6 Potenciály s δ funkcemi II 6.1 Periodická δ funkce (Diracův hřeben) Částice o hmotnosti M se pohybuje v jednorozměrné mřížce popsané periodickým potenciálem V(x) = c δ(x na), (6.1.1) n= kde a je vzdálenost mezi sousedními δ funkcemi (mřížková konstanta). Hledejte vlnovou funkci ve tvaru Blochovy vlny kde funkce u (x) je periodická s periodou a: ψ (x) = e ix u (x), (6.1.2) u (x) = u (x+a). (6.1.3) 1. Aplikujte sešívací podmínky pro navazování vlnové funkce na δ funkci a nalezněte energetické spektrum pro c >, >. Diskutujte jeho vlastnosti a závislost na parametru c. 2. Nalezněte a zakreslete disperzní relaci = () a grupovou rychlost = ω = 1. (6.1.4) Poznámka: Diracův hřeben je triviální jednorozměrný model, na kterém lze studovat základní vlastnosti pohybu elektronů v pevné látce (pásová struktura, disperzní relace). Obecnější jednorozměrný potenciál, který místo opakujících se δ funkcí uvažuje pravoúhlé bariéry o konečné šířce b, vzdálené od sebe o mřížkovou konstantu a > b, se nazývá Kronigův-Penneyův potenciál [8]. Řešení: 1. Vlnovou funkci na intervalu x [;a] hledáme ve tvaru ψ [;a] (x) = Ae ikx +Be ikx, k Posuneme ji nyní na interval x [ a;] 13 2M 2. (6.1.) ψ [ a;] (x) = e ia[ Ae ik(x+a) +Be ik(x+a)] (6.1.7) a aplikujeme sešívací podmínky [spojitost, skok v derivaci (.1.)] v bodě x = A+B = e ia[ Ae ika +Be ika], (6.1.8) ik(a B) ike ia( Ae ika +Be ika) = K(A+B), (6.1.9) 13 Lze nahlédnout například z vlastností operátoru posunutí ˆT a = e i aˆp zavedeném vztahem (2.4.1): ˆT a ψ(x) = ψ(x+a) = e i(x+a) u(x+a) = e i(x+a) u(x) = e ia ψ(x), (6.1.6) takže vlastní hodnoty operátoru posunutí ˆT a jsou e ia.
kde K = 2Mc/hbar 2, viz výraz (.1.6). Dostáváme tedy homogenní soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé A,B ( ) ( ) A 1 e M =, M = ia e ika 1 e ia e ika B 1 e ia e ika K 1+e ia e ika K, (6.1.1) ik ik která má řešení, pokud ) = detm = ( 1 e ia e ika)( 1+e ia e ika K ik ) + ( 1 e ia e ika)( 1+e ia e ika + K ik = 1+e ia e ika +e ia e ika e 2ia K ik + K ik e ia e ika 1+e ia e ika +e ia e ika e 2ia + K ik K ik e ia e ika = 2+2e ia( e ika +e ika) 2e 2ia + K }{{} ik e ia( e ika e ika) }{{} 2coska 2isinka a po vynásobení e ia dostaneme 2e ia +4coska 2e ia + 2K k sinka = cosa = coska+ K sinka. (6.1.11) 2k Tato rovnice je splněna, pokud r coska+ K 2k sinka 1. (6.1.12) 1. r r 6 1. 4. 2. k k Obrázek 6: Funkce r (černá čára) pro dvě hodnoty parametru K a mřížkovou konstantu a = 1. Pásy, v nichž je splněna podmínka (6.1.12) jsou vyznačeny šrafováním. Veličina r je pro dvě hodnoty K zakreslena na obrázku 6. Několik pozorování: Pro K dostáváme pásovou strukturu: povolené pásy r 1 střídají zakázané pásy r > 1, viz obrázek 6.
Hodnota funkce r pro k = je r = Ka 1+ 2, (6.1.13) tj.pokudk > nebok < 4 a,dostávámepronulovouenergiivždyzakázaný pás. Pro K > je horní hranice povoleného pásu je vždy na hodnotě Pásy tedy můžeme indexovat číslem n. ka = nπ, n N. (6.1.14) Pokud K =, jsou povolené všechny energie >. Řešení odpovídá pohybu volné částice. S rostoucí hodotou K se pásy zužují a pro K dostáváme čárové spektrum (6.1.14), tj. n = 2 π 2 2Ma 2, (6.1.) což je spektrum nekonečné hluboké jednorozměrné pravoúhlé jámy šířky a. 2. Pokud rovnici(6.1.11) pro hodnotu ka splňuje nějaké a, pak ji stejně dobře splňuje a+2πn, kde n Z, přičemž vlnová funkce zůstane stejná. Můžeme tedy přijmout konvenci, že ke každé hodnotě πn ka π(n+1) přidružíme a tak, aby bylo v intervalu πn a π(n+1), tj. πn ka π(n+1), πn a π(n+1), n Z. (6.1.16) Tímto způsobem docílíme toho, že pro každou hodnotu k dostaneme jedinečnou hodnotu. V druhé běžně používané konvence bereme hodnotu z tzv. 1. Brillouinovy zóny, což je množina nejmenších takových, že dávají v daném pásu n jednoznačně vlnovou funkci. Pro jednorozměrnou mřížku je 1. Brillouinova zóna interval a [ π,π]. (6.1.17) Disperzní relace = () v obou konvencích je zobrazena na obrázku 7. Grupová rychost je zakreslena na obrázku 8. Pro v blízkosti hranice pásu klesá rychost k nule.
1 1 1 1.61.9 2.66 2.32.36.76-3 -2-1 1 2 3 2.88-3 -2-1 1 2 3 2.46 Obrázek 7: 1. řádek: Disperzní relace v konvenci (6.1.16) pro dvě hodnoty K (černá čára). Červená čárkovaná čára odpovídá disperzní relaci pro volnou částici = 2 2 /(2M). Svislé zelené čerchované čáry vyznačují horní hranice pásů (6.1.14). Šrafováním jsou znázorněny povolené pásy. 2. řádek: Disperzní relace pro 1. Brillouinovu zónu(6.1.17).jednotlivépásyjsouznázorněnyodlišnýmibarvami.černýmičárkovanými čarami jsou vyznačeny energie a vypsány hodnoty kvazihybnosti pro obrázek??.
2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 Obrázek 8: Grupová rychlost (6.1.4) v závislosti na energii (1. řádek) a na kvazihybnosti (2. řádek). Ve 2. řádku jsou hranice pásů = πn znázorněny svislými zelenými čerchovanými čarami. Červená čárkovaná čára odpovídá rychosti pro volnou částici = /M.