1. Základní příklady a poznatky o monoidech a grupách

Předmět: Algebra I Semestr: Zimní 2015/2016 Přednášel: J. Žemlička Verze z: 6. ledna 2017 Díky za pomoc s řešeními příkladů: Martin Šerý, Štěpán Hojdar, Petr Houška, Péťa Pelikánová. (A určitě další, ale už si nevzpomínám.) Vypracované příklady ze Žemličkových stránek, chyby hlaste na email zakravska.katerina@gmail.com. Když budete chtít dělat větší úpravy, klidně si napište o zdroják. Je to psané v TEXu (pdfcsplaintex). Ocením, když mi poté pošlete vaši upravenou verzi. Aktuální verze na: http://atrey.karlin.mff.cuni.cz/ katka/skola/algebra/zkouskove-otazky.pdf 1. Základní příklady a poznatky o monoidech a grupách 1. Napište Eukleidův algoritmus. Vstup: a, b N, a b Výstup: GCD(a,b), x, y Z, pro která GCD(a, b) = xa + yb 0. krok i = 1 (a 0, a 1 ) := (a, b) (x 0, x 1 ) := (1, 0) (y 0, y 1 ) := (0, 1) 1. krok while (a 1 > 0) a i+1 := a i 1 mod a i q i := a i 1 div a i //tj. a i 1 = q i a i + a i+1 x i+1 := x i 1 x i q i y i+1 := y i 1 y i q i i++ 2. krok return a i 1, x i 1, y i 1 2. Napište Čínskou větu o zbytcích (pro Z n ). Nechť n 1, n 2,..., n k jsou kladná čísla a n = n 1 n 2... n k. Definujeme zobrazení H jako H(a) = (a mod n 1,..., a mod n k ). Potom zobrazení H : Z n Π k i=1 Z n i je slučitelné s operací + a s operací. Navíc H je bijekce, právě když jsou čísla n i po dvou nesoudělná. 3. Definujte Eulerovu funkci a uveďte vzorec pro její výpočet. Eulerova funkce je zobrazení ϕ : N N dané předpisem ϕ(n) = {k Z n GCD(k, n) = 1}. Výpočet: Buď p r1 1 pr2 2... pr k k prvočíselný rozklad čísla n. Potom ϕ(n) = Π k i=1 (p i 1)p ri 1 i 4. Definujte Eulerovu funkci a napište Eulerovu větu. Eulerova funkce je zobrazení ϕ : N N dané předpisem ϕ(n) = {k Z n GCD(k, n) = 1}. Eulerova věta: Pro všechna přirozená nesoudělná čísla n a a platí, že a ϕ(n) 1 mod n 5. Pro daný monoid M( ) definujte grupu M ( ) invertibilních prvků. M ( ) = {m M m 1 M} 6. Uveďte nějaký postup na výpočet inverzního prvku v grupě invertibilních prvků Z n( ). 1. Použijeme Eulerovu větu přenásobenou a 1, tj. a ϕ(n) 1 a 1 mod n. Spočítáme Eulerovu funkci, za a dosadíme číslo, ke kterému hledáme inverz. Dopočítáme (průběžně modulíme n) a získáme hledaný inverz. 2. Přes Bézoutovy koeficienty. 7. Definujte grupu invertibilních prvků Z n( ) monoidu Z n ( ). Které obsahuje prvky? Z n( ) = {k Z n GCD(k, n) = 1} Obsahuje všechny prvky, které mají inverz vůči operaci (s modulením n). To jest všechny prvky k {1,..., n 1}, které jsou nesoudělné s n. 8. Uveďte definici grupy a nějaký příklad grupy, která není komutativní. G( ) je grupa, je-li G( ) monoid (asociativita, neutrální prvek), jehož každý prvek je invertibilní. S n ( ) není komutativní grupa pro n 3. 9. Uveďte definici komutativní grupy a řekněte, které podgrupy komutativní grupy jsou normální. G( ) je komutativní grupa, je-li G( ) monoid, jehož každý prvek je invertibilní, a je-li komutativní. Všechny podgrupy komutativní grupy jsou normální. 1

10. Uveďte definici grupy a podgrupy. G( ) je grupa, je-li G( ) monoid (asociativita, neutrální prvek), jehož každý prvek je invertibilní. Podgrupou grupy G( ) je H podmnožina G, která je uzavřená na, obsahuje neutrální prvek a pro každý její prvek h H platí, že h 1 H. 11. Uveďte definici monoidu a příklad monoidu, který není grupou. Monoid je M( ), kde je asociativní a v M leží neutrální prvek. N( ) je monoid, který není grupou. 