Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika I: Pracovní listy do cvičení"

Transkript

1 Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava

2 Pracovní listy Funkce jedné proměnné

3 6. Řy 65 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: Kořeny kvadratické rovnice a) x x = 0 b) x x < 0 c) x + 9x 5 0 d) x + x > 0 Řešení Video x, = b ± b ac a

4 7. Řy 66 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x = b) x > c) x(x ) > 0 d) (x + )(x ) 0 e) x( x) 5 f) x (x + ) Řešení Video

5 8. Řy 67 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x + x x < 0 b) x + > c) x > 0 d) x + x < 0 e) + x 0 f) x x Řešení Video

6 9. Řy 68 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) 5x 8 5 x < b) (x + )(5 x) x > 0 c) x + x + < x x + d) x x + 5 x Řešení Video

7 50. Řy 69 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x = 5 b) x + = 0 c) x < 0 d) x > e) x = 7 f) x < 7 Řešení Video

8 5. Řy 70 - Rovnice a nerovnice Zadání Vyřešte: a) x = 5 b) x > 5 c) x = 6 d) x < 6 Řešení Video

9 5. Řy 7 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = x + c) y = 9 x Zlomek jmenovatel je různý od 0 b) y = x d) y = x Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

10 5. Řy 7 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = x + + x b) y = x x c) y = d) y = x x + x + 5 x x x 5 Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Zlomek jmenovatel je různý od 0 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

11 5. Řy 7 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = ln + x + x x x b) y = ( x) ln x ( c) y = ln + x + 6 ) x d) y = ( x) ln (x ) Zlomek jmenovatel je různý od 0 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

12 55. Řy 7 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. a) y = tan ( x π ) b) y = x sin x c) y = cot x + π 5 d) y = cos x Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Zlomek jmenovatel je různý od 0 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

13 56. Řy 75 - Definiční obory Zadání Určete podmínky a najděte definiční obor funkce. ( ) ( x + 6 a) y = arcsin b) y = arcsin x ) x + ( ) x c) y = arccos x ( d) y = arccos ) x Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 8, 8, 8, 85, 86 Zlomek jmenovatel je různý od 0 Sudá odmocnina výraz pod odmocninou je nezáporný Logaritmus argument je kladný Tangens argument je různý od π + k π, k Z Kotangens argument je různý od k π, k Z Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu,

14 57. Řy 76 - Graf lineární funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný předpis. a) y = b) y = x + c) y = x d) y = x + e) y = x + f) x =.5 Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Který z těchto předpisů není lineární funkcí? Řešení Video Teorie:

15 58. Řy 77 - Graf kvadratické funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = x + b) y = x c) y = x d) y = (x ) e) y = ( 6 x x ) f) y = x x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

16 59. Řy 78 - Graf lineární lomené funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = x b) y = x + c) y = x d) y = x e) y = x + x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? f) y = x x Řešení Video Teorie:

17 60. Řy 79 - Graf exponenciální funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. ( ) x ( ) a) y = x b) y = x c) y = x + d) y = (x+) e) y = x f) y = + Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

18 6. Řy 80 - Graf logaritmické funkce Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = log x b) y = log / x c) y = log (x ) d) y = log / x e) y = + log x f) y = log (x + ) Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

19 6. Řy 8 - Graf goniometrické funkce sinus Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = sin x b) y = sin x c) y = sin ( x π ) d) y = sin x e) y = + sin x f) y = sin ( x + π ) Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: 5 π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π 5 6 π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

20 6. Řy 8 - Graf goniometrické funkce kosinus Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = cos x b) y = cos x c) y = cos x d) y = cos ( x π ) e) y = cos ( x + π 6 ) f) y = cos x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: 5 π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π 5 6 π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

21 6. Řy 8 - Graf goniometrické funkce tangens a kotangens Zadání Přiřad te k obrázku správný funkční předpis. a) y = tan x b) y = tan ( x + π ) 6 c) y = tan x d) y = cot x e) y = tan x f) y = cot x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

22 65. Řy 8 - Graf lineární funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x b) y = x c) y = x + d) y = x e) y = x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? f) y = Řešení Video Teorie:

23 66. Řy 85 - Graf lineární funkce s absolutní hodnotou - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x + x b) y = x + x + x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

24 67. Řy 86 - Graf kvadratické funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x + x + b) y = x x + c) y = x x + d) y = x x e) y = x f) y = x x + Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

25 68. Řy 87 - Graf lineární lomené funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x b) y = x c) y = x x d) y = x x e) y = x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? f) y = x x Řešení Video Teorie:

26 69. Řy 88 - Graf exponenciální funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = x b) y = + x c) y = x+ d) y = x e) y = x f) y = x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

27 70. Řy 89 - Graf logaritmické funkce - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = ln x b) y = ln (x) c) y = ln ( + x) d) y = + ln x e) y = ln x f) y = ln x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie:

28 7. Řy 90 - Graf goniometrické funkce sinus - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = sin x b) y = sin ( x π ) c) y = sin (x) d) y = sin x + e) y = sin ( π x ) f) y = sin x Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

29 7. Řy 9 - Graf goniometrické funkce kosinus - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = cos x b) y = cos x c) y = cos x d) y = cos x e) y = cos ( x π ) f) y = cos ( x + π ) Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

30 7. Řy 9 - Graf goniometrické funkce tangens a kotangens - doplnit Zadání Do připravených obrázků nakreslete grafy zadaných funkcí. a) y = tan x b) y = cot x c) y = tan x d) y = cot x e) y = tan ( x + π ) f) y = cot ( x + π ) Doplňte definiční obor a obor hodnot. Zjistěte, zda je funkce sudá nebo lichá. Najděte intervaly, na kterých je funkce rostoucí, klesající. Je funkce ohraničená? Má funkce extrémy? Řešení Video Teorie: π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π π π/ π π/ 0 π/ π π/ π

