2 POČÍTAČOVÉ MODELY DETERMINISTICKÉ. MKP VÝPOČETNÍ SYSTÉM COSMOS/M. TVORBA SIMULAČNÍHO MODELU TEPELNÉ ÚLOHY Seznámení s aplikací počítačových modelů deterministických při řešení tepelných úloh. Ukázky použití výpočetních metod v průmyslové a výzkumné praxi. Počítačové modely deterministické využívající numerickou metodu konečných prvků (MKP). Komerční výpočetní systém Cosmos/M využívající numerickou metodu MKP. Postup tvorby simulačního modelu s využitím prostředků výpočetního systému. Modelování šíření tepla ve zjednodušené úloze tepelného zdroje v objektu z různých materiálů, který je umístěn ve vnějším prostředí. - 1 -
2.1 CÍL CVIČENÍ Shrnutí výpočetních metod při modelování termomechanických procesů. Modely deterministické analytické a numerické, modely stochastické. Metoda konečných diferencí (MKD), metoda konečných prvků (MKP) a metoda konečných objemů (MKO). Ukázky použití výpočetních metod v průmyslové a výzkumné praxi. Představované ukázky řešených úloh zasahují do oblastí přenosu tepla při ohřevu tepelné box-bariéry, ohřevu předvalku v průmyslové peci, zjišťování zbytkových napětí odvrtávací metodou, proudění spalin a přenosu tepla v průběžné peci, zjišťování tepelně fyzikálních vlastností tenkých vrstev a povlaků, laserového ohřevu materiálu. Seznámit se s výpočetním systémem Cosmos/M. Obecný postup řešení úlohy s využitím simulačního modelu v komerčním výpočetním systému Cosmos/M. Postup tvorby simulačního modelu. S využitím výpočetního systému Cosmos/M vytvořit simulační model šíření tepla z tepelného zdroje v objektu z různých materiálů, který je umístěn ve vnějším prostředí. Řešit různé varianty okrajové podmínky pro stacionární a nestacionární přímé úlohy, dále řešit nepřímou úlohu jako sled úloh přímých. 2.2 VÝPOČETNÍ METODY MODELOVÁNÍ TERMOMECHANIC- KÝCH PROCESŮ K identifikaci termomechanických procesů lze použít přímé či nepřímé měření veličin nebo modelování. Modelováním procesu se rozumí řešení matematického modelu zkoumaného procesu. Matematický model představuje soubor diferenciálních rovnic popisujících řešené procesy a jejich vzájemné vazby, doplněný o okrajové podmínky, počáteční podmínky, materiálové modely (vztah mezi materiálovými vlastnostmi a ostatními veličinami vstupujícími do procesu). 2.2.1 Deterministické modely analytické a numerické, stochastické modely Matematický popis modelů může být proveden na základě deterministického nebo stochastického přístupu. Běžnější pro výpočet jsou deterministické matematické modely, kam patří např. Fourierova rovnice vedení tepla pro tepelné úlohy nebo Navierovy rovnice statické rovnováhy pro mechanické úlohy. Výpočetní metody řešení těchto modelů mohou být založeny na deterministickém nebo stochastickém přístupu, deterministické lze dále rozdělit na analytické a numerické. A) Analytické modely deterministické Analytické modely umožňují získat řešení ve tvaru funkce času a prostorových souřadnic. Jejich výhodou je velká rychlost výpočtu a malé hardwarové nároky. Jejich použití je ovšem v naprosté většině případů omezeno na značně zjednodušené úlohy. Řešení takových úloh, jakkoliv podstatou analytické, často vede na relativně složité integrální příp. rekurentní - 2 -
vztahy, jejichž vyhodnocení je nutné provést numericky. Takové metody se označují jako semi-analytické. Analytické metody zahrnují například variační metody, metody separace proměnných, přibližné analytické metody využívající Besselových funkcí a další. S rozvojem výpočetní techniky jejich význam klesá - pro řešení reálných problémů se využívají především numerické metody. B) Numerické modely deterministické Numerické modely se rozvíjí především v souvislosti s počítačovým modelováním. Jejich podstatou je diskretizace spojitých veličin, která vede k vyjádření diferenciálních rovnic jako soustavy algebraických rovnic. Jejich řešením je nalezeno řešení zkoumaného procesu v konečném počtu diskrétních míst. K používaným metodám patří např. metoda konečných diferencí (MKD), metoda konečných prvků (MKP), metoda konečných objemů (MKO) nebo metoda okrajových prvků (MOP). C) Modely stochastické Stochastické modely pracují s náhodnými procesy a veličinami, k jejich zástupcům patří modely využívající pravděpodobnostní metodu, metodu Exodus a metodu Monte Carlo. Tyto metody jsou efektivní v některých speciálních aplikacích, např. při řešení nepřímých úloh nebo při řešení úloh mimo termodynamické rovnováhy. 2.2.2 Metody MKD, MKP a MKO A) Metody MKD a MKO Metoda konečných diferencí (MKD) a metoda konečných objemů (MKO) se řadí do skupiny metod aproximujících diferenciální rovnici. Tyto metody převádí diferenciální rovnici na soustavu rovnic algebraických. Přesnost řešení je dána diferenčním schématem (explicitní, implicitní apod.) a hustotou sítě. Relativní jednoduchost schématu umožňuje využití těchto metod i pro silně nelineární sdružené problémy, většinou ovšem za použití velmi rozsáhlých sítí. Typické uplatnění těchto metod je pro tepelné výpočty a proudění, méně časté je pro výpočty mechanických úloh. Metoda konečných objemů je implementována např. ve výpočetním systému Fluent (tepelné úlohy, proudění a některé sdružené tepelné procesy, např. vícefázové proudění, fázové přeměny, hoření a další). B) Metoda MKP Pro modelování mechanických a termomechanických úloh (využívá se ovšem i pro proudění, elektromagnetické jevy a další) je nejrozšířenější zejména metoda konečných prvků (MKP). Tato metoda patří do skupiny metod aproximujících řešení diferenciální rovnice. Řešená oblast se rozdělí na konečný počet podoblastí, tj. konečných prvků, vzájemně spojených v uzlech. Neznámá veličina je přiblížena tzv. interpolační tvarovou funkcí, která je spojitá v rámci jednoho prvku a definuje průběh hledané veličiny mezi jednotlivými uzly prvku. - 3 -
