P7: Základy zpracování signálu
Úvodem - Signál (lat. signum) bychom mohli definovat jako záměrný fyzikální jev, nesoucí informaci o nějaké události. - Signálem je rovněž funkce, která převádí nezávislou proměnnou na určitou hodnotu. - Vzpomeňme si například na měření akustickou emisí, kde jsme zpracovávali signály ve formě hitů akustické emise. - Každý hit nesl určitou informaci o svém původci zdroji, byl definován počtem překmitů nad prahovou úroveň, dobou náběhu, počtem překmitů do dosažení maximální amplitudy, maximální amplitudou, dobou trvání atd.
- Dle spojitosti nezávislé proměnné je možné rozdělit signály na: (Pozn.: V drtivé většině případů budeme za nezávislou proměnnou používat čas) Signály sespojitým časem s(t), kde t R Signály s diskrétním časem s[n], kde t N Podle časového průběhu lze signály rozdělit následovně:
- Deterministický signál je takový, který při opakování experimentu má opět stejný průběh. - Náhodný signál je zobecněním deterministického signálu, kdy při každém měření získáme určitý, ale předem neznámý průběh tohoto druhu signálu. - Stochastický signál má průběh nepravidelný, který nejsme schopni předem určit. - Stacionární signál je takový, který je závislý na poloze počátku časové osy. - Nestacionární signál je naproti tomu nezávislý na poloze počátku časové osy. - Ergodický signál se vyznačuje tím, že jeho charakteristiky lze stanovit z jednoho měření. U neergodických signálů tomu tak logicky není.
Základní schéma zpracování signálu - Na nasnímaný analogový signál se obvykle aplikují filtry, poté se pomocí AD převodníku signál digitalizuje a zpracovává. - V některých případech však požadujeme zpětnou rekonstrukci na analogový signál (zvuková karta, MP3 přehrávač, GSM atd.), k tomu nám slouží DA převodník včetně dedikovaných filtrů.
Základní parametry používané k popisu signálu - Při zpracování signálu (zejména stochastických) využíváme k popisu charakteru signálu mimo jiné i znalostí z oboru statistiky, konkrétně charakteristiky polohy, kde řadíme aritmetický průměr, modus, medián, harmonický a geometrický průměr a charakteristiky variability, kde řadíme variační rozpětí, rozptyl, směrodatnou odchylku, variační koeficient a koeficient korelace. - Mezi doplňkové parametry, které při hodnocení signálu určujeme, například patří poměr signál/šum definovaný následovně: nebo alternativně: SNR SNR E(x) RMS RMS Signal Noise
Digitalizace signálu 1. Vzorkování - Vzorkování umožňuje diskretizovat definiční obor na konečný počet podmnožin. - Vzorkování signálu je podmíněno Shannon-Kotělnikovým teorémem: Každou funkci času s omezeným frekvenčním spektrem je možné nahradit posloupností diskrétních vzorků odebíraných s periodou Tsample, která je rovna nejvýše polovině převrácené hodnoty nejvyšší frekvence fmax obsažené ve vzorkovaném signálu. Platí: f sampling = 1 T sample 2f max, přičemž f sampling je frekvence, s jakou vzorkování realizujeme. - Uvedená podmínka je také uváděna jako Nyquistova podmínka. - V případě, že nedodržíme výše uvedenou podmínku, hrozí zkreslení typu aliasing. - K minimalizaci aliasingu se používají antialiasingové filtry, konkrétně Čebyšelův, Besselův nebo Butterworthův.
Digitalizace signálu 1. Vzorkování - V praxi se ustálilo používání následujících vzorkovacích frekvencí: 32 khz pro zvukové signály s horní mezní frekvencí 16 khz 44,1 khz pro audiopřístroje (CD/DVD) 48/96 khz pro high-end studia
Digitalizace signálu 2. Kvantování - Kvantováním se rozumí náhrada funkčních hodnot hodnotami zaokrouhlenými. Jedná se o proces ztrátový a zároveň i nevratný. Počet kvantizačních úrovní u A/D převodníků je vyjádřen v N-té mocnině čísla 2
Fourierova transformace - Fourierovou transformací se rozumí integrální transformace, která převádí signál mezi časovou a frekvenční oblastí s využitím harmonických funkcí sin a cos (obecně funkcí komplexní exponenciály). - Povaha signálu v časové oblasti může být jak spojitá, tak i diskrétní. Pro spojitý signál je Fourierova transformace definována následovně: C k = 1 f(t)e ikt dt, k = 2πn 2π T - Pro inverzní Fourierovu transformaci platí: f(t) = C(k)e ikt dk V souvislosti s digitálním signálem se výhradně využívá diskrétní Fourierovy transformace, jejími vstupy a výstupy jsou posloupnosti hodnot: C k = N 1 0 f(t)e ikt pro t = 0,1,, N 1
Fourierova transformace - Frekvenční rozlišení je funkcí vzorkovací frekvence f sampling a počtu N vzorků (Počet vzorků je ve většině případů roven 2t, kde t N): f a (f) = f f sampling N - Velkou nevýhodou diskrétní Fourierovy transformace je její časová náročnost. Výpočet DFT pro N vzorků vyžaduje realizaci N 2 komplexních součinů a N 2 komplexních součtů. - V šedesátých letech 20. století byl popsán efektivní algoritmus (Cooley Tukey algoritmus) výpočtu diskrétní Fourierovy transformace tzv. Rychlá Fourierova transformace (FFT).
