Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Transkript

1 Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23

2 Obsah Neurčitý integrál 2 Integrace metodou per partes 3 Substituční metoda integrace Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 23

3 Neurčitý integrál Neurčitý integrál Necht f : I R je funkce definovaná na intervalu I. Pokud platí F () = f () I, pak funkci F nazveme primitivní funkcí k funkci f na intervalu I. Množinu všech primitivních funkcí {F() + c} k funkci f na intervalu I nazveme neurčitým integrálem funkce f na I a píšeme f () d = F() + c, kde c R je tzv. integrační konstanta. Eistuje-li neurčitý integrál funkce f na I, pak říkáme, že f je integrovatelná na I. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 23

4 Neurčitý integrál Primitivní funkce je určena jednoznačně až na integrační konstantu. Jelikož ( 2 ) = 2, je funkce 2 primitivní funkcí k funkci 2. Podobně ( ) = 2 a ( 2 8 ) = 2. Tedy 2 + c je primitivní funkcí k funkci 2 pro libovolné c R a 2 d = 2 + c. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 23

5 Neurčitý integrál Ale ( ) 2 cos 2 = sin 2 a ( sin 2 ) = sin 2. Jak se od sebe liší obě funkce? ( 2 cos 2) sin 2 = = 2 Tedy obě primitivní funkce k funkci sin 2 se od sebe liší pouze o konstantu. Primitivní funkce F je vždy spojitá funkce, nebot k ní eistuje derivace (F je diferencovatelná). Integrál je jakoby antiderivace (integrováním získáme ze známé derivace zpět původní funkci). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 23

6 Neurčitý integrál Postačující podmínka eistence neurčitého integrálu Je-li funkce f spojitá v intervalu I, pak je zde integrovatelná. Eistují spojité funkce, jejichž primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí konečného počtu elementárních funkcí: sin 2, cos 2, e 2, e 2, e, sin, cos, + 3 K těmto funkcím sice primitivní funkce eistují, ale nelze je vyjádřit pomocí elementárních funkcí v konečném tvaru. Integrál takové funkce představuje neelementární funkci, kterou nazýváme vyšší transcendentní funkce. Obecně nelze říci, zda se nám nedaří najít primitivní funkci protože jsme použili nevhodnou metodu, ji nelze vyjádřit v konečném tvaru. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 23

7 Neurčitý integrál U některých integrálů víme: e 2 d (Gaussova funkce) e d = ln d (integrální logaritmus) sin cos d (integrální sinus) d (integrální kosinus) d, k < (eliptický integrál prvního druhu) k 2 sin 2 sin 2 d, cos 2 d (Fresnelovy integrály) Integrály tohoto typu se vyskytují v řadě praktických aplikací, např. v teorii chyb, pravděpodobnosti a statistice, při výpočtu vlnové funkce. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 23

8 Neurčitý integrál Vzorce pro výpočet neurčitých integrálů Necht A, B, a, b, c, k, n R, A > 0, a 0 a n. Potom k d = k + c d = tg + c cos 2 n d = n+ n+ + c d = cotg + c sin 2 d = ln + c d = 2 +A 2 A arctg A + c e d = e + c a d = a ln a + c ( d = ) a > 0 2 A 2 2A ln A +A + c a sin d = cos + c A d = arcsin 2 2 A + c cos d = sin + c d = ln + 2 ± B + c 2 ±B Důležité integrály: f () f () d = ln f () + c f (a + b) d = af(a + b) + c Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 23

9 Neurčitý integrál Kdy/kde se dá funkce integrovat? f () = 2, D(f ) = R F() = 2 d = c, D(F) = R Lze integrovat všude bez omezení. f () = cos 2, D(f ) = R { π 2 + kπ }, k Z F() = { π } cos 2 d = tg + c, D(F) = R 2 + kπ, k Z Lze integrovat pouze na intervalech, které neobsahují body π 2 + kπ, k Z. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 23

10 Neurčitý integrál Odkud se vzala absolutní hodnota v logaritmu v integrálu d = ln + c? Řešení: (0, ) : [ln()] =, d = ln() + c (, 0) : [ln( )] = ( ) =, d = ln( ) + c Tedy d = ln + c. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 0 / 23

11 Neurčitý integrál Necht f a g jsou integrovatelné funkce na intervalu I a necht a, b jsou reálná čísla. Pak na intervalu I platí [af () ± bg()] d = a f () d ± b g() d. (3 3 sin + 5 ) d = 3 3 d sin d + /5 d = c + cos + c 2 + 6/5 6/5 + c 3 = cos c. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23

12 Neurčitý integrál Spočtěte integrály: (a) ( ) (b) 3 2 ( 2 + ) d (c) Řešení: d d (a) ln + c (b) c (c) ln c Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 23

