Testy dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, např. hmotnost a pohlaví narozených dětí. Běžný statistický postup pro ověření závislosti dvou veličin je zamítnutí jejich nezávislosti. Pokud bychom jejich nezávislost (H 0 - nulovou hypotézu) nemohli zamítnout, pak nemůžeme usuzovat na jejich závislost. TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests) ověřují, zda reálné četnosti získané statistickým šetřením se odlišují od očekávaných četností vypočtených na základě nulové hypotézy nezávislosti.
Zkoumané veličiny X a Y (váhu a pohlaví narozených dětí) uspořádáme do kontingenční tabulky. Skutečně naměřené Váha do 2 kg 2-3 kg 3-4 kg nad 4 kg Celkem (empirické) četnosti Chlapci 21 253 301 17 592 Holčičky 16 205 345 22 588 Tabulka 1 Celkem 37 458 646 39 1180 Pomocí marginálních četností (v šedém sloupci a šedém řádku) vypočteme tzv. očekávané neboli teoretické četnosti Váha do 2 kg 2-3 kg 3-4 kg nad 4 kg Celkem Tabulka 2 Chlapci 18,56 229,78 324,09 19,57 592 Holčičky 18,44 228,22 321,91 19,43 588 Celkem 37 458 646 39 1180
Nulovou hypotézu H 0 : veličiny váha a pohlaví jsou nezávislé zamítneme, když se pozorované četnosti n ij budou významně lišit od očekávaných četností e ij. Testovým kritériem je statistika, která má asymptomaticky (tj. pro dostatečně velké četnosti) rozdělení χ 2 s (r - 1)(s - 1) stupni volnosti r s ( nij eij ) 2 χ = e i= 1 j= 1 r - počet řádků, s - počet sloupců Stupeň volnosti - je počet řádků (sloupců) tabulky, do kterých je možno vložit libovolnou hodnotu a přitom dodržet stanovený řádkový (sloupcový) součet. Dostatečně velké četnosti jsou takové, kdy všechny očekávané četnosti jsou větší než 1 (>1) a naprostá většina očekávaných četností (alespoň 80%) je > 5. ij 2
Statistika chí-kvadrát - Tabulka 3 Váha do 2 kg 2-3 kg 3-4 kg nad 4 kg Celkem Chlapci 0,32 2,35 1,65 0,34 4,65 Holčičky 0,32 2,36 1,66 0,34 4,68 Celkem 0,64 4,71 3,30 0,68 9,33 V tabulce jsou vypočteny příspěvky chí-kvadrát každého políčka, jejich součet je výsledná testovací statistika. 2 Je-li testovací statistika větší než "kritická" hodnota rozdělení χ pro zvolenou hladinu významnosti, zamítáme nulovou hypotézu o shodě empirického a teoretického rozložení. Riziko, že hypotézu zamítneme neoprávněně, se rovná zvolené hladině významnosti α. V opačném případě přijímáme hypotézu o shodě. V našem příkladu je vypočtená statistika chí-kvadrát = 9,33 a kritická hodnota (pro zvolenou hladinu významnosti α = 0,05) = 7,81 9,33 > 7,81 => zamítáme nulovou hypotézu
Ověřit můžeme výsledek pomocí p-hodnoty, kterou vypočteme funkcí CHITEST s parametry (empirické četnosti; teoretické četnosti) V našem příkladu je =CHITEST(empirické četnosti; teoretické četnosti) = 0,025, tj. p-hodnota < hladina významnosti α 0,025 < 0,05 => zamítáme nulovou hypotézu Zamítneme-li hypotézu o nezávislosti, pak nás obvykle zajímá, které pozorované četnosti (která políčka kontingenční tabulky) se od četností očekávaných významně odchylují. Říkáme, že vyhledáváme zdroje závislosti. Jedna z nejjednodušších metod je posouzení příspěvků jednotlivých políček tabulky k hodnotě testové statistiky 2 viz TABULKA 3. r s ( nij eij ) 2 χ = e i= 1 j= 1 ij
Přesnější je ale užít tzv. standardizovaná residua normované normální rozdělení, tzn. významná jsou políčka s absolutní hodnotou standardizovaných residuí větší než 2 (směrodatné odchylky). n e, která mají přibližně Standardizované odchylky Tabulka 4 Váha do 2 kg 2-3 kg 3-4 kg nad 4 kg Celkem Chlapci 0,566 1,532-1,283-0,580 0,235 Holčičky -0,568-1,537 1,287 0,582-0,236 Celkem -0,002-0,005 0,004 0,002-0,001 Užijeme-li standardizovaná residua, podle jejich znaménka vidíme navíc, zda pozorovaná četnost je větší či menší než očekávaná. ij e ij ij
KONTINGENČNÍ TABULKA 2 x 2 Kontingenční tabulky často používáme v EPIDEMIOLOGII. Velmi často používáme právě tabulku 2 x 2 k zjištění, zda - výskyt vybrané diagnózy závisí na uvažované expozici - léčba nebo změna životního stylu má vliv na zdraví jedince - osvětové programy ovlivnily zdraví populace Náhodná veličina Y - např. onemocnění Náhodná veličina X - obvykle expozice ANO NE Celkem ANO a b a + b NE c d c + d Celkem a + c b + d a + b + c + d = n
K popisu četností v této tzv. čtyřpolní tabulce používáme pouze 4 hodnoty, proto je i pro zápis zjednodušeného výpočtu označujeme a, b, c, d χ 2 test nezávislosti v tabulce 2 x 2 Vzorec pro výpočet statistiky chí-kvadrát se zjednoduší na tvar: 2 2 ( ad bc) χ = n ( a + b)( a + c)( b + d)( c + d) Na příkladu testování vrozené vady kyčlí u dívek a chlapců (viz "6b_priklad_vady_kycli.xls") vidíme, že pro velké počty pozorovaných (a očekávaných) hodnot vychází CHITEST stejně jako výpočet podle zjednodušeného vzorce.
