Matematické metody v kartografii Členění kartografických zobrazení. Zobrazení z elipsoidu na kouli (5.)
1. Členění kartografických zobrazení: Existuje velkémnožstvíkarografických zobrazení. Lze je členit podle různých kritérií. Nejčastěji používaná kritéria: p Podle kartografických zkreslení p Podle tvaru obrazu geografickésítě
. Členění podle kartografických zkreslení p Konformní (úhlojevné) zobrazení: Nezkreslují úhly, velké zkreslení ploch. p Ekvidistantní(délkojevné) zobrazení: Nezkreslují délky v určitém směru. Neexistuje zobrazení, které by nezkreslovalo délky ve všech směrech. p Ekvivalentní(plochojevné) zobrazení: Nezkreslují plochy, velkézkreslení úhlů. p Vyrovnávací(kompenzační) zobrazení: Zkreslují vše, snaha o minimalizaci jednotlivých zkreslení.
3. Členění podle tvaru obrazu geografické sítě Kritérium popisuje způsob vzniku obrazu geografickésítě. Rozdělenído 6 kategorií: 1) Zobrazeníz elipsoidu na kulovou plochu ) Jednoducházobrazení 3) Nepravázobrazení 4) Polykónickázobrazení 5) Polyedrickázobrazení 6) Neklasifikovanázobrazení Kartografickáprojekce: Zobrazenívzniklégeometrickou cestou, promítáním na rovinu či plášť válce. Zařazeny do skupiny jednoduchých zobrazení.
4. Jednoduchá a nepravázobrazení Jednoducházobrazení zobrazují na plochu rozvinutelnou do roviny Dělení na: p Kuželová zobrazení p Válcová zobrazení p Azimutální zobrazení x y f ( u) g( v) Nepravázobrazení Snaha o eliminaci některých nevhodných vlastností jednoduchých zobrazení (rychlý růst zkreslení). Dělení na p Nepravá kuželová zobrazení (pseudokuželová) p Nepravá válcová zobrazení (pseudoválcová) p Nepravá azimutální zobrazení (pseudoazimutální) x y f ( u, v) g( u)
5. Mnoho kuželová, polyedrická, neklasfikovanázobrazení. Mnohokuželová zobrazení(polykónická) Zobrazování probíhá na nekonečný počet kuželů. Kužely jsou tečné, na každý z nich se zobrazíjedna dotyková rovnoběžka. Polyedrická zobrazení(mnohostěnná) Nejedná se o nový způsob zobrazení. Rozdělení zobrazovaného území na části, každá část zobrazována samostatně (i za použití různých kartografických zobrazení. Neklasifikovaná zobrazení Ostatní zobrazení, která není možno zařadit do některé z předchozích skupin.
6. Jednoduchá kuželová zobrazení Zobrazení na plášť kužele. Kužel: tečný nebo sečný. p Tečný kužel1 nezkreslená (dotyková) rovnoběžka. p Sečný kužel nezkreslené rovnoběžky, nesymetrické. Nejmenší hodnoty zkreslení: kolem nezkreslené rovnoběžky/rovnoběžek.
7. Jednoduchá válcovázobrazení Zobrazení na plášť kužele. Válec: tečný nebo sečný. p Tečný válec1 nezkreslená (dotyková) rovnoběžka. p Sečný válec nezkreslené rovnoběžky, symetrické. Nejmenší hodnoty zkreslení: kolem nezkreslené rovnoběžky/rovnoběžek.
8. Jednoduchá azimutální zobrazení Normální poloha Transverzální poloha Obecná poloha Zobrazenína tečnou rovinu. Nejmenšízkreslení: v dotykovém bodě. Použitípro mapy polárních oblastí.
