PROGRAM VZDELÁVACEJ ČINNOSTI Číslo predmetu : 3B0100 Názov predmetu : Matematika I. Typ predmetu : Povinný Študijný odbor: Všetky odbory bakalárskeho štúdia EF Zameranie: Ročník : 1. Semester : zimný Počet hodín týždenne : prednášky : 4 cvičenia : 4 laboratórne cvičenia : 0 Počet týždňov : 13 Zakončenie predmetu : skúška Anotácia predmetu Základy lineárnej algebry, diferenciálneho a integrálneho počtu funkcie jednej premennej. Prednášajúci: RNDr. Ján Šimon, PhD. RNDr. Vladimír Guldan Dňa : 4. 9. 2018 Mgr. Branislav Ftorek, PhD. vedúci katedry Oddelenie... 1
Časový plán výučby: Týždeň : Téma prednášky: 1. Polynómy, algebrické rovnice. 2. Lineárne vektorové priestory (lineárna závislosť, nezávislosť, kombinácia, báza). Matice - typy, operácie, hodnosť matice. 3. Determinanty a ich vlastnosti, hodnosť matice, inverzná matica. Systémy lineárnych rovníc - Cramerovo pravidlo. 4. Systémy lineárnych rovníc - Gaussova eliminačná metóda. Vlastné čísla a vlastné vektory matice. 5. Základy vektorovej algebry: Pravouhlá súradnicová sústava v rovine a priestore. Pojem vektora, základné operácie s vektormi. Skalárny, vektorový a zmiešaný súčin vektorov. Reálna funkcia reálnej premennej - základné pojmy. 6. Elementárne funkcie. Číselné postupnosti - vlastnosti, limita. 7. Limita a spojitosť funkcie. 8. Derivácia funkcie - pravidlá derivovania, derivácie elementárnych funkcií, diferenciál funkcie. Derivácie a diferenciály vyšších rádov. 9. L Hospitalovo pravidlo. Aplikácie diferenciálneho počtu. 10. Priebeh funkcie. Neurčitý integrál - základné vlastnosti a základné vzorce integrovania. 11. Metóda substitučná a per partes. Rozklad na elementárne zlomky. 12. Integrovanie racionálnych funkcií. 13. Integrovanie niektorých iracionálnych a trigonometrických funkcií. Týždeň : Téma cvičenia: 1. Komplexné čísla: definícia, operácie s komplexnými číslami, algebrický tvar, absolútna hodnota a argument, trigonometrický a exponenciálny tvar, násobenie a delenie komplexných čísel v trigonometrickom a exponenciálnom tvare, Moivreov vzorec. 2. Odmocňovanie komplexných čísel. Binomická rovnica. Polynómy, algebrické rovnice. 3. Lineárne vektorové priestory (lineárna závislosť, nezávislosť, kombinácia, báza). Matice - typy, operácie. 4. Determinanty a ich vlastnosti. Hodnosť matice, inverzná matica. Systémy lineárnych rovníc. 5. Systémy lineárnych rovníc. Vlastné čísla a vlastné vektory matice. 6. Základy vektorovej algebry: Pravouhlá súradnicová sústava v rovine a priestore. Pojem vektora, základné operácie s vektormi. Skalárny, vektorový a zmiešaný súčin vektorov. 7. Reálna funkcia reálnej premennej - základné pojmy. Elementárne funkcie. Číselné postupnosti - limita. 8. Limita a spojitosť funkcie. Derivácia funkcie - pravidlá derivovania, derivácie elementárnych funkcií. 9. Derivácie vyšších rádov. L Hospitalovo pravidlo. 10. Aplikácie diferenciálneho počtu. Priebeh funkcie. 11. Neurčitý integrál - základné vzorce integrovania, metóda substitučná a per partes. 12. Rozklad na elementárne zlomky. Integrovanie racionálnych funkcií.. 13. Integrovanie niektorých iracionálnych a trigonometrických funkcií. Hodnotenie. Oddelenie... 2
Hodnotenie Každý predmet je hodnotený známkou: - ak predmet nemá predpísanú skúšku, hodnotia sa aktivity počas semestra - ak predmet má predpísanú skúšku, hodnotia sa aktivity počas semestra + skúška Za každú aktivitu je možné získať určitý počet bodov, pričom: - hodnota MIN: vyjadruje minimálny počet bodov, kedy sa ešte daná aktivita považuje za splnenú - hodnota MAX: vyjadruje maximálne možný počet získaných bodov (pri najlepšom splnení danej aktivity) Nutnou podmienkou pre úspešné absolvovanie predmetu je splnenie každej aktivity aspoň na MIN. Súčet všetkých maximálnych hodnôt za všetky predpísané aktivity počas semestra: 100 bodov Zo súčtu získaných bodov dostáva študent známku na skúške podľa tejto tabuľky: Známka Počet bodov A 93 100 B 85 92 C 77 84 D 69 76 E 61 68 FX < 61 Požiadavky na študentov a ich hodnotenie stanovuje garant predmetu a vyučujúci ich oznámia študentom na začiatku semestra. Pridelené body za jednotlivé aktivity Účasť a aktivita Testy Skúška Meno študenta na cvičeniach Známka MAX=10 MAX=20 MAX=70 Súčet bodov Pozn. MIN=6 MIN=12 MIN=40 Účasť na cvičeniach Neúčasť na cvičeniach - počet Pridelené body >5 0 5 6 4 7 3 8 2 9 0 1 10 Oddelenie... 3
