Spirální podobnost Franta Konopecký ØÖ Øº bsáhlýasouhrnnýelaborátospirálnípodobnosti(tj.složenístejnolehlosti a otočení), určený jednak jako ucelený studijní materiál využitelný i pro samostudium, druhak jako obsáhlý zdroj příkladů s návody a řešeními. Počet příkladů: 15, počet cvičení: 5, počet tvrzení o spirální podobnosti: 10. Úvod Spirální podobnost je nejobecnější přímé podobné zobrazení roviny, které řeší některé jinak velmi složité úlohy. Cílem tohoto příspěvku je sestavit ucelený souhrn poznatků o spirální podobnosti, ukázat použití na příkladech a umožnit plnohodnotné nastudování problematiky. Definice. Spirální podobnost je složení otočení a stejnolehlosti podle téhož středu.jeurčenastředemspirálnípodobnosti,orientovanýmúhlemotočení ω a koeficientemstejnolehlosti k >0.Značímeji S(, ω, k). Spirální podobnost S(, ω, k) a b ω k = b a Motivační příklady Příklad 1. V rovině jsou dány různě velké stejně orientované podobné trojúhelníky Ca C.Středyúseček,, CC označmepořadě,, C.Ukažte,žeitrojúhelník C jepodobnýpředchozímtrojúhelníkům. ÃÐ ÓÚ ÐÓÚ º spirálnípodobnost, geometrie,zobrazení,podobnost, hardcore,studijní text, stejnolehlost, otočení 12
Franta Konopecký: Spirální podobnost S(, ω, c a ) C S(, ω 1, b a ) C C c b ω 1 a ω Řešení. Trojúhelníky C a C jednoznačněurčujíspirálnípodobnost S (, ω, c a ),kterápřevádíjedennadruhý(tobudejednoznásledujícíchtvrzení). Trojúhelníky,, CC majístejnýúheluvrcholu astejnýpoměr přilehlýchstran.jsoutedypodobné,atoistěžnicemi,podobnéjsoutakitrojúhelníky,, CC.Nováspirálnípodobnost S(, ω 1, b a )zobrazuje trojúhelník Cna C.Spirálnípodobnostjepodobnézobrazení,trojúhelníky jsou podobné. Příklad 2. Je dán čtyřúhelník CD s různoběžnými protějšími stranami. Průsečíkpřímek a CD označme Qaprůsečíkpřímek DaC označme R. Ukažte, že kružnice opsané trojúhelníkům CQ, DQ, R, CDR procházejí jedním bodem. Q C D R 13
Domaslav 10 Řešení. Protože se všechny čtyři kružnice protínají ve středu spirální podobnosti,kterázobrazuje, D C,jedůkazdokončen. S nynějšími znalostmi je předchozí důkaz neplatný, ale za několik málo okamžiků bude vše opravdu takto jednoduché! Vlastnosti spirální podobnosti Tvrzení 1.(Základní vlastnosti) Pro spirální podobnost platí: (i) Je to podobné zobrazení, obrazem přímky je přímka, obrazem čtverce je čtverec, obrazem středu úsečky je střed obrazu úsečky, obecně obrazem útvaru je jemu podobný útvar. (ii) Úhel mezi přímkou a jejím obrazem je úhel otočení. (iii) Poměr délky úsečky a jejího obrazu je roven koeficientu stejnolehlosti. ω k = a a = b b b ω a b a Tvrzení2.(Speciálnípřípady) Spirálnípodobnost S(, ω, k)sepřispeciálních hodnotách ω, kredukujenásledovně. (i) Pro ω =0dostávámestejnolehlostsestředem akoeficientem k. (ii) Pro ω =180 dostávámestejnolehlostsestředem akoeficientem k. (iii) Pro k=1dostávámeotočeníkolem oúhel ω. (iv) Pro k=1a ω =180 dostávámestředovousouměrnostsestředem. (v)žádnákombinace, ω, knámnedáposunutínebonepřímézobrazení. Tvrzení 3.(Spirální podobnosti chodí po dvou!) Nechť spirální podobnost se středem převádí C a D. Pak jednoznačně určená spirální podobnost, kterápřevádí a C D,mátéžstředv.Úhelotočeníakoeficientse může lišit. C C D D 14
