Práce, výkon, energie Příklad. Vozík má hmotnost 400 kg, výkon motoru je,0 kw. Vodorovná cesta má součinitel smykového tření 0,. Určete jaký maximální náklad vozík uveze, aby se pohyboval rychlostí 2 m.s. / 00 kg / Návod: Vozík pohání tažná síla motoru F, proti ní působí síla tření F t. Jestliže se vozík pohybuje rovnoměrně, jsou obě v rovnováze F = F t Protože vozík má konstantní rychlost v a výkon motoru P je stálý, platí, že P = F v, a tedy F = P/v. Třecí sílu můžeme spočítat podle vztahu F t = ff G = fmg, kde m je hmotnost vozíku i s nákladem. Po dosazení do předchozího vztahu máme P v = fmg a odtud m = P vfg číselně vyjde m. = 500 kg, vozík tedy uveze zhruba 500 400 = 00 kg náklad. Příklad 2. Po silnici jedou dva stejné automobily. První jede rychlostí 40 km/h, druhý 80 km/h. V jakém poměru jsou kinetické energie obou automobilů? / :4 / Návod: Kinetická energie prvního automobilu je E k = 2 mv2 Kinetická energie druhého automobilu je E k2 = 2 mv2 2 Protože automobily jsou stejné, mají stejnou hmotnost m. Poměr energií je E k E k2 = 2 mv2 2 mv2 2 = v2 v 2 2 = 402 80 2 = 4 Příklad 3. Kámen o hmotnosti,0 kg padá volným pádem z věže o výšce 40 m. Stanovte jeho kinetickou a potenciální energii v čase 2,0 s od začátku pádu. Jak velká je celková mechanická energie kamene? / 200 J, 200 J, 400 J / Návod: V čase t = 2,0 s má kámen rychlost v = gt. = 20m/s
a kinetickou energii (m =,0 kg) E k = 2 mv2 = 200 J. Jeho celková mechanická energie je rovna potenciální tíhové energii na začátku pohybu (h = 40 m) E celk = E p,zac = mgh = 400 J Jeho potenciální energie v čase t dostaneme po odečtení kinetické energie od celkové mechanické energie E p = E celk E k = 400 J 200 J = 200 J. Příklad 4. Na pevné kladce je upevněn kbelík s betonovou směsí o celkové hmotnosti 20 kg a je vytahován vrátkem do výšky 5 m stálou rychlostí 0,6 m/s. a) Jak dlouho je kbelík v pohybu? b) Jakou nejmenší silou musí být kbelík zvedán? c) Jaký musí být nejmenší výkon vrátku? / 25 s, 96 N, 8 W / Návod:. Jde o rovnoměrný přímočarý pohyb, tedy t = s v = 5 m = 25 s. 0,6 m/s 2. Kbelík je zvedán silou F, proti ní působí tíhová síla F G = mg. Pokud se pohybuje rovnoměrně, jsou přibližně v rovnováze. F = F G = mg. = 20 9, 8 N. = 96 N. 3. Nejméně P = F v. = 96 0, 6 W. = 8 W. Příklad 5. Jak velkou práci vykonáme, přemístíme-li rovnoměrným pohybem těleso o hmotnosti 20 kg do vzdálenosti 5,0 m po nakloněné rovině, svírající s vodorovnou rovinou úhel 30? Součinitel smykového tření mezi tělesem a povrchem nakloněné roviny je a) 0, b) 0, / a) 490 J, b) 575 J / Návod: a) Pokud není žádné tření, pak je práce rovna přírůstku potenciální energie. Těleso jsme zdvihli do výšky h, platí sin α = h s = h = s sin α 2
