9 Polovodiče 9.1 Úvod Za olovodiče ovažujeme látky, ktoré z hľadiska veľkosti elektrickej vodivosti tvoria medzičláok medzi elektricky vodivými látkami a elektricky evodivými látkami. Vodivosť olovodičov sa ohybuje ri ormálej telote medzi 10 5 Sm -1 a 10-11 Sm -1, čo odovedá rezistivite v rozmedzí od 10-6 m do 10 8 m, 4, 11, 16, 17, 33. Do skuiy olovodičov zahŕňame vysokočisté rvky a zliatiy s olovodivými vlastosťami v olykryštalickej, mookryštalickej a amorfej štruktúre (ajmä a Ge, res. A 3 B 5 a A B 6 ). Základou ožiadavkou ri ich výrobe je ich chemická čistota a možosť doovaia materiálu rvkami s ožadovaými, mookryštalická štruktúra olovodiča s otlačeým možstvom mriežkových orúch a zbaveá utí. Doovaím vzikajú hladiy v zakázaom ásme vlastosťami. Polovodiče sú materiály s garatovaou čistotou, zaručeou šírkou zakázaého ásma, elektrickým odorom, charakteristickým tyom elektrickej vodivosti a dobou života. Mookryštály sú riravovaé sravidla v rovie (111) alebo (100). Zlúčeiy s malou šírkou zakázaého ásma využívajú vlastú vodivosť (ri výrobe fotorezistorov). GaAs má vysokú ohyblivosť elektróov, a reto sa využíva re itegrovaé obvody s veľkými rýchlosťami a diskréte súčiastky mikrovlej techiky. GaAs, GaP, IP sa oužívajú re otoelektroické účely (lumiiscečé diódy, lasery), sú to zlúčeiy, ktoré emitujú vo viditeľom svetle. Elektrické vlastosti olovodičov a s tým súvisiace využitie v rozličých alikáciách, súvisia s voľými osičmi elektrického áboja. Je otrebé ozať mechaizmus ich vziku a odstatu ich trasortu. Polovodiče odľa základej defiície (látky, v ktorých sa a reose elektrického áboja zúčastňujú revaže elektróy, res. diery) redstavujú veľmi rozsiahlu skuiu materiálov s rozličým chemickým zložeím, štruktúrou, čistotou, tvarom atď. Podľa štruktúry možo olovodiče rozdeliť a látky: a) mookryštalické, b) olykryštalické, c) ekryštaiické Podľa alikačého tvaru sa rozdeľujú a: a) objemové, b) vrstvové, a odľa čistoty a: a) maximále čisté, b) s riadeým druhom a možstvom rímesí. aoko odľa chemického zložeia sa olovodiče delia a: a) chemické rvky, b) zlúčeiy. Prevažá väčšia olovodičov atri medzi tuhé aorgaické látky. ajmešia hodota šírky zakázaého ásma W z bola zisteá v iektorých zlúčeiách (lyule od 0 ev), ale za olovodič sa okladá aj uhlík vo forme diamatu (W z = 5,6 ev) a iektoré látky s ešte väčšou šírkou zakázaého ásma (tab.9.1). Tabuľka 9.1 Tyická šírka zakázaého ásma olovodičov Materiál Šírka zakázaého ásma W z (ev) ri izbovej telote Ge 0,75 1,17 GaAs 1,5 GaP,3 GaSb 0,81 ISb 0,3 C 3,0 Diamat 5,3 143
Teoretické úvahy budeme vzťahovať redovšetkým a kryštalické aorgaické olovodiče, retože tieto olovodiče sa v súčasosti ajčastejšie oužívajú v raxi a ich teória je ajdokoalejšie reracovaá. 9. Elemetáre rvky Medzi olovodičové elemetáre rvky atrí ajmä kremík a germáium. Ďalšie rvky sa využívajú ako komoety olovodičových zlúčeí. Sú to kryštalické materiály, vyzačujúce sa kovaletou väzbou, diamatovou kryštalickou štruktúrou a sú to rvky 4. skuiy Periodickej sústavy rvkov. Používajú sa v chemicky veľmi čistom stave a odľa možosti bez orúch kryštálovej mriežky. U kremíka a germáia astáva vlastá vodivosť arušeím kovaletej väzby. Prvky 3. a 5. skuiy sa využívajú solu s a Ge re vytvoreie evlastých olovodičov tyu a tyu. Kocetrácia týchto rímesí býva sravidla 10 17 m -3. Ak kocetrácia rímesí je vyššia ako 10 m -3 hovoríme, že olovodič je degeerovaý. Hustota atómov u je 5.10 a u Ge 4,5 10 m -3. Rozdeleie olovodičových materiálov je a obr. 9.1. Polovodičové materiály Elemetáre rvky:, Ge, C, P, As, Te, Se, B, -S,, -Sb, -S, I Zlúčeiy Biáre zlúčeiy Teráre zlúčeiy Cd x Hg (1-x )Te Orgaické látky Atracé, aftalí (listová zeleň, krvá lazma) Amorfé olovodiče (kvaalá a tuhá fáza) Zl. tyu: A III B V : Ga As, GaP, GaSb Zl. tyu: A IV B IV : C Telote závislý odor Zl. tyu A II B VI : CdS, CdTe, HgTe Zl. tyu A I B VI : CuO, Cu O, Ag S) Zl. tyu A IV B VI : PbS, PbSe, PbTe Zl. tyu A V B VI : Bi Te 3, As Se 3 Zl. tyu A II B V : ZCd, CdSb Obr. 9.1 Rozdeleie olovodičových materiálov Kremík je ajrozšíreejší olovodičový materiál (Z = 14, 1s, s, 6 3s 3, W z = 1,1 ev). Existuje kryštalický aj amorfý. Kryštalizuje v diamatovej štruktúre. Jeho telota taveia je 1 40 C, r = 1,5. Používa sa ajmä re vyššie racové teloty. Jeho veľkou výhodou je schoosť tvorby oxidu O, ktorý umožňuje alikovať fotolitografické ostuy ri výrobe olovodičových súčiastok a slúži tiež ako výborá difúza bariéra. Kremík s väčšou rezistivitou slúži re výrobu vysokoaäťových a výkoových súčiastok, kde tvorí aktívu časť. Kremík s mešou rezistivitou sa oužíva re výrobu itegrovaých obvodov, kde tvorí odklad re eitaxé ovlaky. Mookryštalický kremík sa oužíva re výrobu slečých batérií a využíva sa aj jeho magetorezistečý jav a výrobu tezometrov. Germáium: Z = 3, 1s s 6 3s 36 3 d10 4s 4, W z = 0,78 ev, r = 16. Používa sa ajmä re výrobu vysokofrekvečých olovodičových súčiastok. osiče áboja majú vyššiu ohyblivosť ako u kremíka. Používa sa odstate meej ako kremík. 144
