Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Transkript

1 Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních lomených funkcí Metoda per partes. substituční metoda Integrace goniometrických funkcí. substituční metoda Integrace iracionálních funkcí Gottfried Wilhelm Leibniz

2 Primitivní funkce Definice (primitivní funkce) Říkáme, že funkce F je primitivní funkce k funkci f na otevřeném intervalu I, jestliže pro všechna I platí F () = f(). Je-li F primitivní funkce k funkci f na intervalu I, pak také funkce F + c, kde c R je libovolná konstanta, je primitivní funkce k funkci f na I. Platí totiž [F () + c] = F () + c = F () + 0 = f() Má-li funkce f na daném intervalu primitivní funkci, není tato funkce jediná. Primitivních funkcí je nekonečně mnoho a liší se pouze konstantou. Konstanta c se nazývá aditivní konstanta. Věta (jednoznačnost primitivní funkce) Primitivní funkce je k dané funkci určena jednoznačně až na aditivní konstantu. Příklad (primitivní funkce) Protože platí ( ) =, ( ) + =, ( ) =, jsou funkce primitivní funkce k funkci., +, Každá funkce tvaru F () = + c pro libovolné c R je primitivní k funkci f() =. Žádné jiné primitivní funkce k funkci nelze najít.

3 Neurčitý integrál Definice (neurčitý integrál) Množinu všech primitivních funkcí k dané funkci f na intervalu I nazveme neurčitý integrál funkce f a píšeme f() d = F () + c, kde F je libovolná primitivní funkce k funkci f a c je libovolná reálná konstanta. Platí F () = f(). Funkce f() se nazývá integrand. Konstanta c se nazývá integrační konstanta. Symbol je integrační znak. Výraz d je diferenciál integrační proměnné. Postup, kterým určujeme primitivní funkci k dané funkci f, nazýváme integrování. Je to opak derivování. Poznámka (vztah neurčitého integrálu a derivace) Platí ( f() d) = f() a F () d = F () + c Věta (o eistenci primitivní funkce) Ke každé funkci spojité na otevřeném intervalu I eistuje na tomto intervalu funkce primitivní. Definice (integrovatelná funkce) Eistuje-li k funkci f na intervalu I primitivní funkce, pak říkáme, že funkce f je na intervalu I integrovatelná. Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak je na tomto intervalu integrovatelná.

4 Základní vlastnosti a vzorce Věta (pravidla - vlastnosti neurčitého integrálu) Necht f a g jsou funkce integrovatelné na intervalu I a necht c R je reálné číslo. Pak na intervalu I platí: [f() ± g()] d = f() d ± g() d c f() d = c f() d Poznámka Neeistují podobná pravidla pro integrování součinu, podílu a složené funkce. Základní vzorce pro integrování 6 d = + c n d = n+ + c, kde n n + d = ln + c e d = e + c, a d = a ln a + c sin d = cos + c, cos d = sin + c sin d = cotg + c, cos d = tg + c Vzorec č. d = Lze psát d = + c je speciálním případem vzorce č. pro n = 0: 0 d = c = + c. d místo d, d sin místo sin d apod.

5 Příklad (základní vzorce -6) ( ) = + + c d = ( ) d = = ( ) d = ( ) d = = = + c ( ) + e d = ln + e ln + c ( sin cos ) d = cos sin + c ( sin ) cos d = cotg tg + c Funkce s lineární vnitřní složkou Základní vzorec - funkce s lineární vnitřní složkou 7 f(a + b) d = F (a + b) + c a Příklad (lineární vnitřní složka) 6 sin d = cos + c cos d = d = d = + sin + c = sin + c ( ) d = d = ln + c e d = e + c ( + ) d = ( ) ( + ) = 9 ( ) + c = + + c

6 Zlomek s derivací jmenovatele v čitateli Základní vzorec - zlomek s derivací jmenovatele v čitateli 8 f () f() d = ln f() + c Příklad (derivace jmenovatele v čitateli) d = ln + c d = d = ln + c sin sin tg d = cos d = d = ln cos + c cos cos cotg d = d = ln sin + c sin sin sin d = d = ln + cos + c + cos + cos Základní vzorce - pokračování Základní vzorce pro integrování 9 0 A + d = A arctg A + c A d = A ln A + A + c Příklad (základní vzorce 9-0) + d = d = + 9 d = d = + + ( ) d = arctg + c d = ln + + c = ln + + c + + ( ) d = arctg + c = 6 arctg + c d = ln + + c

