zátěže R Z admitanci Y Z. Celkovou admitanci připojenou ke vstupní svorce tranzistoru označíme Y a celkovou admitanci připojenou k výstupní svorce tranzistoru označíme Y. Pro tyto admitance platí = Y + Y y, Y = y + Y + YZ Y G + Dvojbranové admitanční rovnice celého zesilovače mají tvar I = Y U + y U, I y U + Y U. (5.64a,b) =. (5.65a,b) Admitance Y resp. Y popisují výsledné rezonanční obvody na vstupu resp. výstupu tranzistoru, a proto je můžeme vyjádřit ve tvaru kde Y = G ( + α ), Y = G ( + α ) (5.66a,b) j G = GG + G + g j, G = g + G + GZ (5.67a,b) Do dvojbranových rovnic (5.65) dosadíme za Y, Y z (5.66) a přepíšeme je do maticového tvaru I I = G ( + jα ) Determinant admitanční matice bude po úpravě y G y U. (5.68) ( + jα ) U yy + jα G = G det Y G G. (5.69) + jα j Součin admitančních parametrů můžeme vyjádřit v polárním tvaru ( ϕ +ϕ y ) y = yy e. Zavedeme nové veličiny, a to regenerační úhel Φ = ϕ + ϕ (5.7) a regenerační činitel zesilovače T, definovaný vztahem y y T =. (5.7) GG Položíme-li determinant admitanční matice roven nule, získáme rovnici, ze které můžeme posoudit stabilitu zesilovače. Dosazením (5.7) a (5.7) do (5.69), s přihlédnutím, že G, G, dostaneme jφ ( + jα )( + jα ) T e. (5.7) = Uvažujme případ, kdy výsledné rezonanční obvody na vstupu i výstupu zesilovače jsou identické, naladěné na stejný kmitočet a platí α = α = α. Z matematického pohledu se jedná o jisté zjednodušení vztahu (5.7), z pohledu stability však vyšetřujeme nejhorší případ. jφ Rovnice (5.7) má pro α = α = α tvar ( + jα ) T e =. Její řešení provedeme graficky

123 Vysokofrekvenční technika a antény podle []. První vektor ( + jα ) je popsán kartézskými souřadnicemi s reálnou částí Re ( + jα ) = α a imaginární částí Im ( + jα ) = α. Množinou koncových bodů vektorů ( + jα ) pro různé stupně rozladění α je parabola, nakreslená na obr. 5.4, s vrcholem v bodě jφ [, ] a ohniskem v počátku souřadnic. Druhý vektor T e v rovnici (5.7) je popsán polárními souřadnicemi. Jeho směr určuje regenerační úhel Φ, který svírá vektor s kladným směrem reálné osy. Regenerační úhel závisí pouze na parametrech tranzistoru a pro zapojení SE bývá v rozmezí Φ = 9 8, podle typu tranzistoru a hodnoty kmitočtu. Velikost vektoru je určena vztahem (5.7) a závisí nejen na parametrech tranzistoru, ale i na součinu G G všech vodivostí připojených ke vstupní a výstupní svorce tranzistoru. Může se pohybovat v mezích < T < t, kde t je regenerační činitel tranzistoru definovaný vztahem y y t =. (5.73) g g Φ Rovnice (5.7) je splněna, jestliže oba vektory jsou shodné, tj. koncový bod vektoru T e j se dotýká paraboly. V tomto případě je zesilovač na mezi stability a tomu odpovídá mezní regenerační činitel T = Tm. Pokud je koncový bod vektoru T e uvnitř paraboly, tj. T < Tm (obr. jφ 5.5), pracuje zesilovač ve stabilním režimu, pokud je vně paraboly ( T > Tm ), zesilovač je nestabilní. Závislost činitele T m na úhlu Φ můžeme stanovit srovnáním reálných a imaginárních částí obou vektorů α cosφ a α = T sinφ, odkud po vyloučení α dostaneme = T m m m = + cosφ T. (5.74) Obr. 5.4 Mez stability jednostupňového Obr. 5.5 zesilovače s identickými rezonančními obvody Znázornění regeneračních činitelů Při vyšetřování stability zesilovače není tedy nutné obr. 5.4 kreslit, ale pro vypočítaný úhel Φ pouze stanovíme podle (5.74) mezní regenerační činitel T m. Skutečný regenerační činitel T daný vztahem (5.7) musí být několikráte menší než T m, aby zesilovač pracoval v režimu dostatečně vzdáleném od meze stability. K tomu účelu byl zaveden činitel stability S T T m =, (5.75)

124 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně jehož velikost se volí v rozmezí 3 až. Při velkých hodnotách činitele stability vychází podle (5.75) malá hodnota regeneračního činitele T, kterou zajistíme zvýšením hodnoty součinu G G, tj. větším zatížením vstupu a (nebo) výstupu tranzistoru. V takovém případě je sice zaručen stabilní režim, avšak za cenu malého zesílení zesilovače. Naopak při malých hodnotách činitele stability má regenerační činitel větší hodnotu a vstup resp. výstup tranzistoru nemusí být tolik zatížen připojenými vodivostmi. Zesilovač může dosáhnout dostatečného zesílení, avšak je náchylný k nestabilitě. Volba činitele stability S je tedy kompromisem mezi stabilním režimem zesilovače a jeho zesílením. Zvolený režim závisí na součinu G G a lze jej zajistit vhodných zatížením vstupu a (nebo) výstupu tranzistoru. Vnitřní zpětná vazba tranzistoru, v matematických modelech vyjádřená parametry y a s, způsobuje nejen vzájemné ovlivňování vstupu a výstupu zesilovače, ale má podstatný vliv i na jeho stabilitu. Při analýze zesilovače byla naznačena jedna z možností snížení jejího vlivu, spočívající v dostatečném zatížení vstupu a (nebo) výstupu tranzistoru, která však má za následek menší zesílení zesilovače. Dalšími možnostmi, které naopak umožňují dosáhnout velkých zesílení, jsou unilateralizace a použití kaskody [3] Základní body návrhu jednostupňového zesilovače Uvažujme jednostupňový zesilovač osazený bipolárním tranzistorem nebo tranzistorem řízeným elektrickým polem. Typ aktivního prvku se volí podle požadavků zadání. Hlavní důraz se obvykle klade na velký mezní kmitočet f T, malý šumový činitel F a dostatečné zesílení tranzistoru na pracovním kmitočtu. Klidový pracovní bod se volí buď podle doporučení výrobce nebo s ohledem na zvláštní požadavky zadání. Pro pracovní kmitočet, zvolený klidový pracovní bod a teplotu, při níž bude zesilovač pracovat, se určí z katalogu admitanční nebo rozptylové parametry tranzistoru. Při požadavku přesného návrhu je výhodnější změřit parametry konkrétního tranzistoru vhodným měřicím přístrojem. Podle vztahu (5.58) se vypočte Rolletův činitel stability. Jeho hodnota rozhodne o tom, zda tranzistor a tedy i zesilovač budou absolutně stabilní nebo potenciálně nestabilní. Současně se tím rozhodne o dalším postupu návrhu. Je-li tranzistor absolutně stabilní je možné připojit na vstup i výstup tranzistoru libovolné admitance a přitom nebude ohrožena stabilita zesilovače. Proto můžeme vstup i výstup tranzistoru výkonově přizpůsobit. Pokud požadujeme minimální šumový činitel tranzistoru, může být jeho vstup přizpůsoben šumově. Jako přizpůsobovací obvody, zajišťující výkonové přizpůsobení generátoru a zátěže, lze použít například články Γ popsané v [3]. Po návrhu těchto článků se provede výpočet potřebných obvodových funkcí zesilovače, především požadovaného zesílení. Jestliže výsledky nesplňují zadání, je třeba změnit přizpůsobení generátoru nebo zátěže a celý postup opakovat. Pokud výsledky odpovídají zadaným požadavkům je možné přistoupit k realizaci zesilovače. V případě, že tranzistor je potenciálně nestabilní, je prvořadým úkolem zajistit stabilní režim zesilovače. Lze toho dosáhnout třemi způsoby. Použití unilateralizace případně neutralizace [3]. Druhou možností zajištění stability je vhodné zatížení vstupní a (nebo) výstupní svorky tranzistoru. Výpočet se provede podle zvoleného činitele stability S. Výsledkem bude součin vodivostí G G, které musí být připojeny ke svorkám tranzistoru. Vstup a (nebo) výstup tranzistoru tak bude úmyslně nepřizpůsoben. Přidáním druhého tranzistoru, obvykle stejného typu, je možné sestavit kaskodu [3].

125 Vysokofrekvenční technika a antény 3 Následuje výpočet přizpůsobovacích obvodů, které v případě unilateralizace a kaskody mohou být navrženy na výkonové přizpůsobení vstupu i výstupu. Po jejich návrhu se provádí výpočty požadovaných obvodových funkcí zesilovače. Podle dosažených výsledků je návrh buď ukončen nebo je třeba změnit způsob zajištění stability a výpočty opakovat. Uvedené základní body návrhu zesilovače neobsahují informace o důležité vlastnosti zesilovače jeho selektivitě. V následujícím jednoduchém příkladu bude naznačeno, jakým způsobem je možné požadavek selektivity do návrhu zesilovače zahrnout. Zvolené zapojení zesilovače je nakresleno na obr Zadány jsou parametry generátoru a zátěže, střední kmitočet zesilovače f a jeho šířka pásma. Zesilovač má být dostatečně stabilní. Selektivita zesilovače je určena dvěma rezonančními obvody se stejnou šířkou pásma B, naladěnými na stejný kmitočet f. Pro přizpůsobení zdroje a zátěže je využito transformačních vlastností rezonančních obvodů. Návrhový postup se skládá ze tří hlavních kroků: a) řešení vstupního obvodu, b) řešení stability zesilovače, c) řešení výstupního obvodu. Obr. 5.6 Příklad zapojení jednostupňového zesilovače (schéma pro střídavé signály) a) Pro rezonanční obvod na vstupu zesilovače můžeme stanovit tři podmínky : podmínku šířky pásma p GG + G + pg = G = π BC, (5.76) C = C C C +, kde ( ) C podmínku přizpůsobení zdroje k rezonančnímu obvodu např. výkonové přizpůsobení pg G =, (5.77) p G G + podmínku přizpůsobení tranzistoru k rezonančnímu obvodu např. šumové přizpůsobení G p GG + G Gopt =. (5.78) p Všechny tři uvedené podmínky však nemohou být splněny současně (obvod by byl přeurčen). Proto podle požadavků zadání zvolíme z těchto tří podmínek libovolné dvě. Po výpočtu neznámých transformačních činitelů p a p potom zkontrolujeme platnost zbylé podmínky. Pokud je pro požadavky zadání přijatelná, pokračujeme v návrhu. V případě, kdy nevyhovuje zadání, je třeba zvolené podmínky nepatrně pozměnit a výpočet opakovat. Pro další postup předpokládejme platnost podmínek (5.76) a (5.78). Kontrola vztahu (5.77) ukáže, že podmínka výkonového přizpůsobení zdroje k rezonančnímu obvodu není splněna. Pokud však nepřizpůsobení v tomto bodě není významné (zjistíme výpočtem činitele odrazu, případně výpočtem poměru stojatých vln), můžeme v návrhu pokračovat. Po návrhu vstupního rezonančního obvodu již můžeme určit celkovou vodivost G připojenou ke vstupní svorce tranzistoru, jejíž hodnota je důležitá pro řešení stability zesilovače. V našem případě platí G = GGopt + g.

126 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně b) Pomocí známých admitančních parametrů tranzistoru stanovíme regenerační úhel Φ a vypočítáme mezní regenerační činitel T m. Požadavek dostatečné stability zesilovače zajistíme volbou činitele stability S = (při vyšších hodnotách by se již výrazně snížilo výkonové zesílení). Ze vztahu (5.75) určíme skutečný regenerační činitel T zesilovače. Nyní již můžeme podle vztahu (5.7) vypočítat součin vodivostí G G, kterými musí být zatížena vstupní a výstupní svorka tranzistoru, aby zesilovač pracoval s činitelem stability S =. Poněvadž vodivost G již známe z bodu a), můžeme určit vodivost G, která musí být připojena k výstupní svorce tranzistoru ( GG ) G =. (5.79) Je třeba připomenout, že vodivost G podle vztahu (5.67b) a obr. 5.3 sestává z vodivosti g a vnějších vodivostí připojených k výstupu tranzistoru. c) Pro rezonanční obvod na výstupu zesilovače můžeme stanovit obdobné tři podmínky jako pro vstupní obvod : podmínku šířky pásma g + G + p G = G = BC, (5.8) G p3 4 Z π podmínku přizpůsobení tranzistoru k rezonančnímu obvodu pokud preferujeme požadavky na stabilitu zesilovače, musí tato podmínka respektovat vztah (5.79), tj. musí platit p4g G g =, (5.8) p3 G Z + podmínku přizpůsobení zátěže k rezonančnímu obvodu například výkonové přizpůsobení p3g G =. (5.8) p4 G Z + Opět z důvodů přeurčení obvodu, nemohou být všechny tři uvedené podmínky splněny současně. Proto s ohledem na zadání vybereme libovolné dvě a po výpočtu neznámých transformačních činitelů p 3 a p 4 pouze zkontrolujeme platnost podmínky třetí. Pokud je pro návrh zesilovače přijatelná, pokračujeme v návrhu, jestliže nevyhovuje zadání, je třeba opět zvolené podmínky nepatrně pozměnit a výpočet opakovat. V našem případě, z důvodů zajištění dostatečné stability a selektivity zesilovače, zvolíme podmínky (5.8) a (5.8). Podmínka výkonového přizpůsobení (5.8) zřejmě nebude splněna. Vzniklé nepřizpůsobení je proto třeba vyhodnotit výpočtem činitele odrazu a rozhodnout, zda jeho hodnota je přijatelná nebo zda musí být proveden nový výpočet výstupního obvodu při změněných podmínkách. Pro dosažení velkého zesílení signálu, které není možné zajistit jednostupňovým zesilovačem, je třeba použít několikastupňový zesilovač. Jednotlivé zesilovací stupně včetně mezistupňových vazebních obvodů je možné navrhnout výše popsanými postupy, neboť pro každý stupeň představuje předchozí stupeň generátor a následující stupeň zátěž. Potřebný počet stupňů n se určí z požadovaného zisku zesilovače A P db a odhadu stabilního zisku jednoho stupně A Pstab db. Jestliže požadovaný zisk bude rovnoměrně rozložen na jednotlivé stupně, potom jejich počet můžeme určit ze vztahu A A P db Pstab db = n * n, (5.83)

