Math60-.nb POČÍTAČOVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 6.0- Základní objekty Čísla Vojtěch Bartík Část Seznámení se systémem v příkladech Mathematica rozeznává několik druhů čísel a různě s nimi zachází. Čísla, která neobsahují desetinnou tečku, jsou tzv. exaktní čísla, ostatní čísla jsou přibližná. Přibližná čísla se dále dělí na strojově přesná čísla (machine - precision numbers) a na čísla s (libovolnou) danou přesností (arbitrary - precision numbers). H* Exaktní čísla *L :7, 7ê3, 3, 5, 3 + 4, 3 + 7ê9 > 7 :7, 7 3, 3 7, 5, 3 + 4, 3 + 7 9 > H* Strojově přesná čísla *L 87., 3.4244`, 3.42443`, 3.424679873456792, 5.000000989, 3. + 4 < 87., 3.4244, 3.4244, 3.4247, 5., 3. + 4 < H* Čísla s danou přesností *L 87.`8, 3.4244`5, 3.4244`6, 3.424679873456792`7, 5.000000989`0 < 87.0000000, 3.424, 3.4244, 3.424679873456792, 5.000000989 < Maximální počet cifer strojově přesných čísel, které vidíme na obrazovce, je určen jistým parametrem PrintPrecision grafického rozhraní. Jeho nastavení zjistíme příkazem Options@$FrontEnd, PrintPrecisionD 8PrintPrecision 6< a změníme je příkazem SetOptions@$FrontEnd, PrintPrecision Ø nd kde n je celé číslo. Změna ovšem ovlivní všechny výstupní buňky. Maximální počet zobrazovaných cifer strojově přesných čísel lze změnit i v jednotlivých buňkách následujícím postupem. Buňku nebo i několik buněk označíme a pak PrintPrecision změníme pomocí položky Option Inspector\Selection\Formating Options\Expression Formatting\Display Options\PrintPrecision
2 Math60-.nb v roletě Format. Matematické konstanty Matematické konstanty jsou symboly představující přesně definovaná vlastní nebo nevlastní reálná nebo komplexní čísla. Mathematica proto s nimi zachází jako s exaktními čísly. 8Pi, π< H* Ludolfovo číslo *L 8π, π< 8E, < H* Eulerovočíslo = základ přirozených logaritmů *L 8, < 8Degree, GoldenRatio< H* Jeden stupeň = pê80, J+ 5 Ní2 U.6803 *L 8, GoldenRatio< 8I, < H Imaginární jednotka L 8,, < 8Infinity,, Infinity,, ComplexInfinity< 8,,,,, < Numerické hodnoty exaktních čísel a matematických konstant Přibližné numerické hodnoty exaktních čísel a matematických konstant získáme aplikací funkce N: N @xd je strojově přesná přibližná hodnota konstanty resp. exaktního čísla x, N @x, nd je přibližná hodnota s n platnými ciframi (with n-digit precision) Stejným způsobem získáme přibližné hodnoty libovolného výrazu s exakní číselnou hodnotou. 8N@7ê4D, N@7ê4, 20D, N@4ê7D, N@4ê7, 20D H* Přibližné hodnoty racionálníchčísel *L 8.75,.7500000000000000000, 0.57429, 0.57428574285742857< 8N@πD, N@π, 50D< H* Přibližné hodnoty Ludolfova čísla *L 83.459, 3.45926535897932384626433832795028849769399375< 8N@ D, N@, 40D< H* Přibližné hodnoty Eulerovačísla *L 82.7828, 2.782882845904523536028747352662497757<
Math60-.nb 3 8N@ D, N@, 30D< H* Přibližné hodnoty imaginární jednotky *L 80. +.,.00000000000000000000000000000 < 8N@4ê7 + 7ê4 D, N@4ê7 + 7ê4, 20D< H* Přibližné hodnoty komplexníhočísla *L 80.57429 +.75, 0.5742857428574286 +.7500000000000000000 < Symboly a textové řetězce Symbolem je každé slovo sestávající z číslic, písmen a libovolných grafických znaků, které mají charakter písmen (letter-like forms) a které Mathematica rozpoznává, pokud nezačíná číslicí a neobsahuje uvozovky ". 