31 7. Řy 9 - Vlastnosti funkce: sudá a lichá Zadání Určete, zda je funkce sudá nebo lichá. a) y = x x c) y = ln ( ) x + x e) y = x cos x Určíme definiční obor funkce a ověříme, zdali je souměrný podle počátku reálné osy, tj. jestli platí: b) y = x x d) y = x + x f) y = x x + x + x + je také x D f Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 87, 88 Sudá funkce: x D f. Lichá funkce: f ( x) = f (x) f ( x) = f (x)

32 75. Řy 9 - Složená funkce Zadání Složte funkce v pořadí g f a f g: a) f : y = x, g : y = log x b) f : y = x +, g : y = cos x c) f : y = x, g : y = x + x + d) f : y = sin x +, g : y = x Řešení Video Teorie: 5

33 76. Řy 95 - Inverzní funkce Zadání Určete inverzní funkci, její definiční obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverzní. a) f : y = x + b) f : y = x Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: Funkce inverzní existuje pro funkce prosté. Pro definiční obor a obor hodnot platí: D f = H f H f = D f Dále platí: ( ) f f (x) = x f ( f (x)) = x

34 77. Řy 96 - Inverzní funkce Zadání Určete inverzní funkci, její definiční obor a obor hodnot. Zakreslete graf funkce a funkce inverzní. a) f : y = 5x x + b) f : y = x + 5 Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: Funkce inverzní existuje pro funkce prosté. Pro definiční obor a obor hodnot platí: D f = H f H f = D f Dále platí: ( ) f f (x) = x 5 5 f ( f (x)) = x

35 78. Řy 97 - Limity Zadání Vypočítejte limitu a) lim(x x + x + ) b) lim x x x c) lim x x x d) lim x 0 x + cos x Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0

36 79. Řy 98 - Limity - racionální funkce Zadání Vypočítejte limitu a) lim x x x b) lim x x x c) lim x x x x x 6 d) lim x x 6x + 5 x x + x x e) lim x + x x f) lim x (x ) Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0

37 80. Řy 99 - Limity Zadání Vypočítejte limitu sin x a) lim x 0 x x b) lim x 0 tan x x c) lim x 0 x tan x x + sin x d) lim x 0 sin x x e) lim x 0 sin x sin x f) lim x 0 (x cot x) Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Platí: resp. sin x lim x 0 x sin kx lim x 0 kx =, =,

38 8. Řy 00 - Limity Zadání Vypočítejte limitu x + a) lim x 5 x x 0 x + b) lim x x + c) lim x 0 x + sin x d) lim x 0 x + 8 Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 sin x Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Zlomek rozšíříme jedničkou ve vhodném tvaru, využijeme bud (a b)(a + b) = a b nebo (a b)(a + ab + b ) = a b.

39 8. Řy 0 - Limity Zadání Vypočítejte limitu x a) lim x x b) lim x 0 x 9 x x + c) lim x ±5 x 5 x + d) lim x (x + ) Řešení Video Teorie: 9 - Řešené příklady: 90-0 Nejdříve dosad te limitní bod do funkčního předpisu. Jedná se o neurčitou limitu? Pokud ano, určíme její limitní typ. Funkce je v limitním bodě x 0 spojitá, pokud lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Řešíme pomocí jednostranných limit.

40 Pracovní listy Diferenciální počet funkce jedné proměnné

41 8. Řy 0 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci funkce:. (c) = 0. (x n ) = nx n a) y = x + ln x c) y = e x sin x e) y = x log x. (e x ) = e x b) y = x 5x + d) y = (x x)(x + x) f) y = (x + ) sin x ln x. (a x ) = a x ln a Řešení Video Teorie: 7, 8, 9 Řešené příklady: 0, 05, 06, (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

42 8. Řy 0 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci funkce: a) y = x 5x x b) y = arccos x x c) y = x log x d) y = 0x + 0 x e) y = cos x x f) y = tan x Řešení Video Teorie: 7, 8, 9 Řešené příklady: 0, 05, 06, 07. (c) = 0. (x n ) = nx n. (e x ) = e x. (a x ) = a x ln a 5. (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

43 85. Řy 05 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci funkce:. (c) = 0. (x n ) = nx n a) y = cos 5x c) y = ( + x ) 70 e) y = e x +x. (e x ) = e x b) y = sin(x 5 + x + ) d) y = ln(x + 8) f) y = arctan x. (a x ) = a x ln a Řešení Video Teorie: 0 Řešené příklady: 08, (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

44 86. Řy 06 - Derivace Zadání Vypočítejte první derivaci funkce:. (c) = 0. (x n ) = nx n a) y = + x x + b) y = x c) y = tan x d) y = ln(x sin x) e) y = ln sin arctan e x f) y = + tan(x + x ) Řešení Video Teorie: 0 Řešené příklady: 08, 09. (e x ) = e x. (a x ) = a x ln a 5. (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

45 87. Řy 07 - Druhá derivace Zadání Vypočítejte druhou derivaci explicitní funkce a výsledek upravte: a) y = + x x b) y = x (sin (ln x) + cos (ln x)) Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 0,,. (c) = 0. (x n ) = nx n. (e x ) = e x. (a x ) = a x ln a 5. (ln x) = x 6. (log a x) = x ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = sin x 9. (tan x) = cos x 0. (cot x) = sin x. (arcsin x) = x. (arccos x) = x. (arctan x) = + x. (arccot x) = + x u = u(x) v = v(x) 5. [c u] = c u 6. [u ± v] = u ± v 7. [u v] = u v + u v 8. [ u v ] = u v u v v 9. [u(v)] = u (v) v

46 88. Řy 08 - Derivace - logaritmické derivování Zadání Logaritmickým derivováním vypočítejte derivaci funkce: a) y = x x b) y = x ln x c) y = (sin x) cos x Řešení Video Teorie: Řešené příklady: Logaritmické derivování y = f (x) g(x) ln y = ln f (x) g(x) ln y = g (x) ln f (x) y y = g (x) ln f (x) + g (x) [ y = y y = f (x) g(x) g (x) ln f (x) + g (x) f (x) f (x) f (x) f (x) [ g (x) ln f (x) + g (x) ] f (x) f (x) ] Druhý způsob, který lze použít, je následující identita: f (x) g(x) = e ln f (x)g(x) g(x) ln f (x) = e

47 89. Řy 09 - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: x + x x a) lim x x x b) lim x 0 e x x c) lim x 0 + e x x sin x d) lim x 0 e x cos x e) lim x 0 x sin x x f) lim x 0 ln cos x x Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 Limita typu 0 0 pravi- l Hospitalovo dlo lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x) lze realizovat přímo.

