Regulátory a vlastnosti regulátorů Jak již bylo uvedeno, vlastnosti regulátorů určují kvalitu regulace. Při volbě regulátoru je třeba přihlížet i k přenosovým vlastnostem regulované soustavy. Cílem je, aby se přenos řízení v co nejširším frekvenčním pásmu blížil jedné a přenos poruch nule. Na tomto principu provádíme návrh (syntézu) konkrétního regulačního obvodu, známe-li přenosové vlastnosti regulované soustavy (byla-li provedena identifikace soustavy). Syntézu můžeme provádět čistě matematicky na základě blokové algebry nebo tuto metodu kombinujeme s grafickou syntézou, nejlépe pomocí logaritmických frekvenčních charakteristik nebo modelování na počítači. Dále probereme základní typy spojitých lineárních regulátorů s ohledem na jejich dynamické přenosové vlastnosti. Proporcionální regulátor Regulátor P pouze zesiluje regulační odchylku e, přičemž zesílení je v širokém frekvenčním rozsahu konstantní. Teprve na vysokých frekvencích, které nejsou pro danou regulovanou soustavu podstatné, jeho přenos vlivem setrvačností klesá. Jde tedy o proporcionální člen s konstantním reálným přenosem mnohem větším než jedna. Tento regulátor snadno vytvoříme stejnosměrným invertujícím zesilovačem, který je symbolicky znázorněn na obr. 5.1. U ideálního zesilovače předpokládáme nekonečný vstupní odpor, nulový výstupní odpor a nekonečné zesílení A bez zpětné vazby. Obr. 5.1. Ideální invertující stejnosměrný zesilovač Pro takový zesilovač můžeme psát: U 2 = -A U 1 Jeho přenos je v zapojení dle obr. 5.2. roven G(p) = -R 0 /R 1. Ideální zesilovač můžeme dobře nahradit skutečným operačním zesilovačem s použitým invertujícím vstupem. Problematika operačních zesilovačů bude probrána později. Pro vysvětlení vlastností regulátorů budeme pracovat se zjednodušeným ideálním zesilovačem podle obr. 5.1. Jeho zesílení můžeme velice jednoduše nastavit pomocí záporné zpětné vazby. Schéma proporcionálního regulátoru je na obr. 5.2. Záporné znaménko vyjadřuje, že použitý zesilovač obrací fázi (invertuje). R 0 Obr. 5.2. Základní zapojení proporcionálního regulátoru
Jestliže zdroj vstupního signálu nemá nulový vnitřní odpor R G, musíme jeho velikost přičíst k R 1 : Přenos proporcionálního regulátoru je tedy určen poměrem odporů ve zpětné vazbě a ve vstupu. Skutečné proporcionální regulátory nemají přenos ideálně konstantní, tedy nezávislý na frekvenci. Základním znakem těchto regulátorů však je, že se jejich přechodová charakteristika v relativně krátkém čase ustálí na hodnotě K. Integrační regulátor Regulátor I jako jediný umožňuje úplné odstranění regulační odchylky e, neboť taje regulátorem integrována. K jejímu úplnému nulování dochází až za určitý čas. Regulátor I se tedy hodí tam, kde poruchy nejsou příliš časté nebo regulovaná soustava má velkou setrvačnost (velkou odolnost proti krátkodobým poruchám). C Obr. 5.3. Základní zapojení integračního regulátoru Integrační regulátor lze rovněž snadno realizovat pomocí stejnosměrného invertujícího zesilovače. Na obr. 5.3. je základní zapojení tohoto regulátoru. Podobně jako u proporcionálního regulátoru můžeme i zde vyjádřit přenos jako poměr zpětnovazební impedance a vstupního odporu. Zpětnovazební impedancí je u regulátoru I kapacitní reaktance velikosti: V Laplaceově transformaci má reaktance hodnotu: Vyjádříme-li poměr reaktance a odporu, získáme přibližnou hodnotu přenosu integračního regulátoru: Činnost takového integračního regulátoru je v praxi velmi uspokojivá. Parazitní setrvačnosti se totiž uplatňují až při vyšších frekvencích, kdy je přenos regulátoru I již stejně velmi malý. Velká amplituda přenosu se požaduje při stejnosměrném signálu a střídavých signálech s