2. Kongruence a homomorfismy grup 1. Napište, co rozumíme faktorovou grupou grupy G( ) podle normální podgrupy H. Faktorová grupa je grupa zavedená na faktorové množině. Obvyklý zápis faktorové grupy je G/H( ) := G/rmod H, kde je operace původní grupy G( ), H = [1] rmod H. 2. Napište, co rozumíme ekvivalencí rmod H na grupě G( ), kde H je její podgrupa. Napište Lagrangeovu větu. Co přesně značí [G:H]? Je-li G( ) grupa, H G, definujme na G relaci rmod H předpisem (a, b) rmod H a b 1 H. Lagrangeova věta: Je-li H podgrupa grupy G( ), pak G = [G : H] H. [G : H] je index podgrupy H v grupě G, tj. G/rmod H. 3. Jaký je vztah řádu grupy a řádu jejích podgrup? Je-li G( ) konečná grupa, potom řád každé její podgrupy dělí řád grupy G. 4. Definujte podgrupu a normální podgrupu. Podgrupou grupy G( ) je H podmnožina G, která je uzavřená na, obsahuje neutrální prvek a pro každý její prvek h H platí, že h 1 H. V normální podgrupě navíc platí: g G, h H : g h g 1 H 5. Definujte normální podgrupu a homomorfismus grup. Normální podgrupou grupy G( ) je H podmnožina G, která je uzavřená na, obsahuje neutrální prvek a pro každý její prvek h H platí, že h 1 H. Ještě platí: g G, h H : g h g 1 H. Grupový homomorfismus grup G( ) a H( ) je zobrazení f : G H, které je slučitelné s jejich binárními operacemi. 6. Uveďte definici faktorové grupy (včetně značení a definice operací). Faktorová grupa je grupa zavedená na faktorové množině. Je to grupa G/ρ( ), kde G je grupa a ρ je ekvivalence, podle které faktorizujeme. [a] ρ [b] ρ = [a b] ρ. 7. Uveďte větu o homomorfismu pro grupy. Nechť f : G 1 G 2 je homomorfismus grup G 1 ( ) a G 2 ( ). Je-li H normální podgrupa G 1 ( ), pak existuje homomorfismus g: G 1 /H G 2 splňující podmínku gπ H = f právě tehdy, když H Kerf (tj. rmod H rmod Ker f). Navíc, jestliže g existuje, je g izomorfismus právě tehdy, když f je na a Ker f = H. 8. Uveďte 1. větu o izomorfismu pro grupy. Nechť f : G 1 G 2 je homomorfismus grup G 1 ( ) a G 2 ( ). f(g 1 ) je podgrupa G 2 (tedy opět grupa) a G 1 /Ker f( ) je izomorfní f(g 1 )( ). 9. Uveďte 2. větu o izomorfismu pro grupy. Nechť G( ) je grupa a H, K její normální podgrupy. Jestliže H K, pak K/H je normální podgrupa gurpy G/H( ) a faktorová grupa G/K( ) je izomorfní grupě (G/H)/(K/H)( ). 10. Definujte relaci rmod H pro danou podgrupu H. Je-li G( ) grupa, H G, definujme na G relaci rmod H předpisem (a, b) rmod H a b 1 H. 11. Kdy je relace rmod H kongruence na grupě G( )? Když je H normální podgrupa G. 12. Popište pomocí podgrup všechny ekvivalence slučitelné s grupovou operací. Nechť G( ) je grupa a ρ relace na G. Pak ρ je ekvivalence slučitelná s operací právě tehdy, když H = [1] ρ je normální podgrupa G( ) a ρ = rmod H(= lmod H). 13. Definujte všechny ekvivalence slučitelné s grupovou operací. Nechť G( ) je grupa a ρ relace na G. Pak ρ je ekvivalence slučitelná s operací právě tehdy, když H = [1] ρ je normální podgrupa G( ) a ρ = rmod H(= lmod H). 14. Najděte grupu G( ) a její podgrupu H, aby relace rmod H nebyla slučitelná s. Grupa bude S 7, podgrupa {id, (12)}. 2

15. Existuje mezi každou dvojicí grup nějaký homomorfismu? Stručně zdůvodněte. Ano. Všechno zobrazíme na neutrální prvek. 16. Existuje nekonečná grupa, která obsahuje jen jednu normální podgrupu? Stručně zdůvodněte. Ne, protože každá grupa obsahuje 2 triviální podgrupy (sebe a grupu obsahující pouze neutrální prvek). 3. Příklady grup 1. Může mít komutativní grupa nekomutativní vlastní podgrupu? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Ne. Operace a její vlastnosti se zachovávají. 2. Může mít nekomutativní grupa komutativní vlastní podgrupu? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Ano, můžu vybrat podmnožinu obsahující neutrální prvek a jeden jiný. To bude komutativní a bude to podgrupa. Grupa musí být aspoň dvouprvková. 