PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2"

Transkript

1 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku (dvojrozměrném intervalu) 3+y spojitá. Užitím Fubiniovy věty převedeme dvojný integrál na dvojnásobný integrál (přičemž nezáleží na pořadí, ve kterém budeme integrovat) a postupnou integrací dostaneme x 3 + y da = 3 = π 3 8 x 3 [ x dy dx = arctg y ] y= dx = 3 + y 3 3 y= 3 x dx = π 3. Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x sin y da, kde =,, π/. Řešení: Funkce f(x, y) = x sin y je na spojitá. Pomocí Fubiniovy věty opět převedeme dvojný integrál na dvojnásobný. Protože meze pro x i y jsou konstantní, opět nezáleží v jakém pořadí budeme integrovat. Postupně dostaneme Date:

2 ZDENĚK ŠIBRAVA π/ x sin y da = x sin y dx dy = = 3 π/ sin y dy = 3. π/ [ x sin y ] x= x= dy = Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál x y da, kde =,,. Výsledek: 4 Příklad.4. Vypočítejte dvojný integrál e x y da, kde =,, 4. Výsledek: 8(e ) Příklad.5. Vypočítejte dvojný integrál ( + x + y) da, 3 kde =,, 4. Výsledek: 9 Příklad.6. Vypočítejte dvojný integrál x y e xy da, kde =,,. Výsledek: Příklad.7. Vypočítejte dvojný integrál xy sin (x + y) da, kde =, π, π/. Výsledek: 4 π Příklad.8. Vypočítejme dvojný integrál xy da, kde je množina ohraničená křivkami y = x a y = x x.

3 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 3,5 x -,5,5,5 -,5 - -,5 - Obr. Řešení: je ohraničená přímkou y = x a parabolou y = x x (Obr. ). Souřadnice průsečíků obou křivek získáme řešením soustavy dvou rovnic y = x, y = x x. Řešením této soustavy zjistíme, že křivky se protnou v bodech (, ) a (, ). Funkce f(x, y) = xy je na spojitá a je zřejmé, že pro libovolné x, je x y x x. Užitím Fubiniovy věty pak dostáváme xy da = = x x x xy dy dx = Příklad.9. Vypočítejme dvojný integrál x y da, [ ] y=x x xy y= x (x(x x ) x 3 ) dx = 6 5. kde je množina ohraničená křivkami y = x, y = x a x = 3. dx = Řešení: nožina je část roviny ohraničená přímkami y = x, x = 3 a hyperbolou y = (Obr. ). x Vyšetřením průsečíků křivek, které tvoří hranici množiny a také z obrázku je zřejmé, že pro všechny body (x, y) množiny je x, 3 a y x. Protože x

4 4 ZDENĚK ŠIBRAVA 3,5 3,5 y,5,5,5,5,5 3 x Obr. 3,5 funkce f(x, y) = x y je na spojitá můžeme použít Fubiniovu větu. Potom x y da = = 3 x 3 /x x 3 dy dx = y ( x + x 3 ) dx = ] y=x [ x y y=/x dx = ] 3 [ x + x4 = 6. 4 Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x y da, kde je množina ohraničená křivkami y = x a y = x. Řešení: nožina je ohraničena parabolou y = x a přímkou y = x (Obr. 3), přičemž hraniční křivky se protnou v bodech (, ), a (4, ) Z obrázku je patrné, že v tomto případě bude lepší dvojný integrál převést pomocí Fubiniovy věty na dvojnásobný tak, abychom integrovali nejdříve podle x a teprve pak podle y. V opačném případě bychom totiž museli množinu rozdělit na dvě množiny, a to na, kde x, a x y x a na, kde x, 4 a x y x. V případě, že zaměníme pořadí integrace, platí pro, že y, a y x y +. Potom

5 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 5 y - 3 x 4 - Obr. 3 x y da = = y+ y x y dx dy = [ ] x=y+ 3 x3 y dy = x=y 3 y ( (y + ) 3 y 6) dy = Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál (x + y ) da, kde je množina ohraničená křivkou x + y =. Řešení: Hraniční křivkou množiny je lomená čára, s vrcholy v bodech (, ), (, ), (, ) a (, ), (Obr. 4). Funkce f(x, y) = x + y je na množině spojitá a nezáporná. Z definice dvojného integrálu f(x, y) da víme, že jeho geometrickým významem (za předpokladu, že funkce f je na spojitá a nezáporná) je objem válcového tělesa (Obr. 5) Ω = { (x, y, z) R 3 : (x, y) z f(x, y) }. Těleso, jehož objem máme počítat (část hranolu jehož osa je rovnoběžná s osou z), je symetrické podle rovin x = a y =. Stačí tedy počítat pouze přes část množiny ležící v. kvadrantu. Výsledný integrál bude čtyřnásobkem takto

6 6 ZDENĚK ŠIBRAVA -,5 y -,5,5 x -,5 - Obr. 4 -,4, z,8,6,4 -, -,5 x -,5,5 y Obr. 5 vypočítaného integrálu. Je tedy (x + y ) da = 4 = 4 x (x + y ) dy dx = 4 (x ( x) + ( x)3 3 Příklad.. Vypočítejte dvojný integrál (x + y) da, ] y= x [yx + y3 dx = 3 y= ) dx = 3. kde = {(x, y) R : x y x + y 3}. Výsledek: 7/ Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál xy y da, kde = {(x, y) R : y y x y}. Výsledek: 6 Příklad.4. Vypočítejte dvojný integrál y x + y da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x a y = x. Výsledek: ln (5/4)

