Testování hypotéz testujeme (většinou) tvrzení o parametru populace tvrzení je nutno předem zformulovat najít odpovídající test, podle kterého se na základě informace z výběrového souboru rozhodneme, zda tvrzení přijímáme nebo zamítneme.
Testování hypotéz SKUTEČNOST (nám neznámá) NAŠE ROZHODNUTÍ: H : nezamítáme H : zamítáme Tvrzení H je pravdivé SPRÁVNÉ CHYBA I. druhu Tvrzení H je nepravdivé CHYBA II. druhu SPRÁVNÉ
Abychom z výběru mohli usuzovat o populaci: jasně vymezit (definovat) populaci, o níž chceme vědět dosud nepoznané pravdy zařídit, aby výběr tuto populaci opravdu reprezentoval (náhodný výběr jedinců z populace, všichni stejnou šanci) mít dostatečný rozsah výběru (počet řádků ve výběrovém souboru) ~ kvalita nových pravd
Náhodný výběr v matematické statistice n náhodných veličin jsou nezávislé všechny mají stejné rozdělení mat. statistika nám říká, jaké úsudky o celé populaci můžeme udělat z náhodného výběru výběrový soubor je realizací náhodného výběru, z toho spočítáme hodnoty výběrových charakteristik
Testování hypotéz SKUTEČNOST (nám neznámá) NAŠE ROZHODNUTÍ: H : nezamítáme H : zamítáme Tvrzení H je pravdivé SPRÁVNÉ CHYBA I. druhu Tvrzení H je nepravdivé CHYBA II. druhu SPRÁVNÉ
Hladina významnosti α pravděpodobnost chyby I. druhu Nezamítnutím H neprokážeme pravdivost tvrzení. Zvolíme-li hladinu významnosti α nízkou ( benevolentní soud, prohřešek musí být velký, aby odsoudil), je větší riziko neoprávněného nezamítnutí nulové hypotézy ( nepotrestaný viník ).
Normální rozdělení s parametry µ, sigma ^
Jednovýběrový t-test Máme náhodný výběr n nezávislých náhodných veličin normálně rozdělených, tj. Xi ~ N( µσ, ), i =,,, n Testujeme H, že střední hodnota µ je rovna nějaké dané hodnotě µ. proti alternativě H, že µ µ (oboustranná alternativa) Za platnosti nulové hypotézy má statistika T rozdělení podle následujícího vztahu T = X s/ µ n ~ t n
Jednovýběrový t-test část H: µ = µ H: µ µ Testová statistika T = X s/ Hladina významnosti α kritický obor µ n ~ t n
Kritický obor t -rozdělení f (x) p / p / x (, ( /) [ ( /), n α n α ) W t t +
Praktický příklad - klinická studie Cíle výzkumu: posoudit, zda léčení pacientům pomáhá tzn., zda vysoké hodnoty se léčením snížily a nízké hodnoty zvýšily chceme získat takové tvrzení o celé populaci, ne jen o 6 sledovaných objektech ve výběrovém souboru
Vstupní data x začátek, x po půl roce 4 36 8 6 6 4 5 36 9 5 3 3 7 4 3 35 33 7 8 3 3 3 7 5 38 4 6 4 4 5 4 3 9 5 4 6 3 3 4 7 5 3 5 4 9 4 5 5 8 34 4 6 8 4 8 39 38 7 5 3 3 6 6 8 63 37 8 6 9 5 3 3 3 5 4 3 4 5 46 55 3 4 3 35 5 3 36 3 83 7 33 38 3 4 Inko Inko Vref Vref Qmax Qmax F F ID
Formulace našeho problému: Výzkumná hypotéza: Léčení pomáhá (má vliv) Statistická hypotéza H Léčení nemá vliv analogie presumpce neviny Zamítnutí H znamená potvrzení výzkumné hypotézy
Párový t-test Jednovýběrový t-test, ale pro rozdíly x x: T p = s D D / n
Výsledky párových t-testů: prum_dif s_dif t p F -.6 4.5 -.986.66 QMAX -.3 8. -.555.587 Vref 5.3 86.5.36.34 Inko -.38 3. -,83,87
Kritický obor t -rozdělení f (x) p / p / x (, ( /) [ ( /), n α n α ) W t t +
Rozdíly x-x ID 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 průměr Inko - - - - - -3 - - - - -.38
INKO - histogram
INKO histogram, ID=6 vypuštěno
Párový t-test n=6 d6 d sd t p - -,4 3, -,83,87 n=5, ID=6 vypuštěno d6 d sd t p miss -,7, -,47,7 Paradox větší rozdíl není významný, menší rozdíl je významný Nebyly splněny předpoklady normální rozdělení
Alternativy párového t-testu Jednovýběrový Wilcoxonův test založen na pořadí odchylek Znaménkový (binomický) test založen na počtu kladných nebo záporných změn
prum_dif smodch_dif z p Inko*) -.38 3..374.8 *) Byl užit párový Wilcoxonův test, hodnota z-statistiky s korekcí na spojitost je vyznačena kurzívou, podobně i dosažená úroveň významnosti ve sloupci p.
Binomické rozdělení model hodu n mincemi, na každé padne lev s pravděpodobností p, pravděpodobnost, že na n mincích padne k lvů n PY ( = k) = p k ( p) k n k
Pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení n =, p =,5
Rozdíly x-x ID 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 Inko - - - - - -3 - - - -
Binomický (znaménkový) test počet + : počet : počet : 4 (nebere se v úvahu) H: p =.5 H: p >.5 (jednostranná alternativa) Testové kriterium: počet Z binomického rozdělení se spočítá pravděpodobnost, že za platnosti H dosáhneme nebo větší, tj. nebo
= = = = = = z k n n z k n k n n z k k k n k n k n z P Z ) ( n = z = P(Z>=) = P(Z<=) =.93 Zamítáme H.