velmi nízkými frekvencemi. Amplitudová frekvenční logaritmická charakteristika má v oblasti nízkých sklon -20 db/dek a protíná úroveň 0 db při frekvenci ω> = 1/RC. Fázovou frekvenční charakteristikou je v tomto pracovním rozsahu přímka v úrovni -90. Přechodová charakteristika je přímka z počátku, jejíž strmost je nepřímo úměrná časové konstantě RC zpětnovazebního děliče. Pro RC = 1 s se shoduje s již dříve uvedenou lineární funkcí. Derivační regulátor Ideální regulátor D nelze realizovat. Způsobují to parazitní setrvačnosti, které potlačují přenos při vysokých frekvencích, tj. v oblasti, v níž má být přenos regulátoru největší. Na obr. 5.4. je základní zapojení derivačního regulátoru. Ideální přenos určuje opět poměr odporu ve zpětné vazbě a impedance ve vstupu: kde T d = RC je derivační časové konstanta. R Obr. 5.4. Základní zapojení derivačního regulátoru Pokud bychom chtěli vyjádřit přenos skutečného derivačního členu, musíme výraz násobit přenosem parazitního setrvačného členu s časovou konstantou T. Amplitudová frekvenční charakteristika protíná úroveň 0 db při frekvenci ω = l /RC a roste se sklonem 20 db/dek až do frekvence ω 1 = 1 /T, kde regulátor přestává derivovat v důsledku parazitní setrvačnosti s časovou konstantou T. Fáze je v rozsahu derivování +90. Přechodová charakteristika v důsledku setrvačnosti vrcholí na hodnotě RC/T a klesá se strmostí určenou velikostí časové konstanty T (obr. 5.5.). Obr. 5.5 Přechodová charakteristika skutečného derivačního regulátoru
Derivační regulátor má při konstantním vstupu (tj. nulová frekvence, stejnosměrný signál) nulový přenos. Vyplývá to jak průběhu amplitudové charakteristiky, tak z průběhu přechodové charakteristiky. Samotný derivační regulátor nezesiluje regulační odchylku, a musí být proto vždy kombinován s proporcionálním, popř. integračním regulátorem. V této kombinaci derivační regulátor zrychluje regulaci a zvyšuje stabilitu, což má velký význam pro odstranění krátkodobých a četných poruch. Uvedené základní typy regulátorů jsou dynamickými členy s velkým přenosem v požadovaném frekvenčním pásmu. Jejich přenosy a charakteristiky byly podrobně probrány ve 2. kapitole. Amplitudové charakteristiky regulátorů musí ležet nad úrovní 0 db. Nyní se zaměříme na kombinace základních typů, které umožňují dosáhnout vyšší kvality než jednoduché regulátory. Tyto kombinované regulátory realizujeme v zásadě třemi způsoby: a) paralelním řazením regulátorů výchozích typů - dosahuje se tak nejlepších výsledků, je však nutný značný počet zesilovačů; b) použitím korekčních členů - využívají zpravidla pouze jeden zesilovač, kvalita je však nižší; c) zpětnovazebním zapojením - využívají zpravidla pouze jednoho zesilovače, kvalita je vyhovující. Nevýhodou je, že k nastavování různých konstant regulátoru se používají stejné prvky, a to někdy vede ke vzájemnému ovlivňování konstant a může to znemožnit použití daného regulátoru. Proporcionálně integrační regulátor PI Regulátor PI vznikne v elektronické verzi paralelním spojením regulátoru P a I, jak je znázorněno na obr. 5.6., kde K je přenos regulátoru P a K V je rychlostní konstanta regulátoru I. Někdy se zavádí tzv. integrační časová konstanta T i = RC = 1/K V. Přenos regulátoru lze psát pomocí blokové algebry ve tvaru: P Obr. 5.6. Vytvoření regulátoru PI Výsledné logaritmické frekvenční charakteristiky jsou na obr. 5.7. Pokračující amplitudová charakteristika protíná úroveň 0 db při frekvenci, kdy amplituda přenosu se rovná jedné, tedy při ω 0 = K V. Lom charakteristiky je určen průsečíkem integrační větve se sklonem -20 db/dek a proporcionální větve v úrovni 20 log K. K tomu dochází při frekvenci:
Obr. 5.8. Přechodová charakteristika regulátoru PI Přechodová charakteristika na obr. 5.8. vznikne součtem obou dílčích přechodových charakteristik. Principiální zapojení regulátoru PI je na obr. 5.9. Součet signálů se provádí v invertujícím sumátoru (sčítačce), který tvoří tři stejné rezistory R s a invertující zesilovač. Výstupní signál u je určen vztahem: kde y 1 a y 2 jsou výstupní signály dvou vstupních regulátorů. Sumátor musí být invertující proto, že jednotlivé regulátory na jeho vstupu obracejí fázi o 180, neboť jsou rovněž vytvořeny invertujícími zesilovači. Požadujeme-li, aby invertující sumátor zesiloval např. desetkrát, zvětšíme odpor jeho zpětnovazebního rezistoru rovněž desetkrát, takže jeho velikost bude 10 R S. Na vysokých frekvencích má kondenzátor zanedbatelnou reaktanci, a proto se neuplatňuje. V některých případech postačí zjednodušený regulátor PI, u kterého je integrační složka nahrazena setrvačností s velkou časovou konstantou T. Použije se pasivní
korekční člen znázorněný na obr. 5.10. ve spojení s neinvertujícím stejnosměrným zesilovačem. Obr. 5.9. Zapojení regulátoru PI R 1 Obr. 5.10. Korekční člen pro zjednodušený regulátor PI Přenos proporcionální části členu je pak určen přenosem odporového děliče: Odpory rezistorů volíme tak, aby přenos K byl v rozmezí 1/20 až 1/5. Při nízkých frekvencích se uplatňuje kondenzátor tvořící s oběma rezistory setrvačný člen s časovou konstantou: Obr. 5.11. Logaritmické frekvenční charakteristiky korekčního členu a regulátoru Pl po zesílení signálu akorát (čárkovaně)
Logaritmické frekvenční charakteristiky korekčního členu jsou na obr. 5.11. Čárkovaně je vyznačena amplitudová charakteristika regulátoru po doplnění korekčního členu zesilovačem se zesílením A. Na obr. 5.12. je přechodová charakteristika. Porovnáme-li obě charakteristiky s charakteristikami dokonalého regulátoru PI, vidíme, že amplituda přenosu nedosahuje u zjednodušeného regulátoru pro ω = 0 nekonečné velikosti, takže tento regulátor zcela neodstraňuje regulační odchylku e. Pouze ji v porovnání s proporcionálním regulátorem více potlačuje. Obr. 5.12. Přechodová charakteristika korekčního členu PI Obr.5.13. Zpětnovazební regulátor PI Proporcionálně integrační regulátor můžeme vytvořit i zpětnovazebním způsobem. Na obr. 5.13. je zesilovač se zápornou zpětnou vazbou. Ve zpětnovazební větvi je zapojen člen, který má pro nízké frekvence charakter derivačního členu a pro vysoké frekvence proporcionální charakter. Protože je člen ve zpětné vazbě zesilovače, bude mít celý obvod opačný, tedy proporcionálně integrační charakter. Přenos tohoto regulátoru je dán vztahem: kde Abychom vyloučili vzájemné ovlivňování (interakci), nastavujeme K změnou R 1 a K V změnou C. Proporcionálně integrační regulátory mají oproti integračnímu regulátoru větší přenos na vyšších frekvencích, takže rychleji odstraňují nárazové poruchy. Tento typ regulátoru je často používán pro své výhodné vlastnosti (velké, popř. úplné potlačení regulační odchylky a uspokojivé odstraňování náhlých poruch).