Selé a telúr: Prvky VI skuiy. Se má W z = 1, ev a telotu taveia 0 C. Te má W z = 0,35 ev a telotu taveia 453 C. Môžu sa oužívať ako samostaté olovodiče, ale v raxi sa oužívajú ako zložky olovodičových zlúčeí, ktoré vykazujú fotoelektrické a termoelektrické vlastosti 9.3 Biáre zlúčeiy Pre výrobu olovodičových súčiastok sa v súčasej dobe oužíva veľké možstvo rôzych olovodičových zlúčeí (obr. 9.1). Zlúčeiy sú dvojzložkové, troj alebo i viaczložkové. ajvýzamejšiu skuiu tvoria zlúčeiy tyu A III B V (tab. 9.). Tabuľka 9. Parametre olovodičových zlúčeí A III B V IP GaAs IAs ISb Telota toeia ( C) 1070 138 94 55 Pohyblivosť elektróov (m V -1 s -1 ) 0,46 0,95 3,3 7,8 Pohyblivosť dier (m V -1 s -1 ) 0,015 0,045 0,046 0,075 Šírka zakázaého ásma (ev) 1,35 1,43 0,36 0,18 Rozsah šírky zakázaého ásma W z sa u týchto zlúčeí ohybuje od 0, 3,0 ev. Zlúčeiy sa oužívajú ri vysokých telotách, vysokých frekveciách (GaAs), ako Hallove geerátory (ISb vysoká ohyblivosť elektróov), ako otočley, ar. GaSb a GaP, z ktorých sa dajú zhotovovať veľkološé mookryštalické vrstvy ar. eitaxým rastom z lyej fázy (riamy otický riechod t.j. žiarivá rekombiácia rebieha bez výmey eergie s kryštálovou mriežkou) sú veľmi ersektíve materiály re otoelektroické účely (elektrolumiiscečé diódy). a) Arzeid gália GaAs je v súčasosti ajoužívaejšia olovodičová zlúčeia. Používa sa ri výrobe trazistorov a diód re veľmi vysoké kmitočty, re výrobu fotoelektrických člákov, elektrolumiiscečých zdrojov svetla a otoelektroických súčiastok. Tyická je väčšia šírka zakázaého ásma, ktorá umožňuje oužitie súčiastok až do telôt 400 C. b) Arzeid idia IAs sa oužíva re výrobu laserov, Hallových sod, magetorezistorov, detektorov ifračerveého žiareia a fotoelektrických člákov. c) Fosfid gália a idia (GaP a IP) sa oužívajú re výrobu diód re oblasť vyšších telôt, laserov a elektrolumuiscečých aelov. d) Atimoid idia ISb má ajväčšiu ohyblivosť elektróov zo všetkých zámych olovodičov. Do začej miery sa v ňom rejavuje Hallov jav, a reto sa oužíva redovšetkým re výrobu Hallových sod a magetorezistečých sod. Má jedu z ajmeších šírok zakázaého ásma, z čoho vylýva vysoká itrizická kocetrácia osičov áboja aj vodivosť. Výzamé je oužitie re výrobu detektorov ifračerveého žiareia, ktorým možo idikovať teloty rôzych objektov a vytvárať ich teelý obraz (termovízia). 9.4 Vlasté olovodiče Vlasté (itrizické) olovodiče eobsahujú žiade oruchy v kryštálovej mriežke. Ideály mookryštál má väzby kovaleté a diamatovú kryštálovú mriežku, ktorá je dokoale ravidelá. Všetky valečé elektróy sa zúčastňujú a väzbách a okiaľ sú väzby eorušeé, takýto kryštál je dokoalým izolatom. Takýto stav astáva ri telote absolútej uly. Pri vyššej telote v dôsledku teelého ohybu dochádza k uvoľeiu väzbového elektróu z väzby a elektró sa stae voľým. 145
V lošom zobrazeí je takáto kryštalografická sústava zázoreá a obr. 9.. Obr. 9. Diamatová mriežka kremíka v lošom zobrazeí Vodivosté ásmo Eergie k disozícii re voľé elektróy Eergia Šírka zakázaého ásma W Z W C Elektróy uvoľeé z väzieb W V Valečé ásmo Eergie k disozícii re viazaé elektróy Obr. 9.3 Pásmový model vlastého olovodiča Stav ri vyššej telote možo omocou ásmovej schémy iterretovať tak, že elektró reskočil z valečého do vodivostého ásma cez zakázaé ásmo, ričom vo valečom ásme ostalo o elektróe rázde miesto. Teda aby sa valečý elektró stal voľým, t.j. aby rešiel do vodivostého ásma, musí absorbovať eergiu rovajúcu sa riajmešom šírke zakázaého ásma W z. Wz Wc Wv (9.1) kde W c je dolý okraj vodivostého ásma, W v horý okraj valečého ásma. Pretože elektróy vo valečom ásme a seba vzájome ôsobia a ľahko si medzi sebou vymieňajú miesta, je veľmi ravdeodobé, že a rázde miesto rejde valečý elektró z iektorej susedej kovaletej väzby. Toto voľé miesto vzáätí obsadí ďalší susedý elektró, takže rázde miesto o elektróe sa ohybuje kryštálom. Pokiaľ sa všetky elektróy zúčastňovali a väzbách, bol kryštál aj v rámci jedoatómových vzdialeostí elektricky eutrály. Ak sa elektró ezúčastňuje a kovaletej väzbe, je v okolí atómu rebytok kladého áboja oroti áboju záorému, čo zaríčií, že sa rázde miesto javí ako klade abité cetrum. Kryštál ako celok je aj v tomto ríade elektricky eutrály. Pohyb mohých elektróov, ktoré áslede reskakujú do rázdeho miesta, možo reto ahradiť ohybom jedej fiktívej častice s kladým elektrickým ábojom, re ktorú sa v odborej literatúre 10, 1 zaviedol ázov diera. Diera je eobsadeý stav elektróov v čiastoče ezaleom valečom ásme olovodiča. Voľé diery sú ohyblivé miesta vo 146