7 Základní vzorce pro integrování A d = arcsin A + c + ± B d = ln + ± B + c Příklad (základní vzorce -) d = arcsin + c d = d = 6 9 = arcsin + c d = + + d = ln + + c ( ) d = arcsin + c = d = ln c Úpravy integrandu Rozšíření zlomku vhodnou konstantou Příklad e e d = e e d = ln e + c d = + d = ln + + c cos sin d = cos sin d = ln sin + c

8 Umocnění a roznásobení výrazů Příklad ( ) d = ( ) ( + ) d = + d = = ( ) + = ln + + c = c d = ( ) + 0 d = ln + + c = Rozdělení zlomku na jednodušší zlomky Příklad + d = ( + ) d = ( ) + d = = ln + + c = ln + c ( ) + d = d = + d = = + d = + + c = + + c ( + d = + + = ln + arctg + c ) d = + d + d =

9 Doplnění kvadratického trojčlenu na čtverec U integrálů typu a +b+c d, a +b+c d s členem b 0 nejdříve kvadratický výraz a +b+c ve jmenovateli doplníme na čtverec pomocí známých vzorců (a ± b) = a ± ab + b a dále integrujeme podle A + d = A arctg A + c, nebo A d = arcsin A + c, A d = A ln A + A + c, ± B d = ln + ± B + c Příklad (doplnění na čtverec) + + d = d = = ln + ( ) ( ) + c = ln + 9 d = ( ) + = ln c d = + = d = arcsin ( ) ( + ) + d = arctg + + c ( ) d = ( ) d = + c d = ( ) d = + c = arcsin [ ] d = ( ) + c

10 Použití goniometrických vzorců tg = sin cos, cos cotg = sin, sin + cos =, sin = sin cos, cos = cos sin Příklad (použití goniometrických vzorců) sin tg d = cos d = ( ) = cos d = tg + c sin sin cos cos d = cos d = = tg + ln cos + c cos cos d = ( ) cos cos cos d = ( cos sin ) cos d = cos cos sin d = sin sin sin sin d = sin d = sin ( ) sin d = sin d = cotg + c

11 Integrace jednoduchých racionálních lomených funkcí. Neryze lomená racionální funkce Neryze lomenou racionální funkci nejprve upravíme na součet polynomu a ryze lomené racionální funkce tím, že čitatel vyděĺıme jmenovatelem. Příklad (vydělení čitatele jmenovatelem) 9 d = ( ( 9) : ( ) = +6 ( 6) 6 9 (6 8) 9 ) d = ln + c Příklad (vydělení čitatele jmenovatelem) + d = ( + + : ( + ) = ( + ) ( ) + ) + d = ( ( + + ) : ( + ) = ( + ) = + ln + + c ) d = + arctg + c d = ( + ) + d =

12 . Ryze lomená racionální funkce - zlomky Ryze lomenou racionální funkci tvaru (a + b) n podle základních vzorců n d = n+ n + + c, d = ln + c a pomocí integrace funkce s lineární vnitřní složkou f(a + b) d = F (a + b) + c a (a + b) n, kde n, integrujeme Příklad (ryze lomená racionální funkce) d = ln + c ( ) d = ( ) d = ( ) = ( ) + c. Ryze lomená racionální funkce - zlomky Ryze lomenou racionální funkci tvaru a + b + c a + b + c integrujeme doplněním jmenovatele na čtverec pomocí (a ± b) = a ± ab + b a podle základních vzorců A + d = A arctg A + c A d = A ln A + A + c, případně pomocí integrace funkce s lineární vnitřní složkou f(a + b) d = F (a + b) + c a Příklad (ryze lomená racionální funkce) + 0 d = ( ) + 6 d = arctg + c 6 6 d = ( ) 9 d = 9 ( ) d = = ln + ( ) ( ) = 6 ln + + c