a tudíž W = mgh = mgs sin α. = 490 J. b) Při přítomném tření vynaložíme další práci W navíc na překonání působící třecí síly. Na nakloněné rovině působí na těleso tíhová síla F G, její kolmá složka k nakloněné rovině je F n = F G cos α a sílu tření lze vypočítat ze vztahu F t = ff n = fmg cos α. Práci W na překonání třecí síly na dráze s vypočteme ze vztahu W = F t s = fmgs cos α. = 85 J Celková práce vykonaná při přítomnosti tření je tedy W + W. = 575 J. Příklad 6. Jak velkou práci vykonal motor nákladního auta, jestliže auto o hmotnosti 3,0 t zvýšilo na vodorovné silnici rychlost z 2 m/s na rychlost 20 m/s? Tření a odpor vzduchu zanedbejte. / 3,84 0 5 J / Návod: Vykonal práci, která je rozdílem kinetických energií automobilu. Tedy (3 t = 3000 kg) číselně W = E k2 E k = 2 mv2 2 2 mv2 W = 2 3000 202 J 2 3000 22 J = 384 000 J = 3,84. 0 5 J Příklad 7. Hozený kámen měl ve výšce 4,0 m rychlost 8,0 m/s. Jaká bude jeho rychlost ve výšce 7,0 m, je-li g =9,8 m s 2? / 2,28 m/s / (špatný výsledek v papírech?) Návod: Kinetická energie kamene na počátku byla (v = 8,0 m/s) E k = 2 mv2. Po vystoupání o tři metry klesla na hodnotu (v 2 =? neznáme, máme spočítat) E k2 = 2 mv2 2. Jeho výška vzrostla o h = 3,0 m, potenciální energie tedy vzrostla o E p = mg h O tuto hodnotu klesla kinetická energie (podle zákona zachování mechanické energie), platí tedy E k2 = E k E p po dosazení máme 2 mv2 2 = 2 mv2 mg h 3
Hmotnost m se pokrátí a po vynásobení dvojkou a odmocnění máme 2 v2 2 = 2 v2 g h v2 2 = v 2 2g h v 2 = v 2 2g h Číselně v 2. = 2,28 m/s. Příklad 8. Neutron letící rychlostí ν se srazí centrálním pružným rázem s jádrem C, které je v klidu. Jak se změní kinetická energie neutronu? (Určete poměr kinetické energie neutronu po srážce a před srážkou.) / 2:69 / Návod: Jádro (běžného izotopu) uhlíku obsahuje 2 nukleonů, je tedy přibližně 2x těžší než neutron. Označme m hmotnost neutronu a 2m hmotnost jádra uhlíku, ν rychlost neutronu před srážkou a ν, ν 2 rychlost neutronu a jádra po srážce. Při pružné srážce platí zákon zachování hybnosti i zákon zachování energie, tedy platí vztahy mν + 0 = mν + 2mν 2 2 mν2 + 0 = 2 mν2 + 2 (2m)ν2 2 V obou rovnicích pokrátíme m, druhou vynásobíme dvěma. ν = ν + 2ν 2 ν 2 = ν 2 + 2ν 2 2 Soustavu s neznámými ν a ν 2 musíme vyřešit. Z první vyjádříme ν a dosadíme do druhé. ν = ν 2ν 2 odtud dostaneme rovnici kterou upravíme a vyřešíme. ν 2 = (ν 2ν 2 ) 2 + 2ν 2 2 ν 2 = ν 2 24νν 2 + 44ν 2 2 + 2ν 2 2 0 = 24νν 2 + 56ν 2 2 Rovnice s neznámou ν 2 má dvě řešení, první je ν 2 = 0 (které nás nezajímá, nebot odpovídá situaci před srážkou) a druhé, které dostaneme krácením ν 2 a vyjádřením 0 = 24ν + 58ν 2 ν 2 = 24 56 ν = 2 3 ν 4
Ze vztahu výše hned máme, že ν = ν 2ν 2 = ν 2 2 3 ν = ν 24 3 ν = 3 ν Znaménko minus značí, že neutron se odrazí zpět (jeho rychlost po srážce má opačnou orientaci). Poměr kinetických energií před netronu před a po srážce je E k,pred E k,po = 2 mν2 = ν2 2 mν2 ν 2 = ν 2 ( 3 ν) 2 = 32 2 = 69 2. Příklad 9. Střela o hmotnosti m narazí do visícího pytle s pískem o hmotnosti M, ve kterém uvízne (balistické kyvadlo). Pytel se vychýlí proti rovnovážné poloze o výšku h. Vyjádřete vztah pro rychlost střely v. / (M + m) 2gh M / Návod: Jde o nepružnou srážku střely s kyvadlem, pro kterou platí zákon zachování hybnosti. mv + 0 = (m + M)v odkud máme v = m + M m v kde v je rychlost střely před srážkou a v rychlost slepence (střely+kyvadla) po srážce. Tuto rychlost v můžeme spočítat podle zákona zachování mechanické energie, nebot balistické kyvadlo svou kinetickou energii E k = 2 (m + M)v 2 přemění na potenciální energii E p = (m + M)gh. Platí tedy E k = E p a tedy 2 (m + M)v 2 = (m + M)gh v 2 = 2gh v = 2gh Po dosazení do předchozího vztahu pro v vidíme, že v = m + M 2gh m Příklad 0. Lokomotiva táhne vlečným lanem napjatým silou F = 5000 N vagon na vedlejší koleji. Vzdálenost os obou kolejí je d = 6, 0 m, délka vlečného lana je l = 0 m. Vypočítejte práci, kterou vykoná síla F na dráze 00 m. /quad / 400 kj/ 5
