18AEK Aplikovaná ekonometrie a teorie časových řad Řešení domácích úkolů č. 1 a 2 příklad 1
Obecné pravidlo pro všechny testy Je stanovena nulová hypotéza: H 0 Je stanovena alternativní hypotéza: H A Je spočítána testová statistika se známým rozdělením: TS Postup s tabulkovou hodnotou: Pro známé rozdělení najdeme tabulkovou hodnotu: TS Pokud TS > TS, pak zamítáme H 0 (ve prospěch H A ) Postup s p-hodnotou (p-value): Pro známé rozdělení najdeme p-value pro hodnotu TS Pokud p value < α, pak zamítáme H 0 (ve prospěch H A ) Nezamítej H 0, pokud p value > α Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2
1. Příklad - zadání Příklad 1: Mikroekonomická keynesiánská spotřební funkce Zdroj: Založeno na hypotetických datech. Tabulka 1 uvádí týdenní údaje o velikosti spotřebních výdajů C, důchodů Y a výše bohatství W pro 10 domácností. Všechny uvedené hodnoty jsou v US dolarech. Naším úkolem je modelovat závislost spotřeby v USA na základě dostupných dat pomocí ekonometrické analýzy. Provést specifikaci, kvantifikaci a ekonomickou a statistickou verifikaci modelu. C i Y i W i 70 80 810 65 100 1009 90 120 1273 95 140 1425 110 160 1633 115 1180 1876 120 200 2052 140 220 2201 155 240 2435 150 260 2686 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3
1. Příklad - zadání K modelování lze použít následující modely (Keynes, 1936, Gujarati, 1988) a vybrat z nich ten nejlepší v souladu s ekonomickou a statistickou verifikací. Mikroekonomický keynesiánský model C i = β 0 + β 1 Y i + u i, i = 1, 2,, 10 a) na data bez jakékoliv úpravy, b) na data s vypuštěním extrémní 6. hodnoty (outlier), c) na data s ruční opravou 6. hodnoty příjmu na 180 (místo chybných 1180), d) s použitím umělé proměnné pro odstranění šoku v 6. pozorování. C i Y i W i 70 80 810 65 100 1009 90 120 1273 95 140 1425 110 160 1633 115 1180 1876 120 200 2052 140 220 2201 155 240 2435 150 260 2686 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4
1. Příklad - zadání Každý z uvedených čtyř modelů upravíme do nejlepší možné formy (dle ekonomické a statistické verifikace) a vybereme ten, který nejlépe modeluje použitá data v souladu s použitou teorií. e) Nejlepší model se pokusíme rozšířit o proměnnou bohatství W. Opět provedeme specifikaci, kvantifikaci a ekonomickou a statistickou verifikaci modelu. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5
1. Příklad - řešení Specifikace: Půjde o jednorovnicový model (viz zadání) Endogenní proměnná: C i - spotřeba Predeterminované (exogenní) proměnné: Y i - důchod W i - bohatství D i - umělá proměnná pro model šoku Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6
1. Příklad - řešení Specifikace: Očekávané hodnoty: 1.) 0 < dc i dy i < 1 Vysvětlení: dc i dy i 0 s rostoucím příjmem roste spotřeba (lidé víc utrácí), dc i dy i 1 nespotřebujeme více než 100 % příjmů (mezní sklon ke spotřebě) C i Y i W i 70 80 810 65 100 1009 90 120 1273 95 140 1425 110 160 1633 115 1180 1876 120 200 2052 140 220 2201 155 240 2435 150 260 2686 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7
1. Příklad - řešení Specifikace: Očekávané hodnoty: 2.) dc i dw i ( 0) Vysvětlení: s rostoucím bohatstvím klesá spotřeba (mnoho věcí již máme a nemusíme je tedy pořizovat, máme slevové karty pro V.I.P. atd.) data ale ukazují opak, budeme tedy hledat vysvětlení navíc čekáme problém s provázaností (a tedy i závislostí) výše bohatství a příjmů netroufáme si odhadnout ani znaménko, natož hodnotu C i Y i W i 70 80 810 65 100 1009 90 120 1273 95 140 1425 110 160 1633 115 1180 1876 120 200 2052 140 220 2201 155 240 2435 150 260 2686 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8