Franta Konopecký: Spirální podobnost Tvrzení4.(Existenceajednoznačnost) Vrovinějsoudánybody,, C, D takové, že DC(v tomto pořadí!) není rovnoběžník. Pak existuje právě jedna spirální podobnost, která převádí C, D.(V případě rovnoběžníku DC bychom potřebovali posunutí, které spirální podobnost neposkytuje.) Jednoznačnost:řekněme,žeexistujídvětakovéspirálnípodobnosti S 1 a S 2 srůznýmistředy 1 a 2.Zůstanevidentitě S 1 S2 1 bod 1 namístě? Existence: je obsažena v tvrzení 6. Lemma 5.(S.p.jednoznačněurčenatrojúhelníkem.) uď S(, ω, k) spirálnípodobnostzobrazujícíbod na.potomplatínásledující. (i) Prorůznébody jsouvšechnytrojúhelníky podobné. (ii) Libovolnýtrojúhelník zpětnějednoznačněurčujespirálnípodobnost S(, ω, k). Značení. rientovaný úhel C, tedy úhel od polopřímky k polopřímce C,budemeznačit C. Tvrzení 6.(Konstrukcestředu;existence) uď čtyřúhelníktakový, žesepřímky a protínajívbodě Q.Potomdruhýprůsečík kružnic opsanýchtrojúhelníkům Q a Q jestředspirálnípodobnosti S (,, ),kterázobrazuje,. Důkaz. Pokud splývá s Q, redukuje se spirální podobnost na otočení. Předpokládejme Q. Podle předchozího lemmatu 5 nám stačí k existenci spirální podobnostisestředemvukázatpodobnosttrojúhelníků a.tu prubne shodnost úhlů. Díky rovnostem obvodových úhlů je = Q = Q =, = Q = Q = atrojúhelníky a jsoupodobné. Q Q R K předcházejícímu tvrzení K následujícímu tvrzení 15
Domaslav 10 Tvrzení7.(Průsečíkčtyřkružnic,Miquel spointofquadrilateral) uď čtyřúhelník s různoběžnými protějšími stranami. Průsečík přímek a označme Q,průsečíkpřímek a označme R.Potomstředspirálnípodobnosti,kterázobrazuje a,jeprůsečíkemkružnicopsaných trojúhelníkům Q, Q, Ra R. Důkaz. Podle tvrzení 3 je středem dvou spirálních podobností. Díky první znichležípodletvrzení6nakružnicíchopsaných Qa Qadíkydruhéna kružnicíchopsaných Ra R. Poznámka. Předchozí tvrzení nám zároveň(už regulérně) dokázalo druhý motivační příklad. Cvičení na spirální podobnost Následují důležitá cvičení na pochopení principů spirální podobnosti. Jejich vyřešení(většinou pomocí některých tvrzení) je esenciální k pochopení těžších příkladů. Používejte v nich hlavně analogie k motivačnímu příkladu 1. Dále si zkuste pomocí tvrzení 4 o existenci a jednoznačnosti zdůvodnit, že spirální podobnost můžete použít, a navíc jednoznačně. Poté ze základních vlastností o podobnosti a lemmatu 5hledejtedalšíspirálnípodobnosti,případněvyužijteexistence duální spirální podobnosti podle tvrzení 3. Cvičení 1. Na stěně visí dvoje hodiny, jedny jdou o čtvrthodinu napřed. Jak se pohybuje střed spojnice konců velkých ručiček? Cvičení2. Kružnice k, lseprotínajívbodech,.odem seotáčípřímka, kteráprotínákružnici k podruhévbodě K a lpodruhévl.jakoumnožinu vykresluje střed úsečky KL? Cvičení 3. Zadání stejné jako v předchozím příkladě, akorát se ptáme, jakou množinuvykreslujebod Núsečky KL,prokterý KN =2 LN. Cvičení 4. Zadání stejné jako v předchozím příkladě plus je úsečka KL doplněna narovnostrannýtrojúhelník KLM.Comalujebod M? Dokažte, že má čtyřúhelník LM K pořád stejný tvar(z obvodových úhlů a stejného tvaru rovnostranného trojúhelníku). Všechny trojúhelníky LM jsousitímpádempodobnéaspirálnípodobnostsestředemv,úhlem LMa koeficientem L / M zobrazuje každý bod L do nějakého bodu M. Cvičení 5. Po třech různoběžných přímkách se rovnoměrně pohybují body,, C.Ukažte,žepokudjsouvedvoučasech t 1, t 2 trojúhelníky Cpodobné, tak už jsou podobné v každém okamžiku. 16
