Návrh rozložení výroby jednotlivých výrobků do směn sloužící ke snížení zmetkovitosti

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ Provozně ekonomická fakula Úsav saisiky a operačního výzkumu Návrh rozložení výroby jednolivých výrobků do směn sloužící ke snížení zmekoviosi Diplomová práce Vedoucí práce: Mgr. Veronika Blašková, Ph.D. Auor práce: Bc. Michaela Valoušková Brno 010

Poděkování Touo cesou bych ráda poděkovala vedoucí diplomové práce Mgr. Veronice Blaškové, Ph.D. za odborné vedení, cenné rady a připomínky, keré mi pomohly při zpracování éo diplomové práce.

Prohlášení Tímo prohlašuji, že jsem diplomovou práci na éma Návrh rozložení výroby jednolivých výrobků do směn sloužící ke snížení zmekoviosi vypracovala samosaně s použiím lieraury a pramenů uvedených v seznamu. V Brně dne 3. 1. 010 podpis auora

Absrak Valoušková, M. Návrh rozložení výroby jednolivých výrobků do směn sloužící ke snížení zmekoviosi. Brno, 010. Diplomová práce se zabývá analýzou zmekoviosi výroby v leech 008 009 v dané firmě. Pomocí analýzy časových řad je nejdříve popsán vývoj zmekoviosi, poé vybrán vhodný model rendu a nakonec sanovena předpověď na následující období. Dále je provedena jednorozměrná regresní analýza závislosi poču zmekových výrobků na množsví vyrobených výrobků. V závěru jsou vysloveny a esovány hypoézy o vzazích mezi ukazaeli. Klíčová slova: zmekovios, esování hypoéz, časová řada, regresní analýza. Absrac Valoušková, M. Design he layou of he producion of he individual producs ino shifs used o reduce scrap. Brno, 010. Diploma hesis deals wih he analysis of scrap producion in 008 009 in he company. Using ime series analysis is described he progression of scrap, hen is seleced he appropriae model and se he rend forecas for he nex period. Hereafer is implemened univariae regression analysis of he dependence of number of former producs on he quaniy of produced producs. A he end are pronounced and esed hypohesis abou he relaionships beween indicaors. Key words: scrap, hypohesis esing, ime series, regression analysis.

Obsah 1. Úvod... 7 1.1 Úvod... 7 1. Informace o firmě... 7. Cíl práce... 9 3. Rešerše lieraury... 10 3.1 Výroba... 10 3.1.1 Členění výroby... 10 3. Náklady spojené s jakosí... 11 3.3 Neshoda a řízení neshodného výrobku... 1 4. Maeriál a meodika... 13 4.1 Charakerisiky časových řad... 13 4. Modelování časových řad... 14 4..1 Klasický model... 14 4.3 Popis rendové složky... 15 4.3.1 Lineární rend... 16 4.3. Parabolický rend... 16 4.3.3 Exponenciální rend... 16 4.3.4 Klouzavé průměry... 17 4.4 Popis sezónní složky... 17 4.4.1 Model konsanní sezónnosi... 18 4.4. Model proporcionální sezónnosi... 18 4.4.3 Sezónní očišťování... 19 4.5 Popis náhodné složky... 19 4.6 Volba vhodného modelu rendu... 0 4.7 Regresní analýza... 1 4.7.1 Meoda nejmenších čverců... 3 4.7. Kvalia regresní funkce... 4 4.7.3 Inervaly spolehlivosi odhadnuých paramerů... 5 4.8 Tesování saisických hypoéz... 5 5

4.8.1 Posup při esování hypoéz... 6 4.8. Tes o relaivní čenosi... 7 4.8.3 Tesování modelu... 7 4.8.4 Tesování chybového členu... 9 5. Analýza získaných da... 31 5.1 Elemenární charakerisiky vývoje... 31 5. Analyické vyrovnání časové řady...33 5..1 Lineární rend...33 5.. Parabolický rend... 34 5..3 Exponenciální rend... 35 5.3 Mechanické vyrovnání časové řady... 36 5.4 Volba vhodného modelu rendu... 37 5.5 Měření sezónnosi... 38 5.6 Regresní analýza... 40 5.7 Tesování hypoéz... 50 6. Závěr a diskuze... 54 7. Použiá lieraura... 57 8. Seznam abulek a grafů... 59 9. Přílohy... 60 6

1. Úvod 1.1 Úvod Dnešní doba se vyznačuje nepřeržiými změnami ekonomických podmínek. Pokud chce bý firma úspěšná, musí se ěmo změnám neusále přizpůsobova. Aby obsála v konkurenci a udržela si svého zákazníka, je pořeba vyrábě akové výrobky, keré splňují určié požadavky. Dnes si věšina zákazníků nevybírá daný výrobek pouze podle ceny, ale aké podle oho, jak je kvaliní. Sejně omu ak je i u firem, keré si vybírají maeriál, echnologie nebo dodavaele v závislosi na úrovni kvaliy. Kvalia výrobku je úzce spojena s celkovou ekonomikou každého podniku. Ovlivňuje jak jeho výnosovou, ak i nákladovou sránku. Čím vyšší je kvalia vyráběných výrobků, ím více je firma schopna proda a dosáhnou vysokých ržeb. Na druhé sraně méně kvaliní výrobky zvyšují náklady firmy, a o jak z hlediska vyššího poču reklamací, ak i nákladů na přepracování nebo zlikvidování ohoo výrobku. Jak bude výrobek kvaliní, může firma ovlivni již v předvýrobní eapě, jelikož kvalia se uváří ješě před samoným začákem výroby. To je hlavním úkolem managemenu výroby, kerý rozhoduje zejména o om, co, jak a pro koho se bude vyrábě. Naplánova a rozloži výrobní proces ak, aby byl co nejvíce efekivní, je velice důležié, neboť pouze dokonalým výrobním procesem může firma vyrobi dokonalý výrobek. 1. Informace o firmě Firma, jejíž daa byla poskynua při zpracování éo diplomové práce, si nepřála zveřejňova podrobné informace, proo je v diplomové práci uvedena pouze sručná charakerisika podniku. Firma byla založena v roce 00 a jejím původním předměem činnosi bylo lisování pryžových výrobků. Později svoji výrobu rozšířila o ruční zpracování silikonových výrobků a začala vyvíje svoji vlasní recepuru směsí. Díky omu se 7

dokáže přizpůsobi i ěm nejnáročnějším požadavkům zákazníka. Rozšířením výroby dokázala expandova i na zahraniční rhy a v dnešní době dodává své produky a maeriály podnikům po celém svěě. Výrobky, keré ao firma vyrábí, mají využií v různých oblasech průmyslu, jako je například srojírenský, auomobilový, farmaceuický a průmysl lékárenských zařízení a maeriálů. Plánování výroby probíhá na základě daného objemu zakázek, věšinou je však výroba rozdělena do dvou směn, ranní a odpolední. Pouze v případě vyššího poču zakázek jsou yo směny doplněny ješě o směnu noční. Technologie výroby je založena na lisování a vsřikování, k omu firmě slouží celkem 30 lisů. V oblasi kvaliy výroby dodržuje zásady plynoucí z kvaliaivní normy ISO 9001:008. V současnosi firma zaměsnává 40 zaměsnanců. 8

. Cíl práce Cílem éo diplomové práce je navrhnou lepší uspořádání výroby jednolivých výrobků do směn, keré by vedlo k nižší zmekoviosi. K naplnění ohoo cíle budou slouži základní saisické meody, zejména analýza časových řad, regresní analýza a esování saisických hypoéz. V rámci saisického zpracování da bude pracováno s měsíčními údaji o poču zmekových a vyrobených výrobků. Pomocí analýzy časových řad bude posouzen vývoj zmekoviosi ve vybrané firmě v jednolivých měsících le 008 a 009. K omu budou slouži především elemenární charakerisiky časové řady, jejichž úkolem bude popsa sledovanou časovou řadu. Dále bude zvolena vhodná rendová funkce vysihující dlouhodobý vývoj zmekoviosi výroby, a v neposlední řadě bude sanovena predikce vývoje zmekoviosi na další období, konkréně na první čvrleí roku 010. Dalším krokem bude provedení empirické analýzy. V rámci éo analýzy bude sesaven jednorozměrný regresní model, s jehož pomocí bude ověřena závislos poču zmekových výrobků na množsví vyrobených výrobků. Získané výsledky budou vhodně inerpreovány a pro lepší přehlednos zpracovány do abulek a grafů. Pro analyzovaná daa budou aké sanoveny hypoézy o vzazích mezi jednolivými ukazaeli, keré budou pomocí esování hypoéz o relaivní čenosi saisicky vyhodnoceny. Výsledkem ohoo vyhodnocení bude povrzení nebo vyvrácení sanovené hypoézy. Na základě ěcho výsledků budou sanovena doporučení ýkající se rozložení výrobků ve výrobním procesu ve vybrané firmě s ohledem na co nejnižší zmekovios. 9