127 Vysokofrekvenční technika a antény 5 kde z výsledku podílu n * stanovíme nejbližší vyšší přirozené číslo n. Požadovanou selektivitu několikastupňového zesilovače, obvykle zadanou výslednou šířkou pásma B V, můžeme zajistit souběžně laděnými nebo rozloženě laděnými selektivními obvody. U zesilovačů se souběžně laděnými selektivními obvody obsahuje každý stupeň selektivní obvod se stejnou šířkou pásma B, naladěný na stejný kmitočet f. Při použití jednoduchého paralelního rezonančního obvodu, resp. vázaných paralelních rezonančních obvodů, se šířka pásma jednoho stupně určí ze vztahu B =, resp. B V n B =. (5.84a,b) 4 B V n U zesilovačů s rozloženě laděnými selektivními obvody může mít každý stupeň jinou šířku pásma (jiný činitel jakosti selektivního obvodu) a může být naladěn na jiný kmitočet. Výsledná křivka selektivity se vytváří složením křivek selektivity jednotlivých stupňů. Uvedený způsob zajištění selektivity je však vhodnější pro širokopásmové aplikace. 5.3 Směšovače Směšovač je obvod, pomocí kterého se uskutečňuje přeměna (transpozice) kmitočtu vysokofrekvenčního signálu na jinou hodnotu, beze změny časového průběhu modulačního signálu a charakteru modulace. Pro svoji činnost potřebuje směšovač pomocný signál z oscilátoru (heterodynu), se kterým tvoří měnič kmitočtu. Jestliže směšovač i oscilátor jsou realizovány jediným aktivním prvkem - tranzistorem, nazývá se směšovač samokmitající [4], [5], [], [3]. Základem směšovače je nelineární prvek (dioda, tranzistor) nebo prvek realizující analogové násobení dvou signálů (dvojhradlový tranzistor FET). Podle fyzikálního principu, který je při směšování využit, rozdělujeme směšovače do dvou skupin. V první skupině jsou směšovače využívající ke směšování dvou signálů nelinearity PN přechodu diody nebo tranzistoru. Nazývají se aditivní směšovače. Druhou skupinu tvoří multiplikativní směšovače, u kterých ke směšování dvou signálů dochází jejich analogovým násobením. Tyto směšovače se realizují například dvojhradlovým tranzistorem FET nebo monolitickými integrovanými obvody. Obecné zapojení směšovače je nakresleno na obr Směšovač je na obrázku nakreslen jako trojbran, na jehož vstupní bránu se přivádí harmonický signál u s s kmitočtem f s a na druhou vstupní bránu se z oscilátoru přivádí pomocný harmonický signál u o s kmitočtem f o. Obr. 5.7 Obecné zapojení směšovače

128 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně V důsledku směšovacího procesu vznikne na výstupní bráně 3 směšovače signál u mf s harmonickými kmitočty f mf určenými obecným vztahem f mf = m f + n f, (5.85) kde m, n, jsou celá čísla (kladná nebo záporná nebo nula). Z tohoto spektra výstupního signálu se však využívá pouze jeden ze tří nejčastěji používaných mezifrekvenčních kmitočtů (Intermediate Frequency, IF), který se vybere vhodným pasivním pásmovým filtrem. Ostatní kmitočty jsou potom považovány za nežádoucí produkty směšování a jsou pásmovým filtrem potlačeny. Rozdílový mezifrekvenční kmitočet fmf = fs fo nebo fmf = fo fs se používá nejvíce v technice rádiových přijímačů a příslušný směšovač se nazývá kmitočtový konvertor dolů nebo down-convertor. Součtový mezifrekvenční kmitočet f mf = fs + fo se používá v technice rádiových vysílačů, měřicí technice, apod. a příslušný směšovač se nazývá kmitočtový konvertor nahoru nebo up-convertor. Menší obsah nežádoucích produktů směšování ve spektru výstupního signálu mají směšovače s tranzistory FET, díky téměř kvadratické převodní charakteristice, a tzv. vyvážené směšovače, u nichž jsou některé nežádoucí produkty potlačeny vhodným zapojením směšovače. Uvažujme směšovač jako nelineární odporový trojbran (obr. 5.7), který pracuje do čistě odporové zátěže. Na jednotlivých branách směšovače nechť jsou ideální filtry, které propustí pouze harmonický signál s příslušným kmitočtem. Dále uvažujme, že amplituda U s vstupního harmonického napětí o kmitočtu f s a amplituda U mf výstupního harmonického napětí o kmitočtu fmf = fo fs jsou tak malé, že se vůči nim chová směšovač jako kvazilineární obvod. Amplituda U o harmonického napětí oscilátoru s kmitočtem f o je naopak natolik veliká, že se pro tento signál plně projeví nelinearita směšovače a jeho parametry se budou měnit s periodou T o (kmitočtem f o ) signálu oscilátoru. s o Obr. 5.8 Směšovač jako nelineární trojbran a linearizovaný dvojbran s časově proměnnými parametry Za těchto předpokladů můžeme nelineární trojbran nahradit kvazilineárním dvojbranem s časově proměnnými parametry, jak je naznačeno na obr. 5.8, a popsat jej dvojbranovými rovnicemi s časově proměnnými admitančními parametry i i s () t = y ( t ) u ( t ) y ( t ) u ( t ), (5.86a) mf s + mf () t = y ( t ) u ( t ) y ( t ) u ( t ). (5.86b) s + Admitanční parametry jsou závislé na velikosti napětí oscilátoru a poněvadž jsou periodickými funkcemi času s periodou T o (kmitočtem f o, ω o ), můžeme je vyjádřit pomocí Fourierovy řady. Např. pro vstupní admitanci směšovače lze psát y () t = y ( ) + y ( n) cos [ nω t + ϕ ( n) ], mf n= o

129 Vysokofrekvenční technika a antény 7 kde y ( ) je střední hodnota neboli stejnosměrná složka, y ( n) je amplituda n - té harmonické a ϕ ( n) je počáteční fáze n - té harmonické složky periodického průběhu y () t. Po dosazení těchto vztahů do (5.86), kam dosadíme i za napětí u s ( t ) a u mf ( t ), a po provedení naznačených operací a úpravách trigonometrických vztahů, ponecháme u vstupního proudu i s ( t ) pouze složky s kmitočtem ω s (tj. i složku s kmitočtem ω o ωmf = ωs ) a u výstupního proudu i mf () t pouze složky s kmitočtem ω mf (tj. i složku s kmitočtem ω o ωs = ωmf ), tedy i i s mf () t = y ( ) Us cos ( ωst + ϕs ) +,5 y( ) Umf cos [ ωst + ϕ( ) ϕmf ], (5.87a) () t =,5 y () Us cos [ ω mf t + ϕ( ) ϕs ] + y ( ) Umf cos ( ωmf t + ϕmf ). (5.87b) Ze vztahů (5.87) vyplývá, že jak vstupní, tak i výstupní proud kvazilineárního dvojbranu je roven součtu dvou harmonických složek stejného kmitočtu. Vyjádřením proudů a napětí pomocí komplexních amplitud se vztahy (5.87) zjednoduší do tvaru I s = y ( ) Us +,5 y( ) U mf, (5.88a) I mf =,5 y ( ) U s + y ( ) Umf, (5.88b) j ϕs j kde U s = Us e, [ ϕ ( ) ϕ U mf ] mf = Umf e j ( ), [ ϕ ϕ s ] j ϕ U s = Us e, U mf mf = Umf e. Ze vztahů (5.88) můžeme definovat směšovací neboli konverzní parametry směšovače: I s y = ( )... vstupní admitance směšovače, (5.89a) sm = y Us U mf = I s y =,5 ()... zpětnovazební admitance směšovače, (5.89b) sm = y U mf Us = I mf y =,5 ().. přenosová admitance směšovače (směšovací strmost), (5.89c) sm = y U s Umf = I mf y = ( )... výstupní admitance směšovače. (5.89d) sm = y Umf U s = Dvojbranové admitanční rovnice směšovače mají tedy tvar I = y s I mf sm Us + y sm Umf, (5.9a) = y y U (5.9b) sm Us + a jsou formálně stejné jako dvojbranové admitanční rovnice popisující úzkopásmový linearizovaný zesilovač nebo tranzistor. Rozdíl je pouze v tom, že na vstupu směšovače je signál jiného kmitočtu než na jeho výstupu. Proto jsou přenosové směšovací parametry definovány pomocí proudů a napětí různých kmitočtů. Směšovací (konverzní) parametry můžeme použít pro výpočet libovolné obvodové funkce směšovače, stejně jako admitanční parametry linearizovaných zesilovačů nebo tranzistorů. Všechny dosud uvedené vztahy pro výpočet obvodových funkcí zesilovače, platí i pro směšovač. Nežádoucí produkty směšování s kmitočty podle vztahu (5.85), které směšovacím procesem vznikají, lze odstranit dostatečně selektivním filtrem připojeným na výstup směšovače. U každého směšovače však může dojít k rušení, jehož příčinou jsou nežádoucí vstupní signály mezifrekvenčního kmitočtu f mf a tzv. zrcadlového kmitočtu f zr. Uvažujme směšovač s mezifrekvenčním kmitočtem f = f f. V případě, kdy na vstup směšovače přichází kromě uži- mf o s sm mf

130 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně tečného signálu s kmitočtem f s i nežádoucí signál s kmitočtem f mf, budou na výstupu směšovače dvě složky se stejným kmitočtem f mf. Jedna, která vznikne požadovaným směšovacím procesem, a druhá nežádoucí, která vznikne pouze zesílením nežádoucího vstupního signálu. Obě složky propustí selektivní filtr do zátěže. Druhým nežádoucím vstupním signálem je signál se zrcadlovým kmitočtem, jehož poloha ve spektru je nakreslena na obr I v tomto případě vzniknou na výstupu směšovače dvě složky se stejným kmitočtem f mf. Kromě požadované složky fmf = fo fs vznikne směšovacím procesem i složka fmf = fzr fo. Selektivní filtr nepozná, že tato složka vznikla z nežádoucího signálu a propustí ji do zátěže. Pro kmitočet zrcadlového signálu platí f = f ± f, (5.9) zr s kde znaménko plus platí pro směšovač s mezifrekvenčním kmitočtem fmf = fo fs (obr. 5.9) a znaménko minus platí pro směšovač s mezifrekvenčním kmitočtem fmf = fs fo, tj. kmitočet užitečného signálu je vyšší než kmitočet oscilátoru. Nežádoucímu rušení signálem mezifrekvenčního nebo zrcadlového kmitočtu lze zabránit pouze účinnou filtrací vstupního signálu směšovače. Na obr. 5.3 jsou nakreslena základní zapojení aditivních směšovačů. Předpokladem jejich správné činnosti je co nejmenší vnitřní impedance (ideálně zkrat) obou zdrojů pro signály všech kmitočtů a dostatečně vysoká jakost výstupního rezonančního obvodu. U multiplikativního směšovače (obr. 5.3a) je vstupní signál obvykle přiveden na hradlo G a signál z oscilátoru na hradlo G. Velkým harmonickým signálem z oscilátoru je ovlivňována strmost S tranzistoru, jejíž časový průběh je proto také (téměř) harmonický. Pro výstupní proud tranzistoru platí i mf mf () t = u () t S() t = u ( t ) k u ( t ) = U cosω t. k. U cosω t, (5.9) s s o Obr. 5.9 Poloha spektrálních složek mezifrekvenčního a zrcadlového kmitočtu kde k je konstanta. Poněvadž ve vztahu (5.9) je součin vstupních signálů, označují se tyto směšovače názvem násobící neboli multiplikativní. a) b) c) s s o o Obr. 5.3 Příklady zapojení aditivních směšovačů Výhodou multiplikativního směšovače je téměř dokonalé oddělení zdrojů užitečného signálu a signálu oscilátoru. Navíc, díky vysoké vstupní impedanci obou hradel tranzistoru FET, jsou oba zdroje minimálně zatěžovány, což je důležité především pro dosažení vysoké stability kmitočtu oscilátoru. Vzhledem k téměř kvadratické převodní charakteristice tranzistorů FET vzniká u tohoto směšovače i minimální množství nežádoucích produktů směšování.

131 Vysokofrekvenční technika a antény 9 a) b) c) Obr. 5.3 a) Multiplikativní směšovač, b) zjednodušené schéma zapojení samokmitajícího směšovače, c) obvod oscilátoru samokmitajícího směšovače Jestliže oscilátor i směšovač jsou realizovány s jediným tranzistorem, nazývá se směšovač samokmitající. Jako samokmitající směšovač může pracovat téměř libovolný oscilátor, který je vhodně doplněn vstupními a výstupními obvody. Kladná zpětná vazba se v tomto případě nastavuje na větší hodnotu, než odpovídá podmínce udržení kmitů, protože pro účely směšování je třeba vybudit tranzistor až do nelineární oblasti. Schéma zapojení samokmitajícího směšovače pro střídavé signály je nakresleno na obr. 5.3b. Jako směšovač pracuje tranzistor v zapojení SE, jako oscilátor v zapojení SB, jak je nakresleno na obr. 5.3c. Činitelé jakosti všech rezonančních obvodů i jednotlivé kmitočty f s, f o, f mf, musí být voleny tak, aby každý rezonančním obvod představoval zkrat pro signály s kmitočty spadajících do pásem propustnosti zbylých dvou rezonančních obvodů. Obvodově složitější jsou směšovače se zvýšenou odolností proti vzniku nežádoucích produktů směšování, které se také označují názvem vyvážené směšovače. Podstata těchto zapojení spočívá ve vhodném propojení několika nelineárních prvků (diod nebo tranzistorů) se společnou zátěží, kde se nežádoucí produkty směšování, vznikající v každém prvku, vzájemně vyruší. Tato zapojení ovšem vyžadují výběr nelineárních prvků se shodnými charakteristikami. Příklad zapojení vyváženého směšovače se dvěma tranzistory je zjednodušeně naznačen na obr Modulátory Obr. 5.3 Zjednodušené schéma zapojení vyváženého směšovače Modulace s nosnými vlnami využívají harmonický nosný signál s () t = S cos ( ω t + ϕ ), který má tři parametry: amplitudu S, kmitočet ω a počáteční fázi ϕ. Symbol s obecně vyjadřuje napětí nebo proud. Ovlivňováním jednotlivých parametrů, podle okamžitých hodnot modulačního signálu, vzniká amplitudová modulace AM (Amplitude Modulation), kmitočtová modulace FM (Frequency Modulation) a fázová modulace PM (Phase Modulation). Kmitočtová a fázová modulace se někdy označují společným názvem úhlové modulace. Obvody, ve kterých se vytváří modulovaný signál, se nazývají modulátory [4], [5]. Základním typem amplitudových modulací je amplitudová modulace s oběma postranními pásmy a nepotlačenou nosnou AM. V řadě aplikací se využívají různé varianty AM, kdy se přenáší obě nebo jedno postranní pásmo, případně kdy je potlačena nosná částečně nebo úplně. Jsou-li přenášena obě postranní pásma a nosná je potlačena úplně nebo jen částečně, vytváří se amplitudová modulace s oběma postranními pásmy DSB (Double Side Band). V případě, kdy je nosná potlačena úplně, je označení doplněno zkratkou SC (Supres-