Návod: Síla svírá se směrem kolejí úhel α, pro který platí sin α = d l2 d = cos α = 2 l l (Nakreslete si pravoúhlý trojúhelníku, kde l je přepona a d protilehlá odvěsna k jednomu ostrému úhlu α.) Tudíž práce na dráze s = 00 m je rovna l2 d W = F s cos α = F s 2. = 400 kj. l Příklad. Lyžařský vlek je dlouhý 244 m a je v provozu na svahu o sklonu 37. Lano se pohybuje rychlostí 3, 7 km/h. Vlek táhne současně 80 lyžařů průměrné hmotnosti 75 kg. Vypočtěte nutný výkon vleku. Tření zanedbáváme. / 35 kw / Návod: Nutný výkon vleku P vypočteme podle vztahu P = F v kde F je tažná síla a v rychlost pohybu lana. Tažnou sílu určíme takto: na každého lyžaře působí tíhová síla, která má ve směru po svahu složku F G sin α = mg sin α (složka mířící podél nakloněné roviny). Jestliže N je počet lyžařů, pak a (Délka vleku je nadbytečný údaj.) F = NF G sin α = Nmg sin α P = F v = Nmgv sin α. = 35 kw. Příklad 2. Vagón o hmotnosti 20 t narazil do stěny. Obě pružiny nárazníků se přitom zkrátily o 0 cm. Tuhost pružin je 0 6 N.m. Jakou rychlostí jel vagón? /,0 m/s / (O pružnosti pružin bude řeč v kapitole 3. Mechanické kmitání.) Návod: Při zkrácení pružin o l = 0 cm získají obě potenciální energii pružnosti E p = 2 k( l)2 Získají ji tím, že o ně zastaví vlak, pohltí tedy jeho kinetickou energii E k = 2 mv2. Platí tedy E k = 2E p 2 mv2 = 2 2 k( l)2 v 2 = 2k m ( l)2 2k v = m l =., 0 m/s. 6
Příklad 3. Matematické kyvadlo s vláknem délky,0 m a kuličkou o hmotnosti,0 kg vykloníme o úhel 30. Vypočítejte přírůstek potenciální energie kuličky, rychlost v rovnovážné poloze a maximální (tečné) zrychlení kyvadla. /,3 J,,6 m/s, 4,9 m/s 2 / Návod: Označme l =,0 m délku vlákna, m =,0 kg hmotnost kuličky a α = 30 úhel výklonu. Kulička se tak ocitne ve výšce h nad rovnovážnou polohou, pro kterou platí, že h = l l cos α = l( cos α) Tomu odpovídá přírůstek potecniální energie E p = mgh = mgl( cos α). =,3 J. V rovnovážné poloze se tento přírůstek celý přemění na kinetickou energii E k = 2 mv2, platí tedy, že E k = E p 2 mv2 = mgh v = 2gh = 2gl( cos α). =,6 m/s. Maximální zrychlení (tečné, tj. ve směru svého pohybu) má kyvadlo v krajní poloze. Je způsobené složkou tíhové síly, která je tečná k trajektorii, a platí tedy, že a = F G sin α m mg sin α = = g sin α =. 4,9 m. s 2. m Příklad 4. Pomocí pevné kladky vytahujeme vzhůru kbelík o hmotnosti 2 kg rychlostí 0,80 m.s Musíme při tom působit silou 30 N po dobu 7,0 s. Určete účinnost kladky, je-li g= 9,8 m.s 2. / 90% / Návod: Kbelík urazí dráhu s = vt = 0,80. 7,0 m = 5,6 m. Spotřebovanou energii (resp. práci) spočteme podle vztahu W 0 = F s = 30 5, 6 J = 728 J Stroj přitom vykoná práci rovnou přírůstku potenciální energie kbelíku, tedy W = mgh = mgs = 2 9, 8 5, 6 J. = 658,5 J Účinnost je rovna poměru vykonané práce a spotřebované energie, tedy η = W W 0 00%. = 90% Příklad 5. Jakou mechanickou energii má kyvadlo o délce,0 m a hmotnosti,0 kg, je-li jeho maximální odchylka od rovnovážné polohy 30? Jakou silou je namáhán závěs při průchodu kyvadla rovnovážnou polohou? /,3 J, 2,4 N / 7