valečom ásme a možo ich ovažovať za miesta obsadeé mysleými (fiktívymi) časticami s kladým ábojom a kladou hmotosťou. Diera je teda fiktíva elemetára častica, ktorá je osičom kladého elemetáreho áboja (e = - 1,60. 10-19 C) a slúži re ois vodivosti v olovodiči. Pohybom dier vziká dierový rúd v olovodiči. Vodivosť sôsobeá dierami vo valečom ásme olovodiča sa azýva dierová vodivosť alebo vodivosť tyu P. Je to jede z dvoch tyov rímesovej vodivosti v olovodiči. Zavedeím diery sa kvatitatíve úvahy o ohybe mohých elektróov zače zjedodušia, a reto sa beže hovorí o dierovej elektrickej vodivosti, o difúzii dier a od. Z uvedeého mechaizmu vziku voľých osičov elektrického áboja vo vlastých olovodičoch vylýva rovosť kocetrácie voľých elektróov a voľých dier. Uvoľeie každého elektróu z valečého ásma je srevádzaé vzikom voľej diery vo valečom ásme. Vo vlastom olovodiči latí rovica elektrickej eutrality vlastých olovodičov: kde i e [m -3 ] je kocetrácia voľých elektróov, [m -3 ] - kocetrácia voľých dier, i [m -3 ] - kocetrácia elektróov vo vlastom (itrizickom) olovodiči. (9.1) V raxi majú vlasté olovodiče le obmedzeé oužitie. Sú to východiskové materiály re výrobu rímesových olovodičov. Polovodiče sa musia ajrv vyčistiť a maximály dosiahuteľý stueň čistoty a otom sa zámere zečisťujú rímesami s defiovaým možstvom a vlastosťami. Kryštál ako celok je ri ohybe voľých elektróov elektricky eutrály. Stredá eergia teelého ohybu, res. riemerá eergia elektróu získaá v teelom oli, ri telote 300 K je kt = 0,05 ev. Geerácia (roces vziku) voľých osičov ábojov je teelý roces, absorciou kvata eergie, ričom hv Wz. Rekombiácia (záik) osičov je srevádzaá vyžiareím kvata eergie. Kocetrácia vodivostých elektróov a valečých dier sa vyočíta: Wz Wz * 3 kt * kt i ( m kt ) e e 3 h (9.) kde * je stredá efektíva hustota eergetických stavov, meiaca sa v rozsahu racových telôt le málo a tak ju môžeme ovažovať za koštatu, re telotu 300 K je * 19 3 3.10 / cm. Pre kremík W z 1, 1eV a 10 10 i / cm. 9.5 Prímesové olovodiče evlastá vodivosť (rímesová olovodivosť) olovodičov je sôsobeá ohybom elektróov alebo dier rechádzajúcich z atómov rímesí v olovodičoch. Týmito rímesami možo regulovať iele veľkosť rezistivity, ale i charakter (ty) elektrickej vodivosti olovodičov. Prímesi redstavujú oruchy kryštálovej mriežky a môžu byť elektricky asíve (rvky IV. skuiy v IV. skuiy (C v )), alebo aktíve (rvky III. alebo V. skuiy v IV. skuie). Ak rímesový rvok má o jede valečý elektró viac a v olovodiči revažuje elektróová vodivosť, rímesové atómy sú doormi (ar. P, As, Pb v ) a olovodič je tyu. Doory sú sravidla rvky s jedým mocestvom vyšším ako mocestvo základého olovodiča. 147
Sledujme, ako sa zmeia omery v ideálom mookryštále kremíka, ak časť jeho atómov ahradíme atómami äťmocého rvku, ar. fosforu. Atóm fosforu, ktorý ahrádza jede atóm kremíka v kryštálovej mriežke, je obkloeý štyrmi atómami kremíka, s ktorými sa viaže štyrmi kovaletými väzbami. Tieto štyri kovaleté väzby sú zabezečeé omocou štyroch valečých elektróov fosforu, ričom iaty valečý elektró fosforu sa a väzbách ezúčastňuje (obr. 9.4). Teto iaty valečý elektró ie je voľý, retože ho riťahuje kladý áboj jadra fosforového atómu. Toto riťahovaie je však v dôsledku okolitých atómov zoslabeé a elektróu stačí dodať malú eergiu, aby sa odtrhol od atómu fosforu a začal sa voľe ohybovať kryštálovou mriežkou. Keďže atóm fosforu ľahko odovzdáva jede elektró, azýva sa door. Obr. 9.4. Kryštálová mriežka kremíka obsahujúca atómy fosforu v substitučých olohách a jeho ásmová schéma V eergetickom ásmovom modeli si oísaý mechaizmus vziku voľého elektróu možo redstaviť tak, že v okolí fosforového atómu existuje dovoleá lokalizovaá eergetická hladia, tzv. doorová eergetická hladia W D. ktorá leží v zakázaom ásme, a to v blízkosti sodého okraja vodivostého ásma W c. Rozdiel eergie rislúchajúci sodému okraju vodivostého ásma a doorovej eergetickej hladiy sa azýva aktivačá eergia doorov. Aktivačá eergia doorov: WD Wc W D (9.3) Polovodiče, ri ktorých sa uvoľňujú elektróy ioizáciou doorov, sa azývajú olovodiče tyu. V olovodičoch tyu reos elektrického áboja v elektrickom oli srostredkujú revaže voľé elektróy, esúce záorý elektrický áboj. Pretože v olovodiči tyu je kocetrácia voľých elektróov väčšia ako kocetrácia voľých dier, elektróy sú majoritými a diery mioritými osičmi áboja. Ak rímesový rvok má o jede vodivostý elektró meej, v olovodiči revažuje