1. Příklad - řešení Specifikace: Očekávané hodnoty: 3.) dc i dd i jakákoliv hodnota Vysvětlení: nemáme podklady pro určení příčiny šoku v okamžiku šoku očekáváme nárůst příjmu (viz data a graf) a tedy i spotřeby data tomu však nenasvědčují (šok je spíše vlivem chyby) C i Y i W i 70 80 810 65 100 1009 90 120 1273 95 140 1425 110 160 1633 115 1180 1876 120 200 2052 140 220 2201 155 240 2435 150 260 2686 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9
1. Příklad - řešení a) Data bez jakékoliv úpravy: C i = β 0 + β 1 Y i + u i, i = 1,2,, 10 Specifikace: β 0 0 neboť předpokládáme autonomní spotřebu β 1 Kvantifikace: 0, 1 neboť 0 < dc i dy i < 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10
Model 1a: OLS, za použití pozorování 1-10 Závisle proměnná: Ci Předpoklad Kvantifikace Verifikace β 0 0 b 0 = 105,107 β 1 0, 1 b 1 = 0,0218258 Koeficient Směr. chyba t-podíl p-hodnota const 105,107 13,6424 7,7044 0,00006 *** Yi 0,0218258 0,0332642 0,6561 0,53015 Střední hodnota závisle proměnné 111,0000 Sm. odchylka závisle proměnné 31,42893 Součet čtverců reziduí 8436,023 Sm. chyba regrese 32,47311 Koeficient determinace 0,051066 Adjustovaný koeficient determinace -0,067551 F(1, 8) 0,430513 P-hodnota(F) 0,530153 Logaritmus věrohodnosti -47,87779 Akaikovo kritérium 99,75558 Schwarzovo kritérium 100,3608 Hannan-Quinnovo kritétium 99,09171 Nezamítej H 0, pokud p value > α Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11
Předpoklad Kvantifikace Verifikace β 0 0 b 0 = 111,000 Model 1a_oprava: OLS, za použití pozorování 1-10 Závisle proměnná: Ci Koeficient Směr. chyba t-podíl p-hodnota const 111,000 9,9387 11,1685 <0,00001 *** Střední hodnota závisle proměnné 111,0000 Sm. odchylka závisle proměnné 31,42893 Součet čtverců reziduí 8890,000 Sm. chyba regrese 31,42893 Koeficient determinace 0,000000 Adjustovaný koeficient determinace 0,000000 Logaritmus věrohodnosti -48,13987 Akaikovo kritérium 98,27974 Schwarzovo kritérium 98,58233 Hannan-Quinnovo kritétium 97,94781 Nezamítej H 0, pokud p value > α Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12
1. Příklad - řešení b) Data s vypuštěním extrémní 6. hodnoty: C i = β 0 + β 1 Y i + u i, i = 1, 2,, 5, 7,, 10 Specifikace: β 0 0 neboť předpokládáme autonomní spotřebu β 1 Kvantifikace: 0, 1 neboť 0 < dc i dy i < 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13
Model 1b: OLS, za použití pozorování 1-9 Závisle proměnná: Ci Předpoklad Kvantifikace Verifikace β 0 0 b 0 = 24,5135 β 1 0, 1 b 1 = 0,509459 Koeficient Směr. chyba t-podíl p-hodnota const 24,5135 6,85234 3,5774 0,00901 *** Yi 0,509459 0,0381998 13,3367 <0,00001 *** Střední hodnota závisle proměnné 110,5556 Sm. odchylka závisle proměnné 33,30207 Součet čtverců reziduí 335,9459 Sm. chyba regrese 6,927646 Koeficient determinace 0,962135 Adjustovaný koeficient determinace 0,956726 F(1, 7) 177,8677 P-hodnota(F) 3,12e-06 Logaritmus věrohodnosti -29,05921 Akaikovo kritérium 62,11842 Schwarzovo kritérium 62,51287 Hannan-Quinnovo kritétium 61,26720 Nezamítej H 0, pokud p value > α Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14
1. Příklad - řešení c) Data s ruční opravou 6. hodnoty: C i = β 0 + β 1 Y i + u i, i = 1, 2,, 5, 7,, 10 a C 6 = 115, Y 6 = 180 Specifikace: β 0 0 neboť předpokládáme autonomní spotřebu β 1 Kvantifikace: 0, 1 neboť 0 < dc i dy i < 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15
Model 1c: OLS, za použití pozorování 1-10 Závisle proměnná: Ci Předpoklad Kvantifikace Verifikace β 0 0 b 0 = 24,4545 β 1 0, 1 b 1 = 0,509091 Koeficient Směr. chyba t-podíl p-hodnota const 24,4545 6,41382 3,8128 0,00514 *** Yi 0,509091 0,0357428 14,2432 <0,00001 *** Střední hodnota závisle proměnné 111,0000 Sm. odchylka závisle proměnné 31,42893 Součet čtverců reziduí 337,2727 Sm. chyba regrese 6,493003 Koeficient determinace 0,962062 Adjustovaný koeficient determinace 0,957319 F(1, 8) 202,8679 P-hodnota(F) 5,75e-07 Logaritmus věrohodnosti -31,78092 Akaikovo kritérium 67,56184 Schwarzovo kritérium 68,16701 Hannan-Quinnovo kritétium 66,89797 Nezamítej H 0, pokud p value > α Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16