3. Je grupa permutací S 3 ( ) komutativní? Stručně zdůvodněte. Není. (12) (23) = (123), ale (23) (12) = (132) 4. Je grupa A 4 ( ) (= sudé permutace) komutativní? Stručně zdůvodněte. Není. (12)(34) (123)(4) = (1)(243), ale (123)(4) (12)(34) = (134)(2) 5. Je grupa A 3 ( ) (= sudé permutace) komutativní? Stručně zdůvodněte. Ano. A 3 obsahuje identitu, (123) a (132). Ty trojcykly si jsou navzájem inverzama. 6. Je aditivní grupa Z(+) Z(+) komutativní? Stručně zdůvodněte. Ano, protože její prvky jsou po složkách komutativní. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) 7. Je {0, 1, 1}( ) grupa? Stručně zdůvodněte. Ne, protože pro 0 neexistuje inverzní prvek (0 krát cokoliv nikdy nevyjde 1) a 0 nemůže být neutrálním prvkem (0 krát cokoliv je 0). 8. Je {1, 1}( ) grupa? Stručně zdůvodněte. Ano. Ověříme definici je asociativní, 1 je neutrální prvek ( 1 1 = 1, 1 1 = 1), pro všechny prvky existuje inverz (sami sobě), je uzavřená na. 9. Tvoří všechny čtvercové matice stupně 7 nad tělesem s násobením grupu? Stručně zdůvodněte. (stupně 7 = má rozměry 7 7) Ne, protože neexistují inverzy (matice může být singulární, tj. nemá rank 7, a ty nemají inverz). 10. Tvoří všechny regulární čtvercové matice nad tělesem s násobením grupu? Stručně zdůvodněte. Ano. Je to asociativní, existuje neutrální prvek (jednotková matice), existují inverzy (regulární matice mají inverzy). 11. Tvoří všechny funkce R R se skládáním grupu? Stručně zdůvodněte. Ne. Funkce nemusí být prostá a pak nebude mít inverz. 12. Uveďte všechny (až na izomorfismus) grupy prvočíselné velikosti p. Jsou to všechny Z p. 13. Napište aspoň tři neizomorfní osmiprvkové grupy. Z 8 (1 generátor), Z 4 Z 2 (2 generátory), Z 2 Z 2 Z 2 (3 generátory) 14. Napište aspoň dvě neizomorfní devítiprvkové grupy. Z 9, Z 3 Z 3 15. Napište aspoň dvě neizomorfní 24-prvkové grupy. Z 24, Z 4 Z 6 (nebo Z 2 Z 12, která je izomorfní Z 4 Z 6 ) 16. Napište aspoň tři neizomorfní 12-prvkové grupy. Z 12 (1 generátor), Z 2 Z 6 (2 generátory), A 4 (rovnají se velikosti) N = Z = Q Irac. = R = C 4. Podgrupy 1. Rozhodněte, zda iracionální čísla tvoří podgrupu grupy C(+). Stručně zdůvodněte. Ne, protože třeba π + π = 0. (iracionální = mají nekonečný desetinný rozvoj) 3

2. Rozhodněte, zda iracionální čísla tvoří podgrupu grupy C ( ). Stručně zdůvodněte. Ne, protože není neutrální prvek vůči násobení 1 není iracionální. 3. Rozhodněte, zda celá čísla tvoří podgrupu grupy C(+). Stručně zdůvodněte. Ano, Z(+) je komutativní grupa (uzavřenost platí zřejmě, neutrální 0, inverz je opačné číslo, asociativita také). 4. Rozhodněte, zda celá čísla tvoří podgrupu grupy C ( ). Stručně zdůvodněte. Ne, protože 0 nemá inverz vůči násobení, proto to nemůže být podgrupa čehokoliv. Navíc C neobsahuje 0. 5. Rozhodněte, zda racionální čísla tvoří podgrupu grupy R(+). Stručně zdůvodněte. (racionální = lze je vyjádřit zlomkem) Ano. Inverzy jsou opačná čísla, neutrální je 0, asociativita jo, uzavřenost ano (součet zlomků zase zlomek). 6. Rozhodněte, zda kladná čísla tvoří podgrupu grupy R(+). Stručně zdůvodněte. Ne, neexistují inverzy. 7. Rozhodněte, zda kladná čísla tvoří podgrupu grupy R ( ). Stručně zdůvodněte. Ano. 8. Rozhodněte, zda tvoří sudá celá čísla podgrupu grupy Q(+). Stručně zdůvodněte. Ano. Asociativita jo, uzavřenost jo (součet kladných je zase kladné číslo), inverzy jo (opačná čísla), neutrální prvek je 0. 9. Rozhodněte, zda tvoří sudá čísla podgrupu grupy Q ( ). Stručně zdůvodněte. Ne, protože Q neobsahují 0, takže nejsou podmnožinou. 