7 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 7 Příklad.5. Vypočítejte dvojný integrál e x/y da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x, x = a y =. Výsledek: / Příklad.6. Vypočítejte dvojný integrál (x + y ) da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x a y = x. Výsledek: 33/4 Příklad.7. Vypočítejte dvojný integrál x y da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x x + a y = x +. Výsledek: 79/8 Příklad.8. Vypočítejte dvojný integrál 4x y da, kde je trojúhelník s vrcholy (, ), (, ), (, ). Výsledek: 8 (3 3 + π) Příklad.9. Vypočítejte dvojný integrál x(y ) da, kde = {(x, y) R : x + y y x + y }. Výsledek: / Příklad.. Vypočítejte dvojný integrál xy da, kde = { (x, y) R : x + 4y 8 y x } (Obr. 6). Výsledek: Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál 4xy da, kde = {(x, y) R : x y x + x y x}.

8 8 ZDENĚK ŠIBRAVA,5,5-3 - y - 3 -,5 x - -,5 Obr. 6 Řešení: nožina je dána nerovnicemi tj. x y x + x y x, () y x y + x. Zvolme nyní substituci u = y x a v = y + x. Dosazením u a v do () dostaneme u v. Ze zvolené substituce si vyjádříme x = (v u) a y = (v + u) a spočítáme Jakobián. x x J = u y u v y v = =. Dosazením do integrálu za x a y a dále J = dostaneme 4xy da = (v u)(u + v) du dv = (v u ) du dv =. Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x y da, kde = { (x, y) R : x y 3 x x y x}. Řešení: nožina je dána nerovnicemi tj. x y 3 x x y x, () xy 3 y x. Zvolme nyní substituci u = xy a v = y. Dosazením u a v do (3) dostaneme x u 3 v.

9 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 9 u Ze zvolené substituce si vyjádříme x = v a y = uv a spočítáme Jakobián. x x J = u v = uv uv v v u uv = v. y u y v uv Dosazením do integrálu za x a y a dále J = v dostaneme 3 x y u 3 ln da = dv du =. v 3 Poznámka: Při řešení předchozího příkladu byl asi nejpracnější výpočet Jakobiánu. Při jeho výpočtu jsme si ale mohli usnadnit práci, kdybychom využili vlastosti regulárního zobrazení a zobrazení k němu inverzního. Platí totiž J(u, v) = Pro u = xy, v = y je tedy x J(x, y) = Dosazením za x = pak u x v x J(x(u, v), y(u, v)). u y v y = y x = y x. y x x u v a y = uv pak dostáváme J(x(u, v), y(u, v)) = v. Odtud J(u, v) = v. Příklad.3. Vypočítejme dvojný integrál y 3 x da, 3 kde = { (x, y) R : x y 3 x x y x }. Řešení: nožina je dána nerovnicemi tj. x y 3 x x y x, (3) xy 3 y x. Zvolme nyní substituci u = xy a v = y. Dosazením u a v do (3) dostaneme x u 3 v.

10 ZDENĚK ŠIBRAVA u Ze zvolené substituce si vyjádříme x = 3 v, y = 3 uv a spočítáme Jakobián. Pro výpočet Jakobiánu použijeme předchozí poznámku. Je tedy u u J(x, y) = x y = y x y y = 3y x. Dosazením za x = 3 u pak v x v y x x v, y = 3 uv pak dostáváme J(x(u, v), y(u, v)) = 3v. Odtud J(u, v) = 3v. Dosazením do integrálu za x a y a dále J = 3v dostaneme y 3 x 3 da = 3 Příklad.4. Vypočítejme dvojný integrál x + y da, u 5 ln dv du = 3 v 6. kde = { (x, y) R : x + y 4 x y 3x }. Řešení: Při výpočtu tohoto integrálu použijeme substituci do polárních souřadnic (4) x = r cos ϕ, y = r sin ϕ a J = r. V našem případě je (Obr. 7) obrazem obdélníku N =, π/4, π/3 jak zjistíme dosazením za x a y z (4) do nerovnic popisujících množinu x + y 4, x y 3x, r cos ϕ + r sin ϕ 4, r cos ϕ r sin ϕ 3r cos ϕ, r, tg ϕ 3, π 4 ϕ π 3. Použitím věty o substituci ve dvojném integrálu a Fubiniovy věty pak dostaneme x + y da = = N π/3 π/4 r r da = π/3 π/4 7 3 dϕ = 7 36 π. r dr dϕ = π/3 π/4 [ r 3 3 ] dϕ = Příklad.5. Vypočítejme objem tělesa, které je ohraničeno plochami x + y = x + y, z = x + y a z =.

11 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY - - x - - Obr. 7 Řešení: Těleso, jehož objem máme nalézt, je část rotačního válce určeného řídicí kružnicí x + y = x + y, zdola ohraničeného rovinou z = a shora rovinou z = x + y. (Obr.8),5,5 z,5 -,4 x-,4,8 -,5,,4 y,8, Obr. 8 Jak víme již z příkladu., je objem takového tělesa číselně roven hodnotě dvojného integrálu (x + y) da, kde = { (x, y) R : x + y x + y }. Doplněním na čtverec a úpravou můžeme podmínku x + y x + y upravit na tvar ( (5) x ) ( + y ). Z (5) je zřejmé, že množina je kruh se středem v bodě (/, /) a poloměrem / (Obr. 9).

