4EK201 Matematické modelování 10. Teorie rozhodování
10. Rozhodování Rozhodování = proces výběru nějaké možnosti (varianty) podle stanoveného kritéria za účelem dosažení stanovených cílů Rozhodovatel = subjekt, který provádí rozhodnutí Teorie rozhodování = vědní disciplína zabývající se tímto procesem Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2
10. Rozhodování Ve své podstatě sem patří všechny již probrané modely Lineární programování: Varianty = řešení Kritérium = účelová funkce Cíl = maximalizace zisku Zásoby: Varianty = objednané množství Kritérium = náklady Cíl = minimalizace nákladů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3
10.1 Oblasti rozhodování Zaměříme se na oblasti s více rozhodovateli (hráči) či více kritérii 1. Vícekriteriální rozhodování Jeden rozhodovatel Více kritérií 2. Teorie her Dva či více hráčů se svými množinami strategií Rozhodnutí jsou konfliktní Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4
10.1 Oblasti rozhodování 3. Analýza obalu dat (DEA) Porovnání efektivnosti produkčních jednotek Minimalizace vstupů Maximalizace výstupů 4. Teorie společenského výběru Volební systémy Hráči hlasují Určení kompromisního řešení Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5
10.1 Oblasti rozhodování 5. Modely týmového expertního výběru Úzký tým expertů (na rozdíl od volebních systémů) Cílem je opět najít kompromisní řešení 6. Modely vyjednávání Vícekriteriální rozhodování Více rozhodovatelů (hráčů) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6
10.2 Teorie her Rozhodnutí jednoho rozhodovatele (hráče) ovlivní jeho výsledky výsledky ostatních hráčů Dochází ke konfliktu zájmů Antagonistické zájmy jsou v přímém protikladu Neantagonistické zájmy nejsou v přímém protikladu Kooperativní možnost spolupráce Nekooperativní nemožnost spolupráce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7
Vězňovo dilema 10.2 Teorie her Dva vězni jsou odděleně uvězněni Každý má možnost se přiznat nebo nepřiznat Pokud se jeden přizná a druhý ne, dostane první nižší trest (volný) a druhý vyšší Nepřiznají-li se oba, dostanou nižší trest Přiznají-li se oba, dostanou vyšší trest Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8
10.2 Teorie her Vězňovo dilema P N P N 6, 6 0, 10 10, 0 2, 2 Optimální pro oba je se přiznat Pokud by se ani jeden nepřiznal, dopadli by oba lépe Správně by matice měla obsahovat záporné hodnoty Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9
Konflikt kuře 10.2 Teorie her Dvě auta jedou proti sobě, kdo uhne, je kuře a jeho reputace klesne Oba neustoupí (neuhnou) srážka Oba uhnou oba jsou slabí a reputace se jim nezvýší Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10
10.2 Teorie her Konflikt kuře U N U N 0, 0 1, 1 1, 1 2, 2 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11
10.2 Teorie her Manželský spor (bitva pohlaví) BoS Manželé jdou večer na koncert rozhodují se mezi Bachem a Stravinským Muž preferuje Bacha, žena Stravinského Každý chce jít na koncert a nejraději půjdou spolu Pokud spolu nepůjdou, nebudou mít žádný užitek Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12
10.2 Teorie her Manželský spor (bitva pohlaví) BoS muž/žena Bach Str. Bach Stravinski 2, 1 0, 0 0, 0 1, 2 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13
10.2 Teorie her Vyjednávací hra (Bill a Jack směňují věci) Zdroj: J. F. Nash, The Bargaining Problem. Econometrica, 1950 Dva kamarádi: Bill a Jack Bill: knížka, káča, míč, pálka, krabička Jack: psací pero, hračka, nůž, čapka Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14
10.2 Teorie her Věc Užitek pro Billa Užitek pro Jacka Billovy věci Knížka 2 4 Káča 2 2 Míč 2 1 Pálka 2 2 Krabička 4 1 Jackovy věci Psací pero 10 1 Hračka 4 1 Nůž 6 2 Čapka 2 2 u B o u J o = 12 = 6 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15
