Operační výzkum. Teorie her. Řešení maticových her převodem na úlohu LP.

Transkript

1 Operační výzkum Řešení maticových her převodem na úlohu LP. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..07/..00/8.036

2 Každou maticovou hru lze definovat jako úlohu LP a řešit ji početně (simplexovou metodou, metodou umělé báze, příp. duálně simplexovou metodou). 0 a a... a n a a... a n Máme-li MH s platební maticí A = C..... A, a m a m... a mn pak požadavek. hráče, aby optimální smíšená strategie x 0 = (x 0,..., x 0m) mu zajistila střední výhru nejméně v hodnotě ceny hry v bez ohledu na to, jakou strategii bude volit. hráč, lze vyjádřit soustavou nerovnic a x 0 + a x a mx 0m v, a x 0 + a x a mx 0m v, a nx 0 + a nx a mnx 0m v, kde x 0i 0, i =,,..., m, x 0 + x x 0m =.

3 Ke všem prvkům platební matice přičteme nějaké (libovolné) číslo c 0 tak, aby platilo b ij = a ij + c 0. Optimální strategie v MH s platební maticí B jsou stejné jako v MH s maticí A, jen ceny hry je v = v + c > 0. Po této úpravě obdržíme soustavu nerovnic a x 0 + a x a mx 0m v, a x 0 + a x a mx 0m v, a nx 0 + a nx a mnx 0m v, kde x 0i 0, i =,,..., m, x 0 + x x 0m =. Každou nerovnici předchozí soustavy vydělíme číslem v > 0 a provedeme substituci x 0i v = t i, i =,,..., m.

4 Obdržíme soustavu nerovnic: Přitom b t + b t + + b mt m, b t + b t + + b mt m, b nt + b nt + + b mnt m, kde t i 0, i =,,..., m. x 0 + x x 0m = v mx t i = = i= mx t i = v. Maximalizovat cenu hry v (resp. v ) znamená totéž jako minimalizovat hodnotu = t + t + + tm v (= t). i=

5 Shrnutí : Řešení libovolné MH z hlediska. hráče lze nalézt pomocí minimalizační úlohy LP t = t + t + + t m min s podmínkami b t + b t + + b mt m, b t + b t + + b mt m, b nt + b nt + + b mnt m, t i 0, i =,,..., m. Cenu hry pak stanovíme následovně: v = v c, t i, v = mp =. t t min i Optimální strategii. hráče x 0 = (x 0,..., x 0m) stanovíme ze vztahů i= x 0i = t iv, i =,,..., m.

6 Shrnutí : (Analogicky lze formulovat úlohu LP také z pohledu. hráče.) Řešení MH z hlediska. hráče lze nalézt pomocí maximalizační úlohy LP s podmínkami z = z + z + + z n max b z + b z + + b nz n, b z + b z + + b nz n, b mz + b mz + + b mnz n, z j 0, j =,,..., n. Cenu hry pak stanovíme následovně: v = v c, t i, v = np =. z z max j Optimální strategii. hráče y 0 = (y 0,..., y 0n) stanovíme ze vztahů j= y 0j = z jv, j =,,..., n.

7 Závěr: Obě úlohy LP, které jsme vytvořili (viz Shrnití, resp. Shrnutí ), jsou duálně sdružené úlohy. To znamená, že řešením jedné z nich vyřešíme i druhou, tj. pro určení optimálních strategií obou hráčů, i stanovení ceny hry, stačí řešit jednu (kteroukoli) z těchto úloh LP. Z hlediska efektivnosti řešení je vhodnější zaujmout postoj. hráče, tj. řešit maximalizační úlohu, viz Shrnutí.

8 Př: MH s platební maticí A = «řešte převodem na úlohu LP. Řešení: Ke každému prvku matice A přičteme číslo c = 3. Získáme matici «4 B =. Úloha LP z hlediska. hráče je z = z + z max s podmínkami 4z + z, z + z, z, z 0. Úlohu LP řešíme simplexovou metodou v tabulce

9 Z.p. z z z z b i p = b i a ik pro a ik > 0 z 4 0 z () 0 z max z ( 8 ) 0 z 0 z z 0 z 0 9 z max MAX Tabulka: Simplexová tabulka při řešení MH

10 Z optimálních řešení primární a duální úlohy získáme optimální strategie obou hráčů a cenu hry: z max = v = = 3 v = v c = 3 3 = 0, 3 z max z = 9, z = y 0 = 9 9 3, «9 3 = 3, «, 3 t = 6, t = x 0 = 6 6 3, «6 3 =, «.

11 Obecný postup řešení MH Je-li α = β, v matici existuje sedlový bod a existuje optimální řešení v oboru čistých strategií. Je-li α < β, a lze-li uplatnit princip dominování, uplatníme jej v maximální možné míře. Tím zmenšíme rozměr platební matice. 3 Je-li α < β, a nelze-li (již) uplatnit princip dominování. Je-li matice typu, použijeme příslušné vzorce. 4 Je-li α < β, a nelze-li (již) uplatnit princip dominování. Je-li matice typu n, n 3, resp. typu m, m 3, použijeme grafickou metodu řešení. Je-li α < β, a nelze-li (již) uplatnit princip dominování. Je-li matice typu 3 3 nebo většího, nezbývá než použít metodu řešení MH převodem na úlohu LP. Tato metoda je univerzální metodou řešení MH, tedy funguje vždy.