1. Příklad - řešení d) Data s umělou proměnnou pro 6. hodnotu: C i = β 0 + β 1 Y i + β 2 D i + u i, i = 1, 2,, 10, D i = 0 pro i 6, D 6 = 1 Specifikace: β 0 0 neboť předpokládáme autonomní spotřebu β 1 0, 1 neboť 0 < dc i dy i < 1 β 2, neboť neznáme důvod šoku Kvantifikace: Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17
Model 1d: OLS, za použití pozorování 1-10 Závisle proměnná: Ci Koeficient Směr. chyba t-podíl β 2, b p-hodnota 2 = 510,676 const 24,5135 6,85234 3,5774 0,00901 *** Yi 0,509459 0,0381998 13,3367 <0,00001 *** Di -510,676 39,3085-12,9915 <0,00001 *** Střední hodnota závisle proměnné 111,0000 Sm. odchylka závisle proměnné 31,42893 Součet čtverců reziduí 335,9459 Sm. chyba regrese 6,927646 Koeficient determinace 0,962211 Adjustovaný koeficient determinace 0,951414 F(2, 7) 89,11907 P-hodnota(F) 0,000010 Logaritmus věrohodnosti -31,76121 Akaikovo kritérium 69,52242 Schwarzovo kritérium 70,43018 Hannan-Quinnovo kritétium 68,52662 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18 Předpoklad Kvantifikace Verifikace β 0 0 b 0 = 24,5135 β 1 0, 1 b 1 = 0,509459 Nezamítej H 0, pokud p value > α
1. Příklad - řešení e) Výběr nejlepšího modelu: Model Korigovaný koeficient determinace a) Data bez jakékoliv úpravy 0,000000 b) Data s vypuštěním extrémní 6. hodnoty 0,956726 c) Data s ruční opravou 6. hodnoty 0,957319 d) Data s umělou proměnnou pro 6. hodnotu 0,951414 Rozšíření nejlepšího modelu o bohatství W: C i = β 0 + β 1 Y i + β 2 W i + u i, i = 1, 2,, 5, 7,, 10 a C 6 = 115, Y 6 = 180, W 6 = 1876 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19
1. Příklad - řešení e) Rozšířený model: C i = β 0 + β 1 Y i + β 2 W i + u i, i = 1, 2,, 5, 7,, 10 a C 6 = 115, Y 6 = 180, W 6 = 1876 Specifikace: β 0 0 neboť předpokládáme autonomní spotřebu β 1 0, 1 neboť 0 < dc i dy i < 1 β 2, neboť dc i dw i ( 0) může být jakékoliv Kvantifikace: Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20
Model 1e: OLS, za použití pozorování 1-10 Závisle proměnná: Ci Koeficient Směr. chyba t-podíl β 2, b p-hodnota 2 = 0,0424345 const 24,7747 6,7525 3,6690 0,00798 *** Yi 0,941537 0,822898 1,1442 0,29016 Wi -0,0424345 0,0806645-0,5261 0,61509 Střední hodnota závisle proměnné 111,0000 Sm. odchylka závisle proměnné 31,42893 Součet čtverců reziduí 324,4459 Sm. chyba regrese 6,808041 Koeficient determinace 0,963504 Adjustovaný koeficient determinace 0,953077 F(2, 7) 92,40196 P-hodnota(F) 9,29e-06 Logaritmus věrohodnosti -31,58705 Akaikovo kritérium 69,17411 Schwarzovo kritérium 70,08186 Hannan-Quinnovo kritétium 68,17830 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21 Předpoklad Kvantifikace Verifikace β 0 0 b 0 = 24,7747 β 1 0, 1 b 1 = 0,941537 Nezamítej H 0, pokud p value > α Korelační koeficienty, za použití pozorování 1-10 5% kritická hodnota (oboustranná) = 0,6319 pro n = 10 Ci Yi Wi 1,0000 0,9808 0,9781 Ci 1,0000 0,9990 Yi 1,0000 Wi
Předpoklad Kvantifikace Verifikace Model 1e_oprava: OLS, za použití pozorování 1-10β 0 0 b 0 = 24,4545 Závisle proměnná: Ci β 1 0, 1 b 1 = 0,509091 Koeficient Směr. chyba t-podíl p-hodnota const 24,4545 6,41382 3,8128 0,00514 *** Yi 0,509091 0,0357428 14,2432 <0,00001 *** Střední hodnota závisle proměnné 111,0000 Sm. odchylka závisle proměnné 31,42893 Součet čtverců reziduí 337,2727 Sm. chyba regrese 6,493003 Koeficient determinace 0,962062 Adjustovaný koeficient determinace 0,957319 F(1, 8) 202,8679 P-hodnota(F) 5,75e-07 Logaritmus věrohodnosti -31,78092 Akaikovo kritérium 67,56184 Schwarzovo kritérium 68,16701 Hannan-Quinnovo kritétium 66,89797 Nezamítej H 0, pokud p value > α Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22