Franta Konopecký: Spirální podobnost Shrnutí spirální podobnosti na závěr výkladu uvádíme důležité fakty o spirální podobnosti, které by si měl důrazně osvojit každý, kdo ji chce umět používat. (i) S.p. je podobné zobrazení, všechny poměry a tvary se zachovávají. (ii) Úhel otočení je i úhlem odpovídajících si přímek v zobrazení. (iii) Středem s.p. prochází čtyři kružnice umožnující několikanásobnou rovnost obvodových úhlů. (iv) Každás.p.mávždyduálnís.p.,kterámástejnýstředaposkytujedalší rovnosti úhlů. (v) Pokud trojúhelník tvořený třemi rovnoměrně se pohybujícími body má dvakrát stejný tvar, má pořád stejný tvar. ohužel nejsou tvrzení o spirální podobnosti obecně známá, takže je dobré míti na paměti i náznaky jejich důkazů, abyste mohli použité fakty zdůvodnit. Viz cvičení 5. Příklady na spirální podobnost Příklad 3.(Simpsonova přímka) uď CD tětivový čtyřúhelník. Ukažte, že patykolmiczdpostupněnapřímky, C, C ležínajednépřímce.paty označmepostupně P, Q, R. Doplňtedoobrázkubod Stak,abybylytrojúhelníky DQS, DRaDPC podobné.spirálnípodobnost S(D, PDC, PD DC )zobrazujetrojicibodů P-Q-Rna C-S-, které leží na přímce. Příklad 4.(USM2006) Nechť CDječtyřúhelníkanechť E, F jsou body postupně na stranách D, C takové, že dělí strany ve stejném poměru E : ED = F : FC.Přímka EF protínápřímky acdpostupně vbodech Sa T.Dokažte,žekružniceopsanétrojúhelníkům SE, SF, TCFa TDEmajíspolečnýbod. Najděte spirální podobnost zobrazující a D C a využijte tvrzení 6 o konstrukci středu. Příklad 5.(PraSe 27-3-8) C je ostroúhlý trojúhelník s výškou D. ody X a Y ležípořaděnakružnicíchopsanýchtrojúhelníkům DaCDtak,že X, D, Y ležínajednépřímceax D Y.značmedále Mstředstrany C a M středúsečky XY.Dokažte,žepřímky MM a M jsoukolmé. Najděte spirální podobnost svazující tři Thaletovy kružnice. Řešení. Dvě různá řešení najdete na http://mks.mff.cuni.cz/archive/27/3.pdf. 17
Domaslav 10 Příklad 6.(d Kennyho) Stranám a C trojúhelníka C připíšeme zvenčípodobnépravoúhelníky 2 KLCa MN.Ukažte,žepřímky NC, MLa K procházejí jedním bodem. Vezměte vhodnou spirální podobnost a zobrazte na sebe kružnice opsané našim pravoúhelníkům. Příklad 7.(Zobecnění IM 2005) Mějme konvexní čtyřúhelník CD, který nenílichoběžník.nastranách a CDjsoubody Ea F,kterédělísvéstrany vestejnémpoměru E : E = CF : FD.Průsečíkyúhlopříčekapřímky EFoznačme P, Q, R.Potomprorůznépolohybodu Eprocházíkružniceopsané trojúhelníku P QR ještě jedním pevným bodem(různým od průsečíku úhlopříček P). (i) Vykreslete všechny kružnice vztahující se ke spirální podobnosti převádějící C, D. (ii) Pomocí obvodových úhlů ukažte, že střed oné spirální podobnosti leží na kružnici opsané trojúhelníku P QR. Příklad 8.(d Kennyho) Je dán pětiúhelník CDE takový, že jsou si trojúhelníky C, CD, DE podobné. značme T průsečík D a CE. Ukažte, že přímka T jekolmánaspojnicistředů S 1 a S 2 kružnicopsanýchtrojúhelníkům Ca DE. (i) Stačívámukázat,že S 1 = S 1 T a S 2 = S 2 T. (ii) Pomocí spirální podobnosti dokažte rovnost úhlů C = T C a CT je tětivový. Příklad 9.(IM Shortlist 2006) uď CDE konvexní pětiúhelník takový, že jsou si trojúhelníky C, CD, DE podobné. Úhlopříčky D a CE se protínají v P.Ukažte,žepřímka Ppůlístranu CD. značme Qprůsečík Da C, Rprůsečík DaEC.DíkyCèvověVětě 3 námstačíukázat Q : QC = R : RD.Čtyřúhelníky CDaCDEsi odpovídají ve spirální podobnosti, tedy i jejich průsečíky úhlopříček, a jsou tak zachovány potřebné poměry. 2 Pravoúhelníkjeobdélníknebočtverec. 3 Cèvova věta: Nastranách a, b, ctrojúhelníka C jsoupostupněbody 1, 1, C 1. Přímky 1, 1, CC 1 seprotínajívjednombodě,právěkdyžplatírovnost C 1 C 1 1 C 1 C 1 1 =1. 18
Franta Konopecký: Spirální podobnost Příklad 10. Je dán pravoúhlý trojúhelník C s pravým úhlem u C. značme MstředpřeponyaDtakovýbododvěsny C,žeplatí CD = CM.Nechťdále Pznačíprůsečíkkružnicopsanýchtrojúhelníkům CMa D, P.Ukažte, žepřímka Pjeosouúhlu C. (i) Najděte spirální podobnost zobrazující CP M na DP. (ii) Pomocí duální spirálkyarovnosti CD = M ukažteshodnost CPD a MP. (iii) Uvědomte si, v jakém vztahu jsou výšky ve shodných trojúhelnících. Příklad 11.(Čína 1992) Střed kružnice opsané tětivovému čtyřúhelníku CD označme. Úhlopříčky C a D se protínají v P. Kružnice opsané trojúhelníkům Pa CDPseprotínajívPa Q.Předpokládejme,žejsoubody, Pa Qrůzné. Dokažte,že QP =90. (i) od sidefinujtejakoprůsečíkosúseček Ca D. (ii) Spirálnípodobnostsestředemvzobrazuje C D. (iii) Jestližeoznačíme S 1, S 2 středyúhlopříček,tak, P, S 1, S 2 ležínathaletově kružnici. (iv) Díkyspirálnípodobnostileží Q, P, S 1, S 2 téžnajednékružnici. Příklad 12. (Mathlinks) Ke stranám konvexního čtyřúhelníku CD připíšeme zvnějšku podobné trojúhelníky W, CX, CDY, DZ. Ukažte, že WXY Zjerovnoběžník. (i) Čtyřúhelník je rovnoběžníkem, jestliže středy úhlopříček splývají. (ii) Středyúseček C, D, WY, XZoznačme R, S, T, U.Pomocíspirálnípodobnosti převádějící W na CDY ukažte podobnost RST W podobně jako v příkladu 1. (iii) Druhou spirální podobností ukažte RSU CX. (iv) Zpodobnostítrojúhelníkůplyne T= U. Příklad13.(PraSe26-6-8) PIV jekonvexníčtyřúhelník.systran PIa V seprotínajívbodě Y. Xjeboduvnitř PIV takový,že XV = XP < <90 a XIV = XP <90.Ukažte,že V Y =2 XIV. (i) Vezměmebody X a Y tak,žeplatípodobnostitrojúhelníků PX Y X a V X Y V XI. (ii) Pomocíspirálníchpodobnostísestředyv, V zobrazujícími P Y I ukažte PY = Y I,zčehožvyplyne Y= Y. 19
Domaslav 10 Řešení. Úplné řešení najdete na http://mks.mff.cuni.cz/archive/26/6.pdf. Příklad 14.(IM Shortlist 1992) V konvexním čtyřúhelníku CD jsou úhlopříčky stejně dlouhé. Ukažte, že pokud vně každé straně připíšeme rovnostranný trojúhelník, tak jsou spojnice protějších středů těchto trojúhelníků na sebe kolmé. (i) Zafixujte C a rovnoběžně posouvejte D, dedukujte pohyb oněch spojnic středů. (ii) Zjistěte, jestli kolmost platí v limitní poloze = C. (iii) Pomocí spirálních podobností ukažte, že se při pohybu bodů, D z limitní polohy do obecné polohy pohybují protější středy trojúhelníků stejně. Příklad 15.(IM Shortlist 2006) Na stranách a, b, c trojúhelníka C zvolímepostupněbody 1, 1, C 1.Kružniceopsanétrojúhelníkům 1 C 1, C 1 1, C 1 1 protnoukružniciopsanoupodruhévbodech 2, 2, C 2.ody 3, 3, C 3 jsoustředovýmiobrazybodů 1, 1, C 1 postupněpodlestředůstran a, b, c. Ukažte,žetrojúhelník 2 2 C 2 jepodobnýtrojúhelníku 3 3 C 3. (i) Pomocíznalostiprůnikukružnicjakostředus.p.ukažte,že 2 C 2 C 1 1. (ii) značmestředyúseček b, c, 2 postupně S b, S c, S 2.Ukažte S 2 S c S b 2 C. (iii) Sodkazemnacvičení5odůvodněte 2 C 1 1 S 2 S c S b C 3 3. (iv) Ukažteshodnostodpovídajícíchúhlův 2 2 C 2 a 3 3 C 3. Literatura, zdroje a poděkování Především děkuji Kennymu Rolínkovi, že mě k tomuto tématu dotlačil a dodal kopu pěkných příkladů. Mými dalšími zdroji byly: [1] rchiv prasátka, http://mks.mff.cuni.cz/archive/. [2] Franta Konopecký, Hýbání s body, http://frakon.matfyz.cz/files/hybani Sody.pdf. [3] Matematické fórum http://www.mathlinks.ro. [4] Yufei Zhao, Similarity(IM Training 2007), 2007, http://web.mit.edu/ yufeiz/www/similarity.pdf. Tentoelaborátimateriálohýbánísbodybudezanedlouhokestaženívknihovně semináře http://mks.mff.cuni.cz/library/. 20