10. Rozhodněte, zda přirozená čísla tvoří podgrupu grupy Q(+). Stručně zdůvodněte. Ne, neexistují inverzy. 11. Rozhodněte, zda permutace splňující π 2 = id tvoří podgrupu grupy S 3 ( ). Ne. Permutace na druhou, které dají identitu, jsou identita a transpozice. Ovšem dvě transpozice mohou dát trojcyklus, takže to není uzavřené. 12. Rozhodněte, zda liché permutace tvoří podgrupu grupy S n ( ). Ne, chybí neutrální prvek (identita), ta je sudá. 13. Rozhodněte, zda tvoří množina {1, 7} podgrupu grupy Z 9 ( ). Stručně zdůvodněte. Z 9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8} Ne, protože není uzavřená (7 7 = 49 = 4). 14. Rozhodněte, zda tvoří množina {1, 3} podgrupu grupy Z 10( ). Stručně zdůvodněte. Z 10 = {1, 3, 7, 9} Ne, protože není uzavřená (3 3 = 9). 15. Rozhodněte, zda tvoří množina {1, 2, 4, 5, 10} podgrupu grupy Z 11( ). Stručně zdůvodněte. Z 11 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Ne, protože není uzavřená (4 2 = 8). 16. Rozhodněte, zda tvoří množina {1, 3, 9} podgrupu grupy Z 13( ). Stručně zdůvodněte. Z 13 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Ano, protože každé číslo (ze Z 13 ) nesoudělné s 13 generuje podgrupu Z 13. 3 = {1, 3, 9}. 17. Rozhodněte, zda tvoří množina {1, 4, 7} podgrupu grupy Z 9 ( ). Stručně zdůvodněte. Z 9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8} Ano, protože každé číslo (ze Z 9 ) nesoudělné s 9 generuje podgrupu Z 9. 4 = {1, 4, 7}. 18. Rozhodněte, zda tvoří množina {1, 5} podgrupu grupy Z 12( ). Stručně zdůvodněte. Z 12 = {1, 3, 5, 7, 9, 11} Ano, protože každé číslo (ze Z 12 ) nesoudělné s 12 generuje podgrupu Z 12. 5 = {1, 5}. 19. Rozhodněte, zda lichá čísla tvoří podgrupu grupy Z(+). Stručně zdůvodněte. Ne, protože chybí neutrální prvek (0). 20. Napište, jak vypadají všechny podgrupy grup Z n (+). Stručně zdůvodněte. Triviální podgrupy a grupy generované dělitelama n (každým zvlášť). 21. Napište, jak vypadají všechny podgrupy grupy Z(+). Stručně zdůvodněte. kz, kde k je přirozené číslo. To jsou násobky k. Všechny jsou nekonečné, takže jsou izomorfní s Z(+), a ještě dvě triviální. 4

22. Rozhodněte, zda diagonální matice tvoří podgrupu grupy GL n (Q)( ). Stručně zdůvodněte. GL n (Q)( ) jsou regulární čtvercové matice rozměrů n n. Diagonální jsou čtvercové. Ano. Předpokládáme, že diagonální jsou podmnožinou regulárních čtvercových. Uzavřenost jo, neutrální je jednotková, na diagonále nevytvořím nulu, pokud jeden z prvků není nulou, takže rank nesnížíme, takže mají inverzy. 23. Rozhodněte, zda horní trojúhelníkové matice tvoří podgrupu grupy GL n (Q)( ). Stručně zdůvodněte. Ano. Neutrální je jednotková. Pomocí Gauss-Jordanovy eliminace mohu převést na diagonální matici. Ty jsou podgrupou. 24. Rozhodněte, zda dolní trojúhelníkové matice tvoří podgrupu grupy GL n (Q)( ). Stručně zdůvodněte. Ano... 5. Cyklické grupy Platí, že Z n je cyklická právě tehdy, když n {2, 4, p, p k, 2p k }, kde p je prvočíslo a k je přirozené číslo. 1. Definujte cyklickou grupu. G( ) je cyklická grupa, existuje-li takový prvek z G, že g = G. 2. Uveďte všechny (až na izomorfismus) cyklické grupy. Z(+), Z n (+), kde n je přirozené číslo. 3. Nechť k {1,..., n}. Za jakých podmínek k = Z n? Kolik podgrup řádu k má grupa Z n? Platí-li GCD(k, n) = 1 a k 0 mod n. Z n má jednu podgrupu řádu k, protože pro každé přirozené k, které dělí řád grupy G, existuje právě jedna podgrupa grupy G řádu k. 4. Kolik existuje podgrup konečné cyklické grupy? Tolik, kolik existuje dělitelů řádu grupy. 