Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic navara@cmp.felk.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ navara
Klasické relace Binární relace je R X Y Inverzní relace k R: R Y X: R = { y, x) Y X : x, y) R } ložená relace z relací R X Y, Y Z je R X Z: R = Pomocí funkcí příslušnosti: { x, z) X Z : y Y : x, y) R, y, z) ) } µ R : X Y {0, } µ R y, x) = µ R x, y) µ R x, z) = max µr x, y) µ y, z) ) y Y
Fuzzy relace Fuzzy relace je R FX Y ), µ R : X Y 0, Inverzní relace k R je R FY X): x X y Y : µ R y, x) = µ R x, y) -složená relace z relací R FX Y ), FY Z) je R. FX Z): µ R. x, z) = sup µr x, y) y Y. µ y, z) ) Věta Inverze fuzzy relací je řezově konzistentní. Věta Je-li Y konečná množina, pak standardní skládání fuzzy relací R FX Y ), FY Z) je řezově konzistentní.
peciální ostré relace R X X může být: rovnost: E = { x, x) : x X }, reflexivní: x X : x, x) R, tj. E R, symetrická: x, y) R y, x) R, tj. R = R, antisymetrická: x, y) R ) y, x) R ) x = y, tj. R R E, tranzitivní: x, y) R ) y, z) R ) x, z) R, tj. R R R, částečné uspořádání: antisymetrická, reflexivní a tranzitivní, ekvivalence: symetrická, reflexivní a tranzitivní. Relaci rovnosti, E X X odpovídá funkce příslušnosti Kroneckerovo delta: µ E x, y) = δx, y) = { pro x = y, 0 pro x y.
peciální fuzzy relace R FX X) může být: reflexivní: E R, symetrická: R = R, -antisymetrická: R. R E, -tranzitivní: R. R R, -částečné uspořádání: -antisymetrická, reflexivní a -tranzitivní, -ekvivalence: symetrická, reflexivní a -tranzitivní. Poslední čtyři pojmy závisí na volbě fuzzy konjunkce..
peciální fuzzy relace Věta Následující vlastnosti fuzzy relací jsou řezově konzistentní: reflexivita, symetrie, standardní antisymetrie, standardní tranzitivita, standardní částečné uspořádání, standardní ekvivalence.
Projekce fuzzy relací Levá první) projekce fuzzy relace R FX Y ) je P R) FX): µ P R)x) = sup y Y µ R x, y) Pravá druhá) projekce fuzzy relace R FX Y ) je P R) FY ): µ P R)y) = sup x X µ R x, y) Věta Projekce fuzzy relací jsou řezově konzistentní.
Cylindrické rozšíření též kartézský součin) fuzzy množin A FX), B FY ) je A B FX Y ): µ A B x, y) = µ A x) µ B y) Je to maximální fuzzy relace R FX Y ) taková, že P R) A a P R) B. Rovnost nastává, právě když ha) = hb). Věta P R) P R) R Věta Cylindrické rozšíření je řezově konzistentní.
Rozšíření binárních relací na ostré množiny Zobrazení je R X Y : x X!y = rx) Y : x, y) R Zobrazení R X Y odpovídá r : X Y předpisem x, y) R y = rx), R = { x, rx) ) : x X } Rozšíření relace R X Y je zobrazení r : PX) PY ): ra) = { y Y : x A : x, y) R )} Analogicky rozšíření relace R Y X je zobrazení r : PY ) PX): r B) = { x X : y B : x, y) R )} Rozšíření r a r jsou zobrazení, i když původní relace R zobrazení není. Nejsou však navzájem inverzní.
Rozšíření binárních relací na ostré množiny Pokud R je navíc zobrazení, pak peciálně Pomocí funkcí příslušnosti: ra) = { rx) : x A } r B) = { x X : rx) B } r y) = r {y}) = { x X : rx) = y } µ ra) y) = max µr x, y) µ A x) ) x X µ r B)x) = max µr x, y) µ B y) ) y Y
Rozšíření binárních relací na fuzzy množiny Rozšíření relace R X Y je zobrazení r : FX) FY ): µ ra) y) = sup µr x, y) µ A x) ) A FX), y Y ) x X Analogicky rozšíření relace R Y X je zobrazení r : FY ) FX): µ r B)x) = sup µr x, y) µ B y) ) B FY ), x X) y Y R je ostrá relace, takže na volbě fuzzy konjunkce. nezáleží: µ R x, y). µ A x) = { µa x) pro µ R x, y) = 0 pro µ R x, y) = 0
Rozšíření binárních relací na fuzzy množiny využitím rozšíření r : PX) PY ), r : PY ) PX) relací R, R na ostré množiny lze rozšíření na fuzzy množiny psát Je-li R zobrazení, pak Je-li R zobrazení, pak Věta Je-li pro všechna y Y množina konečná, pak platí rovnost. µ ra) y) = sup µ A x) x r y) µ r B)x) = sup µ B y) y rx) µ r B)x) = µ B rx)) µ ra) y) = µ A r y)) r R A α) ) R ra) α) r y) = {x X : x, y) R}
Konvexní fuzzy množiny Nechť L je lineární prostor. Ostrá množina A L je konvexní, jestliže Pomocí funkcí příslušnosti: x, y A λ 0, ) : λx + λ) y A min µ A x), µ A y) ) µ A λx + λ) y ) Nechť X je ostrá konvexní podmnožina lineárního prostoru. Fuzzy množina A FX) se nazývá konvexní, jestliže x, y X λ 0, ) : µ A λx + λ) y ) µa x) µ A y) Konvexita fuzzy množiny nemá nic společného s konvexitou její funkce příslušnosti! Věta Konvexita je řezově konzistentní vlastnost. peciálně fuzzy množina reálných čísel je konvexní, právě když všechny její neprázdné řezy jsou intervaly.