3. Rešerše lieraury 3.1 Výroba Výroba je vědomá činnos, kerá uspokojuje pořeby lidí a jejím výsledkem jsou výrobky a služby. V procesu výroby dochází k ransformaci vsupních prvků na výsupy. Významnou roli v éo ransformaci hraje echnologie, což je způsob, jakým pracovníci a echnické prosředky působí na suroviny, maeriály a poloovary při jejich přeměně ve výrobek. Používaná echnologie má značný vliv na rychlos, efekivnos a kvaliu výroby a aké na ekologii. Výrobu je řeba neusále zdokonalova. Jejím cílem nejsou jakékoliv výrobky nebo služby, ale pouze akové, keré bude možno realizova na rhu a získa ak odpovídající přínosy. 3.1.1 Členění výroby Výrobu lze členi podle různých hledisek: a) podle míry plynulosi echnologického procesu rozlišujeme výrobu: plynulou, kde se echnologický proces nepřerušuje a o ani ve dnech pracovního klidu. Dochází zde k bezprosřednímu spojení echnologických a manipulačních procesů a věšinou se jedná o hromadnou výrobu. Nepřeržios výroby je dána i skuečnosí, že zasavení výroby a rozběh ěcho výrob je spojen se značnými náklady. přerušovanou, kde je echnologický proces přerušován pořebou uskuečni řadu neechnologických procesů. Technologické operace předsavují jen neparnou čás průběžné doby výroby a mohou bý bez věších nákladů zasaveny a znovu spušěny. b) Podle charakeru echnologie rozeznáváme výrobu: mechanickou, ve keré se nemění vlasnosi lákové podsay opracovaných maeriálů a poloovarů, avšak maeriál nebo poloovar mění svůj var a jakos. 10

Chemickou, kerá vyvolává změny vlasnosí lákové podsay surovin a maeriálů. Biologickou a biochemickou, kerá využívá přírodní procesy, láková podsaa surovin a maeriálů se mění. c) Podle ypu výroby, kde yp výroby je dán množsvím a počem druhů vyráběných výrobků, rozlišujeme: kusovou, kerá je charakerizována výrobou velkého poču různých druhů výrobků v malých množsvích. sériovou, ve keré se výroba sejného druhu výrobku opakuje v zv. sériích. Podle velikosi série rozlišujeme malo, sředně a velkosériovou výrobu. hromadnou, v níž se vyrábí velké množsví jednoho nebo malého poču druhů výrobků. (Makovec, 1997) 3. Náklady spojené s jakosí Dopad jakosi na vorbu zisku může bý především z dlouhodobého pohledu velmi významný. Jakos výrobku v současné době spolurozhoduje o úspěšnosi a konkurenceschopnosi podniku, má rozhodující vliv na dosahovanou cenu při prodeji výrobku. Náklady na jakos jsou součásí celkových nákladů podniku. Podle ISO normy 9004 náklady na jakos dělíme na: provozní náklady na jakos náklady na exerní zabezpečení jakosi. Provozní náklady na jakos jsou náklady vynaložené podnikem na dosažení a udržení určié úrovně jakosi. Je řeba je pravidelně sledova a vyhodnocova ve vzahu k osaním ukazaelům hodnocení podniku. Zahrnují: a) Náklady na prevenci a prověřování Prevence náklady na zamezení vzniku nedosaků (např. školení, získávání informací, předávání zpráv) Prověřování náklady na zkoušení, konrolu a verifikaci s cílem posoudi, zda je dodržovaná požadovaná jakos 11

b) Náklady na vadné výrobky vniřní zmeky jsou náklady vyplývající z oho, že výrobek nebo služba nesplňuje požadavky na jakos ješě před dodáním vnější zráy předsavují náklady vyplývající z oho, že výrobek nebo služba nesplňuje požadavky na jakos po dodání Náklady na exerní zabezpečení jakosi jsou náklady vzahující se na předvedení a prokázání jakosi, jako důkaz požadovaný zákazníky. Paří sem např. zvlášní a dodaečná opaření na zabezpečování jakosi, posupy, údaje, předváděcí zkoušky a posouzení. (Makovec, 1997) 3.3 Neshoda a řízení neshodného výrobku Neshoda je obecný výraz, kdy určiá skuečnos (výrobek, díl, forma, měřicí přísroj, použiá meoda) neodpovídá sanoveným specifikacím. Velice blízkým výrazem je vada, což je nesplnění požadavku ve vzahu k zamýšlenému nebo specifikovanému použií. Dále se používají výrazy jako je například zmeek, porucha, poškození nebo závada. Obvyklým posupem při zjišění neshody je okamžiá náprava, pokud je možná. Nelze-li provés nápravu, je řeba neshodný produk idenifikova, výrazně označi (zpravidla červeně s nápisem sop, neužíva, pozasaveno apod.) a izolova jej v prosorech, keré jsou k omu určeny. Dále by měla bý určena odpovědná osoba, kerá určí, jak bude s neshodným produkem dále naloženo. O zjišěné neshodě by měl bý veden záznam, ze kerého je zřejmé, o jaký druh neshody se jednalo, popřípadě jaká byla příčina neshody. Určení příčin, navrhnuí a přijeí akových opaření, aby již nedocházelo ke vzniku neshod při realizaci daného procesu, je podsaou nápravných opaření. Takovéo opaření může mí podobu například seřízení sroje, výměna násroje či přípravku, oprava formy, vyřazení vadného maeriálu nebo zavedení přísnější konroly. (Veber, 00) 1

4. Maeriál a meodika 4.1 Charakerisiky časových řad Mezi základní charakerisiky časových řad paří absoluní přírůsky (diference), koeficien růsu, koeficien přírůsku, empo růsu a přírůsku, průměrný absoluní přírůsek a průměrný koeficien růsu. absoluní přírůsek d = y1 y 1, =, 3,, n, kde y1 a y-1 jsou jednolivá pozorování. koeficien růsu koeficien přírůsku δ = d y 1 k = = y y y y 1 y 1, =, 3,, n. 1 = k 1, =, 3,, n. Koeficien růsu a koeficien přírůsku bývají časo uváděny v procenech. Pokud omu ak je, nazýváme je empo růsu a empo přírůsku a exisuje mezi nimi analogický vzah 100δ = 100k 100. průměrný absoluní přírůsek n 1 1 =. = n 1 d = d n 1 Průměrný absoluní přírůsek je arimeický průměr a vyplývá z něj, že jeho hodnoa závisí pouze na obou krajních hodnoách řady. Z ohoo důvodu se použií éo charakerisiky doporučuje pouze pro časové řady s monoónním rosoucím nebo klesajícím průběhem. průměrný koeficien růsu y y n 1 n y k = n k = 1 y =. Průměrný koeficien růsu je geomerický průměr jednolivých koeficienů růsu. (Minařík, 007) 1 13

