Pružot a platiita II 3. ročík bakalářkého tuia o. Ig. Marti Kreja, Ph.D. Katera tavebí ehaik
Záklaí rovie teorie pružoti
Záklaí přepokla teorie pružoti Látka tělea je hoogeí, ůže být přito a) iotropí b) aiotropí (ortotropie) okoale pružá a to a) lieárě b) elieárě (atí e ebue uvažovat) eforae tělea půobeí vějšíh vlivů jou alé geoetrik lieárí teorie pružoti počátečí apjatot je ulová, epůobí-li a těleo vější íl. 3
Lieárí pružot Poík rovováh le forulovat a: eeforovaé tělee - teorie prvího řáu, (ůleek přepoklau alýh eforaí - eforae tělea ají aebatelý vliv a poík rovováh) eforovaé tělee - teorie ruhého řáu. (ejeá e již o lieárí pružot) Teorie alýh eforaí: Zě tvaru kotruke jou vhlee k roěrů kotruke alé. Možot řa jeoušeí při ateatiké řešeí úloh pružoti, které obvkle veou k lieárí ávilote. Přepokla alýh eforaí a lieárí áviloti ei apětí a přetvořeí (geoetriká a fikálí liearita) uožňuje vužít priip uperpoie. 4
Teorie alýh eforaí H F << l H F l b b l Teorie alýh eforaí l Teorie koečýh (velkýh) eforaí a M a =H.l M a Výpočet pole teorie I. řáu a M a M a =H.l+F. Výpočet pole teorie II. řáu geoetriká eliearita 5
Priip uperpoie Priip uperpoie (klááí účiků) je alože a liearitě všeh ateatikýh ávilotí. Výleý tav, tj. výleé atížeí a reake, vitří íl, apětí, přeítěí (eforae) je oučte účiků jeotlivýh atěžovaíh tavů. Neáleží a pořaí v jaké jeotlivé atěžovaí tav a těleo či kotruki půobí. 6
Klaifikae oýh kotrukí Prut je trojroěré těleo, jehož jee roěr (élka) je řáově větší ež bývajíí va roěr. Mohou ít proělivou élku, průře, příé i akřiveé. Plošý kotrukčí prvek je trojroěré těleo, jehož va roěr jou řáově větší ež bývajíí roěr (tloušťka). Patří ei ě ek, tě roviou třeiovou plohou a kořepi e akřiveou třeiovou plohou. Těleo je kotrukčí prvek, jehož všeh tři roěr jou řáově rovatelé. 7
Vější íl a vitří íl Vější íl: objeové (půobí v eleeteh objeu): vlatí tíha, otřeivé íl at. povrhové (půobí jako atížeí a ploše): pojité atížeí a ploše a a čáře (příe) a boové íl (igulárí íl). Objeové a plošé atížeí je reálé, boové atížeí a atížeí a čáře je abtraktí, iealiuje atížeí plošé. Vitří íl vikají vlive vějšího atížeí, jou jí iuková. 8
Vitří íl Prutové prvk: o ložkáh vitříh il e přepokláá, že půobí v těžišti. Jou výleií eleetáríh il (apětí) půobííh v určité řeu a ěru. (Tato probleatika bla áplí přeětu Pružot a platiita, ke e při jejih určeí vháelo e alotí ložek vitříh il) Plošé prvk a tělea: je uto abývat e roložeí eleetáríh il. 9
Napětí Poěr eleetárí íl a velikoti plošk je poěré apětí a této ploše: Sěr apětí je hoý e ěre íl půobíí a aou plošku p F A Zešuje-li e velikot plošk A k ule, le íkat apětí p v boě: Záklaí jeotkou apětí je Pa [N/ ] p li A F A F A
Napětí, pokračováí Při roložeí íl F o ěru orál a top v plošk A je: N A v V A Platí přito: p v je orálové apětí, půobí ve ěru orál v je kové apětí, půobí v roviě plošk A ve ěru top v íl F
Napětí, pokračováí Skové apětí v le a ploše A roložit o ěrů o t a : Opět platí: v t Boe tělea le proložit libovolý počet řeů. Kažé ploše opovíá jiý vektor apětí p. Možia vektorů apětí p, opovíajíí vše orietovaý plošká v aé boě, harakteriuje apěťový tav v toto boě.