132 3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně sed Carrier), tj. DSB SC nebo DSB SC. Přenáší-li se pouze jediné postranní pásmo a úplně nebo částečně potlačená nosná, vzniká amplitudová modulace s jedním potlačeným postranním pásmem SSB (Single Side Band), resp. SSB SC, SSB SC. Při přenosu jednoho úplného a jednoho částečně potlačeného postranního pásma vzniká amplitudová modulace s jedním částečně potlačeným postranním pásmem VSB (Vestigial Side Band), obvykle bez potlačené nosné. V případě kvadraturní amplitudové QAM (Quadrature Amplitude Modulation) se používají dvě nosné se stejnými kmitočty, ale se vzájemným fázovým posuvem 9, přičemž každá nosná může být modulovaná jiným modulačním signálem a může být částečně nebo úplně potlačena. Je-li modulační signál analogový, nazývají se modulace analogové. U digitálních modulací je nosná modulovaná signálem některé diskrétní modulace v základním pásmu. Nejčastěji se používá signál PCM, který nabývá pouze hodnot odpovídajících bitu a bitu. U dvojstavových modulací může příslušný parametr nosné nabývat pouze dvou různých hodnot, u vícestavových modulací může mít nosná více stavů. Při ovlivňování jednotlivých parametrů nosné se provádí obecně M-stavové klíčování amplitudovým zdvihem M-ASK (Amplitude Shift Keying), M-stavové klíčování kmitočtovým zdvihem M-FSK (Frequency Shift Keying) nebo M-stavové klíčování fázovým zdvihem M-PSK (Phase Shift Keying). Variantami těchto základních digitálních modulací jsou QAM, MSK, GMSK, atd. V této kapitole bude věnována pozornost analogovým modulacím s nosnými vlnami. Obr Blokové schéma modulátoru Základní blokové schéma modulátoru je nakresleno na obr Na vstupy modulátoru se přivádí modulační signál s m () t a signál nosné. Na výstupu modulátoru je signál modulovaný, který má obecně tvar s () t = S() t cosφ () t, kde Φ () t = ω() t dt ϕ() t. (5.93a,b) t + Statická modulační charakteristika modulátoru je závislost modulované veličiny, tj. S () t pro AM, ω () t pro FM, ϕ () t pro PM, nebo její změny S( t ), ω( t ), ϕ( t ), na stejnosměrném napětí přiváděném k té elektrodě aktivního prvku, kam se při normálním provozu modulátoru přivádí modulační signál. Z této charakteristiky (obr. 5.34a) je možné určit polohu klidového pracovního bodu aktivního prvku a maximální velikost (rozkmit) modulačního signálu (případně i veličiny S, ω, ϕ ). a) b) c) Obr Charakteristiky modulátoru: a) statická, b) dynamická amplitudová, c) dynamická útlumová Dynamická modulační charakteristika modulátoru je závislost modulované veličiny, tj. S ( t ) pro AM, ω () t pro FM, ϕ ( t ) pro PM, nebo její změny S( t ), ω( t ), ϕ( t ), na amplitudě S m mo-

133 Vysokofrekvenční technika a antény 3 dulačního signálu (amplitudová charakteristika) nebo kmitočtu Ω modulačního signálu (útlumová charakteristika). Obě charakteristiky se měří harmonickým modulačním signálem. Při měření dynamické amplitudové modulační charakteristiky jsou konstantní všechna ostatní napětí i kmitočet modulačního signálu a poloha klidového pracovního bodu se nemění. Z tohoto průběhu se určuje maximální amplituda modulačního signálu a tomu odpovídající maximální zdvih (amplitudový, kmitočtový nebo fázový) pro lineární část charakteristiky (obr. 5.34b). Podobně se měří dynamická útlumová modulační charakteristika, kdy místo konstantního kmitočtu modulačního signálu je konstantní jeho amplituda. Pomocí této charakteristiky se hodnotí lineární zkreslení modulovaného signálu (obr. 5.34c) Modulátory AM Uvažujme základní typ amplitudové modulace. Pro harmonický modulační signál (napětí) u () t = U cos Ω t, dostáváme amplitudově modulovaný signál ve tvaru m m ( t ) = U ( + m cos Ω t ) ω t, (5.94) u AM cos kde m = Um U je hloubka amplitudové modulace. Podle mezních výkonů AM signálu a výkonu nosné se u modulátorů AM rozlišují tři základní režimy činnosti: režim maximální (zkratka max ), režim nosné (zkratka nosné ) a režim minimální (zkratka min ). Modulátory AM můžeme realizovat s nelineárním nebo parametrickým prvkem. Výhodnější je modulace na vyšší výkonové úrovni vzhledem k dosažení lepší výkonové bilance. Výstupní napětí modulátoru je úměrné. harmonické výstupního proudu, která musí být úměrná modulačnímu signálu. Toho se dá dosáhnout změnou napájecích napětí na elektrodách aktivního prvku. U modulátoru s kolektorovou modulací dochází k modulaci změnou napájecího napětí kolektoru tranzistoru, který je v zapojení SE. Zjednodušené schéma takového modulátoru je nakresleno na obr Ke vstupu tranzistoru je připojen zdroj nosné s napětím ube = UBE cosωt. Zdroj modulačního signálu um = Um cos Ω t je zapojen v sérii se stejnosměrným napájecím napětím U CE. Zátěží tranzistoru je paralelní rezonanční obvod s šířkou pásma B = Ω. Zátěží modulátoru je rezistor R Z, který se rovněž podílí na výsledném činiteli jakosti rezonančního obvodu. Činnost modulátoru je obdobná jako činnost výkonového zesilovače, u něhož se mění (relativně pomalu) napájecí napětí podle vztahu Unap = UCE + Um cos Ω t. Pro jednotlivé režimu modulátoru je napájecí napětí tranzistoru Unap = UCE Um... režim minimální, U nap = U CE... režim nosné, U = U + U... režim maximální. nap CE m T C L L R Dosažení přibližně lineární závislosti mezi amplitudou. harmonické kolektorového proudu I C tranzistoru a napájecím napětím U nap (je úměrné modulačnímu signálu) je možné pouze v nadkritickém režimu OCR. Při podkritickém režimu SCR by se při změně napětí U nap téměř neměnila velikost impulsů kolektorového proudu a tedy ani jejich. harmonická. U U U U U Obr Zjednodušené schéma modulátoru s kolektorovou modulací

134 3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Na obr je nakreslena statická modulační charakteristika. Její dolní ohyb je nepatrný, takže hloubka lineární modulace může být téměř %. Na charakteristice jsou vyznačeny dva významné body, tzv. telegrafní bod Tlg a telefonní bod Tlf. V telegrafním bodě končí lineární úsek charakteristiky a začíná úsek nelineární. Jeho poloha odpovídá kritickému stavu a modulátor v něm pracuje s největším výkonem. Telefonní bod je umístěn uprostřed lineární části charakteristiky a modulátor v něm dosahuje maximální hloubky modulace bez zkreslení signálu. Zdroj modulačního signálu, připojený k modulátoru v místě s velkou výkonovou úrovní, musí mít dostatečně velký výkon P m, který se bude výrazně podílet na celkové výkonové bilanci modulátoru. Vysoká a konstantní účinnost ( η max = η nosné = ηmin ) odpovídající klasickému vf výkonovému zesilovači pracujícímu v optimálním režimu, je velkou předností modulátoru s kolektorovou modulací, spolu s jeho maximální hloubkou modulace (téměř %). Nevýhodou je nutnost použití výkonového zdroje modulačního signálu. U modulátoru s bázovou modulací jsou zdroj nosné s napětím ube = UBE cosωt i zdroj modulačního signálu um = Um cos Ω t připojeny ke vstupu tranzistoru. K modulaci tedy dochází změnou napětí báze - emitor tranzistoru a zdroj modulačního signálu proto nemusí být výkonový. Poněvadž vstupní charakteristika tranzistoru je nelineární, je nelineární i statická modulační charakteristika modulátoru. Na této charakteristice lze opět stanovit telegrafní a telefonní bod. V důsledku velké nelinearity statické charakteristiky dosahují tyto modulátory maximální hloubky modulace (pro přijatelné zkreslení) 4 5%. Modulátor pracuje opět jako výkonový zesilovač, u něhož se klidový pracovní bod pohybuje (relativně pomalu) v síti výstupních charakteristik tranzistoru působením modulačního signálu. V tomto případě však modulátor s bázovou modulací pracuje v podkritickém režimu, a proto jeho výkonová bilance bude horší než u modulátoru s kolektorovou modulací. Účinnost modulátoru s bázovou modulací se mění v závislosti na hloubce modulace a dosahuje nízkých hodnot, což je jeho nevýhoda. Další nevýhodou je malá hloubka lineární modulace. Výhodou je naopak jednoduchost modulátoru a malý výkon zdroje modulačního signálu Modulátory FM U kmitočtové modulace, která je variantou úhlové modulace, se okamžitý kmitočet modulovaného signálu mění v závislosti na velikosti modulačního signálu. Pro harmonický modulační signál (napětí) u () t = U cos Ω t, má kmitočtově modulovaný signál tvar kde m m u FM () t U [ ω t + β sin t] = cos Ω, (5.95) β = f F = ω Ω je index kmitočtové modulace, f = k FM U m je kmitočtový zdvih (deviace) signálu, F je modulační kmitočet a k je kmitočtová citlivost modulátoru FM, závislá na jeho konstrukci. FM Obr Statická modulační charakteristika modulátoru s kolektorovou modulací

135 Vysokofrekvenční technika a antény 33 Spektrum kmitočtově modulovaného signálu, při harmonickém modulačním signálu, se stanoví pomocí Besselových funkcí prvního druhu, nultého až n - tého řádu, argumentu β. Velikost nosné je určena Besselovou funkcí J ( β ) prvního druhu nultého řádu a při určitých hodnotách β může být i nulová. Spektrum modulovaného signálu je v obecném případě nekonečně široké. V praxi se jeho potřebná šířka pásma určuje podle Carsonova vzorce B FM ( F + f ) = F ( + β ). (5.96) Ze srovnání známých vztahů pro kmitočtově a fázově modulovaný signál vyplývá, že oba signály budou identické, tj. budou mít stejný časový průběh i stejné spektrum, jestliže bude platit obecný vztah t fm FM () t ϕ f PM () m t, (5.97) ω = kde ω je kmitočtový zdvih kmitočtové modulace, ϕ je fázový zdvih fázové modulace a fm FM () t resp. fm PM ( t ) jsou příslušné normované modulační signály, nabývající hodnot v rozmezí až +. Ze vztahu (5.97) vyplývá, že kmitočtově modulovaný signál můžeme vytvořit buď přímo pomocí modulátoru FM, na jehož vstup přivedeme modulační signál fm FM ( t ), nebo nepřímo pomocí modulátoru PM, na jehož vstup přivedeme tentýž modulační signál podrobený integraci. Modulátory pro přímou FM jsou nejčastěji realizovány oscilátorem řízeným napětím VCO. Je možné použít například přeladitelný oscilátor LC a řídící obvod varikapu upravit podle obr Potenciometrem P se nastaví stejnosměrné napětí pro zajištění vhodného klidového pracovního bodu varikapu. Tím je nastaven kmitočet nosné. Ke stejnosměrnému napětí je superponováno modulační napětí z transformátoru Tr., které mění kapacitu varikapu, a tím i kmitočet nosné, podle velikosti modulačního signálu. Obr Zjednodušené schéma zapojení modulátoru pro přímou FM a) b) Obr Armstrong-Crosby modulátor PM: a) blokové schéma zapojení, b) vektorový diagram Modulátory pro nepřímou FM se realizují pomocí fázového modulátoru, na jehož vstup je přiváděn integrovaný modulační signál. Velkou výhodou takto modulovaných signálů je vysoká stabilita kmitočtu nosné. K nejznámějším modulátorům PM patří Armstrong-Crosby

136 34 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně modulátor, jehož blokové schéma zapojení je nakresleno na obr. 5.38a. Vektorové znázornění signálů modulátoru PM je nakreslen na obr. 5.38b. Z něj vyplývá, že maximální fázový zdvih modulátoru je asi jeden radián. Vzhledem k tomu, že velikost vektoru výsledného signálu se mění (množinou koncových bodů jednotlivých vektorů je úsečka), obsahuje výstupní signál také nežádoucí amplitudovou modulaci. Tu lze však odstranit pomocí omezovačů amplitudy signálu. 5.5 Demodulátory Demodulace signálu je proces, při kterém se z modulovaného signálu získá původní modulační signál. Obvody realizující proces demodulace se nazývají demodulátory [4], [7], [], [3] Demodulátory AM signálu Nejjednodušším demodulátorem AM signálu je diodový detektor obálky (Envelope Detector). Jeho obecné schéma zapojení je nakresleno na obr Nelineární prvek (diodu D ) nezbytný pro demodulaci můžeme obecně pokládat za detekční dvojbran, popsaný dvojbranovými rovnicemi i = F ( u, u ), i = F ( u,u ). (5.98a,b) Obr Obecné zapojení diodového detektoru Uvažujme, že zdroj dodává nemodulovaný harmonický signál (nosnou) a paralelní rezonanční obvod má vysoký činitel jakosti. Na vstupu detektoru je proto pouze harmonické napětí u () t = U cosω t. Kapacitor C připojený paralelně k zátěži R Z má zanedbatelnou reaktanci pro složku s kmitočtem ω i pro složky vyšších harmonických. Na výstupu detektoru je tedy pouze stejnosměrné napětí U S. S uvážením těchto předpokladů můžeme rovnice (5.98) přepsat do tvaru = f ( U, U ), = f ( U, U ), (5.99a,b) I S I S S kde I je amplituda první harmonické proudu na vstupu detektoru a I S je výstupní stejnosměrný proud detektoru. Funkce (5.99a) popisuje vstupní charakteristiky detekčního dvojbranu, zatímco funkce (5.99b) popisuje tzv. křivky usměrnění. Základními parametry detektoru jsou napěťový přenos a ekvivalentní vstupní odpor, definované vztahy A U S u =, U U R vst =. (5.a,b) I Podle vzájemného zapojení zdroje signálu, diody a zátěže, rozeznáváme dvě základní zapojení detektoru, a to sériový (obr. 5.4a) a paralelní (obr.5.4b). Jsou-li stejná vstupní napětí i všechny ostatní prvky obou detektorů, mají oba detektory stejný napěťový přenos, avšak jejich ekvivalentní vstupní odpory jsou různé a platí pro ně přibližné vztahy RZ Rvst par, 3 RZ Rvst sér. (5.a,b)

137 Vysokofrekvenční technika a antény 35 U sériového detektoru se stejnosměrný proud tekoucí diodou uzavírá přes zdroj signálu a zátěž je pro všechny střídavé složky zkratována kapacitorem C. U paralelního detektoru je zdroj od zátěže stejnosměrně oddělen kapacitorem C a na zátěži je kromě stejnosměrného napětí i napětí střídavé. a) b) Obr. 5.4 Diodový detektor: a) sériový, b) paralelní Vliv časové konstanty na výstupní napětí detektoru je nakreslen na obr Při optimální časové konstantě τ opt bude mít výstupní napětí průběh nakreslený na obr. 5.4 silnou plnou čarou. Kdyby byla časová konstanta menší než τ opt, střední hodnota výstupního napětí detektoru by opět byla úměrná modulačnímu signálu, avšak napěťový přenos detektoru by se výrazně snížil. Kdybychom zvolili časovou konstantu příliš velikou, nastal by případ nakreslený na obr. 5.4 čárkovanou čarou. Výstupní napětí u v tomto případě nesleduje modulační obálku modulovaného signálu a nastává nežádoucí jev nazývaný odtržení modulační obálky. Projeví se velkým zkreslením výstupního signálu detektoru. Obr. 5.4 Výstupní signál diodového detektoru pro různé časové konstanty τ Aby k odtržení modulační obálky nedošlo, musí být rychlost změny (pokles) výstupního napětí detektoru (tj. pokles napětí na kapacitoru C ) větší, než největší rychlost změny (pokles) napětí U m () t = U[ + m cos( Ω t + ϕ )] obálky modulovaného signálu. Tuto podmínku lze vyjádřit du dum. (5.) dt dt Z obr. 5.4 vyplývá, že splnění nerovnosti (5.) bude záviset nejen na časové konstantě detektoru, ale i na maximální hloubce modulace m max a maximálním kmitočtu Ω max modulačního signálu. Rozborem nerovnosti (5.) lze podle [] odvodit vztah, který musí splňovat časová konstanta detektoru, aby nedošlo k odtržení modulační obálky max C R Z max max m. (5.3) Ω m Výstupní signál detektoru obsahuje stejnosměrnou složku, která se obvykle odstraňuje vazebním kapaci- max Obr. 5.4 Demodulátor AM signálu