Vlastní řešení je hledáno ve tvaru minimalizace funkcionálu 1 příslušného dané úloze vzhledem k této veličině (např. pro mechanické úlohy se jedná o funkcionál celkové potencionální energie). To vede na soustavu algebraických rovnic, jejichž řešením jsou neznámé hodnoty parametrů tvarových funkcí. Stěna konečného prvku - zadávání vektorových veličin Uzel konečného prvku - zadávání skalárních veličin Pomocné uzly (elementy vyššího řádu) Obr. 1 Možnosti prostorové diskretizace pomocí 2D elementů. Tvarová funkce se nejčastěji volí jako polynom prvního (uzly pouze v "rozích" elementu) nebo druhého (skutečné nebo fiktivní uzly také na stěnách nebo uprostřed elementu) stupně, tj. používají se prvky 1. a 2. stupně resp. prvky nižšího a vyššího řádu. Obecně lze použít také polynomy vyšších stupňů, které lépe přibližují průběh řešení a umožňují snížit počet elementů (např. systém Pro/MECHANICA), tento postup ovšem přináší některé problémy se stabilitou řešení. Rozsáhlost výpočtu je dána velikostí časového kroku (s ohledem na stabilitu řešení) a tzv. počtem stupňů volnosti, tj. počtem řešených rovnic. Ten je určen celkovým počtem prvků, jejich typem, vlastnostmi a omezeními. Metoda MKP je obvykle poměrně náročná na výpočetní kapacity. Např. 3D model působení napětí na stěny kruhového otvoru na obr. 2 (poloměr otvoru 1 mm, poloměr vzorku 20 mm, tloušťka vzorku 5 mm) o velikosti elementů 0.1 až 1 mm představuje cca. 10 tis. osmi-uzlových elementů (2. řádu) a 150 tis. stupňů volnosti. Rozsáhlé modely komplexní celků pak mohou představovat i několik mil. stupňů volnosti. V případě velkých gradientů, nelineárních úloh apod. je výpočet nutné provádět na základě iteračních postupů. Efektivní použití metody umožňuje vývoj algoritmů pro řešení specifických skupin úloh, např. rotačně symetrické úlohy, modelování skořepinových tvarů, nebo použití speciálních numerických postupů (postupy inverze řídkých matic, např. FFE rychlé řešiče v systému Cosmos/M). Metoda konečných prvků je jednou z nejrozšířenějších numerických metod. Využívá ji mnoho komerčních obecně orientovaných systémů, např. Cosmos/M, MARC, NASTRAN, ANSYS, ABAQUS a další. 1 Funkcionál - zobrazení z množiny funkcí do množiny čísel. Pravidlo, podle něhož přiřadíme funkci na jejím definičním oboru (nebo jeho části) nějakou číselnou hodnotu. Příkladem je určitý integrál funkce. - 4 -
Obr. 2 3D model působení napětí na stěnu kruhového otvoru. C) Volba vhodného poměru mezi experimentálním a modelovým řešením Numerické metody představují silný nástroj pro modelování úloh nejrůznějších aplikací. K jejich základním nevýhodám, a k nevýhodám výpočetních metod obecně, patří především nutnost nalezení vhodného matematického modelu řešeného procesu a určení fyzikálních parametrů v tomto modelu. Tyto parametry jsou často závislé na hledané veličině (nelineární) a proměnné jak v čase tak v prostoru. Jejich stanovení proto vyžaduje provést náročné experimenty. Efektivní způsob řešení náročných aplikací je kombinace numerického a experimentálního přístupu. 2.3 UKÁZKY POUŽITÍ VÝPOČETNÍCH METOD V PRŮMYSLOVÉ A VÝZKUMNÉ PRAXI 2.3.1 Model prostupu tepla do tepelné box-bariéry (Fluent) Vytvoření počítačového modelu tepelné box-bariéry (TBB) chránící měřicí systém před vysokými teplotami. Respektují se fázové přeměny materiálu, optimalizují tloušťky jednotlivých vrstev TBB a získané výsledky se využívají při tvorbě 2D modelu TBB. Cílem je optimalizace tepelné box-bariéry pro měření teplot v průmyslových průběžných pecích. Jedná se o 1D optimalizační nestacionární úlohu a 2D přímou nestacionární úlohu, které využívají počítačový model na principu metody konečných prvků (MKP). Optimalizační úloha je řešena jako sled většího počtu úloh přímých. - 5 -
vnější prostředí teplota, čas, rozměry q tepelná box-bariéra min. požadované vnitřní rozměry TBB max. dovolená teplota vnitřního prostředí TBB chráněné zařízení max. teplota, rozměry max. dovolené vnější rozměry TBB Obr. 3 Princip funkce a požadavky na TBB. konstantní tloušťky proměnné tloušťky T P = T out osa symetrie 1 T S d TBB d 5 d 6 d 1 d 2 1 5 2 6 7 4 3 2 T S d 3 d 4 3 4 4 2 q = 0 T S = T in T S (a) (b) Obr. 4 Schéma výpočetních modelů 1D model čtyřvrstvé TBB struktury (a), 2D model optimalizované TBB s úplnou vodní vrstvou (b). Jednotlivé vrstvy ve struktuře modelu jsou vnější izolační vrstva (1), výparná vrstva (2), vnitřní izolační vrstva (3), kapacitní vrstva (4), stěna nádrže (5)-(6), vnitřní prostředí (7). - 6 -