Poje eforae Hleiko fikálí: eforae pružé a epružé Hleiko geoetriké: pouutí a pootočeí 3 Zěa élk: Poěrá élková ěa: Zěa úhlů, pootočeí: l l l l l l l l ta
Zěa objeu: Poěrá objeová ěa: Půvoí obje: 4 Deforae, pokračováí V V V V V V V V V V V Zěěý obje: Poěrá objeová ěa: Pro alé eforae jou poěré eforae řáově eší k jeiče a le pát:
Aalýa apjatoti v okolí bou tělea Vektor p je vž váá a orietovaou plošku určeou orálou. Má tři ložk:,, t Vektorový ápi p : p e e t e3 e, e, e 3 jou jeotkové vektor ve ěreh,, t Pro určeí apětí v aé boě M v libovolé ploše je uté át tři ložk apětí ve třeh vájeě kolýh ploškáh apř. orálai,, t. Složek apětí v boě je te 9. 5
Aalýa apjatoti v okolí bou tělea, pokračováí Zápi 9 ložek apětí v atiové tvaru e aývá teor apětí: 6 Oačováí ieů: U orálovýh apětí e pravila užívá jee ie, á ěr orál k přílušé ploše a oučaě ěr apětí. U kovýh apětí á prví ie ěr orál k přílušé ploše, ruhý ie ěr kového apětí.
7 M t Aalýa apjatoti v okolí bou tělea, vájeot kovýh apětí Z oetové poík k oe proháejíí těžiště eleetu vplývá: po úpravě obobě, Vájeot kovýh apětí protíajííh e v jeo boě a ortogoálíh ploškáh - vhlee k těto rovote le apětí v boě harakteriovat také vektore apětí:,,,,, T,
8 Traforae ložek teoru apětí, o, o, o A A A A A A Při aloti apětí v boě, tj. ve třeh vájeě ortogoálíh ploškáh A, A, A le určit apětí a libovolě orietovaé ploše A. Orietae této plošk je áa orálou. Traforačí vtah vplývají rovováh il půobííh a čtřtěu ON N N 3.,, jou ěrové koi úhlů, které vírá orála oai,,.
9 Traforae ložek teoru apětí : : : A A A A p F A A A A p F A A A A p F p T T,, Poíka rovováh il a čtřtěu: V atiové tvaru le apat: p p p Po úpravě: Platí: p p p p [] T je trapoovaá atie teoru apětí
Traforae ložek teoru apětí, ropi atiového ápiu p p p p T T,, p p p Platí-li: le také apat: ke
Traforae ložek teoru apětí, pokračováí t p Norálová ložka vektoru p je áa oučte průětů ložek p, p a p o ěru orál Sěr výleého kového apětí t je á příkou t, která je průečií rovi plošk A roviou aou orálou a vektore p. p p p Po oaeí a p, p a p a úpravě:
Traforae ložek teoru apětí, pokračováí p p p p p p Na obr. je oa pootočeého ouřaého téu,, totožá orálou. Složk kového apětí t = t, o ěru = a o ěru = jou: Po oaeí a p, p, p je:, o, o, o ke, o, o, o
3 Traforae ložek teoru apětí Níže uveeé rovie uožňují íkat tři ložk teoru apětí a ploše orálou = v ouřaiové téu,,. Obobě le íkat ložk teoru apětí a ploškáh orálai =, =.