Fourierova transformace
Fourierova transformace - Pro aplikaci FFT je žádoucí, aby vzorek časové funkce daného děje reprezentoval periodicky se opakující signál. - Z praxe však víme, že na periodické signály je možné narazit velmi zřídka. - Je nicméně žádoucí, aby vzorek začínal a končil ve stejném bodě. - Pokud tomu tak není, můžeme narazit na tzv. spektrální únik (spectral leakage) jehož důsledkem je generace nerelevantních frekvenčních komponent, které podstatnou měrou zkreslují výsledek. - Onu vynucenou periodicitu je možné řešit prostřednictvím tzv. časových oken, která vhodně modifikují oba okraje časového vzorku signálu
Fourierova transformace
Digitální filtry - Digitální filtry se používají ke dvěma účelům, a to jednak k obnově zkresleného signálu a dále také k oddělení sloučených signálů (vlivem interference, šumu atd.). - Nutno podotknout, že digitální filtry jsou ve srovnání s filtry analogovými mnohem výkonnější včetně o několik řádů rychlejšího zpracování samotného signálu. - Nespornou výhodou digitálních filtrů je možnost zpracovávat signál v reálném čase. - Ve spojitosti s filtry rozlišujeme dvě domény frekvenční a časovou. - Každý filtr je de facto určitým kompromisem - z dobrých vlastností v doméně frekvenční vyplývají špatné vlastnosti v doméně časové a naopak. - Na následujících řádcích si přiblížíme konstrukci a princip základních analogových filtrů, které je možné samozřejmě uplatnit i v rámci digitálních filtrů.
Digitální filtry Dolní propust (Low pass) - Lineální filtr dolní propust se skládá z RC členu [14], jedná se o sériově zapojený rezistor a paralelně zapojený kondenzátor. - RC člen definuje mezní frekvenci (f cutoff = 1/(2πRC)), při které zisk signálu poklesne o 3 db, tedy necelých 30%. - Filtr dolní propust nepotlačí signály o frekvenci nižší než mezní frekvence.
Digitální filtry Horní propust (High pass) - Lineální filtr horní propust se naproti tomu skládá z CR členu, jedná se o sériově zapojený kondenzátor a paralelně zapojený rezistor. - CR člen definuje, stejně jako RC člen, mezní frekvenci (f_cutoff=1/(2πrc)), při které zisk signálu poklesne o 3 db, tedy necelých 30%. - Filtr typu horní propust nepotlačí signály o frekvenci vyšší než mezní frekvence.
Digitální filtry Pásmová propust (Band pass) - Lineální filtr pásmová propust se skládá z RC a CR členu - Filtr typu pásmová propust propouští signály v pásmu určitých frekvencí (f L,f H ).
Digitální filtry Pásmová zádrž (Band reject) - Lineální filtr pásmová zádrž nepropouští signály o určitých frekvencích, jedná se o opak filtru pásmová propust
Literatura [1] https://cs.wikipedia.org/wiki/sign%c3%a1l [2] Krejsa, J.: Základy zpracování signálu, Elektronické učební testy dostupné na adrese: http://www.umt.fme.vutbr.cz/~ruja/vyuka/zzs/zzs.html [3] http://ottp.fme.vutbr.cz/skripta/vlab/daq/ka04-02.htm [4] https://cs.wikipedia.org/wiki/histogram [5] http://iastat.vse.cz/spojnv.htm [6] https://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/kap05/prav5.htm [7] http://www.dokoran.cz/ukazky/1226581057.pdf [8] http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1356-vzorkovani-signalu [9]https://cs.wikipedia.org/wiki/Kvantov%C3%A1n%C3%AD_(sign%C3%A1l)#Kvantov.C3.A1n.C3.AD_vs._vzorko v.c3.a1n.c3.ad [10] http://www-kiv.zcu.cz/~mautner/azs/azs4.pdf [11] https://cs.wikipedia.org/wiki/rychl%c3%a1_fourierova_transformace [12] http://apfyz.upol.cz/ucebnice/down/mini/fourtrans.pdf [13] http://www.fs.vsb.cz/export/sites/fs/330/.content/files/bilosovavibdi_skripta.pdf [14] https://cs.wikipedia.org/wiki/doln%c3%ad_propust [15] https://cs.wikipedia.org/wiki/horn%c3%ad_propust [16] https://cs.wikipedia.org/wiki/p%c3%a1smov%c3%a1_propust [17] https://cs.wikipedia.org/wiki/p%c3%a1smov%c3%a1_z%c3%a1dr%c5%be