ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

Transkript

1 Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005

2 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA = (2) Určete hodnost matice A = [ h(a) = 4 ] ], B = () Gaussovou eliminační metodou řešte soustavu lineárních rovnic:. Vypočtěte matici = = = = 4 [ (; 2; ; ) ] (4) Jsou dány matice A = a B = NP: B A, (A B), A B, (B A) Spočtěte A, B, [ A = B A = A B = , B = = (AB), = (BA) ],

3 2 NP Zjistěte zda jsou dané vektory lineárně závislé: a = (; ; 5), b = ( ; ; ), c = (0; ; 2), d = (5; 6; 7). [ jsou lineárně závislé] NP Vektor c = (; 2; ) vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů u = (; ; ), u 2 = (2; ; 2), u = (4; 2; ). [ v = u + u 2 ] (5) Určete objem rovnoběžnostěnu s vrcholy dolní podstavy A = [; 4; 0], B = [9; 5; ], C = [; 7; ], jestliže krajní bod hrany AE je E = [; 2; 5]. [ V = [ a b c] = 08 ] (6) Jsou dány body A = [; ; 4], B = [4; 2; 2], C = [; 2; 6]. Určete jednotkový vektor v 0 kolmý k vektorům AB, AC. [ v 0,2 = ± 6 (4 i + 6 j + k) ] (7) Vypočtěte objem čtyřstěnu s vrcholy A = [; 5; 4], B = [0; ; ], C = [ 2; 4; ], D = [ 4; 4; 2; ] a vzdálenost v vrcholu A od stěny BCD. [ V = 4 6, v = ] (8) Zadání viz [] str. 9, Příklad (9) Zadání viz [] str. 40, Příklad 2.5. (0) Určete derivaci f () a definiční obory D(f), D(f ) funkcí: f() = ( + 8)( 2) [ D(f) = R, f () = , D(f ) = D(f) ] f() = e e + [ D(f) = R, f () = 2e (e + ) 2, D(f ) = D(f) ] () Určete druhou derivaci f () a příslušný definiční obor funkce f() = (ln ). [ f () =, D(f) = D(f ) = D(f ) = (0, ) ]

4 (2) Napište následující funkce užitím Taylorova polynomu n-tého stupně v okolí bodu 0 : f() =, 0 = 2, n = [ T () = 2 2 ( 2)2 ( 2) f() = 2( ) ( 2 )2 4( ), 0 =, n = [ T () = () Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce. ] ] y = ( ) ( + ) 2 [ =, y = 5 ] (4) Vyšetřete průběh funkce f() = 2. (5) Určete derivaci f () a definiční obory D(f), D(f ) funkcí: f() = 4 + [ D(f) = 4, ), f () = 2 4+, D(f ) = ( 4, ) ] f() = f() = ( + + ) [ D(f) = R\{0}, f () = , D(f ) = D(f) ] [ D(f) = 0, ), f () = , D(f) = (0, ) ] d) f() = 4 π [ D(f) = R, f () = 4 π, D(f ) = D(f) ] e) f() = ( + 8)( 2), [ D(f) = R, f () = , D(f ) = D(f) ] f) f() = cos e g) f() = arccos 2 h) f() = ln [ D(f) = R, f sin + cos () =, D(f ) = D(f) ] e [ D(f) = (, ), f () = arccos ( 2 ) 2, D(f ) = D(f) ] [ D(f) = (0, )\{}, f () = + ln ( ) 2, D(f ) = D(f) ] i) f() = 2 cos, [ D(f) = k Z π + 2kπ, π + 2kπ, f sin () =, 2 cos