10.2 Teorie her Vyjednávací hra (Bill a Jack směňují věci) Jakého nejvýhodnějšího řešení mohou chlapci dosáhnout? Optimální strategie maximalizuje Nashův součin: [u(x ) u(x o )] [v(y ) v(y o )] Kolik je Nashův součin pro Vaši výměnu? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16
10.2 Teorie her Věc Užitek pro Billa Užitek pro Jacka Billovy věci Knížka 2 4 Káča 2 2 Míč 2 1 Pálka 2 2 Krabička 4 1 Jackovy věci Psací pero 10 1 Hračka 4 1 Nůž 6 2 Čapka 2 2 u B o u B u J o u J Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17 = 12 = 24 = 6 = 11 u x u x o v y v y o = 24 12 11 6 = 60
10.3 Vícekriteriální rozhodování Jeden rozhodovatel Více kritérií Maximalizační (vyšší = lepší) Minimalizační (nižší = lepší) Více možných variant Diskrétní množina vícekriteriální hodnocení variant Spojitá množina vícekriteriální programování Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18
10.3 Vícekriteriální rozhodování Varianta A může být podle jednoho kritéria lepší než varianta B a podle jiného horší Hledáme tzv. kompromisní variantu (diskrétní) nebo kompromisní řešení (spojité) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19
10.3 Vícekriteriální rozhodování Každé variantě (řešení) odpovídá vektor kriteriálních hodnot (hodnot kriteriálních funkcí) Na základě těchto hodnot můžeme varianty (řešení) vzájemně porovnávat Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20
Cíl: 10.3 Vícekriteriální rozhodování 1. Najít nejlepší variantu (řešení) 2. Uspořádat varianty 3. Rozdělit varianty do několika skupin, v rámci nichž jsou stejně dobré Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Příklad: Jméno Požadovaný plat Výsledek pohovoru Vzdělání Adámek 32 000 Kč 74 bodů VŠ Budka 16 000 Kč 46 bodů SŠ Cibulka 20 000 Kč 32 bodů SŠ Jak vypadá vektor kriteriálních hodnot pro pana Budku? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Úloha vícekriteriálního hodnocení variant (VHV) je dána: Seznamem kritérií a jejich extrémy (min/max): f 1, f 2,, f k Seznamem variant: a 1, a 2,, a n Maticí kriteriálních hodnot: Y = y ij, i = 1, 2,, n j = 1, 2,, k Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Úloha vícekriteriální hodnocení variant (VHV): f 1 f k a 1 y 11 y 1k a n y n1 y nk Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Příklad: Jméno Požadovaný plat Výsledek pohovoru Vzdělání Adámek 32 000 Kč 74 bodů VŠ Budka 16 000 Kč 46 bodů SŠ Cibulka 20 000 Kč 32 bodů SŠ Kolik má úloha variant a kolik kritérií? Jaké jsou hledané extrémy? Jak vypadá kriteriální matice? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Příklad: Jméno Požadovaný plat Výsledek pohovoru Vzdělání Adámek 32 000 Kč 74 bodů VŠ Budka 16 000 Kč 46 bodů SŠ Cibulka 20 000 Kč 32 bodů SŠ Koho rozhodně nepřijmete? Dominovaná varianta (dominované řešení) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Dominovaná varianta (dominované řešení) Je taková varianta, ke které existuje jiná, která podle žádného kritéria není hodnocena hůře, a alespoň podle jednoho je hodnocena lépe Tato jiná varianta se nazývá dominující Varianta, která není dominována žádnou jinou variantou = nedominovaná Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Příklad: Jméno Požadovaný plat Výsledek pohovoru Vzdělání Adámek 32 000 Kč 74 bodů VŠ Budka 16 000 Kč 46 bodů SŠ Cibulka 20 000 Kč 32 bodů SŠ Které varianty jsou nedominované? Dominovaná varianta by nikdy neměla skončit lépe než varianta, která ji dominuje Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Ideální varianta = varianta, která dosahuje ve všech kritériích nejlepších hodnot Může být pouze hypotetická Pokud existuje v souboru variant, pak je (jedinou) nedominovanou variantou Bazální varianta = varianta, která dosahuje ve všech kritériích nejhorších možných hodnot Může být pouze hypotetická Pokud existuje v souboru variant, pak je dominovanou variantou (všemi ostatními) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Příklad: Jméno Požadovaný plat Výsledek pohovoru Vzdělání Adámek 32 000 Kč 74 bodů VŠ Budka 16 000 Kč 46 bodů SŠ Cibulka 20 000 Kč 32 bodů SŠ Určete ideální a bazální variantu. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Ideální varianta H = h 1, h 2,, h k h j = max y ij pro maximalizační kritérium f j i h j = min y ij pro minimalizační kritérium f j i Bazální varianta D = d 1, d 2,, d k d j = min y ij pro maximalizační kritérium f j i d j = max y ij pro minimalizační kritérium f j i Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Příklad: Jméno Požadovaný plat Výsledek pohovoru Vzdělání Adámek 32 000 Kč 74 bodů VŠ Budka 16 000 Kč 46 bodů SŠ Cibulka 20 000 Kč 32 bodů SŠ Jak vybrat nejlepšího? Jak sečíst výsledky? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Metoda WSA Weighted Sum Approach Předpokládejme, že všechna kritéria jsou maximalizační Co když nejsou? a 1 a n f 1 y 11 f k y 1k y n1 y nk Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Příklad: Jméno Požadovaný plat Výsledek pohovoru Vzdělání Adámek 32 000 Kč 74 bodů VŠ Budka 16 000 Kč 46 bodů SŠ Cibulka 20 000 Kč 32 bodů SŠ Jak udělat z platu maximalizační kritérium? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Převod minimalizačního kritéria f j na maximalizační Vyberme nejhorší možnost d j = max i Všechny kriteriální hodnoty kritéria f j nahradíme úsporou vůči této nejhorší možnosti, tj. y ij = d j y ij y ij Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Příklad: Y f 1 f 2 f 3 Adámek 0 74 VŠ Budka 16 000 46 SŠ Cibulka 12 000 32 SŠ Y f 1 f 2 f 3 Adámek 0 74 3 Budka 16 000 46 2 Cibulka 12 000 32 2 0 74 3 Y = 16000 46 2 12000 32 2 Jak sečíst výsledky? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Metoda WSA Weighted Sum Approach Krok 1: Určení bazální a ideální varianty d j = min y ij i=1,,n h j = max y ij i=1,,n Krok 2: Normalizace kriteriálních hodnot r ij = y ij d j h j d j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Příklad: Y f 1 f 2 f 3 Adámek 0 74 3 Budka 16 000 46 2 Cibulka 12 000 32 2 D 0 32 2 H 16000 74 3 R f 1 f 2 f 3 Adámek 0 1 1 Budka 1 1/3 0 Cibulka 3/4 0 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Metoda WSA Weighted Sum Approach Krok 3: Výpočet celkového užitku u i = k j=1 v j r ij Krok 4: Uspořádání variant u i max Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Příklad: R f 1 f 2 f 3 u i Adámek 0 1 1 0,6 Budka 1 1/3 0 0,5 Cibulka 3/4 0 0 0,3 v j 0,4 0,3 0,3 Jak zvolit váhy, pokud f 2 a f 3 jsou stejně důležitá a f 1 je nepatrně důležitější? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 40
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Příklad: R f 1 f 2 f 3 u i Adámek 0 1 1 0,67 Budka 1 1/3 0 0,44 Cibulka 3/4 0 0 0,25 v j 1/3 1/3 1/3 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 41
10.3.1 Vícekriteriální hodnocení variant Příklad: R f 1 f 2 f 3 u i Adámek 0 1 1 0,2 Budka 1 1/3 0 0,83 Cibulka 3/4 0 0 0,6 v j 0,8 0,1 0,1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 42
10.3.2 Vícekriteriální programování Příklad: Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x 1 + 0 x 2 110 [min] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: z 1 = 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] Šroubky: z 2 = x 1 min [krab. ] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 43
x 2 60 45 40 0 60 90 110 120 180 (2) x 1 (1) Z 1max -90 (3) Z 2min x 1 min Množina 1 x 1 x -+ 1 1, přípustných 2 x 2 x 2 90 0 120 řešení 40 1 x Osy x 1 a 1 x+ 1 + 60 04 x x 2 2 180 110 max Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 44 (4)
10.3.2 Vícekriteriální programování Úloha vícekriteriálního programování (VP) je dána: Množinou kriteriálních (účelových) funkcí jejich extrémy (min/max): z 1, z 2,, z k Množinou přípustných řešení: x X Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 45