13 . Ryze lomená racionální funkce - zlomky Integrály typu k + q a + b + c k + q a + b + c d rozděĺıme úpravou na součet dvou integrálů. Čitatele zlomku nejprve upravíme tak, aby byl součtem dvou sčítanců - první sčítanec je derivací jmenovatele a druhý je konstanta. Původní integrál pak rozděĺıme na dva integrály, které integrujeme následovně: první podle vzorce f () d = ln f() + c, f() druhý po případném doplnění jmenovatele na čtverec pomocí jednoho ze vzorců A + d = A arctg A + c, A d = A ln A + A + c Příklad (ryze lomená racionální funkce - zlomky d = d k + q a + b + c ) = d = + 8 d + = ln d ( ) + d = ln arctg + c

14 Metoda per partes Věta (metoda per partes (po částech)) Necht funkce u a v mají na intervalu I spojité derivace. Pak na tomto intervalu platí u ()v() d = u()v() u()v () d. Je vhodná pro integrály, jejichž integrand má tvar součinu. Metoda vede k cíli, umíme-li vypočítat integrál uv d na pravé straně. Poznámka Při použití metody per partes je důležitá volba funkcí v a u : za funkci v voĺıme tu z funkcí, kterou neumíme integrovat; funkci v derivujeme, funkci u integrujeme (musíme ji umět integrovat!), umíme-li integrovat obě funkce v součinu funkcí na levé straně, voĺıme za funkci v tu, která se derivací více zjednoduší. Typy integrálů řešitelných metodou per partes Necht P () je polynom. P ()e d, P ()a d, P ()sin d, P ()cos d Voĺıme v = P () a polynom derivujeme, druhou funkci integrujeme. Derivací polynomu snížíme jeho stupeň. Metodu per partes použijeme tolikrát, kolik je stupeň polynomu P (). P ()arctg d, P ()arccotg d P ()arcsin d, P ()arccos d P ()ln m d, kde m Voĺıme u = P () a polynom integrujeme, druhou funkci derivujeme. Polynom P () může být stupně 0, tj. P () =.

15 Příklad (per partes - derivace polynomu) cos d = v = u = cos = v = v = u = sin u = cos = sin + cos sin + c ( + ) e d = v = + v = u = e u = e = ( + )e e + c = ( + ) e + c v = u = sin = sin sin d = [ ] = sin cos + cos d = = ( + )e + e d = Příklad (per partes - integrace polynomu) ln d = = ln v = ln u = v = u = d = ln = ln d = + c = 9 ( ln ) + c v = arctg v arctg d = = + u = u = = arctg = arctg + d = arctg ln( + ) + c v = ln v ln d = = u = u = = ln = ln d = ln + c d = + d =

16 Substituční metoda Věta (. substituční metoda, t = ϕ()) Necht funkce f(t) je spojitá na otevřeném intervalu I a necht funkce ϕ() má na otevřeném intervalu J spojitou derivaci, přičemž pro každé J platí ϕ() I. Pak je funkce f[ϕ()]ϕ () spojitá na intervalu J a na tomto intervalu platí f [ϕ()] ϕ () d = f(t) dt, dosadíme-li do výrazu na pravé straně t = ϕ(). Substituce se používá při integrování funkcí typu složená funkce f[ϕ()] násobená derivací její vnitřní složky ϕ (). Poznámka (. substituční metoda, t = ϕ()) Integraci provádíme podle schématu: t = ϕ() f [ϕ()] ϕ () d = diferencujeme dt = ϕ () d = f(t) dt = F (t) + c = F [ϕ()] + c Vnitřní složku ϕ() nahradíme novou proměnnou t, tedy provedeme substituci t = ϕ(). Levou a pravou stranu substituční rovnice diferencujeme podle příslušné proměnné a dostaneme rovnost diferenciálů dt = ϕ () d. Dosadíme ϕ() = t a ϕ () d = dt do původního integrálu a obdržíme integrál f(t) dt, jehož výpočet je jednodušší. Po nalezení primitivní funkce F k funkci f vrátíme do výsledku původní proměnnou tím, že zpětně dosadíme t = ϕ().

