..0 Převrácená čísla Předpoklady: 007 Př. : Vypočti. Výsledek uveď v základním tvaru. a) 5 7 b) c) 0 9 d) 4 0 8 7 0 6 6 5 8 a) 5 7 5 = 7 = 4 0 7 5 4 b) 6 = = 8 6 c) 0 9 0 9 = = 7 0 9 0 d) 6 6 8 4 = = 5 8 5 8 5 Pedagogická poznámka: Někteří žáci zaváhají v bodě b), kde ve jmenovateli zdánlivě nic nezbude. V bodě c) je třeba připomenout, že není vhodné rozkládat na prvočísla, naopak je daleko výhodnější nechat obě desítky vcelku. Př. : Děda s babičkou přivezli svým třem vnoučatům balení s osmnácti čokoládovými bonbóny. Kolik bonbónů dostalo každé z dětí, pokud jim prarodiče bonbóny rozdělili spravedlivě. Hledej více způsobů řešení. Dvě řešení: Prarodiče musí rozdělit bonbóny na tři hromádky: 8 : = 6. (dělili jsme trojkou) Každé z vnoučat dostane třetinu bonbónů: 8 = 6. (násobili jsme jednou třetinou) Každé vnouče dostane 6 bonbónů. (oba postupy vedou ke stejnému výsledku). Pedagogická poznámka: Častěji se vyskytuje první typ řešení, ale druhý se tak určitě objeví. Oba postupy si napíšeme na tabuli a já se ptám, proč jsme řešili tak jednoduchý příklad. Postřeh: Dělení trojkou je to samé jako násobení jednou třetinou pro každé číslo x platí: x : = x. Pedagogická poznámka: Snažím se ověřit, zda se všichni uvědomují, že písmenko x zastupuje všechna možná čísla. Př. : Platí pravidlo: x : = x i pro jiná čísla? Najdi podobné slovní úlohy. Platí pro všechna čísla: x : = x, x :0 = x, kromě nuly (tou nemůžeme dělit a 0 nemůžeme ji psát do jmenovatele). Stačilo by upravit slovní úlohy z příkladu : bonbóny byly přivezeny dvěma, čtyřem, pěti, vnoučatům.
Další zajímavost: =, vztah platí obecně pro všechna čísla různá od nuly: x =. x Číslo se nazývá číslo převrácené k číslu. Dělit číslem je stejné jako násobit číslem. Stejné pravidlo platí pro všechna přirozená čísla. Př. 4: Co by ještě mělo platit pro dělení? Najdi vhodnou slovní úlohu. Ještě by mělo platit, že například x : = x. Pedagogická poznámka: S tím, že by se mělo převracet i při dělení zlomkem (zatím s jedničkou v čitateli), určitě někdo přijde, s vymýšlením slovní úlohy je to horší, tam moc dlouho nečekáme a já ukážu zadání následujícího příkladu. Př. 5: Paní učitelka má 0 m stuhy. Kolik kousků nastřihá, pokud budou mít všechny délku: a) 5 m, b) m, c) m, d) m, e) m, f) 5 m, g) 0, m, h) 5cm. Výsledky zdůvodni. a) 0 metrů stuhy na kousky o velikosti 5 m 0 : 5 = kusy b) 0 metrů stuhy na kousky o velikosti m 0 : = 5 kusů c) 0 metrů stuhy na kousky o velikosti m 0 : = 0 kusů d) 0 metrů stuhy na kousky o velikosti m 0 : = 0 = 0 kusů (z každého metru ustřihneme dva kousky) e) 0 metrů stuhy na kousky o velikosti m 0 : = 0 = 0 kusů (z každého metru ustřihneme tři kousky)
f) 0 metrů stuhy na kousky o velikosti 5 m 0 : = 0 5 = 50 kusů (z každého metru ustřihneme pět kousků) 5 g) 0 metrů stuhy na kousky o velikosti 0, m 0 : = 0 0 = 00 kusů (z každého metru ustřihneme deset kousků) 0 h) 0 metrů stuhy na kousky o velikosti 5cm 5 5cm = 0,05m = m = m 00 0 0 : = 0 0 = 00 kusů (z každého metru ustřihneme dvacet kousků) 0 Jiné řešení: 0 m = 000 cm 000 : 5 = 00 kusů. Dělení libovolným nenulovým číslem můžeme převést na násobení jeho převráceným číslem. Př. 6: Najdi převrácená čísla k uvedeným číslům. a) 5 b) 97 c) d) 4 e) f) 59 a) 5 5 b) 97 97 c) d) 4 4 e) -59 f) 59 Př. 7: Vypočti. Výsledek uveď v základním tvaru. Výsledky zdůvodni. a) 4 : b) 7 :5 c) : 7 d) : e) : 5 4 8 6 f) : 5 a) 4 : = 4 = (čtyři pětinové kousky rozděluji na dvě hromady na obou 5 5 5 hromádkách budou dvě pětinové kousky) b) 7 :5 = 7 = 7 (sedm třetinových kousků rozděluji na pět hromádek každý z nich 5 5 rozdělím na pět částí získám 5 patnáctinových částí na každou z pěti hromádek dám sedm patnáctinových částí)