dierová vodivosť, rímesové atómy sú akcetormi (ar. B, Al, Ga, I v ) a olovodič je tyu P. Pre objaseie tejto skutočosti uvažujme kryštálovú mriežku kremíka obsahujúcu malé možstvo atómov idia (obr. 9.5). Keďže idiové atómy sú trojmocé, chýba im re vytvoreie štvrtej kovaletej väzby s kremíkovými atómami jede elektró. V tejto väzbe reto ostáva jedo voľé miesto re elektró. Toto voľé miesto však eorušuje lokálu elektrickú eutralitu kryštálu. Pri telote absolútej uly je aj kryštál, ktorý obsahuje voľé miesta, re elektróy v kovaletých väzbách dokoalým izolatom, retože eobsahuje ijaké voľé osiče elektrického áboja. Pri vyššej telote ako 0 K sa však môže stať, že väzbový elektró z iektorej susedej väzby medzi dvoma kremíkovými atómami rejde a toto rázde miesto, čím sa aruší lokála elektrická eutralita kryštálu. Idiový atóm je obkoleseý väčším 148
očtom elektróov ako je očet rotóov jeho jadra, reto sa javí ako záorý ió. Voľé miesto, ktoré vziklo o riechode elektróu z väzby medzi dvoma kremíkovými atómami je klade abité a môže sa kryštálom voľe ohybovať, t.j. vytvorila sa voľá diera. Kryštál ako celok si aj o vytvoreí voľej diery zachováva elektrickú eutralitu. Obr. 9.5 Kryštálová mriežka kremíka obsahujúca atómy idia v substitučých olohách a jeho ásmová schéma Eergia elektróu, ktorý reskočil do voľého miesta ri idiovom atóme je o málo väčšia, ako by bola eergia riadeho väzbového elektróu v tomto mieste, keby mriežková orucha eexistovala. V ásmovej schéme to možo vyjadriť tak, že v zakázaom ásme vzikla lokalizovaá dovoleá eergetická hladia re elektróy, ležiaca v blízkosti horého okraja valečého ásma (obr. 9.5). Aby elektró mohol reskočiť z valečého ásma a túto eergetickú hladiu, musí sa mu dodať určitá eergia, ktorú azývame aktivačou eergiou. Týmto reskokom vziká v kryštálovej mriežke jede záorý eohyblivý ió idia a jeda klade abitá voľá diera. Pretože atóm idia môže rijať avyše jede elektró, azýva sa akcetor. Odovedajúca eergetická hladia elektróov ím vytvoreá sa azýva akcetorová eergetická hladia W A. Rozdiel eergie medzi akcetorovou eergetickou hladiou W A a eergetickou hladiou odovedajúcou horému okraju valečého ásma W v sa azýva aktivačá eergia akcetorov W A. Aktivačá eergia akcetorov: WA WA WV (9.4) Polovodiče, v ktorých voľé osiče elektrického áboja vzikajú ioizáciou akcetorov, sa azývajú olovodiče tyu P. V olovodičoch tyu P reos elektrického áboja v elektrickom oli zaríčiňujú revaže voľé diery esúce kladý elektrický áboj. V olovodičoch tyu P je kocetrácia voľých dier väčšia ako je kocetrácia voľých elektróov, a reto sa diery azývajú majoritými (väčšiovými) osičmi elektrického áboja. Elektróy sú mioritými (mešiovými) osičmi áboja. Aktivačá (ioizačá) eergia doorov W D, resektíve akcetorov W A je v orovaí s eergiou otrebou a vytvoreie áru elektró - diera W z ri reskoku elektróu z valečého do vodivostého odstate mešia. ar. v kremíku je W z = 1,1 ev a veľkosti aktivačých eergií doorov a akcetorov sú v rozsahu od 0,033 do 0,16 ev. Aktivačá eergia je obece eergia otrebá a aktiváciu osičov áboja v materiáloch z rôzych eergetických hladí. Ioizačá eergia je eergia otrebá a uvoľeie elektróu z elektróového obalu atómu. Elektrická eutralita rímesových olovodičov Elektrický áboj v rímesovom olovodiči rozlišujeme: 149
- Voľý - delokalizovaý, (kocetrácia akcetorov A a kocetrácia doorov d, kocetrácia ioizovaých doorov D + a kocetrácia ioizovaých akcetorov A - ), - viazaý - lokalizovaý (kocetrácia elektróov a dier ). V stave termodyamickej rovováhy musia byť olovodiče elektricky eutrále, t.j. ich celkový elektrický áboj sa musí rovať ule. Kvatitatíve možo elektrickú eutralitu rímesových olovodičov formulovať takto: - Polovodiče tyu : obsahujúce kocetráciu ioizovaých doorových rímesí D + ( A = 0): D (9. 5) - Polovodiče tyu P: obsahujúce kocetráciu ioizovaých akcetorových rímesí A - ( D = 0): A (9. 6) - Polovodiče obsahujúce ioizovaé doory D + a ioizovaé akcetory A -. Podľa odielu ioizovaých doorov a ioizovaých akcetorov môžu byť tyu ( D > A ), tyu P ( D < A ) alebo kvázivlasté ( D = A ). Uvažujme homogéy edegeerovaý olovodič s kocetráciou doorových rímesí D a akcetorových A v elektroeutrálom stave (komezovaý olovodič): D A, (9.10) kde D je kocetrácia ioizovaých doorov, a je kocetrácia ioizovaých akcetorov, kocetrácia dier vo valečom, kocetrácia elektróov vo vodivostom ásme. Úravou dostávame: d a (9.11) Ľavá straa rovice rerezetuje voľý a ravá viazaý áboj. Ak D A Ak D A, otom i, olovodič je vlastý., ( A D) 4 i, D, Ak D A, ( A D) 4 i, A, Uvedeé rovice latia re sile rímesové olovodiče. i D i A, olovodič je -tyu., olovodič je -tyu. 150