48 90. Řy 0 - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: Limita typu ± ± ln x a) lim x x b) lim x x x + x 5x + x + ln x c) lim x 0 + cot x d) lim x 0 ln sin x ln x Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 pravi- l Hospitalovo dlo lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x) lze realizovat přímo.

49 9. Řy - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: Limita typu 0 a) lim x 0 + x ln x b) lim x e x c) lim log x ln( x) d) x 0 x lim x π (π x) tan x l Hospitalovo pravidlo Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x) nelze realizovat přímo. Limitu je třeba upravit na typ příznivý pro l Hospitalovo pravidlo, tj. na typ 0 ± 0 nebo ±, lim f (x)g(x) = lim x x 0 x x0 lim f (x)g(x) = lim x x 0 f (x) g(x) g(x) x x0 f (x)

50 9. Řy - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: ( x ) b) lim sin x x 0 + a) lim x 0 + ( x e x ) ( c) lim x 0 x sin x ) x Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 Limita typu l Hospitalovo pravidlo lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 nelze realizovat přímo. f (x) g (x) Limitu je třeba upravit na typ příznivý pro l Hospitalovo pravidlo, tj. na typ 0 ± 0 nebo ±, použitím známých algebraických manipulací: vytýkání, převod na společný jmenovatel, násobení jedničkou ve vhodném tvaru, apod.

51 9. Řy - l Hospitalovo pravidlo Zadání Spočítejte limity l Hospitalovým pravidlem: ( a) lim + ) x b) lim x x x 0 xx + c) lim x 0 ( + x) x Limita typu 0 0, 0, 0, l Hospitalovo pravidlo Řešení Video Teorie: Řešené příklady:, 5 lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x) nelze realizovat přímo. Limitu je třeba upravit na typ příznivý pro l Hospitalovo pravidlo, tj. na typ 0 0 ± nebo ±, použitím následující identity: f (x) g(x) = e g(x) ln f (x).

52 9. Řy - Derivace parametricky zadané funkce Zadání Vypočítejte první derivaci parametricky zadané funkce: a) x = tan t, y = sin t, t 0, π ) b) x = 5 (t cos t), y = 5 ( + sin t), t 0, π Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 6, 7 x = ϕ (t) y = ψ (t) y = ψ(t) ϕ(t) ϕ(t) = 0

53 95. Řy 5 - Derivace parametricky zadané funkce Zadání Vypočítejte druhou derivaci parametricky zadané funkce: a) x = t + t y = t + t t 0, b) x = a cos t, y = b sin t, a, b R, t (0, π) Řešení Video Teorie: Řešené příklady: 6, 7 x = ϕ (t) y = ψ (t) y = ψ(t) ϕ(t) y = ψ(t) ϕ(t) = 0 ϕ(t) ψ(t) ϕ(t) ( ϕ(t)) ϕ(t) = 0

54 96. Řy 6 - Tečna ke grafu funkce Zadání Určete obecnou rovnici tečny t a normály n v dotykovém bodě T ke grafu funkce f dané předpisem: a) y = 8 + x T = [,?] b) y = ln x, T = [e,?] Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: 9, 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 ) směrnicový tvar rovnice normály t : y y 0 = k n (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice normály k n = f (x 0 ) obecná rovnice přímky ax + by + c = 0

55 97. Řy 7 - Tečna ke grafu funkce Zadání Určete rovnice tečen ke grafu funkce f, které jsou rovnoběžné s přímkou p: a) y = x + x 5, p : x + y = 0 b) y = x x, p : y = Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: 9, 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 )

56 98. Řy 8 - Tečna ke grafu funkce Zadání Určete rovnice tečen ke grafu funkce f, které jsou rovnoběžné s osou x: a) y = x x b) y = x + x 5 Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: 9, 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 )

57 99. Řy 9 - Tečna ke grafu parametricky zadané funkce Zadání Určete rovnici tečny t a normály n cykloidy v dotykovém bodě T, v němž t = π. Parametrické rovnice cykloidy jsou: x = a (t sin t) y = a ( cos t) ; a > 0, t 0, π Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: 9, 0 směrnicový tvar rovnice tečny t : y y 0 = k t (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice tečny k t = f (x 0 ) směrnicový tvar rovnice normály t : y y 0 = k n (x x 0 ) bod dotyku T = [x 0, y 0 ] směrnice normály k n = f (x 0 ) obecná rovnice přímky ax + by + c = 0

58 00. Řy 0 - Diferenciál Zadání Vypočítejte diferenciál funkce y = f (x) v obecném bodě x vzhledem k obecnému přírůstku dx: a) y = x b) y = x + x c) y = tan x d) y = arctan e x Diferenciál funkce y = f (x) dy = f (x)dx Řešení Video Teorie: Diferenciál funkce f v bodě x 0 dy(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Diferenciál funkce f v bodě x 0 při známém přírůstku dx dy(x 0 )(dx) = f (x 0 ) dx R Diferenciál druhého řádu funkce y = f (x) d y = f (x)dx Diferenciál n-tého řádu funkce y = f (x) d n y = f (n) (x)dx n Přibližný výpočet funkčních hodnot f (x) f (x 0 ) + d f (x 0 )(dx)