Proporcionálně derivační regulátor PD Regulátor PD vznikne paralelním spojením regulátoru P a D (obr. 5.14.), kde K je přenos regulátoru P a T d = RC je derivační časová konstanta. Přenos regulátoru PD je: Logaritmické frekvenční charakteristiky jsou na obr. 5.15. Čárkovaně je naznačen průběh amplitudové charakteristiky samotné derivační složky se strmostí +20 db/dek. Tato charakteristika protíná úroveň 0 db při frekvenci. Frekvence lomu je určena vztahem ω 0 = K/T d. Obr. 5.14. Vytvoření regulátoru PD Obr. 5.16. Přechodová charakteristika ideálního regulátoru PD strana 8
Přechodová charakteristika na obr. 5.16. znázorňuje odezvu ideálního regulátoru PD na jednotkový skok. Skutečný regulátor zatížený setrvačností s časovou konstantou T má přechodovou charakteristiku na obr. 5.17. Vznikla sečtením přechodové charakteristiky proporcionálního regulátoru. Principiální zapojení regulátoru PD je na obr. 5.18. Použijeme-li korekční člen na obr. 5.19. ve spojení s neinvertujícím stejnosměrným zesilovačem, získáme zjednodušený regulátor PD. Na nízkých frekvencích má kondenzátor C velkou reaktanci, a proto se neuplatní. Přenos proporcionální části členu je pak určen přenosem odporového děliče: Obr. 5.17. Přechodová charakteristika skutečného regulátoru PD Odpory rezistorů volíme podobně jako u regulátorů PI tak, aby přenos K byl v rozmezí 1/20 až 1/5. Při vysokých frekvencích se začne uplatňovat kondenzátor C, čímž se zvětší přenos členu. Derivační složka členu se začne projevovat od frekvence, při které se reaktance kondenzátoru rovná odporu rezistoru R 1, z toho plyne: Obr. 5.19. Korekční člen pro zjednodušený regulátor PD strana 9
Obr. 5.20. Frekvenční charakteristiky korekčního členu PD a regulátoru PD po zesílení signálu akorát (čárkovaně) Na obr. 5.20. jsou frekvenční charakteristiky korekčního členu, z nichž vyplývá, že jeho přenos se rovná nejvýše jedné (0 db). Úhlová frekvence, při které se amplitudová charakteristika podruhé lomí, určuje převrácenou hodnotu časové konstanty T setrvačného členu, který zatěžuje derivační složku. Její velikost je dána vztahem: Čárkovaně je vyznačena amplitudová charakteristika po doplnění korekčního členu zesilovačem se zesílením A, neboť regulátor musí dostatečně zesílit stejnosměrnou regulační odchylku. Obr. 5.21. Zpětnovazební regulátor PD Regulátor PD můžeme také realizovat frekvenčně závislým členem zapojeným v obvodu záporné zpětné vazby. Tento způsob je uveden na obr. 5.21. Ve zpětnovazební větvi je zapojen setrvačný člen, který signály nízkých frekvencí a stejnosměrné signály přenáší proporcionálně. Frekvence vyšší než je frekvence lomu, zeslabuje o 20dB/dek. Celý obvod pak bude mít (vzhledem k umístění v záporné zpětné vazbě) opačný charakter, bude se tedy chovat jako regulátor PD s přenosem: strana 10