13 Neurčitý integrál f (a + b) d = af (a + b) + c Integrujte: (a) [cos( + 6) sin 2 e ] d (b) (3 5) 3 d (c) 4 sin 2 (5 2) d Řešení: (a) sin( + 6) + 2 cos(2) + e + c (b) 2 (3 5)4 + c (c) 2 cotg(5 2) + c Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 23

14 f () f () Integrujte: d = ln f () + c (a) e + e d (b) d (c) (cotg + tg ) d Řešení: (a) ln e c (b) 4 ln c (c) ln sin ln cos + c Neurčitý integrál Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 23

15 Neurčitý integrál Integrujte: (a) [ ] d d = 2 +A 2 A arctg A + c (b) 3 d (c) d (d) d [ ] d = 2 A 2 2A ln A +A + c [ ] A d = arcsin 2 2 A + c [ d = ln + ] 2 ± B + c 2 ±B (e) d [doplnění na čtverec + vztah (b) nebo parc. zlomky] Řešení: (a) 2 arctg c (b) 8 ln c 3+4 (c) arcsin c (d) ln c (e) 4 ln + c +5 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 23

16 Metoda per partes Integrace metodou per partes Plyne z pravidla pro derivaci součinu: (u v) = u v + u v u v = u v d + u v d u()v () d = u()v() u ()v() d Použití při integraci součinu dvou funkcí: P()e a d, P() sin(a) d, P() arctg d, e a cos(b) d, a, b R Necht funkce u a v jsou diferencovatelné na intervalu I. Pak na I platí u()v () d = u()v() u ()v() d, jestliže integrál na pravé straně rovnosti eistuje. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 23

17 Integrace metodou per partes Strategie pro metodu per partes Jako funkci u volíme zpravidla takovou funkci, která se při derivování zjednoduší. Necht P n () je polynom stupně n, a R, a integrujeme součin P n ()f () d. Je-li f () funkce e a, sin(a), cos(a), pak volíme u = P n (). Je-li f () funkce ln, arcsin, arccos, arctg, arccotg, pak volíme u = f () (i v případě P n () = ). Metodu per partes lze použít i opakovaně. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 23

18 Integrace metodou per partes Spočtěte (a) sin d (b) 3 2 ln 2 d Řešení: (a) Per partes: u =, v = sin sin d = cos + sin + c (b). per partes: u = ln 2, v = per partes: u = ln, v = ln 2 d = 3 ln ln c Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 23

19 Integrace metodou per partes Integrujte metodou per partes: (a) 2 e d [ u = 2, v = e ] (b) ln (2 + 4) d [u = ln (2 + 4), v = ] (c) arctg 2 d [u = arctg 2, v = ] (d) e cos d [u = e, v = cos ] Řešení: (a) e ( ) + c (b) ln(2 + 4) + 2 ln( + 2) + c (c) arctg 2 4 ln ( ) + c (d) 2 e (sin + cos ) + c Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 23

20 Substituční metoda integrace Substituční metoda I Plyne z pravidla pro derivaci složené funkce: F () = f () [F(g())] = F (g()) g () = f (g()) g () F (g()) g () d = f (g()) g () d f (g()) g g() = t () d = g () d = dt = f (t) dt = F(t) + c = F (g()) + c Použití pro výpočet některých integrálů ze složených funkcí a také pro výpočet některých integrálů ze součinu či podílu funkcí. Jestliže funkce f g, g jsou definovány na nějakém intervalu I a f (t) dt = F(t) + c, potom na tomto intervalu platí f (g()) g () d = F(g()) + c. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 20 / 23

21 Substituční metoda integrace Substitucí lze snadno odvodit známé vztahy: f () a) d = ln f () + c, b) f (a + b) d = F(a + b) + c. f () a Řešení: a) f () f () d = f () = t f () d = dt = dt t = ln t + c = ln f () + c b) a + b = t f (a + b) d = a d = dt = a f (t) dt = a F(t) + c = af(a + b) + c sin(ln ) d = cos(ln ) + c [ln = t] Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 23

22 Substituční metoda integrace Substituční metoda II Opět plyne z pravidla pro derivaci složené funkce: = g(t) f () d = d = g (t)dt = f (g(t)) g (t) dt = G(t) + c = G ( g () ) + c Jestliže funkce f g, g jsou definovány na nějakém intervalu I a jestliže navíc eistuje g a f (g(t)) g (t) dt = G(t) + c, potom na tomto intervalu platí f () d = G(g ()) + c. + d = 2 ( arctg ) + c [ = t = t 2 ] Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 22 / 23

23 Substituční metoda integrace Integrujte pomocí substituce (a) d (b) 2 2 cos 2 ( 3 +) d (c) e cos2 sin 2 d [2 8 = t] [ 3 + = t ] [ cos 2 = t ] (d) ln(arctg ) d [ln(arctg ) = t] (+ 2 ) arctg (e) 2 2 d [ = sin t] Řešení: (a) c (b) 2 3 tg( 3 + ) + c (d) 2 [ln(arctg )]2 + c (e) arcsin c (c) e cos2 + c Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 23 / 23