59 0. Řy - Diferenciál Zadání Vypočítejte přibližně s využitím diferenciálu funkčí hodnotu funkce y = x v bodě x 0 =,. Diferenciál funkce y = f (x) Řešení Video Teorie: dy = f (x)dx Diferenciál funkce f v bodě x 0 dy(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Diferenciál funkce f v bodě x 0 při známém přírůstku dx dy(x 0 )(dx) = f (x 0 ) dx R Diferenciál druhého řádu funkce y = f (x) d y = f (x)dx Diferenciál n-tého řádu funkce y = f (x) d n y = f (n) (x)dx n Přibližný výpočet funkčních hodnot f (x) f (x 0 ) + d f (x 0 )(dx)

60 0. Řy - Diferenciál Zadání Vypočítejte diferenciál druhého řádu funkce y = f (x) v obecném bodě x vzhledem k obecnému přírůstku dx: a) y = x b) y = (x + ) (x ) c) y = sin x Diferenciál funkce y = f (x) dy = f (x)dx Řešení Video Teorie: Diferenciál funkce f v bodě x 0 dy(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Diferenciál funkce f v bodě x 0 při známém přírůstku dx dy(x 0 )(dx) = f (x 0 ) dx R Diferenciál druhého řádu funkce y = f (x) d y = f (x)dx Diferenciál n-tého řádu funkce y = f (x) d n y = f (n) (x)dx n Přibližný výpočet funkčních hodnot f (x) f (x 0 ) + d f (x 0 )(dx)

61 0. Řy - Taylorův polynom Zadání Napište Taylorův polynom n-tého stupně T n (x) na okolí bodu x 0 pro funkci: a) f : y = x, x 0 =, n = b) f : y = ln x, x 0 =, n = Řešení Video Teorie: 6 Řešené příklady:, Taylorův polynom n-tého stupně funkce y = f (x) v bodě x 0 T n (x 0 ) = f (x 0 ) + d f (x 0)! + + dn f (x 0 ) n! Taylorův polynom třetího stupně funkce y = f (x) v bodě x 0 T (x 0 ) = f (x 0 ) + d f (x 0)! d f (x 0 )! resp. + d f (x 0 )! + T (x 0 ) = f (x 0 ) +! f (x 0 )(x x 0 ) +! f (x 0 )(x x 0 ) +! f (x 0 )(x x 0 )

62 0. Řy - Monotónnost a lokální extrémy funkce Zadání Nalezněte intervaly monotónnosti a lokální extrémy.. Definiční obor. a) f (x) = x + x b) f (x) = x + x x + Řešení Video Teorie: 8 Řešené příklady:,, 5, 6. První derivace a její definiční obor.. Stacionární body, intervaly plus mínus.. Znaménko první derivace. Funkce je rostoucí, jestliže f (x) > 0. Funkce je klesající, jestliže f (x) < Lokální extrémy. 6. Pozor na definiční obor. V bodech nespojitosti neexistují extrémy!

63 05. Řy 5 - Monotónnost a lokální extrémy funkce Zadání Nalezněte intervaly monotónnosti a lokální extrémy.. Definiční obor. a) f (x) = x ln (x + ) b) f (x) = x + x + ln x. První derivace a její definiční obor. Řešení Video Teorie: 8 Řešené příklady:,, 5, 6. Stacionární body, intervaly plus mínus.. Znaménko první derivace. Funkce je rostoucí, jestliže f (x) > 0. Funkce je klesající, jestliže f (x) < Lokální extrémy. 6. Pozor na definiční obor. V bodech nespojitosti neexistují extrémy!

64 06. Řy 6 - Konvexnost, konkávnost, inflexní body Zadání Najděte intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní, najděte její inflexní body. a) f (x) = x 6x + x b) f (x) = x + x Řešení Video Teorie: 9 Řešené příklady: 7. Definiční obor.. První derivace a její definiční obor.. Druhá derivace a její definiční obor.. Nulové body druhé derivace, intervaly plus mínus. 5. Znaménko druhé derivace. Funkce je konvexní, jestliže f (x) > 0. Funkce je konkávní, jestliže f (x) < Inflexní body.

65 07. Řy 7 - Asymptoty Zadání Určete všechny asymptoty grafu funkce:. Definiční obor. a) y = x x + x + b) y = x x Řešení Video Teorie: 50 Řešené příklady: 8, 9. Určíme v krajních bodech intervalů spojitosti jednostranné limity.. Asymptota bez směrnice existuje v daném bodě pouze v případě, že některá z jednostranných limit vyjde nevlastní.. Asymptota se směrnicí y = kx + q nebo f (x) k = lim x x q = lim ( f (x) kx) x k = q = lim x lim x f (x) x ( f (x) kx)

66 08. Řy 8 - Asymptoty Zadání Určete všechny asymptoty grafu funkce:. Definiční obor. a) y = x x + x b) y = x x Řešení Video Teorie: 50 Řešené příklady: 8, 9. Určíme v krajních bodech intervalů spojitosti jednostranné limity.. Asymptota bez směrnice existuje v daném bodě pouze v případě, že některá z jednostranných limit vyjde nevlastní.. Asymptota se směrnicí y = kx + q nebo f (x) k = lim x x q = lim ( f (x) kx) x k = q = lim x lim x f (x) x ( f (x) kx)

67 09. Řy 9 - Průběh funkce Zadání Určete průběh funkce y = x x +. Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: - 9. definiční obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus. sudost, lichost, periodicita. spojist, asymptoty bez směrnice. první derivace, její definiční obor, nulové (stacionární) body, intervaly plus mínus 5. monotónnost 6. lokální extrémy 7. druhá derivace, její definiční obor, nulové body, intervaly plus mínus 8. konvexnost, konkávnost, inflexe 9. asymptoty se směrnicí 0. graf, obor hodnot

68 0. Řy 0 - Průběh funkce Zadání Určete průběh funkce y = ln cos x. Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: - 9. definiční obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus. sudost, lichost, periodicita. spojist, asymptoty bez směrnice. první derivace, její definiční obor, nulové (stacionární) body, intervaly plus mínus 5. monotónnost 6. lokální extrémy 7. druhá derivace, její definiční obor, nulové body, intervaly plus mínus 8. konvexnost, konkávnost, inflexe 9. asymptoty se směrnicí 0. graf, obor hodnot