9.6 Efektíva hmotosť elektróu m* Pri osudzovaí srávaia sa elektróu v extrémych olohách eergetických ásov uvažujeme o jeho efektívej hmotosti. Efektíva hmotosť m* je veličia re ois ohybu elektróov v eriodickom oli kryštálovej mriežky. Vzťah medzi vlovým vektorom k a imulzom voľého elektróu: mv hk (9.1) možo oužiť formále aj re ohyb slabo viazaého elektróu v eriodickom oli kryštálovej mriežky, ak jeho hmotosť ahradíme efektívou hmotosťou. Odvodeie efektívej hmotosti: Pohyb voľého elektróu možo charakterizovať de Broglieho vlovou dĺžkou h h mv Z omeru (9.13) vyjadríme rýchlosť v: (9.13) v m (9.14) Elektróové vly sa v kryštálovej mriežke vyšetrujú omocou vlového vektora k: k h Odkiaľ re imulz máme vzťah hk Eergiu voľého elektróu vyjadríme ako závislosť a vlovom vektore k: (9.15) (9.16) W k 1 mv 1 m h k 8 m 1 mh k 4 m (9.17) * Vzťah re efektívu hmotosť elektróu m e odvodíme z vyšetreia ohybu elektróu v eriodickom oli kryštálovej mriežky za ôsobeia vokajšieho oľa o itezite E. Jeho rýchlosť a závislosť eergie elektróu a vlovom vektore možo vyjadriť zo vzťahov: v hk m (9.18) dw dk h k 4 m Riešeím derivácie je vzťah: dw dk vh (9.19) (9.0) 151
Odkiaľ re rýchlosť máme vzťah: dw v h dk Zrýchleie elektróu je otom daé: (9.1) dv dt W d W h t k h dk dk dt (9.) A jeho eergia je určeá rovicou: dw dw eevdt ee dt h dk A z ej staovíme dk dt ee h Dosadeím do rovice 9.3 dostaeme re zrýchleie vzťah: (9.3) (9.4) dv dt d W ee 4 h dk h h d W dk ee (9.5) Keďže dv dt a ma ee dv dt ee m a z ohybovej rovice vieme, že F = ma (9.6) (9.7) 4 * h dw dk m ee (9.8) 1 h d W m* 4 dk (9.9) Elektró sa chová v eriodickom oli, ako keby mal efektívu hmotosť m*. Efektíva hmotosť m* dáva možosť rešektovať zložitý charakter ôsobeia elektróov a kryštálovej mriežky ri ohybe ri ôsobeí vokajších síl. Je to koeficiet úmerosti medzi vokajšou silou ôsobiacou a časticu a jej stredým zrýchleím. Efektíva hmotosť sa môže v rôzych kryštáloch olovodičov až 100 krát líšiť od hmotosti voľého elektróu, môže byť závislá a kryštalografických smeroch, môže závisieť od teloty, od tlaku a od kocetrácie rímesí olovodičového materiálu. 9.7 Rekombiácia voľých osičov áboja Rekombiácia (záik voľých osičov áboja) môže byť odľa mechaizmu: 15
- medziásmová (rechod voľého elektróu z vodivostého do valečého ásma), - cez záchyté cetrá (ak olovodič obsahuje oruchy kryštálovej mriežky), - ovrchová (súvisí s existeciou orúch a ovrchu). S rekombiáciou súvisí doba života t.j. doba, očas ktorej sa elektró alebo diera udrží ako voľý. Geerácia a rekombiácia sa odieľajú a ráci olovodičových súčiastok. 9.8 Elektrická vodivosť olovodičov Ak sa olovodič achádza v elektrickom oli, otom a voľé osiče áboja ôsobí sila, ktorá im udeľuje zrýchleie v smere (osičom s kladým ábojom), res. roti smeru (osičom so záorým ábojom) itezity elektrického oľa. V elektrickom oli sa reto k chaotickému teelému ohybu ridružuje aj usmereý ohyb voľých osičov áboja. Hustota elektrického rúdu J (A/m ) je daá ábojom remiesteým za jedotku času jedotkovým rierezom, teda ábojom elektróu, jeho kocetráciou a stredou driftovou rýchlosťou v odľa: J ev (9.30) Hustota elektróového rúdu J J e v (9.31) Hustota dierového rúdu J J e v (9.3) V slabých elektrických oliach je stredá trasortá rýchlosť voľých osičov v (m/s) úmerá itezite elektrického oľa E (V/m), ričom koštatou úmerosti je ohyblivosť u (m V -1 s -1 ) voľých elektróov: v v u E u E (9.33) (9.34) J J J e( u u ) E (9.35) Porovaím s Ohmovým zákoom J. Edostaeme vzťah re vodivosť olovodičov: e ( u u ) (9.36) Vodivosť závisí od kocetrácie a ohyblivosti voľých osičov ábojov. 9.9 Kocetrácia voľých osičov áboja v olovodiči Pre výočet kocetrácie voľých osičov áboja je otrebé ozať: 153
- hustotu kvatových stavov (očet kvatových stavov, ktoré riadajú a jedotkový iterval eergie v jedotkovom objeme), - ravdeodobosť ich obsadeia osičmi ábojov f (Fermi - Diracova štatistika). a) Pre vlasté olovodiče máme otom vzťah: W W / c c W W v v / c v f f dw dw (9.37) (9.38) (9.39) Pravdeodobosť obsadeia daého stavu elektrómi určuje Fermiho - Diracova rozdeľovacia fukcia f 0 ( W ) e 0 1 W W k T F 1 (9.40) kde k 0 je Boltzmaova koštata, T absolúta telota (K), W F Fermiho eergia (max. eergia elektróov v kove ri telote absolútej uly). Pravdeodobosť jej obsadeia elektrómi ri telote T 0K je ½. Závislosť rozdeľovacej fukcie (9.40) od eergie ri dvoch telotách je zázoreá a obr. 9.6. Obr. 9.6 Závislosť Fermi Diracovej fukcie od eergie Pravdeodobosť toho, že v teelej rovováhe v stave s eergiou W elektró chýba a teda je obsadeý dierou je: f ( W ) 1 f ( W ) 1 e 1 W W k F 1 W W 0 T k0t 1 e 1 F (9.41) 154