5. Kolik generátorů obsahuje konečná a kolik nekonečná cyklická grupa? Všechny konečné grupy jsou izomorfní nějakému Z n, to je 1-generované, protože to je cyklická grupa. Z n obsahuje ϕ(n) generátorů (všechna nesoudělná čísla s n). Nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní Z(+) a ta obsahuje 2 generátory (-1,1), takže nekonečná cyklická grupa obsahuje 2 generátory. Ostatní prvky sice mají nekonečný řád, ale negenerují všechna celá čísla. 6. Existují dvě neizomorfní cyklické grupy řádu 123456. Stručně zdůvodněte. Ne. Všechny konečné cyklické grupy jsou izomorfní nějakému Z n, tedy nemohou existovat dvě konečné cyklické grupy s 123456 prvky, které nejsou izomorfní. 7. Existují dvě neizomorfní cyklické grupy řádu 2 1000. Stručně zdůvodněte. Ne. Všechny jsou konečné cyklické grupy jsou izomorfní nějakému Z n, tedy nemohou existovat dvě konečné cyklické grupy s tolika prvky, které nejsou izomorfní. 8. Existují dvě neizomorfní nekonečné cyklické grupy. Stručně zdůvodněte. Ne. Všechny nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní grupě Z(+). 9. Existuje podgrupa či faktorová grupa cyklické grupy, která není cyklická? Ne, všechny jsou cyklické. 10. Obsahuje každá aspoň dvouprvková konečná grupa nějakou konečnou aspoň dvouprvkovou cyklickou podgrupu? Stručně zdůvodněte. Ano. Mám alespoň dva prvky, tak si vezmu ten, který není neutrální. Stále ho mocním a mocním a mocním. Jelikož je ta grupa konečná, tak se musím někdy začít opakovat. Nechť x k x = x i je první zopakovaný prvek, i > 1. Potom ale x k je x i 1 a to je spor, že x i byl první. Takže mi zbývá, že x k x = x 1. Takže prvek x vygeneroval alespoň dva prvky x a x k (ten je neutrální). 11. Obsahuje každá nekonečná grupa nekonečnou cyklickou podgrupu? Stručně zdůvodněte. Ne. Zadefinujeme si nekonečnou grupu, kde každý prvek je sám sobě inverzem. Žádný prvek není nekonečného řádu, takže nenageneruje nekonečnou podgrupu. 1. Uveďte definici algebry a podalgebry. 6. Algebry I množina, zobrazení Ω : I N 0 bude typ. A(α i i I) je algebra typu Ω, je-li A neprázdná a pro každé i I je α i právě Ω(i)-ární operace na A. B je podalgebra, pokud B A a je uzavřená na všechny operace α i, i I. 5

2. Uveďte definici homomorfismu mezi algebrami A(α i i I) a B(β i i I). Zobrazení f : A B budeme říkat homomorfismus, je-li slučitelné se všemi operacemi α i. (A algebry jsou stejného typu.) 3. Uveďte definici izomorfismu mezi algebrami A(α i i I) a B(β i i I). Izomorfismus algeber bude bijektivní homomorfismus příslušných algeber. 4. Pro jaké algebry je prázdná množina podalgebrou? Pro algebry bez nulární operace. Jinak pro žádné. 5. Co znamená, že jsou algebry izomorfní? Algebry jsou izomorfní, pokud mezi nimi existuje izomorfismus. 6. Co znamená, že jsou algebry stejného typu? To znamená, že operacím α i a β i je přiřazeno stejné přirozené číslo. (Mají stejně aritní operace.) 7. Existuje vždy nějaký homomorfismus algebry do sebe? Stručně zdůvodněte. Identita, popř. můžu vždy celé zobrazit na nulární operaci (mám-li jednu) z dané algebry. 8. Existuje vždy nějaký izomorfismus algebry do sebe? Stručně zdůvodněte. Identita, jinak nemusí. 9. Existuje mezi každou dvojicí algeber stejného typu nějaký homomorfismus? Stručně zdůvodněte. Ne. Třeba: * c b a a a b a b * A B A B B B A A 10. Existuje nekonečná algebra obsahující jedinou podalgebru? Stručně zdůvodněte. Ano, když budu mít na algebře nulární operaci, tak její podalgebrou nemůže být prázdná množina. Takže bude pouze jedna podalgebra celá algebra. 