9a, a, a2, Aα, bb ñă,, = 9a, a, a2, Aα, bb ñă,, = Textovým řetězcem je každé slovo sestávající z písmen, číslic a libovolných znaků, které Mathematica rozpoznává, a začínající a končící uvozovkami ". Znak " může být v řetězci zastoupen jako \", znak \ může být zadán jako \\: 9"a", "a2", "2a", "Aα", "b<b\\ ñă", " \" ", " "= 9a, a2, 2a, Aα, b<b\ ñă, ", = Výrazy Výrazem je každé číslo, symbol a textový řetězec. Jsou-li f, x, x 2,... výrazy, pak f@x, x 2,...D je také výraz. Výrazy se ale často zadávají také v tzv. prefixovém nebo postfixovém tvaru. Např. f@xd můžeme zadat v infixovém tvaru f ü x nebo v postfixovém tvaru xêê f a výrazy Plus@x, y, zd a Times@x, y, zd, reprezentující součet resp. součin, zadáváme a zobrazujeme v dobře známém infixovém tvaru x + y + z resp. x y z nebo x * y * z nebo x µ y µ z. Mathematica si však každý výraz uchovává v tzv. úplném tvaru, který získáme příkazem FullForm. 8a, b, 2, 3 + 5 < êê FullForm List@a, b, 2, Complex@3, 5DD 8a + b, a b, a b, aêb< êê FullForm List@Plus@a, bd, Plus@a, Times@, bdd, Times@a, bd, Times@a, Power@b, DDD 82 + 3 + 5, 2 H3 + 5 L, 2êH3 + 5 L< êê FullForm List@Complex@5, 5D, Complex@6, 0D, Complex@Rational@3, 7D, Rational@ 5, 7DDD Každý výraz má tzv. hlavičku (head). Symboly mají skrytou hlavičku Symbol, textové řetězce mají skrytou hlavičku String. Skryté hlavičky mají i různé typy čísel. Hlavičku výrazu získáme příkazem Head:
4 Math60-.nb 8Head@2D, Head@3ê5D, Head@3.4D, Head@πD, Head@ + D, Head@"π"D< 8Integer, Rational, Real, Symbol, Complex, String< Aritmetické operace, relace a logické spojky Aritmetické operace Aritmetické operace se zapisují obvyklým způsobem. 8a + b, a b, a b, a b, a b, aêb< H* Součet, rozdíl, součin, součin, součin, podíl *L :a + b, a b, a b, a b, a b, a c b > 8a + b + c, a b c, a b c, a b c, a b c, aêbêc, a bêc, aêb c< :a + b + c, a b c, a b c, a b c, a b c, a b c, a b c, a c b > Jsou-li aplikovány pouze na exaktní čísla, výsledek je též exaktní číslo. V opačném případě je výsledkem přibližné číslo buď se strojovou nebo jistou danou přesností. 82 + 3, 2 + 3., 2 + 3.0`7, 2. + 3.0`7, 2 3, 2 3.0, 2 3.0`7, 2. 3.0`7< 85, 5., 5.0000000000000000, 5.,,.,.0000000000000000,.< 82 3, 2 3.0, 2 3.0`7, 2. 3.0`7, 2ê3, 2ê3.0, 2ê3.0`7, 2.ê3.0`7< :6, 6., 6.0000000000000000, 6., 2, 0.666667, 0.66666666666666667, 0.666667> 3 Relace Equal, Unequal, Greater, GreaterEqual, Less, LessEqual Relace x ã y, x y, x > y, x y, x y, x y mají obvyklý význam - pokud lze x, y matematicky porovnat, nabývají hodnoty True nebo False. Syntakticky správné jsou též relace x ã y ã z, x y z, x > y > z, x y z, x y y, x y z se zřejmým významem a analogické relace s více argumentyx =.; y =.; 8x == y, x y, x!= y, x < y, x y, x y, x > y< 8x y, x y, x y, x < y, x y, x y, x > y< 82 2., 2 == 2.000000000000, 2 == 2.0000000000000< 8True, False, True<
Math60-.nb 5 Není bohužel jasné, jak Mathematica při porovnávání čísel postupuje. Jistou roli v tom hraje parametr $ExtraMaxPrecision s implicitní hodnotou 50., přesnější informace ale není k mání. Můžeme proto snadno dostat jiný výsledek, než bychom očekávali, jak ukazuje následující příklad. Protože přibližná hodnota čísla p s 30-ti platnými ciframi za destinnou tečkou je nerovnosti 3.459265358979323846264338327 3.4592653589793238 < π < 3.4592653589793239 jsou zcela jistě správné. Mathematica má ale jiný názor a dává tyto výsledky: 83.4592653589793238 < π, π < 3.4592653589793239< 8True, False< 83.4592653589793238 π, π 3.4592653589793239< 8True, True< Relace SameQ, UnsameQ Pokud x nebo y není přibližné číslo, relace x === y, x =!= y porovnávají jejich úplné tvary a proto vždy nabývají hodnoty True nebo False. 8x === y, x =!= y, 2 === 2., 2 =!= 2, 2 === 2.`50, 2 =!= 2.`50< 8False, True, False, True, False, True< Jsou-li x, y přibližná čísla, jejichž rozdíl je menší než jejich nepřesnosti, pak relace x === y nabývá hodnoty True a relace x =!= y nabývá hodnoty False. V opačném případě první z těchto relací nabývá hodnoty False a druhá hodnoty True. 82.23456 === 2.23456`20, 2.23456 === 2.23455, 2.23456 === 2.23455`20< 8True, False, False< Logické spojky p =.; q =.; r =.; 8! p, p, Not@pD< H Negace L 8! p,! p,! p< 8p && q, pïq, And@p, qd, p && q && r, pïqïr, And@p, q, rd< H* Konjunkce *L 8p && q, p && q, p && q, p && q && r, p && q && r, p && q && r<