Polovodiče s elektrómi oísaými Fermiho - Diracovou rozdeľovacou fukciou azývame degeerovaé. Degeerovaý olovodič je taký, v ktorom kocetrácia osičov áboja rekročí určitú kritickú hodotu. V ríade olovodiča ri izbovej telote je to 10 5 m -3. Dochádza tu k itezívemu ôsobeiu medzi elektrómi, t.j. stredá eergia elektróov ezávisí od teloty. Počet voľých osičov je u degeerovaého olovodiča väčší ako očet dovoleých eergetických stavov. Jeho Fermiho hladia W F v ásmovom modeli leží vo vútri vodivostého (olovodič ) alebo valečého (olovodič P) ásma. Pre osiče áboja latí Fermiho - Diracova štatistika. Takáto degeerácia olovodiča je vyvolaá veľkou dotáciou, t.j. veľkým možstvom rímesí v olovodiči. Oakom degeerovaého olovodiče je edegeerovaý olovodič, u ktorého je v ásmovom modeli Fermiho hladia W F vo vútri zakázaého ásma a je vzdialeá od hraice vodivostého ásma W c alebo od hraice valečého ásma W v asoň o.k.t. Fukcia f W re elektróy v stavoch s eergiami c Wf k0t adobude tvar WF W k T 0 f ( W ) e (9.4) a je zhodá s Maxwellovou - Boltzmaovou rozdeľovacou fukciou re častice odliehajúce klasickým zákoom. edegeerovaé olovodiče majú ízku kocetráciu elektróov, vzájomé ôsobeie medzi elektrómi je slabé. S rastúcou telotou sa stredá eergia elektróov zväčšuje. Hustota kvatových stavov (W) v blízkosti da vodivostého ásma: 3/ * m 1/ dc( W ) 4 W Wc dw h (9.43) Hustota kvatových stavov (W) v blízkosti strou valečého ásma 3/ * m 1/ dv( W ) 4 Wv W dw h (9.44) Dosadeím hustoty kvatových stavov, Fermiho eergie a riešeím itegrálov dostaeme vzťahy re výočet kocetrácie elektróov a dier : 3/ * mkt Wc Wf ex h kt (9.45) * 3/ f v m kt W W ex h kt (9.46) kde * 3/ m kt c h (9.47) je efektíva hustota kvatových stavov vo vodivostom ásme a 3/ * mkt v h (9.48) 155
je efektíva hustota kvatových stavov vo valečom ásme. Z odmieky elektrickej eutrality vo vlastom olovodiči ( = ) možo vyočítať Fermiho eergetickú hladiu: W f 3 m ktl 4 m * Wc Wv * (9.49) a obr. 9.7 je závislosť olohy Fermiho eergetickej hladiy od teloty vo vlastých olovodičoch. Obr. 9.7 Závislosť olohy Fermiho eergetickej hladiy od teloty vo vlastých olovodičoch Z rovice (9.49) vylýva, že Fermiho eergetická hladia W f sa achádza ri telote absolútej uly v strede zakázaého ásma. Pre i : 1/ kt * * 4 Wc Wv m m 3 / ex i h 3 / kt (9.50) b) Pre rímesové olovodiče vychádzame z odmieky elektrickej eutrality komezovaého olovodiča d a -, kde a ozáme, a je kocetrácia + ioizovaých akcetorov, d kocetrácia ioizovaých doorov, Pravdeodobosť obsadeia doorovej hladiy f d : f d 1 D D D D D (9.51) Dosadeím FD štatistiky za f: 1 D 1 1 1 Wd Wf D ex kt (9.5) možo získať výraz re kocetráciu ioizovaých doorov: 156
D D 1 1 Wd Wf 11/ ex( ) kt (9.53) odobe ravdeodobosť obsadeia akcetorových hladí fa je daá: f a a A A a Wa W f 1 ex kt a teda komletý výraz re rovicu elektrickej eutrality je: c Wc Wf A ex kt Wa Wf 1 ex kt (9.54) (9.55) Wf W v 1 v ex 1 d kt 1 1 Wd W f ex kt (9.56) Závislosť kocetrácie od teloty v evlastých olovodičoch, a ktorej vidieť oblasť rímesovej vodivosti (slabej ioizácie, oblasť vyčeraia rímesí) a oblasť itrizickej vodivosti, je a obr. 9.8. l () < < D1 D D3 ( < < ) A1 A A3 D3 ( A3) 3 1 1 1 1 1 1 1 T 1 i T i T i T S T S T 3 1 3 S 1 T -1 [K ] D ( A) ( ) D1 A 1 Obr. 9.8 Závislosť kocetrácie od teloty v evlastých olovodičoch: 1 oblasť slabej ioizácie, oblasť vyčeraia rímesí, 3 itrizická oblasť, T s telota asýteia, T i telota vyčeraia rímesí 157
Telota asýteia T s je defiovaá ako telota, ri ktorej rešli všetky elektróy z doorových hladí do vodivostého ásma (W D = W C - W D ) a vyočíta sa ako: T s Wc WD c k l D (9.57) Telota vyčeraia rímesí T i je telota, ri ktorej sa a elektrickej vodivosti okrem všetkých ioizovaých rímesí začíajú odieľať aj lokalizovaé elektróy a diery, vyskytujúce sa v olovodiči. Telota vyčeraia rímesí je tým väčšia, čím je väčšia šírka zakázaého ásma a čím väčšia je kocetrácia rímesí D. Telota vyčeraia rímesí sa vyočíta ako: T i Wz c v k l D (9.58) 9.10 Pohyblivosť voľých osičov áboja v olovodiči Pohyblivosť u je mierou rýchlosti ohybu voľých osičov účikom elektrického oľa. Pohyblivosť závisí od roztylu osičov: čím je roztyl väčší, tým je ohyblivosť mešia. Roztyl môže byť: - a teelých kmitoch mriežky, - a ioizovaých rímesiach, - a ostatých oruchách kryštálovej mriežky. kde u v E v je trasortá rýchlosť. (9.59) Grafická iterretácia závislosti ohyblivosti voľých osičov áboja od teloty vo vlastých a v evlastých olovodičoch ako aj sumáre závislosti koduktivity vlastého a evlastého olovodiča od teloty sú a obr. 9.10 a) a obr. 9.10 b). Obr. 9.10 a) Závislosť ohyblivosti voľých osičov áboja od teloty vo vlastých a v evlastých olovodičoch 158