7. Kongruence na algebrách 1. Uveďte definici faktorové algebry (včetně značení a definice operací). TODO 2. Definujte kongruenci na algebře. A(α i i I) algebra a ρ ekvivalence na množině A, pak ρ nazveme kongruencí, je-li ρ slučitelná se všemi operacemi α i. 3. Je průnik dvou kongruencí na algebře vždy kongruence? Stručně zdůvodněte. Ano. Vezmeme prvky a i, b i A, pro které platí (a k, b k ) je z průniku. Musí být i v každé kongruenci, neboť (α i (a i ), α i (b i )) je z každé kongruence. 4. Je sjednocení dvou kongruencí na algebře vždy kongruence? Stručně zdůvodněte. Ne. Třeba pro Z 10 : sjednocení rmod podle 2Z 10 a rmod podle 5Z 10. (0,2) je v sjednocení, (0,5) také, ale (0,7) už ne (rozbila se tranzitivita). 5. Definujte slučitelnost ekvivalence s n-ární operací. Je každá ekvivalence slučitelná s každou nulární operací? ρ je ekvivalence a α n-ární operace na množině A. ρ je slučitelná s α, jestliže pro každý systém prvků a 1,..., a n, b 1,..., b n A, kde (a i, b i ) ρ, platí, že (α i (a 1,..., a n ), α i (b 1,..., b n )) ρ. Každá ekvivalence je slučitelná s každou nulární operací. 6. Uveďte větu o homomorfismu pro algebry. Nechť f : A B je homomorfismus dvou algeber stejného typu. Je-li ρ kongruence na A, pak existuje homomorfismu g : A/ρ B splňující podmínku gπ ρ = f právě tehdy, když ρ ker f. 7. Uveďte 1. větu o izomorfismu pro algebry. Nechť f : A B je homomorfismus dvou algeber stejného typu. f(a) je podalgebra B a A/ker f je izomorfní f(a). 8. Uveďte 2. větu o izomorfismu pro grupy a algebry. Nechť ρ σ jsou dvě kongruence na algebře A. Pak algebra A/ρ je izomorfní (A/ρ)/(σ/ρ). 9. Uveďte příklady aspoň dvou kongruencí na desetiprvkové algebře. Identita a kongruence lepící vše. 10. Uveďte příklady aspoň dvou kongruencí na nekonečné algebře. Identita a kongruence lepící vše. 6

11. Uveďte příklad kongruence a podalgebry na algebře A(α i i I). Kongruencí je identita, podalgebra je prázdná množina nebo algebra celá třeba. 12. Existuje nekonečná algebra, na níž je pouze jedna kongruence? Stručně zdůvodněte. Ne, vždy je identita a kongruence, která slepí vše. 13. Kolik existuje neizomorfních konečných algeber, na nichž je pouze jedna kongruence? Stručně zdůvodněte. Nekonečně mnoho, protože algebry, které nejsou stejného typu, nejsou izomorfní. Pro každou aritu operace na první algebře najdu jinak n-ární operaci na druhé algebře. Algebry jsou jednoprvkové (ty mají pouze jednu kongruenci). 8. (Ne)izomorfní algebry 1. Jsou grupy R(+) a R + ( ) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Ano. Zobrazení f definované předpisem a e a. Slučitelnost: a + b e a e b (= e a+b ), neutrální prvek: f(0) e 0 (= 1) 2. Jsou grupy R(+) a R ( ) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Ne. Nejsou zachované vlastnosti operace, konkrétně se liší počet prvků, které se po zoperování rovnají neutrálnímu prvku (v první je pouze 0, v druhé 1 a -1). 3. Jsou grupy Q(+) a Q ( ) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Ne. Nejsou zachované vlastnosti operace, konkrétně se liší počet prvků, které se po zoperování rovnají neutrálnímu prvku (v první je pouze 0, v druhé 1 a -1). 4. Jsou grupy Q(+) a Z Z(+) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Liší se počtem generátorů, první má nekonečně, druhé stačí 4 (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0). 5. Jsou grupy C(+) a R R(+) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Ano. (a, b) a + bi 6. Jsou grupy C ( ) a R R ( ) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Ne. V komplexních číslech je 5 čísel, které po umocnění na pátou dají 1. V R tohle splňuje pouze 1. 7. Jsou grupy Z 2 (+) a Z ( ) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Ano. Z ( ) = { 1, 1}, 1 na 0, -1 na 1 8. Jsou grupy Z 29 (+) a Z 29( ) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Ne, rozdílný počet prvků (inverzů je 28). 