PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Číselné charateristiy náhodných proměnných Charateristiy náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charateristiy polohy a variability. Mezi charateristiy polohy se nejčastěji řadí: střední hodnota, medián, modus. Mezi charateristiy variability se nejčastěji řadí: rozptyl, směrodatná odchyla, průměrné odchyla. Další používané charateristiy: šimost, špičatost.
Číselné charateristiy NP střední hodnota Střední hodnota náhodné veličiny X je reálné číslo E(X) Poud známe distribuční funci, pa Pro disrétní NP: Pro spojitou NP: E( X ) poud příslušná řada, resp. integrál, absolutně onverguje. Poud řada (integrál) diverguje nebo neexistuje, říáme, že střední hodnota neexistuje. X ( ) dp( ) E( X ) x p( x) xz E( X ) x f ( x) dx E( X ) x df( x) Nědy se taé místo označení E( X ) používá EX
Číselné charateristiy NP střední hodnota Poznáma: - střední hodnotu disrétní NP lze uvažovat jao vážený aritmeticý průměr, de pravděpodobnosti p(x) jsou uvažovány jao váhy. - střední hodnotu spojité NP lze uvažovat jao x- složa těžiště plochy ohraničené osou x s hustotou f(x).
Číselné charateristiy NP střední hodnota Vlastnosti střední hodnoty: Nechť X je náhodná proměnná s distribuční funcí F(x). g : R R borelovsá funce, Y g(x ) funce náhodné proměnné s distribuční funcí H(y). Pa E( Y) g( x) df( x) pro disrétní NP: pro spojitou NP: E( Y ) g( x) p( x) xz E( Y ) g( x) f ( x) dx
Číselné charateristiy NP střední hodnota Vlastnosti střední hodnoty: Nechť a, b R, X, X 1,, jsou náhodné proměnné. Pa 1) E( a) a 2) nechť P( X a) 1, pa 3) nechť P( X 0) 1, pa E( X ) 0 4) existuje-li E( X ), pa 5) existuje-li E( X ), pae( X 6) E n i1 n X i EX i1 i X n E( X ) a E( a bx) a be( X ) E( X )) 0
Číselné charateristiy NP medián Nechť p (0, 1). p vantil náhodné proměnné je reálné číslo: x p inf x Z, F( x) p Poud p = 0.5, p vantil se nazývá medián a značí se x ~ 0,5 x Poud p = 0.25, (resp.0.75), p-vantil se nazývá dolní vartil (horní vartil) Poud p = 0.1,,0.9, p-vantil se nazývá decily Poud p = 0.01,,0.09, p-vantil se nazývá percentily Rozdíl: x se nazývá vartilová odchyla 0,75 x0,25 Poznáma Poud je distribuční funce definovaná: F( x) P( X x), pa p-vantil se definuje: minx Z, F( x) p F 1 ( p) x p
Číselné charateristiy NP modus Nechť X je náhodná proměnná s distribuční funcí F(x). g : R R borelovsá ryze monotóní funce, Y g(x ) funce náhodné proměnné s distribuční funcí H(y), pa pro vantily náhodné proměnné platí: pro rostoucí funci g : pro lesající funci g : y y g( x p ) p p g( x 1 p ) Modus náhodné veličiny X je reálné číslo xˆ, teré je maximem (suprémem) pravděpodobnostní funce, resp. hustoty pravděpodobnosti. p( xˆ) p( x) f ( xˆ) f ( x)
Disrétní náhodná proměnná - přílad Náhodná proměnná X popisuje počet puntíů při hodu ideální ostou: Ω ={1p,2p,,6p}, X( puntíů)=. Spočtěte: -pravděpodobnostní funci -distribuční funci -střední hodnotu -medián -vartilovou odchylu -modus Pro funci náhodné proměnné Y X -pravděpodobnostní funci -distribuční funci -střední hodnotu -medián 2 spočtěte:
Spojitá náhodná proměnná - přílad Mějme spojitou náhodná proměnnou s hustotou: Spočtěte: -distribuční funci -střední hodnotu -medián -vartilovou odchylu -modus