10.3.2 Vícekriteriální programování Příklad: Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x 1 + 0 x 2 110 [min] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: z 1 = 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] Šroubky: z 2 = x 1 min [krab. ] Jak vypadá vektor kriteriálních hodnot pro x = 100, 10 T a pro x = 110, 5 T? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 46
Úloha matematického programování Matematický model úlohy matematického programování maximalizovat minimalizovat z = f(x 1, x 2,, x n ) za podmínek g 1 x 1, x 2,, x n 0, g 2 x 1, x 2,, x n 0, g m x 1, x 2,, x n 0, x 1, x 2,, x n 0. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 47
10.3.2 Vícekriteriální programování Úloha vícekriteriálního programování: "maximalizovat minimalizovat " z 1 = f 1 (x 1, x 2,, x n ) z 2 = f 2 (x 1, x 2,, x n ) z k = f k (x 1, x 2,, x n ) za podmínek g 1 x 1, x 2,, x n 0, g 2 x 1, x 2,, x n 0, g m x 1, x 2,, x n 0, x 1, x 2,, x n 0. x X Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 48
10.3.2 Vícekriteriální programování Příklad: Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x 1 + 0 x 2 110 [min] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: z 1 = 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] Šroubky: z 2 = x 1 min [krab. ] Kolik má úloha řešení a kolik kritérií? Jaké jsou hledané extrémy? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 49
10.3.2 Vícekriteriální programování Příklad: x = 90, 0 T z = 3600, 90 x = 110, 0 T z = 4400, 110 x = 100, 10 T z = 4600, 100 x = 110, 5 T z = 4700, 110 Které řešení nevybereme? Dominované řešení Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček] Šroubky: 1 x 1 + 0 x 2 110 [min] Nezápornost: x 1, x 2 0 [krabiček] Zisk: z 1 = 40 x 1 + 60 x 2 max [Kč] Šroubky: z 2 = x 1 min [krab. ] Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 50
10.3.2 Vícekriteriální programování Dominované řešení Je takové řešení, ke kterému existuje jiné přípustné řešení, které podle žádné účelové funkce není horší, a alespoň podle jedné je hodnoceno lépe Toto jiné řešení se nazývá dominující Řešení, které není dominováno žádným jiným přípustným řešením = nedominované Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 51
x 2 60 45 40 Jsou následující řešení dominovaná? x = 100, 10 T x = 110, 5 T x = 90, 0 T x = 100, 5 T x = 110, 40 T 0 60 90 110-90 (3) Z 2min x 1 min Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 52 (4) 120 180 (1) (2) x 1 Z 1max 40 x 1 + 60 x 2 max
10.3.2 Vícekriteriální programování Ideální řešení = řešení, které dosahuje ve všech kritériích nejlepších hodnot Bazální řešení = řešení, které dosahuje ve všech kritériích nejhorších možných hodnot Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 53
x 2 60 45 40 Ideální řešení Určete ideální a bazální řešení 0 60 90 110 120 180 (2) x 1 Bazální řešení (1) Z 1max 40 x 1 + 60 x 2 max -90 (3) Z 2min x 1 min Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 54 (4)
10.3.2 Vícekriteriální programování Metoda váženého součtu Předpokládejme, že všechny účelové funkce jsou maximalizační Co když nejsou? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 55
10.3.2 Vícekriteriální programování Převod minimalizační účelové funkce z j na maximalizační Vyberme nejhorší možnost d j = max x z j Všechny kriteriální hodnoty kritéria z j nahradíme úsporou vůči této nejhorší možnosti, tj. z j = d j z j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 56
10.3.2 Vícekriteriální programování Metoda váženého součtu Krok 1: Určení bazální a ideální varianty d j = min x h j = max x Krok 2: Normalizace kriteriálních hodnot z j z j r j = z j d j h j d j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 57
10.3.2 Vícekriteriální programování Metoda váženého součtu Krok 3: Výpočet celkového užitku u = k j=1 v j r j Krok 4: Maximalizace užitku u max Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 58
Detaily k přednášce: skripta, kapitola 7 KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 59