Střípky z LA Letem světem algebry Jaroslav Horáček Pojem Algebra Laicky řečeno algebra je struktura na nějaké množině, společně s nějakými operacemi, které splňují určité vlastnosti. Případy algebry lineární algebra, Booleova algebra apod. Pojem Uzavřenost Základní algebraická vlastnost, říkající, že prvky z mnou zvolené množiny, poté co na ně aplikuji všechny mé povolené operace, opět zůstanou v mé množině a nevypadnou mi mimo ni. Máme spoustu algebraických struktur, které jsou ve směru šipky složitější a splňují vlastnosti předchozích: grupoid kvazigrupa pologrupa monoid grupa polookruh okruh obor integrity těleso poset polosvaz svaz V prvním řádku jsou struktury s jednou binární operací. Ve druhém řádku se dvěma binárními operacemi. Ve třetím přidáme ještě uspořádání. Nás však budou zajímat hlavně grupy a tělesa. Pojem Grupa Grupu můžeme definovat dvěma způsoby. Buď zavedeme nějaké axiomy a řekneme, že struktura splňující tyto axiomy je grupa, nebo můžeme vzít něco, například permutace a říct, že jim budeme říkat grupa (takto to udělal Évariste Galois). Axiomatická definice: grupa je dvojice (G, ), kde G je množina a je binární operace na G splňující: 1. asociativita a, b, c G : a (b c) = (a b) c 2. neutrální prvek e G : a G e a = a e = a 3. inverzní prvek a G : b G a b = b a = e Grupu nazýváme komutativní / Abelovou, pokud je operace komutativní. Grupě s = + říkáme aditivní a neutrální prvek značíme 0 grupě s = říkáme multiplikativní a neutrální prvek značíme 1. Příklad 0: Toto jsou všechno grupy, protože platí axiomy. Aditivní: (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) (R m n, +) 1
A nyní multiplikativní: (množina reálných polynomů v prom. x, +) (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ) Nyní se podíváme na některé trošku jiné případy grup. Příklad 1: (Grupa symetrií čtverce) Označovaná též Dihedrální grupa D 4. Někdo značí D 2n. Množina je tvořená geometrickými operacemi, po kterých dostaneme zase ten samý čtverec a je uzavřená na skládání. Jaké jsou to operace? Řešení: id, rotace( 90, 180, 270 ), vertikální a horizontální překlopení, překlopení podle obou diagonál Příklad 2: tzv. Lineární grupa neboli (matice n n regulární, ). Historické okénko Évariste Galois (1811-1832) nazval grupu permutací prostě grupou výborný matematik, i když trošku chaotický těžká politická situace v jeho době - byl politicky hodně činný, místy víc než matematicky byl několikráte ve vězení, kde dopilovával svoje matematické zápisky zemřel za podivných okolností v souboji jeho dílo přepsáno do srozumitelnější formy (asi 60 stránek) avšak několik velmi hodnotných výsledků 1830 dokázal, že nelze provést trisekce úhlu pomocí pravítka a kružítka Příklad 3: tzv. Symetrická grupa - grupa permutací na n-prvkové množině. Permutacemi se nebudeme příliš zabývat, neboť se probírají v diskrétní matematice. Nutno podotknout, že skládání permutací není komutativní. 2
Pojem Podgrupa Podmnožina grupy, která je také grupou. Příklady: (Sudá čísla, +) (Z, +) (Lichá čísla, +)) (Z, +) protože nejsou uzavřená (součet dvou lichých čísel je sudé) A n (Sudé permutace) S n Příklad 4: Určete zda je grupou. a) (Q, ) b) (Q, ) c) (množina posunutí v R 2, ) d) (Liché permutace nad n-prvkovou množ., ) Řešení: a) Ne 0 nemá inverz pro násobení, b) Ne neplatí např. pro neutrální prvek a 0 = a, ale 0 a a, c) Ano, d) Ne složení dvou lichých permutací může dát sudou. Zkusíme si, jak o grupě něco dokazovat. Následující vlastnosti jsou užitečné. Pozor! Operace, 1 v následujících tvrzeníčkách neznamenají operaci krát a dělení tak jak