4. Modelování časových řad Při modelování časových řad můžeme využí řadu přísupů, keré se odlišují v míře zahrnuí náhodných vlivů do modelu a aké použiými maemaicko-saickými meodami. Výchozím principem je jednorozměrný model časové řady, kerý lze definova jako ε y = f,, kde y je hodnoa modelovaného ukazaele v čase, je časová proměnná, kerá nabývá hodno = 1,,, n a ε označuje hodnou náhodné složky v čase. K omuo modelu lze přisupova pomocí: a) klasického modelu b) Box-Jenkinsonovy meodologie c) spekrální analýzy. (Hindls, 003) 4..1 Klasický model Klasický model časové řady vychází z dekompozice časové řady do čyř složek: Trendová T, Sezónní S, Cyklická C, Náhodná ε. Klasický model může obsahova jak všechny čyři složky, ak i jen někeré z nich. Jejich příomnos je dána věcným obsahem časové řady. Rozlišujeme dva ypy varu rozkladů: Adiivní y = T + S +C +ε = Y +ε, = 1,,, n, kde Y předsavuje souhrn modelové, sysemaické a deerminisické složky. Muliplikaivní, kerý lze pomocí logarimické ransformace převéz na adiivní var y = T S C ε, = 1,,, n. Trend předsavuje endenci dlouhodobého vývoje sledovaného ukazaele v čase. Může mí rosoucí, klesající nebo konsanní podobu, kdy hodnoy ukazaele 14

časové řady v průběhu sledovaného období pohybují kolem určié neměnné úrovně. V omo případě se časo hovoří o časové řadě bez rendu. Sezónní složka znamená pravidelně se opakující odchylku od rendové složky, kerá se vyskyuje u časových řad s periodiciou kraší než jeden rok nebo rovnou právě jednomu roku. Cyklickou složkou označujeme kolísání okolo rendu v důsledku dlouhodobého cyklického vývoje s délkou vlny delší než jeden rok. V někerých případech je cyklická složka zahrnována pod rendovou složku jako sřednědobou endenci vývoje. Náhodná složka je veličina, kerou není možné popsa žádnou funkcí času a v podsaě předsavuje zbyek vyloučení rendu, sezónní a cyklické složky. 4.3 Popis rendové složky Hlavním úkolem analýzy časových řad je naléz vhodnou rendovou funkci, kerá popisuje vývoj časové řady a její endence. Mezi rendové funkce řadíme lineární rend, parabolický rend, exponenciální rend, modifikovaný exponenciální rend, logisický rend a Gomperzovu křivku. První ři zmíněné rendové funkce jsou vzhledem k jejich průběhu a odhadu paramerů považovány za funkce jednoduché. Jejich charakerisickým rysem je ničím neomezený růs a zpravidla aké nemají asympou. Naopak modifikovaný exponenciální rend, logisický rend a Gomperzova křivka asympou mají, jsou edy vhodnější k modelování vývoje jevů. Na rozdíl od předchozích rendových funkcí nemají jednoduchý průběh ani meody odhadu paramerů. Pro odhad paramerů rendových funkcí se nejčasěji používá meoda nejmenších čverců, avšak za podmínky, že zvolená rendová funkce je lineární v paramerech. Tuo podmínku splňuje lineární a parabolická funkce, jednoduchá exponenciální funkce pouze po ransformaci na lineární funkci v paramerech. Exponenciální rendová funkce, logisická rendová funkce a Gomperzova křivka jsou funkce nelineární v paramerech, keré nelze ransformací převéz na lineární var. (Hindls, 003) 15

4.3.1 Lineární rend Paří mezi nejpoužívanější yp rendové funkce. Lze ji vyjádři ve varu: T 1 = β 0 + β, kde β0 a β1 jsou neznámé paramery, = 1,,, n je časová proměnná. Použiím meody nejmenších čverců dosáváme sousavu normální rovnic: kde b0 a b1 jsou odhady paramerů. y 0 1, = nb +b y = b, 0 +b1 4.3. Parabolický rend Má eno var: T = β, 0 + β1 + β kde β0, β1, β jsou neznámé paramery, = 1,,, n je časová proměnná. Opě se jedná o rendovou funkci lineární v paramerech, proo po použií meody nejmenších čverců dosáváme sousavu rovnic: y y,, = nb0 +b1 +b,,,,,3 1 = b0 +b1 +b y.,,,3,4 1 = b0 +b1 +b, 4.3.3 Exponenciální rend Lze zapsa ve varu: T = β β1 0, kde β0 a β1 jsou neznámé paramery, = 1,,, n je časová proměnná. Vzhledem k omu, že funkce není lineární v paramerech, nelze k odhadu paramerů použí meodu nejmenších čverců. Proo se využívá meoda linearizující ransformace, kdy logarimickou ransformací funkce dosaneme: logt = logβ0 +logβ 1. 16

V omo případě již lze aplikova meodu nejmenších čverců a dosáváme edy rovnice: log y = nlogb 0 + logb 1, logy = logb0 + logb1. 4.3.4 Klouzavé průměry Meoda klouzavých průměrů paří mezi meody mechanického vyrovnání časové řady a na rozdíl od předchozích meod vychází z posupného nahrazování empirických pozorování řadou průměrů vypočíaných z ěcho pozorování. Každý z ěcho průměrů zasupuje určiou skupinu pozorování. Klouzavé průměry vypočíáme ak, že při posupném výpoču průměrů se pohybujeme vždy o jedno pozorování dopředu, přičemž nejsarší pozorování vypusíme. Důležiou součásí klouzavých průměrů je sanovení poču pozorování, ze kerých jsou jednolivé průměry počíány, neboli klouzavé čási. Značíme ji symbolem m = p + 1 pro m < n, kde n je celkový poče pozorování dané časové řady. Prosý klouzavý průměr má eno var: b 0 1 = y = m p i= p y,i = y p + y p+ 1 m + + y kde b0 je odhad parameru, kerý předsavuje odhad rendové funkce příslušející sřednímu bodu příslušné klouzavé čási a i je časová proměnná. (Hindls, 003) +p, 4.4 Popis sezónní složky Pokud provádíme analýzu časové řady, éměř vždy se sekáváme s exisencí sezónních vlivů. Tyo vlivy předsavují soubor přímých nebo nepřímých příčin, keré se každý rok pravidelně opakují. Nejčasěji mluvíme o vlivech klimaických (např. v leních měsících rose spořeba nápojů) nebo zprosředkovaných (např. prázdniny, dovolené, víkendy apod.). Působením sezónních vlivů na časovou řadu dojde ke vzniku zv. sezónních výkyvů, edy k pravidelným výkyvům analyzované časové řady nahoru a dolů vzhledem k určiému nesezónnímu vývoji řady v průběhu le. 17

4.4.1 Model konsanní sezónnosi Model předpokládá, že pro danou sezónu j = 1,,, r se sezónní výkyvy pravidelně opakují ve sejné výši v leech i = 1,,, m. Lze jej zapsa ve varu: y ij = T ij + S ij +ε ij, i = 1,,, m, j = 1,,, r, kde i = 1,,, m značí pořadová čísla le, j=1,,, r posloupnos dílčích období v rámci roku a r je poče dílčích období v rámci roku. Konsanní model sezónnosi vychází z předpokladu, že Sij = βj pro j-ou sezónu v leech i = 1,,, m, kde βj pro j = 1,,, r jsou neznámé sezónní r paramery, přičemž Sij = β j = 0 pro všechny roky i = 1,,, m. j= 1 r j= 1 4.4. Model proporcionální sezónnosi Předpokladem ohoo modelu je, že se v dílčím období sezónní výkyvy mění přímo úměrně dosažené úrovni rendové složky. Plaí eno vzah: S ij = γ T j ij, i = 1,,, m, j = 1,,, r, kde γj pro sezóny j = 1,,, r jsou sezónní paramery. Na základě klasického modelu časové řady, kerý eoreickou hodnou časové řady rozkládá na souče hodno rendové a sezónní složky, edy Yij = Tij + Sij, můžeme psá: Odhady sezónních indexů získáme jako: Y =( 1 +γ ) T. ij m y ( 0 ) Tij ij i= 1 ( 1 +c j )=, m ( 0 ) T kde (1+cj) předsavuje odhady sezónních indexů, přičemž plaí r (Hindls, 003) j i= 1 ij ij j= 1 ( 1 + c )= r. j 18

