Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce"

Transkript

1 Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních lomených funkcí Metoda per partes. substituční metoda Integrace goniometrických funkcí. substituční metoda Integrace iracionálních funkcí Gottfried Wilhelm Leibniz

2 Primitivní funkce Definice (primitivní funkce) Říkáme, že funkce F je primitivní funkce k funkci f na otevřeném intervalu I, jestliže pro všechna I platí F () = f(). Je-li F primitivní funkce k funkci f na intervalu I, pak také funkce F + c, kde c R je libovolná konstanta, je primitivní funkce k funkci f na I. Platí totiž [F () + c] = F () + c = F () + 0 = f() Má-li funkce f na daném intervalu primitivní funkci, není tato funkce jediná. Primitivních funkcí je nekonečně mnoho a liší se pouze konstantou. Konstanta c se nazývá aditivní konstanta. Věta (jednoznačnost primitivní funkce) Primitivní funkce je k dané funkci určena jednoznačně až na aditivní konstantu. Příklad (primitivní funkce) Protože platí ( ) =, ( ) + =, ( ) =, jsou funkce primitivní funkce k funkci., +, Každá funkce tvaru F () = + c pro libovolné c R je primitivní k funkci f() =. Žádné jiné primitivní funkce k funkci nelze najít.

3 Neurčitý integrál Definice (neurčitý integrál) Množinu všech primitivních funkcí k dané funkci f na intervalu I nazveme neurčitý integrál funkce f a píšeme f() d = F () + c, kde F je libovolná primitivní funkce k funkci f a c je libovolná reálná konstanta. Platí F () = f(). Funkce f() se nazývá integrand. Konstanta c se nazývá integrační konstanta. Symbol je integrační znak. Výraz d je diferenciál integrační proměnné. Postup, kterým určujeme primitivní funkci k dané funkci f, nazýváme integrování. Je to opak derivování. Poznámka (vztah neurčitého integrálu a derivace) Platí ( f() d) = f() a F () d = F () + c Věta (o eistenci primitivní funkce) Ke každé funkci spojité na otevřeném intervalu I eistuje na tomto intervalu funkce primitivní. Definice (integrovatelná funkce) Eistuje-li k funkci f na intervalu I primitivní funkce, pak říkáme, že funkce f je na intervalu I integrovatelná. Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak je na tomto intervalu integrovatelná.

4 Základní vlastnosti a vzorce Věta (pravidla - vlastnosti neurčitého integrálu) Necht f a g jsou funkce integrovatelné na intervalu I a necht c R je reálné číslo. Pak na intervalu I platí: [f() ± g()] d = f() d ± g() d c f() d = c f() d Poznámka Neeistují podobná pravidla pro integrování součinu, podílu a složené funkce. Základní vzorce pro integrování 6 d = + c n d = n+ + c, kde n n + d = ln + c e d = e + c, a d = a ln a + c sin d = cos + c, cos d = sin + c sin d = cotg + c, cos d = tg + c Vzorec č. d = Lze psát d = + c je speciálním případem vzorce č. pro n = 0: 0 d = c = + c. d místo d, d sin místo sin d apod.

5 Příklad (základní vzorce -6) ( ) = + + c d = ( ) d = = ( ) d = ( ) d = = = + c ( ) + e d = ln + e ln + c ( sin cos ) d = cos sin + c ( sin ) cos d = cotg tg + c Funkce s lineární vnitřní složkou Základní vzorec - funkce s lineární vnitřní složkou 7 f(a + b) d = F (a + b) + c a Příklad (lineární vnitřní složka) 6 sin d = cos + c cos d = d = d = + sin + c = sin + c ( ) d = d = ln + c e d = e + c ( + ) d = ( ) ( + ) = 9 ( ) + c = + + c

6 Zlomek s derivací jmenovatele v čitateli Základní vzorec - zlomek s derivací jmenovatele v čitateli 8 f () f() d = ln f() + c Příklad (derivace jmenovatele v čitateli) d = ln + c d = d = ln + c sin sin tg d = cos d = d = ln cos + c cos cos cotg d = d = ln sin + c sin sin sin d = d = ln + cos + c + cos + cos Základní vzorce - pokračování Základní vzorce pro integrování 9 0 A + d = A arctg A + c A d = A ln A + A + c Příklad (základní vzorce 9-0) + d = d = + 9 d = d = + + ( ) d = arctg + c d = ln + + c = ln + + c + + ( ) d = arctg + c = 6 arctg + c d = ln + + c