12 ZDENĚK ŠIBRAVA,,8,4,4 x,8, Obr. 9 Dvojný integrál (x + y) da budeme opět počítat pomocí substituce do polárních souřadnic. (Tato substituce převádí integraci přes kruh na integraci přes dvojrozměrný interval.) V našem případě však posuneme těleso tak, aby střed řídicí kružnice byl počátek. Toho dosáhneme tak, že substituci do polárních souřadnic budeme volit ve tvaru (6) x = + r cos ϕ, y = + r sin ϕ a J = r. Dosazením do (5) dostaneme ( x ) + ( y ), ( + r cos ϕ ( ) + + r sin ϕ r. ), Pro ϕ jsme nedostali žádnou omezující podmínku, je tedy ϕ π. Potom (x + y) da = = = π / π π [ r ( r + r (cos ϕ + sin ϕ) ) dr dϕ = + r3 (cos ϕ + sin ϕ) 3 ( 4 + (cos ϕ + sin ϕ) ] r= / r= ) dϕ = dϕ = π. Při počítání objemu jsme mohli místo substituce pomocí posunutých polárních souřadnic (6) použít substituci (4). Dosazením (4) do podmínky x +y x+y

13 postupně dostaneme PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 3 r (cos ϕ + sin ϕ) r(cos ϕ + sin ϕ), r (cos ϕ + sin ϕ). Z podmínky r cos ϕ + sin ϕ pak plyne π ϕ 3π. Odtud 4 4 3π/4 cosϕ+sin ϕ ( (x + y) da = r (cos ϕ + sin ϕ) ) dr dϕ = = 3 π/4 3π/4 (cos ϕ + sin ϕ) 4 dϕ = π. π/4 V tomto případě je však výpočet posledního integrálu složitější než při substituci (6).,5 - -,5 x,5 -,5 - Obr. Příklad.6. Vypočítejme obsah množiny, která je ohraničená lemniskátou (x + y ) = x y (Obr. ). Řešení: Pro obsah množiny platí µ() = kde v našem případě je da, = { (x, y) R : (x + y ) x y }. Z rovnice lemniskáty je vidět, že tato křivka je symetrická podle osy x i podle osy y (je sudá v obou proměnných). Při výpočtu obsahu plochy ohraničené touto

14 4 ZDENĚK ŠIBRAVA křivkou stačí počítat obsah pouze té části, která leží v prvním kvadrantu a výsledek násobit čtyřmi. Pro výpočet integrálu použijeme substituci do polárních souřadnic. Dosazením (4) do nerovnice určující dostaneme (7) (x + y ) x y, r 4 r (cos ϕ sin ϕ), r cos ϕ sin ϕ = cos ϕ. Z podmínky (7) dostáváme r cos ϕ a dále (8) cos ϕ, tj. ϕ π 4, π 4 3π 4, 5π 4. Podle předpokladu počítáme obsah pouze té části, pro kterou je x a y, tj. cos ϕ sin ϕ ϕ, π. Spolu s (8) tedy dostáváme ϕ, π. Potom 4 π/4 cos ϕ µ() = da = 4 r dr dϕ = Příklad.7. Vypočítejme dvojný integrál (x + y ) da, kde = { (x, y) R : x 9 + y 4 }. π/4 cos ϕ dϕ =. Řešení: Protože v tomto případě je množina ohraničená elipsou (Obr. ), bude výhodné použít substituci pomocí zobecněných polárních souřadnic (9) x = ar cos ϕ, y = br sin ϕ a J = abr, V zobrazení (9) (uvažovaném na množině (, + ) (, π)) má elipsa x /a + y /b = rovnici r =. Při výpočtu integrálu opět stačí, budeme-li integrovat pouze přes část, která leží v prvním kvadrantu. Použitím substituce (9), kde a = 3, b =, tj. x = 3r cos ϕ, y = r sin ϕ a J = 6r, a dosazením do (za podmínky x, y ) dostaneme r, ϕ π.

15 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY y x Obr. Odtud µ() = ( x + y ) da = 4 π/ = 6 π/ ( 9r cos ϕ + 4r sin ϕ ) 6r dr dϕ = ( 9 cos ϕ + 4 sin ϕ ) dϕ = 39 π. Příklad.8. Vypočítejme obsah části kuželové plochy z = x + y, kterou z ní vytne parabolický válec z = x (Obr. ). Řešení: Víme, že pro obsah S plochy P, která je částí grafu funkce z = f(x, y), (x, y) platí ( ) ( ) f f () S = + + da. x y V našem případě je plocha částí grafu funkce f(x, y) = x + y. Hranici množiny najdeme jako (pravoúhlý) průmět průniku ploch z = x + y a z = x do roviny z = x = x + y, tj, x + y = x, z =. Je tedy = { (x, y) R : (x ) + y }. nožina je tedy kruh se středem v bodě (, ) a poloměrem. Dále je f(x, y) x = x x + y, f(x, y) y = y x + y

16 6 ZDENĚK ŠIBRAVA 3 z yx 3-3 Obr. a odtud + ( ) f + x ( ) f =. y Substitucí do polárních souřadnic (4) dostaneme π/ cos ϕ S = da = r dr dϕ = π. π/ Příklad.9. Vypočítejte dvojný integrál ( 3x y) da, kde = {(x, y) R : x + y 4 y x}. Výsledek: π Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál ln (x + y ) da, x + y kde = {(x, y) R : x + y e y }. Výsledek: π/4 Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál x y + x + y da, kde = {(x, y) R : x + y x }. Výsledek: π(π )/4