4 Traforae ložek teoru apětí, atiový ápi T L L Traforai evíti ložek apětí e ouřaiového téu,, o ouřaiového téu,,, le atiově apat: Matiový ápi le kráeě bolik apat: [ ] a [] jou atie teoru apětí v ouřaé téu,, a,, [L] je atie pootočeí
5 Roviý tav apjatoti tělea Je-li v libovolé boě tělea ploška, ve které jou ložk apětí ulové, pak le hovořit o rovié apjatoti. Neulové ložk apětí jou pak touto ploškou rovoběžé. Na obr. jou ulová apětí v roviě orálou, tj. v roviě. Složk apětí,,, jou touto roviou rovoběžé. Matiově le teor apjatoti vjářit: Napětí při rovié apjatoti le vjářit také vektorově:,, T
Roviý tav apjatoti tělea Teor apjatoti: S roviou apjatoti e le etkat apř. u oýh tě ebo u oíků. 6
Příkový tav apjatoti tělea Poku le libovolý boe tělea proložit vaek rovi, ve kterýh jou ložk apětí ulové, pak e hovoří o příkové apjatoti. Jeiá eulové ložka apětí je v příe, ve které e vaek rovi protíá. Je-li touto příkou oa, le atiově teor apjatoti vjářit: Svaek rovi, ve kterýh epůobí apětí 7 Vektorově le apat: S příkovou apjatotí e le etkat apř. u la ebo u táhel.
Stav apjatoti v šiké řeu Složk apětí v šiké řeu Ploh tě eleetárího kváru t A S. S A.o A.i Poík rovováh a kváru: R R Poku jou á R ebo R t 8
Stav apjatoti v šiké řeu Složk apětí v šiké řeu t převeeé a íl. o. A.A.A Ploh tě eleetárího kváru A S. S. o. A R 9. i. A A.o A.i. i. A..o.i.A.i. A.A.o.A.o.i.A.i.o.A.i.i.A.o. A.o. A.o.i. A.i.i. A
3 Stav apjatoti v šiké řeu Složk apětí v šiké řeu převeeé a íl t. o. A. o. A. i. A.A.A. i. A Ploh tě eleetárího kváru A.o A S. S A.i R.i.A.o.o.A.o.i.A.i t.a.o.a.i. A.o.A.i.i.A.o.o.A. o. A
Složk apětí v šiké řeu při rovié apjatot R. A.o.A.o.i.A.i.i.A.o.i.i R. A.o.A.i.i.A.o.o.A t o.i.i.o.o..i.o. 3
Platí: 3 Traforačí vtah pro roviý tav apjatoti Při traforai je ůležité i uvěoit orietai úhlu (o o k oe pravotočivě). L T Vje-li e rovie: L je uto vjářit atii [L]. o o o o 7 o o9 o o9 o o9 i o o o o9 L o o o o Po úpravě: o i -i i o
33 Traforačí vtah pro roviý tav apjatoti T L L Pro roviou apjatot le jeoušit: o i i o L o i i o L
34 Traforačí vtah pro roviý tav apjatoti T L L o i i o o i i o Vje-li e rovie: ke =i a =o
Traforačí vtah pro roviý tav apjatoti Po úpravě: o i i o o i i i le ovoit e vore pro je-li pootočeí =+/ 35
Věta o. ivariatu teoru apětí Sečtou-li e orálová apětí: o i i i o i pak platí: Součet orálovýh apětí v okolí bou a libovolýh vou ortogoálíh ploškáh je kotatí. 36
37 Hlaví orálová apětí Je-li á teor ebo vektor apětí v ouřaé téu,, pak je čato uté určit ěr a hoot etréíh orálovýh apětí. Le vjít e vore: o i i Platí: o i i o o α o i o i Největší orálové apětí je v roviě, v íž je kové apětí ulové - hlaví rovia přílušý hlaví orálový apětí. Úhel potočeí e rovi o hlaví rovi eurčuje jeoačě ěr aiálího ta e a iiálího apětí:
Stav apjatoti v šiké řeu MPa MPa 8MPa 8 8, 5, Siga(alfa) Tau(alfa), 5,, -5, -, -5, -8-6 -4 - - -8-6 -4-4 6 8 4 6 8 38 Příkla: graf orálovýh a kovýh apětí a šiké řeu
39 Hlaví apětí Měí li e, abývá i při určité úhlu etréí hootu..o.i.i..o. i..i.o..o. i..o i o Velikot hlavíh apětí ta. Hlaví rovi.., 4,,. 45 a.i,...arta 9 Etréí ková apětí jou v roviáh okloěýh o 45 o o hlavíh rovi
Hlaví orálová apětí e hlaví orálové apětí Z rovi rovováh ve ěru a vplývá: p p Hlaví apětí přiřaujee pravila ie > e e oα i α e e oα i α e e τ τ i α oα Řešeí těhto vou rovi vee ke kvaratiké rovii řešeí: e, 4 e e 4 Sěr, hlavíh apětí a le jeoačě určit e vtahů: τ τ ta α ta α
4 Maiálí ková apětí Poku jou aiálí orálová apětí, á, le orálové apětí a kové apětí ź vjářit: o i i Maiálí (etréí) ková apětí buou a ploháh hlavíh ků při hootáh vplývajííh rovie: o o, 4 4 Na těhto ploháh buou půobit aiálí ková apětí etr a orálové apětí : τ etr
Mohrova kružie ta α τ ta α τ 4
Mohrova kružie Orietae pole ěru otáčeí. Souřaý té volit tak, že oa opovíá, oa pak oe. Vét bo A (, ) - á tejou orietai jako t, je proto klaé (ahoru). 3. Vét bo B (, ) - á opačou orietai jako t, je proto áporé (olů). Poáka: pro orietai je rohoujíí ěr otáčeí! Poor a volbu o přípaě. 4. Stře kružie S je průečík pojie AB oou, poloěr opovíá úeče AS a BS, aiálí apětí je v boě X(, ) kružie, iiálí v boě Y(, ) kružie. Etréí hoot kovýh apětí určují bo C a D. 5. Pól Mohrov kružie P je průečík kružie a rovoběžk oou () veeou boe A, repektive průečík kružie příkou rovoběžou oou () veeou boe B. 6. Spojie PX určuje ěr hlavího apětí, pojie PY ěr hlavího apětí. 7. V přípaě určeí apětí a ploše orálou pootočeou o o, uto vét rovoběžk oai a pólu P bo M a N. 43
Mohrova kružie pro jiou orietai o ěr o opovíá ěr o opovíá 44
Speiálí přípa rovié apjatoti Čitý k Příkla rovié apjatoti 3 = aiálíi kovýi apětíi Příková apjatot 45
Trajektorie hlavíh apětí Tažeý prut Ohýbaý oík 46
Trajektorie hlavíh apětí Kroueý prut oba ěr M 47
48 Difereiálí rovie rovováh ),, ( ),, ( ),, ( Složk apětí a pouutýh ploškáh le apat: ebo kráeě a ále
49 Difereiálí rovie rovováh, pokračováí X X Ve ěru o platí poíka rovováh: F = : Po úpravě:
5 Difereiálí rovie rovováh, pokračováí Z Y X Po roepáí rovi rovováh ve ěru o, a le ovoit Cauhho rovie rovováh:
5 Geoetriké rovie u u u u w v u V roviě: V protoru: w u v w u v v v v v u v v u u u u v v v β α
5 Geoetriké rovie, rovie kopatibilit (pojitoti) Obobě le ovoit: Rovie kopatibilit popiují vájeou ávilot ložek eforaí, ahováí pojitoti tělea i po viku eforaí u 3 v 3 3 3 v u Po úpravě: a ále