7 Základní vzorce pro integrování A d = arcsin A + c + ± B d = ln + ± B + c Příklad (základní vzorce -) d = arcsin + c d = d = 6 9 = arcsin + c d = + + d = ln + + c ( ) d = arcsin + c = d = ln c Úpravy integrandu Rozšíření zlomku vhodnou konstantou Příklad e e d = e e d = ln e + c d = + d = ln + + c cos sin d = cos sin d = ln sin + c

8 Umocnění a roznásobení výrazů Příklad ( ) d = ( ) ( + ) d = + d = = ( ) + = ln + + c = c d = ( ) + 0 d = ln + + c = Rozdělení zlomku na jednodušší zlomky Příklad + d = ( + ) d = ( ) + d = = ln + + c = ln + c ( ) + d = d = + d = = + d = + + c = + + c ( + d = + + = ln + arctg + c ) d = + d + d =

9 Doplnění kvadratického trojčlenu na čtverec U integrálů typu a +b+c d, a +b+c d s členem b 0 nejdříve kvadratický výraz a +b+c ve jmenovateli doplníme na čtverec pomocí známých vzorců (a ± b) = a ± ab + b a dále integrujeme podle A + d = A arctg A + c, nebo A d = arcsin A + c, A d = A ln A + A + c, ± B d = ln + ± B + c Příklad (doplnění na čtverec) + + d = d = = ln + ( ) ( ) + c = ln + 9 d = ( ) + = ln c d = + = d = arcsin ( ) ( + ) + d = arctg + + c ( ) d = ( ) d = + c d = ( ) d = + c = arcsin [ ] d = ( ) + c

10 Použití goniometrických vzorců tg = sin cos, cos cotg = sin, sin + cos =, sin = sin cos, cos = cos sin Příklad (použití goniometrických vzorců) sin tg d = cos d = ( ) = cos d = tg + c sin sin cos cos d = cos d = = tg + ln cos + c cos cos d = ( ) cos cos cos d = ( cos sin ) cos d = cos cos sin d = sin sin sin sin d = sin d = sin ( ) sin d = sin d = cotg + c

11 Integrace jednoduchých racionálních lomených funkcí. Neryze lomená racionální funkce Neryze lomenou racionální funkci nejprve upravíme na součet polynomu a ryze lomené racionální funkce tím, že čitatel vyděĺıme jmenovatelem. Příklad (vydělení čitatele jmenovatelem) 9 d = ( ( 9) : ( ) = +6 ( 6) 6 9 (6 8) 9 ) d = ln + c Příklad (vydělení čitatele jmenovatelem) + d = ( + + : ( + ) = ( + ) ( ) + ) + d = ( ( + + ) : ( + ) = ( + ) = + ln + + c ) d = + arctg + c d = ( + ) + d =

12 . Ryze lomená racionální funkce - zlomky Ryze lomenou racionální funkci tvaru (a + b) n podle základních vzorců n d = n+ n + + c, d = ln + c a pomocí integrace funkce s lineární vnitřní složkou f(a + b) d = F (a + b) + c a (a + b) n, kde n, integrujeme Příklad (ryze lomená racionální funkce) d = ln + c ( ) d = ( ) d = ( ) = ( ) + c. Ryze lomená racionální funkce - zlomky Ryze lomenou racionální funkci tvaru a + b + c a + b + c integrujeme doplněním jmenovatele na čtverec pomocí (a ± b) = a ± ab + b a podle základních vzorců A + d = A arctg A + c A d = A ln A + A + c, případně pomocí integrace funkce s lineární vnitřní složkou f(a + b) d = F (a + b) + c a Příklad (ryze lomená racionální funkce) + 0 d = ( ) + 6 d = arctg + c 6 6 d = ( ) 9 d = 9 ( ) d = = ln + ( ) ( ) = 6 ln + + c

13 . Ryze lomená racionální funkce - zlomky Integrály typu k + q a + b + c k + q a + b + c d rozděĺıme úpravou na součet dvou integrálů. Čitatele zlomku nejprve upravíme tak, aby byl součtem dvou sčítanců - první sčítanec je derivací jmenovatele a druhý je konstanta. Původní integrál pak rozděĺıme na dva integrály, které integrujeme následovně: první podle vzorce f () d = ln f() + c, f() druhý po případném doplnění jmenovatele na čtverec pomocí jednoho ze vzorců A + d = A arctg A + c, A d = A ln A + A + c Příklad (ryze lomená racionální funkce - zlomky d = d k + q a + b + c ) = d = + 8 d + = ln d ( ) + d = ln arctg + c