1. Příklad - výsledek Nejlepší model (c): C i = β 0 + β 1 Y i + u i, i = 1, 2,, 5, 7,, 10 a C 6 = 115, Y 6 = 180 Specifikace: β 0 0 neboť předpokládáme autonomní spotřebu β 1 Kvantifikace: 0, 1 neboť 0 < dc i dy i < 1 C i = 24,4545 + 0,5091 Y i + e i (6,4138) (0,0357) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23
Verifikace: Ekonomická: Statistická: 1. Příklad - výsledek Předpoklad Kvantifikace Verifikace β 0 0 b 0 = 24,4545 β 1 0, 1 b 1 = 0,509091 Koeficient Směr. chyba t-podíl p-hodnota const 24,4545 6,41382 3,8128 0,00514 *** Yi 0,509091 0,0357428 14,2432 <0,00001 *** Koeficient determinace 0,962062 Adjustovaný koeficient determinace 0,957319 F(1, 8) 202,8679 P-hodnota(F) 5,75e-07 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24 Uvedené výsledky testů platí pouze za předpokladu, že u~n(0, σ 2 I) Nezamítej H 0, pokud p value > α
1. Příklad - výsledek Test normality (pro rezidua místo náhodných chyb): H 0 : u~n(.,. ) H A : u N(.,. ) Nezamítej H 0, pokud p value > α Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25
1. Příklad - výsledek Test normality (pro rezidua místo náhodných chyb): Frekvenční rozdělení pro uhat9, poz. 1-10 počet tříd = 5, střední hodnota = 1,27898e-014, so = 6,493 interval střed frequence rel. kum. < -8,0227-10,364 1 10,00% 10,00% *** -8,0227 - -3,3409-5,6818 2 20,00% 30,00% ******* -3,3409-1,3409-1,0000 2 20,00% 50,00% ******* 1,3409-6,0227 3,6818 4 40,00% 90,00% ************** >= 6,0227 8,3636 1 10,00% 100,00% *** Test nulové hypotézy normálního rozdělení: Chí-kvadrát(2) = 1,043 s p-hodnotou 0,59362 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26 H 0 : u~n(.,. ) H A : u N(.,. ) Nezamítej H 0, pokud p value > α
Verifikace: 1. Příklad pokračování (DÚ2) Ekonometrická: 1. E u = 0 test na rezidua, i=1 n e i = 0, 1 n i=1 n e i = 0 2. E uu T = σ 2 I test homoskedasticity a sér. Nezávislosti 3. E X T u = 0 v jednorovnicových modelech platí vždy 4. h X = k test multikolinearity Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27
Verifikace: 1. Příklad pokračování (DÚ2) Ekonometrická: Homoskedasticita Whiteův test Sériová nezávislost Durbinův-Watsonův test (nemáme zpožděné proměnné) Nepřítomnost multikolinearity jediná vysvětlující proměnná, tedy multikolinearita nemůže nastat a není třeba ji testovat (proměnná nemá být s čím kolineární) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28
1. Příklad pokračování (DÚ2) Verifikace: Ekonometrická: Homoskedasticita Whiteův test H 0 : homoskedasticita H A : heteroskedasticita Nezamítej H 0, pokud p value > α Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29
Verifikace: 1. Příklad pokračování (DÚ2) Ekonometrická: Sériová nezávislost Durbinův-Watsonův test H 0 : sériová nezávislost H A : autokorelace 1. řádu Nezamítej H 0, pokud p value > α Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30
Verifikace: 1. Příklad pokračování (DÚ2) Ekonometrická: Sériová nezávislost Breuschův-Godfreyův test H 0 : sériová nezávislost H A : autokorelace 1. řádu Nezamítej H 0, pokud p value > α Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31
1. Příklad pokračování (DÚ2) Verifikace: Ekonometrická: Předpoklad Test Verifikace Homoskedasticita White Sériová nezávislost Durbin-Watson Breusch-Godfrey Žádná multikolinearita Nemůže nastat Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32
KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33