5 4 D(f ) = k Z( π + 2kπ, π + 2kπ) ] j) f() = , [ D(f) = R, f () = 2( )(ln 5)5 2 2+, D(f ) = D(f) ] k) f() = e 2 ++, [ D(f) = R, f () = (2 + )e 2 ++ l) f() = log( ), [ D(f) = R\{0, }, f () = m) f() = e e, [ D(f) = e, ), f () = , D(f ) = D(f) ] 6 + ( ) ln 0 log 2 ( ), D(f ) = D(f)] 2( e) 2e e, D(f ) = (e, ) ] n) f() = ln(sin ), [ D(f) = k Z(2kπ, π + 2kπ), f () = cotg, D(f ) = D(f) ] (6) Vyšetřete průběh funkce. f() = + f() = e + (7) Integrace užitím základních vzorců. ( ) d [ ln C ] ( 4 4 ) d [ C ] ( ) 0 d [ ln 0 2 ln ln 5 + C ] 2 + d) d [ C ] ( ) 2 2 e) d [ + 2 ln + C ] 2 f) d [ arctg + C ] sin 2 + cos 2 g) 2 sin 2 d [ 5 cos 2 2 tg 2 cotg + C ]

6 (NP) Integrace užitím základních vzorců. ( ) d [ C ] 2 ( 2 + ) d [ C ] + d [ + ln + C ] ( ) d) d [ C ] ( + 2) e) d [ ln + C ] (8) Integrace substituční metodou. (4 ) 4 d [ 20 (4 )5 + C ] (2 7) d [ 5 8 (2 7) + C ] 4 cos d [ ln sin + + C ] sin + e d) e + d [ ln e + + C ] e) sin cos d [ 4 cos4 + C ] f) e sin cos d [ e sin + C ] (NP) Integrace substituční metodou. e arctg e d [ 2 arctg e + e 2 + C ] d [ arccos 2 + C ] sin 6 cos d [ 7 sin7 + C ] e d) d [ e 2 + C ] cos(ln ) e) d [ sin(ln ) + C ] 5

7 6 (9) Integrace metodou per partes. e d [ e e + C ] sin 2 d [ 2 cos 2 + sin 2 + C ] 4 e 2 d [ 2 e2 ( 2 ) + C ] d) ln d [ ln + C ] e) ln d [ 2 2 (ln 2 ln2 + 2 ln 4 ) + C ] f) ln( + ) d [ 2 ln( + )(2 ) C ] (NP) Integrace metodou per partes. cos sin d [ 2 sin 2 2 cotg + C ] sinh d [ cosh sinh + C ] 5e 4 d [ 5 4 e e 4 + C ] d) e cos 2 d [ e (cos sin 2) + C ] 5 e) ( )e 4 d [ e ( 2 + 5) + C ] (20) Integrace racionální lomené funkce. 2 + d [ ( 2 ln ) arctg 2 + C ] e + d) e d [ ln e + 2 ln e + C ] (NP) Integrace racionální lomené funkce d [ 2 ln( ) arctg + + C ] d [ ln ( ) 4 ( 4) 5 ( )( 2 2) ( + ) 7 + C ] ( )( 2 ) d [ 2 ( ) ln ( )( + )2 + C ]

8 d) e) f) d [ ln ( ) 4 ( 4) 5 ( )( + )( 4) ( + ) 7 + C ] d + d [ ( + )2 ln arctg 2 + C ] ( ) d [ 5 2 ln( ) arctg C ] (2) Integrace goniometrických funkcí. sin cos d [ 2 sin2 + C ] tg d [ ln cos + C ] 2 sin d [ sin 2 + C ] cos 2 cos d) cos d [ sin cos2 + 2 sin + C ] e) cos d [ sin + C ] tg f) cos d [ ln + C ] 2 (NP) Integrace goniometrických funkcí. sin cos d [ 4 sin4 + C ] cos 5 2 sin 2 d [ cos6 + C ] 2 sin cos d [ ln sin + cos C ] sin + cos (22) Výpočet určitého integrálu úpravou. 7 5 d [ ln 5 ] (2) Výpočet určitého integrálu metoda per partes. π 0 0 sin d [ π ] e d [ 2 9 e + 9 ]