6 Math60-.nb 8p»» q, píq, Or@p, qd, p»» q»» r, píqír, Or@p, q, rd< H* Disjunkce *L 8p»» q, p»» q, p»» q, p»» q»» r, p»» q»» r, p»» q»» r< Mathematica zná ovšem i spojky Nand, Nor a Xor. Seznamy, jejich vytváření, části a tabulková reprezentace Vytváření seznamů Vypsáním členů s = 8, 2, 3, 4< 8, 2, 3, 4< Pomocí funkce Range 8Range@4D, Range@, 4D, Range@ 2, 4D< 88, 2, 3, 4<, 8, 2, 3, 4<, 8 2,, 0,, 2, 3, 4<< 8Range@2, 9, 2D, Range@, 9, 3.D, Range@7, 2, 2D< 882, 4, 6, 8<, 8., 2., 5.2, 8.3<, 87, 5, 3,, << Pomocí funkce Table Clear@a, bd; 8Table@a@D, 83<D, Table@a@D, 8i, 3<D< H* Jednorozměrný seznam *L 88a@D, a@d, a@d<, 8a@D, a@d, a@d<< 8Table@a@iD, 8i, 2, 5, 2<D, Table@a@iD, 8i, 7,, 2< D< H* Jednorozměrný seznam *L 88a@ 2D, a@0d, a@2d, a@4d<, 8a@7D, a@5d, a@3d, a@d<< Table@a@i, b@jdd, 8i,, 2<, 8j, 4, 2, <D H* Dvourozměrný seznam *L 88a@, b@4dd, a@, b@3dd, a@, b@2dd<, 8a@2, b@4dd, a@2, b@3dd, a@2, b@2dd<<
Math60-.nb 7 Pomocí funkce Array Clear@aD; α = Array@a, 3D H* Jednorozměrné pole *L 8a@D, a@2d, a@3d< a@d = ; a@3d = ; α 8, a@2d, < Clear@bD; β = Array@b, 82, 3<D H* Dvourozměrné pole *L 88a@, D, a@, 2D, a@, 3D<, 8a@2, D, a@2, 2D, a@2, 3D<< b@, D = 2; b@2, 3D = 2; β 882, b@, 2D, b@, 3D<, 8b@2, D, b@2, 2D, 2<< Extrakce prvků a částí seznamů First, Last, Most, Rest, Head s = 8, 2, 3, 4, 5, 6, 7<; 8First@sD, Last@sD, Most@sD, Rest@sD< 8, 7, 8, 2, 3, 4, 5, 6<, 82, 3, 4, 5, 6, 7<< Extract s = 8, 2, 3, 4, 5, 6, 7<; 8Extract@s, 3D, Extract@s, 83<D, Extract@s, 5D, Extract@s, 8 5<D< 83, 3, 3, 3< 8Extract@s, 882<, 86<, 84<<D, Extract@s, 88 6<, 8 2<, 8 4<<D< 882, 6, 4<, 82, 6, 4<< 8Extract@s, 883<, 85<, 87<<, fd, Extract@s, 883<, 85<, 87<<, PrimeD< 88f@3D, f@5d, f@7d<, 85,, 7<<
8 Math60-.nb Part s = 8, 2, 3, 4, 5, 6, 7<; 8Part@s, 3D, s@@3dd, Part@s, 5D, s@@ 5DD< 83, 3, 3, 3< 8Part@s, 83<D, s@@83<dd, Part@s, 8 5<D, s@@8 5<DD< 883<, 83<, 83<, 83<< 8Part@s, 85, 3<D, s@@85, 3<DD, Part@s, 8 3, 5<D, s@@8 3, 5<DD< 885, 3<, 85, 3<, 85, 3<, 85, 3<< Take s = 8, 2, 3, 4, 5, 6, 7<; 8Take@s, 3D, Take@s, 82, 4<D, Take@s, 8 6, 4<D< 88, 2, 3<, 82, 3, 4<, 82, 3, 4<< 8Take@s, 8, 6, 2<D, Take@s, 85,, 2<D< 88, 3, 5<, 85, 3, << Cases s = 9x, x 2, x 3, 8x<, 9x 2 =, y, y 2, y 3, 8y<, 9y 2 =, x y, x y 2, x 2 z, x y 2 z= 9x, x 2, x 3, 8x<, 9x 2 =, y, y 2, y 3, 8y<, 9y 2 =, x y, x y 2, x 2 z, x y 2 z= 9CasesAs, x 2 E, Cases@s, x n_ D, Cases@s, x n_. D= 99x 2 =, 9x 2, x 3 =, 9x, x 2, x 3 == 9CasesAs, x_ 2 E, Cases@s, x_ n_ D, Cases@s, x_ n_. D, CasesAs, x_symbol n_. E= 99x 2, y 2 =, 9x 2, x 3, y 2, y 3 =, 9x, x 2, x 3, 8x<, 9x 2 =, y, y 2, y 3, 8y<, 9y 2 =, x y, x y 2, x 2 z, x y 2 z=, 9x, x 2, x 3, y, y 2, y 3 == 8Cases@s, x_symbold, Cases@s, x_listd, Cases@s, x_timesd< 98x, y<, 98x<, 9x 2 =, 8y<, 9y 2 ==, 9x y, x y 2, x 2 z, x y 2 z==
Math60-.nb 9 Select s = Range@ 00, 00, 7D 8 00, 93, 86, 79, 72, 65, 58, 5, 44, 37, 30, 23, 6, 9, 2, 5, 2, 9, 26, 33, 40, 47, 54, 6, 68, 75, 82, 89, 96< 8Select@s, PrimeQD, Select@s, Abs@ D < 0 &D< 88 79, 37, 23, 2, 5, 9, 47, 6, 89<, 8 9, 2, 5<< Tabulková a maticová reprezentace seznamů Column Zobrazuje jednorozměrné seznamy jako sloupce 8Column@8, 23<D, Column@8, 23<, CenterD, Column@8, 23<, RightD< : 23, 23, 23 > 8Column@8, 2<D, Column@8, 2<, Spacings > D, Column@8, 2<, Spacings > 2D< : 2, 2, > 2 Row Zobrazuje jednorozměrné seznamy jako řádky 8Row@8, 2, 3<D, Row@8, 2, 3<, " "D, Row@8, 2, 3<, " "D< 823, 2 3, 2 3< RowA9Ix 3 + M, Hx + L Ix 2 x + M=, "="E + x 3 = H + xl I x + x 2 M Grid Zobrazuje jako tabulky pouze dvourozměrné seznamy, řádky nemusí mit stejnou délku.
0 Math60-.nb 8Grid@88a, ab, abc<, 8ab, abc<<d, Grid@88a, ab, abc<, 8ab, abc<<, Alignment > CenterD, Grid@88a, ab, abc<, 8ab, abc<<, Alignment LeftD, Grid@88a, ab, abc<, 8ab, abc<<, Alignment > 88Center, Right<<D, Grid@88a, ab, abc<, 8ab, abc<<, Spacings > 8, 2<D< a ab abc :, ab abc a ab abc, ab abc a ab abc, ab abc a ab abc, ab abc a ab abc > ab abc TableForm Zobrazuje jako tabulky libovolné seznamy, řádky nemusí mit stejnou délku. TableForm@8, 2<D H* Reprezentace jednorozměrného seznamu *L 2 TableForm@88, 2<, 82, 23, 234<<D H* Reprezentace dvourozměrného seznamu *L 2 2 23 234 Volba zarovnávání ve sloupcích a řádcích TableForm@88, 2, 3<, 882, 23<, 82, 23, 234<, 4<<, TableAlignments > 8Center, Top, Right<D 2 3 2 23 2 23 234 4 Podobně můžeme změnit vzdálenosti mezi řádky a sloupci: TableForm@88, 2, 3<, 882, 23<, 82, 23, 234<, 4<<, TableSpacing > 8, 5, 0<D 2 3 2 2 23 23 4 234 MatrixForm 8, 2< êê MatrixForm K 2 O 88, 2<< êê MatrixForm H 2L
Math60-.nb 88, 2, 3<, 82, 23, 234<< êê MatrixForm K 2 3 2 23 234 O Stejně jako v případě TableForm můžeme změnit vzdálenosti řádků a sloupců, zarovnání řádků a sloupců však na změnu skrytého argumentu TableAlignments nereaguje, stejně jako v minulých verzích. Transformační pravidla a substituce Transformační pravidla (rules) jsou výrazy tvaru expr Ø expr2 s úplným tvarem Rule@expr, expr2d a expr ß expr2 s úplným tvarem RuleDelayed@expr, expr2d. Tato pravidla aplikujeme na libovolný výraz buď pomocí funkce ReplaceAll nebo funkce RelaceAllRepeated. Tyto funkce mají dva argumenty. Prvním je výraz, do kterého dosazujeme, druhým je transformační pravidlo nebo seznam transformačních pravidel nebo seznam seznamů transformačních pravidel. ReplaceAll@x, yd zapisujeme v infixové formě jako xê. y a ReplaceAllRepeated@x, yd zapisujeme jako xêê. y. ReplaceAll Clear@f, g, x, yd; expr = fax + x 2, x ye fax + x 2, x ye 8expr ê. f g, expr ê. x y, expr ê. x x y< 9gAx + x 2, x ye, fay + y 2, y 2 E, fax y + x 2 y 2, x y 2 E= expr ê. 88f g<, 8x y<, 8x x y<< 9gAx + x 2, x ye, fay + y 2, y 2 E, fax y + x 2 y 2, x y 2 E= expr ê. 88f g, x y, x x y <, 8f g, x x y, x y<< 9gAy + y 2, y 2 E, gax y + x 2 y 2, x y 2 E= ReplaceRepeated x 0 y 5 êê. 99Hx n_ L > x n =, 9Hx n_. L > x n =, 9Hx_ n_ L x n =, 9Hx_ n_. L x n == 9x y 5, y 5, x y, =
2 Math60-.nb H* Iterace k 2 *L 2 êê. Ix_ ê; AbsAx 2 2E 0M 0.5`20 x + 2 x.44235623730950488 2 êê N@, 20D &.44235623730950488 Funkce Názvy všech zabudovaných funkcí a operací začínají velkým písmenem. Argumenty se uvádějí v hranatých závorkách. Kulaté závorky vymezují skupiny, složené závorky vymezují seznamy. Pokud je argument funkce nabývající číselných hodnot přibližné číslo, funkční hodnota je také přibližné číslo. V opačném případě výsledek závisí na tom, zda může být vyjádřen exaktním číslem či nikoliv. Argumenty všech elementárních a většiny ostatních funkcí mohou nabývat komplexních hodnot a hodnotami víceznačných funkcí jsou hodnoty tzv. hlavních větví. Elementární funkce Mocniny a odmocniny a =.; b =.; 9Power@a, bd, a^b, a b, Sqrt@aD, a, a ê2, a ê3 = 9a b, a b, a b, a, a, a, a ê3 = : 4, 2, 2., 2.`20, a 2 > :2, 2,.442,.442356237309504880, a 2 > 3 :, 2, 2., H L 3 3, H.L 3 > :, 2, 0. +.442, H L ê3, 0.5 + 0.866025 > Exponenciální funkce a logaritmus a =.; x =.; 8Power@E, xd, x, E x, Exp@xD< 8 x, x, x, x <
