Přehled modelů cyklické plasticity v MKP programech Teorie plasticity Ing Josef Sedlák doc Ing Radim Halama, PhD 1
Shrnutí Aditivní pravidlo a Hookeův zákon, Podmínka plasticity Pravidlo zpevnění Pravidlo plasticity, kde d l = dp pro houževnaté materiály 2
Přehled kinematických pravidel Většina teorií se liší pouze v rovnicích definujících evoluci vnitřních proměnných Lineární kinematické pravidlo zpevnění (Prager, 1956) Podle způsobu zavedení nelinearit : 1 Vícevrstvé modely - overlay models (Besseling, 1958) 2 Jednoploché modely (Armstrong-Frederick, 1966), 3 Víceploché modely (Mroz, 1967), 4 Dvouploché modely (Dafalias-Popov, 1976), 5 Endochronní teorie (Valanis, 1971), 6 Modely s distorzí plochy plasticity (Kurtyka, 1988) 3
Besseling (1958) předpokládal, že chování materiálu lze popsat rozložením materiálu na více částí (podobjemů) příslušejících stejné celkové deformaci, ale majících různou mez kluzu (u rovinné napjatosti si lze představit, že je materiál rozložen na více vrstev s odlišnou tloušťkou a mezí kluzu) Pro k podobjemů: Multilineární modely Besseling 4
Multilieární modely MSCsoftware Zvláštní variantou multilineárního modelu plasticity je implementována v programu MSCMarc Jedná se o kombinovaný model zpevnění (multilineární isotropní pravidlo + Zieglerovo bilineární kinematické pravidlo) 5
Jednoploché modely Armstrong - Frederick Vzhledem k rozšířenosti a značné robustnosti budou podrobněji probírány pouze modely plasticity s jednou plochou plasticity založené na odlišné podobě evolučních rovnic pro stavové proměnné Důležitou prací, vedoucí k zavedení nelinearity v kinematickém pravidle zpevnění, byla výzkumná zpráva Armstronga a Fredericka z roku 1966 V jejich modelu je k Pragerovu pravidlu přidána tzv paměťová složka kde C a g jsou materiálové parametry Pro případ jednoosého namáhání přechází podmínka plasticity do jednodušší formy Pak kinematické pravidlo zpevnění vede k diferenciální rovnici, 6
Po úpravě dostáváme Jednoploché modely Armstrong - Frederick Po separaci proměnných A následné integraci je možné získat výraz pro backstress Výraz pro napětí pak plyne z podmínky plasticity Pro tah ( ) s uvažováním nulových počátečních hodnot plastické deformace a kinematického napětí je získána relace 7
Jednoploché modely Armstrong - Frederick Limitním vyšetřováním získané nelineární funkce Její první derivace lze získat představu o vlivu parametrů modelu C a g na jeho napěťově-deformační chování, 8
Armstrong Frederick kalibrace 1 Pro případ cyklického namáhání je možné stanovit parametry s Y, C a g například z cyklické deformační křivky Rovnici popisující cyklickou deformační křivku u Armstrong-Frederickova modelu lze získat aplikací rovnice Pro tahovou ( ) větev (*) Pro tlakovou větev hysterezní smyčky (* *) Po dosazení rovnice (*) do (* *) a úpravě 9
Armstrong Frederick kalibrace 1 Z důvodu stejných limitních vlastností funkcí tanh(x) a 1-exp(-x), včetně jejich derivací, je možné při volbě parametrů AF modelu ze statické i cyklické deformační křivky aplikovat stejný postup Parametry je vhodné optimalizovat například metodou nejmenších čtverců Cyklická def křivka Statická def křivka, C udává směrnici tečny v počátku, Asymptota křivky 10
Armstrong Frederick kalibrace 2 Druhou možností při cyklickém namáhání je stanovení parametrů s Y, C a g z horní větve široké hysterezní smyčky Rovnici popisující horní větev stabilizované hysterezní smyčky u Armstrong-Frederickova modelu lze získat aplikací rovnice Uvažujeme-li pro tah ( ) a 0 =-C/g, p0 = - ap pak, 11
Armstrong Frederick kalibrace 3 Model AF predikuje vždy konstantní ratcheting Při požadavku modelování ratchetingu se jeví jako nejvhodnější úprava hodnot C a g tak, aby přírůstek plastické deformace odpovídal: Pro svou jednoduchost nalézá AF model využití v semianalytických metodách 12
(s M -s M0 )/(s MS -s M0 ) Při požadavku zachycení cyklického zpevňování/změkčování je možno použít kombinovaného modelu zpevnění Superponováno je nelineární isotropní pravidlo Parametr R se pak stanoví z rozdílu mezi amplitudou napětí v cyklu N=0 a N=1/2 životnosti Pro identifikaci parametru b lze vyjít z deformačně řízeného testu, pro který platí vztah (cyk zpevňování mat11523 ) Modely plasticity Armstrong Frederick + NLISO 1 0,8 0,6, Změna zpevnění s akumulovanou plastickou deformací D =0,02 D =0,015 Nebo po úpravě D =0,01 0,4 D =0,008 D =0,006 0,2 APROXIMACE 0 0,001 0,01 0,1 1 10 100 p /1/ 13
Chabocheův model Dalším důležitým pokrokem byl návrh nelineárního kinematického modelu Chaboche (1979), který sestavil backstress z M částí Přičemž pro každou část uvažoval evoluční rovnici Armstronga a Fredericka Kde C i a g i jsou materiálové konstanty Díky analogii s Armstrong-Frederickem a) statická dk b) a) b) cyclická dk 14
Chabocheův model Kvalita popisu cyklické deformační křivky je naprosto dostačující při Chabocheově modelu se třemi evolučními pravidly, jak je zřejmé z obrázku, kde je uvedena cyklická deformační křivka v podobě vrcholů hysterezních smyček 15
Chabocheův model kalibrace 1 Z důvodu stejných limitních vlastností funkcí tanh(x) a 1-exp(-x), včetně jejich derivací, je možné při volbě parametrů Chabocheova modelu ze statické i cyklické deformační křivky aplikovat stejný postup Parametry je vhodné optimalizovat například metodou čtverců Aproximační funkce: 1 Cyclická def křivka nejmenších 2 Statická def křivka 16
Chabocheův model kalibrace 2 Pokud není k dispozici cyklická deformační křivka zkoumaného materiálu, je možno vyjít také z široké hysterezní smyčky Chyba výpočtu se však zvětšuje se zmenšující se amplitudou plastické deformace Vychází se ze vztahu Dosadí-li se počáteční podmínky Pro tahovou větev hysterezní smyčky, získá se 17
Chabocheův model kalibrace 3 Bezrozměrný parametr s nejnižší hodnotou (obvykle g M ) lze využít pro naladění modelu k zachycení ratchetingu 18
Chabocheův model kalibrace 3 Vyjít lze ze vztahu, Model se vždy chová jako cyklicky zpevňující materiál 19
Chabocheův model s paměťovou plochou Poměrně zajímavý viskoplastický model je implementován v MSC software (Marc/Mentat, Nastran) Je založen na Armstrong-Frederickově kinematickém pravidle s Marquisovou evolucí bezrozměrného parametru S isotropním pravidlem Kde velikost nezpevňujícího regionu (tzv paměťová plocha) Se řídí vztahy kde 20
Chabocheův model s paměťovou plochou Kalibrace modelu vyžaduje stanovení 8 parametrů + 2 při uvažování vlivu rychlosti deformace Parametry C a g se stanovují ze stabilizované hysterezní smyčky, g 0 ze statické deformační křivky Parametr b isotropního zpevnění se určuje stejně jako u AF verze s NLISO pro Ansys Zjednodušeně lze pak uvažovat =b Další parametry isotropního zpevnění Q, Q M a b umožňují zachytit odchylku od Masingova chování, viz obr Poslední parametr ovlivňuje memorizaci okamžitá je pro =1/2 21
DĚKUJI ZA POZORNOST 22