4.4.3 Sezónní očišťování Jesli-že chceme porovnáva po sobě jdoucí údaje v časové řadě, keré jsou ovlivněny sezónnosí, musíme je sezónně očisi. Too očišění předsavuje rozdělení časové řady na složku rendovou, sezónní a náhodnou, přičemž hlavním úkolem je odsrani sezónní složku z časové řady, ale rendovou složku v modelu ponecha. Exisuje mnoho meod sezónního očišťování. Obvykle vycházejí z různých varian a ypů klouzavých průměrů, keré eliminují z časové řady y složky, jejichž perioda nepřesahuje poče pozorování, vořících délku ohoo klouzavého průměru. (Hindls, 003) 4.5 Popis náhodné složky Náhodná složka je výsledkem působení blíže nespecifikovaelných vlivů, jejichž zdrojem jsou vzájemně nezávislé náhodné jevy, keré se v rámci časové řady kompenzují. Můžeme ji vyjádři v omo varu: ε = y Y. Exisují předpoklady o náhodné složce, z nichž jedna se ýká sřední hodnoy a vrdí, že jsou nulové, edy, že plaí: E(ε )= 0, = 1,,, n. Dalším předpokladem je homoskedasicia náhodných poruch, kerá vychází z oho, že náhodné poruchy s nulovými sředními hodnoami mají v čase konsanní rozpyl a jsou vzájemně lineárně nezávislé. Plaí: E(ε,ε D(ε )= ζ ' )=, = 1,,, n, ' ' 0,, = 1,,, n,. Pokud časová řada splňuje předpoklad nulové sřední hodnoy a konsanní rozpyl, voří řada ε zv. bílý šum. Hypoéza heeroskedasiciy předpokládá, že náhodné poruchy s nulovými sředními hodnoami jsou vzájemně nezávislé s měnlivými rozpyly a lze ji zapsa ako: D(ε )= s, 1 w 19

kde w jsou vahami pozorování a splňují požadavek w 1 = 1. Poslední hypoézou je předpoklad o auoregresi náhodných poruch a vychází z: ε = ρε 1 +u, 0 < ρ < 1, kde ρ je auokorelací koeficien sousedních náhodných poruch, kerý je považován za konsanní, u je posloupnos náhodných poruch s nulovými sředními hodnoami a konsanními rozpyly. (Hindls, 003) n = 1 4.6 Volba vhodného modelu rendu Důležiým krokem analýzy časových řad je volba kriérií, na základě kerých se rozhodujeme o vhodnosi rendové funkce. Základem pro rozhodování by měla bý věcně ekonomická kriéria, díky kerým lze v někerých případech posoudi, zda se jedná o funkci rosoucí nebo klesající, vyskyuje-li se zde inflexní bod nebo jde o funkci nekonečně rosoucí nebo s růsem jen ke konečné limiě. Další možnosí je analýza grafu zobrazené časové řady, avšak její nevýhodou je subjekivia, kdy při analyzování časové řady mohou různí lidé dojí k různým ypům rendové křivky, a aké je do značné míry závislý na volbě použiého měříka. Nejvýznamnějším kriériem je rozbor empirických údajů, zv. inerpolační kriéria, kam řadíme např. meodu, kdy volíme nejvhodnější yp křivky na základě minimalizace hodno přijaého kriéria, kerým časo bývá souče čverců odchylek empirických hodno od hodno vyrovnaných: n ( 0 ) Qe = (y T ) = 1 kde y jsou empirické hodnoy a (0) T vyrovnané hodnoy analyzované časové řady. Nejvhodnější je a funkce, kerá dává nejmenší reziduální souče čverců. Druhým kriériem je index korelace, jehož var vypadá ako: I = (y ( 0 ) Q T ) e 1 = 1 Q (y y) přičemž nejvhodnější rendová funkce je a, kerá vede k jeho nejvěší hodnoě.,, 0

V praxi se sekáváme s různými mírami úspěšnosi zvolené rendové funkce: Sřední chyba odhadu (M.E. = Mean Error) ( ) (y 0 T ) M. E. =. n Jesli-že k odhadu paramerů použijeme meodu nejmenších čverců, je ao míra vždy rovna nule. Sřední čvercová chyba odhadu (M.S.E. = Mean Squared Error) ( 0 ) (y T ) M. S. E. =. n V dnešní době paří k nejpoužívanějším kriériím. Sřední absoluní chyba odhadu (M.A.E. = Mean Absolue Error) ( ) y 0 T M. A. E. =. n Sřední absoluní procenní chyba odhadu (M.A.P.E. = Mean Absolu Percenage Error) M. A. P. E. = ( 0 ) y T 100 y. n Sřední procenní chyba odhadu (M.P.E. = Mean Percenage Error) M. P. E. = ( 0 ) y T 100 y. n 4.7 Regresní analýza Regrese se zabývá zkoumáním vzájemných vzahů mezi dvěma nebo více proměnnými, jejichž závislos je vyjádřena prosřednicvím saisického modelu. Šolés (008, s. 11) uvádí dva ypy proměnných, keré z hlediska posavení proměnných v regresním modelu rozlišujeme: Vysvělované (závislé) proměnné číselné proměnné, jejichž závislos od jiných proměnných zkoumáme 1

Vysvělující (nezávislé) proměnné u kerých předpokládáme, že vyvolávají změny závislé proměnné, a pomocí kerých odhadujeme hodnoy závisle proměnné Regresní model uvažuje pouze číselné vysvělující proměnné. Můžeme se však seka s případem, kdy je pořeba zavés i kvaliaivní proměnnou, jejíž zahrnuí do regresního modelu předpokládá její kvaniaivní vyjádření. Pro yo případy exisuje zv. umělá proměnná. Nejpoužívanější umělé proměnné jsou s hodnoami 0 a 1, keré označují úrovně kvaliaivní proměnné. Pokud má kvaliaivní proměnná s úrovní, musíme vyvoři s 1 umělých proměnných. (Šolés, 008) Regresní analýzu rozlišujeme podle poču vysvělovaných proměnných na: Jednoduchou (zv. párovou) kdy bereme v úvahu pouze jednu vysvělující proměnnou Vícenásobnou (zv. mnohonásobnou) kdy zkoumáme vliv více vysvělujících proměnných na vysvělovanou proměnnou Předpokladem regresní analýzy je fak, že vzah mezi vysvělovanou proměnnou a vysvělujícími proměnnými lze vyjádři prosřednicvím maemaického modelu. Exisují dva základní ypy ěcho modelů: Deerminisický model y = f X, β, kde y je vekor hodno vysvělované proměnné, X je maice hodno vysvělujících proměnných X1, X,, Xk, β je vekor paramerů modelu. Regresní model y f (X, ), kde f (X, β) je regresní funkce, ε je vekor náhodných chyb. Podle Hindlse (003, s. 177) je hlavním cílem regresní analýzy naléz akovou maemaickou funkci, kerá by co nejlépe vysihovala charaker závislosi a co nejvěrněji znázorňovala průběh změn podmíněných průměrů závislé proměnné. Tao funkce se nazývá regresní funkce a z hlediska jejího ypu rozlišujeme: Lineárně regresní modely y i = β 0 + β x 1 i1 + + β k x ik + ε i

Jesliže se v lineárním modelu nachází jedna vysvělující proměnná (k = 1), pak je regresní funkcí přímka. Pokud se v modelu vyskyují dvě vysvělující proměnné (k = ), pak je regresní funkcí rovina nebo v případě více proměnných (k > ) nadrovina. Lineární modely jsou díky svému deailnímu rozpracování a jednoduché inerpreaci paramerů nejpoužívanějšími modely. Linearizovaelné regresní modely, keré lze pomocí ransformace upravi do lineární podoby. Dále se člení na: a) Modely nelineární ve vysvělujících proměnných, ale lineární v paramerech. Řadíme sem modely, keré lze ransformova do podoby: y i = β 0 + β1 fi1 + + βk fik + εi, kde fil je i-á hodnoa j-é ransformace vysvělujících proměnných b) Modely nelineární v paramerech, keré lze ransformova na lineární model: ω i = β 0 + β 1 f i1 + + β k f ik + ω i Nelineární modely, keré nelze ransformova do lineární podoby. Řadíme sem modely, jejichž regresní funkcí je např. modifikovaná exponenciální křivka η = β0 + β1 β. (Šolés, 008) x i 4.7.1 Meoda nejmenších čverců Meoda nejmenších čverců je nejčasější meodou používanou pro výpoče paramerů modelu. Je založená na předpokladu, že souče čverců odchylek empirických a eoreických hodno závisle proměnné je minimální. Výhodou éo meody je, že umožňuje z obecně daného ypu modelu vybra konkréní funkci, kerá nejvhodněji prokládá množinu bodů, jejichž souřadnice jsou dány empirickými hodnoami závisle a nezávisle proměnné každé jednoky. Pro uplanění éo meody však musí bý splněna podmínka, že se jedná o adiivní yp funkce. V opačném případě, edy pokud se nejedná o adiivní yp funkce, musí bý na eno yp převedena. Muliplikaivní ypy se snadno převádějí na yp adiivní pomocí logarimování. (Dufek, 003) 3