Fikálí rovie (kotitučí vtah) Vtah ei apětí a poěrýi eforaei ávií a fikálíh vlatoteh látek. Pro lieárě pružý ateriál je le vjářit v atiové forě: τ τ τ 3 4 5 6 3 4 5 6 Matie D je etriká, ij = ji. 3 3 33 43 53 63 4 4 34 44 54 64 5 5 35 45 55 65 6 6 36 46 56 66 Zkráeě le apat: D D atie tuhoti vektor eforae vektor apětí ij kotat vjařujíí velikot apětí při jeotkové poěré eforai 53
Fikálí rovie (kotitučí vtah) Iverí vtahe k rovii 3 4 5 6 3 4 5 6 3 3 33 43 53 63 4 4 34 44 54 64 5 5 35 45 55 65 je 6 6 36 46 56 66 τ τ τ Matie C je etriká, platí ij = ji. D D C C atie poajoti je vektor eforae vektor apětí ij koefiiet eforae, vjařujíí poěrou eforai při jeotkové apětí 54
Fikálí rovie, aiotropí látka Matiový ápi fikálíh rovi: D D C Teorový ápi fikálíh rovi: ij ijkl kl ij ijkl kl V aiotropí láte jou fikálí vlatoti v kažé ěru růé. Počet eávilýh kotat ebo koefiietů je aiálě. 55
56 Fikálí rovie, iotropí látka τ τ τ E Počet eávilýh kotat je. E je oul pružoti [Pa] rep. [MPa], [GPa] je Poioův oučiitel příčé eforae <,,5> V iotropí láte jou fikálí vlatoti ve všeh ěreh tejé Rošířeý Hookův áko C D
57 Fikálí rovie, iotropí látka, pokračováí E E E Po roepáí le íkat τ τ τ E G τ τ E G τ τ E G τ τ E
58 Fikálí rovie, iotropí látka, Hookův áko E τ τ τ Počet eávilýh kotat je. V iotropí láte jou fikálí vlatoti ve všeh ěreh tejé D Fikálí rovie
59 Fikálí rovie, iotropí látka, Hookův áko E τ τ τ E E E G E τ G E τ G E τ Po roepáí le íkat
V ortotropí láte jou fikálí vlatoti ve třeh vájeě kolýh ěreh olišé. Hovoří e o ortotropí aiotropii. Jetliže e ěr o,, a totoží e ěr rovi pružé etrie, počet eávilýh kotat ebo koefiietů je rove 9. 6 Fikálí rovie, ortotropí látka τ τ τ G G G E E E E E E E E E E E Muí platit: E, E, E oul pružoti ve ěru o,, Poioův oučiitel aý poěre příčé eforae ve ěru o k poélé eforai ve ěru o G, G, G oul pružoti ve ku ie oačujííi roviu ku E E E E
Záklaí té rovie teorie pružoti Obahuje 5 eáýh fukí: 6 ložek apětí (,,,,, ) 6 ložek eforae (,,,,, ) 3 ložk pouutí (u, v, w) Těhto 5 eáýh le určit e: 3 pariálíh ifereiálíh rovi rovováh 6 geoetrikýh rovi 6 fikálíh rovi Na povrhu tělea uí být plě poík opovíajíí atížeí a vabá okrajové poík 6
Druh okrajovýh poíek. Statiké okrajové poík: a povrhu tělea jou aáa povrhová atížeí výi ložkai p, p, p. Složk apětí a povrhu tělea p, p, p uí být ii v rovováe. Muí te platit: p p p p p p. Deforačí okrajové poík: a povrhu tělea jou aá ložk pouutí u, v, w ebo jejih erivae. Složk eforae povrhu u, v, w tělea uí vhovovat těto poíká: u u v v w w 3. Síšeé okrajové poík: a povrhu tělea jou aáa oučaě atížeí a eforae. 6
63 Příkla, aáí, okrajové poík, atížeí
Příkla Napětí : ioliie [MPa] Napětí : ioploh [MPa] 64
Příkla Napětí ioliie [MPa] Napětí ioliie [MPa] 65
Příkla Napětí ioliie [MPa] Napětí ioliie [MPa] 66