1200 1050 900 750 600 450 300 T (K) Obr. 5 375 360 345 330 315 300 T (K) Rozložení teploty v řezu optimalizovanou TBB po 4 hodinách ohřevu. Obr. 6 TBB s úplnou vodní vrstvou vytažení vnitřní schránky (a), skládání vnější izolační vrstvy (b). 2.3.2 Model ohřevu předvalku v průběžné narážecí peci (Fluent) Kontrola a optimalizace průběhu ohřevu ocelových předvalků po rekonstrukci pece. Jedná se o měření ohřevu předvalků v peci po její rekonstrukci. Z experimentálně získaných teplot uvnitř předvalku při jeho ohřevu se nepřímou úlohou zjišťuje přestup tepla z pece do předvalku. Následnou přímou úlohou se simuluje rozložení teploty uvnitř celého předvalku při jeho ohřevu v peci. Jedná se o 2D nepřímou nestacionární úlohu zjištění přestupu tepla do předvalku při jeho ohřevu. Navazuje 3D přímá nestacionární úloha simulace ohřevu předvalku. Úlohy využívají počítačový model na principu metody konečných objemů (MKO). - 7 -
Obr. 7 Tepelné pole konce předvalku. Obr. 8 Časový průběh teploty v předvalku. - 8 -
2.3.3 Model zjišťování zbytkových napětí odvrtávací metodou (Cosmos/M) Vytvoření počítačového numerického modelu pro určování kalibračních koeficientů odvrtávací metody zjišťování zbytkových napětí. Jejich znalost je nutnou podmínkou pro vyhodnocení zbytkových napětí v materiálu. Jedná se o 2D a 3D přímou nestacionární úlohu využívající počítačový model na principu metody konečných prvků (MKP). Numerický počítačový model používá rozměrovou analýzu a průběžnou změnu geometrie výpočetní oblasti. tenzometr tenzometr (a) (b) (c) Obr. 9 Odvrtávací metoda detail tenzometrické růžice a frézky (a), stav materiálu před odvrtáním (b) a po odvrtání (c). (a) (b) Obr. 10 Výpočetní síť pro model uvolnění napětí v okolí otvoru konečné hloubky 2D síť pro osově symetrický model (a), 3D síť pro obecný model (b). - 9 -
zadání úlohy v hlavičce skriptu r m tvorba geometrie a sítě r a zadání parametrů výpočtu, inicializace matice pro ukládání dat O místo zjištování deformace výpočetní cyklus všechny inkrementy výpis a uložení dat Z umazání plochy a elementů, zadání napětí O odvrtané (smazané) elementy plochy Z zbylé elementy plochy analýza a uložení výsledků do matice (a) (b) Obr. 11 Schéma postupného prohlubování otvoru (a) a postupu řešení (b) při zjišťování kalibračních koeficientů pro nejjednodušší případ (konstantní napětí po hloubce otvoru a symetrická úloha). 2.3.4 Model proudění spalin a přenosu tepla v průběžné peci (Fluent) Obr. 12 Modelovaná průběžná narážecí pec. - 10 -
Vytvoření počítačového modelu proudění spalin a přenosu tepla v průběžné narážecí peci pro jemnou válcovnu, respektující složitou vnitřní geometrii. Provedení rozšíření modelu na řešení teplotního pole v pohybující se vsázce. Jedná se o 3D přímou stacionární úlohu využívající počítačový model na principu metody konečných objemů (MKO). Předvedena je možnost rozšíření na nestacionární pro případ 2D úlohy. Na výsledky řešení této úlohy navazuje optimalizační systém řízení ohřevu vsázky v peci. 9,00 5,63 2,25-1,13-4,50-7,88-11,25-14,63-18,00 v x (m.s -1 ) (a) 15,0 10,0 5,0 0,0-5,0-10,0-15,0-20,0-25,0 v yz (m.s -1 ) (b) 1925 1731 1537 1343 1149 955 761 567 373 T (K) (c) Obr. 13 Rozložení rychlosti v x (a,b) a směru proudění v yz (b) v příčném řezu pecí v místě bočního hořáku, rozložení teploty (c) ve vodorovném řezu pecí osou horních bočních hořáků. - 11 -
Obr. 14 Testovací úloha pro posuv vsázky v peci. 2.3.5 Model zjišťování tepelně fyzikálních vlastností tenkých vrstev a povlaků (Cosmos/M) T S (K) ohřev laserem vrstva substrát quasi statický stav vliv vodivosti vrstvy ohřev laserem substrát t (s) Obr. 15 Laserová termografická metoda (LQT) vliv tepelné vodivosti vrstvy na průběh povrchové teploty. - 12 -
Vytvoření počítačového modelu ohřevu vícevrstvého vzorku materiálu působením kontinuálního laseru. Vytvořený model je použit pro zjišťování tepelných vlastností povlaků a tenkých vrstev z experimentálních dat povrchového teplotního pole získaných laserovou termografickou metodou (LQT). Jedná se o 2D rotačně symetrickou nepřímou nestacionární úlohu využívající počítačový model na principu metody konečných prvků (MKP). Pro modelování tenkých vrstev na substrátu je zajímavým způsobem využita rozměrová analýza k transformaci pouze části modelu. dílo model vrstva substrát x y L D, ρ D, λ D, α D L M, ρ M, λ M, α M Obr. 16 Schéma modifikace vrstvy modelu za použití rozměrové analýzy. 2.3.6 Model laserového ohřevu materiálu Vytvoření počítačového modelu ohřevu materiálu působením kontinuálního laseru s uvažováním prostorového nehomogenního profilu laserového svazku a jeho pohybu po povrchu vzorku. Vytvoření programu pro přípravu časově proměnné okrajové podmínky na zatěžovaném povrchu vzorku. Jedná se o 3D přímou nestacionární úlohu využívající počítačový model na principu metody konečných prvků (MKP). Charakteristickým rysem úlohy je složitá okrajová podmínka tepelně zatěžovaného povrchu vzorku. - 13 -
okraj vzorku poloha na vzorku l x, osa osa laseru hořáku l x, osa-vzorek úvrať pojezdu x vmin x x vmax x osa T PR T PK substrát měřicí místo q = 0 T PK q = 0 z y x T PR Obr. 17 podmínky. Schéma řezu 3D modelem dynamického ohřevu vzorku geometrie a okrajové (a) 930 800 670 540 410 280 150 (b) 20 T ( C) (c) Obr. 18 Rozložení teploty na povrchu (b) a v řezech vzorkem (a), (c) v čase, kdy je laser uprostřed trati při druhém pojezdu. - 14 -
