(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

Transkript

1 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí Polynomické funkce Racionální lomené funkce Exponenciální funkce Goniometrické funkce Funkce z obecného pohledu a další elementární funkce Funkce složená Definice reálné funkce reálné proměnné Inverzní funkce Odmocniny Logaritmické funkce Cyklometrické funkce Přehled některých elementárních funkcí 1.1 Polynomické funkce stupně n je funkce zadaná předpisem P n : y = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, kde a 1,..., a n jsou reálná čísla, a n 0. Jednoduchými příklady polynomických funkcí (stupně 0 a 1) jsou: Konstantní funkce K c : y = c (x R, y {c}), kde c R je konstanta. (Na obrázku je graf funkce K 3 : y = 3.) Identita Id : y = x (x R,y R). 1

2 Obecnou polynomickou funkci lze z těchto dvou základních funkcí vytvořit pomocí operací součtu, rozdílu a násobení. Definice 1. Nechť f, g jsou dvě funkce takové, že D = D(f) D(g), kde symboly D(f), D(g) značí definiční obory funkcí f, g. Pak definujeme: 1. součet funkcí: (f + g) : y = f(x) + g(x), x D; 2. rozdíl funkcí: (f g) : y = f(x) g(x), x D; 3. součin funkcí: (f g) : y = f(x) g(x), x D; speciálně: (c f) : y = c f(x), x D(f) (c R konstanta); 4. podíl funkcí: ( f/g ) : y = f(x)/g(x), x D {x ; g(x) 0}. Příklady 2. Lineární funkce P 1 : y = 2x 3 je P 1 = K 2 Id K 3. Kvadratická funkce P 2 : y = x je P 2 = Id Id + K Racionální lomené funkce Racionální lomená funkce R je funkce, která je podílem dvou polynomických funkcí, tj. R : y = P(x) Q(x), kde P, Q jsou polynomické funkce. Příklad 3. Na obrázku je graf funkce y = 2x x

3 1.3 Exponenciální funkce Exponenciální funkce y = 10 x a y = e x (e = 2, je Eulerovo číslo) exp 10 : y = 10 x, x R, y (0, ) exp : y = e x, x R, y (0, ) 1.4 Goniometrické funkce sin : y = sin x, x R, y 1, 1 cos : y = cos x, x R, y 1, 1 tg : y = tg x := sin x cos x, x (2k+1)π 2, k Z, y R 3

4 cotg : y = cotg x := cos x sin x, x kπ, k Z, y R 2 Funkce z obecného pohledu a další elementární funkce 2.1 Funkce složená Definice 4. Pro dvě funkce f, g definujeme složenou funkci (g f), nebo přesněji funkci f složenou s funkcí g, takto: (g f) : y = g(f(x)), x D(g f) = {x D(f) ; f(x) D(g)}. Příklad 5. Dány funkce f : y = x 2, g : y = sin x. Pak D(f) = (, ), D(g) = (, ) a 1. (g f)(x) = sin(x 2 ) = sin x 2, D(g f) = (, ), 2. (f g)(x) = (sin x) 2 = sin 2 x, D(f g) = (, ). 2.2 Definice reálné funkce reálné proměnné Definice 6. Za reálnou funkci f reálné proměnné považujeme neprázdnou množinu uspořádaných dvojic [x, y], kde x R, y R, splňující podmínku: ke každému x existuje nejvýše jedno y, že [x, y] f. Skutečnost [x, y] f zapisujeme následujícími způsoby: f : x y nebo y = f(x). Množina všech přípustných x se nazývá definiční obor funkce f, značí se D(f). Množina příslušných y se nazývá obor hodnot funkce f, značí se H(f). Není-li řečeno jinak, považujeme za definiční obor funkce f množinu všech x, pro která má pravá strana rovnice y = f(x) smysl. Definice 7. Dána funkce f : x y. Graf funkce f je množina všech uspořádaných dvojic bodů { [x, f(x)] ; x D(f)} zobrazených v rovině R 2 = R R s kartézskou soustavou souřadnic. (Pod pojmem kartézská soustava souřadnic rozumíme soustavu souřadnic v rovině R 2 s osami souřadnic na sebe kolmými a se stejnými jednotkami na obou osách.) 4