138 36 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně torem C V, jak je nakresleno na obr Vstupní odpor následujícího obvodu je reprezentován rezistorem R V a obvykle platí R Z << RV. Aby nedošlo k lineárnímu zkreslení modulačního signálu (kmitočtový rozsah Ω min až Ω max ), musí vazební kapacitory C V a C splňovat podmínky Ω >> min >> = CV, (5.4) τ d CV ( RZ + RV ) CV RV ΩminRV Ω max << = C <<. (5.5) τ R h ZRV CRZ Ω R C max Z R + R Z V Pro nemodulovaný signál je zátěží detektoru rezistor R Z, zatímco pro modulovaný signál, tj. pro jeho nízkofrekvenční složku, je zátěží paralelní kombinace rezistorů R Z a R V. Při nevhodné volbě rezistoru R V může vzniknout zkreslení výstupního signálu, jak je naznačeno na obr Zde je nakreslena soustava křivek usměrnění detektoru, které jsou pro jednoduchost aproximovány lomenými přímkami. Parametrem každé charakteristiky je amplituda modulovaného signálu. Klidový pracovní bod P detektoru je dán průsečíkem křivky usměrnění s parametrem amplitudy nosné U a zatěžovací charakteristiky, jejíž směrnice je úměrná rezistoru R Z. Je-li na detektor přiveden modulovaný signál, mění se amplituda modulovaného signálu v rozmezí hodnot U ( m) a U ( + m). Současně se změní zatěžovací odpor detektoru na hodnotu R R R Z V =, (5.6) RZ + RV což má za následek změnu směrnice zatěžovací charakteristiky. Jak vyplývá z obr. 5.43, může při nevhodné volbě odporu R V dojít k omezení (ořezání) signálu. Tento nežádoucí stav závisí nejen na odporu R V, ale i na hloubce modulace. Aby nedošlo k omezení signálu, musí být podle [] splněna podmínka mmax R V R Z. (5.7) m max Synchronní neboli koherentní demodulace je proces, při kterém se demodulace provádí pomocí re- Obr Zkreslení způsobení omezením signálu ferenčního signálu. Základem synchronního demodulátoru je analogový násobič nebo směšovač, ke kterému je přiváděn signál modulovaný a signál referenční. Nejčastěji se používá můstkové čtyřdiodové zapojení. Uvažujeme-li harmonický modulační signál, potom modulovaný signál má tvar u ( t ) = U( + m cos Ω t ) cosω t. Signál referenční musí být v dokonalé kmitočtové i fázové koherenci s nosnou vstupního signálu, tj. musí mít tvar uref ( t ) = Uref cosω t. Na výstupu násobiče dostáváme součin vstupních signálů u () t = u ( t ) u ( t ) = U ( + m cos Ω t ) cosω t. U cosω t ref ref = U Uref UU ref muu ref muu ref = cos ω t + + cos( ω + Ω ) t + cos Ω t 4 4 +

139 Vysokofrekvenční technika a antény 37 mu U 4 mu U 4 ref ref + cos( ω Ω ) t + cos( Ω t ). (5.8) Signál u () t obsahuje také stejnosměrnou složku, která je úměrná velikosti nosné a může být podle potřeby využita k různým účelům (např. automatické řízení zisku AGC Automatic Gain Control). Po průchodu signálu dolní propustí s mezní kmitočtem ω a odstranění stejnosměrné složky, je výstupní signál demodulátoru mu U () t = cos t. (5.9) ref u Ω Jeho velikost je úměrná amplitudě referenčního signálu, kterou je možné nastavit na relativně velkou úroveň. Referenční signál se vytváří zesílením a omezením vstupního modulovaného signálu nebo použitím fázového závěsu. Princip synchronní demodulace se využívá i při demodulaci signálů DSB, SSB a QAM Demodulátory FM signálu Fázový detektor je nelineární trojbran, jehož výstupní napětí je úměrné fázovému posuvu dvou vstupních napětí. Jedno vstupní napětí se obvykle nazývá referenční, druhé se označuje jako napětí signálové. Detektor se používá nejen k demodulaci FM signálů, ale i v obvodech fázových závěsů a řadě dalších aplikací. Přivedeme-li na vstupy detektoru harmonická napětí u () t = U cos( ω t + ϕ) a u () t = U cos( ω t + ϕ ), potom výstupní napětí detektoru bude obsahovat řadu harmonických a intermodulačních složek. Z nich vybereme dolní propustí rozdílovou složku u výst () t = KU U cos[ ( ω ω ) t + ( ϕ ϕ )], (5.) kde K je konstanta závislá na zapojení detektoru. Okamžitá fáze ϕ = ( ω ω ) t + ( ϕ ϕ ) výstupního napětí se rovná rozdílu okamžitých fází jednotlivých vstupních napětí. Skládá se ze složky úměrné rozdílu kmitočtů a složky úměrné rozdílu počátečních fází obou signálů. Podle vzájemného vztahu kmitočtů obou vstupních napětí, rozeznáváme dva režimy činnosti fázového detektoru, pro které platí ω ω ω, ϕ ω =... u výst = KU U cos ( ϕ ϕ ), (5.a) ϕ =... ( t ) = KU U ( ω )t. (5.b) u výst cos ω V prvním případě je výstupní napětí detektoru stejnosměrné a je úměrné rozdílu počátečních fází vstupních napětí. Ve druhém případě se výstupní napětí periodicky mění s kmitočtem ω. V obou případech závisí výstupní napětí detektoru i na amplitudách vstupních napětí. ω a) b) c) Obr Fázový detektor: a) charaku výst = f( ϕ), b) schéma zapojení, teristika c) vektorový diagram napětí

140 38 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Základní zapojení fázového detektoru je nakresleno na obr. 5.44b. Skládá se ze dvou diodových detektorů, ke kterým se přivádí součet resp. rozdíl vstupních napětí. Obvykle se používají stejné diody a platí R = R = R a C = C = C, takže oba diodové detektory jsou stejné. Napěťové poměry fázového detektoru jsou znázorněny na obr. 5.44c. Při fázovém posuvu ϕ vstupních napětí je na vstupu prvního diodového detektoru napětí U D a na vstupu druhého diodového detektoru napětí U D. Pro výstupní stejnosměrná napětí těchto detektorů platí U = A u UD a U = A u UD, kde napěťový přenos A u. Rozdíl těchto napětí je výstupní napětí fázového detektoru u výst = U U. V případě, že fázový posuv vstupních napětí bude ϕ = 9, výstupní napětí fázového detektoru bude nulové, což také vyplývá z charakteristiky na obr. 5.44a. C L Fázový detektor je možné využít i Vstupní k demodulaci FM signálu. Obě potřebná FM B D signál napětí se vytváří ze vstupního FM signálu. Využívá se přitom vlastnosti pásmové propusti, sestavené ze dvou paralelních rezo- U C R U nančních obvodů naladěných na stejný U x u U rezonanční kmitočet f r, u které se při změně kmitočtu f s vstupního signálu mění U C R U fázový posuv mezi výstupním a vstupním A napětím. Jestliže platí f s = fr, je fázový D posuv ϕ = 9. Obr Demodulátor FM signálu Schéma zapojení demodulátoru FM signálu je nakresleno na obr Vstupní napětí U se přivádí přes kapacitory CV a C mezi střed sekundárního vinutí pásmové propusti a bod X (naznačeno čárkovanou šipkou). Střed sekundárního vinutí rozděluje sekundární napětí U pásmové propusti na poloviny. Na jeden diodový detektor (mezi bod B a X) je přiváděn součet napětí U a U, na druhý diodový detektor (mezi body A a X) rozdíl napětí U a U. Tlumivka L tl uzavírá obvody obou diodových detektorů pro stejnosměrné složky jejich signálů. Její reaktance na pracovním kmitočtu je však dostatečně veliká, aby neovlivnila velikost napětí U. U U ϕ U U U x U U U U ϕ U U U U x U U U ϕ U U U x U U f > f f = f f < f s r s r s r Obr Vektorové diagramy pro různé kmitočty vstupního signálu f s Vektorový diagram napětí demodulátoru FM signálu je pro různé kmitočty f s vstupního signálu nakreslen na obr Z něj vyplývá, že při f s > fr je u >, při f s = fr je u = a výst výst

141 Vysokofrekvenční technika a antény 39 při f s < fr je u výst <. Nevýhodou tohoto demodulátoru je velká citlivost výstupního napětí na amplitudové změny (impulsní poruchy) vstupních napětí. Proto je nutné před demodulátorem FM signál dostatečně zesílit a amplitudově omezit. Koincidenční demodulátor patří mezi demodulátory s přeměnou FM signálu na šířkově modulovaný impulsový signál. Někdy se také označuje názvem product detector. Jeho základním blokem je koincidenční obvod, realizující funkci EX-NOR (koincidence) podle vztahu Y = A. B + A. B. Činnost tohoto obvodu je popsána pravdivostní tabulkou tab. 5.. Závislost Y stř = f ( Φ ) koincidenčního obvodu je graficky znázorněna na obr Střední hodnota výstupního signálu je lineárně závislá na fázovém posuvu vstupních signálů. Pokud převedeme změny kmitočtu FM signálu na změny fáze, můžeme koincidenční obvod využít k demodulaci FM signálů. K tomuto účelu se používá jednoduchý fázovací článek nakreslený na obr Jeho fázový posuv mezi výstupním napětím U a vstupním napětím U je dán přibližným vztahem π ω Φ Q, (5.) ω c kde Q je provozní činitel jakosti rezonančního obvodu LC naladěného na ω c, ω je kmitočtový zdvih a ω c je kmitočet nosné FM signálu. Důležitým prvkem fázovacího článku je rezistor R, který určuje činitel jakosti rezonančního obvodu, jeho šířku pásma a tedy i rozsah kmitočtů, ve kterém bude článek pracovat. Při velké hodnotě odporu R může dojít k tomu, že šířka pásma rezonančního obvodu bude menší než kmitočtový zdvih FM signálu a výstupní signál fázovacího článku bude zkreslený. Velmi malý odpor R se zase projeví malým přenosem fázovacího článku. Celkové blokové schéma koincidenčního demodulátoru je nakresleno na obr Vstupní FM signál přichází do amplitudového omezovače, kde je zesílen a omezen. Takto upravený signál se přivádí na Y stř Ymax Ymax Obr φ Grafická závislost Y = f( Φ ) stř A B A. B A. B Y Tab. 5. Pravdivostní tabulka funkce Y = A.B + A.B U C R L U jeden vstup koincidenčního obvodu. Na jeho druhý vstup se přivádí tentýž signál upravený ve fázovacím článku. Za koincidenčním obvodem je zařazena dolní propust, která odstraní ze signálu vyšší kmitočtové složky. Předností koincidenčního demodulátoru je jeho jednoduché nastavení, při kterém se pouze naladí rezonanční obvod fázovacího článku na nosnou vstupního FM signálu. C C Obr Fázovací článek Vstupní FM signál Amplitudový omezovač Fázovací článek Koincidenční obvod Dolní propust Výstupní nf signál Obr Blokové schéma koincidenčního demodulátoru

142 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 5.6 Kontrolní otázky. Jak jsou definovány rezonanční kmitočty sériového a paralelního rezonančního obvodu?. Napište obecný vztah pro výpočet činitele jakosti Q a uveďte jeho další tvary. 3. Co je činitel rozladění a stupeň rozladění rezonančních obvodů? 4. K čemu se využívají transformační vlastnosti rezonančních obvodů? 5. Kdy použijeme k návrhu vf zesilovače matematický model tranzistoru a kdy fyzikální? 6. Jak jsou definovány rozptylové parametry tranzistoru a jakých nabývají přibližně hodnot? 7. Definujte šumový činitel a šumové číslo zesilovače. 8. Napište Friisův vzorec a vysvětlete na jednoduchých příkladech jeho využití. 9. Co je to šumové přizpůsobení tranzistoru?. Proč se u zesilovačů snažíme eliminovat vnitřní zpětnou vazbu tranzistoru?. Vysvětlete pojmy absolutní stabilita a potenciální nestabilita.. K čemu se používá Rolletův činitel stability a jak se vypočítá? 3. Jak je definovaná šumová šířka pásma? 4. Uveďte základní postup návrhu linearizované vf zesilovače s potenciálně nestabilním tranzistorem. 5. Co je to down-convertor a up-convertor? 6. Jak jsou definovány konverzní parametry směšovače? 7. Co je to zrcadlový kmitočet a jak se projeví na činnosti směšovače? 8. Jaké jsou výhody a nevýhody aditivních a multiplikativních směšovačů? 9. K čemu se využívá statická a dynamická modulační charakteristika modulátoru AM?. Vysvětlete rozdíly mezi kolektorovou a bázovou modulaci AM.. K čemu se používá Carsonův vzorec?. Vysvětlete pojmy odtržení a ořezání modulační obálky u demodulace AM signálu. Co musí být splněno, aby k těmto nežádoucím jevům nedošlo? 3. Jaké jsou přednosti synchronní demodulace AM signálu? 4. Popište základní režimy fázového detektoru. 5. Vysvětlete činnost koincidenčního demodulátoru. 6 Mikrovlnná technika Mikrovlnné kmitočtové pásmo je intervalem kmitočtů od 3 MHz do 3 GHz. Těmto kmitočtům odpovídá délka vlny ve volném prostoru (vakuu) od m do mm. Elektronické obvody, přenosová vedení a antény, které pracují na uvedených kmitočtech (s uvedenými vlnovými délkami) budeme souhrnně nazývat mikrovlnnými strukturami. Pro mikrovlnnou techniku je charakteristické, že rozměry součástek jsou srovnatelné s délkou vlny. Na nižších kmitočtech byla délka vlny mnohem větší nežli rozměry součástek,