Obr. 9.10 b) Závislosť koduktivity vlastého a evlastého olovodiča od teloty V tab. 9.3 sú uvedeé údaje o ohyblivosti elektróov a dier iektorých olovodičov. Tabuľka 9.3 Pohyblivosť elektróov a dier iektorých olovodičov Prvok Pohyblivosť elektróov (m V -1 s -1 ) Pohyblivosť dier (m V -1 s -1 ) Ge 0,39 0,19 0,1 0,05 ISb 7,00 0,15 IAs 3,00 0,0 9.11 Difúzia voľých osičov áboja (Fickove zákoy) Difúzia je roces, ri ktorom častice (ako molekuly alebo ióy) lyov, kvaalí alebo tuhých látok reikajú v ejakom rostredí ako výsledok ich sotáeho ohybu sôsobeého termálou alebo kocetračou erovováhou. Difúzia vedie k vyrovávaiu kocetrácií alebo telôt. Difúzia má veľký výzam re techologické rocesy, ar. re rozúšťaie, kryštalizáciu, sušeie, adsorciu a od. V olovodičoch je difúzia oímaá ako vysokotelotý sôsob dotovaia olovodičových vrstiev, ktorý využíva termický ohyb difudujúcich častíc. Difúzia osičov áboja v olovodiči restavuje ohyb voľých osičov áboja sôsobeý sádom v ich kocetrácii, vzikajúcim erovorodým zečisteím vzorky, zahriatím jedej časti vzorky, dotykom s iými látkami a od. Difúzia sa riadi Fickovými zákomi. Difúzia vyvoláva elektrický rúd, tzv. difúzy rúd. Difúzy rúd je usmereý rúd voľých osičov v dôsledku rocesu difúzie. Príčiy difúzie sú: - erovomeré rozdeleie áboja (tok osičov ábojov z miest s vyššou kocetrácie ábojov do miest s ižšou kocetráciou ábojov), t.j. vzik gradietu kocetrácie a vziku difúzeho rúdu. - erovomeré rozložeie teloty, t.j. gradiet teloty. Obr. 9.11 Schematické zázoreie mechaizmov difúzie: a) výmeý b) itersticiály c) vakačý d) itersticiále -substitučý 159
1. Fickov záko (v jedorozmerom tvare): d j D dx (9.60) hovorí, že hustota difudujúcich častíc j je úmerá kocetračému gradietu d/dx a tok častíc smeruje do miesta mešej kocetrácie. D je koeficiet difúzie: D D 0 W ex( ) kt (9.61) kde D 0 je materiálová koštata ezávislá od teloty, W je aktivačá eergia difúzeho rocesu, t.j. eergia utá re remiesteie difudujúceho atómu rímesi do ajbližšieho voľého miesta v kryštálovej mriežke. V tab. 9.4 sú uvedeé hodoty materiálových koštát D 0 a aktivačej eergie W re iektoré difúze rvky v kremíku ri ormálom tlaku. Tabuľka 9.4 Parametre telotej závislosti difúzeho koeficietu iektorých atómov v za ormáleho tlaku Prvok D 0 (m.s -1 ) W (J) B (5 až 10,5).10-4 (5,6 až 5,9).10-19 Al (4,8 až 8,0).10-4 5,8.10-19 Ga 3,6.10-4 (5,6 až 6,56 ). 10-19 I 16.10-4 6,4.10-19 Te 16.10-4 6,4.10-19 P 10,5.10-4 5,9.10-19 As 0,3.10-4 5,76.10-19 Sb 5,6.10-4 6,4.10-19 Bi 0,1 7,6.10-19 Li,3.10-7 1,06.10-19 Au 1,1.10-7 1,76.10-19 Súvislosť difúzie s ohyblivosťou vyjadruje Eisteiova rovica: kt D u e (9.6) Dôležitou charakteristikou rocesu difúzie je difúza dĺžka L osičov ábojov, ktorá súvisí s dobou života osičov: L D (9.63) 1. Fickov záko latí re ríady, kedy sa kocetračý gradiet v riebehu času emeí.. Fickov záko Častejšie astáva ríad estacioáreho stavu, ktorý je charakterizovaý časovou zmeou kocetračého gradietu. Časovú zmeu kocetračého gradietu možo odvodiť z obr.9.1. 160
. Fickov záko ( v jedorozmerom tvare): Obr. 9.1 Schematický áčrt re. Fickov záko d dt d D dx (9.64) určuje rozložeie adifudovaých častíc, to z. kocetračý alebo difúzy rofil.. Fickov záko defiuje časovú zmeu kocetrácie v objemovom elemete o hrúbke dx. Difúzia sa využíva v oblasti elektroických techológií ajmä k dotácii, ar. re vytváraie vrstiev defiovaých vlastostí dotáciou, t.j. ak sa difúziou vhode zvoleé rímesi dostávajú do ovrchu olovodičového materiálu. Difúzia sa využíva tiež ri výrobe trazistorov a diód, kedy difuduje zlato do ovrchu doštičky v hrúbke cca 50 m, kde vytvára rekombiačé cetrá a tým skracuje zotavovaciu dobu osičov ábojov. Zlato sa oužíva, retože má veľký difúzy koeficiet, a reto rýchlo reiká objemom. Elektróovú rúdovú hustotu J dif zaríčieú difúziou vyočítame zo vzťahu: d 0 Jdif ed dx, (9.65) Dierovú rúdovú hustotu J dif zaríčieú difúziou vyočítame zo vzťahu: J dif ed d dx 0 (9.66) Pôvode eutrály olovodič sa elektricky abíja, retože difudujúce častice zaechávajú za sebou evykomezovaý áboj oačého zamieka. Vútri olovodiča sa vytvára difúze aätie. Difúze elektrické ole E D brái ďalšej difúzii. Toto aätie vytvára ohmický rúd smerujúci roti difúzemu rúdu. Difúzy rúd je vždy srevádzaý ohmickým (driftovým) rúdom. Jeho rúdová hustota je vyjadreá rovicou: J eu E D Rovovážy stav v olovodiči astae, keď sa difúza rúdová hustota vyrová ohmickej rúdovej hustote: (9.67) res. J J D eu E D ed d dx (9.68) (9.69) Z rovice možo vyočítať difúze elektrické ole E D : E D d D dx u 1 (9.70) 161