Návod: Celková mechanická energie E je rovna potenciální v krajní poloze nebo kinetické v rovnovážné poloze. V předpředchozím příkladu jsme spočítali, že potenciální energie v krajní poloze je E = E p = mgl( cos α). =,3 J a pomocí zákona zachování mechanické energie jsme vypočetli, že kyvadlo má při průchodu rovnovážnou polohou rychlost v = 2gh = 2gl( cos α). V rovnovážné poloze (v soustavě souřadnic spojené s kyvadlem) na kyvadlo působí tíhová síla plus odstředivá síla, závěs musí kompenzovat obě. Proto je napínán silou F = F G +F s = mg+m v2 l 2gl( cos α) = mg+m = mg(3 2 cos α) =. 2,4 N. l Příklad 6. Do vodárny, která se nachází ve výšce 36 m nad hladinou nádrže je třeba načerpat za hodinu 900 hl vody. Jaký výkon musí mít čerpadlo? / 9 kw / Návod: Na načerpání 900hl = 90000l vody (která váží m = 90 000 kg) je zapotřebí práce rovná přírůstku její potenciální energie W = E p = mgh. = 32,4 MJ Výkon spočteme jako práci W dělenou časem t ( hod = 3600 s) P = W t = 32 400 000 J 3 600 s. = 9 000 W = 9 kw. Příklad 7. Jsou dány dvě koule, kinetická energie první koule E je 20krát větší než kinetická energie E 2 druhé koule. Hmotnost. koule je m, 2. koule m 2. Tyto koule se pohybují proti sobě, náraz je dokonale nepružný. Obě koule se potom pohybují ve směru původní rychlosti koule, která měla menší kinetickou energii. Vyslovte podmínku, aby nastal tento případ. / m 2 > 20m, v > 20v 2 / Návod: Pro nepružný ráz platí zákon zachování hybnosti. Označme v a v 2 velikosti rychlostí první a druhé koule (druhá má 20x menší kinetickou energii). Platí, že m 2 v 2 m v = (m + m 2 )v znaménko minus vlevo značí, že první koule se pohybuje opačným směrem než druhá. Aby rychlost v měla stejný směr i orientaci jako v, pak výraz nalevo musí být kladný, musí tedy platit, že m 2 v 2 > m v 8
Pokud obě strany nerovnice vynásobíme členem 2 v v 2, dostaneme, že m 2 v 2 2 v v 2 > m v 2 v v 2 2 m 2v 2 2v > 2 m v 2 v 2 E k2 v > E k v 2 a protože E k : E k2 = 20, máme v > E k E k2 v 2 v > 20v 2. Odtud dále vyplývá, že m 2 v 2 > m v > m 20v 2 tedy m 2 v 2 > 20m v 2 a tedy m 2 > 20m. Podmínky v > 20v 2, m 2 > 20m jsou nutné a stačí, aby došlo k popsanému jevu. Příklad 8. Turbína hydroelektrárny je o 200 m níže než hladina vody v přehradě. Rychlost vody vytékající z turbiny je 30 m.s. Jaká část vodní energie je turbinou využita? / 78 % / Návod: Voda nahoře má potenciální energii E up = mgh dole energii kinetickou E down = 2 mv2 Úbytek energie je E = E up E down = mgh 2 mv2 Část energie, která je využita, je určena podílem E 00% = mgh ) 2 mv2 00% = ( v2 00% =. 78% E up mgh 2gh 9