Math60-.nb 3 8Log@xD, Log@a, xd< H* Přirozený logaritmus, logaritmus o základu a *L :Log@xD, Log@xD Log@aD > 8Log@ D, Log@ D, Log@3 D, Log@ 3 D, Log@ x D< :, + π, π 2 + Log@3D, π 2 + Log@3D, Log@ x D> Goniometrické funkce x =.; 8Sin@xD, Cos@xD, Tan@xD, Cot@xD, ê Cos@xD, ê Sin@xD< 8Sin@xD, Cos@xD, Tan@xD, Cot@xD, Sec@xD, Csc@xD< 8Sin@πê3D, Sin@πê6D, Sin@πê2D, Sin@πê24D, Sin@πê24.D, Sin@πê24.`0D< : 3 2, 2, + 3 2 2, SinB π F, 0.30526, 0.30526922> 24 8Cos@πê3D, Cos@πê6D, Cos@πê2D, Cos@πê24D, Cos@πê24.D, Cos@πê24.`0D< : 2, 3 2, + 3 2 2, CosB π F, 0.99445, 0.994448637> 24 8Tan@πê3D, Tan@πê6D, Tan@πê2D, Tan@πê24D, Tan@πê24.D, Tan@πê24.`0D< : 3, 3, 2 3, TanB π F, 0.3652, 0.36524976> 24 8Cot@πê3D, Cot@πê6D, Cot@πê2D, Cot@πê24.D, Cot@πê24.`0D< : 3, 3, 2 + 3, 7.59575, 7.5957543> Cyklometrické funkce 8ArcSin@xD, ArcCos@xD, ArcTan@xD, ArcCot@xD< 8ArcSin@xD, ArcCos@xD, ArcTan@xD, ArcCot@xD<
4 Math60-.nb :ArcSinB 3 í 2F, ArcSin@ê2D, ArcSinB + 3 F, ArcSin@Sin@π ê 24DD> 2 2 : π 3, π 6, π 2, π 24 > :ArcCos@ê2D, ArcCosB 3 í 2F, ArcCosB + 3 2 2 F, ArcCos@Cos@π ê 24DD> : π 3, π 6, π 2, π 24 > :ArcTanB 3 F, ArcTanB 3 F, ArcTanB2 3 F, ArcTanBTanB π 24 FF> : π 3, π 6, π 2, π 24 > :ArcCotB í 3 F, ArcCotB 3 F, ArcCotB2 + 3 F, ArcCot@Cot@πê24DD> : π 3, π 6, π 2, π 24 > Hyperbolické funkce 8Sinh@xD, Cosh@xD, Tanh@xD, Coth@xD< 8Sinh@xD, Cosh@xD, Tanh@xD, Coth@xD< Hyperbolometrické funkce 8ArcSinh@xD, ArcCosh@xD, ArcTanh@xD, ArcCoth@xD< 8ArcSinh@xD, ArcCosh@xD, ArcTanh@xD, ArcCoth@xD< Některé další funkce Abs, Arg, Re, Im, Conjugate, Sign 8Abs@ + 2 D, Abs@. + 2 D, Abs@ + 2. D, Abs@.`0 + 2 D, Abs@ + 2.`0 D, Abs@x + y D< :5, 5, 2.23607, 2.23607, 2.2360679775, 2.236067977, Abs@x + yd>
Math60-.nb 5 8Arg@ D, Arg@ + D, Arg@ D, Arg@ + D, Arg@D, Arg@ D< H* -p Arg@zD p *L :π, 3 π 4, π 2, π 4, 0, π 2 > 3 :ReB 2 3 F, ImB 2 3 F, ConjugateB 2 3 F, ReB 2. 3 F, ImB 2. 3 F, ConjugateB 2. F> : 2 2ê3, 3 2 2ê3, ConjugateAH 2Lê3 E, 0.62996,.092, 0.62996.092 > Funkce Sign je definována pro všechna nenulová čísla jako podíl čísla a jeho absolutní hodnoty, Sign@0D = 0. 8Sign@.D, Sign@. + D, Sign@ + D, Sign@ D, Sign@ + D, Sign@. + D, Sign@.D< :, 0.70707 + 0.70707,,, +, 0.70707 + 0.70707, > 2 2 IntegerPart, Floor, Ceiling, Round 8Floor@πD, IntegerPart@πD, Ceiling@πD, Round@πD< 83, 3, 4, 3< 8Floor@ πd, IntegerPart@ πd, Ceiling@ πd, Round@ πd< 8 4, 3, 3, 3< 8Round@π, ê0d, Round@π, ê00d, Round@π, ê000d, Round@π, ê000 000D< : 3 0, 57 50, 57 500, 3 4 593 000 000 > 8Round@π, 0.D, Round@π, 0.0D, Round@π, 0.00D, Round@π, 0.00000D< 83., 3.4, 3.42, 3.459< 8Round@39 76, 0D, Round@39 76, 00D, Round@39 76, 000D< 839 760, 39 800, 40 000< Factorial, Binomial 85!, 0!, 5!, 20!< 820, 3 628 800, 307 674 368 000, 2 432 902 008 76 640 000<
6 Math60-.nb 8Binomial@a, D, Binomial@a, 2D, Binomial@a, 3D, Binomial@a, 4D< :a, 2 H + al a, 6 H 2 + al H + al a, 24 H 3 + al H 2 + al H + al a> H* Pascalův trojúhelník *L Table@Table@Binomial@n, kd, 8k, 0, n<d êê Row@, " ColumnForm@, CenterD & "D &, 8n, 0, 6<D êê 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 20 5 6 Definování vlastních funkcí Z funkcí, které jsou v Mathematice zabudovány, můžeme vytvářet své vlastní funkce, a to buď funkce s vlastním jménem (named functions) nebo tzv. bezejmenné funkce. Příklad Clear@f, xd; f@x_d := Hx + L 2 êê Expand; 8f@xD, f@x + D< 9 + 2 x + x 2, 4 + 4 x + x 2 = Clear@f, xd; f@x_d = Hx + L 2 êê Expand; 8f@xD, f@x + D< 9 + 2 x + x 2, + 2 H + xl +H + xl 2 = Příklad 2 Clear@fD; f@x_, y_d := SqrtAx 2 + y 2 E; 8f@, 2D, f@., 2D, f@.`20, 2D< : 5, 2.23607, 2.2360679774997896964> Stejné výsledky dá bezejmenná funkce SqrtAÒ 2 + Ò2 2 E &:
Math60-.nb 7 9SqrtA 2 + 2 2 E &@, 2D, SqrtA 2 + 2 2 E &@., 2D, SqrtA 2 + 2 2 E &@.`20, 2D= : 5, 2.23607, 2.2360679774997896964> Místo SqrtAÒ 2 + Ò2 2 E & můžeme také psát FunctionASqrtAÒ 2 + Ò2 2 EE nebo FunctionA8x, y<, SqrtAx 2 + y 2 EE, což je ovšem méně pohodlné. Příklad 3 Clear@fD; f@x D := Plus@xD Times@xD; 8f@D, f@, 2D, f@, 2, 3D, f@, 2, 3, 4D< 8, 6, 36, 240< Stejné výsledky dá bezejmenná funkce Plus@ÒÒD Times@ÒÒD & s libovolným počtem argumentů: 8Plus@ D Times@ D &@D, Plus@ D Times@ D &@, 2D, Plus@ D Times@ D &@, 2, 3D< 8, 6, 36< Příklad 4 Clear@fD; f@x_d := ê; x ; f@x_d := x f@x D ê; < x 0; f@x_d := f@0d ê; x > 0 f@xd f@xd 8f@ D, f@0d, f@d, f@2d, f@3d, f@4d, f@5d, f@0d, f@000d, f@πd< 8,,, 2, 6, 24, 20, 3 628 800, 3 628 800, H 2 + πl H + πl π< Clear@fD; f@x_d := Piecewise@88, x <, 8x f@x D, TrueQ@ < x 0D<<, f@0dd; f@xd x 3 628 800 True 8f@ D, f@0d, f@d, f@2d, f@3d, f@4d, f@5d, f@0d, f@000d, f@πd< 8,,, 2, 6, 24, 20, 3 628 800, 3 628 800, H 2 + πl H + πl π<