Číselné charateristiy NP rozptyl Rozptyl náhodné veličiny X rozumíme reálné číslo D(X), další označení: σ 2 (X), σ 2 X, var(x) Vlastnosti rozptylu: Nechť a, b R, X, X 1,, jsou náhodné proměnné. Pa 1) 2) D( X ) 0 D( a) 0 3) nechť D( X ) 0, pa P( X E( X )) 1 2 4) existuje-li E( X ), pa 2 5) existuje-li E( X ), pa 2 6) funce f (a) E( X a) má minimum v a E( X ) D( X ) E ( X E( X X n D( a bx) b 2 2 )) D( X ) 2 X E( ) 2 D( X ) E X
Číselné charateristiy NP rozptyl Směrodatná odchyla náhodné veličiny X je reálné číslo S(X) další označení: σ(x), σ X S( X ) D( X ) Průměrná odchyla náhodné veličiny X je reálné číslo d(x) d ( X ) E X E( X )
Číselné charateristiy NP šimost Šimost náhodné veličiny X s nenulovým rozptylem je reálné číslo A 3 (X) A 3 ( X ) E ( X E( X )) ( X ) 3 Vlastnosti: 1) A ( X ) 0 rozdělení náhodné proměnné X je symetricé - (b) 2) A ( X ) 0 rozdělení náhodné proměnné X je doprava zešimené (c) 3) A ( X ) 0 rozdělení náhodné proměnné X je doleva zešimené (a) 4) A 3 3 3 a bx) A ( X ) a, b R 3 ( 3 3
Číselné charateristiy NP špičatost Špičatost náhodné veličiny X s nenulovým rozptylem je reálné číslo A 4 (X) A 4 ( X ) E ( X E( X )) ( X ) 4 4 nebo Vlastnosti: : 1) A4( a bx) A4 ( X ) a, b R 2) A ( ) 3 ( A ( ) 0 ) pro náhodnou proměnnou s normálním 4 X 4 X rozdělením A E ( X E( X )) ( X ) 4 ( X ) 4 4 3
Číselné charateristiy NP momenty tý obecný moment náhodné proměnné X reálné číslo ( X) E X (X ) tý centrální moment náhodné proměnné X reálné číslo ( X ) E ( X E( X )) (X ) Vlastnosti: : 1) 2) ( bx) b ( X ) ( a bx) b ( X) 3) 4) 5) 6) E( X ) 1( X ) D( X ) 2( X ) A ( X ) A 3 4 ( X ) ( X ) 3 2( X ) ( X ) 3 2 ( X ) 2 2 4
Disrétní náhodná proměnná - přílad Náhodná proměnná X popisuje počet puntíů při hodu ideální ostou: Ω ={1p,2p,,6p}, X(-puntíů)=. Spočtěte: -rozptyl -šimost -špičatost
Spojitá náhodná proměnná - přílad Mějme spojitou náhodná proměnnou s hustotou: Spočtěte: -rozptyl -šimost -špičatost
Disrétní náhodná proměnná - přílad Mějme rabiču o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázy: : Ω ={strom, houba, yta, slunce, dům, ryba} Pravděpodobnost jednotlivých elementárních jevů odpovídá veliosti plochy. Nechť je nadefinovaná náhodná proměnná X následovně: X(strom)=1, X(houba)=3, X(yta)=-1, X(slunce)=π, X(dům)=10, X(ryba)=7. Spočtěte charateristiy náhodné proměnné.
Spojitá náhodná proměnná - přílad Mějme nadefinovanou následující hustotu pravděpodobnosti: Spočtěte charateristiy náhodné proměnné.
Číselné charateristiy NP nerovnosti Marova nerovnost Nechť P( X 0) 1 a E(X) existuje. Pa 1 P( X E( X )), 0 nebo E( X ) P( X ), 0 Využívá se odhadu P(X), dyž neznáme pravděpodobnost, ale jen E(X) Přílad: 12 x hodíte ideální ostou. Odhadněte pravděpodobnost, že 6 padne alespoň 5x.
Číselné charateristiy NP nerovnosti Čebyševova nerovnost Nechť pro náhodnou proměnnou existují E(X) a D(X). Pa nebo D( X ) P( X E( X ) ), 0 2 1 P( X E( X ) D( X )), 0 2 Využívá se odhadu P(X), dyž neznáme pravděpodobnost, ale jen E(X) a D(X) Přílad: 12 x hodíte ideální ostou. Odhadněte pravděpodobnost, že 6 padne alespoň 5x.