17 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 7 Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál sin x + y da, kde = {(x, y) R : π x + y 4π }. Výsledek: 6π Příklad.33. Vypočítejte dvojný integrál arctg y x da, kde = { (x, y) R : 4 x + y x y 3x Příklad.34. Vypočítejte dvojný integrál x y da, }. Výsledek: 5 48 π kde = {(x, y) R : x + y y x }. Výsledek: 3/ Příklad.35. Vypočítejte dvojný integrál x + y da, kde = {(x, y) R : x + y y y x }. Výsledek: /9 Příklad.36. Vypočítejte dvojný integrál xy da, kde = {(x, y) R : x + y ax} (a > ). Výsledek: a 5 π/4 Příklad.37. Vypočítejte dvojný integrál y da, kde = {(x, y) R : (x + y ) ay 3 } (a > ). Výsledek: 56 πa3 Příklad.38. Vypočítejte dvojný integrál xy da, kde = {(x, y) R : (x + y ) a (x y )} (a > ). Výsledek:

18 8 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.39. Vypočítejte dvojný integrál x 4 y 9 da, kde = { (x, y) R : x 4 + y 9 }. Výsledek: 4π Příklad.4. Vypočítejte dvojný integrál (x y) da, kde = { (x, y) R : x + 4y 4 x y }. Výsledek: 3 ( 3) Příklad.4. Vypočítejte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = x a y = x. Výsledek: 9/ Příklad.4. Vypočítejte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami xy = 9, y = x a x = 5. Výsledek: ln 3 9 ln 5 V příkladech vypočítejte obsahy množiny. Příklad.43. = {(x, y) R : (x ) + y x + (y ) }. Výsledek: (π )/ Příklad.44. = {(x, y) R : x + y 4 x + 4y 4 y }. Výsledek: Příklad.45. = {(x, y) R : x + y x + y y}. π Výsledek: 3 3 { ( ) } Příklad.46. = (x, y) R x : + y 9 4 xy. Výsledek: 8 V příkladech vypočítejte objemy daných těles. Příklad.47. {(x, y, z) R 3 : 9(x ) + (y + ) z 9}. Příklad.48. {(x, y, z) R 3 : (x ) + 4(y ) z 4}. π Výsledek: 7 π Výsledek: Příklad.49. {(x, y, z) R 3 : x + y ax x z x} (a > ). Výsledek: πa 3 Příklad.5. { (x, y, z) R 3 : x + y (y x) z (x + ) (y ) }. 4π Výsledek: 3 π

19 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 9 Obr. 3 Příklad.5. { (x, y, z) R 3 : x + y (x y) z 3 (x ) (y + ) }. Výsledek: Příklad.5. {(x, y, z) R 3 : 3x + 7y z 6 3x 7y }. Výsledek: Příklad.53. {(x, y, z) R 3 : 8x + y z 4 8x y }. Výsledek: V příkladech vypočítejte objemy těles ohraničených danými plochami: Příklad.54. x =, y =, x + y = 3, z =, z = 4x + y +. Výsledek: 45 Příklad.55. y =, y = x, z =, z = x + y. Výsledek: 88 5 Příklad.56. y = ln x, y = ln x, z =, y + z =. (Pomůcka: Platí ln n x dx = x ln n x n ln n x dx.) Výsledek: 3 e 8 Příklad.57. x + y = x, z = xy, z = (z ). Výsledek: /3 Příklad.58. x + y = y, z = x + y, z =. Výsledek: 3 π Příklad.59. x + y = a, z =, z = e x y (a > ). Výsledek: Příklad.6. Vypočítejte objem tzv. Vivianiova tělesa (Obr. 3) { (x, y, z) R 3 : x + y + z a x + y ax } (a > ). 4π π π ) π ( e a Výsledek: (3π 4)a3 9

20 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.6. Vypočítejte objem a povrch tělesa ohraničeného dvěma rotačními válcovými plochami o stejném poloměru R, jejichž osy se kolmo protínají (Obr. 4) a (Obr. 5). Výsledek: 6 3 R3, 6R Obr. 4 Obr. 5 Příklad.6. Vypočítejte obsah části rotačního paraboloidu z = x y, kterou z něj vyřízne rovina z =. Výsledek: π(5 5 )/6 Příklad.63. Vypočítejte obsah části hyperbolického paraboloidu z = 4 + x y, kterou z něj vyřízne válcová plocha x + y = 4. Výsledek: 6 (7 7 )π V příkladech.64.7 vypočítejte obsahy daných ploch. Příklad.64. {(x, y, z) R 3 : x + 3y + 4z = x y z }. Výsledek: 3 9 Příklad.65. {(x, y, z) R 3 : x + y = z z xy}. Výsledek: ( 3π) 9 Příklad.66. { (x, y, z) R 3 : (x + y ) 3/ + z = z }. ( ) Výsledek: ln (3 + ) π { } Příklad.67. (x, y, z) R 3 : x + y x = z + y Výsledek: 4( )π Příklad.68. { (x, y, z) R 3 : x + y = z z z ( x + )}. Výsledek: Příklad.69. {(x, y, z) R 3 : x + z = a z y x}. (a > ) Výsledek: a Příklad.7. {(x, y, z) R 3 : x + y + z = a x + y ax, z } (a > ). Výsledek: (π )a, (Obr. 3) 8π