9. Jsou grupy Z 19 (+) a Z 20( ) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Ne, liší se velikostí nosných množin. Z 20( ) = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19} 10. Jsou grupy Z 12 (+) a Z 3 Z 4 (+) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Ano, obě jsou 1-generované (v první třeba 7, v druhé třeba (1,1). 11. Jsou grupy Z 16 (+) a Z 4 Z 4 (+) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Ne, protože ta druhá je 2-generovaná (dvojice čísel, které vygeneruju z jednoho prvku, bude mít vždy stejný rozdíl mezi sebou nevygeneruju všechny prvky). 12. Jsou grupy Z 12 (+) a Z 2 Z 6 (+) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Ne, druhá je 2-generovaná (třeba (0,1) a (1,0)). 13. Jsou grupy Z 15 (+) a Z 3 Z 5 (+) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Ano, obě jsou 1-generované (v první třeba 7, v druhé třeba (1,1). 14. Jsou grupy Z 3 (+) a A 3 ( ) izomorfní? Stručně zdůvodněte. Ano. 0 na identitu, zbytek libovolně (prostě). 15. Rozhodněte, zda jsou izomorfní monoidy N(+) a N( ). Stručně zdůvodněte. Ne. Liší se počtem generátorů, pro sčítání to je 1 (a 0), pro násobení všechna prvočísla a mnohé další. 16. Rozhodněte, zda jsou izomorfní monoidy Q( ) a N( ). Stručně zdůvodněte. Ne. V N( ) nejsou inverzy. 17. Rozhodněte, zda jsou izomorfní monoidy Z(+) a Z( ). Stručně zdůvodněte. Ne. V Z( ) nejsou inverzy. 18. Rozhodněte, zda jsou izomorfní algebry Q(, +, 1) a Z(, +, 1). Stručně zdůvodněte. Ne. Z je generované -1 a 1, Q prvočísly a mnohým dalším. 7

19. Rozhodněte, zda jsou izomorfní monoidy N( ) a Z( ). Stručně zdůvodněte. Ne. V N má inverz pouze 1, v Z ještě -1. 1. Definujte těleso. 9. Okruhy a tělesa (Komutativní) těleso je (komutativní) okruh, pro který platí, že všechny prvky R\{0} jsou invertibilní a 0 1. 2. Definujte okruh. Okruh je algebra R(+,,, 0, 1), kde R(+) je komutativní grupa s neutrálním prvkem 0 a operací opačného prvku, R( ) je monoid s neutrálním prvkem 1 a pro každé a, b, c R platí distributivita a (b + c) = a b + a c a (a + b) c = a c + b c. Okruh je komutativní, pokud je komutativní. 3. Definujte pravý a levý ideál okruhu. R(+,,, 0, 1) okruh, I R je levý (pravý) ideál okruhu R, jestliže je I podgrupa R(+) a pro každé i I, r R platí, že r i I (resp. i r I). 4. Definujte ideál okruhu. Množinu nazveme ideálem, je-li pravým a levým ideálem zároveň. 5. Charakterizujte, které okruhy jsou tělesa pomocí pojmu pravý a levý ideál. R je těleso, právě tehdy když R neobsahuje žádný vlastní levý či pravý ideál. 6. Popište maximální ideály oboru polynomů nad tělesem. Všechny násobky ireducibilního (jednoho) polynomu. 7. Zformulujte algoritmus dělení se zbytkem nad okruhem polynomů nad oborem. TODO 8. Uveďte příklad okruhu a nějakého ideálu. Okruh Z(+, ), ideál sudá čísla. 9. Uveďte příklad okruhu, který není tělesem. Okruh Z(+, ). 10. Popište vztah množiny kongruencí a ideálů okruhu. Jsou si izomorfní. 11. Popište všechny ideály okruhu celých čísel. Splývá to s pojmem podgrupy Z(+), takže všechny kz. 12. Najděte aspoň tři kongruence na okruhu celých čísel. Identita, slepím vše, slepím sudá a slepím lichá. 10. Uspořádané množiny a svazy 1. Buď (X, ) uspořádaná množina a A X. Definujte supremum množiny A. Supremem množiny A budeme rozumět nejmenší prvek množiny {n X a A : a n} 2. Buď (X, ) uspořádaná množina a A X. Definujte infimum množiny A. Infimem množiny A budeme rozumět největší prvek množiny {n X a A : n a} 3. Buď (X, ) uspořádaná množina a A X. Definujte největší a nejmenší prvek. Řekneme, že x A je nejmenší (resp. největší) prvek množiny A, jestliže x a (resp. a x) pro všechna a A. 4. Definujte svaz a úplný svaz pomocí relace uspořádání. Dvojice (M, ) je svaz, pokud pro každé dva prvky a, b A existuje supremum a infimum množiny {a, b}. Svaz je úplným svazem, existuje-li supremum a infimum každé podmnožiny množiny M. 5. Definujte distributivní svaz. O svazu S(, ) řekneme, že je distributivní, paltí-li pro každé a, b, c S rovnost a (b c) = (a b) (a c) 6. Uveďte definici svazu jako algebry. TODO 8