4.7. Kvalia regresní funkce Pro posouzení kvaliy regresní funkce je nejčasěji používán index deerminace, kerý vyjadřuje, jak se na rozpylu skuečně zjišěných hodno podílí rozpyl vyrovnaných hodno. Plaí, že závislos proměnné y a proměnné x bude ím silnější, čím věší bude podíl rozpylu vyrovnaných hodno na celkovém rozpylu, a ím slabší, čím bude podíl ohoo rozpylu menší. Inenziu závislosi měříme poměrem s I yx. s Index deerminace nabývá hodno v inervalu 0 ; 1. Čím více se hodnoa ohoo indexu blíží jedné, ím je inenzia závislosi silnější a regresní funkce je vysižená správně. Naopak čím více se blíží nule, ím je závislos slabší a regresní funkci považujeme za méně výsižnou. Index deerminace vynásobený sem udává relaivně v procenech u čás rozpylu závisle proměnné y, kerou se podařilo zvolenou regresní funkcí vysvěli. (Hindls, 003) Y y Lepší vypovídací schopnos než index deerminace má korigovaný (adjungovaný) koeficien deerminace R n 1 1 (1 R ), n k kde k je poče paramerů modelu. (Gujarai, 009) V praxi se k měření závislosi používá index korelace, kerý je odmocninou indexu deerminace, má však menší vypovídací schopnos. Při výpoču se posupuje podle vzorce 1 ( Yi y) n ( Yi y) I yx. (Hindls, 003) 1 ( y y) ( y y) i i n 4

4.7.3 Inervaly spolehlivosi odhadnuých paramerů Sanovení inervalu spolehlivosi předsavuje proces nalezení mezí, uvniř kerých se skuečná hodnoa parameru bude při opakovaných výběrech nacháze s požadovanou pravděpodobnosí. Tuo pravděpodobnos nazýváme hladinou spolehlivosi a zpravidla ji volíme předem. (Hušek, 1999) Inervaly spolehlivosi pro paramery regresní funkce jsou zkonsruovány ve formě: b 0 b 1 Y i 1 / 1 / 1 / s s s b0 b1 < < b 1 0 < < b 1 / b1 Y i i i 1 / Y i 1 0 < < Y 1 / kde b0 a b1 jsou výběrové paramery, β0 a β1 jsou odhady paramerů a 1-α/ jsou 100(1-α/)% kvanily Sudenova rozdělení s n- supni volnosi. (Hindls, 003) s s s b0, 4.8 Tesování saisických hypoéz Podle Minaříka (1998, s. 84) je saisická hypoéza předpoklad vyslovený o náhodné veličině (například o jejím rozdělení nebo hodnoě parameru). Ověřování éo hypoézy ve své podsaě předsavuje sav, kdy se rozhodujeme mezi dvěma rozhodnuími v podmínkách rizika. Výsledkem akového rozhodnuí pak je zamínuí saisické hypoézy pokud z výběrových da zjisíme, že je hypoéza s vysokou pravděpodobnosí nesprávná nezamínuí saisické hypoézy Saisická hypoéza, kerá je předměem esování, je časo nazývána nulovou hypoézou a označuje se symbolem H0. Tao hypoéza se vždy vzahuje k nějakému výroku, např. Úroveň dosaženého vzdělání ovlivňuje budoucí uplanění sudenů. Proi éo hypoéze savíme zv. alernaivní hypoézu, kerá vyvrací hypoézu nulovou a zpravidla se označuje symbolem H1. Hindls (003, s. 134) ve své knize uvádí ři možné způsoby vymezení alernaivní hypoézy, a o ve formě: a) H1: µ µ0, kerá vrdí, že hodnoa parameru µ je jiná, než hodnoa nulové hypoézy H0. Takováo hypoéza se nazývá dvousrannou hypoézou a es hypoézy dvousranným esem. 5

b) H1: µ>µ0, kdy alernaivní hypoéza vrdí, že hodnoa parameru je věší než hodnoa nulové hypoézy. V omo případě se jedná o jednosrannou hypoézu, konkréně pravosrannou a o es hypoézy jednosranným pravosranným esem. c) H1: µ<µ0, kdy hodnoa parameru je menší než hodnoa nulové hypoézy a jedná se o jednosrannou levosrannou hypoézu a es hypoézy jednosranným levosranným esem. Jelikož při esování saisických hypoéz využíváme údaje získané náhodným výběrem, může dojí k chybnému rozhodnuí. Minařík (1998, s. 87) uvádí dvě možné siuace, keré mohou nasa: Chyba 1. druhu jedná se o případ, kdy byla esovaná hypoéza chybně zamínua s předem zvolenou pravděpodobnosí α odpovídající zadané hladině významnosi Chyba. druhu siuace, kdy je esovaná hypoéza chybně nezamínua s předem neznámou pravděpodobnosí β. Pravděpodobnos 1 - β se nazývá síla esu a vyjadřuje pravděpodobnos, že se nedopusíme chyby druhého druhu. 4.8.1 Posup při esování hypoéz Po formulaci nulové a alernaivní hypoézy následuje proces nalezení náhodné veličiny s pravděpodobnosním rozdělením. Tuo náhodnou veličinu nazýváme esové kriérium. Výpoče hodnoy ohoo kriéria je důležiý pro sesrojení kriického oboru, edy oboru zamínuí esované hypoézy H0. Dalším krokem je zvolení zv. hladiny významnosi. Minařík (1998, s. 86) ve své knize uvádí: Hladina významnosi je pravděpodobnos chybného zamínuí hypoézy, kerá je ve shodě se skuečnosí. Nejčasěji se hladina významnosi volí jako 0,05 nebo 0,01. Vyhodnocení esu se v praxi časo provádí ak, že se absoluní hodnoa vypočeného esového kriéria porovnává s hodnoami kvanilů v rámci zvolené hladiny významnosi. Výsledkem esování ak mohou bý dvě možnosi: Nulovou hypoézu zamíáme a přijímáme alernaivní, pokud se hodnoa esového kriéria nachází v kriickém oboru 6

Nulovou hypoézu nezamíáme, jesli-že je hodnoa esového kriéria v oboru přijeí 4.8. Tes o relaivní čenosi Tes o jedné relaivní čenosi Hypoézu H0: =c ověříme pomocí esovacího kriéria U = p c c 1 c, kde p je relaivní čenos ve výběru o rozsahu n, keré má rozdělení N 0,1 a jeho kriický obor je vymezen jako, u nebo u, 1. Tes o dvou relaivních čenosech Hypoézu H0: 1- =0 ověříme pomocí esovacího kriéria U = p n p 1 n p + n p n n p n p, 1 1 n n n kde p1, p jsou relaivní čenosi výběrů o rozsazích n1, n a n = n1 + n. Rozdělení ohoo kriéria je N 0,1. (Minařík, 1998) 1 1 1 4.8.3 Tesování modelu T-es Ke zkoumání významnosi regresních paramerů se v praxi používá zv. -es. V případě, že esujeme hypoézu o nulové hodnoě regresního parameru, pak nulová a alernaivní hypoéza je formulována ve varu: H 0 : j 0. H : 0 1 0, j 7