143 Vysokofrekvenční technika a antény 4 a proto bylo možno na komponenty pohlížet jako na prvky, jejichž parametry jsou soustředěny do jednoho místa (do místa připojení kapacitoru či induktoru). Naproti tomu v mikrovlnných obvodech jsou kapacita či indukčnost rozprostřeny podél úseku vedení. Na každý kousek drátu či pásku je proto nutno pohlížet jako na určitou indukčnost či kapacitu. Zatímco na nižších kmitočtech jsme hovořili o obvodech se soustředěnými parametry, v mikrovlnném kmitočtovém pásmu musíme pracovat s obvody s parametry rozprostřenými. Pokud bychom kmitočet zvyšovali dále k optickým frekvencím, délka vlny by byla mnohem menší nežli rozměr komponentů, a my bychom se mohli řídit pravidly optiky. Na nižších kmitočtech můžeme pracovat s napětími a proudy, na optických frekvencích mnohdy vystačíme s představou šíření energie ve formě paprsků. V mikrovlnném kmitočtovém pásmu, které leží mezi popsanými světy napětí a paprsků, však musíme myslet a pracovat vlnově. V následujících podkapitolách se seznámíme se speciálními vedeními, která se používají pro přenos elektromagnetické energie v mikrovlnném kmitočtovém pásmu. Poté přejdeme k pasivním mikrovlnným obvodům, ke kmitočtovým filtrům. V závěru si stručně popíšeme komerční programy, které slouží mikrovlnným inženýrům k modelování a návrhu mikrovlnných zařízení. 6. Mikrovlnná vedení Populární koaxiální vedení bývá používáno jen na nižších mikrovlnných kmitočtech. Se zvyšováním frekvence totiž rostou ztráty v dielektrické výplni vedení. Proto bývá dielektrikum nahrazeno vakuem a střední vodič je fixován ve středu vedení dielektrickými rozpěrkami. Dalším představitelem mikrovlnných vedení je vlnovod. Jedná se v podstatě o dutý kovový válec určitého průřezu ovšem bez středního vodiče. Vlnění se tímto válcem šíří způsobem, který je možno interpretovat jako postupné odrazy od jeho stěn. Třetím představitelem mikrovlnných vedení je vedení mikropáskové. Mikropáskové vedení sestává z velmi tenkého a relativně úzkého pásku, který je umístěn na lícní straně dielektrického substrátu. Spodní (rubová) strana substrátu je souvisle pokovena a slouží jako zemní deska s nulovým potenciálem. Celé vedení bývá většinou umístěno do obdélníkového vlnovodu, který souží jako stínění. V následujících odstavcích se s uvedenými vedeními blíže seznámíme. 6.. Vlnovody Termínem vlnovod většinou označujeme kovovou trubici, jejíž příčné rozměry jsou srovnatelné s délkou vlny. Vnitřní stěny vlnovodu bývají upraveny tak, aby byly minimalizovány ztráty v kovu (obvykle lze stěny vlnovodu pokládat za dokonalý elektrický vodič). Příčný profil vlnovodu má obvykle obdélníkový nebo kruhový tvar. Ve speciálních případech může mít průřez vlnovodu tvar písmene Π nebo H (obr. 6.); tyto vlnovody jsou širokopásmovější než běžný obdélníkový vlnovod, avšak Obr. 6. Vlnovody

144 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně na druhou stranu přenášejí menší výkon. S vlnovody se setkáváme na kmitočtech řádu gigahertzů, protože na nižších kmitočtech by vlnovody měly z příliš velké příčné rozměry. Vlnovody nacházíme zejména u u radiolokátorů a u systémů pro družicovou komunikaci. v Slouží zde jednak pro přenos energie z vysokofrekvenčního generátoru k anténě, jednak pro přenos signálu z antény k vysokofrekvenčnímu stupni přijímače. vlnovod. u,v - příčné směry, Obr. 6. Podélně homogenní Předpokládejme, že máme k dispozici podélně homogenní 5 kovový vlnovod libovolného průřezu (obr. 6.). Zajímá nás, jaké se v něm vybudí z - podélný směr. pole, vsuneme-li do něj sondu, protékanou vysokofrekvenční proudem. Předpokládáme-li, že jsme hodně vzdáleni od zdroje pole, tj. od místa buzení vlnovodu, můžeme složky pole rozepsat jako součin dvou funkcí, z nichž jedna je závislá pouze na příčných souřadnicích u, v a druhá jen na souřadnici podélné z, tj. T (u,v) T (z). Metodou separace proměnných dospějeme k separačním konstantám Γ a γ, které jsou svázány vzájemně vztahem γ + k = Γ (6.) V tomto vztahu je Γ separační konstanta svázaná s rozložením elektromagnetického pole v příčných směrech vlnovodu, γ je konstanta svázána s šířením vlnění v podélném směru vlnovodu a k je vlnové číslo prostředí ve vlnovodu (vakuum s permitivitou ε a permeabilitou µ ) k = ω µε (6.) a ω je úhlový kmitočet vlny. Řešením rovnice pro šíření elektromagnetického vlnění v podélném směru vlnovodu dospějeme ke vztahu ( γ z) + C ( γ z) T = C exp exp (6.3) Zde C a C jsou integrační konstanty. První sčítanec popisuje zpětnou vlnu (šíří se proti směru osy z), druhý sčítanec vlnu přímou (šíří se ve směru z). Separační konstantu γ nazýváme součinitelem přenosu (konstantou šíření) a rozepisujeme ji jako γ = α + jβ (6.4) Z (6.3) je zřejmé, že α má význam měrného útlumu a β je měrná fáze (fázová konstanta). f f krit vsk v f vf v v sk Obr. 6.3 Závislost fázové a skupinové rychlosti na kmitočtu 5 Termín podélně homogenní vlnovod nám říká, že vlastnosti vlnovodu jsou v podélném směru neměnné. Je-li vlnovod bezeztrátový, mění se v podélném směru pouze fáze vlnění; jeho amplituda zůstává konstantní.

145 Vysokofrekvenční technika a antény 43 Jelikož vlnové číslo k je reálné (ve vlnovodu uvažujeme bezeztrátové prostředí) a jelikož separační konstanta Γ je reálná také (jak ukážeme za chvíli), může součinitel přenosu nabývat následujících hodnot: γ = β pro k < Γ v podélném směru se bude šířit tzv. evanescentní vlna 6 ; γ = α pro k > Γ v podélném směru se šíří netlumená vlna; γ = jk pro Γ = nezáleží na průřezu vlnovodné struktury (viz dvouvodičová vedení). Protože vlnové číslo je přímo úměrné kmitočtu vlny, můžeme z prvních dvou výše uvedených bodů vyvodit zajímavý závěr: Zatímco vlny, jejichž kmitočet je nižší nežli ω krit = Γ µ ε (6.5) se vlnovodem vůbec nešíří, vlny o kmitočtu vyšším nežli ω krit se stejným vlnovodem budou šířit bez útlumu. Onen význačný kmitočet (6.5) je nazýván kmitočtem kritickým. Věnujme se nyní jevům, které se objeví na nadkritických kmitočtech f > f krit. Ze vztahu (6.) dostaneme po dosazení za γ = jα výraz α = Vyjádříme-li separační konstantu Γ ze vztahu (6.5) k Γ (6.6) a vezmeme-li vlnové číslo k ze vztahu (6.) k = ω µ ε (6.) po jednoduché úpravě dospějeme ke vztahu pro fázovou konstantu v podélném směru ( f ) α = k f (6.7) Dosadíme-li fázovou konstantu (6.7) do vztahu pro fázovou rychlost krit dostáváme závislost fázové rychlosti ve vlnovodu na kmitočtu v v f = (6.8) f ( f ) Symbol v ve vztahu (6.8) značí fázovou rychlost naší vlny z vlnovodu ve volném prostoru, který by měl stejné parametry jako obsah vlnovodu (v našem případě vakuum) krit v = µ ε (6.9) 6 Evanescentní vlna vlastně vlnou vůbec není. Fáze se ve směru šíření nemění, protože fázová konstanta je nulová, a amplituda exponenciálně klesá, protože konstanta útlumu je nenulová. Evanescentní vlna se může objevit za určitých podmínek např. na rozhraní dvou prostředí, když jedním z těchto prostředí se šíří ( normální ) vlna rovnoběžně s rozhraním. Ta do druhého prostředí nevniká, ale pole tam difunduje (evanescentní vlna ).

146 44 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Ze známé fázové rychlosti odvodíme dosazením do vztahu mezi délkou vlny a fázovou rychlostí λ g = v f f (6.) vztah pro délku vlny ve vlnovodu v podélném směru λ λ g = (6.) f ( ) kde λ značí délku naší vlny ve volném prostoru, jehož parametry odpovídají parametrům prostředí uvnitř vlnovodu. Pokud se zajímáme o rychlost šíření energie vlnovodem (a nikoli o rychlost šíření fáze), musíme vypočíst skupinovou rychlost. Jelikož součin skupinové rychlosti a rychlosti fázové musí být roven kvadrátu rychlosti světla, pro skupinovou rychlost dostáváme vztah v sk f krit ( f ) = v f (6.) kde v je opět fázová rychlost ve volném prostoru. Dosud jsme předpokládali, že se vlnovodem šíří harmonická vlna. Co se však bude dít při přenosu vlny, složené z několika kmitočtů? Z výše uvedeného je zřejmé, že každá kmitočtová složka se bude šířit jinou rychlostí, takže výstupní signál bude odlišný od signálu vstupního, bude zkreslený. Říkáme, že dochází k disperzi vln (obr. 6.4). Prozatím jsme se zabývali analýzou rozložení pole v podélném směru. Výsledky této analýzy nezávisejí na příčném průřezu, a tudíž platí pro jakýkoli homogenní vlnovod. Pro příčné směry Evst vlnovodu je situace zcela opačná: V příčném směru se nešíří vlnění (nemá kam t se šířit). V těchto směrech se vzájemně sčítají vlny odražené od stěn vlnovodu, takže zde vzniká stojaté vlnění. prekursory Jelikož odrazy od stěn (a tedy i charakter stojatého vlnění) závisejí na profilu vlnovodu, je zapo- Evýst třebí analýzu pole v příčných směrech provádět vždy pro specifický tvar profilu. V našem výkladu se t t omezíme na profil obdélníkový. t Analýzu vykonáme pro dva typy vln, které se mohou vlnovodem šířit. Jedná se o vlny příčně magnetické (TM), u nichž má vektor magnetické intenzity nenulové složky pouze v příčném smě- Obr. 6.4 Disperze vln ru, a o vlny příčně elektrické (TE), u nichž má vektor intenzity elektrického pole nenulové složky jen ve směru příčném. Matematickým postupem lze dospět pro oba typy vln k následujícímu vztahu pro kritický úhlový kmitočet: krit mπ nπ ω krit = + (6.3) µ ε a b V této rovnici se permitivita a permeabilita vztahují k prostředí uvnitř vlnovodu, a je šířka obdélníkového vlnovodu a b je jeho výška. Celočíselné koeficienty m a n nazýváme vidovými

147 Vysokofrekvenční technika a antény 45 čísly. Se zvyšováním vidových čísel roste kritický kmitočet (vyšší vidy vznikají na vyšších frekvencích). Přelaďujme postupně generátor, napájející vlnovod, od nižších k vyšším kmitočtům a sledujme co se bude dít. Po překročení kritického kmitočtu nejnižšího vidu se bude vlnovodem šířit jediná vlna. Jakmile však překročíme kritický kmitočet následujícího vidu, budeme mít ve vlnovodu dvě vlny dvou různých vidů. Tyto vlny spolu interferují, což může způsobit mnohé komplikace. Proto jsou vlnovody provozovány téměř výhradně v pásmu jednovidovosti. Dolní kmitočet tohoto pásma je dán kritickým kmitočtem nejnižšího vidu, horní kmitočet je roven kritické frekvenci vidu následujícího. Vid s nejnižším kritickým kmitočtem je nazýván dominantním videm. Závěrem si popišme siločáry dominantního vidu TE v okamžiku t = t (obr. 6.5). Kdybychom vlnovod podélně rozřízli rovinou kolmou na širší stranu, uviděli bychom harmonický průběh příčné složky elektrické intenzity E y. Maximální intenzita se na obrázku nachází v místech z = λ g /4 a z = 3λ g /4 (zde má však opačnou fázi). Nulová je intenzita v místech z = a z = λ g /. V místech maximální elektrické intenzity E y je nulová podélná složka H z a maximální příčná složka H x magnetické intenzity. V příčném řezu v místě z = λ g /4 je elektrická intenzita E y největší uprostřed a nulová na okrajích (splněna okrajová podmínka). Příčná složka magnetické intenzity H x je v z = λ g /4 v příčném řezu konstantní. Ey E y Hx H z a λg/4 λ g/ 3 λ g /4 x z siločáry : E H J Obr. 6.5 Siločáry dominantního vidu TE, λg/4 λg/ 3 λg /4 z Provedeme-li podélný řez rovinou kolmou na užší stranu vlnovodu, budou se nám siločáry magnetické intenzity jevit jako elipsy. Jejich tvar připomíná siločáry magnetické intenzity přímého vodiče, protékaného vysokofrekvenčním vodivým proudem. V případě vlnovodu je zdroj těchto siločar podobný je jím posuvný proud, tekoucí dielektrikem vlnovodu ze spodní strany pláště vlnovodu na horní (z = ) a naopak (z = λ g /). Omezme se na první případ. Když posuvný proud dorazí na horní stranu pláště, odtéká ve formě vodivého proudu po vnitřní straně pláště jednak zpět dolů, jednak ve vodorovném směru k sousedním ústím posuvného proudu. V obou případech jsou siločáry proudové hustoty J uzavřené. 6.. Modelování vlnovodů v MATLABu Jednoduchý matematický popis parametrů vlnovodu, jak jsme jej uvedli v předchozích odstavcích, máme k dispozici jen pro vlnovody s velmi jednoduchým tvarem profilu (obdélník, kruh). Pro složitější tvary (např. profil tvaru H nebo Π) se matematický popis komplikuje

148 46 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně nebo dokonce není v analytickém tvaru vůbec k dispozici. Proto si v této části popíšeme, jak můžeme vlnovod libovolného profilu analyzovat numericky pomocí metody konečných prvků. Metoda konečných prvků je obecná numerická metoda pro řešení parciálních diferenciálních rovnic. Jelikož Maxwellovy rovnice, které popisují šíření elektromagnetické vlny ve vlnovodu, patří do rodiny parciálních diferenciálních rovnic, můžeme metodu konečných prvků k analýze pole ve vlnovodu použít. Základní postup při výpočtu rozložení pole ve vlnovodu lze shrnout do několika kroků:. Profil vlnovodu rozdělíme na konečné prvky. V případě podélně homogenního vlnovodu rozdělíme profil na malé trojúhelníky. Každý trojúhelník je konečný prvek, vrcholy trojúhelníků nazýváme uzly.. Rozložení podélné složku elektrické intenzity u vidů TM a magnetické intenzity u vidů TE formálně aproximujeme nad každým konečným prvkem lineární, kvadratickou nebo kubickou funkcí. Formální aproximací rozumíme skutečnost, že funkce je vyjádřena pomocí neznámých hodnot intenzity v uzlech a pomocí známých bázových funkcí (lineárních, kvadratických, kubických). Každá bázová funkce nabývá jednotkové hodnoty v jednom uzlu a nulové hodnoty v uzlech ostatních. Aproximace je formálně jednou rovnicí pro N neznámých uzlových hodnot. 3. Formální aproximaci dosadíme do výchozího vztahu, tj. do řešené rovnice. Jelikož aproximace díky své přibližnosti nesplňuje řešenou rovnici zcela přesně, musíme k našemu vztahu přičíst chybovou funkci (tzv. reziduum). Čím menší je reziduum, tím přesnější je aproximace. 4. Reziduum minimalizujeme metodou vážených reziduí. Tato metoda spočívá v postupném vynásobením rezidua vhodnými váhovými funkcemi a v integrování tohoto součinu přes celý profil analyzovaného vlnovodu. Zvolíme-li za váhové funkce bázové funkce všech uzlů, v nichž neznáme hodnotu intenzity, dostaneme N rovnic pro N neznámých. Popsaná volba váhových funkcí je nazývána Galerkinovou metodou. 5. Vyřešíme maticovou rovnici, kterou dostaneme jako výsledek Galerkinovy metody. Tím získáme hodnoty doposud neznámých uzlových intenzit. Maticová rovnice, kterou řešíme v případě vlnovodu, je zobecněný problém vlastních čísel. Výsledkem je vektor vlastních čísel (vektor kvadrátů kritických vlnových čísel jednotlivých vidů) a matice odpovídajících vlastních vektorů (uzlové hodnoty podélných složek intenzit jednotlivých vidů). 6. Dosazením uzlových hodnot do formální aproximace získáme aproximační funkci hledané podélné složky intenzity v každém bodě profilu analyzovaného vlnovodu. Z podélné složky intenzity můžeme vypočíst všechny ostatní složky vektorů intenzity elektrického i magnetického pole. Při praktických výpočtech metodou konečných prvků postupujeme poněkud odlišně. V literatuře jsou totiž k dispozici již hotové matice koeficientů pro normovaný konečný prvek. Stačí nám vzít tyto matice koeficientů, upravit je pro naše konkrétní y x Obr. 6.6 Příklad D sítě konečných prvků Modrá čísla: lokální uzly. Červená čísla: globální uzly. 3 ϑ ϑ 3 9 ϑ 9 Obr. 6.7 D konečný prvek pro lineární aproximaci