Obr. 19 Časové průběhy teploty uprostřed trati pro povrch vzorku a jednotlivé hloubky. 2.4 VÝPOČETNÍ SYSTÉM COSMOS/M. POSTUP ŘEŠENÍ ÚLOHY S VYUŽITÍM SIMULAČNÍHO MODELU V SYSTÉMU COSMOS/M. POSTUP TVORBY SIMULAČNÍHO MODELU 2.4.1 Výpočetní systém Cosmos/M Numerický systém Cosmos DesignStar firmy Solidworks (původně SRAC - Structural Research and Analysis Company) je MKP výpočetní systém pro PC (MS Windows) platformu. V Cosmosu lze řešit např. úlohy lineární i nelineární statické analýzy, dynamickou analýzu, termomechanické úlohy, elektromagnetické úlohy, proudění a další (umožňuje např. řešení optimalizačních úloh). Jedná se o modulární sytém, tj. skládá se z několika na sobě nezávislých modulů (úspora nákladů při pořízení systému - lze pořídit jen několik potřebných modulů). Grafické uživatelské prostředí (GUI) programu tvoří modul Geostar nebo DesignStar. Modul DesignStar je plně grafické prostředí vycházející z 3D modeláře Solidworks. Umožňuje import geometrie z 3D modelářů i efektivní tvorbu a síťování 3D geometrie ve vyspělém GUI. Geostar představuje základní (původní) uživatelské prostředí pro ovládání programu. Geostar nenabízí z hlediska GUI takový komfort jako DesignStar, nicméně umožňuje řešit širší oblast úloh. Další text se proto bude věnovat především prostředí Geostar. Geostar zahrnuje preprocesor (tvorba geometrie a sítě, zadání okrajových a počátečních podmínek, zadání parametrů výpočtu a řešiče), procesor (umožňuje vlastní spuštění analýzy) - 15 -
a postprocesor (načtení výsledků analýzy a práce s nimi, jejich zobrazení, export apod.). Je dále doplněn o řadu pomocných funkcí, např. funkce pro zobrazování grafických objektů na hlavním panelu, export/import geometrie a dat, tvorba proměnných, příkazový řádek apod. Vlastní analýza se provádí spuštěním samostatného programu - řešiče, tj. modulu příslušného pro daný typ úlohy. Hlavní menu Pracovní plocha Panel ikon Příkazový řádek Obr. 20 Geostar - grafické uživatelské prostředí programu Cosmos/M. GUI na obr. 20 se skládá ze 4 hlavních částí - pracovní plocha (zobrazení modelu, sítě, výsledků a pod.), panel ikon, hlavní menu a příkazový řádek. Základním způsobem práce s programem je hlavní menu, kde lze nalézt veškeré příkazy pro jeho ovládání. Některé z příkazů, především pro ovládání grafického zobrazení lze nalézt na panelu ikon. Veškeré příkazy lze provádět také přímo jejich zadáním v příkazovém řádku. Tento přístup představuje pro zkušené uživatele nejrychlejší způsob práce s programem. Významným rysem Geostaru (Cosmosu/M) je možnost seskupování jednotlivých příkazů do tzv. skriptů. Skripty jsou tvořeny vlastním velmi zjednodušeným programovacím jazykem systému Cosmos/M, který umožňuje jak zadávání příkazů Geostaru tak provádění některých operací (podmínky, cykly, skoky, definice proměnných a polí, apod.) i spouštění externích úloh (příkazů operačního systému). Ve skriptu tak může být definována kompletní úloha, od zadání geometrie a sítě, přes výpočet až po vyhodnocení výsledků. Tato vlastnost je obzvláště výhodná při řešení velkého množství podobných úloh, např. při optimalizačních nebo nepřímých úlohách řešených jako sled velkého množství úloh přímých. - 16 -
2.4.2 Postup řešení úlohy s využitím simulačního modelu v systému Cosmos/M Řešení úlohy se v komerčním výpočetním systému Cosmos/M (postup je obdobný u většiny výpočetních systémů) provádí v několika krocích. Jednotlivé kroky budou popsány na příkladu výpočtu uvolněných deformací (rotačně symetrické úloha působení napětí na stěny kruhového tvoru). Tvorba simulačního modelu zahrnuje kroky (1) až (4), následuje vlastní numerický výpočet (5) a vyhodnocení výsledků (6). 1) Tvorba geometrie Geometrii lze buď načíst z externího programu nebo vytvořit přímo v Geostaru. Zadání se ve většině případů provádí postupně od nejnižších entit: body, křivky, plochy, objemy. Lze využívat různé pomocné funkce, jako např. kopírování, otáčení, generace entit podle vzoru apod. Výsledkem, je soubor entit na obr. 21, které tvoří výslednou geometrii vyšetřovaného objektu. Otvor Oblast zhuštěné sítě Osa symetrie Zkoumaný objekt Obr. 21 Geometrie objektu s otvorem, menu Geostar pro tvorbu geometrie. Geostar tedy představuje jednoduchý modelář, který se hodí pro jednodušší tvary a geometrie. Pro modelování (tvorbu geometrie) složitějších komponent není vhodný, v takovém případě je výhodné využít specializované programy a geometrii importovat. Geometrický model objektu by ovšem měl odpovídat především účelu tvorby MKP sítě, podrobné modely v podobě výrobních výkresů nejsou vhodné. 2) Tvorba výpočetní sítě Síť konečných prvků (1D, 2D i 3D) lze vytvořit několika způsoby. Základním způsobem je manuální definice souřadnic jednotlivých uzlů sítě a jejich vzájemného propojení, tj. definice jednotlivých konečných prvků. Tento způsob je velmi pracný a je téměř nepoužitelný pro rozsáhlejší sítě. Druhou možností je poloautomatická tvorba sítě. V tomto případě se vytvoří - 17 -