21 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY Příklad.7. Vypočítejte obsah části zemského povrchu (za předpokladu, že jde o kulovou plochu o poloměru R = 6378 km), ohraničenou poledníky odpovídajícími západním zeměpisným délkám 3 a 6 a rovnoběžkami odpovídajícími severním zeměpisným šířkám 45 a 6. Výsledek: R π( 3 ) = km Fyzikální aplikace dvojného integrálu Nechť je dvourozměrná množina (rovinná deska), jejíž plošná hustota v každém bodě (x, y) je h(x, y). (I) Hmotnost této množiny je () m = h(x, y) da. (II) Statický moment této množiny vzhledem k ose x, resp. vzhledem k ose y je () S x = yh(x, y) da, resp. S y = xh(x, y) da. (III) Souřadnice těžiště této množiny (v pravoúhlém souřadnicovém systému) jsou (3) x T = S y m, y T = S x m. (IV) oment setrvačnosti této množiny vzhledem k ose x, resp. vzhledem k ose y, resp. vzhledem k počátku je I x = y h(x, y) da, resp. I y = x h(x, y) da, (4) resp. I z = I x + I y = (x + y )h(x, y) da. Poznámka.7. V dalších příkladech budeme vždy v případě homogenní desky (tělesa) předpokládat, že h(x, y) = (h(x, y, z) = ). Příklad.73. Najděme souřadnice těžiště nehomogenní rovinné desky ohraničené kružnicí x + y = ax, a >, jejíž plošná hustota v každém bodě (x, y) je rovna vzdálenosti tohoto bodu od počátku (, ).

22 ZDENĚK ŠIBRAVA Řešení: Víme, že h(x, y) = x + y. Protože deska je symetrická podle osy x a funkce h je sudá v proměnné y, je zřejmé, že těžiště desky bude ležet na ose x, tj. y T =. Pro určení x T potřebujeme znát celkovou hmotnost desky m a dále statický moment desky vzhledem k ose y (viz (3)). Podle () a () je m = x + y da, S y = x x + y da. Použitím substituce pomocí polárních souřadnic (4) dostaneme Potom m = x + y ax, r (cos ϕ + sin ϕ) ar cos ϕ, r a cos ϕ a tedy ϕ π, π. x + y da = π/ a cos ϕ r dr dϕ = a S y = = π/ π/ [ r 3 3 x x + y da = ] a cos ϕ π/ dϕ = 6 3 a3 a cos ϕ π/ cos 3 ϕ dϕ = 3 9 a3, r 3 cos ϕ dr dϕ = Podle (3) je tedy π/ = 8a 4 π/ cos 5 ϕ dϕ = 64 5 a4. x T = S y m = 64a a = 6a 3 5. Příklad.74. Vypočítejme moment setrvačnosti kruhové desky o poloměru R vzhledem k její libovolné tečně t, jestliže její plošná hustota v každém bodě je rovna vzdálenosti tohoto bodu od tečny t. Řešení: Zvolme si souřadnicový systém tak, že střed kružnice ohraničující desku je v bodě (, R), tj. její rovnice je x + (y R) = R a tečna, ke které budeme moment setrvačnosti počítat, je osa x. Potom plošná hustota desky v každém bodě (x, y) je h(x, y) = y. Je tedy I t = I x = y h(x, y) da = y 3 da,

23 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 3 kde = {(x, y) R : x + (y R) R }. Použitím substituce pomocí posunutých polárních souřadnic pak dostaneme I t = x = r cos ϕ, y = R + r sin ϕ a J = r, y 3 da = π R (R + r sin ϕ) 3 r dr dϕ = 7 4 πr5. V příkladech vypočítejte souřadnice těžiště rovinných homogenních desek: Příklad.75. Deska ohraničená parabolou y = x a přímkou x = a, (a > ). Výsledek: (3a/5, ) Příklad.76. Deska ohraničená křivkami 4y = x, x + y = 3. Výsledek: (, 7/5) Příklad.77. Deska ohraničená křivkami y = x 3x, y = x. Výsledek: Příklad.78. Deska ohraničená křivkou y = x x 4, x. Výsledek: (/, /5) ( 3 π, ) 6 Příklad.79. Deska ohraničená křivkou (x + y ) = x y, (x, y ). ( Výsledek: 6, ) 5π 4 Příklad.8. Nehomogenní deska má tvar půlkruhu o poloměru R, kde plošná hustota v každém bodě desky je rovna vzdálenosti tohoto bodu od středu kruhu. 3 R Určete vzdálenost těžiště desky od středu kruhu. Výsledek: π Příklad.8. Nehomogenní deska má tvar čtvrtkruhu o poloměru R, kde plošná hustota v každém bodě desky je rovna druhé mocnině vzdálenosti tohoto bodu od středu kruhu. Určete vzdálenost těžiště desky od středu kruhu. 8 Výsledek: R 5 π Příklad.8. Vypočítejte moment setrvačnosti kruhové desky o poloměru R a plošné hustotě h(x, y) = x y vzhledem k přímce procházející jejím středem. Výsledek: R 6 /6 Příklad {.83. Vypočítejte moment } setrvačnosti homogenní rovinné desky (x, y) R : x + y y vzhledem k ose x. ( π Výsledek: ) Příklad.84. Vypočítejte moment setrvačnosti rovinné desky ohraničené křivkami y = 4 x a y = vzhledem k ose x, jestliže plošná hustota v každém bodě je rovna vzdálenosti tohoto bodu od osy y. Výsledek: 64/3

24 4 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.85. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenní desky ohraničené elipsou 4(x + ) + y = 4 vzhledem k ose y. Výsledek: 5π/ Příklad.86. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenní rovinné desky {(x, y) R : (x + y ) a (x y )}, (a > ) vzhledem k ose x a y. Výsledek: I x = (3π 48 8)a4, I y = (3π + 8)a4 48