149 Vysokofrekvenční technika a antény 47 prvky a spojit tyto matice společně s konečnými prvky do sítě. Celou proceduru lze opět popsat v několika krocích:. Profil vlnovodu rozdělíme na konečné prvky. Tento úkol je naprosto shodný s předchozím postupem.. V literatuře nalezneme vztahy pro výpočet koeficientů jednotlivých konečných prvků. Dosazením plochy e-tého konečného prvku A (e) a úhlů u vrcholů e-tého trojúhelníkového prvku (viz obr. 6.7) do těchto vztahů dostaneme koeficienty pro naše konkrétní prvky. Vztahy pro matice koeficientů lineární aproximace následují: S = cotg 3 ( e) ( e) Qn ϑ n n= + Q = + Q Q = = + ( ) T e ( e) A = 3. Sestavíme diagonální matice pro "izolované" konečné prvky, tj. pro prvky dosud nespojené do sítě (symboly značí nulové matice o rozměrech 3 3) () S S = S ( ) S ( 3)... ( ) T T = T ( ) T ( 3) Sestavíme vazební matici, která určuje vzájemný vztah mezi lokálními uzly (modrá čísla v obr. 6.6) a uzly globálními (červená čísla v obr. 6.6). Sloupce matice odpovídají globálním uzlům, řádky matice uzlům lokálním. Pokud má být lokální uzel přidružen k příslušnému uzlu globálnímu, napíšeme do řádku odpovídajícího číslu lokálního uzlu ve sloupci odpovídajícím uzlu globálnímu hodnotu. V opačném případě je hodnota prvku matice nulová. Pro uzly z obr. 6.6 by vazební matice vypadala, jak naznačuje obr Sdružíme nezávislé konečné prvky do propojené sítě elementů. Matematicky tomu odpovídají následující maticová operace: S c = c T T C S C, T = C T C 6. Vyřešením maticové rovnice (je stejná jako u dříve popsaného postupu) SE + k TE= = C Obr. 6.8 Sestavení vazební matice C

150 48 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně získáme kritická vlnová čísla jednotlivých vidů k a uzlové hodnoty intenzity elektrického pole E těchto vidů. Dosazením uzlových hodnot do formální aproximace získáme aproximační funkci hledané podélné složky intenzity v každém bodě profilu analyzovaného vlnovodu. Náš program je založen na právě popsaném algoritmu. Zjednodušený výpis kódu pro MAT- LAB následuje. Jelikož kód je komentován, nebudeme ho dále nijak popisovat. function kn = linearte( Nx, Ny); inx = Nx + ; iny = Ny + ; a =.86e-3; % šířka vlnovodu b =.6e-3; % výška vlnovodu dx = ones(,nx) * (a/nx); % vektory rozměrů konečných prvků dy = ones(,ny) * (b/ny); Q = [ ; -; - ] / ; Q3 = [ - ; - ; ] / ; Te = [ ; ; ] /; N = * Nx * Ny; % celkový počet konečných prvků St = sparse( 3*N, 3*N); % matice pro izolované konečné prvky Tt = sparse( 3*N, 3*N); n = ; for ny=:ny for nx=:nx n = n + ; lw = 3*n-; hg = 3*n; St(lw:hg,lw:hg) = Q * dx(nx)/dy(ny) + Q3 * dy(ny)/dx(nx); Tt(lw:hg,lw:hg) = Te * dx(nx)*dy(ny)/; St(lw+3*Nx:hg+3*Nx,lw+3*Nx:hg+3*Nx) = St(lw:hg,lw:hg); Tt(lw+3*Nx:hg+3*Nx,lw+3*Nx:hg+3*Nx) = Tt(lw:hg,lw:hg); end n = n + Nx; end C = get_c( Nx, Ny, N) S = C'*St*C; % sdružení izolovaných konečných prvků T = C'*Tt*C; clear C St Tt [H,K] = eig( full(s), full(t)); % řešení problému vlastních čísel kn = sqrt( diag( K)); % vektor kritických vlnových čísel 6..3 Planární vedení Stíněné mikropáskové vedení je členem rodiny planárních mikrovlnných vedení. Mezi často používaná planární vedení patří např. otevřené mikropáskové vedení (open microstrip line, obr. 6.9a), stíněné štěrbinové vedení (shielded slotline, obr. 6.9b), ploutvové vedení (shielded finline, obr. 6.9c) či stíněné koplanární vedení (coplanar waveguide, obr. 6.9d). Z úseků planárních vedení je možno sestavovat mikrovlnné obvody. Planární vodiče přitom mohou sloužit k vzájemnému propojení komponentů, z nichž obvod sestává, nebo je možné využít je k realizaci pasivních obvodových prvků, zejména kapacitorů a induktorů. Navíc lze planární obvody relativně snadno doplňovat aktivními prvky jako jsou tranzistory či diody. Proto je v současnosti planární technologie v mikrovlnné technice velmi rozšířena a proto stále více nabývá na důležitosti analýza a návrh planárních struktur.

151 Vysokofrekvenční technika a antény 49 V tomto článku se budeme zabývat výpočtem rozložení elektromagnetického pole v mikropáskovém stíněném vedení (obr. 6.), u něhož se parametry ve směru podélné osy nemění. Potom nám stačí analyzovat jen dvojrozměrnou strukturu (příčný průřez vedením), což výrazně zjednodušuje výpočet. I při takovém zjednodušení, jaké jsme právě popsali, dosud nejsme schopni exaktně analyticky vypočíst rozložení elektromagnetického pole na mikropáskovém stíněném vedení. Proto musíme k analýze využít numerické metody nebo metody přibližné. Všechny tyto metody přitom můžeme rozdělit do dvou zá- koplanární vedení kladních skupin, a to na metody kvazi-statické (quasi-static methods) a metody vlnové (fullwave methods). Kvazi-statické metody jsou založeny na předpokladu, že dominantní vid vlny, šířící se podél mikropáskového vedení, je možno s dobrou přesností aproximovat příčně elektromagnetickou vlnou (transversal electromagnetic wave, TEM). Tento předpoklad lze ovšem použít jen na nízkých mikrovlnných kmitočtech (obvykle do 5 GHz), protože při zvyšování pracovního kmitočtu roste velikost podélných složek elektromagnetického pole, takže je nelze dále zanedbávat. Pro analýzu planárních vedení na vyšších mikrovlnných kmitočtech tedy musíme použít tzv. vlnové metody (full-wave methods). Vlnové metody vycházejí z popisu elektromagnetického pole na vedení pomocí úplných, nezjednodušených Maxwellových rovnic. Vlnové metody jsou založeny na numerickém přístupu k řešení soustavy parciálních diferenciálních rovnic nebo rovnic integrálních. Jedná se o relativně komplikovaný úkol, a proto se mu v rámci našeho skripta nebudeme věnovat. Jak již bylo řečeno, na kmitočtech v dolní části mikrovlnného pásma lze uvažovat, že se podél mikropáskového vedení šíří TEM vlna. Pak je možné dynamické elektromagnetické pole aproximovat polem elektrostatickým. Budeme tedy předpokládat, že mikropáskový vodič má potenciál V, že stínicí vlnovod má potenciál V, že všechny kovové části jsou dokonalými elektrickými vodiči a že dielektrika uvnitř stínicího vlnovodu jsou bezeztrátová, isotropε µ ε µ V následujícím odstavci se seznámíme s kvazi-statickou analýzou stíněného mikropáskového vedení pomocí metody konečných diferencí. V dalším odstavci pak uvedeme seznam praktických vztahů v uzavřeném tvaru, s jejichž pomocí lze počítat přibližné hodnoty všech důležitých parametrů planárních vedení (charakteristická impedance, konstanta šíření, atd.) Kvazi-statické modelování mikrovlnných vedení v MATLABu w (a) w (c) t ε µ ε µ ε µ w (b) (d) ε µ ε µ ε µ ε µ ε 3 µ 3 Obr. 6.9 Vybrané typy planárních mikrovlnných vedení: (a) otevřené mikropáskové vedení, (b) stíněné štěrbinové vedení, (c) ploutvové vedení, (d) stíněné y rovina symetrie a ε µ w/ ε µ t h x Obr. 6. Stíněné mikropáskové vedení (podélně homogenní) b

152 5 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně ní, lineární a s nulovou nábojovou hustotou. Pak je uvnitř vlnovodu přítomno elektrostatické pole, popsané první a třetí Maxwellovou rovnicí v diferenciálním tvaru E= (6.4) D = (6.5) Zde E je vektor elektrické intenzity a D je vektor elektrické indukce statického pole v dielektriku uvnitř vlnovodu. Symbol značí operátor nabla, který lze v kartézských souřadnicích vyjádřit jako = x + y + z x y z Vztah (6.4) bude identicky splněn tehdy, když vektor elektrické intenzity položíme roven gradientu skalárního elektrického potenciálu E = ϕ (6.6) Uvážením materiálového vztahu D = ε E (6.7) a dosazením (6.6) do (6.5) dostáváme Laplaceovu rovnici [ ϕ] = ε (6.8) Ve výše uvedených vztazích značí ε permitivitu dielektrika uvnitř stínicího vlnovodu. Hodnota permitivity není v celém průřezu tohoto vlnovodu konstantní, ale mění se. V našem případě (obr. 6.) má permitivita jinou hodnotu v substrátu a jinou hodnotu nad substrátem (hodnota permitivity se tedy mění ve směru osy y a je konstantní ve směru osy x ). Pravděpodobně nejjednodušší numerickou metodou, kterou je možno použít k hledání takové funkce ϕ, která by alespoň přibližně vyhovovala rovnici (6.8), je metoda konečných diferencí. Jak je patrné již ze samotného názvu metody, její podstata spočívá v nahrazení parciálních derivací konečnými diferencemi 7. V prvním kroku řešení je zapotřebí rozdělit analyzovanou oblast na ekvidistantní síť uzlů 8, v nichž budeme počítat hodnoty hledané funkce ϕ (obr. 6.). Ekvidistantnost sítě není samozřejmě nutnou podmínkou, avšak výsledný algoritmus, a tedy i počítačový program, jsou v případě neekvidistantní sítě komplikovanější. V druhém kroku nahradíme parciální derivace ve vztahu (6.8) konečnými diferencemi. Napřed však ještě vezmeme v úvahu skutečnost, že u námi analyzované struktury je předpokládána homogenita v podélném směru, takže derivace hledaného potenciálu ϕ podle podélné souřadnice z jsou nulové a (6.8) přechází na tvar Obr. 6. Ekvidistantní síť uzlů pro analýzu stítodou konečných dife- něného mikropásku merencí (uzly v průsečících sítě) 7 Slovní spojení konečná diference vyjadřuje skutečnost, že výsledkem diferencování (dělení rozdílu funkčních hodnot f( x ) - f( x ) rozdílem hodnot odpovídající nezávislé proměnné x - x ) je konečná hodnota, reprezentující konečnou velikost energie počítaného pole. 8 Ekvidistantní sítí uzlů rozumíme takovou síť, jejíž uzly (průsečíky přímek tvořících síť) mají jeden od druhého stejnou vzdálenost (viz obr. 6.).

153 Vysokofrekvenční technika a antény 5 ε x ϕ + x y ( y) ε( y) ϕ = (6.9) y Diferenci, nahrazující diferenciál, budeme vždy počítat v centrálním uzlu (x m, y n ) z funkční hodnoty potenciálu v tomto uzlu ϕ (x m, y n ) a z funkčních hodnot potenciálu v uzlech sousedních (obr.6.). Při popsaném postupu budeme používat tzv. středové diferencování. 9 Zatímco diference, odpovídající první derivaci, budou ležet uprostřed intervalu mezi dvěma sousedními uzly, diference, odpovídající druhé derivaci, se vrátí zpět do uzlů (obr. 6.4). (x m, y n+ ) Při řešení našeho problému budeme uvažovat, že hodnota permitivity je ve vrstvách mezi dvěma řadami uzlů konstantní. Proto při diferencování dle proměnné x budeme počítat permitivitu v uzlu jako aritmetický průměr permitivity ve vrstvě nad uzlem (x m-, y n) (x m, y n) (x m+, y n) a ve vrstvě pod uzlem (představujeme si, že jedna polovina uzlu je ponořena do dielektrika ve spodní vrstvě a že druhá polovina uzlu je vytlačena do dielektrika ve vrstvě horní). Při výpočtu diferencí podle proměnné y bude situace trošku jiná, protože (x, y - m n ) Obr. 6. první diference leží uprostřed dielektrických vrstev, "Centrální uzel", v němž počítáme dina výpočtu diference podílejí a proto můžeme u těchto prvních diferencí za permitivitu dosazovat hodnotu permitivity v té vrstvě, ferenci, a jeho sousední uzly, které se v jejimž středu se hodnota první diference nachází. Popsaným postupem můžeme vztah (6.9) přepsat do tvaru ( ) ( ) ε + ε ϕ ϕ + ϕ ε ϕ ϕ ε ϕ ϕ + n+ n m+, n m, n m, n n+ m, n+ m, n n m, n m, n m =,,..., N x, n =,,..., N y (6.) Zde N x je počet uzlů ve směru x a N y je počet uzlů ve směru y, značí vzdálenost dvou sousedních uzlů, ϕ m,n je hodnota potenciálu v uzlu, ležícím v m-tém sloupci a n-té řadě, a ε n je permitivita vrstvy mezi n-tou a (n+) řadou. Vztah (6.) platí samozřejmě pouze přibližně, neboť náhradou derivací diferencemi jsme se dopustili určité chyby. Tato chyba bude přitom tím menší, čím kratší bude interval mezi dvěma sousedními uzly. Nyní, když máme druhý krok za sebou (parciální derivace ve vztahu (6.9) jsou nahrazeny diferencemi), můžeme přistoupit k sestavování maticové rovnice. Aplikací obecného vztahu (6.) na všechny uzly s neznámým potenciálem (uzly ležící mimo stěny stínicího vlnovodu, na nichž předpokládáme nulový potenciál, a uzly ležící mimo mikropásek, na němž předpokládáme potenciál V) získáme soustavu N lineárních rovnic pro N neznámých hodnot 9 U středové diference je platnost vypočtené hodnoty uvažována v bodě, ležícím uprostřed mezi uzly, z nichž diferenci počítáme. Středová diference je přesnější než diference levá nebo pravá (platnost hodnoty diference je uvažována v levém, resp. pravém uzlu intervalu). Je to dáno tím, že hodnota diference bývá nejblíže k směrnici tečny derivované funkce právě uprostřed intervalu, jak je naznačeno na obr. 6.3).