jednoduchá základní síť (např. na křivce), která se rozšíří pomocí operací táhnutí, otočení, převrácení, kopírování apod. Tento způsob je velmi rychlý a univerzální, nelze jej však použít pro speciální (např. gradované) nestrukturované sítě. Poslední možností je využití automatického generátoru sítě pro danou entitu. V tomto případě se jedná o plně automatický proces. Tvorba sítě je však v některých případech velmi zdlouhavá a především u složitějších tvarů a 3D modelů velmi problematická. Jako ideální se v tomto případě jeví kombinace poloautomatické a automatické tvorby sítě. Obr. 22 Nestrukturovaná gradovaná 2D síť konečných prvků, menu Geostar pro generování MKP sítě. Program Cosmos nabízí množství typů prvků, které se liší rozměrem (1D, 2D, 3D), vlastnostmi (plošná úloha, skořepinová úloha, apod.) a možnostmi použití (tepelné úlohy, mechanické úlohy, lineární, nelineárni apod.). Vytvořená síť a její hustota (viz zahuštění na obr. 22 v místech koncentrace napětí) musí odpovídat dané úloze a požadavkům na řešení. K síti, tj. k elementům, jsou přiřazeny (je nutné zadat) další informace nezbytné pro výpočet. Jedná se např. o tloušťky u skořepinových elementů, vlastnosti a omezení elementů pro numerický proces, materiálové vlastnosti (konstantní nebo v závislosti na teplotě, deformaci apod.). V programu Cosmos/M lze velmi dobře generovat 1D a 2D sítě, u 3D modelů je tvorba sítě komplikovanější. Obdobně jako v případě geometrie, lze MKP síť importovat z jiného softwaru (jiný výpočetní program nebo specializovaný generátor sítí). Konverze však může přinášet další komplikace při následné práci s modelem, zadávání okrajových podmínek apod. 3) Zadání podmínek jednoznačnosti Podmínky jednoznačnosti, zde počáteční a okrajové podmínky, tvoří součást matematického modelu řešeného procesu. Počáteční podmínky u nestacionárních úloh definují výchozí stav výpočtu. Jsou zadávány na elementy (např. napětí) nebo uzly (např. teplota). Počáteční podmínky může tvořit i výsledek předchozí analýzy. Okrajové podmínky se zadávají na - 18 -
hranicích tělesa a definují např. teplotu okolí, intenzitu přestupu tepla, ukotvení objektu, síly, tlaky apod. Okrajové podmínky mohou být stacionární (konstantní v čase) nebo nestacionární (časově proměnné) a lineární (nezávislé na dalších veličinách) nebo nelineární (např. součinitel přestupu tepla závislý na teplotě, síly závislé na reakci tělesa apod.). Nestacionární nebo nelineární okrajové podmínky se obdobně jako materiálové vlastnosti zadávají pomocí tzv. definičních křivek. V některých složitějších případech nelze okrajové podmínky zadat přímo, ale je potřeba využít speciálních postupů. Nesprávné zadání okrajových podmínek má za následek chybné výsledky nebo nestabilitu řešení. 4) Zadání parametrů výpočtu Před vlastním provedením výpočtu je nutné definovat podmínky výpočtu a numerické parametry řešení. Podmínky výpočtu definují např. typ úlohy (stacionární, nestacionární, lineární, nelineární apod.) ale také např. zadání specifických zatížení (výpočet tepelných napětí, působení gravitačních sil apod.) nebo upřesňují typ řešiče. Numerické parametry definují např. způsob integrace nebo podmínky konvergence řešení. Tyto parametry jsou závislé na konkrétním typu řešiče a typu úlohy. Vhodnost jejich použití a vliv na výsledky jsou dány především zkušenostmi výpočtáře. 5) Provedení výpočtu Po kompletní definici úlohy je spuštěn vlastní výpočet, neboli numerické řešení matematického modelu úlohy. Tento proces může v závislosti na řešeném procesu a jeho zpracování trvat několik sekund až několik dní, u velmi komplexních úloh i několik týdnů. Systém Cosmos/M je vzhledem ke způsobu práce z pamětí vhodnější spíše pro menší a střední úlohy (desítky až stovky tisíc stupňů volnosti), jeho použití pro řešení komplexních úloh o mnoha milionech stupňů volnosti není příliš výhodné. Okrajová podmínka napětí na otvoru Napěťové pole Obr. 23 Napěťové pole v okolí otvoru při uvolnění napětí, menu Geostar pro práci s výsledky. - 19 -
6) Vyhodnocení výsledků Vyhodnocení, neboli zpracování, výsledků a jejich přehledná a srozumitelná prezentace je jednou z nejvýznamnějších částí numerické simulace. Geostar umožňuje načíst výsledky numerické analýzy a dále je zpracovat. Výsledky je možné zobrazit v grafickém tvaru jako pole kontur nebo izočar, grafy průběhů veličin v závislosti na teplotě nebo grafy průběhů veličin po přímce či křivce, tzv. profily. Ukázka vykresleného napěťového pole (včetně okrajové podmínky zadání napětí na stěnu otvoru) je na obr. 23. Dále je možné vypsat numerické hodnoty výsledků, případně je exportovat (grafické i číselné hodnoty) do souborů. Výsledky simulace mohou být konečnou hledanou hodnotou, případně je lze využít jako okrajové nebo počáteční podmínky pro další úlohy (např. teplotní pole pro tepelně-mechanickou analýzu). 2.5 MODELOVÁNÍ ŠÍŘENÍ TEPLA Z TEPELNÉHO ZDROJE V OBJEKTU Z RŮZNÝCH MATERIÁLŮ, KTERÝ JE UMÍSTĚN VE VNĚJŠÍM PROSTŘEDÍ V úloze je řešeno šíření tepla a teplotní pole v uzavřeném prostoru, které po odpovídajícím zjednodušení může představovat simulaci ohřevu místnosti topným tělesem uloženým v rohu této místnosti. Schéma úlohy je na obr. 24. Okrajová podmínka (přestup tepla nebo teplota) Obvodová stěna Vnější prostor 3 Vnitřní prostor 8 1 2 Topné těleso 2 1 4 1 (tloušťka) 10 Obr. 24 Geometrie úlohy. - 20 -