Kde přenos regulátoru je dán vztahem: a derivační konstanta Abychom vyloučili vzájemné ovlivňování (interakci), nastavujeme K změnou R 0 a hodnotu T d změnou C. Proporcionálně derivační regulátory mají oproti proporcionálním regulátorům větší přenos na vyšší frekvencích. Používají se při četných poruchách, protože je velmi rychle potlačují, stejně jako tlumené kmity vznikající v regulovaných soustavách vyšších řádů. Trvalou regulační odchylku stejně jako regulátory P zcela neodstraňují, pouze ji zmenšují. Tyto případy nejsou příliš časté, takže regulátory PD používáme poměrně zřídka. Proporcionálně integračně derivační regulátor PID Regulátor PID vznikne paralelním spojením regulátorů P, I a D (obr. 5.22.). Přenos regulátoru PID je: Obr. 5.22. Vytvoření regulátoru PID strana 11
Obr. 5.23. Zapojení regulátoru PID Principiální zapojení regulátoru PID je na obr. 5.23. Logaritmické frekvenční charakteristiky jsou na obr. 5.24. Amplitudová frekvenční charakteristika je tvořena větví integrační části se sklonem -20 db/dek, jejíž prodloužení (čárkovaně) protíná osu 0 db při úhlové frekvenci, která se rovná rychlostní konstantě K v integračního regulátoru. Dále je tvořena větví proporcionální části s úrovní 20 log K, kde K je přenos proporcionálního regulátoru, a konečně větví derivační části se sklonem 20 db/dek. Prodloužení této větve (čárkovaně) protíná osu 0 db při frekvenci, která se rovná převrácené hodnotě derivační konstanty neboli 1/T d. Přechodová charakteristika (obr. 5.25.) vznikne součtem přechodových charakteristik dílčích regulátorů. Setrvačný člen s časovou konstantou T ovlivňuje derivační regulátor. Zjednodušený regulátor PID využívá korekčního členu znázorněného na obr. 5.26. a stejnosměrného neinvertujícího zesilovače. Kondenzátor C 1 vytváří derivační složku. Kondenzátor C 2 tvoří s rezistory R 1 a R 2 setrvačný člen, který v určitém frekvenčním rozsahu nahrazuje integrační člen. Pro správnou činnost je třeba zajistit, aby hodnota součinu C 1 R 1 strana 12
byla mnohem menší než C 2 R 2. Současně musí být zajištěn značný dělící poměr K=R 2 /(R 1 +R 2 ), aby se mohl dostatečně uplatnit vliv derivace a integrace na přenos regulátoru. Tento požadavek vyplývá i z frekvenčních charakteristik korekčního členu (obr. 5.27.). Zjednodušený regulátor PID s korekčním členem není schopen zcela odstranit regulační odchylku ani nemá ideálně derivační charakter. Ideální regulátor PID by musel mít amplitudovou charakteristiku s větvemi pokračujícími bez lomu, jak je v obr. 5.27. naznačeno čárkovaně. Obr. 5.25. Přechodová charakteristika regulátoru PID Obr. 5.26. Korekční člen pro zjednodušení regulátoru PID strana 13
Regulátor PID vytvořený zpětnovazebním způsobem je na obr. 5.28. Předpokládáme-li přenos regulátoru PID ve tvaru: a zanedbáme-li vzájemné působení (interakci) členů R 1 -R 2 -C 1 -C 2, pak přibližně platí: Ve skutečnosti však regulátor pracuje s konstantami: kde i je tzv. činitel interakce. Aby byla interakce menší, volíme R 2 mnohem menší než R 1. Nepříjemným důsledkem interakce je nemožnost nastavení libovolných hodnot konstant regulátoru, zvlášť poměru T d /T i. Obecně lze shrnout, že regulátory PID používáme pro jejich větší složitost méně často. Použití je opodstatněné jen v případě, kdy požadujeme úplné odstranění, popř. větší potlačení trvalé regulační odchylky a rychlou kompenzaci poruch nebo vlastních tlumených kmitů regulované soustavy. strana 14