69 . Řy - Průběh funkce Zadání Určete průběh funkce y = x ln x. Řešení Video Teorie: 5 Řešené příklady: - 9. definiční obor funkce, nulové body, intervaly plus mínus. sudost, lichost, periodicita. spojist, asymptoty bez směrnice. první derivace, její definiční obor, nulové (stacionární) body, intervaly plus mínus 5. monotónnost 6. lokální extrémy 7. druhá derivace, její definiční obor, nulové body, intervaly plus mínus 8. konvexnost, konkávnost, inflexe 9. asymptoty se směrnicí 0. graf, obor hodnot

70 . Řy - Průběh funkce Zadání Zakreslete graf funkce f, víte-li, že: Řešení Video Teorie: 5 y. D f = R H f = R. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou f (x) = lim x lim f (x) = x. funkce není sudá, není lichá, není periodická. průsečík s osou x je: [, 0] průsečík s osou y je: [0, ] funkce je kladná na intervalu (, ) záporná na (, ) 5. funkce má lokální maximum v bodě [, 5] a lokální minimum v bodě [, ] je rostoucí na intervalech (, ) a (, ) a klesající na (, ) 6. funkce má inflexní body [, ] funkce je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na (, ) 7. funkce nemá asymptoty 0 x

71 . Řy - Průběh funkce Zadání Zakreslete graf funkce f, víte-li, že: Řešení Video Teorie: 5 y. D f = R H f = 0, ). funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim x f (x) = lim x f (x) =. funkce je sudá, není lichá, není periodická. průsečík s osou x je: [0, 0] průsečík s osou y je: [0, 0] funkce je kladná na R 5. funkce má lokální minimum v bodě [0, 0] je rostoucí na interval (0, ) a klesajicí na (, 0) 6. funkce má inflexní body [, ] a [, ] funkce je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na (, ) a (, ) 7. funkce má v a v asymptotu y = 0 x

72 . Řy - Průběh funkce Zadání Zakreslete graf funkce f, víte-li, že: Řešení Video Teorie: 5 y. D f = (, ) H f = R. funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim f (x) = x + lim f (x) = x. funkce není sudá, není lichá, není periodická. průsečík s osou x je: [, 0] průsečík s osou y není funkce je kladná na intervalu (, ) záporná na (, ) 5. funkce nemá lokální extrémy je rostoucí na celém D f 6. funkce má inflexní bod [, ] funkce je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na (, ) 7. funkce má asymptotu x = 0 x

73 5. Řy 5 - Průběh funkce Zadání Zakreslete graf funkce f, víte-li, že: Řešení Video Teorie: 5 y. D f = R H f =, ). funkce nemá body nespojitosti limity v krajních bodech jsou lim x f (x) = lim x f (x) =. funkce není sudá, není lichá, není periodická. průsečíky s osou x jsou: [, 0], a [, 0] průsečík s osou y je: [0, ] funkce je kladná na (, ) a (, ) záporná na (, ) 5. funkce má lokální minimum v bodě [, ] je rostoucí na interval (, ) a klesajicí na (, ) 6. funkce má inflexní bod [, 5] funkce je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na (, ) 7. funkce má v asymptotu y = x + 0 x

74 Pracovní listy Lineární algebra

75 6. Řy 7 - Matice Zadání Vypočtěte matici D danou vztahem: D = A B + C, 0 0 A = , B = 5 0, C = Nejdříve násobíme každý prvek matice A číslem, poté od výsledné matice odečteme matici B, odečítáme vzájemně si odpovídající prvky, nakonec přičteme matici C. Řešení Video Teorie: 5, 5, 55 Řešené příklady:

76 7. Řy 8 - Matice Zadání Diskutujte existenci součinu a poté vypočtěte A B, B A: ( ) ( ) a) A =, B = b) A = 7 0, B = Řešení Video Teorie: 5, 5, 55 Řešené příklady: Součin matic: A = (a ik ) matice typu m p B = (b kj ) matice typu p n. Pak C = A B = (c ij ) matice typu m n, kde c ij = p a ik b kj k=

77 8. Řy 9 - Matice Zadání Diskutujte existenci součinu matic a vynásobte matice: 5 ( ) ( ) ( ) a) b) 0 c) 0 Řešení Video Teorie: 5, 5, 55 Řešené příklady: Součin matic: A = (a ik ) matice typu m p B = (b kj ) matice typu p n. Pak C = A B = (c ij ) matice typu m n, kde c ij = p a ik b kj k=

78 9. Řy 0 - Matice Zadání Diskutujte existenci součinu matic a vynásobte matice: ( ) ( ) ( ) 0 ( ) a) b) c) 0 5 Řešení Video Teorie: 5, 5, 55 Řešené příklady: Součin matic: A = (a ik ) matice typu m p B = (b kj ) matice typu p n. Pak C = A B = (c ij ) matice typu m n, kde c ij = p a ik b kj k=

79 0. Řy - Matice Zadání Transponujte matice: A = , B = Transpozice: výměna řádků a sloupců matice. A = (a ij ) A T = (a ji ) Řešení Video Teorie: 5, 5, 55

80 . Řy - Hodnost matice Zadání Určete hodnost matice: A = 0 0. Matici převedeme na schodovitý tvar. Poté spočítáme nenulové řádky matice ve schodovitém tvaru. Řešení Video Teorie: 56 Řešené příklady:

81 . Řy - Hodnost matice 0 Zadání Určete hodnost matice: B =. Matici převedeme na schodovitý tvar. Poté spočítáme nenulové řádky matice ve schodovitém tvaru. Řešení Video Teorie: 56 Řešené příklady:

82 . Řy - Hodnost matice Zadání 0 Určete hodnost matice: C = Matici převedeme na schodovitý tvar. Poté spočítáme nenulové řádky matice ve schodovitém tvaru. Řešení Video Teorie: 56 Řešené příklady:

83 . Řy 5 - Hodnost matice Zadání Určete hodnost matice: D = Matici převedeme na schodovitý tvar. Poté spočítáme nenulové řádky matice ve schodovitém tvaru. Řešení Video Teorie: 56 Řešené příklady:

84 5. Řy 6 - Determinanty Zadání Vypočtěte následující determinanty. řádu: 8 a) b) c) 0 Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Determinanty. řádu - křížové pravidlo: Součin prvků na hlavní diagonále mínus součin prvků na vedlejší diagonále. a a A = a a = a a a a

85 6. Řy 7 - Determinanty Zadání Vypočtěte následující determinanty. řádu: a) b) c) 0 d) Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Determinanty. řádu - Sarrusovo pravidlo: Opíšeme první řádky. Prvky ležící na úhlopříčkách vynásobíme, přičemž těm, které směřují zleva doprava (hlavní diagonála) přiřadíme znaménko + a těm, které směřují zprava doleva (vedlejší diagonála) přiřadíme znaménko -. a a a A = a a a a a a a a a a a a =a a a + a a a + a a a (a a a + a a a + a a a )

86 7. Řy 8 - Determinanty Zadání 8 Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce. Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Vhodný řádek (sloupec) je ten, který obsahuje co nejvíce nul. Laplaceův rozvoj pro matici A řádu n: a) rozvoj determinantu podle i-tého řádku A = a i â i + a i â i + + a in â in, respektive A = n j= ( ) i+j a ij A ij, b) rozvoj determinantu podle j-tého sloupce A = a j â j + a j â j + + a nj â nj. respektive A = n i= ( ) i+j a ij A ij, kde matice A ij vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

87 8. Řy 9 - Determinanty Zadání Vypočtěte determinant 0 převodem na trojúhelníkový tvar. 0 Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Vlastnosti determinantů: A = A T A B = A B Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak A = 0. Vznikne-li matice B z A: a) vzájemnou výměnou dvou řádků (sloupců), pak: B = A, b) vynásobením jednoho řádku (sloupce) číslem k R, pak B = k A, c) přičtením k-násobku, k R, jednoho řádku (sloupce) k jinému, pak: B = A. Jsou-li řádky (sloupce) matice A lineárně závislé, pak A = 0. Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály.

88 9. Řy 50 - Determinanty Zadání Vypočtěte následující determinant: 0. 0 Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: - Vlastnosti determinantů: A = A T A B = A B Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak A = 0. Vznikne-li matice B z A: a) vzájemnou výměnou dvou řádků (sloupců), pak: B = A, b) vynásobením jednoho řádku (sloupce) číslem k R, pak B = k A, c) přičtením k-násobku, k R, jednoho řádku (sloupce) k jinému, pak: B = A. Jsou-li řádky (sloupce) matice A lineárně závislé, pak A = 0. Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály.

89 0. Řy 5 - Determinanty Zadání x 0 x Pro která x je determinant 0 x 0 roven 0? x Pro sestavení rovnice s neznámou x použijte Sarrusovo pravidlo. Řešení Video Teorie: 57, 58, 59 Řešené příklady: -

90 . Řy 5 - Inverzní matice Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A ) eliminační metodou a proved te zkoušku: ( ) ( ) 0 6 a) b) Řešení Video Teorie: 60 Řešené příklady:, Každou regulární matici A převedeme jen řádkově ekvivalentními úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto přejde na inverzní matici A, symbolicky (A E) (E A ).

91 . Řy 5 - Inverzní matice Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A ) eliminační metodou a proved te zkoušku: 7 0 a) 5 b) 8 0 Řešení Video Teorie: 60 Řešené příklady:, Každou regulární matici A převedeme jen řádkově ekvivalentními úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto přejde na inverzní matici A, symbolicky (A E) (E A ).

92 . Řy 5 - Inverzní matice Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A ) eliminační metodou a proved te zkoušku: Řešení Video Teorie: 60 Řešené příklady:, Každou regulární matici A převedeme jen řádkově ekvivalentními úpravami na jednotkovou matici E. Stejné úpravy aplikujeme na jednotkovou matici E, která tímto přejde na inverzní matici A, symbolicky (A E) (E A ).

93 . Řy 55 - Inverzní matice Zadání Vypočtěte k dané matici A matici inverzní (A ) užitím determinantu a proved te zkoušku: A = 5. 7 Řešení Video Teorie: 60 Řešené příklady:, A = A (Aalg ) T,

94 5. Řy 56 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku: a) x + y = x y = 7 b) 5x 6x = x + x = 7 c) x 6x = x 9x = Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

95 6. Řy 57 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku: x + x + x = x x + x =. x + 6x x = 0 Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

96 7. Řy 58 - Soustavy lineárních rovnic Zadání x + x + x + x = x + x + x + x = 8 Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku:. x + x + x x = x + x + x x = 0 Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

97 8. Řy 59 - Soustavy lineárních rovnic Zadání x + x x + x = 0 x x + x x = Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku:. x + x x + x = x + x + x = Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

98 9. Řy 60 - Soustavy lineárních rovnic Zadání x x + x x = x + x x + x = 5 Řešte soustavu lineárních rovnic a proved te zkoušku:. x x + x = 7 x x x x = Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých A x = B má alespoň jedno řešení právě když h(a) = h(a B), tj. když hodnost matice soustavy se rovná hodnosti matice rozšířené. Pokud h(a) = h(a B), pak soustava nemá řešení. Má-li soustava řešení, tj h(a) = h(a B) = h, pak pro h = n má soustava právě jedno řešení, jinak, tj. pro h < n, má soustava -mnoho řešení závislých na n h parametrech.

99 0. Řy 6 - Soustavy homogenních lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu homogenních lineárních rovnic a proved te zkoušku: x x + x =0 x + x x =0. x x + x =0 Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy řešení - viz. Frobeniova věta, jejiž podmínky jsou zde vždy splněny. Lze řešit Gaussovou eliminační metodou, nebo zde přímo za pomoci determinantu soustavy (proč?).