154 5 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně potenciálů v uzlech mimo kovové části mikropáskového vedení. Pokud navíc přejdeme od dvou-indexového číslování potenciálů k číslování jedno-indexovému (neznámé potenciály f(x) f'(x + ) m f(x) [ f(x m)-f(x m+ ) ] /. f'(x ). m f'(x + /) m x m x m + x Obr. 6.3 Srovnání směrnice konečné diference [f( x m) - f( x m+ )]/ se směrnicemi tečen v levém krajním bodě intervalu f'( x m), ve středu intervalu f'( x m+ /) a v pravém kraj- ním bodě intervalu f'( x + ) m f'(x m+ /) f''(x m). f'(x m- /).. x m- xm x m+ x Obr. 6.4 Poloha bodů, v nichž pomocí středových diferencí odhadujeme hodnotu první a druhé derivace funkce xx xx číslujeme po řadách od levého dolního rohu k pravému hornímu rohu, jak je naznačeno na obr. 6.), můžeme uvedenou soustavu zapsat v následujícím tvaru: c, c, L c, c, c, L c, M M O M c, c, L c, N N ϕ r ϕ r = M M ϕ r N N N N N N (6.) Vektor pravých stran je tvořen příspěvky známých uzlových hodnot potenciálu (uzly na mikropásku a na stínicím vlnovodu) k hledaným uzlovým hodnotám potenciálu. Např. pro uzel č. (obr. 6.) bychom dostali rovnici takže ( ) ( ) ε ε ϕ ϕ ϕ ε ϕ ε ϕ ε + ε ε ε + c, = ε + ε c, = (6.) (6.3a) (6.3b) r = ε (6.3c) a zbytek koeficientů v první řadě bude nulový.

155 Vysokofrekvenční technika a antény 53 Při výše uvedeném výpočtu jsme uvážili symetrii elektrostatického pole ve struktuře, a to náhradou potenciálu za osou symetrie ϕ - potenciálem v uzlu, ležícím zrcadlově vůči ose symetrie, tedy ϕ. V posledním kroku nám pak stačí vypočíst z maticové rovnice (6.) vektor neznámých uzlových potenciálů (obr. 6.5). Tím je výchozí diferenciální rovnice (6.9) vyřešena (samozřejmě s určitou chybou) a metoda konečných diferencí zde končí. Z praktického hlediska je však pro nás důležitější znalost charakteristické impedance vedení a fázové konstanty na vedení nežli informace o rozložení potenciálu v průřezu tohoto vedení. Charakteristickou impedanci musíme totiž znát kvůli impedančnímu přizpůsobování a fázová konstanta nám charakterizuje šíření vlny podél vedení. Informaci o rozložení potenciálu tudíž v mnoha případech vůbec nepotřebujeme. Na druhou stranu, jak charakteristickou impedanci tak fázovou konstantu můžeme vypočíst právě z rozložení potenciálu, takže naše dosavadní práce nebyla zbytečná. Při výpočtu charakteristické impedance a fázové konstanty musíme nejdříve zjistit rozložení elektrické intenzity v průřezu vedení. K jejímu vyčíslení využijeme vztahu (6.6), přičemž derivace budeme opět aproximovat konečnými diferencemi ϕ ϕ x m+, n m, n E m +, n = (6.4a) ϕ y mn, + ϕmn, E mn, + = (6.4b) Ve výše uvedených vztazích značí E x m+,n odhad 3 x-ové složky elektrické intenzity v bodě [(x m,n + x m+,n )/, y m,n ], symbol E y m,n+ je odhad y-ové složky elektrické intenzity v bodě [x m,n, (y m,n + y m,n+ )/], značí vzdálenost dvou sousedních uzlů a u potenciálů ϕ jsme se pro tuto chvíli vrátili k dvoj-indexovému značení, neboť při této formě zápisu jsou diference (6.4) snadněji pochopitelné. Pro námi zkoumané mikropáskové vedení (pro tuto chvíli uvažujme bezeztrátovost dielektrika; všechny ostatní specifikace z počátku kapitoly však platí) je rozložení elektrické intenzity, vypočtené právě popsaným způsobem, nakresleno na obr Jelikož však popsaný způsob výpočtu ϕ [V],8 poskytuje informaci o složkách vektoru elektrické intenzity v různých bodech (zatímco x-ová složka elektrické intenzity leží uprostřed mezi uzly v x-ovém směru, y-ová složka leží uprostřed mezi uzly v y-ovém směru), přepočetli jsme tyto složky pomocí lineární interpolace doprostřed buňky, v jejichž rozích uzly sítě ležely.,6,4,, y x Obr. 6.5 Prostorový průběh skalárního potenciálu v průřezu stíněného mikropáskového vedení y x Obr. 6.6 Rozložení elektrické intenzity v průřezu stíněného mikropáskového vedení 3 Slovem odhad se zde snažíme zdůraznit skutečnost, že získaná hodnota veličiny není hodnotou přesnou, ale přesné hodnotě se s určitou chybou blíží. Chybu do výpočtu vnášíme náhradou derivací diferencemi a dalšími zjednodušeními. Velikost celkové chyby odhadu hodnoty veličiny záleží na vzdálenosti uzlů a na dalších parametrech výpočtu.

156 54 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Nyní, když známe rozložení elektrického pole v naší mikropáskové struktuře, můžeme vypočíst charakteristickou impedanci mikropáskového vedení a fázovou konstantu. Výpočet obou veličin přitom vychází z náboje, akumulovaného na mikropásku. Mikropásek tedy obklopíme cylindrickou plochou obdélníkového průřezu a jednotkové délky a integrujeme po této ploše r r ε E ds= Q (6.5) S Známe-li náboj akumulovaný na jednom metru mikropásku Q a známe-li potenciál mikropásku ϕ M, můžeme vypočíst kapacitu vedení na jeden metr délky Q M C = (6.6) ϕ Dále opakujeme stejný výpočet pro vedení, jehož substrát byl nahrazen vakuem (ε = ε ), a vypočteme tak kapacitu popsaného vzduchového vedení na metr délky C a. Díky této kapacitě pak můžeme dostat charakteristickou impedanci analyzovaného vedení vyčíslením kde Z a je dáno vztahem Z a Ca = Z (6.7a) C a kde c je rychlost světla ve vakuu. Co se týká fázové konstanty, tu můžeme vypočíst podle vztahu Z a = (6.7b) cc a C β= β C a (6.8a) kde β značí fázovou konstantu ve vakuu ω β = (6.8b) c a kde ω je úhlový kmitočet vlny, jejíž fázovou konstantu počítáme. V tomto okamžiku jsme v situaci, kdy umíme vyřešit diferenciální rovnici (6.9), která popisuje rozložení potenciálu ve stíněném mikropáskovém vedení. Dále víme, jak na základě tohoto rozložení potenciálu vypočíst rozložení vektoru elektrické intenzity v průřezu vedení, charakteristickou impedanci a fázovou konstantu. Proto je nejvyšší čas využít naše znalosti pro napsání programu v MATLABu, který bude počítat parametry stíněného mikropáskového vedení. Jak jsme se zmínili v předchozích odstavcích, musíme analyzovat vedení dvakrát: jednou se substrátem a podruhé bez substrátu. Proto je vhodné napsat si proceduru, která bude mít vektor hodnot relativní permitivity v jednotlivých vrstvách sítě jako parametr a která bude počítat matici koeficientů C a vektor pravých stran R (viz vztah 6.) pro oba případy. Při psaní procedury pro sestavování matice koeficientů C a vektoru pravých stran R budeme v podstatě softwarově realizovat vztah (6.). Vezmeme přitom v úvahu skutečnost, že první a poslední řada uzlů a pravý sloupec uzlů reprezentují nulový potenciál na plášti stínicí-

157 Vysokofrekvenční technika a antény 55 ho vlnovodu. Proto matici C sestavujeme pouze pro druhou až předposlední řadu uzlů a pro první až předposlední sloupec uzlů. Sestavování řádků matice C, které odpovídají uzlům sousedícím s dokonale vodivými stěnami stínicího vlnovodu, musíme přitom věnovat speciální pozornost: za uzlové hodnoty potenciálu na vodivých stěnách musíme dosazovat nuly. O speciální pozornosti pro uzly na ose symetrie (první sloupec uzlů zleva) jsme se již zmínili v předchozím textu. Mikropásek s jednotkovým potenciálem nebereme při popisovaném sestavování matice C vůbec v úvahu. Až když je matice C zcela hotova, vypustíme z ní řádky odpovídající uzlům na mikropásku. Sloupce matice C, odpovídající uzlům na mikropásku, sečteme a u součtu změníme znaménko: tím dostaneme vektor pravých stran R. Nakonec sloupce, z nichž jsme sestavili vektor pravých stran R, opět z matice C vypustíme. Tím máme matici koeficientů a vektor pravých stran sestaveny. Nyní, když máme k dispozici matici C a vektor pravých stran R, můžeme pomocí operace převrácené lomítko vyřešit maticovou rovnici 3 (6.) vct = C \ R; Vektor uzlových hodnot potenciálu vct poté předáváme m-souboru cap.m. Tento soubor v prvém kroku vektor potenciálu převede na matici, jejíž prvky odpovídají poloze uzlů v síti konečných diferencí, která pokrývá průřez vedení. Při této operaci musíme vypočtené hodnoty potenciálu samozřejmě zpětně doplnit o nulové hodnoty na stěnách stínicího mikropásku a o jednotkové hodnoty na mikropásku samotném. Popsanou přeměnu vektoru uzlových potenciálů na matici jsme podnikli jednak z důvodu vizualizace rozložení potenciálu v průřezu analyzovaného vedení figure; % otevření nového okna pro graf colormap( autumn); % volba podzimních barev pro průběh potenciálu surf( pot'); % trojrozměrná síť s barevným odlišením hodnot a jednak z důvodu snazšího výpočtu složek elektrické intenzity diferencováním potenciálu ve směru x (x-ová složka intenzity) a ve směru y (y-ová složka intenzity) for y=:ny for x=:nx Ex( x,y) = ( pot( x+,y) - pot( x,y)) / h; end end Ey( x,y) = ( pot( x, y+)- pot( x,y)) / h; % x-ová diference % y-ová diference Rozložení elektrického pole pak můžeme vykreslit např. ve formě vektorového pole figure; quiver( -Ex', -Ey'); % otevření nového okna pro graf % vektorové pole V posledním kroku pak integrujeme elektrickou intenzitu po křivce, obklopující mikropásek, abychom zjistili náboj na tomto vodiči. Nejdříve postupujeme ve vrstvě uzlů pod mikropáskem (v substrátu) a sčítáme y-ové složky elektrické intenzity 3 násobené délkou buňky a per- 3 Převrácené lomítko je symbolem pro řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussovy eliminační metody. Tato metoda je v MATLABu rychlejší a přesnější nežli řešení soustavy, založené na výpočtu inverzní matice. 3 Na integrační ploše rovnoběžné s osou x je skalární součin normály k této ploše a x-ové složky elektrické intenzity nulový, neboť tyto vektory jsou na sebe kolmé.

158 56 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně mitivitou substrátu, pak obdobným způsobem postupujeme nad mikropáskem (ve vakuu) a nakonec vpravo od mikropásku (zde však samozřejmě sčítáme x-ové složky elektrické intenzity). Vypočtený náboj vynásobíme dvěma, neboť jsme počítali jen s polovinou mikropásku. Jelikož potenciál mikropásku je Volt, velikost náboje je číselně přímo rovna kapacitě mikropásku na jeden metr délky. Vypočteme-li kapacitu analyzovaného vedení jednak za přítomnosti substrátu a jednak bez něj, můžeme na základě vztahu (6.7) určit charakteristickou impedanci. Tím je program pro kvazi-statický výpočet charakteristické impedance vedení metodou konečných diferencí kompletně hotov Užitečné vztahy pro přibližný výpočet parametrů mikrovlnných vedení V tomto odstavci si bez podrobnějšího vysvětlení uvedeme vztahy, které byly odvozeny pomocí metody konformního zobrazení a které slouží k výpočtu základních kvazi-statických parametrů otevřeného mikropáskového vedení (obr. 6.9a). w t ε w ef w ef h ε r ε ε r ε ef Obr. 6.7 Využití konformního zobrazení pro výpočet parametrů otevřeného mikropás- kového vedení: struktura převedena na deskový kondenzátor. Základní myšlenka přístupu spočívá v převedení otevřeného mikropáskového vedení na ekvivalentní deskový kondenzátor (ekvivalentní z hlediska elektrostatických parametrů). Původní otevřená struktura je pomocí konformního zobrazení převedena na kondenzátor s šířkou elektrody w ef a s nehomogenní dielektrickou výplní. Část výplně je tvořena vzduchem nad substrátem ε, část je tvořena dielektrikem substrátu ε r. Jelikož s nehomogenní dielektrickou výplní se nepočítá snadno, převedeme ji na ekvivalentní homogenní výplň s permitivitou ε ef. Celý postup je naznačen na obr Přesné konformní zobrazení je vyjádřeno pomocí úplných eliptických integrálů, Jacobiho eliptických funkcí a theta funkcí. Takové vyjádření je však velmi komplikované, a tudíž nevhodné pro technickou praxi. Proto bylo přesné řešení aproximováno přibližnými vztahy, které předpokládají nulovou tloušťku pásku t h h w w ef = w +.4h h - pro w w h w ef π h = 8h w ln + w 4h 6 w pro h (6.9a) (6.9b) Vliv nenulové tloušťky vodiče na efektivní šířku pásku w ef vyjádříme pomocí korekčního členu w kde w = w + w (6.3) ef ef

159 Vysokofrekvenční technika a antény 57 t 4πw w =.5 + ln π pro t w = t.5 π + h ln t pro w h w h π π (6.3a) (6.3b) V dalším kroku se zaměříme na výpočet efektivní permitivity ε ef. Její hodnota musí ležet v intervalu ε + r e ε ef r (jak je vidět z obr. 6.7, efektivní permitivitu počítáme jako průměr vážené permitivity vakua a substrátu; váhovací koeficient vyjadřuje podíl média na objemu mezi elektrodami). Tab. 6. Katalogový list firmy ROGERS Pro výpočet efektivní permitivity (a to včetně korekce na tloušťku pásku) pak můžeme použít vztahy

160 58 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně εr + εr w r t h ε w ε ef = pro h h 4.6 w h h + w εr + εr εr t h w ε ef = + - pro h 4.6 w h h + w (6.3a) (6.3b) V následném kroku můžeme vypočíst charakteristickou impedanci otevřeného mikropáskového vedení Z v Z v π h = (6.33) ε w ef ef Tab. 6. Katalogový list firmy POLYFON