25 .. Trojné integrály. PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 5 Příklad.87. Vypočítejme trojný integrál (x y + z) dv, kde =,,, 3. Řešení: Funkce f(x, y, z) = x y + z je na trojrozměrném intervalu spojitá. Užitím Fubiniovy věty převedeme trojný integrál na jednoduchý integrál z dvojného integrálu (x y + z) dv = (x y + z) da dx. K výpočtu dvojného integrálu nyní použijeme opět Fubiniovu větu (pro dvojný integrál) a tím převedeme zadaný trojný integrál na trojnásobný integrál (x y + z) dv = = = 3 ] z=3 [xz yz + z dy dx = z= [xy y + 5 y ] y= y= (x y + z) dz dy dx = dx = Příklad.88. Vypočítejte trojný integrál ( x 3 y z ) dv, y (x + ) dx =. ( x y + 5 ) dy dx = kde =,,,. Výsledek: 3/4 ln Příklad.89. Vypočítejte trojný integrál xy z dv, kde =,, 3, 4. Výsledek: 5( 4)/3 Příklad.9. Vypočítejte trojný integrál xy z 3 dv, kde =,, 3, 4. Výsledek: 5

26 6 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.9. Vypočítejte trojný integrál x z e x y+z dv, kde =,,,. Výsledek: (e 5)(e )(e )/( e) Příklad.9. Vypočítejme trojný integrál + x + y dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x y z x + y + z }. Řešení: nožina je čtyřstěn s vrcholy (,, ), (,, ), (,, ) a (,, ). Jeho průmětem do roviny xy je trojúhelník (Obr. 6) s vrcholy (, ), (, ) a (, ). Zřejmě (x, y) je z x y. Pomocí Fubiniovy věty můžeme tedy daný trojný integrál převést na dvojný z jednoduchého + x + y dv = Zapíšeme-li množinu ve tvaru x y + x + y dz da. = { (x, y) R : x y x }, můžeme použitím Fubiniovy věty pro dvojný integrál náš trojný integrál převést na trojnásobný integrál. Potom + x + y dv = = = x x x y [ z + x + y ] z= x y z= dy dx = [ ln ( + x + y) y] y= x y= dx = dz dy dx = + x + y x x y dy dx = + x + y ( ln ln (x + ) + x ) dx = = 3 ln. Při výpočtu trojného integrálu můžeme postupovat také např. takto: Pro libovolné z, leží vždy bod (x, y) v trojúhelníku, jehož kolmý průmět do roviny xy (z = ) je trojúhelník z s vrcholy (, ), ( z, ), (, z) (Obr. 7). Podle Fubiniovy věty můžeme tedy trojný integrál převést na jednoduchý a dvojný, tj. + x + y dv = + x + y da dz. z

27 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 7 Obr. 6 Obr. 7 Zapíšeme-li množinu z ve tvaru z = { (x, y) R : x ( z) y ( x z) },

28 8 ZDENĚK ŠIBRAVA může opět použitím Fubiniovy věty pro dvojný integrál zadaný trojný integrál převést na trojnásobný integrál + x + y dv = z x z Příklad.93. Vypočítejme trojný integrál y cos (x + z) dv, + x + y dy dx dz = 3 ln. kde je množina ohraničená plochami y = x, y =, z =, x + z = π. Řešení: nožina (Obr. 8) je část válce ohraničeného válcovou plochou y = x a rovinou y =. Zdola je ohraničena rovinou z = a shora rovinou x + z = π. Kolmý průmět množiny do roviny xy je část roviny ohraničená přímkami y =, x = π a parabolou y = x (Obr. 9), { = (x, y) R : x π y } x. a z x + π. Potom y cos (x + z) dv = = = π/ x x+π/ π/ x = π/ x+π/ y cos (x + z) dz dy dx = y( sin x) dy dx = y cos (x + z) dz da = π/ [ y (x x sin x) dx = π 6. Příklad.94. Vypočítejte trojný integrál z dv, π/ x [y sin (x + z)] z= π x z= dy dx = ] y= x ( sin x) = y= kde je množina ohraničená plochami x =, y =, z =, y = x, z = x. Výsledek: 3/3 Příklad.95. Vypočítejte trojný integrál z 4 sin 3 y dv,

29 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 9,6,, z,8,8 y,6,4,4,5,5 x,4,8 y Obr. 8,,6,,4,8,,6 x Obr. 9 kde je množina ohraničená plochami x =, x = π, y =, y = π/, z =, z = x. Výsledek: π 6 /45 Příklad.96. Vypočítejte trojný integrál xy sin (x + y + z) dv, kde = { (x, y, z) R 3 : x y z x + y + z π }. Výsledek: π 4 /9 π /4 + Příklad.97. Vypočítejte trojný integrál xyz dv, kde je množina ohraničená plochami y = x, x = y, z =, z = xy. Výsledek: /96 Příklad.98. Vypočítejte trojný integrál x dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z } (Obr. ). Výsledek: /5 Příklad.99. Vypočítejte trojný integrál x 3 yz ( + z ) dv, kde = { (x, y, z) R 3 : x y } x + y z. Výsledek: 6 ln 5 6

30 3 ZDENĚK ŠIBRAVA,5 - z -,5,5 yx -,5 - -,5,5 - Obr. Příklad.. Vypočítejme trojný integrál x + y dv, kde = { (x, y, z) R 3 : x + y + z a } x + y z (a > ). Řešení: nožina je část koule se středem v bodě (,, ) a poloměrem a, kterou z ní vyřízne kuželová plocha z = x + y. Pro výpočet tohoto integrálu použijeme substituci pomocí sférických souřadnic (5) x = r cos ϕ cos ψ, y = r sin ϕ cos ψ, z = r sin ψ a J = r cos ψ. Použitím (5) a dosazením do nerovností definujících dostaneme x + y + z a, r ( cos ψ(cos ϕ + sin ϕ) + sin ψ ) a, x + y z, r cos ψ(cos ϕ + sin ϕ) r sin ψ, r a, tg ψ, π/4 ψ π/.