Fuzzy čísla a fuzzy intervaly Fuzzy interval je A FR) taková, že: upp A je omezená množina, Pro všechna α 0, je R A α) uzavřený interval, R A ) tj. R A ) je neprázdný uzavřený interval). Je-li navíc R A ) jednobodová množina, nazývá se A fuzzy číslo. Fuzzy intervaly jsou konvexní. Fuzzy číslo opačné k fuzzy číslu A je A FR): µ A x) = µ A x) Princip rozšíření binárních relací uplatněný na unární minus) R A α) = R A α)
Binární operace s fuzzy čísly {+,,, /} : R R můžeme chápat jako ostrou relaci R R: µ y, z), x ) = { pro y z = x, 0 jinde. Tu můžeme rozšířit podle již zavedeného principu rozšíření pro binární relace na operaci FR ) FR), kterou potřebujeme ještě složit s cylindrickým rozšířením FR) FR) FR ). Tím dostáváme binární operaci : FR) FR) FR). A FR), B FR) A B FR R) A B = A B) FR)
Binární operace s fuzzy čísly µ A B x) = µ A B) x) = sup µa B y, z) µ y, z), x )) y,z) R = sup µ A B y, z) y,z) R,y z=x = sup µa y) µ B z) ) y,z) R,y z=x
Binární operace s fuzzy čísly peciálně pro = +: Hledáme supremum z funkce µ A y) µ B z) pro všechna y, z) R taková, že y + z = x. Tj. hledáme supremum z funkce µ A x z) µ B z) pro všechna z R neboť y + z = x y = x z). µ A+B x) = sup µa x z) µ B z) ), z R µ A B x) = sup µa x + z) µ B z) ), z R µ A B x) = sup µ A x/z) µ B z)), x 0, z R, z 0 µ A/B x) = sup µa x z) µ B z) ). z R Jen pro hodnotu µ A B 0) musíme použít původní definici kvůli problémům s dělením nulou.
Binární operace s fuzzy čísly peciálně pro ostré intervaly A = a, b, B = c, d dostaneme intervalovou aritmetiku: a, b + c, d = a + c, b + d, a, b c, d = a d, b c, a, b c, d = minac, ad, bc, bd), maxac, ad, bc, bd), a, b / c, d = mina/c, a/d, b/c, b/d), maxa/c, a/d, b/c, b/d). Poslední rovnost platí pouze pro 0 c, d. µ A B x) = max { µ A y) µ B z) : y, z R, y z = x }. V případě dělení předpokládáme navíc µ B 0) = 0.) Věta čítání, odčítání, násobení a dělení fuzzy čísel je řezově konzistentní dělení za předpokladu, že stupeň příslušnosti nuly k děliteli je nulový). Věta oučet, rozdíl a součin fuzzy čísel resp. fuzzy intervalů) je fuzzy číslo resp. fuzzy interval). Též podíl, pokud uzávěr nosiče dělitele neobsahuje nulu.) Libovolné reálné číslo x R lze považovat za speciální případ fuzzy čísla, reprezentovaného jednobodovou ostrou množinou {x}), značíme x.
Binární operace s fuzzy čísly Věta Vlastnosti operací s fuzzy čísly: 0 + A = A, 0 A = 0, A = A, A + B = B + A, A B = B A, A + B + C) = A + B) + C, A B C) = A B) C, A + B) = A B, A) B = A B) = A B), A) = A, A/B = A /B), A B + C) A B) + A C) Pokud je v posledním vztahu A ostré číslo A = x), pak nastává rovnost.
Binární operace s fuzzy čísly Pro fuzzy čísla může být: A A 0, A + B) B A, A/A, A/B) B A, A B + C) A B + A C.