161 Vysokofrekvenční technika a antény 59 Pokračujme uvedením vztahu pro výpočet délku vlny na vedení c λ g = (6.34) f ε kde c je rychlost vlny ve vakuu a f je pracovní kmitočet. Ze známé délky vlny můžeme určit fázovou konstantu β a fázovou rychlost v f λ g ef π β = (6.35) v f c = (6.36) ε ef Výše uvedené vztahy (6.9) až (6.36) lze použít pro výpočty na kmitočtech, které odpovídají velmi nízkým jednotkám GHz. Pokud kmitočet zvyšujeme, musíme do výpočtů zahrnout korekce, které modelují disperzi vidu kvazi-tem. Pro výpočet efektivní permitivity tak dostáváme vztah e ef ( f ) ( ) ε r - ε ef = ε r - (6.37) + G TE ( f f ) kde ε ef () je efektivní permitivita na nízkých kmitočtech, kterou vypočteme podle vztahu (6.3), f m TE je kritický kmitočet vyššího vidu počítaný podle f TE m ( ) m ZV = (6.38) µ h Zv() je charakteristická impedance vedení na nízkých kmitočtech a G je empirický faktor určený vztahem ( ) ( ) er - Zv G = π (6.39) e 6 Vztah pro efektivní šířky pásku zahrnující kmitočtovou korekce je dán výrazem ef wef - w wef ( f ) = w + (6.4) TE + ( f/f ) m Vztah pro kmitočtově korigovanou hodnotu vlnového odporu je dán výrazem Z v ( f ) ( ) π h = (6.4) w ef ( f ) ε ( f ) Pro kmitočtově korigovanou konstantu útlumu α c (ztráty ve vodičích) pak dostáváme ef.38 R w w s 8h ef h h ef α + + c = pro w w h w w t 8h ef 4 h ef ef ef h Z + v wef 4h w ef (6.4a)

162 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně = t w h w w h w h w h h Z R ef ef ef ef ef v s c α pro h w ef (6.4b) kde R s je měrný vysokofrekvenční odpor povrchu vodiče C s σ µ R ω = (6.43) a σ c je měrná vodivost kovových částí. Tab. 6.3 Katalogový list firmy ARLON Dále = t w t w ef π π 4 ln pro π h w (6.44a)

163 Vysokofrekvenční technika a antény 6 w ef h w = ln pro (6.44b) t π t h π Pro kmitočtově korigovanou konstantu útlumu (ztráty v dielektrickém substrátu) α d pak dostáváme vztah ε ε ef r tgδ α d = 7.3 (6.45) ε e λ kde tg δ je tangenta ztrátového úhlu dielektrika. Celkový útlum je pak dán součtem α c + α d Parametry komerčních mikrovlnných substrátů r Dostupných substrátů pro mikrovlnné aplikace existuje v současné době značné množství. Mezi nejvýznamnější výrobce těchto substrátů patří firmy Arlon, Polyfon a Rogers. Kopii vybraných přehledových katalogových listů těchto výrobců uvádíme v tabulkách 6. až 6.3, aby čtenář získal povědomí o typických hodnotách parametrů Kontrolní příklady. Vlnovod R 48 má příčné rozměry a = mm, b =.6 mm. Vypočtěte kritické kmitočty nejnižších vidů TE. Řešení: Dosazením do vztahu mπ f krit = + nπ µε π a b dostaneme pro zvolené kombinace vidových čísel m, n následující výsledky: TE m,n,, 3,,,,,,, λ krit [mm] f krit [GHz] Určete pásmo jednovidovosti vlnovodu R 48. [ f <3.5; 6.3> GHz ] 3. Vypočtěte kmitočtovou závislost délky vlny, fázové a skupinové rychlosti vlny ve vlnovodu R 48. Řešení: Dosazením zvolených hodnot kmitočtu (f > f krit ) do vztahů ef λ krit = λ ( ) f f krit

164 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně v f = v ( f f ) krit ( ) v = v f f sk krit získáme např. pro f =4 GHz hodnoty λ g = mm, v f = m/s, v g = m/s. 4. Úsek vlnovodu R 48 má délku l =3 mm. Na jakém kmitočtu vyjde na délku úseku a) jedna půlvlna; b) dvě půlvlny. Řešení: V případě a) je délka vlny ve vlnovodu λ g rovna dvojnásobku délky úseku l. Úpravou v v f = ( fkrit f ) dosazením dostaneme f = 3.36 GHz. Podobně v situaci b) je třeba srovnat hodnotu λ g s délkou úseku vlnovodu a výsledkem je kmitočet f = 3.9 GHz. Všimněme si, že druhý výsledek není dvojnásobkem kmitočtu v situaci a) Kontrolní otázky. V čem je specifický návrh obvodů na mikrovlnných kmitočtech?. Jaké znáte představitele mikrovlnných vedení? Jednotlivé typy stručně popište. 3. Co je to vlnovod? Jaké typy vlnovodů znáte? 4. Jak závisí fázová konstanta vlnovodu na kmitočtu budícího napětí? 5. Co je to kritický kmitočet a na čem závisí? 6. Co je to dominantní vid? Který vid je dominantní v obdélníkovém vlnovodu? Dominantní vid stručně popište. 7. Popište základní kroky analýzy dutého vlnovodu v MATLABu pomocí metody konečných prvků. 8. Do kterých dvou skupin můžeme rozdělit numerické metody pro analýzu mikrovlnných struktur? Obě skupiny metod stručně charakterizujte. 9. V čem spočívá kvazi-statický přístup k modelování planárních vedení?. Popište základní kroky analýzy dutého vlnovodu v MATLABu pomocí metody konečných diferencí.. Jak lze ze známého rozložení intenzity elektrického pole vypočíst charakteristickou impedanci a fázovou konstantu stíněného mikropáskového vedení?

165 Vysokofrekvenční technika a antény Pasivní mikrovlnné obvody V následujících odstavcích se budeme věnovat pasivním mikrovlnným obvodům. Ukážeme si, jak lze z úseku mikropásku vytvořit induktor a kapacitor. Z vytvořených induktorů a kapacitorů budeme pak v následném kroku realizovat kmitočtové filtry. 6.. Induktory a kapacitory V kapitole 4..5 jsme si ukázali, že se krátký úsek vedení (jeho délka musí být menší než čtvrtina délky vlny na vedení) chová jako induktor. Indukčnost tohoto induktoru je tím větší, čím větší je charakteristická impedance vedení Z V Z(ζ) = j Z V tg(βζ) = jω L L = Z V tg(βζ) / ω Aby byla charakteristická impedance vedení Z V co možná největší, musí být efektivní šířka pásku w ef co možná nejmenší Z π h V = (6.33) ε w ef ef Chceme-li vytvořit induktor z prostého přímého úseku vedení (obr. 6.8a), můžeme dosáhnout pouze relativně malých hodnot indukčnosti. Proto se mikropásky svinují do smyček (obr. 6.8b) nebo se z nich skládají spirály (obr. 6.8c). a) b) c) s d) w r d l e) l w t D Z v Z v w Obr. 6.8 Planární induktory: a) úsek pásku ve volném prostoru; b) plochá smyčka; c) čtvercová spiráralelní la; d) sériový induktor z krátkého úseku vedení; e) pal Z L induktor z krátkého úseku vedení Induktory z úzkého úseku vedení lze přímo integrovat do mikropáskového obvodu, a to jak sériově (obr. 6.8d) tak paralelně (obr. 6.8e). V obou zmíněných případech lze indukčnost vypočítat podle vztahu Z L l ε ef L = (6.46) c Kromě indukčnosti vykazuje krátký úsek vedení rovněž kapacitu (kapacita mezi plochou pásku a zemní deskou) a odpor (ztráty ve vodiči). Je-li však induktor navržen správně, jeho indukčnost je dominantním parametrem úseku vedení. Dále se zamysleme nad možnostmi realizace planárních kapacitorů. Jednoduchý sériový kapacitor můžeme realizovat úzkou štěrbinou v mikropáskovém vodiči (obr. 6.9a). Čím užší je štěrbina, tím menší je vzdálenost mezi elektrodami (otevřenými konci levého a pravého mikropásku) a tím větší kapacity dosáhneme. Využijeme-li svých znalostí z kapitoly 4..5, můžeme realizovat kapacitor pomocí krátkého úseku vedení, který je na konci naprázdno. Délka úseku vedení musí být opět menší než Z L

166 64 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně čtvrtina délky vlny na vedení. Kapacita kapacitoru je tím větší, čím menší je charakteristická impedance vedení Z(ζ) = -j Z V cotg(βζ) = -j/(ωc) C = / [Z V cotg(βζ) ω] Aby byla charakteristická impedance vedení Z V co možná nejmenší, musí být efektivní šířka pásku w ef co možná největší (viz vztah 6.33). a) b) c) l Z V Z V w Z v Z V Z V Z V s Z C Z l C w Obr. 6.9 Planární kapacitory: w a) mezera v mikropásku; b) kapacitor z krátkého úseku vedení; c) kapacitní pahýl Induktory z úseku vedení na konci naprázdno jsou nakresleny na obr. 6.9b a 6.9c. Kapacitní úsek je umístěn kolmo na hlavní mikropásek. Takto realizovaný kapacitor je připojen paralelně k hlavnímu vedení (jedná se o kapacitu mezi plochou širokého mikropásku a zemní deskou). V obou zmíněných případech můžeme kapacitu kapacitoru vypočíst podle vztahu l εef C = (6.47) c Z Kromě kapacity vykazuje krátký úsek vedení rovněž indukčnost a odpor. Je-li však kapacitor navržen správně, jeho kapacita je dominantním parametrem. Nyní jsme obeznámeni s realizací jednoduchých planárních induktorů a kapacitorů, a proto se v dalším odstavci pokusíme z těchto elementů sestavit kmitočtový filtr. 6.. Kmitočtové filtry Postup návrhu mikropáskových filtrů si vysvětlíme na příkladu dolní propusti. První krok návrhu spočívá ve výběru vhodné prototypové dolní propusti. Prototyp filtru přitom vybíráme na základě požadovaného mezního kmitočtu, maximálního možného zvlnění přenosové charakteristiky v propustném pásmu a daného počtu reaktančních prvků. Představme si tedy, že máme navrhnout dolní propust s mezním kmitočtem f c = GHz, která sestává ze tří reaktančních prvků, která má v propustném pásmu zvlnění menší než. decibelu a která má být připojena na vstupu i výstupu k mikropáskovému vedení s charakteristickou impedancí Z = 5 Ω. Náhradní obvod popsaného filtru je nakreslen na obr. 6.. V literatuře, která se věnuje návrhu filtrů, můžeme v tabulkách filtrů zjistit, že výše uvedeným požadavkům L L 3 vyhovuje Čebyševův filtr s hodnotami prvků g = g C g 4 = = g 3 =.36 g =.474 navrhované dolní propusti pro normovaný mezní kmitočet Ω c =.. Z tabelovaných hodnot g i pak počítáme indukčnosti a kapacity C Z Obr. 6. Z Náhradní obvod

167 Vysokofrekvenční technika a antény 65 L Z Ω c = L3 = g g π fc = H (6.48a) C g Ω c = g Z π fc = 3.65 F (6.48b) Uvedené hodnoty indukčností a kapacit budeme realizovat pomocí induktorů a kapacitorů, vytvořených z úseku mikropáskového vedení. K tomu ovšem potřebujeme znát parametry substrátu, z něhož chceme svůj obvod vyrobit. Předpokládejme tedy, že máme k dispozici substrát s relativní permitivitou ε r =.8 a s výškou h =.7 mm. Charakteristickou impedanci indukčních úseků obvykle volíme jako polovinu charakteristické impedance hlavního vedení a charakteristickou impedanci kapacitních úseků nastavujeme přibližně na dvojnásobek charakteristické impedance hlavního vedení. Jelikož naše hlavní vedení má charakteristickou impedanci Z = 5 Ω, volíme pro indukční úseky Z L = 93 Ω a pro úseky kapacitní Z C = 4 Ω. Odpovídající parametry hlavního, indukčního a kapacitního vedení pro kmitočet f c = GHz jsou shrnuty v tab Charakteristická impedance [Ω] Z C = 4. Z = 5. Z L = 93. Délka vedené vlny [mm] λ gc = 5. λ g =. λ gl = 8. Šířka mikropásku [mm] w C = 4. w =. w l =. Tab. 6.4 Parametry mikropásku pro návrh dolní propusti V dalším kroku již můžeme vypočíst takové délky úseků vedení, které realizují požadované indukčnosti a kapacity λgl ω c L l = sin =.4 mm L (6.49a) π ZL λgc lc = sin ( ωcc ZC ) = 9.75mm (6.49b) π Uvedený výpočet zanedbává parazitní kapacitu indukčních úseků a parazitní indukčnost kapacitních úseků. Hodnoty vypočtených délek úseků můžeme korigovat s ohledem na parazitní reaktance pomocí následujících vztahů: π ll + π lc ω = cl Z L sin Z C tg (6.5a) λgl λgc π lc + π ll ω = cc sin tg (6.5b) Z C λgc ZL λgl Výsledkem korekce je snížení délky induktivních úseků z.4 mm na 9.8 mm a zkrácení kapacitních úseků z 9.75 mm na 7. mm. Motiv výsledného filtru je nakreslen na obr. 6.a. Na obr. 6.b jsou pak uvedeny výsledky vlnové simulace chování filtru: s je přenos filtru, s je činitel odrazu na vstupu filtru. Z obrázku je vidět, že navržený filtr vyhovuje požadavkům našeho návrhu.

168 66 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 6..3 Kontrolní otázky. Vyjmenujte a popište základní typy planárních induktorů. Jak vypočítáme indukčnost sériového induktoru z krátkého úseku vedení a paralelního induktoru z krátkého úseku vedení?. Vyjmenujte a popište základní typy planárních kapacitorů. Jak vypočítáme kapacitu kapacitoru z krátkého úseku vedení a kapacitu kapacitního pahýlu? 6.3 Komerční programy pro návrh mikrovlnných obvodů Pro návrh mikrovlnných obvodů máme v současné době k dispozici celou řadu profesionálních programů, které umožňují v grafickém editoru vyvíjený obvod sestavit, simulovat jeho činnost a optimalizovat jeho parametry tak, aby se co nejvíce přiblížily parametrům požadovaným. Mezi nejvýznamnější výrobce programů pro mikrovlnnou techniku patří firma ANSOFT Corp. Programový balík pro vývoj planárních obvodů nese název SERENADE. Balík SERENADE sestává ze dvou modulů, z modulu HARMONICA pro návrh nelineárních obvodů a z modulu SYMPHONY pro blokový návrh celých komunikačních řetězců. Program HARMONICA vyniká bohatou knihovnou pasivních i aktivních komponentů, z nichž lze sestavit téměř libovolný obvod. Kromě simulačního jádra program rovněž obsahuje celou řadu optimalizačních nástrojů, s jejichž pomocí může návrhář promyšleně svůj návrh vylepšovat. Program umí na základě navrženého obvodu samočinně exportovat mikropáskový motiv obvodu, který pak stačí zvolenou technologií přenést na mikrovlnný substrát. Obr. 6. a) Motiv navržené dolní propusti b) Rozptylové parametry navrženého filtru Kromě profesionální verze programu dává firma na svých Internetových stránkách k dispozici zcela zdarma studentskou verzi programu. Studentská verze má omezen počet prvků, z nichž může obvod sestávat, a neumí generovat motiv obvodu. Dalším významným výrobcem programů pro mikrovlnnou techniku je firma Applied Wave Research Inc. Vlajkovou lodí společnosti je program Microwave Office. Schopnosti tohoto