31 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY z,5 y -,5,5 - x,5 Obr. Pro ϕ jsme nedostali žádnou podmínku, je tedy ϕ π. Nyní použitím věty o substituci a současně Fubiniovy věty dostaneme x + y dv = π π/ a r cos ψ(cos ϕ + sin ϕ) r cos ψ dr dψ dϕ = = π π/ a = a4 4 π/4 π π/ π/4 π/4 r 3 cos ψ dr dψ dϕ = cos ψ dψ dϕ = a4 8 π π π/ π/4 [ ψ + Příklad.. Vypočítejme trojný integrál xz dv, [ r 4 4 cos ψ ] r=a r= ] ψ=π/ sin ψ ψ=π/4 kde = {(x, y, z) R 3 : x + y x x z x}. dψ dϕ = dϕ = a4 π(π ). 6 Řešení: nožina je část rotačního válce x +y x seříznutého zdola rovinou z = x a shora rovinou z = x (Obr ). Kolmým průmětem do roviny xy je kruh ohraničený kružnicí x + y = x. Pro výpočet integrálu použijeme substituci do cylindrických souřadnic (6) x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = Z a J = r.

32 3 ZDENĚK ŠIBRAVA Použitím (6) a dosazením do nerovností definujících dostaneme x + y x x z x, r cos ϕ, r cos ϕ Z r cos ϕ. z podmínky cos ϕ pak dostáváme cos ϕ, tj. π/ ϕ π/. Použitím věty o substituci a současně Fubiniovy věty pak dostaneme xz dv = = = 3 π/ π/ π/ π/ π/ π/ cos ϕ cos ϕ r cos ϕ r cos ϕ [ Z r cos ϕ [ r cos 3 5 ϕ 5 ] r= cos ϕ r= r Z cos ϕ dz dr dϕ = ] Z=r cos ϕ Z=r cos ϕ dϕ = 96 dr dϕ = 3 π/ π/ Příklad.. Vypočítejte trojný integrál x + y + z dv, π/ π/ cos ϕ cos 8 ϕ dϕ = 8 π. r 4 cos 3 ϕ dr dϕ = kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z x y z }. Výsledek: π/8 Příklad.3. Vypočítejte trojný integrál (x + y ) dv, kde = {(x, y, z) R 3 : 4 x + y + z 9 z }. Výsledek: 844/5π Příklad.4. Vypočítejte trojný integrál x + y + z dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z z}. Výsledek: π/ Příklad.5. Vypočítejte trojný integrál e x +y +z kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 4}. Výsledek: 8π(e ) Příklad.6. Vypočítejte trojný integrál (x + y + z ) dv, dv,

33 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 33 kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z az x + y 3z } (a > ). Výsledek: πa 5 / Příklad.7. Vypočítejte trojný integrál z x + y dv, kde je množina ohraničená plochami y =, z =, z = a (a > ), x +y = x. Výsledek: 8a /9 Příklad.8. Vypočítejte trojný integrál (x + y ) dv, kde je množina ohraničená plochami z = x + y, z =. Výsledek: 6π/3 Příklad.9. Vypočítejte trojný integrál x y z dv, kde = { (x, y, z) R 3 : } x + y z. Výsledek: π/9 Příklad.. Vypočítejte trojný integrál (x + y )z dv, kde = {(x, y, z) R 3 : z 4 x y }. Výsledek: 3π/3 Příklad.. Vypočítejte trojný integrál (x + y + z ) dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 3a x + y az} (a > ). Výsledek: πa 5 (8 3 97)/3 Příklad.. Vypočítejte trojný integrál x + y + z dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z x + y + z z}. Výsledek: 3π/ Příklad.3. Vypočítejte trojný integrál z dv,

34 34 ZDENĚK ŠIBRAVA kde = {(x, y, z) R 3 : (x + y + z ) z 3 }. Příklad.4. Vypočítejte trojný integrál x + y + z dv, Výsledek: π/8 kde = {(x, y, z) R 3 : (x + y + z ) xy x y z }. Výsledek: π/ Příklad.5. Vypočítejte trojný integrál x + y + z dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z x + y + z z}. Výsledek: 3π/ Příklad.6. Vypočítejte trojný integrál (x + y ) dv, kde = {(x, y, z) R 3 : (x + y ) x y x + y z x y z }. Výsledek: π/6 Příklad.7. Vypočítejte trojný integrál z dv, kde = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 4 z }. Příklad.8. Vypočítejte trojný integrál y dv, Výsledek: 9π/4 kde = { (x, y, z) R 3 : x + y + z z } x + y z y. Příklad.9. Vypočítejte trojný integrál y dv, Výsledek: 7/4 π/6 kde = {(x, y, z) R 3 : x + y x z x x y y }. Výsledek: 3/6 Příklad.. Vypočítejme objem tělesa určeného nerovnicemi x + y z a x + y + z z.