c) : 7 = = (tři celky rozděluji na sedm hromádek každý celek rozdělím na 7 7 sedm sedminových částí, které rozdělím na hromádky na každé hromádce budou tři sedminové části) d) : = 8 = 8 = (ze čtvrtiny celku rozděluji na osminy získám dvě hromádky) 4 8 4 4 e) : = = = (šestinu celku máme rozdělit na třetinu celku z šestiny celku 6 6 6 třetinu nepostavíme ani jednu, máme pouze jednu polovinu požadované třetiny) f) : = = 6 5 5 5 Př. 8: Shrň, co zajímavého jsme v této hodině objevili. Kdy jsme se v minulosti setkali s něčím podobným? Dělení libovolným nenulovým číslem můžeme převést na násobení jeho převráceným číslem. S podobnou situací jsme se setkali: v kapitole o záporných číslech: x x x = x + (odečítat libovolné číslo je o opačná čísla: = + ( ), ( ) stejné jako přičítat číslo opačné). v kapitole o desetinných číslech: o násobení jednou desetinou je stejné jako dělení deseti (teď už víme, že kvůli tomu, že desetina je převrácené číslo k deseti), o dělení jednou desetinou je stejné jako násobení deseti (teď už víme, že kvůli tomu, že desetina je převrácené číslo k deseti), o násobení kladným číslem menším než jedna zmenšuje (protože to je stejné jako dělení převráceným číslem, které je větší než jedna), o dělení kladným číslem menším než jedna zvětšuje (protože to je stejná jako násobení převráceným číslem, které je větší než jedna). Př. 9: Jirka si nechal namoštovat padaná jablka a tak získal 8 litrů moštu. Do kolika nádob ho bude muset rozlít, pokud použije: a) velké zavařovací sklenice o objemu litry, b) PET láhve o objemu litry, c) střední zavařovací sklenice o objemu litru, d) plastové kelímky o objemu 4 litru, e) PET láhve o objemu,5 litru, f) klasické zavařovací sklenice o objemu 0,7 litru. a) velké zavařovací sklenice o objemu litry 8 : = 6 zavařovacích sklenic o objemu litry. b) PET láhve o objemu litry 4
8 : = 9 PET lahví o objemu litry. c) střední zavařovací sklenice o objemu litru 8 : = 8 = 6 středních zavařovacích sklenic o objemu litry. d) plastové kelímky o objemu 4 litru 8 : 8 4 7 4 = = plastových kelímků o objemu 4 litru. e) PET láhve o objemu,5 litru ( litru) 6 8 : = 8 = = PET lahví o objemu,5 litru. f) klasické zavařovací sklenice o objemu 0,7 litru ( 7 0 litru) 7 0 80 5 8 : = 8 = = 5 klasických zavařovacích sklenic o objemu 0,7 litru. 0 7 7 7 Př. 0: Novákovy mají dvě děti. Výška syna je výšky táty, výška dcery je výšky mámy, výška táty je 0 9 měří každý člen rodiny? výšky mámy a táta se synem dají dohromady m. Kolik + 5 Výška táty a syna: + = =... m = 00cm. Táta... 00 : 5cm = 60cm... 60cm = 80cm Syn... 60cm = 0cm Táta 80 cm... Máma 9 9 Máma 7 cm... Dcera 0 9 9... 9 9cm = 7cm... 57 cm = 4cm... 80 : 0cm = 9cm... 7: cm = 57cm 5
Táta měří 80 cm, máma 7 cm, syn 0 cm a dcera 4 cm. Pedagogická poznámka: Následující příklad je na domácí procvičení. Př. : Vypočti. Výsledek uveď v základním tvaru. Výsledky zdůvodni. a) : 6 b) 8 : 4 c) :8 d) : 4 e) : 7 5 9 4 f) 5 : a) : 6 = = = 7 7 6 7 4 6 c) :8 = = = 8 6 b) 8 8 : 4 = = 4 = 5 5 4 5 4 5 d) 4 9 : = = = 9 4 e) : 4 = 4 = 4 f) 5 : = 5 = 5 Shrnutí: Dělení libovolným nenulovým číslem můžeme převést na násobení jeho převráceným číslem. 6