14 Metoda per partes Věta (metoda per partes (po částech)) Necht funkce u a v mají na intervalu I spojité derivace. Pak na tomto intervalu platí u ()v() d = u()v() u()v () d. Je vhodná pro integrály, jejichž integrand má tvar součinu. Metoda vede k cíli, umíme-li vypočítat integrál uv d na pravé straně. Poznámka Při použití metody per partes je důležitá volba funkcí v a u : za funkci v voĺıme tu z funkcí, kterou neumíme integrovat; funkci v derivujeme, funkci u integrujeme (musíme ji umět integrovat!), umíme-li integrovat obě funkce v součinu funkcí na levé straně, voĺıme za funkci v tu, která se derivací více zjednoduší. Typy integrálů řešitelných metodou per partes Necht P () je polynom. P ()e d, P ()a d, P ()sin d, P ()cos d Voĺıme v = P () a polynom derivujeme, druhou funkci integrujeme. Derivací polynomu snížíme jeho stupeň. Metodu per partes použijeme tolikrát, kolik je stupeň polynomu P (). P ()arctg d, P ()arccotg d P ()arcsin d, P ()arccos d P ()ln m d, kde m Voĺıme u = P () a polynom integrujeme, druhou funkci derivujeme. Polynom P () může být stupně 0, tj. P () =.

15 Příklad (per partes - derivace polynomu) cos d = v = u = cos = v = v = u = sin u = cos = sin + cos sin + c ( + ) e d = v = + v = u = e u = e = ( + )e e + c = ( + ) e + c v = u = sin = sin sin d = [ ] = sin cos + cos d = = ( + )e + e d = Příklad (per partes - integrace polynomu) ln d = = ln v = ln u = v = u = d = ln = ln d = + c = 9 ( ln ) + c v = arctg v arctg d = = + u = u = = arctg = arctg + d = arctg ln( + ) + c v = ln v ln d = = u = u = = ln = ln d = ln + c d = + d =

16 Substituční metoda Věta (. substituční metoda, t = ϕ()) Necht funkce f(t) je spojitá na otevřeném intervalu I a necht funkce ϕ() má na otevřeném intervalu J spojitou derivaci, přičemž pro každé J platí ϕ() I. Pak je funkce f[ϕ()]ϕ () spojitá na intervalu J a na tomto intervalu platí f [ϕ()] ϕ () d = f(t) dt, dosadíme-li do výrazu na pravé straně t = ϕ(). Substituce se používá při integrování funkcí typu složená funkce f[ϕ()] násobená derivací její vnitřní složky ϕ (). Poznámka (. substituční metoda, t = ϕ()) Integraci provádíme podle schématu: t = ϕ() f [ϕ()] ϕ () d = diferencujeme dt = ϕ () d = f(t) dt = F (t) + c = F [ϕ()] + c Vnitřní složku ϕ() nahradíme novou proměnnou t, tedy provedeme substituci t = ϕ(). Levou a pravou stranu substituční rovnice diferencujeme podle příslušné proměnné a dostaneme rovnost diferenciálů dt = ϕ () d. Dosadíme ϕ() = t a ϕ () d = dt do původního integrálu a obdržíme integrál f(t) dt, jehož výpočet je jednodušší. Po nalezení primitivní funkce F k funkci f vrátíme do výsledku původní proměnnou tím, že zpětně dosadíme t = ϕ().

17 Příklad (. substituční metoda) t = cos cos sin d = dt = sin d sin d = dt = = cos6 + c t = e d = dt = d d = = dt t dt = t6 6 + c = e t dt = et + c = = e + c sin d = t = dt = d d = dt = sin t dt = cos t + c = cos + c Příklad (. substituční metoda) t = d = dt = d d = dt = t dt = t dt = 6 t ( ) + c = + c = t + c = 8 8 (ln ) t = ln d = d = dt = ( t ) dt = t t + c = = ln (ln ) + c cos t = + sin + sin d = dt = cos d cos d = = dt t dt = t dt = = t + c = t + c = ( + sin ) + c