100 . Řy 6 - Soustavy homogenních lineárních rovnic Zadání 5x x + 7x x x 5 =0 x + x x x 5 =0 Řešte soustavu homogenních lineárních rovnic a proved te zkoušku:. x + x + x + x x 5 =0 x x + x x + x 5 =0 Řešení Video Teorie: 6, 6 Řešené příklady:, 6, 7, 9, 5, 5 Soustava homogenních lineárních rovnic má vždy řešení - viz. Frobeniova věta, jejiž podmínky jsou zde vždy splněny. Lze řešit Gaussovou eliminační metodou.

101 . Řy 6 - Soustavy lineárních rovnic - Cramerovo pravidlo Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla a proved te zkoušku: 5x + x x =9 x + x 5x =. x x x = Řešení Video Teorie: 6 Řešené příklady: 5 Cramerovo pravidlo:. jen pro soustavy s regulární maticí soustavy A, tj. A = 0,. určí se determinanty A, A i (nahradí se příslušný sloupec pravou stranou),. určí se složky řešení x i = A i A.

102 . Řy 6 - Maticová rovnice Zadání Řešte rovnici pro neznámou matici X a proved te zkoušku: 0 7 X = Řešení Video Teorie: 6 Řešené příklady: 55 Maticová rovnice ve tvaru A X = B Násobením zleva inverzní maticí A dostaneme řešení soustavy X = A B.

103 . Řy 65 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí inverzní matice a proved te zkoušku: 5x + x x =9 x + x 5x =. x x x = Řešení Video Teorie: 65 Řešené příklady: 56 Soustavu můžeme napsat v maticovém tvaru A x = B Násobením zleva inverzní maticí A dostaneme řešení soustavy x = A B

104 5. Řy 66 - Soustavy lineárních rovnic Zadání Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí inverzní matice a proved te zkoušku: 5x x x =9 x + x + x =0. x x + x = 7 Řešení Video Teorie: 65 Řešené příklady: 56 Soustavu můžeme napsat v maticovém tvaru A x = B Násobením zleva inverzní maticí A dostaneme řešení soustavy x = A B

105 Pracovní listy Analytická geometrie

106 6. Řy 68 - Skalární součin vektorů Zadání Vypočtěte skalární součin a odchylku vektorů u, v. Jsou tyto vektory na sebe kolmé? a) u = (,, ), v = (,, ), b) u = (,, ), v = (, 6, 8). Skalární součin: u v = u v + u v + u v, Odchylka vektorů: Řešení Video Teorie: 69 cos ϕ = u v u v Velikost vektoru: u = u + u + u POZOR: Co je výsledkem skalárního součinu? Kolmost vektorů: u v u v = 0

107 7. Řy 69 - Vektorový součin Zadání Vypočtěte vektorový součin vektorů u, v. Určete obsah rovnoběžníku určeného vektory u a v. a) u = (,, ), v = (,, ), b) u = (,, ), v = (, 6, 5). Vektorový součin: u v = i j k u u u v v v, Řešení Video Teorie: 70 kde i = (, 0, 0), j = (0,, 0), k = (0, 0, ) jsou jednotkové vektory ve směru os kartézské soustavy souřadnic. Nebo ( ) u u u v = v v, u u v v, u u. v v POZOR: Co je výsledkem vektorového součinu? Obsah rovnoběžníku: S = u v.

108 8. Řy 70 - Smíšený součin Zadání Vypočtěte smíšený součin trojice vektorů a, b, c ( tedy [a, b, c] = a (b c) ). Určete objem rovnoběžnostěnu určeného vektory a, b, c. a) a = (,, ), b = (,, ), c = (,, ), b) a = (, 0, ), b = (0,, 5), c = (,, ). Smíšený součin: [a, b, c] = a (b c) = a a a b b b c c c. Řešení Video Teorie: 7 POZOR: Co je výsledkem smíšeného součinu? Objem rovnoběžnostěnu: V = [a, b, c].

109 9. Řy 7 - Rovnice přímky Zadání a) Zjistěte zda body A = [,, ], B = [,, 5], C = [, 0, ] leží na přímce p : b) Určete rovnici přímky p určené bodem M = [,, ] a směrem a = (5,, ). x = + t y = t z = + t Bod leží na přímce, jestliže jeho složky vyhovují rovnici přímky. Směrový vektor přímky p je také směrovým vektorem rovnoběžné přímky q. c) Určete rovnici přímky q procházející bodem R = [,, ] a rovnoběžné s přímkou p : x = + t y = t z = + 5t. Řešení Video Teorie: 7

110 50. Řy 7 - Vzájemná poloha dvou přímek Zadání Určete vzájemnou polohu dvou přímek, p = {A, u}, q = {B, v}. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečík. a) A = [,, ], u =(,, ) B = [0, 5, ], v =(, 6, ) b) A = [,, ], u =(,, ) B = [, 0, ], v =(0,, ) Řešení Video Teorie: 7 Sestavíme klasifikační matici p = {A, u}, q = {B, v}, u v AB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) mimoběžná - nemají společný směr ani bod, d) totožná - mají společné všechny body.

111 5. Řy 7 - Vzájemná poloha dvou přímek Zadání Určete vzájemnou polohu dvou přímek, p = {A, u}, q = {B, v}. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečík. a) A = [,, ], u =(,, ) B = [0,, ], v =(,, ) b) A = [0,, ], u =(, 0, ) B = [,, ], v =(,, ) Řešení Video Teorie: 7 Sestavíme klasifikační matici p = {A, u}, q = {B, v}, u v AB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) mimoběžná - nemají společný směr ani bod, d) totožná - mají společné všechny body.

112 5. Řy 7 - Rovnice roviny Zadání a) Zjistěte zda body A = [,, 5], B = [,, 0], C = [,, ] leží v rovině α : x 5y + 6z = 0. b) Sestavte symbolickou, parametrickou a obecnou rovnici roviny ρ = {B = [,, ], v = (,, ), w = (,, )}. Řešení Video Teorie: 7, 75 Řešené příklady: 58, 59 a) Dosad te jednotlivé body do rovnice a zjistětě, zda ji splňují. b) Sestavíme jednotlivé typy rovnic. Jak se přechází od parametrického vyjádření roviny k obecnému?

