M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Pythagorova věta Pythagorova věta Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Důkaz: Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: a 2 = c. c a b 2 = c. c b ---------------- Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: a 2 + b 2 = c. c a + c. c b = c. (c a + c b) = c. c = c 2 Platí také věta obrácená: CBD Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c 2 = a 2 + b 2, pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C. Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A B C takový, aby při vrcholu C byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a = a b = b Pro přeponu trojúhelníka A B C platí Pythagorova věta: c 2 = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 = c 2 Z toho vyplývá, že c = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A B C (sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C (který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat. Ukázkové příklady: Příklad 1: Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c =? [cm] ----------------------- Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c. Pokud bude platit c = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý. 2 c = a + b 2 = 4 2 + 5 2 = 41 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý. 1 z 29
± Pythagorova věta - procvičovací příklady 1. 1339 1,4 m 2. 1344 12 cm 3. 1348 4. 1345 5. 1347 6. 1341 6,06 cm 7. 0,6 cm 1340 8. 1350 4,9 cm 9. 1346 12 10. 1349 1,78 cm 11. 1343 1 092 cm 2 2 z 29
12. 1342 110 m ± Eukleidovy věty Eukleidovy věty 1. Věta o výšce Pata výšky C rozdělí stranu c na dvě části: c a, c b. Tvrzení: Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem CC B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta. Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: v c b ca = v Þ v 2 = c. c a Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem: v c a cb = v Þ v 2 = a b c. c b Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c. Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše. 2. Věta o odvěsně 3 z 29
Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: c b b = Þ b 2 = cb c b c. Rovněž by se dalo vyjádřit: c a a = Þ a 2 = ca c a c. Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně. Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše. Ukázkové příklady Příklad 1 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce: Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö10 Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2. 5 2. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x 2 = 10, resp. x 2 = 2. 5 3. Zvolíme-li x = v, c a = 2, c b = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce. 4. Protože platí c a + c b = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá 2 + 5 = 7 5. Narýsujeme úsečku AB o délce 7. 6. Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku 5. 7. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 8. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 9. Délka úsečky C X pak odpovídá hledané x = Ö10 Příklad 2 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně: 4 z 29
Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö10 Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2. 5 2. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x 2 = 10, resp. x 2 = 2. 5 3. Zvolíme-li x = a, c a = 2, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a. 4. Narýsujeme úsečku AB o délce 5. 5. Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku 2. 6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 7. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö10 ± Eukleidovy věty - procvičovací příklady 1. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö22. Kontrolu správnosti 4,69 1359 2. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö17. Kontrolu správnosti 4,12 1366 3. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö18. Kontrolu správnosti 4,24 1367 4. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö19. Kontrolu správnosti 4,36 1356 5. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö28. Kontrolu správnosti 5,29 1352 6. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö13. Kontrolu správnosti 3,61 1353 7. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö13. Kontrolu správnosti 3,61 1363 8. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö11. Kontrolu správnosti 3,32 1361 5 z 29
9. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti 4,58 1358 10. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö22. Kontrolu správnosti 4,69 1370 11. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö14. Kontrolu správnosti 3,74 1364 12. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö11. Kontrolu správnosti 3,32 1354 13. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö18. Kontrolu správnosti 4,24 1351 14. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö12. Kontrolu správnosti 3,46 1362 15. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö19. Kontrolu správnosti 4,36 1368 16. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö10. Kontrolu správnosti 3,16 1355 17. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö23. Kontrolu správnosti 4,80 1360 18. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö15. Kontrolu správnosti 3,87 1365 19. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti 4,58 1369 20. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti 2,83 1357 6 z 29
± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: v 2 = c a. c b neboli v = c a. c b Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad 1: Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r 1. Pak má platit: 2 2 r r 1 = 2 r r 1 =. r 2 Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah a = b c x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad 2: Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, 2Ö2 cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah: 7 z 29
3 = 5 2 2 x Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu: x = a b 2 Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru x = a neboli b = a a b a x ± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady 1. Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d 2, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček. 1422 Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d. 8 z 29
2. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö19. Kontrolu správnosti 4,36 1356 3. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö13. Kontrolu správnosti 3,61 1353 4. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö23. Kontrolu správnosti 4,80 1360 5. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö18. Kontrolu správnosti 4,24 1351 6. Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b. 1421 7. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti 2,83 1357 8. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö10. Kontrolu správnosti 3,16 1355 9. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö11. Kontrolu správnosti 3,32 1354 10. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö22. Kontrolu správnosti 4,69 1359 11. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti 4,58 1358 12. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö28. Kontrolu správnosti 5,29 1352 ± Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady Výpočty rovinných útvarů 9 z 29
Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit. ± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 1. 1508 0,8 m 2. 1517, 3. 1591 4. 1535 5. 1617 4 cm 2 10 z 29
6. 1562 7. 1578 8. 1540 6,075 cm 2 9. 1628 5 cm 10. 5 cm 1507 11. 1518 53,7 cm 2 11 z 29
12. 1528 88 cm 13. 1609 9,18 cm 14. 4 krát 1585 15. 1564 4/5 16. 1606 65,1 % 17. 977 m 2 1569 18. 1530 0,35 m 12 z 29
19. 1509 a = 110, b = 70, c = 60, d = 50, e = 60, f = 70, g = 60, h = 110 20. 1544,, 21. 1593 700 m 2 ; 160 m 22. 1551 13 z 29
23. 1594 75 24. 1547 4 100 krát 25. 1557 ABD 26. 1550 2 řešení: 10,5 cm; 1,5 cm 27. 1602 o = 24 cm; S = 41,6 cm 2 28. 1561 27 obdélníků 14 z 29
29. 1513 280 Kč 30. 1533 34,9 % 31. 1534 112 dlaždic 32. 1586 54 cm 2 33. 1618 16 trojúhelníků 34. 1570 40,2 m 2 35. 1583,, 15 z 29
36. 1614 204 cm 2 37. 1559 38. 1587 77,8 % 39. 1556 v = 6,06 cm ABD 40. 1574 2 řešení: 16 z 29
41. 1612 13,5 cm 42. 1568 5 cm 43. 1519 44. 1595 b) 45. 1598 15 17 z 29
46. 1576 Zmenšení obsahu o 20 % Zmenšení obvodu o 11,11 % 47. 1541 90 48. 24,3 cm 2 1539 49. 1538 Ne 50. 1567 414 m 2 51. 3,14 cm 2 1545 52. 1615 155, resp. 205 53. 10 1584 54. 1514 18 z 29
55. 1526,, 56. 1616 46 cm 57. 1531 0,08 m 2, 800 cm 2 58. 1560 52 cm 59. 1579 BC = 10 cm, obsah je 54 cm 2 60. 1580 Oba obsahy jsou shodné 19 z 29
61. 1607 Poloměr kružnice opsané: 4,62 cm Poloměr kružnice vepsané: 2,31 cm 60,5 % 62. 1625 193 m 63. 1624 795, 2 m 2 64. 1522 AF = 5 cm, BC = 1 cm 65. 1523 20 z 29
66. 1527 67. 1537 Není zavlažováno 61,81 m 2, třetí strana pole je 33,94 m. 68. 1589 20 69. 1620 70. 1582 6 21 z 29
71. 1554 57,74 cm 2 72. 1592 56,25 cm 2 73. 1581 11 74. 1600 4 cm 75. 1536 30 cm 76. 1542 77. 1520 7,5 ha 78. 1621 22 z 29
79. 1552 v = 4,33 cm 80. 1563 81. 1610 17,32 cm 82. 1565 Čtverec má větší obsah než obdélník. 83. 1543 4,8 cm 84. 1532 0,4 m 85. 249 cm 2 1627 86. 1548 5,7 m 87. 1553 60 cm 2 23 z 29
88. 1572 6,6 dm 2 89. 1605 90. 1577 Tupoúhlý 91. 1515 92. 1613 93. 1588 13,9 cm 94. 1510 120 24 z 29
95. 1601 480 cm 2 26 cm 96. 1623 97. 1611 140 m 98. 1575 1/2 99. 1596 3350 m 2 100. 1555 3 200 m 2 25 z 29
101. 1599 102. 1511 50 103. 1622 25 mm 104. 1546 94 105. 1529 50 cm 2 26 z 29
106. 1608 19 cm 2 107. 1549 108. 1525 2 400 cm 2 109. 1603 10 cm 110. 1597 75 111. 1590 58 112. 1558 113. 1521 30 m 27 z 29
114. 1626 115. 1512 70 116. 1604 117. 1566 Nemohou 118. 1524 40 m 28 z 29
119. 1516 29 z 29
Obsah Pythagorova věta 1 Pythagorova věta - procvičovací příklady 2 Eukleidovy věty 3 Eukleidovy věty - procvičovací příklady 5 Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná 7 Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady 8 Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady 9 Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 10 8.4.2007 15:39:51 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)