18 Integrace jednoduchých výrazů s goniometrickými funkcemi Goniometrické funkce - substituce Můžeme-li integrál typu R(sin, cos ) d, kde R je racionální lomená funkce, upravit na tvar R(sin ) cos d, voĺıme substituci t = sin dt = cos d R(cos ) sin d, voĺıme substituci t = cos dt = sin d Pro převod jedné goniometrické funkce na druhou používáme vztahy sin + cos = sin = cos, cos = sin Příklad (goniometrické funkce) cos d = cos cos d = ( sin )cos d = = t = sin dt = cos d = ( t ) dt = t t + c = sin sin + c sin cos d = t = cos cos sin d = dt = sin d sin d = dt = t dt = = t dt = ( ) t = t + c = cos + c sin + cos d = sin cos sin d = sin d = + cos + cos t = cos = dt = sin d t t sin d = dt = + t dt = t + dt = ( = t + ) dt = t t + ln t + + c = t + = cos cos + ln cos + + c

19 Substituční metoda Věta (. substituční metoda, = ϕ(t)) Necht funkce f() je spojitá na otevřeném intervalu I a necht funkce ϕ(t) má na otevřeném intervalu J spojitou nenulovou derivaci a platí ϕ(j) = I (tj. ϕ zobrazuje interval J na interval I). Potom na intervalu I platí f() d = f [ϕ(t)] ϕ (t) dt, dosadíme-li do výrazu vpravo t = ϕ (), kde ϕ je inverzní funkce k funkci ϕ. Vztah vznikne použitím. substituční metody v opačném směru. Poznámka (. substituční metoda, = ϕ(t)) Integraci provádíme podle schématu: = ϕ(t) f() d = diferencujeme d = ϕ (t) dt = f[ϕ(t)]ϕ (t) dt = F (t) + c = F [ϕ ()] + c Substituci provádíme tak, že do funkce f vložíme vnitřní složku ϕ(t). Postupujeme analogicky jako u substituce předchozího typu. Získaná složená funkce f[ϕ(t)]ϕ (t) na pravé straně vypadá komplikovaněji než původní integrand f() a před další integrací je potřeba ji upravit. Substituci však voĺıme tak, abychom po úpravě vpravo získali jednodušší integrál. Ve výsledku vpravo, kde F (t) je primitivní funkce k funkci f[ϕ(t)]ϕ (t), je třeba dosadit za t funkci proměnné, tj. inverzní funkci ϕ k funkci ϕ.

20 Příklad (. substituční metoda) d = t = = t t t d = t dt = t dt = t t dt = ( = t + ) dt = t t ln t + c = t = ln + c d ( + ) = t = = t d = t dt = = arctg t + c = arctg + c t (t + )t dt = t + dt = Integrace jednoduchých iracionálních funkcí Odmocnina z lineárního výrazu U integrálu typu R(, n a + b) d, kde R je racionální lomená funkce, n N, a, b R voĺıme substituci t = n a + b, tj. a + b = t n, která daný integrál převede na integrál z racionální lomené funkce.

21 Příklad (odmocnina z lineárního výrazu) t = = t d = = (t + ) = t t d = t dt + t dt = = t t + dt = t + t dt = ( ) + t dt = + = t arctg t + c = arctg + c + d = t = + + = t = t (t d = t dt = ) (t t dt = )t t ( = t dt = + ) ( t dt = ) t dt = ( t + ) : (t ) = ( t + ) = t ln + t t + c = + ln c Různé n-té odmocniny U integrálu typu R(, n, n,..., n k ) d, kde R je racionální lomená funkce, n, n... n k N, voĺıme substituci t = s, tj. = t s, kde s je nejmenší společný násobek čísel n, n,..., n k, která daný integrál převede na integrál z racionální lomené funkce. Příklad (iracionální funkce - různé n-té odmocniny) + d = t = 6 = t 6 t d = 6t dt = + (t t 6t dt = 6 + t ) dt = ( ) t = 6 + t + c = c

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro

Více

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. .. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I. KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace

Více

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /

Více

Integrální počet funkcí jedné proměnné

Integrální počet funkcí jedné proměnné Integrální počet funkcí jedné proměnné V diferenciálním počtu jsme určovali derivaci funkce jedné proměnné a pomocí ní vyšetřovali řadu vlastností této funkce. Pro připomenutí: derivace má uplatnění tam,

Více

II. 3. Speciální integrační metody

II. 3. Speciální integrační metody 48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]

7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a] KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních

Více

1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů

1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

1 Neurčitý integrál 1.1 NEURČITÝ INTEGRÁL

1 Neurčitý integrál 1.1 NEURČITÝ INTEGRÁL 1 Neurčitý integrál 1.1 NEURČITÝ INTEGRÁL V předchozím semestru jsme se seznámili s derivováním funkcí. Nyní se přesuneme k integrování funkce, což je vlastně zpětný proces k derivaci. Ukážeme si, jakým

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA II Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..0/..5./006

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 0 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

7 Integrální počet funkce

7 Integrální počet funkce 7 Integrální počet funkce jedné proměnné 7.. Úvodní historické poznámky........................................... 65 7.2. Primitivní funkce...................................................... 66 7.3.