9. Ukázka kuželového ekvidistantního zobrazení Geografickásíť: Normální poloha. 1 nezkrelenárovnoběžka ϕ45. Tečný kužel.
10. Ukázka válcového ekvidistantního zobrazení Geografickásíť: Normální poloha.1 nezkrelenárovnoběžka ϕ0. Tečný válec.
11. Ukázka azimutálního ekvidivalentního zobrazení Geografickásíť: Normální poloha. Dotykový bod ϕ90.
1. Ukázka ekvideformát kuželového ekvidistantníhozobrazení Geografickásíť: Normální poloha. 1 nezkrelenárovnoběžka ϕ45. Tečný kužel. Ekvideformáty m p, krok 0.5 Interval <1,4>
13. Ukázka ekvideformát válcového konformníhozobrazení Geografickásíť: Normální poloha. 1 nezkrelenárovnob. ϕ0. Tečný válec. Ekvideformáty m p, krok 0.5 Interval <1,4.5>
14. Ukázka ekvideformát azimutálního ekvivalentního zobrazení Geografickásíť: Normální poloha. Dotykový bod ϕ90. Ekvideformáty m p, krok 0.5 Interval <1,4.5>
15. Zobrazení referenčního elipsoidu na kouli Společné vlastnosti: p Používá se při požadavku přesné polohové lokalizace bodů, jinak postačuje referenční koule. p Typické využití: velkoměřítkové mapy (u nás JTSK) p Geografie a maloměřítkové mapování: nepoužívají se p Obrazy poledníků: úsečky p Obrazy rovnoběžek: obecné křivky p Obrazy poledníků a rovnoběžek jsou na sebe kolmé: ortogonální zobrazení p Pól se zobrazí jako bod
16. Zobrazovací rovnice a zkreslení Délkový element v poledníku a rovnoběžce: u f ( ϕ) Zobrazovacírovnice: v αg( λ) α je konstanta zobrazení d d pol rov Mdϕ N cosϕ cosλ Výchozí požadavek: λ odpovídá v. Tři situace: p p p α<1: elipsoid nepokryje celou kouli α1: elispoid pokryje celou kouli α>1: některé části elipsoidu se na kouli nezobrazí. Kartografická zkreslení: m m p r Rdu Mdϕ R cos udv α N cosϕdλ P m p m r sin ω m m r r m + m p p
17. Zobrazení se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi Poměrně často používané, v podstatě zanedbáváme elipsoid >jako výchozí referenční plochu používáme kouli. Zobrazení zkresluje vše, pro Ra na rovníku m r 1. Zobrazovací rovnice: u v Kartografická zkreslení: Volba R: R a ϕ αλ m m zde α 1 p r R M R, protože ( u ϕ) N R P MN ω sin M M + N N R b R R R M N MN R R a 3 a b...stejný povrch + b 3...stejný objem
18. Konformnízobrazení Využito v Křovákově zobrazení, pro velkoměřítkové mapy Švýcarska. Odvodil J. F. Gauss Podmínka: m p m r p0. Zkreslení: Rdu Mdϕ du cos u R cos udv N cosϕdλ α M dϕ α N cosϕ (1 e (1 e sin e u 1 ϕ ϕ 1 esin tg( + 45) tg( + 45) k ϕ 1+ esin v αλ Kontanty zobrazení: α, k, R. Jak je určit: a) Souvislé zobrazení elipsoidu na kouli b) Zobrazení části elipsoidu na část koule ) dϕ ϕ) cosϕ α αr cosu m N cosϕ P m αr cosu N cosϕ
19. Volba konstanty pro souvislé zobrazení Výsledkem je souvislé zobrazení celého elipsoidu na kouli. Požadavek: p rovníku odpovídá rovník, tj. ϕ0>v0 Konstanty: α1, k1, Ra Důsledek: p Nezkreslený rovník p Se vzdáleností od rovníku hodnoty zkreslení narůstají p Nevhodné pro severně/jižně rozloženáúzemí
0. Volba konstanty pro zobrazení části elipsoidu na část koule Výsledkem je nesouvislé zobrazení části elipsoidu na část koule. Symbolika: ϕ 0 nezkreslená rovnoběžka Délkové zkreslení: ϕ s severní rovnoběžka (okrajová) ϕ j jižní rovnoběžka (okrajová) m f ( ϕ) f ( ϕ0 + ϕ) Aproximace Taylorovým polynomem: m ϕ! 3 podmínky: f(ϕ)1, f (ϕ)0, f (ϕ)0, z nich α,k, R ϕ < j < ϕ 0 ϕ s Použito u Křovákova zobrazení: u 0 49 7 35.8465 a1.0005974984 R6380703.6105m ϕ n! n ( n) f ( ϕ0) + f ( ϕ0) ϕ + f ( ϕ0) +... + f ( ϕ0) + Rn+ 1 α 1+ e 4 cos ϕ 1 e 0 k tg α ϕ0 ( 1 esinϕ + 45) 1+ esinϕ u0 tg + 45 0 0 αe R a 1 e 1 e sin ϕ 0 sin u 0 sin α ϕ 0