Použijeme esové kriérium: b j T, s bj kde saisika T má rozdělení o n-p supních volnosi. Rozhodujeme se na základě porovnání výsledné hodnoy esového kriéria s hodnoou kvanilu Sudenova rozdělení, přičemž mohou nasa yo siuace: T > T < 1 / 1 / H H 0 0 zamíáme. nezamíáme Další možnosí je esování hypoézy o paramerech regresních funkcí, kdy esujeme hypoézu H : 0 j 0, j oproi alernaivní hypoéze Tesovým kriériem pak je: H : 1 j 0, j. b j 0, j T. s b j Kriický obor přijeí je vymezen jako: b j s 0, j j 0, j > 1- / a < 1- / b s j b j b. (Hindls, 003) F-es Na základě F-esu jsme schopni posoudi, zda je regresní model saisicky průkazný. Regresní funkci ověřujeme pomocí analýzy variance, kdy je sanovena nulová hypoéza Hypoézu esujeme esovou saisikou H 0 : model je saisicky průkazný. ESS /( p 1) F, RSS /( n p) kde p je poče paramerů rovnice, přičemž p = k + 1, ESS je odhadnuý souče čverců, RSS je reziduální souče čverců a n je poče pozorování. 8

Výsledkem esu pak je: F > F F < F 1 1 ( p 1, n p) ( p 1, n p) H H 0 0 zamíáme. (Hindls, 003) nezamíáme RESET es Pomocí ohoo esu jsme schopni zjisi specifikační chyby modelu, keré mohou vzniknou v důsledku vynechání vysvělujících proměnných nebo chybnou specifikací analyického varu modelu. Nulovou hypoézou je v omo případě H 0 :model je správně specifikován. Tesovací saisiku F vypočíáme podle vzorce: ( R1 R0 ) / F. (Hušek, 1999) (1 R ) /( n 4) 1 4.8.4 Tesování chybového členu Heeroskedasicia chybového členu Heeroskedasicia předsavuje siuaci, kdy je porušena podmínka konečného a konsanního rozpylu náhodných složek u klasického lineárního modelu. K deekci heeroskedasiciy se používají Whieův es a Breusch-Paganův es. (Hušek, 1999) Posup aplikace Whieova esu: Získání reziduí z odhadnuého regresního modelu e Yi Yˆ i Využií čverců reziduí jako vysvělované proměnné v pomocné regresi, kerá obsahuje vysvělující proměnné Tes celkové průkaznosi pomocné regrese pomocí LM esu: LM nr ( k). U Breusch-Paganova esu posupujeme následovně: Získáme rezidua z odhadnuého regresního modelu Čverce znormovaných reziduí využijeme jako vysvělované proměnné v pomocné regresi, kerá obsahuje původní vysvělující proměnné Opě esujeme pomocí saisiky LM. (Blašková Sřelec, 009) 9

Auokorelace chybového členu Auokorelací rozumíme siuaci, kdy je náhodná složka modelu v libovolném období pozorování zkorelována s náhodnou složkou nebo náhodnými složkami v předcházejících obdobích. Nejpoužívanějším esem auokorelace prvního řádu je Durbin-Wasonova saisika definovaná vzahem d T ( e e ) 1. T i1 DW saisika nabývá hodno v inervalu od 0 do 4. Pokud se hodnoa DW saisiky blíží 0, hovoříme o poziivní auokorelaci prvního řádu. V případě, že se hodnoa DW saisiky blíží 4, jedná se o negaivní auokorelaci prvního řádu. Hodnoa DW saisiky rovnající se naznačuje nezávislos. (Hušek, 1999) e Normalia chybového členu K posouzení normálního rozdělení sysemaické složky se používá Shapiro-Wilkův es nebo aké Jarque-Bera es. Úkolem Jarque-Bera esu je zjisi, zda vypočené hodnoy šikmosi a špičaosi se odchylují od norem 0 a 3. Tesová saisika má var S ( K 3) JB n, 6 4 kde S předsavuje šikmos a K špičaos. (Gujarai, 009) 30

5. Analýza získaných da Kapiola analýza získaných da bude rozdělena na ři čási. První čás bude věnována analýze časových řad, v jejímž rámci budou vypočeny základní charakerisiky vývoje, zvolen vhodný model rendu a aké sanovena předpověď pro následující období. V druhé čási bude provedena jednorozměrná regresní analýza, kde bude ověřen vliv poču vyrobených výrobků na množsví zmekových výrobků. V poslední čási éo kapioly budou sanoveny a zároveň i ověřeny hypoézy o vzazích mezi ukazaeli. 5.1 Elemenární charakerisiky vývoje Pomocí výpoču charakerisik vývoje lze získa základní rysy chování časové řady. K popisu chování analyzované časové řady byl vybrán absoluní přírůsek a koeficien růsu. Tyo charakerisiky byly sledovány v jednolivých měsících v leech 008 a 009. Jejich výsledné hodnoy znázorňuje graf č. 1 a graf č.. Graf č. 1 Absoluní přírůsky Z výše uvedeného grafu je na první pohled parné, že vývoj zmekoviosi v jednolivých měsících byl značně kolísavý. Nejvěší přírůsek byl v únoru roku 31

008, a o éměř 10 %. Naopak nejvěšího úbyku zmekoviosi firma dosáhla v dubnu roku 008. V říjnu a v prosinci roku 008, a dále v srpnu a v prosinci roku 009 byly přírůsky zmekoviosi éměř nulové. Je o způsobeno zejména ím, že v ěcho obdobích se firma poýkala s nižším počem zakázek, než ve zbývajících měsících. Graf č. Koeficien růsu v jednolivých měsících V grafu č. jsou znázorněny koeficieny růsu v jednolivých měsících v leech 008 a 009. Na první pohled je znaelný sejný průběh v leech 008 a 009 v měsících červen až říjen, kdy nejdříve dochází k poklesu koeficienu růsu, následuje jeho vzesup a poé opě nasává pokles. V osaních měsících je vývoj odlišný. Například v březnu roku 008 koeficien růsu klesá, kdežo v roce 009 rose. Kromě absoluních přírůsků a koeficienů růsu byly aké vypočeny průměrný absoluní přírůsek a průměrný koeficien růsu. Průměrný absoluní přírůsek vyšel záporný (-0,0038), což znamená, že se zmekovios měsíčně v průměru snížila o 0,38 %. Průměrný koeficien růsu vyšel 0,8680. 3

5. Analyické vyrovnání časové řady Pro analýzu vývoje zmekoviosi bude využio nejdříve analyického vyrovnání časové řady, spočívajícím v proložení časové řady vhodnou rendovou funkcí. K vyrovnání bude použi lineární, parabolický a exponenciální rend. 5..1 Lineární rend Trendová přímka má eno var meoda nejmenších čverců, řešíme edy sousavu rovnic: Plaí-li podmínka = 0 T = b0 +b1. K odhadu paramerů bude slouži,401 = 4b 4,6149 = b 0 0 +b 0 1 0+ 1150b, pak dosáváme paramery rovnice:,401 4,6149 b 0 = = 0,1 b1 = = 0,004 4 1150 Hodnoa parameru rendové přímky b0 udává průměrnou měsíční zmekovios ve sledovaném období. Paramer b1 znamená, že zmekovios v průměru poklesla o 0,4 %. Rovnice rendové přímky má var: T = 0,1 0,004 1 Graf č. 3 Vývoj zmekoviosi vyrovnaný lineárním rendem 33

Vzhledem k omu, že jeden z paramerů je záporný, má rendová přímka klesající var. Tuo skuečnos lze vypozorova i z grafického znázornění vývoje zmekoviosi vyrovnaného lineárním rendem. Klesající rend znamená, že se zmekovios každým měsícem snižuje. Dále můžeme konsaova, že se podíl kazových výrobků na poču vyrobených výrobků ve sledovaném období pohybuje v rozmezí od 5 % do 15 %. 5.. Parabolický rend Tvar parabolického rendu vypadá ako T b 0 b1 b. I v omo případě bude pro výpoče odhadů paramerů aplikována meoda nejmenších čverců, dosazením získáváme opě sousavu rovnic:,401 4b 4,6149 0b 100,068 1150b 0 0 0b 0 1 1150b 1 0b 1150b 1 0b 98957,5b Za podmínky 0, dosáváme yo paramery rovnice: b,401 98957,5 1150 100,068 4 98957,5 1150 0 0,1164 4,6149 4 100,068,401 1150 b 1 0,004 b 0, 0003 1150 4 98957,5 1150 Trendovou křivku lze zapsa: T 0,1164 0,004 0,0003 34