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu Z..07/..00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím IT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím IT

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3

x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3 I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d.

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST Příklad Vypočítejte určité integrály: a) +)d b) 5sin) d c) d d) d e) d f) g) d d h) tgd i) d j) d k) arctg) d l) d m) sin d n) ) d o) p) q) r) s) d d ) d d d t) +d u) d v) d ŘEŠENÉ

Více

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.

Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe. Kapitola Neurčitý integrál Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.. Primitivní funkce... Primitivní funkce Funkce F se nazývá primitivní k funkci f

Více

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ VÝPOČET PECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Pro různé situace se hodí různé metody (výpočtu!). Jak již bylo několikrát zdůrazněno,

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0307. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0307. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/34.0 Zlepšení podmínek pro

Více

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo 7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

Teorie měření a regulace

Teorie měření a regulace Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Matematika II: Řešené příklady

Matematika II: Řešené příklady Matematika II: Řešené příklady Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Řešené příklady Integrální počet funkcí jedné

Více

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

MATEMATIKA K ZÁKLADŮM FYZIKY 2 (prezenční studium) RNDr. Jiří Lipovský, Ph.D.

MATEMATIKA K ZÁKLADŮM FYZIKY 2 (prezenční studium) RNDr. Jiří Lipovský, Ph.D. MATEMATIKA K ZÁKLADŮM FYZIKY (prezenční studium) RNDr. Jiří Lipovský, Ph.D. Hradec Králové 8 Obsah Komplení čísla 5. Algebraický, goniometrický a eponenciální tvar kompleního čísla 5. Moivreova věta, mocnina

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ

MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM MATEMATICKÁ ANALÝZA RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc., RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc., Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 8 Moravská vysoká škola

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

kuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost

kuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost . cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f()

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou 4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Blok 1. KMA/MA2M Matematická. Primitivní funkce. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci

Blok 1. KMA/MA2M Matematická. Primitivní funkce. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/..00/8.0141 KMA/MAM Matematická analýza Primitivní funkce Blok 1 1 Definice a základní vlastnosti Definice 1.1

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

Limita ve vlastním bodě

Limita ve vlastním bodě Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306 ..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Část pracovní verze kapitoly o integračních technikách z připravovaných skript o integrálním počtu (autoři P.Ř. a V.Ž.)

Část pracovní verze kapitoly o integračních technikách z připravovaných skript o integrálním počtu (autoři P.Ř. a V.Ž.) Část pracovní verze kapitoly o integračních technikách z připravovaných skript o integrálním počtu (autoři P.Ř. a V.Ž.) Obsah I Integrační techniky 5 Základní metody........................... 5. Elementární

Více

Derivace úvod. Jak zjistit míru změny?

Derivace úvod. Jak zjistit míru změny? Derivace úvod P ČEZ Jak zjistit míru změny? Derivace nám dá odpověď jestli je funkce: rostoucí/klesající konkávní/konvení jak moc je strmá jak moc roste kde má maimum/minimum 1000 700 P ČEZ P ČEZ 3% 4%

Více

4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE

4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE 4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány goniometrické rovnice a nerovnice; jak se řeší základní typy goniometrických rovnic a nerovnic. Klíčová slova této

Více

7. Aplikace derivace

7. Aplikace derivace 7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

MATEMATIKA K ZÁKLADŮM FYZIKY 2 (kombinované studium) RNDr. Jiří Lipovský, Ph.D.

MATEMATIKA K ZÁKLADŮM FYZIKY 2 (kombinované studium) RNDr. Jiří Lipovský, Ph.D. MATEMATIKA K ZÁKLADŮM FYZIKY (kombinované studium) RNDr. Jiří Lipovský, Ph.D. Hradec Králové 8 Obsah Komplexní čísla 5. Algebraický, goniometrický a exponenciální tvar komplexního čísla 5. Moivreova věta,

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně LDF)

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více