8 Math60-.nb Aplikace funkcí na seznamy Atribut Listable Na chování funkcí (operací) mají vliv jejich tzv. atributy.aritmetické operace, mocnimy, všechny elementární funkce a mnohé další funkce mají atribut Listable, který znamená, že se aplikují na každý člen seznamu automaticky: 8a +8b, c, d<, a 8b, c, d<, 8a, b, c< +8d, e, f<, 8a, b, c< 8d, e, f<< 88a + b, a + c, a + d<, 8a b, a c, a d<, 8a + d, b + e, c + f<, 8a d, b e, c f<< 9a 8b,c,d<, 8a, b, c< d, 8a, b, c< 8d,e,f< = 99a b, a c, a d =, 9a d, b d, c d =, 9a d, b e, c f == V obecném případě máme k dispozici operace Apply, Map a MapAll. Apply 8Apply@f, 8, 2, 3<D, f @@8, 2, 3<< 8f@, 2, 3, 4, 5D, f@, 2, 3, 4, 5D< 8Apply@Plus, 8, 2, 3, 4, 5<D, Times @@8, 2, 3, 4, 5<< 85, 20< Map 8Map@f, 8, 2, 83, 4<<D, fê@8, 2, 83, 4<<< 88f@D, f@2d, f@83, 4<D<, 8f@D, f@2d, f@83, 4<D<< MapAll 8MapAll@f, 8, 2, 83, 4<<D, fêê@8, 2, 83, 4<<< 8f@8f@D, f@2d, f@8f@3d, f@4d<d<d, f@8f@d, f@2d, f@8f@3d, f@4d<d<d< Zobrazování funkcí a seznamů Plot Plot@Sin@3 xd Cos@xD, 8x, π, π<d
Math60-.nb 9 0.5 3 2 2 3 0.5 Plot@ x Cos@4 xd, 8x, 0 π, 0 π<, AspectRatio 0.45D 30 20 0 30 20 0 0 20 30 0 20 30 Plot@ x Cos@4 xd, 8x, 0 π, 0 π<, PlotRange 8 0, 20<, AspectRatio 0.4`D 20 5 0 5 30 20 0 0 20 30 5 0 PlotA9x SinAx 2 E, Sin@3 xd Cos@xD=, 8x, π, π<, PlotStyle 8RGBColor@, 0, 0D, 8Thickness@0.0D, RGBColor@0,, 0D<<, Frame True, GridLines Automatic, AspectRatio 0.5E
20 Math60-.nb 2 0 2 3 2 0 2 3 RegionPlot RegionPlotBê20 Sin@x yd ê0, 8x, π, π<, 8y, π, π<, + x 2 + y2 PlotPoints 50, ImageSize 8400, Automatic<, AspectRatio 0.5F Plot3D Sin@x yd Plot3DB, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints 50, + x 2 + y2 Mesh 30, ImageSize 8400, Automatic<, AspectRatio 0.4F
2 Math60-.nb Sin@x yd Plot3DB + x2 + y2, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints 50, Mesh False, ImageSize 8400, Automatic<, AspectRatio 0.4F ContourPlot Sin@x yd ContourPlotB + x2 + y2, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints 50, Contours 30, ImageSize 8400, Automatic<, AspectRatio 0.4F
22 Math60-.nb Sin@x yd ContourPlotB, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints 50, + x 2 + y2 Contours 8 0.2, 0., 0., 0.2<, ContourLabels Automatic, ContourShading None, ImageSize 8400, Automatic<, AspectRatio 0.4F RegionPlot3D RegionPlot3DAx 2 + y 2 + z 2 π 2 && z Sin@x + yd, 8x, π, π<, 8y, π, π<, 8z, 3, 2<, PlotPoints 50, Mesh 20, ImageSize 8400, Automatic<, BoxRatios 82, 2, <E ListPlot ListPlot@8, 2, 3, 5, 4, 8, 6<, AspectRatio 0.3D
Math60-.nb 23 5 2 3 4 5 6 7 5 ListPlot@88, 2, 3, 5, 4, 8, 6<, 8, 2, 3, 5, 4, 8, 6<<, PlotStyle 8Automatic, 8PointSize@0.02D, RGBColor@, 0, 0D<<, AspectRatio 0.3D 5 5 2 3 4 5 6 7 ListPlot@Table@85 Cos@2 π iê0d, 5 Sin@2 π iê0d<, 8i, 0, 0<D, Joined True, PlotStyle PointSize@0.02D, AspectRatio 0.3D 4 2 4 2 2 4 2 4 Animace Animate Animate@Piecewise@88, x 0<, 8Sin@xDêx, x 0<<D, 8x, 0, π, 0.<, AnimationRepetitions, AppearanceElements "ResetButton"D x 0.0343