Příklad 9. Z nejvyššího bodu koule o poloměru r klouže bez tření malé těleso (hmotný bod) po povrchu koule dolů. V nejvyšším bodě mělo nulovou rychlost. Kde se oddělí od povrchu koule a jakou bude mít v tomto bodě rychlost? / h = 2 3 r, v = 2 3 gr / Návod: Oddělí se ve chvíli, kdy se vyrovná odstředivá síla a složka tíhové síly působící kolmo k povrchu. Pro odstředivou sílu platí F s = m v2 r pro složku tíhové síly kolmou k povrchu platí F G cos α = F G r H r kde H je výška, o kterou těleso spadlo. Podle zákona zachování mechanické energie je v 2 = 2gH. Dostáváme tak rovnost F S = F G cos α m v2 r = mg r H r 2gH r = g r H r 2H = (r H) 2H = r H 3H = r H = r 3 Těleso je tedy v tu chvíli ve výšce h = r H = 2 3r nad povrchem. Má rychlost v 2 = 2gH v = 2gH v = v = 2g r 3 2 3 rg 0
Příklad 20. Na dvou nehmotných tyčích délky l jsou takto umístěny hmotné body: na první tyči je hmotný bod o hmotnosti 2m ve vzdálenosti l od upevněného místa tyče, na druhé tyči jsou dva hmotné body, každý o hmotnosti m, ve vzdálenosti l/2 a l od místa upevnění tyče (viz obr.). Obě tyče vychýlíme z rovnovýžné polohy o 90 a volně pustíme. Jak velkou rychlost budou mít konce tyčí při průchodu spodní rovnovážnou polohou? / v = 2 2gl, v 2 = gl tyč se dvěma kuličkami bude rychlejší / 5 Návod: První tyč, mající hmotný bod 2m na svém konci, získala ve vychýlené poloze potenciální energii E p = 2mgl která se všechna změnila v kinetickou energii E k = 2 (2m)v2. Podle zákona zachování mechanické energie má konec tyče rychlost, aby E p = E k 2mgl = mv 2 v = 2gl Druhá tyč, mající hmotný bod m na svém konci a m v polovině, získala ve vychýlené poloze potenciální energii E p = mgl + mgl/2 která se všechna změnila v kinetickou energii E k = 2 mv2 + 2 m ( v 2 ) 2 (protože hmotný bod ve středu tyče se pohybuje po oblouku polovičního poloměru a tedy poloviční rychlostí než koncový bod). Podle zákona zachování mechanické energie má konec tyče rychlost v takovou, aby E p = E k mgl + mg l 2 = 2 mv2 + 8 mv2 3 2 mgl = 5 8 mv2 2 v = 5 gl Příklad 2. Celková tíha padáku a parašutisty je G = 000 N. Otevřený padák je brzděn odporem vzduchu, který je úměrný čtverci rychlosti pádu. Při rychlosti v =3m.s je brzdící síla připadající na plošnou jednotku vodorovného průmětu padáku rovna R = 00N.m 2. Jak velký musí být vodorovný průmět padáku, smí-li parašutista dopadnout na zem rychlostí v =,2 m.s. Jak se změní rychlost dopadu, bude-li mít padák poloviční lineární rozměry? / 62,5 m 2, 2,4 m.s /
Návod: Označme R brzdící sílu na čtverečnou jednotku, jestliže rychlost pádu je v. Platí, že R R = v 2 v 2 = R = R v 2, 22 = 00 v2 3 2 N/m2 = 6 N/m 2. Celkový odpor F o = R S, kde S je plocha průmětu padáku, se musí vyrovnat tíze (nebot pád je rovnoměrný a síly tak musí být v rovnováze). Odtud máme, že F o = G R S = G S = G R = 000. 6 m2 = 62,5 m 2. Jestliže padák bude mít poloviční lineární rozměry, pak plocha průmětu bude čtvrtinová, nebot S l 2 a (/2) 2 = /4. Odporová síla je, podle vztahu R = G/S, velikosti plochy nepřímo úměrná, tedy čtyřikrát vzroste, neb velikost plochy čtyřikrát poklesla. Jest R S a 4 = 4. A protože čtverec rychlosti pádu je úměrný odporu, tj. v 2 R, což znamená, že v R, vzroste rychlost pádu dvakrát, nebot 4 = 2. Tedy z,2 m/s na 2,4 m/s. 2