Pro malé pozorované (očekávané) četnosti můžeme test nezávislosti zpřesnit tzv. Yatesovou korekcí. Yatesova korekce 2 χ n 2 ( ad bc ) = 2 ( a + b)( a + c)( b + d)( c + d) n Tato veličina má opět rozdělení chí-kvadrát s jedním stupněm volnosti
Fischerův exaktní test Oba předchozí testy byly pouze přibližné a pro malé četnosti nejsou vhodné. V případě, že nejméně jedna očekávaná četnost je < 5 používáme Fischerův exaktní faktoriálový test. Spočívá v tom, že sestrojíme všechny možné tabulky, které mají stejné marginální četnosti jako původní tabulka a vybereme z nich ty, které jsou pro hypotézu nezávislosti ještě méně pravděpodobné než původní tabulka. Sečteme-li pravděpodobnosti těchto tabulek, získáme tak součet P, který je hodnotou Fischerova testu. V praxi se tento přesný test používá opravdu pro malé četnosti, protože s rostoucím n roste dramaticky i počet možných tabulek. Pokud i nejmenší hodnota ve čtyřpolní tabulce je dostatečně velká (> 5), zmíněné testy chí-kvadrát nebo Yatesova korekce jsou pro tyto četnosti dostatečně blízké přesnému testu.
Princip Fisherova exaktního testu si ukážeme na příkladu tabulky s veličinami KOUŘÍ a SPORTUJE: Sportuje ano ne Suma ano ne Suma ano ne Suma ano ne Suma Kouří ano 5 5 10 ano 6 4 10 ano 7 3 10 ano 8 2 10 ne 3 19 22 ne 2 20 22 ne 1 21 22 ne 0 22 22 Suma 8 24 32 Suma 8 24 32 Suma 8 24 32 Suma 8 24 32 V první tabulce jsou naměřené četnosti u 32 studentů právnické fakulty a chceme zjistit, zda spolu souvisí sport a kouření u studentů. Četnosti jsou pro test chí-kvadrát malé - nelze jej použít. Vypočteme proto pravděpodobnost pro všechny tabulky podle vzorce: ( a + b)!( c + d)!( a + c)!( b + d)! p i = n! a! b! c! d!, kde n je celková četnost v tabulce a a,b,c,d je označení políček zleva doprava a dolů.
Výsledná pravděpodobnost se určí jako součet pravděpodobností ve všech tabulkách, tj. p p = i V našem příkladu je to p = 0,036896 + 0,004611 + 0,000251 + 0,000004 = 0,041 Vypočtený výsledek nám sděluje, že první tabulka a tabulky ještě méně příznivé pro platnost hypotézy H 0 mohou nastat s pravděpodobností 0,041, tj. 4,1 %. Na hladině významnosti α = 0,05 tedy zamítáme nulovou hypotézu a přijímáme alternativní hypotézu, že sportování a kouření u studentů spolu souvisí.