24 Math60-.nb ClearAll@MyAnimateD; Options@MyAnimateD = 8TextAlignment Left<; Attributes@MyAnimateD = 8HoldAll<; MyAnimate@expr, options Rule D := Block@8align, ex, opts, opts2<, opts = Options@MyAnimateD; opts2 = Sequence @@ Complement@Options@AnimateD, 8options<D; align = TextAlignment ê. 8options< ê. opts; ex = Animate@expr, opts2 êê EvaluateD; StylePrint@ex, "Graphics", TextAlignment aligndd; MyAnimate@Piecewise@88, x 0<, 8Sin@xDêx, x 0<<D, 8x, 0, π, 0.<, AnimationRepetitions, AppearanceElements "ResetButton"D x 0.0343 MyAnimateAListPlotA9 x 9 CosA x E, SinA x E==, PlotStyle PointSize@0.02D, PlotRange 88 2, 2<, 8 2, 2<<, AspectRatio 0.3E, 8x, 0, 40 π<, AnimationRate 0.025, AnimationRepetitions, AppearanceElements "ResetButton"E 0 5 0 5 5 0 5 0 MyAnimate@Plot@Sin@a xd + Cos@b xd, 8x, 0, 2 π<, AspectRatio 0.3, PlotRange 8 2., 2.<D, 8a,, 0<, 8b, 0, 0<, AnimationRate 0.D 2 2 3 4 5 6 2
Math60-.nb 25 Manipulate ClearAll@MyManipulate D; Options@MyManipulate D = 8TextAlignment Left<; Attributes@MyManipulate D = 8HoldAll<; MyManipulate@expr, options Rule D := Block@8align, ex, opts, opts2<, opts = Options@MyManipulate D; opts2 = Sequence @@ Complement@Options@ManipulateD, 8options<D; align = TextAlignment ê. 8options< ê. opts; ex = Manipulate@expr, opts2 êê EvaluateD; StylePrint@ex, "Graphics", TextAlignment aligndd; MyManipulate@PaddedForm@n!, 30D, 8n, 0, 30, <D n 720 MyManipulate@ Plot@a Sin@xD, 8x, 0, π<, PlotRange 8, <, AspectRatio 0.3D, 8a,, <D.0 0.5 0.5 0.5.0.5 2.0 2.5 3.0.0 MyManipulate@ListPlot@Table@8Cos@2 π kd, Sin@2 π kd<, 8k, 0, n, 0.025<D, PlotStyle PointSize@0.02D, PlotRange 88.2,.2<, 8.2,.2<<, AspectRatio 0.3D, 8n, 0,, 0.025<D.0 0.5.0 0.5 0.5.0 0.5.0
26 Math60-.nb H $RecursionLimit=0 000; $IterationLimit=0 000; LMyManipulateBPlotB 4 π Sin@2 k x + xd, 2 k + k=0 8x, 2 π, 2 π<, PlotPoints 00, AspectRatio 0.4F, 8n, 0, 40, <F n n.0 0.5 6 4 2 2 4 6 0.5.0 Derivace a Taylorův polynom Derivace výrazů Clear@a, b, f, x, yd; expr = a x 4 f@xd Sin@3 yd a x 4 f@xd Sin@3 yd 8D@expr, xd, x expr< êê ColumnForm 4 a x 3 f@xd Sin@3 yd + a x 4 Sin@3 yd f @xd 4 a x 3 f@xd Sin@3 yd + a x 4 Sin@3 yd f @xd 9D@expr, x, xd, D@expr, 8x, 2<D, x,x expr, 8x,2< expr= êê ColumnForm 2 a x 2 f@xd Sin@3 yd + 8 a x 3 Sin@3 yd f @xd + a x 4 Sin@3 yd f @xd 2 a x 2 f@xd Sin@3 yd + 8 a x 3 Sin@3 yd f @xd + a x 4 Sin@3 yd f @xd 2 a x 2 f@xd Sin@3 yd + 8 a x 3 Sin@3 yd f @xd + a x 4 Sin@3 yd f @xd 2 a x 2 f@xd Sin@3 yd + 8 a x 3 Sin@3 yd f @xd + a x 4 Sin@3 yd f @xd
Math60-.nb 27 8D@expr, x, yd, x,y expr< êê ColumnForm 2 a x 3 Cos@3 yd f@xd + 3 a x 4 Cos@3 yd f @xd 2 a x 3 Cos@3 yd f@xd + 3 a x 4 Cos@3 yd f @xd 9D@expr, 8x, 2<, yd, 8x,2<,y expr= êê ColumnForm 36 a x 2 Cos@3 yd f@xd + 24 a x 3 Cos@3 yd f @xd + 3 a x 4 Cos@3 yd f @xd 36 a x 2 Cos@3 yd f@xd + 24 a x 3 Cos@3 yd f @xd + 3 a x 4 Cos@3 yd f @xd Derivace výrazů v bodě 8 x expr, x expr ê. 8x a, y b<< êê ColumnForm@, CenterD & 4 a x 3 f@xd Sin@3 yd + a x 4 Sin@3 yd f @xd 4 a 4 f@ad Sin@3 bd + a 5 Sin@3 bd f @ad 9 8x,2< expr, 8x,2< expr ê. 8x a, y b<= êê ColumnForm@, CenterD & 2 a x 2 f@xd Sin@3 yd + 8 a x 3 Sin@3 yd f @xd + a x 4 Sin@3 yd f @xd 2 a 3 f@ad Sin@3 bd + 8 a 4 Sin@3 bd f @ad + a 5 Sin@3 bd f @ad 8 x,y expr, x,y expr ê. 8x a, y b<< êê ColumnForm@, CenterD & 2 a x 3 Cos@3 yd f@xd + 3 a x 4 Cos@3 yd f @xd 2 a 4 Cos@3 bd f@ad + 3 a 5 Cos@3 bd f @ad 9 8x,2<,8y,3< expr, 8x,2<,8y,3< expr ê. 8x a, y b<= êê ColumnForm@, CenterD & 9 324 a x 2 Cos@3 yd f@xd 26 a x 3 Cos@3 yd f @xd 27 a x 4 Cos@3 yd f @xd, 324 a 3 Cos@3 bd f@ad 26 a 4 Cos@3 bd f @ad 27 a 5 Cos@3 bd f @ad= Derivace funkcí jedné proměnné Příklad Clear@fD; f@x_d := x 3 Cos@xD; 8f', x f@xd, f'@xd< êê ColumnForm@, CenterD & 3 Cos@ D 2 Sin@ D 3 & 3 x 2 Cos@xD x 3 Sin@xD 3 x 2 Cos@xD x 3 Sin@xD
28 Math60-.nb 8f'@πD, x f@xd ê. x π< 9 3 π 2, 3 π 2 = Příklad 2 Clear@fD; f@x_d := PiecewiseA98x + 2, x < <, 9x 2, x < =, 82 x, x<=e; StylePrint@Plot@f@xD, 8x, 2.5`, 2.5`<, AspectRatio 0.4`D, "Graphics"D.0 0.8 0.6 0.4 0.2 2 2 0.2 0.4 f'@xd x < 2 x < x < x > Indeterminate True f'@xd ê. Piecewise List 888, x < <, 82 x, < x < <, 8, x > <<, Indeterminate< 8f'@ 2.D, f'@ 2D, f'@d, f'@.d, f'@2d, f'@2.d< ê. Piecewise List 8,, Indeterminate, Indeterminate,, < Taylorův polynom Clear@fD; T@xD = Series@f@xD, 8x, a, 3<D f@ad + f @ad Hx al + 2 f @ad Hx al 2 + 6 fh3l @ad Hx al 3 + O@x ad 4 T@xD êê Normal f@ad +H a + xl f @ad + 2 H a + xl2 f @ad + 6 H a + xl3 f H3L @ad
Math60-.nb 29 Series@ x, 8x, 0, 8<D + x + x2 2 + x3 6 + x4 24 + x5 20 + x6 720 + x7 5040 + x 8 40 320 + O@xD9 SeriesB x, 8x, 0, 4<F + x + x 2 + x3ê2 6 + x2 24 + x5ê2 20 + x3 720 + x7ê2 5040 + x 4 40 320 + O@xD9ê2 SeriesA êx, 8x,, 6<E + x + 2 x 2 + 6 x 3 + 24 x 4 + 20 x 5 + 720 x 6 + OB x F 7 SeriesB Cos@xD, 8x, 0, 9<F 4 Sin@xD x + 4 6 x 7 457 x2 3287 x4 67 x6 6 954 277 x8 2 360 5 20 362 880 5 702 400 43 589 45 600 + O@xD0 Integrály Neurčité integrály :Integrate@expr@xD, xd, expr@xd x> : expr@xd x, expr@xd x> Příklad Sin@xD 3 x 2 x 3 4 I 2 + x2 M Cos@xD + 08 I 2 + 9 x2 M Cos@3 xd + 3 2 x Sin@xD 8 x Sin@3 xd Příklad 2 I + x 2 M 3 x
30 Math60-.nb 8 x I5 + 3 x 2 M I + x 2 M 2 + 3 ArcTan@xD I3 + 2 x + x 2 M 3 x 64 2 I3 + 9 x + 9 x 2 + 3 x 3 M + 3 2 ArcTanB + x F I3 + 2 x + x 2 M 2 2 Příklad 3 Clear@f, gd; f@x_d := PiecewiseA98x + 2, x < <, 9x 2, x < =, 82 x, x<=e; g@x_d = Integrate@f@xD, xd; g@xd 2 x + x2 2 7 6 + x3 3 7 3 + 2 x x2 2 x < x True Plot@g@xD, 8x, 2, 2<D 0.5.0.5 2 2 Určité integrály funkcí jedné proměnné b Integrate@expr, 8x, a, b<d === expr x a Options@IntegrateD 8Assumptions $Assumptions, GenerateConditions Automatic, PrincipalValue False<
Math60-.nb 3 Příklad I + x 2 M 3 x 3 π 8 Příklad 2 Clear@fD; f@x_d := PiecewiseA98x + 2, x < <, 9x 2 +, x < =, 82 x, x<=e; 5 5 f@xd x 6 3 Příklad 3 x x a IfBRe@aD >, + a, Integrate@x a, 8x,, <, Assumptions Re@aD DF IntegrateB, 8x,, <, Assumptions 8a > <F xa + a Příklad 4 0 x x a IfBRe@aD <, a, Integrate@x a, 8x, 0, <, Assumptions Re@aD DF IntegrateB, 8x, 0, <, Assumptions 8a < <F xa a
32 Math60-.nb Příklad 5 2 x H Chybný výsledek pro a= L xa 2 a H 2 + 2 a L + a Příklad 5 SetOptions@Integrate, GenerateConditions FalseD 8Assumptions $Assumptions, GenerateConditions False, PrincipalValue False< : x x, 2 a 0 x x, x> a xa : + a, a, 2 a H 2 + 2 a L > + a SetOptions@Integrate, GenerateConditions AutomaticD; Určité integrály funkcí více proměnných π Sin@xD Sin@xD y 3 y x êê 8, N@, 25D< & 0 0 : 4 5, 0.2666666666666666666666667> 0 BooleA4 x 2 + 9 y 2 36E y x êê 8, N@, 25D< & 83 π, 9.42477796076937975387930< 0 0 0 x y z + x 2 + y 2 + z 2 BooleAx2 + y 2 + z 2 E x y z êê 8, N@, 25D< & : H + Log@4DL, 0.0207698784996588385770> 32 0 Abs@z xd BooleAx 2 4 4 z && y 2 4 4 ze x y z êê 8, N@, 25D< & : 8 J 499 + 288 2 N, 6.98764504037048339342> 05
Math60-.nb 33 Numerická integrace Options@NIntegrateD 8AccuracyGoal, Compiled Automatic, EvaluationMonitor None, Exclusions None, MaxPoints Automatic, MaxRecursion Automatic, Method Automatic, MinRecursion 0, PrecisionGoal Automatic, WorkingPrecision MachinePrecision< Příklad IntegrateA x x, 8x, 0, <E êê N 0.886227 NIntegrateA x x, 8x, 0, <, WorkingPrecision 20E 0.88622692545275879389 IntegrateA x x, 8x, 0, <E êê N@, 20D & 0.8862269254527580365 Příklad 2 x y z expr = + x 2 + y 2 + z 2 BooleAx2 + y 2 + z 2 E; NIntegrate@expr, 8x, 0, <, 8y, 0, <, 8z, 0, <D 0.02077 NIntegrate@expr, 8x, 0, <, 8y, 0, <, 8z, 0, <, WorkingPrecision 20D êê Timing NIntegrate::slwcon: Numerical integration converging too slowly; suspect one of the following: singularity, value of the integration is 0, highly oscillatory integrand, or WorkingPrecision too small. à 82., 0.020769878499807588< NIntegrate@expr, 8x, 0, <, 8y, 0, <, 8z, 0, <, MaxRecursion 0, MinRecursion 0, WorkingPrecision 20D êê Timing 836.25, 0.0207698784996688209<