2.5.1 Popis úlohy Je řešena 2D zjednodušená úloha přestupu a šíření tepla z tepelného zdroje v objektu o různých materiálových vlastnostech. Objekt se skládá z obvodové stěny, vnitřního prostoru a topného tělesa. Obvodová stěna má tloušťku 1 m a vnější rozměry 10 m a 8 m. Pro obvodovou stěnu je uvažován materiál o tepelné vodivosti 0.5 W.m -1.K -1, měrné tepelné kapacitě 1000 J. kg -1.K -1 a hustotě 1800 kg.m -3 (cihla). Ve vnitřním rohu objektu je umístěno topné těleso o rozměrech 1 x 2 m, tepelné vodivosti 1 W.m -1.K -1, měrné tepelné kapacitě 1000 J. kg -1.K -1 a hustotě 1800 kg.m -3. Topné těleso je uvažováno homogenní (zjednodušení), uprostřed tělesa je na jeden uzel MKP sítě aplikován bodový tepelný zdroj o výkonu 600 J.s -1. Zbytek vnitřního prostoru objektu tvoří prostředí o tepelné vodivosti 50 W.m -1.K -1, měrné tepelné kapacitě 1000 J. kg -1.K -1 a hustotě 1.3 kg.m -3 (vzduch s mnohonásobně zvýšenou tepelnou vodivostí pro zahrnutí vlivu proudění). Na vnějších plochách (křivkách) obvodové zdi je zadávána podmínka konvektivního přestupu tepla s koeficientem přestupu tepla 10 W.m -2.K -1, případně konstantní teploty odpovídající teplotě vnějšího prostředí. Počáteční teplota všech částí objektu je 10 C. Pro vnější teplotu obvodové stěny nebo okolního prostředí je na výběr jedna z hodnot dle varianty zadání úlohy v tab. 1. Tab. 1 Hodnoty vnější teploty pro jednotlivé varianty úlohy varianta úlohy (1) (2) (3) (4) (5) (6) vnější teplota T ( C) -15-10 -5 0 +5 +10 Úkolem je sestavit simulační model úlohy, provést podle samostatných úkolů příslušné výpočty a jejich vyhodnocení. 2.5.2 Postup řešení úlohy Spuštění Cosmos/M se provede v příkazové řádce např. příkazem GSTAR128. Všechny fyzikální veličiny se zadávají v jednotkách SI, pouze u teploty lze využít OFFSET pro zadávání a vyhodnocování ve stupních Celsia. Geometrie úlohy. Tvorba bodů příkazem GEOMETRY -> POINTS -> DEFINE, propojení bodů čarami příkazem GEOMETRY -> CURVES -> LINE WITH 2PTS. Tvorba kontur příkazem GEOMETRY -> CONTOURS -> DEFINE (average element size např. 0.1 m) ohraničujících jednotlivé oblasti (zeď, vnitřní prostor, topné těleso). Tvorba regionů jednotlivých oblastí příkazem GEOMETRY -> REGIONS -> DEFINE. - 21 -
Parametry a tvorba sítě. Nastavení teplotního ofsetu 273.15 pro výpočet ve stupních celsia příkazem ANALYSIS -> HEAT TRANSFER -> OFFSET TEMPERATURE. Pro každou oblast definovat skupinu elementů příkazem PROPSETS -> ELEMENT GROUP (elementy typu TRIANG, PLANE STRAIN, ostatní parametry implicitní), reálné konstanty pro danou skupinu příkazem PROPSETS -> REAL CONSTANT (všechny parametry implicitní, tj. number of real constants 2, atd., ale je nutné zadat nějakou tloušťku, tj. např. 1) a materiálových vlastností příkazem PROPSETS -> MATERIAL PROPERTY (měrná tepelná kapacita C, specific heat; hustota DENS, mass density; tepelná vodivost KX, X thermal conductivity; tepelná vodivost KY v ose y se nemusí zadávat, pak se materiál implicitně uvažuje izotropní) pro elementy dané skupiny. Tvorba sítě pomocí automatického generátoru pro plochy typu REGION příkazem MESHING -> AUTO MESH -> REGIONS. Síť pro každou oblast (každý materiál) generovat bezprostředně po definici výše uvedených příkazů EGROUP, RCONST a MPROP. Po vysíťování celé úlohy provedení příkazu MESHING -> NODES -> MERGE pro spojení hraničních uzlů mezi jednotlivými regiony. Okrajové a počáteční podmínky. Na vnější hranici (křivku) obvodové stěny se zadá přímá teplota příkazem LOADSBC -> THERMAL -> TEMPERATURE na křivky příp. kontury, nebo konvektivní přestup tepla příkazem LOADSBC -> THERMAL -> CONVECTION na křivky. Dále pro nestacionární úlohu se zadává počáteční homogenní rozložení teploty příkazem LOADSBC -> LOAD OPTIONS -> INITIAL COND, vybrat TEMP a zadat hodnotu počáteční teploty. Vnitřní zdroj tepla. Provede se zobrazení výpočetních uzlů příkazem MESHING -> NODES -> PLOT a příkazem MESHING -> NODES -> IDENTIFY se zjistí číslo uzlu, který je přibližně uprostřed oblasti tepelného zdroje v objektu. Do tohoto uzlu se zadá vnitřní bodový zdroj tepla příkazem LOADSBC -> THERMAL -> NODAL HEAT. Příprava a spuštění stacionární/nestacionární úlohy. Pro stacionární/nestacionární úlohu se provede kontrola parametrů simulačního modelu příkazem ANALYSIS -> RUN CHECK pro typ úlohy THERMAL. Zadání parametrů stacionární úlohy se provede příkazem ANALYSIS -> HEAT TRANSFER -> FFE THERMAL OPTIONS (pro FFE rychlý řešič, s parametrem STEADY, ostatní parametry implicitní). Pro nestacionární úlohu se zadává počáteční a koncový čas spolu s velikostí časového kroku příkazem LOADSBC -> LOAD OPTIONS -> TIME PARAMETERS (časový krok použít např. 90 min., koncový čas např. 90 dní). Zadání parametrů nestacionární úlohy se provede příkazem ANALYSIS -> HEAT TRANSFER -> FFE THERMAL OPTIONS (pro FFE rychlý řešič, s parametrem TRANSIENT, ostatní parametry implicitní). Spuštění vlastního výpočtu stacionární/nestacionární úlohy se provádí stejným příkazem ANALYSIS -> HEAT TRANSFER -> RUN THERMAL ANALYSIS. Pozn. k nestacionární úloze: U standardních počítačů používat časový krok 90 min., koncový čas 90 dní. U výkonnějších počítačů možno zkrátit časový krok na 45 min., koncový čas 90 dní. U pomalejších počítačů naopak raději prodloužit časový krok až na 180 min. při zachování koncového času 90 dní. Vyhodnocení výsledků. Provede se vyhodnocení výsledků a jejich zpracování dle úkolů. Bližší informace k postupu vykreslení rozložení teploty, časových průběhů teploty a průběhů teploty po křivce ve výpočetních systému Cosmos/M je v části 2.7. - 22 -
2.5.3 Samostatné úkoly 1) Výpočet stacionární úlohy pro okrajovou podmínku - konstantní teplota na vnějším plášti obvodové stěny. Vnější teplota stěny podle zadání, viz. tab. 1. 2) Výpočet stacionární úlohy pro okrajovou podmínku - konvektivní přestup tepla na vnějším plášti obvodové stěny, koeficient přestupu tepla 10 W.m -2.K -1. Teplota okolí podle zadání, viz. tab. 1. Z důvodu porovnání použít stejnou hodnotu teploty jako v úkolu (1). 3) Výpočet nestacionární úlohy pro okrajovou podmínku - konvektivní přestup tepla na vnějším plášti obvodové stěny, koeficient přestupu tepla 10 W.m -2.K -1. Teplota okolí podle zadání, viz. tab. 1. Z důvodu porovnání použít stejnou hodnotu teploty jako v úkolu (1) a (2). Z důvodu úkolu (5) je vhodné řešit nestacionární úlohu pro dobu 80 100 dní. 4) Porovnání úloh (1). a (2). Zhodnocení vlivu okrajové podmínky. 5) Stanovení doby, kdy se systém dostane do rovnovážného stavu. Dobu ustálení, tj. čas kdy se systém dostane do rovnovážného stavu, lze získat extrapolací časových průběhů teploty v některém ze sledovaných míst objektu. Jako kritérium ustálení lze vzít určitou maximální změnu teploty za pevný časový úsek, např. 1 den. 6) Nepřímá úloha stanovení výkonu zdroje pro dosažení rovnovážné teploty 20 C ve středu místnosti při stacionární úloze podle úkolu (2). Nepřímou úlohu řešit jako sled úloh přímých, při kterých se nastavuje výkon zdroje tak, aby výsledná teplota ve středu místnosti byla rovna teplotě požadované. (Přesnou hodnotu výkonu zdroje je možné interpolovat z více hodnot výkonu dávajících určité teploty ve středu místnosti, stačí provést 4 výpočty s tepelnými výkony dávajícími 2 teploty nad 20 ºC a 2 teploty pod 20 ºC.) 7) Zhodnocení "ročních nákladů na vytápění". Stanovení nákladů na vytápění podle výkonu zdroje nalezeného v úkolu (6), normovaného počtu 6 zimních měsíců (6 měsíců se topí, zbytek roku se netopí), výhřevnosti a ceny paliva pro dva typy paliva - plyn a uhlí. Předpokládaná účinnost pro plyn je 90 %, pro uhlí 40 %. Údaje o výhřevnosti a aktuální ceně obou paliv dohledat z internetových zdrojů. 2.5.4 Výsledky a zhodnocení Grafické výstupy řešených úloh zahrnují: Kontury. Teplotní pole pro stacionární úlohy, úkoly (1) a (2). Teplotní pole ve dvou zvolených časech pro nestacionární úlohu (menu RESULTS), úkol (3). Časový průběh. Časový průběh teplot pro nestacionární úlohu v uzlech v místech 1 až 4 podle schématu na obr. 24, úkol (3). Profil teploty po přímce. Profil teploty pro stacionární úlohy (úkoly (1) a (2)), profil teploty ve dvou zvolených časech pro nestacionární úlohu (úkol (3)), podél přímky - 23 -
procházející středem objektu (čerchovaná čára na obr. 24). Alfanumerické výsledky řešených úloh zahrnují: Diskuzi získaných hodnot dle úkolu (4). Získání ustálené teploty dle úkolu (5). Stanovení výkonu tepelného zdroje dle úkolu (6) řešením sledu úloh přímých stacionárních. Stanovení ročních nákladů na vytápění pro uvedená paliva dle úkolu (7). Provést diskuzi všech získaných grafických i alfanumerických výsledků 2.6 POKYNY PRO VYPRACOVÁNÍ PÍSEMNÉHO REFERÁTU A KONTROLNÍ OTÁZKY 2.6.1 Obsah referátu V části zvolené metody zpracování stručně popsat: - výpočetní metody modelování termomechanických procesů, metoda MKP, - využití výpočetních metod v průmyslové a výzkumné praxi, - výpočetní systém Cosmos/M, - postup při řešení úlohy s využitím simulačního modelu ve výpočetním systému, - popis řešených úloh přímá stacionární, přímá nestacionární, nepřímá stacionární úloha. V části výsledky a diskuse uvést: - alfanumerické i grafické výsledky všech řešených úloh (1) až (7), - diskuze ke všem uvedeným výsledkům. 2.6.2 Kontrolní otázky Počítačové modely deterministické a stochastické. Princip a použití ve výpočetních systémech. Postup tvorby simulačního modelu v prostředí výpočetního systému. Pre-processing a post-processing. Obecný postup při řešení přímé úlohy s využitím výpočetního systému. Využití přímých úloh v počítačovém modelování. Obecný postup při řešení nepřímé úlohy s využitím výpočetního systému. Využití nepřímých úloh v počítačovém modelování. - 24 -
2.7 TECHNICKÉ DETAILY POSTUPŮ VE VÝPOČETNÍM SYSTÉMU COSMOS/M 2.7.1 Spuštění, zobrazování, práce se skriptovým souborem 1. Načtení rozpracované úlohy v systému Cosmos/M se provádí příkazem FILE -> OPEN, kde se nalezne příslušný soubor s úlohou, což je soubor s příponou.gen. 2. Vymazání okna pracovní plochy Cosmos/M se provede příkazem cls; nebo ikonkou Clear screen v dolní části Geo Panel. 3. Nastavení pohledu 3D, 2D v různých směrech (View) se provádí ikonkou Dalekohled ve střední části Geo Panel. 4. Zvětšování a zmenšování (Zoom in, Zoom out, Scale, Auto Scale), posuv (Translate), rotace (Rotate) se provádí ikonkami a posuvníky umístěnými ve střední a dolní části Geo Panel. 5. Nastavení bílého pozadí okna pracovní plochy Cosmos/M se provede nastavením Foreground color na černou, Background color na bílou, Axis color na černou. Poté se nechá překreslit okno pracovní plochy Cosmos/M příkazy Clear screen a Replot, všechny ikonky jsou umístěny ve spodní části Geo Panel. Při vykreslování rozložení veličin je nutné ještě nastavit barvu písma na černou příkazem RESULTS -> SETUP -> COLOR/VALUE RANGE, zde první dotazovací okno potvrdit beze změn tlačítkem Continue a ve druhém okně nastavit Chart color na černou. Příkazem RESULTS -> SETUP -> COLOR/VALUE RANGE lze v prvním dotazovacím okně nastavit i minimální a maximální hodnoty zobrazované veličiny, pokud je potřeba. 6. Uložení části okna pracovní plochy Cosmos/M jako obrázek ve formátu.bmp se provede příkazem FILE -> SAVE IMAGE FILE. Je nutné zadat název souboru a typ souboru. Zvolí se typ souboru BMP, dále se vybírá levý horní bod a pravý spodní bod plochy, která se má uložit. Při ukládání rozložení veličin je vhodné samostatně ukládat samotné pole veličin a samotnou stupnici s hodnotami (při současném ukládání a vkládání obrázku do referátu dojde ke zmenšení obrázku a tím ke zhoršené čitelnosti textu ve stupnici). 