Graf č. 4 Vývoj zmekoviosi vyrovnaný parabolickým rendem 5..3 Exponenciální rend Rovnice exponenciálního rendu má uo podobu T b 0 b 1. Před použiím meody nejmenších čverců bylo nuné pomocí meody linearizující ransformace rovnici exponenciálního rendu zlogarimova, j. log T log b0 log b1. Tímo již dosaneme sousavu rovnic: 6,864 4log b 40,9398 0log b 0 0 0log b 1150b Plaí-li podmínka 0, pak paramery rovnice jsou: log b 0 log b 1 6,864 1,1178 4 40,9398 0,0356 1150 1 1 b b 0 1 0,076 0,913 Dosazením dosaneme křivku exponenciálního rendu ve varu: T 0,076b0 0, 913b 1 35

Graf č. 5 Vývoj zmekoviosi vyrovnaný exponenciálním rendem 5.3 Mechanické vyrovnání časové řady Předchozí čás práce byla věnována analyickému vyrovnání časové řady. Druhým způsobem je mechanické vyrovnání časové řady, keré je založeno na meodě klouzavých průměrů. Prvním krokem éo meody je sanovení délky klouzavé čási, v omo případě je rovna 1, jelikož se jedná o měsíční údaje. Vzhledem k omu, že jde o sudé číslo, je nuné provés cenrování klouzavých průměrů. Pro lepší přehlednos je vyrovnání cenrovanými klouzavými průměry znázorněno v grafu č. 6. 36

Graf č. 6 Vývoj zmekoviosi vyrovnaný klouzavými průměry Vypočíané hodnoy klouzavých průměrů předsavují průměrnou zmekovios za sledované období. Můžeme edy říci, že se zmekovios pohybovala v průměru v rozmezí 0,08 % až 0,1 %. Z grafického vyjádření křivky cenrovaných klouzavých průměrů je na první pohled vidielný klesající průběh. Nevýhodou ohoo způsobu vyrovnání však je, že hodnoy na začáku a konci časové řady nejsou vyrovnány a nelze edy provés předpověď vývoje časové řady v budoucnosi. 5.4 Volba vhodného modelu rendu Abychom zjisili, kerý model rendu je pro danou časovou řadu nejvhodnější, musíme provés zv. saisická inerpolační kriéria, kerými jsou index korelace, sřední chyba odhadu (M.E.), sřední čvercová chyba odhadu (M.S.E.), sřední absoluní chyba odhadu (M.A.E.), sřední absoluní procenní chyba odhadu (M.A.P.E.) a sřední procenní chyba odhadu (M.P.E.). Následující abulka uvádí výpočy ěcho chyb a indexu korelace pro lineární, parabolický a exponenciální rend a klouzavé průměry. 37

Tab. č. 1 Volba vhodného modelu rendu M.E. M.S.E. M.A.E. M.A.P.E. M.P.E. I Lineární rend 0,0000 0,0017 0,0359 1,557-1,746 0,5560 Parabolický rend 0,0000 0,0015 0,0114 91,348-70,65 0,68 Exponenciální rend 0,0109 0,007 0,041 103,859-58,7367 0,545 Klouzavý průměr 0,0016 0,0003 0,0106 10,0757-1,3098 0,940 Zdroj: vlasní výpočy Nejvýhodnější funkcí je a funkce, u keré je ukazael chyby odhadu nejnižší. Sřední chyba odhadu (M.E.), sřední absoluní procenní chyba odhadu (M.A.P.E.) a sřední procenní chyba odhadu (M.P.E.) jsou nejnižší u lineárního rendu. Parabolický rend vykazuje nejnižší hodnoy pouze u sřední chyby odhadu. Z hlediska chyb odhadu i indexu deerminace lze zcela vylouči exponenciální rend, jelikož u všech ukazaelů chyb odhadu dosahuje nejvyšších hodno. Z hlediska indexu korelace, podle kerého vybíráme rendovou funkci s jeho nejvyšší hodnoou, vychází nejlépe meoda klouzavých průměrů. U éo funkce jsou nejnižší ukazaelé sřední chyba odhadu, sřední absoluní chyba odhadu. Proože klouzavé průměry neumožňují vorbu předpovědí, byla ao funkce aké vyloučena. Porovnáním hodno jednolivých ukazaelů u zvolených funkcí dospějeme k závěru, že vhodnou funkcí je lineární rend. 5.5 Měření sezónnosi Vzhledem k omu, že je analyzovaná časová řada ovlivněna sezónnosí, je nuné daa od sezónních vlivů očisi. K určení sezónní složky je pořeba vypočía zv. empirické sezónní indexy. Jelikož je využio měsíčních údajů, bude m nabýva hodnoy m = 1. Výsledné hodnoy empirických sezónních indexů uvádí abulka č.. 38

Tab. č. Empirické sezónní indexy Období Empirický sezónní index I 0,8868 II 1,381 III 1,54 IV 0,897 V 1,61 VI 0,5816 VII 1,1656 VIII 1,3359 IX 0,8035 X 0,7651 XI 0,739 XII 0,759 Suma 11,8075 Zdroj: vlasní výpočy Celkový souče empirických sezónních indexů je roven číslu 1, je edy splněna podmínka a není pořeba dále sezónní indexy upravova. Z abulky empirických sezónních indexů vyplývá, že zmekovios výroby je velice nepravidelná. V červnu můžeme pozorova nejvěší snížení zmekoviosi, a o éměř o 50 % pod průměrnou hodnou. Naopak nejvěší zvýšení nasává v měsíci únoru, kdy se zmekovios pohybuje 38 % nad zv. normálem, a aké v srpnu, kdy narosla na 33 % oproi normálu. Od září do prosince se hodnoy sezónních indexů pohybují pod normálem, což je způsobeno nižší popávkou po produkci dané firmy. Pomocí sezónních empirických indexů byla získána predikce zmekoviosi na nadcházející ři období roku 010. Výpoče byl proveden na základě násobení očišěných da příslušným sezónním indexem. Jak se bude vyvíje budoucí zmekovios výroby uvádí abulka č. 3, pro lepší přehlednos je předpověď znázorněna i graficky. 39

Tab. č. 3 Predikce pro I. čvrleí roku 010 Období ij Tij Předpověď I.010 1,5 0,0499 0,044 II.010 13,5 0,0459 0,0634 III.010 14,5 0,0419 0,054 Zdroj: vlasní výpočy Graf č. 7 Předpověď zmekoviosi na I. čvrleí roku 010 Předcházející abulka a grafické znázornění skuečných hodno, vyrovnaných hodno s předpovědí na následující období a lineárního rendu naznačují, že se zmekovios bude v příších řech měsících pohybova v rozmezí od 4 % do 7 %. Trend bude i nadále klesající a v porovnání s předešlými obdobími bude začákem roku 010 zmekovios dosahova nižších hodno. Například v lednu roku 008 byla zmekovios éměř 10 % a v lednu roku 009 éměř 1 %, kdežo predikce na leden roku 010 je na úrovni 6 %. 5.6 Regresní analýza Následující čás práce bude věnována analýze závislosi poču zmeků na vyrobených výrobcích. Bude sesaven jednorozměrný model regresní analýzy, s jehož pomocí bude zjišěna závislos nezávisle proměnné (VV) na závislou 40

proměnnou (PZM). Pro jednorozměrnou analýzu byly použiy měsíční údaje o poču zmekových a vyrobených výrobků vyjádřených v kusech za sledované období. K éo analýze bude využio programu MS Excel a Grel. Daa použiá pro uo analýzu jsou uvedena v příloze éo práce. Předpokladem jednorozměrného modelu bude poziivní vliv vyrobených výrobků na množsví zmekových výrobků, edy: PZM f (VV ). S růsem množsví vyrobených výrobků dochází k růsu zmekových výrobků. Naopak pokles vyrobených výrobků má za následek pokles výrobků zmekových. Prosřednicvím bodového diagramu znázorněného v grafu č. 8 můžeme na základě vizuálního posouzení urči, kerý model je pro zjišění vzahu mezi celkovým počem zmekových a vyrobených výrobků nejvhodnější. Za akovýo model lze považova lineární funkční formu (přímku), kvadraickou funkční formu (parabolu), inverzní funkční formu (hyperbolu) a semilogarimickou funkční formu. Graf č. 8 Bodový diagram (PZM x VV) Jak se vyvíjel celkový poče zmekových a vyrobených výrobků v jednolivých měsících le 008 a 009 uvádí graf č. 9. Na základě ohoo grafického vyjádření lze konsaova, že množsví zmekových výrobků je závislé na velikosi vyrobených 41