ji známe z práce s reálnými čísly. Je to nějaká binární operace a k ní příslušná operace inverze. Stejně tak 1 neznamená jedničku jako reálné číslo, ale neutrální prvek vzhledem k operaci. Příklad 5: Dokažte následující: a) Platí-li a b = c a = 1, pak b = c, b) Neutrální prvek grupy je určen jednoznačně, c) (a 1 ) 1 = a. Řešení: a) stačí ověřit b = c c neutrální prvek 1 ze zadání = c 1 = c (a b) asociativita = za zadání neutrální prvek 1 (c a) b = 1 b = b. b) Mějme dva různé neutrální prvky vzhledem k operaci e 1, e 2. Použijeme dvakrát definici neutrálního prvku jednou pro e 1 a podruhé pro e 2. Což je spor s tím, že by prvky byly různé. e 1 = e 1 e 2 = e 2. 3
c) (a 1 1 neutrální prvek 1 ) = (a 1 ) 1 1 = (a 1 ) 1 ((a 1 ) a ) asociativita ( = (a 1 ) 1 (a 1 ) ) a = }{{}}{{} =1 =1 = 1 a = a. Pojem Těleso Algebraický king of da castle. Struktura (T, +, ). Pro kterou platí: 1. (T, +) je komutativní grupa, spec. prvky značíme ( a, 0) 2. (T \ {0}, ) je grupa, spec. prvky značíme (a 1, 1) 3. distributivita a, b, c T : a(b + c) = ab + ac Nekonečná tělesa jsou Q, R, C. Konečná tělesa jsou například Z p, a to právě tehdy, když p je prvočíslo. Kdyby totiž nebylo dostáváme p = a b a máme tedy a b = 0 pro a 0, b 0. Což v tělese platí.??? Odbočka ohledně notace V tělese pro nějaký prvek a značíme k němu opačný a. Je potřeba si uvědomit, že samotné těleso operace, / nezná. Je potřeba si uvědomit, že zkratky znamenají a b a + ( b), a/b a (b 1 ), je to, jak programátoři říkají, syntactic sugar, neboli syntaktické pocukrování/vylepšení, abychom se neupsali k smrti. Tenhle odstaveček začne dávat smysl například při počítání v konečných tělesech, když počítáme v Z 5 někde uvidíme napsáno 3 4, tak vlastně prvek 4 jako celé číslo v tomto tělese není. To je občas výhodné si uvědomit. Ukázka 5: Studentům dělá často problém počítat v nějakém konečném tělese. Spočítáme 4 + 4, 3 2, 2 3, 4 1, 3/4 v tělese Z 5. S využitím našich syntaktických zkratek. Každá operace v Z 5 se vlastně počítá modulo 5 (zbytek po dělení 5), abychom zase spadli do množiny {0, 1, 2, 3, 4}. Neoficiální, formálně nesprávné kroky, značíme do uvozovek. Jsou zde uvedeny pro představu, jak dojít k výsledku. 4 + 4 = 8 mod 5 = 3, 3 2 = 6 mod 5 = 1, 2 3 = 2 + ( 3) = 2 + 2 = 4, 4 1 = x {1, 2, 3, 4} tž. x 4 mod 5 dá 1 = 4, 3/4 = 3 (4 1 ) = 3 4 = 12 mod 5 = 2. 4
Příklad 6: Kolik je 2 2011 v Z 5? Řešení: Stačí si všimnout, že 2 0 = 1, 2 1 = 1, 2 2 = 4, 2 3 = 8 mod 5 = 3, 2 4 = 16 mod 5 = 1. Tedy 2 2011 = 2 2008 2 3 = 1 3 = 3. A nebo nemusíme výše zmíněné mocniny vůbec počítat a využít rovnou Malou Fermatovu větu, která nám říká: Pro každé prvočíslo p a každé celé číslo a nesoudělné s p platí a p 1 = 1 v tělese Z p. a dostaneme hned, že 2 4 = 1 v Z 5. Příklad 7: Řešte následující soustavu v Z 3 bez prohození řádků. 2 1 0 2 1 0 2 1 Řešení: Pokud provádíme Gaussovu eliminace nad konečným tělesem, nemusíme násobit oba řádky nějakým číslem, celé se to dá zeliminovat jen pomocí +,. Stačí nám pro eliminaci vlastně vynásobit jeden z řádků nějakým číslem, kterým, poté co přičteme tento řádek k druhému, dostaneme 0. Druhá idea je, že můžeme počítat normálně celočíselně a až na konci výsledek modulit číslem p ze Z p. 1 0 2 1 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 Po provedení zpětné substituce dostáváme řešení (1, 0, 0) T + x 3 (1, 1, 1) T. POZOR: matice má rank menší než 3, avšak nedostáváme nekonečně mnoho řešení, neboť parametr x 3 může nabývat pouze hodnot 0, 1, 2, protože se pohybujeme v Z 3. Celkově tedy máme tři řešení (1, 0, 0) T, (2, 1, 1) T, (0, 2, 2) T. 5