7. Veškeré prováděné příkazy se automaticky ukládají do skriptového souboru, který lze uložit i ručně příkazem FILE -> SAVE SESSION FILE. Načtení a provedení všech příkazů skriptového souboru se provádí příkazem FILE -> LOAD, kde se dále příkazem Find nalezne příslušný skriptový soubor, což je soubor s příponou.ses (Session File). 2.7.2 Vykreslení rozložení teplot (gradientů, tepelných toků) 1. Rozložení teplot (gradientů, tepelných toků) se provede příkazem RESULTS -> PLOT -> THERMAL. Je nutné zadat Time step number, ve kterém se zobrazí výsledné pole (což je požadovaný čas děleno časový krok výpočtu) a zobrazovanou veličinu. Plnobarevné rozložení hodnot vybrané veličiny se provede příkazem Contour Plot. 2. Pokud je potřeba vykreslit rozložení teplot (tepelných toků) bez hran výpočetních elementů, je potřeba před tím příkazem DISPLAY -> DISPLAY OPTION -> SET BOUND PLOT nastavit Boundary plot na hodnotu 0: None. - 25 -
2.7.3 Vykreslení časových průběhů teplot (gradientů, tepelných toků) 1. Pro vykreslení průběhů teplot (gradientů, tepelných toků) ve vybraných uzlech je nutné neprve zjistit příslušná čísla uzlů. Příkazem GEOMETRY -> POINTS -> EDITING - >PLOT se vykreslí body geometrie. Příkazem MESHING -> NODES -> PLOT se vykreslí uzly výpočetní sítě. Příkazem MESHING -> NODES -> IDENTIFY se po kliknutí na příslušný uzel zobrazí jeho souřadnice a pořadové číslo. 2. Vykreslované veličiny v požadovaných uzlech se nadefinují příkazem DISPLAY -> XY PLOTS -> ACTIVATE POST-PROC. Zde se uvede číslo křivky v grafu (pozor je to nazvané jako Graph number, tuto hodnotu je potřeba zvyšovat), provede se výběr požadované veličiny a zadá se číslo uzlu, ve kterém se má veličina vykreslit. Tímto způsobem se nadefinují všechny křivky v grafu, tj. všechy uzly ve kterých se zobrazí průběh hodnot veličiny. 3. Příslušný graf se pak zobrazí příkazem DISPLAY -> XY PLOTS -> PLOT CURVES. Je vhodné tímto způsobem křivky pouze zobrazovat. Vlastní zpracování grafů do referátu se provádí v Excelu. Vypsání hodnot pro křivky v grafu se provede příkazem DISPLAY -> XY PLOTS -> LIST POINTS. Tuto matici hodnot je nutné zkopírovat a uložit do souboru (provádí se stiskem pravého tlačítka myši na okně s příslušným výpisem a výběrem položky Copy). 2.7.4 Vykreslení průběhů teplot (gradientů, tepelných toků) po přímce 1. Pro vykreslení průběhů teplot (gradientů, tepelných toků) po přímce (tj. ve vybraných uzlech) je nutné neprve vybrat příslušné uzly. Příkazem GEOMETRY -> POINTS -> EDITING -> PLOT se vykreslí body geometrie. Příkazem MESHING -> NODES -> PLOT se vykreslí uzly výpočetní sítě. Příkazem CONTROL -> SELECT -> BY WINDOWING s parametry Entity Name ND: Node, Window type 0:Box, Selection Set Number 2 se myší vyberou požadované výpočetní uzly. Dále je nutné zjistit u výběru výpočetních uzlů čísla krajních uzlů. To se provede příkazem MESHING -> NODES -> IDENTIFY. 2. Pro vykreslení průběhů teplot (gradientů, tepelných toků) do grafu se využije příkaz RESULTS -> PLOT -> THERMAL s parametry Time step number dle požadavku, Component dle výběru z množiny TEMP: Nodal temperature, GRADX,..., GRADN, HFLUXX,..., HFLUXN, dále Contour Plot. Dále se provede příkaz RESULTS -> PLOT -> PATH GRAPH, kde se zadávají čísla krajních uzlů přímky, druhý uzel se zadá dvakrát za sebou.vykreslený graf má na ose x vzdálenost, která je normovaná v rozsahu 0 1. Je vhodné tímto způsobem graf pouze zobrazovat. 3. Pro vlastní zpracování grafu v Excelu je potřeba získat prostorové souřadnice vybraných uzlů a v nich příslušné hodnoty požadované veličiny. Vypsání prostorových souřadnic se provede příkazem MESHING -> NODES -> LIST s přednastavenými hodnotami od prvního do posledního uzlu, na což je aplikován aktivní výběr 2, takže se vypíší údaje pouze k uzlům ve výběru 2. Tuto matici hodnot je nutné zkopírovat a uložit do souboru (provádí se stiskem pravého tlačítka myši na okně s příslušným výpisem a výběrem položky Copy). 4. Vypsání hodnot požadovaných veličin se provede příkazem RESULTS -> LIST -> THERMAL RESULT s parametry Time step number dle požadavku, Set number 1: Temperature and gradient nebo 2: Heat flux component/resultant dle výběru, s přednastavenými hodnotami od prvního do posledního uzlu, na což je aplikován - 26 -
aktivní výběr 2, takže se vypíší údaje pouze k uzlům ve výběru 2. Tuto matici hodnot je nutné zkopírovat a uložit do souboru (provádí se stiskem pravého tlačítka myši na okně s příslušným výpisem a výběrem položky Copy). 5. Když je potřeba mít ve výběru výpočetních uzlů opět všechny uzly, provede se to příkazem CONTROL -> SELECT -> BY RANGE s parametry Entity Name ND: Node, rozsahy na osách nechat přednastavené (tj. 0 až 10 v ose x, 0 až 8 v ose y), zadat Selection Set Number 1. Tato množina Selection Set Number 1 již existovala, teď se tedy pouze aktivovala. Tuto aktivaci lze též provést příkazem CONTROL -> ACTIVATE -> SELECT LIST, kde se vybere entita Node, dale se nastaví Selection Set Number na požadované číslo (1 nebo 2), ostatní parametry implicitní.tím lze přepínat mezi Selection Set Number 1 (nechají se zde standardně všechny uzly) a Selection set Number 2 (nastaví se zde vybrané uzly kolem čerchované čáry, viz. obrázek geometrie úlohy). - 27 -