5 Funkční předpis funkce f je pravidlo, pomocí něhož každému x D(f) přiřazujeme y H(f). Funkční hodnota funkce f v bodě x je číslo f(x), které vyjde dosazením daného čísla x D(f) do funkčního předpisu. Definice 8. Rovnost dvou funkcí f a g znamená rovnost jejich grafů, tj. f g (čteme: funkce f je rovna funkci g), právě když D(f) = D(g) = D a pro všechny body x D je f(x) = g(x). Příklad Funkce f a g jsou dány funkčními předpisy f : y = x2 +2x x, g : y = x + 2. Pak f g, protože D(f) = (, 0) (0, ) (, ) = D(g), přestože pro každé x D(f), tj. každé x 0, platí f(x) = x2 +2x x(x+2) x = x + 2 = g(x). x = 2. Pro funkce f : y = 2x + 1 x+1 x, g : y = 2x+1+ x je f g, vzhledem k tomu, že D(f) = D(g) = 0, ) (ověřte!) a pro každé x 0, ) platí f(x) = 2x + 1 x = ( 2x + 1 x) 2x+1+ x 2x+1+ x = (2x+1) x 2x+1+ x = x+1 2x+1+ x = g(x). 2.3 Inverzní funkce Definice 10 (Prostá funkce). Funkce f je prostá funkce (na svém definičním oboru D(f)), jestliže pro všechny x 1, x 2 D(f) platí je-li x 1 x 2 pak f(x 1 ) f(x 2 )). Definice 11 (Inverzní funkce). Nechť f je prostá funkce na svém definičním oboru D(f) s oborem hodnot H(f). Pak ke každému y H(f) existuje právě jedno x D(f), že f(x) = y. Funkci f 1 : y x, y H(f), nazýváme inverzní funkcí k funkci f. Poznámky 12. Pro nalezení inverzní funkce k dané elementární funkci je dobré si uvědomit následující fakta. Je-li f elementární funkce a I interval, potom množina f(i) (obraz intervalu I, f(i) = {f(x); x I}) je také interval nebo jednobodová množina. Je-li navíc f prostá na I, potom oba intervaly jsou stejného typu a krajní body intervalu I se zobrazí na krajní body f(i). D(f 1 ) = H(f). H(f 1 ) = D(f). y = f(x) x = f 1 (y) pro x D(f), y H(f). Graf funkce f je souměrný s grafem funkce f 1 (po záměně proměnných x a y) podle přímky y = x. 5

6 2.4 Odmocniny Pro x 0, ), y 0, ) : y = x 2 x = y Na levém obrázku je tučně graf funkce, jejíž inverzní funkce má graf (po záměně Pro x R, y R : y = x 3 x = 3 y 2.5 Logaritmické funkce Pro x R, y (0, ) : y = e x x = ln y 6

7 2.6 Cyklometrické funkce Pro x π 2, π 2, y 1, 1 : y = sin x x = arcsin y Na levém obrázku je tučně graf funkce, jejíž inverzní funkce má graf (po záměně Pro x 0, π, y 1, 1 : y = cos x x = arccos y Na levém obrázku je tučně graf funkce, jejíž inverzní funkce má graf (po záměně Pro x ( π 2, π 2 ), y R : y = tg x x = arctg y 7

8 Na levém obrázku je tučně graf funkce, jejíž inverzní funkce má graf (po záměně Pro x (0, π), y R : y = cotg x x = arccotg y Na levém obrázku je tučně graf funkce, jejíž inverzní funkce má graf (po záměně Definice Základní elementární funkce: konstantní, identita, odmocnina řádu n N, exponenciála, logaritmus, sinus, arkussinus, tangens, arkustangens. 2. Elementární funkce jsou všechny funkce, které jsou vytvořeny ze základních elementárních funkcí pomocí algebraických operací a operace skládání. Příklad 14 (Funkce absolutní hodnota). Abs : y = x := x 2, x R, y 0, ) 8