I.008 II.008 III.008 IV.008 V.008 VI.008 VII.008 VIII.008 IX.008 X.008 XI.008 XII.008 I.009 II.009 III.009 IV.009 V.009 VI.009 VII.009 VIII.009 IX.009 X.009 XI.009 XII.009 VV (v ks) PZM (v ks) výrobků. U obou sledovaných proměnných můžeme pozorova éměř sejný průběh, kerý je pozvolně klesající, i když je zde parná značná kolísavos. Výrazný nárůs zmekových výrobků v měsíci březnu roku 008 byl způsoben výpadkem epla, kdy echnologie použié pro výrobu nemohly vlivem vysokých rozdílných eplo v omo období správně fungova. 450000 400000 350000 300000 50000 00000 150000 100000 50000 0 Vývoj zmekových a vyrobených výrobků 80000 70000 60000 50000 40000 30000 0000 10000 0 vyrobené výrobky zmekové výrobky Graf č. 9 Vývoj zmekových a vyrobených výrobků v leech 008 a 009 Pro výběr nejvhodnějšího modelu je pořeba vypočía ukazaele, kerými jsou korigovaný index deerminace, odhady paramerů a sandardních chyb. Dalším krokem bude provedení -esu významnosi jednolivých odhadů paramerů a celkového F-esu vhodnosi modelu. Výsledky pro jednolivé modely vypadají ako: Lineární funkční forma (přímka) n 4 R Yˆ i 550 0,119X (0,0) 5,13 0,541 F 6,333 DW,0603 i 4

43 Kvadraická funkční forma (parabola),0498 1,69 0,508 4 0,354 1,690 07) (1,91813 (0,083) 08 4,5154 0,1407 409,33 ˆ DW F R n e X e X Y i i Inverzní funkční forma (hyperbola) 1,986 6,846 0,1868 4,5069 0,8) (1,48 37133375,1/ 7645,0936 ˆ DW F R n e X Y i i Semilogarimická funkční forma 0,6796 8,336 0,543 4 5,38 06) (,45906 05 1,3089 6,6817 ˆ ln DW F R n e X e Y i i

Graf č. 10 Proložení empirických hodno funkčními formami Dle vypočeného nezkresleného indexu deerminace vybíráme akový model, u kerého je hodnoa ohoo indexu co nejblíže 1. Z ohoo hlediska se jako nejvhodnější model jeví semilogarimická a lineární funkční forma regresního modelu. Naopak nejnižší korigovaný index deerminace je u inverzní funkční formy. Poměrně vysokou hodnou korigovaného indexu deerminace lze vypozorova aké v případě kvadraické funkční formy. Jednolivé regresní modely lze rozliši aké na základě vývoje reziduí. Hodnoy DW saisiky, keré se u lineární a kvadraické funkční formy blíží ke dvěma, poukazují na nezávislos. U inverzní funkční formy hodnoy DW saisiky prokázaly auokorelaci prvního řádu. DW saisika blížící se nule u semilogarimické funkční formy naznačuje poziivní auokorelaci prvního řádu. Zda je sledovaný model vhodný, je možné posoudi aké použiím RESET esu specifikace modelu, kerý se používá k deekci opomenué proměnné a nekorekní funkční formy. Nulová hypoéza je sanovena jako H0: model je správně specifikován. Výsledky RESET esu uvádí abulka č. 4. Tab. č. 4 RESET es Model Tesová saisika F p-hodnoa Lineární 1,067 0,363 Kvadraická,375 0,1 Inverzní 5,5666 0,01 Semilogarimická 39,988 0,0000 Zdroj: vlasní výpočy 44

Z abulky vyplývá, že nulová hypoéza o správné specifikaci modelu nebyla na 1 % hladině významnosi zamínua u lineární, kvadraické a inverzní funkční formy, jelikož hodnoa ukazaele p-hodnoa je věší než 0,01. Výjimkou je pouze semilogarimická funkční forma, kde nulová hypoéza byla na 1 % hladině významnosi zamínua. Pro lineární a semilogarimický model byl proveden aké es lineariy skládající se ze dvou esů, a o esu lineariy založeného na čvercích hodno a esu lineariy založeného na logarimech hodno. Na základě získaných výsledků ěcho esů bylo rozhodnuo, že hypoézu o lineariě vzahu u lineárního regresního modelu nezamíáme, a o jak na 5 %, ak i 1 % hladině významnosi. Naopak u semilogarimického modelu musela bý nulová hypoéza na 5 % hladině významnosi zamínua. Model Tab. č. 5 Tes lineariy Tes Tes lineariy založený na čvercích hodno lineární Tes lineariy založený na logarimech hodno Tes lineariy založený na čvercích hodno semilogarimický Tes lineariy založený na logarimech hodno Zdroj: vlasní výpočy Tesová saisika LM p-hodnoa 0,063 0,8016 0,0186 0,8916 15,9709 0,0000 5,7675 0,0163 Vzhledem k výše uvedeným výsledkům se jako nejvhodnější jeví lineární regresní model, proo bude vybrán pro další analýzu a zároveň bude vypočen inerval spolehlivosi pro paramery ohoo modelu, a dále inerval spolehlivosi a pás spolehlivosi. Významnos regresních paramerů lineárního regresního modelu byla prosřednicvím -esu esována na 95 % a 99 % hladině významnosi. Na základě ohoo esu byla prokázána saisická významnos paramerů, jelikož hodnoy τ0,975 () =,0739 a τ0,995 () =,8188 při n = 4 jsou nižší než hodnoy 45

saisiky u paramerů lineárního regresního modelu. Inervaly spolehlivos pro regresní paramery přímkového regresního modelu uvádí abulka č. 6. Tab. č. 6 Inervaly spolehlivosi paramerů pro lineární model Paramer SE 1 α = 0,95 1 α = 0,99 Dolní Horní Dolní Horní b0 = - 550 560,47-14168 9068,8-1834 134 b1 = 0,119 0,038 0,076 0,171 0,0549 0,1889 Zdroj: vlasní výpočy Hodnoy získané rozkladem souču čverců na regresní, reziduální a celkový souče čverců a dále hodnoy indexu deerminace, korigovaného indexu deerminace a korelačního koeficienu, jsou zaznamenány v abulce č. 7. Tab. č. 7 Analýza rozpylu v případě lineárního modelu ESS RSS TSS R R 3,6658e+009 3,0616e+009 6,7744e+009 0,5448 0,541 0,7381 Zdroj: vlasní výpočy R Průkaznos lineární regresní funkce byla zjišťována celkovým F-esem průkaznosi, kde byla pro kriickou hodnou Fc = 4,3009 a hodnou esové saisiky F = 6,33 na 5 % hladině významnosi nulová hypoéza o neprůkaznosi regresního modelu zamínua. Sledovaný model může bý považován za saisicky průkazný. Pro lineární regresní model byl aké sesaven inerval spolehlivosi a pás spolehlivosi při hodnoě rizika 5 %. Inerval spolehlivosi je vymezen horní a dolní mezí, ve kerých se s pravděpodobnosí 95 % nachází lineární regresní model. Pás spolehlivosi je určen hranicemi, keré s 95 % pravděpodobnosí ohraničují plochu, kerou voří empirické hodnoy. 46

Graf č. 11 Inerval spolehlivosi pro regresní model při riziku 5 % Graf č. 1 Pás spolehlivosi pro regresní model při riziku 5 % Z obou výše uvedených grafů vyplývá, že odhadnuý regresní model byl vhodně zvolen. Pouze s výjimkou jediné hodnoy byly všechny empirické hodnoy zachyceny v rozmezí pásu spolehlivosi. Posledním krokem zpracování regresního modelu bylo provedení několika esů chybového členu, zejména bude esována heeroskedasicia, auokorelace a normalia chybového členu. K deekci heeroskedasiciy bylo využio dvou 47