Pôsobeím elektrického oľa o itezite E astae erovovážy stav, E sa suerouje a E D a celková rúdová hustota otom bude: d J J J ed ee u u dx dif drift (9.71) 9.1 Kotakt kov - olovodič (Schottkyho kotakt) Kotakt kov olovodič je zámy v elektroike ako jav zaríčieý erovakou vútorou eergiou kvázivoľých elektróov v okolí styku dvoch rôzych materiálov. Podľa Shottkyho modelu úiku elektróov z kovu zabraňuje fiktíva dvojvrstva vzikajúca a jeho ovrchu vlyvom jedostraého ohraičeia riestorovej mriežky kovu. Účiok tejto dvojvrstvy sa charakterizuje výškou oteciálovej bariéry, res. výstuou rácou vztiahutou k Fermiho hladie. Ohyb eergetických hladí a rozhraí dvoch materiálov závisí od výstuých rác elektróov z týchto materiálov, ričom dochádza k vyrovaiu ich Fermiho hladí. ajzámejšou vlastosťou riechodu kov olovodič je buď usmerňujúci jav alebo vytvoreie eusmerňujúceho (ohmického) kotaktu. O tom, či sa ri vytváraí riechodu kov olovodič vytvorí usmerňujúci alebo ohmický kotakt, rozhoduje výstuá ráca elektróov jedotlivých materiálov, t.j. eergia otrebá a reos elektróov z Fermiho hladiy do hladiy s ulovou eergiou vo vákuu. Ak je v bezkotaktom stave výstuá ráca elektróov z kovu W k väčšia ako výstuá ráca elektróov z olovodiča W, bude mať: - rechod kovu s olovodičom tyu usmerňujúce účiky, - rechod kov olovodič tyu P účiky ohmického kotaktu. Pri oačých omeroch sa fukcie rechodu zmeia. Ak bude výstuá ráca elektróov z olovodiča W väčšia ako výstuá ráca elektróov z kovu W k, vytvorí sa: - usmerňujúci kotakt v ríade kotaktu kov olovodič P, - ohmický kotakt v ríade kotaktu kov olovodič. Pri vytvoreí rechodu s usmerňujúcimi vlastosťami, rechádzajú osiče áboja z olovodiča do kovu a a rozhraí sa vytvorí elektrická (Schottkyho) dvojvrstva s kotaktým oteciálom U k. U k ( Wk W) e (9.7) Dôjde k ohybu eergetických ásov u olovodiča (ie u kovu, ktorý má vysokú kocetráciu elektróov). Pásmová schéma elektróov a rozhraí kovu a olovodiča je a obr. 9.13 a) a obr. 9.13.b). 16
Obr. 9.13 a) Pásmová schéma elektróov a rozhraí kovu a olovodiča red a o kotakte ( W k W ). Poteciála bariéra je vyzačeá hrubou čiarou V ríade ohmického kotaktu je zahutie ásov také, že vodivosté ásmo olovodiča zasahuje od Fermiho hladiu a valečé ásmo olovodiča P zasahuje ad Fermiho hladiu. Tyickým ohmickým kotaktom je ar. kotakt zlato - germáium. Obr. 9.13 b) Pásmová schéma elektróov a rozhraí kovu a olovodiča P red a o kotakte (W k W ) Ak je W k väčšie ako W, a rozhraí kov olovodič začú tiecť elektróy z olovodiča do kovu až kým sa hodoty Fermiho eergie evyrovajú a oboch straách. ásledkom toho sa kov abije záore. a rozhraí sa vytvorí kotaktové aätie. Priložeím vokajšieho aätia a túto bariéru sa a rozhraí kov olovodič v závislosti od olarity buď rejaví usmerňujúci efekt alebo elektróy rejdú cez tekú hradlovú vrstvu tuelovaím (t.j. veľmi ľahko). Ak sa v tomto ríade riloží ozitíve aätie a olovodič a egatíve aätie a kov (záverý smer) a rozhraí kov olovodič vzike oblasť, ktorá bude ochudobeá o voľé osiče áboja, tzv. hradlová vrstva. Takýto kotakt kov - olovodič môže mať usmerňujúce vlastosti (usmerňujúci kotakt). Pri oačej olarite vzike v blízkosti kotaktu v olovodiči vrstva obohateá o osiče áboja (ohmický kotakt). Podobe a rozhraí olovodiča P a kovu, ak je W k mešie ako W, dôjde k difúzii elektróov z kovu do olovodiča a kov sa abije klade. Priložeím egatíveho aätia a olovodič P a ozitíveho aätia a kov vzike oblasť, ktorá bude ochudobeá o voľé osiče áboja, tzv. hradlová vrstva. a základe hrúbky hradlovej vrstvy možo osúdiť, či kotakt bude mať usmerňovacie vlastosti. Ak je hradlová vrstva ríliš teká (ri rozhraí dvoch kovov), 163
elektróy cez ňu rechádzajú ľahko (tuelovým javom), čo sa z hľadiska retekaia elektrického rúdu ijako erejaví. Hodota kotaktového aätia U k je vo všeobecosti okolo 1 V. Hrúbka hradlovej vrstvy je tým mešia, čím je väčšia kocetrácia doorov, res. voľých elektróov stýkajúcich sa materiálov. Pri vysokých kocetráciách doorov sa vytvorí veľmi teká hradlová vrstva, cez ktorú elektróy retekajú tuelovaím a takýto kotakt emá usmerňujúce vlastosti. Usmerňujúci kotakt kov olovodič využívajú re svoju čiosť Schottkyho diódy. Vyrábajú sa ar. aareím tekej vrstvy zlata a ovrch eitaxej vrstvy arzeidu gália alebo latiy a ovrch kremíka a od. V mieste styku olovodiče a kovu dochádza k veľmi rýchlemu odsatiu volých osičov áboja kovom. Preto je doba zotaveí týchto diód eobyčaje krátka (rádovo s) a medzá frekvecia je veľmi vysoká (rádovo desiatky GHz). Dovoleé aätie v záverom smere je však malé. Pre diódu GaAs-Au asi 3 V, re -Pt asi 30 V. Schottkyho diódy sa oužívajú v zmiešavačoch a demodulátoroch v ásmach cetimetrových vĺ. Oroti skôr oužívaým šeciálym hrotovým diódam majú meší šum, väčšiu účiosť a väčšiu odolosť roti elektrickému i mechaickému amáhaiu. 164