Na každom cvičení dostanú študenti domácu úlohu spolu 115 príkladov. Z príkladov na domácu úlohu a z príkladov riešených na cvičeniach budú študenti písať v priebehu semestra 4 testy, každý za 5 bodov. Ak študent nezíska 12 bodov z testov počas semestra, má nárok na jeden opravný test. Po jeho úspešnom absolvovaní získa 12 bodov z druhej aktivity. Ak bude mať študent viac ako 5 absencií na cvičeniach, bude to riešiť cvičiaci individuálne. Po splnení podmienok cvičiaceho získa 6 bodov z prvej aktivity. Prenesená povinnosť Ak študent nemá skúšku z predmetu Matematika 1 a získal na cvičení z tohto predmetu aspoň 18 bodov, nemusí ( ale môže ) chodiť na cvičenia z Matematiky 1 a do hodnotenia predmetu sa mu zaráta 18 bodov. Študent, ktorý nezískal na cvičení aspoň 18 bodov, musí chodiť na cvičenia z Matematiky 1. Požiadavky na skúšku z predmetu Matematika I Komplexné čísla: definícia, operácie s komplexnými číslami, algebrický tvar, absolútna hodnota a argument, trigonometrický a exponenciálny tvar, násobenie a delenie komplexných čísel v trigonometrickom a exponenciálnom tvare, Moivreov vzorec, odmocňovanie komplexných čísel. Binomická rovnica. Algebrické rovnice: definícia polynómu, delenie polynómov, rozklad polynómov na koreňové činitele, Hornerova schéma a jej použitie. Pojem algebrickej rovnice, fundamentálna veta algebry, algebrické rovnice s reálnymi a celočíselnými koeficientami. Riešiteľnosť algebrických rovníc vyšších rádov. Lineárne vektorové priestory: definícia, príklady vektorových priestorov, lineárna kombinácia, lineárna závislosť a lineárna nezávislosť vektorov, báza vektorového priestoru, dimenzia vektorového priestoru. Matice: definícia, druhy matíc, operácie s maticami. Determinant matice - definícia, vlastnosti, výpočet. Hodnosť matice. Inverzná matica - výpočet pomocou adjungovanej matice a Gaussovou eliminačnou metódou. Systém lineárnych rovníc: systém m lineárnych rovníc o n neznámych - zápis v maticovom tvare, matica systému, rozšírená matica systému, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, Cramerovo pravidlo, riešenie systémov pomocou inverznej matice, riešenie homogénnych systémov. Vlastné čísla a vlastné vektory matice. Základy vektorovej algebry: Pravouhlá súradnicová sústava v rovine a priestore. Pojem vektora, základné operácie s vektormi. Skalárny, vektorový a zmiešaný súčin vektorov. Diferenciálny počet reálnej funkcie reálnej premennej: Pojem funkcie, graf funkcie, operácie s funkciami, zložená funkcia, základné vlastnosti funkcií - ohraničenosť, monotónnosť, párnosť a nepárnosť, periodičnosť, jednoznačnosť, inverzná funkcia. Elementárne funkcie. Postupnosť - definícia, monotónnosť, vybraná postupnosť, limita postupnosti - definícia, vety o limitách. Limita funkcie - definícia, vety o limitách. Spojitosť Oddelenie... 4
funkcie - definícia, body nespojitosti, vlastnosti funkcie spojitej na uzavretom intervale. Derivácia funkcie - definícia, geometrický a fyzikálny význam, pravidlá derivovania, derivácie elementárnych funkcií, derivácie vyšších rádov, diferenciál funkcie, diferenciály vyšších rádov. Aplikácie derivácií L Hospitalovo pravidlo, monotónnosť, konvexnosť a konkávnosť, lokálne extrémy, absolútne extrémy, inflexný bod, priebeh funkcie. Funkcia určená parametricky a jej derivácia. Integrálny počet: Pojem primitívnej funkcie, pojem neurčitého integrálu, základné vlastnosti neurčitého integrálu, základné vzorce integrovania, substitučná metóda a metóda per partes. Rozklad na elementárne zlomky. Integrovanie elementárnych zlomkov a racionálnych funkcií. Integrovanie niektorých iracionálnych funkcií. Integrovanie trigonometrických a niektorých ďalších elementárnych funkcií. Písomná časť skúšky: Za 120 minút vypočítať 10 príkladov a odpovedať na 10 teoretických otázok. Vzorový test je priložený. Hodnotenie: Správne vyriešenie príkladu 6 bodov Správna odpoveď na otázku 1 bod Študijná literatúra: Ivan: Matematika I., Alfa /SNTL, Bratislava, Praha, 1983. (učebnica) Eliáš, Horváth, Kajan: Zbierka úloh z vyššej matematiky 1.,2. Wisztová, Špániková a kol.: Zbierka úloh z diferenciálneho počtu (skriptá), ŽU - 2013 Špániková, Wisztová a kol.: Zbierka úloh z algebry, ŽU - 2013. (skriptá) Feťková, Olach, Špániková, Wisztová: Integrálny počet a jeho aplikácie, ŽU-2013. Kluvánek, Mišík, Švec: Matematika I. SNTL, Bratislava, 1959. (učebnica) Wisztová a kol.: Sprievodca stredoškolskou matematikou (skriptá), ŽU - 2013. Oddelenie... 5