9 8 (24) Výpočet určitého integrálu substituční metoda. π π 4 5 π 2 0 sin 2 sin cos d [ ] ln d [ 2 ln2 5 ] sin 2 cos d [ ] (25) Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy P kolem osy. P : y = 2 +, y = [ 6 5 π ] (26) Stanovte definiční obor dané funkce a načrtněte jej. z = ( 2 + y) 2 z = 2 y y 2 [ Dz = {(; y) E 2 : 2 y 2 + }; Dz = {(; y) E 2 : y 2 y 2 } ] Taylorova věta pro funkci f(), X = [, 2,..., n ]: f(x) = f(x o ) +! df(x o) + 2! d2 f(x o ) + + n! dn f(x o ) + R n+ (X), kde zbytek R n+ (X) = (n + )! dn+ f( + δh,..., n + δh n ), δ (0, ). (27) Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f(, y) v bodě A. z = e sin y, A = [0, 0], n = z = sin(y), A = [0, π 2 ], n = 2 [ y + y y 6 y ; π 2 + (y π 2 ) ] (28) Nalezněte lokální etrémy daných funkcí. z = y 2 y z = 2 + y y 2

10 [ [4; 4] - lok.ma.; [ ; 2] - není, [0; 0] - lok.min., [ ; 2] a [ 5 2 ; 0] - lok.ma. ] 9

11 0 Reference [] Novotný J.: Matematika I - Základy lineární algebry, CERM, FAST VUT Brno [2] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno [] Tryhuk, V. - Dlouhý, O.: Matematika I, Vybrané části a aplikace vektorového počtu, Modul GA0 M0, studijní opory pro studijní program Geodézie a kartografie s kombinovanou formou studia, Fakulta stavebni, Vysoké učení technické, Brno, [4] Tryhuk, V.: Matematika I2 - Reálná funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 994. [5] Veverka, J. - Slatinský E.: Matematika I - Diferenciální pocet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 995. [6] Novotný J.: Matematika I4 - Lineární algebra, CERM, FAST VUT Brno 995. [7] Horňáková, D.: Matematika I5 - Vektorová algebra, CERM, FAST VUT Brno 995. [8] Horňáková, D.: Matematika I6 - Analytická geometrie, CERM, FAST VUT Brno 995. [9] Voráček, J.: Matematika I7 - Neurčitý integrál, CERM, FAST VUT Brno 995. [0] Voráček, J.: Matematika II - Určitý integrál a jeho užití, CERM, FAST VUT Brno 995. [] Daněček, J. - Dlouhý, O.: Integrální počet I, CERM, FAST VUT Brno 200. [2] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Koutková, H. - Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky I., CERM, FAST VUT Brno 994. [] Čermáková, H. - Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematiky II., CERM, FAST VUT Brno 994. [4] Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky III., CERM, FAST VUT Brno 995. [5] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Diferenciální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 200, pocet/. [6] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Integrální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 200, pocet/. [7] Veverka, J.: Diferenciální počet II, Fakulta stavební, Brno 982. [8] Eliaš, J. - Horvát, J. - Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky,. časť, SVTL, Bratislava 965. [9] Černá, B.: Cvičení z lineární algebry, MZLU v Brně, Brno 998. [20] Jelínek, Z. - Samotná O.: Matematika - Integrální počet, Skriptum VŠ zemědělské v Brně, SPN, Praha 985. [2] Jirásek, F. - Kriegelstein, E. - Tichý, Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I, SNTL/ALFA, Praha 987. [22] Karásek, J. - Maroš, B.: Integrální počet, Matematika - Metodické pokyny pro cvičení, CERM, FAST VUT Brno 994. [2] Kříž, J. - Křížová, H.: Diferenciální počet, metodické pokyny, Fakulta strojní VUT, Brno 978. [24] Vosmanská, G.: Matematika, MZLU v Brně, Brno 997. [25] Online verze tetů: Riešené úlohy z matematiky, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, [26] Online verze tetů: Riešené úlohy z matematiky 2, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava,