4EK201 Matematické modelování 7. Modely zásob
7. Zásobovací procesy poptávka objednávka Firma Prodejna výdej Firemní sklad dodávka Dodavatel Velkosklad Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2
7. Charakter poptávky Poptávka Deterministická Stochastická Statická Dynamická Stacionární Nestacionární Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3
Značení: 7. Použité značení Q poptávka v ks za celé období q velikost objednávky (dodávky) c s jednotkové skladovací náklady (za 1 období a 1 ks) c d jednotkové pořizovací náklady (za 1 dodávku) c n jednotková nákupní cena (za 1 ks) c p jednotková prodejní cena (za 1 ks) c z jednotková zůstatková cena (za 1 ks) d pořizovací lhůta (v jednotkách daného období) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4
7. Použité značení Náklady: Za nakoupené zboží náklady za nákup zboží - N n Za skladování skladovací náklady - N s Za jednotlivé dodávky pořizovací náklady - N d Další proměnné: Intenzita dodávek počet dodávek za celé období - n d Délka dodávkového cyklu období mezi dodávkami - t d Pojistná zásoba rezerva pro pokrytí výkyvů v poptávce u stochastických modelů - w Bod znovuobjednávky množství zásob na skladě v okamžiku vystavení další objednávky - r Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5
7.1 EOQ model (Economic Order Quantity) Stav zásoby q Rovnoměrné čerpání zásoby Jednorázové doplnění skladu Maximální stav zásoby q 2 0 Přijetí zboží Cyklus 1 Cyklus 2 Cyklus 3 Průměrný stav zásoby Čas Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6
7.1 EOQ model s optimální velikostí objednávky Předpoklady: Statická poptávka předem známá a v čase konstantní Pořizovací lhůta dodávky je známá a konstantní Čerpání zásob ze skladu je rovnoměrné Velikost všech objednávek (dodávek) je konstantní Bez rabatů nákupní cena nezávisí na velikosti objednávky K doplňování skladu dochází v jednom časovém okamžiku K doplňování skladu dochází přesně v okamžiku, kdy je vyčerpán (žádný nedostatek) Ford W. Harris (1915) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7
7.1 EOQ Příklad Firma týdně prodá 625 balení kancelářských papírů formátu A4 (5 x 500 listů) za 580 Kč za krabici Tyto papíry nakupuje za 320 Kč za krabici Q = 625 4 = 2500 ks c p = 580 Kč/ks c n = 320 Kč/ks c s = 0,125 c n = Měsíční skladovací náklady činí 12,5 % nákupní ceny 0,125 320 = 40 Kč/ks S doplněním skladu souvisí fixní náklady ve výši 500 Kč za zaměstnance, kteří sklad doplní, a 1500 Kč za dopravu papírů od dodavatele do skladu c d = 500 + 1500 = 2000 Dodavatel požaduje dva dny na expedování zboží Kč/dodávku d = 2 20 = 1 10 = 0,1 měsíce Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8
7.1 EOQ Otázky Kolik papírů má firma objednat? Kdy má vystavit objednávku na nové zboží? Kolik budou činit optimální náklady? Kolik budou činit celkové skladovací náklady? Kolik budou činit celkové náklady na pořízení? Kolik budou činit celkové náklady na nákup zboží? Jaká musí být kapacita skladu? Kolik zboží bude průměrně ve skladu? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10
7.1 EOQ Množství zásob Stav zásoby K doplnění skladu dochází v okamžiku, kdy je sklad prázdný q Do skladu je dodána dodávka o velikosti q Pak dojde k vyprazdňování skladu Maximální potřebná velikost skladu je tedy q max = q Celkové množství zásob ve skladu je q max t d 2 (vyjádření přímky čerpání + integrál, nebo obsahu trojúhelníku) 0 t d Čas Průměrné množství zásob je qmax t d 2 t d = q max 2 = q 2 = q avq Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11
7.1 EOQ Otázky Kolik papírů má firma objednat? Kdy má vystavit objednávku na nové zboží? Kolik budou činit optimální náklady? Kolik budou činit celkové skladovací náklady? Kolik budou činit celkové náklady na pořízení? Kolik budou činit celkové náklady na nákup zboží? Jaká musí být kapacita skladu? Kolik zboží bude průměrně ve skladu? q max = q Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12
7.1 EOQ Otázky Kolik papírů má firma objednat? Kdy má vystavit objednávku na nové zboží? Kolik budou činit optimální náklady? Kolik budou činit celkové skladovací náklady? Kolik budou činit celkové náklady na pořízení? Kolik budou činit celkové náklady na nákup zboží? Jaká musí být kapacita skladu? Kolik zboží bude průměrně ve skladu? q avg = q 2 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13
7.1 EOQ Optimální objednávka Stále nevíme, kolik je optimální hodnota q Cílem je stanovit takové q, aby celkové náklady N byly minimální Celkové náklady N tvoří: Náklady na nákup zboží N n Náklady na skladování N s Náklady za dodávky N d N = N n + N s + N d min Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15
7.1 EOQ Náklady na nákup Náklady na nákup zboží N n Počet nakoupených kusů = poptávka za celé období n n = Q Cena za jeden kus = c n Celkové náklady na nákup zboží: N n = c n n n = c n Q Tyto náklady jsou nezávislé na velikosti objednávky Jsou konstantní a nemusíme je tedy vůbec uvažovat N = N n + N s + N d = c n Q + N s + N d min N = N s + N d min Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16
7.1 EOQ Otázky Kolik papírů má firma objednat? Kdy má vystavit objednávku na nové zboží? Kolik budou činit optimální náklady? Kolik budou činit celkové skladovací náklady? Kolik budou činit celkové náklady na pořízení? Kolik budou činit celkové náklady na nákup zboží? N n = c n Q Jaká musí být kapacita skladu? Kolik zboží bude průměrně ve skladu? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17
7.1 EOQ Náklady na skladování Náklady na skladování zboží N s Průměrný počet skladovaných kusů za období n s = q avg = q 2 Cena skladování za jeden kus a období = c s Celkové náklady na skladování zboží: N s = c s n s = c s q 2 Tyto náklady jsou závislé na velikosti objednávky N = N s + N d = c s q 2 + N d min Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18
7.1 EOQ Náklady na pořízení dodávek Náklady na pořízení dodávek N d Průměrný počet dodávek za období (intenzita dodávek) n d = Q q Cena za jednu dodávku = c d Celkové náklady na pořízení všech dodávek: N d = c d n d = c d Q q Tyto náklady jsou závislé na velikosti objednávky N = N s + N d = c s q 2 + c d Q q min Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19
Celkové náklady 7.1 EOQ Náklady N = N s + N d = c s q 2 + c d Q q min Minimalizace (podmínky prvního řádu derivace): q dn d c s dq = 2 + c d Q q = 0 dq dn dq = d c s 2 q + c d Q q 1 dq = 0 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20
7.1 EOQ Náklady dn dq = d c s q + c 2 d Q q 1 = 0 dq dn dq = c s 2 + ( 1)c d Q q 2 = 0 dn dq = c s 2 c d Q q 2 = 0 c s 2 = c d Q q 2 c s q 2 = 2 c d Q Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21
7.1 EOQ Náklady c s q 2 = 2 c d Q q 2 = 2 c d Q c s q = 2 c d Q c s q = optimální velikost objednávky Bylo by potřeba ověřit ještě podmínky 2. řádu! Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22
7.1 EOQ Otázky Kolik papírů má firma objednat? Kdy má vystavit objednávku na nové zboží? Kolik budou činit optimální náklady? Kolik budou činit celkové skladovací náklady? Kolik budou činit celkové náklady na pořízení? Kolik budou činit celkové náklady na nákup zboží? q = 2 c d Q c s Jaká musí být kapacita skladu? Kolik zboží bude průměrně ve skladu? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23
7.1 EOQ Náklady na skladování Optimální celkové náklady na skladování zboží: N s = c s n s = c s q 2 N s = c s 2 q = c s 2 2 c d Q = c s 2 2 c d Q c s 4 c s N s = Q c d c s 2 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25
7.1 EOQ Náklady na pořízení dodávek Optimální celkové pořizovací náklady: N d = c d n d = c d Q q N d = c d Q q = c d Q 2 c d Q c s = c d Q c s 2 c d Q = c d 2 Q 2 c s 2 c d Q N d = Q c d c s 2 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26
7.1 EOQ Celkové náklady Optimální celkové náklady: N = N s + N d N = N s + N d = Q c d c s 2 + Q c d c s 2 = 2 Q c d c s 2 N = = 4 Q c d c s 2 2 Q c d c s Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27
7.1 EOQ Otázky Kolik papírů má firma objednat? Kdy má vystavit objednávku na nové zboží? Kolik budou činit optimální náklady? N = Kolik budou činit celkové skladovací náklady? Kolik budou činit celkové náklady na pořízení? Kolik budou činit celkové náklady na nákup zboží? 2 Q c d c s Jaká musí být kapacita skladu? Kolik zboží bude průměrně ve skladu? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28
7.1 EOQ Otázky Kolik papírů má firma objednat? Kdy má vystavit objednávku na nové zboží? Kolik budou činit optimální náklady? Kolik budou činit celkové skladovací náklady? Kolik budou činit celkové náklady na pořízení? Kolik budou činit celkové náklady na nákup zboží? N s = Q c d c s 2 Jaká musí být kapacita skladu? Kolik zboží bude průměrně ve skladu? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29
7.1 EOQ Otázky Kolik papírů má firma objednat? Kdy má vystavit objednávku na nové zboží? Kolik budou činit optimální náklady? Kolik budou činit celkové skladovací náklady? Kolik budou činit celkové náklady na pořízení? Kolik budou činit celkové náklady na nákup zboží? N d = Q c d c s 2 Jaká musí být kapacita skladu? Kolik zboží bude průměrně ve skladu? Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30
7.1 EOQ Stav zásoby Délka dodávkového cyklu q t d = 1 n d = q Q Optimální délka dodávkového cyklu t d = q Q Z podobnosti trojúhelníků: q r t d = r d 0 d t d Čas Bod znovuobjednávky r = d q t d = d Q Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32
7.1 EOQ Otázky Kolik papírů má firma objednat? Kdy má vystavit objednávku na nové zboží? Kolik budou činit optimální náklady? Kolik budou činit celkové skladovací náklady? Kolik budou činit celkové náklady na pořízení? Kolik budou činit celkové náklady na nákup zboží? Jaká musí být kapacita skladu? Kolik zboží bude průměrně ve skladu? r = d Q Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33
7.1 EOQ Nákladové funkce N N = c s q 2 + c d Q q N N s = c s q 2 N d = c d Q q q Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34 q
7.2 POQ model (Production Order Quantity) Stav zásob Výrobní cyklus Spotřební cyklus Maximální stav zásob Průměrný stav zásob 0 t 1 t 2 t Čas Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35
7.3 Stochastický model se spojitou poptávkou Stav zásob Cyklus I Cyklus II Vystavení objednávky q Nedostatek zásoby r 0 d d Čas Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36
7.4 Stochastický model s jednorázovou zásobou Stochastický model Předpoklady: Velikost poptávky je náhodná veličina se známým rozdělením Před začátkem období je uskutečněna jediná objednávka a dodávka (zásoby nelze doplňovat) Příklad: Sezónní zboží (vánoční stromky, pomlázky apod.) Rychle se kazící zboží (ovoce, zelenina, květiny, ) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37
7.4 Jednorázová zásoba Příklad Firma v letní sezóně prodá 75 až 225 ks dámských plavek za 930 Kč za kus Tyto plavky nakupuje za 670 Kč za kus Pokud plavky v letní sezóně neprodá, vyprodává je v podzimním výprodeji za cenu 550 Kč za kus Jaké množství dámských plavek má objednat, aby minimalizovala celkové náklady? Předpokládejme, že poptávka po plavkách má rovnoměrné rozdělení. c p = 930 Kč/ks c n = 670 Kč/ks c z = 550 Kč/ks Q~R(75,225) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38
7.4 Stochastický model s jednorázovou zásobou Tři možné situace: 1.) Firma objedná více zboží než prodá q > Q Přebytečné zboží (q Q) firma prodá se slevou za zůstatkovou cenu c z Firma utrpí celkovou ztrátu L = (c n c z )(q Q) ML = dl dq (mezní ztráta, marginal loss) ML = c n c z Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39
7.4 Stochastický model s jednorázovou zásobou Tři možné situace: 2.) Firma objedná méně zboží než by prodala q < Q Chybějící zboží (Q q) způsobí firmě ztrátu na ušlém zisku Ušlý zisk: PL = c p c n MPL = dpl dq Q q (mezní ušlý zisk, marginal profit loss) MPL = c p c n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 40
7.4 Stochastický model s jednorázovou zásobou Tři možné situace: 3.) Firma objedná právě tolik zboží kolik prodá q = Q Nedojde k žádným ztrátám ani ušlému zisku Hypotetický případ Vzhledem k nulovým ztrátám není třeba se tímto případem zabývat Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 41
7.4 Stochastický model s jednorázovou zásobou Předpokládejme, že první případ q > Q nastane s pravděpodobností p a druhý případ q < Q s pravděpodobností (1 p) p úroveň obsluhy = pravděpodobnost, že nedojde k neuspokojení požadavku Celkové očekávané náklady související s přebytkem a nedostatkem zásob jsou N = pl + (1 p)pl = p c n c z q Q + (1 p)(c p c n )(Q q) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 42
7.4 Stochastický model s jednorázovou zásobou Cílem je stanovit takové q, aby celkové náklady N byly minimální Minimalizace (podmínky prvního řádu derivace): dn dq = 0 dn dq = d p c n c z q Q + (1 p)(c p c n )(Q q) dq Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 43
7.4 Stochastický model s jednorázovou zásobou dn dq = d p c n c z q Q + (1 p)(c p c n )(Q q) dq = d p c n c z q p c n c z Q + (1 p) c p c n Q (1 p) c p c n q dq = p c n c z (1 p) c p c n = pml (1 p)mpl dn = pml (1 p)mpl = 0 dq pml = 1 p MPL pml = MPL pmpl pml + pmpl = MPL p(ml + MPL) = MPL p = MPL ML + MPL Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 44
7.4 Jednorázová zásoba Příklad c p = 930 Kč/ks c n = 670 Kč/ks c z = 550 Kč/ks Q~R 75,225 ML = 670 550 = 120 Kč/ks ML = c n c z MPL = 930 670 = 260 Kč/ks MPL = c p c n S jakou pravděpodobností dojde k přebytku zásob? p = p = 260 = 260 = 13 120+260 380 19 = 0,6842 = 68,42 % MPL ML + MPL Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 46
7.4 Jednorázová zásoba Příklad Q~R 75,225 S jakou pravděpodobností dojde k přebytku zásob? p = 260 = 260 = 13 120+260 380 19 = 0,6842 = 68,42 % p 1 q = 75 pravděpodobnost uspokojení = 0 % q = 225 pravděpodobnost uspokojení = 100 % q = 150 pravděpodobnost uspokojení =? q =? pravděpodobnost uspokojení = 68,42 % q = 75 + 0,6842 225 75 = 177,63 = 178 0,68 0,5 p = 0,5 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 47 0 75 150 178 225 q
Detaily k přednášce: skripta, kapitola 5 KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 48