17 Příklad (. substituční metoda) t = cos cos sin d = dt = sin d sin d = dt = = cos6 + c t = e d = dt = d d = = dt t dt = t6 6 + c = e t dt = et + c = = e + c sin d = t = dt = d d = dt = sin t dt = cos t + c = cos + c Příklad (. substituční metoda) t = d = dt = d d = dt = t dt = t dt = 6 t ( ) + c = + c = t + c = 8 8 (ln ) t = ln d = d = dt = ( t ) dt = t t + c = = ln (ln ) + c cos t = + sin + sin d = dt = cos d cos d = = dt t dt = t dt = = t + c = t + c = ( + sin ) + c

18 Integrace jednoduchých výrazů s goniometrickými funkcemi Goniometrické funkce - substituce Můžeme-li integrál typu R(sin, cos ) d, kde R je racionální lomená funkce, upravit na tvar R(sin ) cos d, voĺıme substituci t = sin dt = cos d R(cos ) sin d, voĺıme substituci t = cos dt = sin d Pro převod jedné goniometrické funkce na druhou používáme vztahy sin + cos = sin = cos, cos = sin Příklad (goniometrické funkce) cos d = cos cos d = ( sin )cos d = = t = sin dt = cos d = ( t ) dt = t t + c = sin sin + c sin cos d = t = cos cos sin d = dt = sin d sin d = dt = t dt = = t dt = ( ) t = t + c = cos + c sin + cos d = sin cos sin d = sin d = + cos + cos t = cos = dt = sin d t t sin d = dt = + t dt = t + dt = ( = t + ) dt = t t + ln t + + c = t + = cos cos + ln cos + + c

19 Substituční metoda Věta (. substituční metoda, = ϕ(t)) Necht funkce f() je spojitá na otevřeném intervalu I a necht funkce ϕ(t) má na otevřeném intervalu J spojitou nenulovou derivaci a platí ϕ(j) = I (tj. ϕ zobrazuje interval J na interval I). Potom na intervalu I platí f() d = f [ϕ(t)] ϕ (t) dt, dosadíme-li do výrazu vpravo t = ϕ (), kde ϕ je inverzní funkce k funkci ϕ. Vztah vznikne použitím. substituční metody v opačném směru. Poznámka (. substituční metoda, = ϕ(t)) Integraci provádíme podle schématu: = ϕ(t) f() d = diferencujeme d = ϕ (t) dt = f[ϕ(t)]ϕ (t) dt = F (t) + c = F [ϕ ()] + c Substituci provádíme tak, že do funkce f vložíme vnitřní složku ϕ(t). Postupujeme analogicky jako u substituce předchozího typu. Získaná složená funkce f[ϕ(t)]ϕ (t) na pravé straně vypadá komplikovaněji než původní integrand f() a před další integrací je potřeba ji upravit. Substituci však voĺıme tak, abychom po úpravě vpravo získali jednodušší integrál. Ve výsledku vpravo, kde F (t) je primitivní funkce k funkci f[ϕ(t)]ϕ (t), je třeba dosadit za t funkci proměnné, tj. inverzní funkci ϕ k funkci ϕ.

20 Příklad (. substituční metoda) d = t = = t t t d = t dt = t dt = t t dt = ( = t + ) dt = t t ln t + c = t = ln + c d ( + ) = t = = t d = t dt = = arctg t + c = arctg + c t (t + )t dt = t + dt = Integrace jednoduchých iracionálních funkcí Odmocnina z lineárního výrazu U integrálu typu R(, n a + b) d, kde R je racionální lomená funkce, n N, a, b R voĺıme substituci t = n a + b, tj. a + b = t n, která daný integrál převede na integrál z racionální lomené funkce.

21 Příklad (odmocnina z lineárního výrazu) t = = t d = = (t + ) = t t d = t dt + t dt = = t t + dt = t + t dt = ( ) + t dt = + = t arctg t + c = arctg + c + d = t = + + = t = t (t d = t dt = ) (t t dt = )t t ( = t dt = + ) ( t dt = ) t dt = ( t + ) : (t ) = ( t + ) = t ln + t t + c = + ln c Různé n-té odmocniny U integrálu typu R(, n, n,..., n k ) d, kde R je racionální lomená funkce, n, n... n k N, voĺıme substituci t = s, tj. = t s, kde s je nejmenší společný násobek čísel n, n,..., n k, která daný integrál převede na integrál z racionální lomené funkce. Příklad (iracionální funkce - různé n-té odmocniny) + d = t = 6 = t 6 t d = 6t dt = + (t t 6t dt = 6 + t ) dt = ( ) t = 6 + t + c = c