35 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 35,5 z,5 - -,5,5 x Obr. Řešení: Těleso můžeme popsat jako množinu = { (x, y, z) R 3 : x + y + z z x + y z }. Objem množiny (míru množiny) pak vypočítáme jako µ( ) = dv. Těleso, jehož objem počítáme, je průnik koule a rotačního paraboloidu. Řez tělesa rovinou y = je na Obr.. Z geometrie víme, že obě plochy jsou rotační a mají společnou osu. Proto jejich průnikem je kružnice. Řešením soustavy dvou rovnic x + y + z = z, x + y = z, zjistíme, že kružnice průniku leží v rovinách o rovnicích z = a z = s tím, že kružnice v rovině z = se redukuje na bod o souřadnicích (,, ) a v rovině z = je průnikem kružnice, jejíž kolmý průmět do roviny xy má rovnici x + y =. Celé těleso se tedy promítne do roviny xy jako kruh : x + y. Pro libovolné (x, y, z) je tedy x + y x y z x y

36 36 ZDENĚK ŠIBRAVA Užitím Fubiniovy věty pro trojný integrál pak dostaneme x y Ω = dv = dz da = x y ( = ( ) x y ) ( x y ) da = = π (r r 3 + r ) r dr dϕ = 7 6 π. Pro výpočet dvojného integrálu jsme použili substituci do polárních souřadnic (4). V příkladech..5 vypočítejte objemy daných těles. Příklad.. Těleso je ohraničeno plochami z = 4 y, z = y +, x =, x =. Výsledek: 8/3 Příklad.. Těleso je ohraničeno plochami z = x + y, z = x + y, y = x, y = x, x =. Výsledek: 7/ Příklad.3. Těleso je ohraničeno plochami x + y + z = a, x + y + z = b, x + y z =, přičemž z a < a < b. Výsledek: ( )(b 3 a 3 )π/3 Příklad.4. Těleso je ohraničeno plochami z = 6 x y, z = x + y. Výsledek: 3π/3 Příklad.5. Těleso je ohraničeno plochami x + y + z = 6, x + y + z = 8z. Výsledek: 8π/3 Fyzikální aplikace trojného integrálu Nechť je trojrozměrné těleso, jehož hustota v každém bodě (x, y, z) je h(x, y, z). (I) Hmotnost tohoto tělesa je (7) m = h(x, y, z) dv. (II) Statický moment tohoto tělesa vzhledem k rovině xy, resp. vzhledem k rovině xz, resp. vzhledem k rovině yz (8) S xy = zh(x, y, z) dv, S xz = yh(x, y, z) dv, S yz = xh(x, y, z) dv.

37 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY 37 (III) Souřadnice těžiště tohoto tělesa (v pravoúhlém souřadnicovém systému) jsou (9) x T = S yz m, y T = S xz m, z T = S xy m. (IV) oment setrvačnosti tohoto tělesa vzhledem k ose x, resp. vzhledem k ose y, resp. vzhledem k ose z je I x = (y + z )h(x, y, z) dv, () I y = I z = (x + z )h(x, y, z) dv, (x + y )h(x, y, z) dv. V příkladech.6.3 vypočítejte souřadnice těžiště homogenních těles ohraničených danými plochami. Příklad.6. x + y + z = a, x = a, y = a, x =, y =, z =. Výsledek: (5a/, 5a/, 5a/) Příklad.7. z = x + y, z =. Výsledek: (,, /4) Příklad.8. x + y = z, z =. Výsledek: (,, /3) Příklad.9. x + y = z, x + y = z. Výsledek: (,, 5/3) Příklad.3. x + y = az, x + y + z = 3a (a > ). Výsledek: (,, 5a( )/83) Příklad.3. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenního tělesa ohraničeného plochami z = x + y, x + y = ±, x y = ±, z = vzhledem k ose x. Výsledek: 4/45 Příklad.3. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenní koule o poloměru R vzhledem k přímce, která se jí dotýká. Výsledek: 8πR 5 /5 Příklad.33. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenní kostky o hraně a vzhledem k její libovolné hraně. Výsledek: a 5 /3 Příklad.34. Hustota v každém bodě nehomogenní koule o poloměru R je rovna vzdálenosti tohoto bodu od jejího středu. Vypočítejte moment setrvačnosti této koule vzhledem k (libovolné) přímce, která a) prochází středem koule, b) se dotýká povrch koule. Výsledek: 4πR 6 /9, 3πR 6 /9

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

10. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y

Více

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1, MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL . VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

17 Kuželosečky a přímky

17 Kuželosečky a přímky 17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

Michal Zamboj. January 4, 2018

Michal Zamboj. January 4, 2018 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás.

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. Příklady: 30. Magnetické pole elektrického proudu 1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. a)

Více

Další plochy technické praxe

Další plochy technické praxe Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

III. Dvojný a trojný integrál

III. Dvojný a trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht

Více

Základní topologické pojmy:

Základní topologické pojmy: Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma

Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma Kuželosečky a kvadriky - výpisky + příklady Postupně vznikající text k části předmětu Geometrie. Ve výpiscích naleznete výpisky z přednášky, poznámky, řešené příklady a příklady na procvičení. Podrobnější

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)

Více

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0 Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce 1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé

Více

Elementární plochy-základní pojmy

Elementární plochy-základní pojmy -základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme

Více

1.13 Klasifikace kvadrik

1.13 Klasifikace kvadrik 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu

Více

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více