113 5. Řy 75 - Rovnice roviny Zadání a) Určete rovnici roviny procházející bodem M = [,, ] a kolmé na vektor a = (,, ). b) Určete rovnici roviny procházející bodem Q = [,, ] a kolmé k ose x. c) Určete rovnici roviny procházející bodem M = [,, ] a rovnoběžně s rovinou α : x y + z = 0. Zjistěte normálový vektor dané roviny a pak dosazením bodu M (resp. Q) do obecné rovnice roviny, tj. ax + by + cz + d = 0 dopočítejte absolutní člen d. Řešení Video Teorie: 7, 75 Řešené příklady: 58, 59

114 5. Řy 76 - Vzájemná poloha přímky a roviny Zadání Určete vzájemnou polohu přímky p = {A, u} a roviny ρ = {B, v, w}. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečík. a) A = [,, ], u =(,, ) B = [,, 0], v =(,, ), w = (,, ) b) A = [,, ], u =(,, 0) B = [,, ], v =(,, ), w = (,, ) Řešení Video Teorie: 76 Sestavíme klasifikační matici p = {A, u}, ρ = {B, v, w}, u v w AB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) přímka leží v rovině - mají společný směr a bod.

115 55. Řy 77 - Vzájemná poloha přímky a roviny Zadání Určete vzájemnou polohu přímky p = {A, u} a roviny ρ = {B, v, w}. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečík. a) A = [0,, ], u =(,, ) B = [,, ], v =(,, ), w = (,, 0) b) A = [,, 0], u =(,, ) B = [,, ], v =(, 0, 0), w = (,, ) Řešení Video Teorie: 76 Sestavíme klasifikační matici p = {A, u}, ρ = {B, v, w}, u v w AB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) přímka leží v rovině - mají společný směr a bod.

116 56. Řy 78 - Vzájemná poloha dvou rovin Zadání Určete vzájemnou polohu roviny α = {B, v, w} a roviny β = {B, v, w }. V případě různoběžné polohy nalezněte průsečnici. a) B = [,, ], v =(,, ), w =(0,, ) B = [0, 0, 0], v =(,, ), w =(,, ) b) B = [, 0, ], v =(,, ), w =(,, ) B = [,, ], v =(,, ), w =(,, 5) Řešení Video Teorie: 77 Sestavíme klasifikační matici α = {B, v, w}, β = {B, v, w }, v w v w BB Matici převedeme na schodovitý tvar. Pak vzájemná poloha je: a) různoběžná - nemají společný směr, mají společný bod (průsečík), b) rovnoběžná - mají společný směr, nemají společný bod, c) přímka leží v rovině - mají společný směr a bod.

117 57. Řy 79 - Vzdálenost útvarů v E Zadání Vzdálenost bodu od přímky: a) Určete vzdálenost bodu M = [,, ] od přímky p dané body P = [,, ], Q = [,, 0]. d(m, p) = u AM, u b) Určete vzdálenost bodu M = [,, ] od roviny ρ : x + y z + 5 = 0. Řešení Video Teorie: 78 Řešené příklady: 60, 6 kde u je směrový vektor přímky a A je bod na této přímce. AM = M A. Vzdálenost bodu od roviny: d(m, ρ) = am + bm + cm + d a + b + c.

118 58. Řy 80 - Vzdálenost útvarů v E Zadání a) Určete vzdálenost dvou rovnoběžek p : x = t 7 y = t z = t q : x = 6s + y = 8s 5 z = s +. Vzdálenost rovnoběžek: Zvolíme bod na jedné z rovnoběžek a úlohu převedeme na hledání vzdálenosti bodu od přímky. b) Určete vzdálenost rovnoběžných rovin α : x + 7y z + = 0, β : x 7y + z + 0 = 0. Řešení Video Teorie: 78 Řešené příklady: 60, 6 Vzdálenost rovnoběžných rovin: α : ax + by + cz + d = 0, β : ax + by + cz + d = 0: d(α, β) = d d a + b + c.

119 59. Řy 8 - Odchylky útvarů v E Zadání x = t + x = r + a) Určete odchylku dvou přímek p : y = t + z =, q : y = r + t + 5 z =. r x = t b) Určete odchylku přímky p : y = t + od roviny ρ : x y z + 6 = 0. z = t 5 c) Určete odchylku rovin α : x y + z + = 0, β : x + y + z = 0. Řešení Video Teorie: 78 Odchylka ϕ dvou přímek p, q: cos ϕ = u v u v, kde u, v jsou směrové vektory přímek p, q. Odchylka ϕ přímky p od roviny ρ: sin ϕ = u n u n, kde u je směrový vektor přímky p, n je normálový vektor roviny ρ. Odchylka ϕ dvou rovin α, β: cos ϕ = n α n β n α nβ, kde n α, n β jsou normálové vektory rovin α, β.

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Matematika I: Listy k přednáškám

Matematika I: Listy k přednáškám Matematika I: Listy k přednáškám Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová MATEMATIKA I Marcela Rabasová Obsah: 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu 1.2. Literatura 1.3. Podmínky absolvování předmětu 1.4. Použité označení a symbolika 2. Funkce jedné reálné proměnné 2.1. Definice 2.2.

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Wolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a

Wolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?

Více

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

Matematika. Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ. Bakalářský program: Ekonomika a management

Matematika. Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ. Bakalářský program: Ekonomika a management Matematika Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ Bakalářský program: Ekonomika a management Matematika doc. RNDr. Stanislav Kračmar, CSc. www.muvs.cvut.cz Evropský

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:

Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu: Průběh funkce Průběh funkce Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:. Určení definičního oboru. 2. Rozhodnutí, jestli je funkce sudá, lichá, periodická nebo nemá ani

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 10. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 016/017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 1 / 1 Použití derivace pro vyšetřování průběhu funkce

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body: Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh   1. cvičení ( ) 2. cvičení ( ) Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více