MÍRY VZTAHU DVOU ALTERNATIVNÍCH VELIČIN Předchozí teorie testovala jen závislost nebo nezávislost dvou diskrétních veličin. Neříkala však nic o míře závislosti. Uvažujme opět čtyřpolní tabulku. a Vzorcem a + b vypočteme pravděpodobnost onemocnění u skupiny exponovaných, vzorcem c c + d u neexponovaných. Náhodná veličina Y - např. onemocnění Náhodná veličina X - obvykle expozice ANO NE Celkem ANO a b a + b NE c d c + d Celkem a + c b + d a + b + c + d
RELATIVNÍ RIZIKO Relativní riziko RR je podíl pravděpodobnosti onemocnění u exponovaných a neexponovaných: RR = a a + b c c + d = a ( c + d) c ( a + b) Pokud platí model nezávislosti, je očekávaná četnost v prvním políčku ( a + b)( a + c) O11 = a + b + c + d, analogicky vypočteme očekávané četnosti v ostatních polích a dosadíme je do vzorce pro relativní riziko. Dostaneme RR=1. Pokud nemoc nezávisí na expozici, RR -> 1. Pokud je onemocnění u exponovaných osob častější než u neexponovaných, je RR > 1. Opačně RR < 1 by znamenalo, že onemocnění nastalo častěji u osob neexponovaných.
KŘÍŽOVÝ POMĚR, PODÍL ŠANCÍ, SÁZKOVÝ POMĚR - anglicky ODDS RATIO Tato charakteristika (častěji používaná v anglosaských zemích) není založena na pojmu pravděpodobnosti, ale na pojmu ŠANCE NA ONEMOCNĚNÍ. Termín je převzat z oblasti sázek, kde se nepoužívá termín pravděpodobnost výhry, ale ŠANCE NA VÝHRU, tj. poměr mezi "výhrou" a "prohrou". Vypočteme podíl nemocných a zdravých a c u exponovaných osob i neexponovaných osob. Křížový poměr je b d Křížový poměr, podobně jako relativní riziko, je roven jedné, pokud jsou sledované veličiny nezávislé. a OR = b = c d ad bc
Jinak se ale hodnoty RR a OR liší: OR nabývá v případě kladné závislosti (vzniku onemocnění na expozici) vyšší hodnoty než než RR. V případě, že onemocnění nastalo častěji u osob neexponovaných, je OR nižší než RR (obě hodnoty jsou menší než jedna).
HYPOTÉZA SYMETRIE Mc Nemar Zatím jsme se zabývali hypotézou nezávislosti, ale v praxi nás zajímají i jiné hypotézy. Chceme například porovnat efekt léčby. Vlastně chceme pomocí tabulky četností provést obdobu "párového" testu, přestože nemáme jednotlivé páry hodnot, ale pouze počty naměřených hodnot. Na rozdíl od hypotézy nezávislosti zde naopak víme, že veličiny jsou závislé, protože jsme měřili na stejných datech. Představme si, že zjišťujeme, zda u dětí vybraného okresu závisí výskyt infektů horních cest dýchacích na věku. Výskyt onemocnění byl zjišťován v šesti měsících a ve třech letech věku.
Použití testu nezávislosti chí-kvadrát by bylo zcela chybné. U dětí, které byly zdravé v 6 měsících je zřejmě vyšší pravděpodobnost, že budou zdravé i ve 3 letech a naopak. Příslušné pozorované hodnoty jsou v tabulce: Onemocnění v 3. roce věku Onemocnění v 6. měsíci věku ANO NE Celkem ANO - nemocné 1439 108 1547 NE - zdravé 663 37 700 Celkem 2102 145 2247 Nás spíše zajímá, zda jsou stejné pravděpodobnosti že děti, které byly zdravé v 6 měsících, jsou nemocné ve 3 letech a že děti, které byly nemocné v 6 měsících, jsou zdravé ve 3 letech. Porovnáváme tedy políčka b a c v kontingenční tabulce.
Hypotéza vlastně ověřuje, zda je tabulka symetrická kolem hlavní úhlopříčky - platí-li p 12 = p 21. Takováto hypotéza je odlišná od hypotézy nezávislosti. Navíc nás v podstatě nezajímají hodnoty v polích a, d (p 11 a p 22 ), zajímají nás pouze případy, kdy došlo ke změně v jednom nebo druhém směru. 2 ( b c) K tomuto testu používáme tzv. Mc Nemarův test symetrie: M = b + c, kde M má rozložení chí-kvadrát s jedním stupněm volnosti viz 6b_symetrie_mcnemar.xls. Pokud test vyjde statisticky významný, znamená to, že tabulka není symetrická podle hlavní osy významně převažují děti, kterých je více (které nebyly nemocné ve 3 měsících, ale byly nemocné ve 3 letech).
Na podobném principu jako Yatesova korekce je založena přesnější varianta Mc 1 2 ( b c ) Nemarova testu: M = 2 b + c, kde M má opět rozložení chí-kvadrát s jedním stupněm volnosti. Testujeme vlastně hypotézu, zda pravděpodobnosti π 1, jejíž odhad je a π 2, jejíž odhad je c p2 = b + c, se rovnají. p 1 = b b + c Protože π 1 +π 2 = 1, testujeme hypotézu, že π 1 = 0,5 O Mc Nemarově testu se často hovoří jako o testu pro "párová" data.