7. Definujte Booleovu algebru. Booleovou algebrou nazveme takovou algebru S(,, 0, 1, ), že S(, ) je distributivní svaz s největším prvkem 1 a nejmenším prvkem 0 a unární operace přiřadí každému prvku jeho komplement. 8. Definujte komplement prvku ve svazu. Je komplement vždy nejvýše jeden? Stručně zdůvodněte. Komplementem prvku a S nazveme takový prvek a S, že a a = 1 a a a = 0. Ne. Protipříklad: dole nula, zní do a, do b, do c. Z nich do 1 nahoře. Mezi nimi nic. Komplementem a je b i c. 9. Definujte monotónní zobrazení a homomorfismus svazů. Nechť f : A B je zobrazení a (A, ) a (B, ) jsou svazy. Řekneme, že f je homomorfismus, jde-li o homomorfismus algeber A(, ) a B(, ). f je monotónní zobrazení, platí-li implikace a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ). 10. Charakterizujte izomorfismy svazů pomocí monotonie. Bijekce svazů f je izomorfismus právě tehdy, když jsou f i f 1 monotónní zobrazení. 11. Je každé monotónní zobrazení svazů homomorfismus? Stručně zdůvodněte. Ne. 12. Je každá monotónní bijekce mezi svazy izomorfismus? Stručně zdůvodněte. Ne. 13. Je každý homomorfismus svazů monotónní zobrazení? Stručně zdůvodněte. Ano. 14. Uveďte příklad uspořádání na dvou prvcích, které není svazem. Identita. 15. Uveďte příklad tříprvkového svazu. ({1, 2, 3}, } 16. Uveďte lineárně uspořádanou množinu (tj. a, b buď a b nebo b a), která není úplným svazem. N nebo R. 17. Tvoří konečné podmnožiny N svaz vzhledem k uspořádání? Stručně zdůvodněte. Ano, potenční množina s inkluzí tvoří vždy svaz. 18. Tvoří konečné podmnožiny N úplný svaz vzhledem k uspořádání? Stručně zdůvodněte. Ne, protože N nemá supremum (sjednocení konečných podmnožin nemusí být konečné.) 19. Tvoří podmnožiny N svaz vzhledem k uspořádání? Stručně zdůvodněte. Ano. 20. Je každá lineárně uspořádaná množina svaz? Stručně zdůvodněte. Ano, protože každé dva prvky jsou porovnatelné a supremum je max z těch dvou, infimum je min z těch dvou. 21. Je každá lineárně uspořádaná množina úplný svaz? Stručně zdůvodněte. Ne N či R (nemají supremum). 22. Uveďte příklad 8-prvkové Booleovy algebry. Potenční množina pro {0, 1, 2}. 23. Uveďte příklad 4-prvkové Booleovy algebry. Potenční množina pro {0, 1}. 24. Uveďte příklad 16-prvkové Booleovy algebry. Potenční množina pro {0, 1, 2, 3}. 11. Eulerova funkce a Eukleidův algoritmus (2 body) Výpočet Eulerovy funkce: Buď p r1 1 pr2 2... pr k k prvočíselný rozklad čísla n. Potom ϕ(n) = Π k i=1 (p i 1)p ri 1 i 1. Spočtěte hodnotu Eulerovy funkce ϕ(1200). Prvočíselný rozklad 1200: 2 4 3 5 2. Výpočet: 1(2 3 ) 2(3 0 ) 4(5 1 ) = 320 2. Spočtěte hodnotu Eulerovy funkce ϕ(1008). Prvočíselný rozklad 1008: 2 4 3 2 7. Výpočet: 1(2 3 ) 6(7 0 ) 2(3 1 ) = 288 9

3. Spočtěte hodnotu Eulerovy funkce ϕ(2250). Prvočíselný rozklad 2250: 2 3 2 5 3. Výpočet: 1(2 0 ) 2(3 1 ) 4(5 2 ) = 600 4. Spočtěte hodnotu Eulerovy funkce ϕ(2310). Prvočíselný rozklad 2310: 2 3 5 7 11. Výpočet: 1 2 4 6 7 = 480 5. Spočtěte 11 1 v monoidu Z 24 ( ). Použijeme Eulerovu větu přenásobenou inverzem (11 a 24 nejsou soudělná). 11 je hledaný inverz. 6. Spočtěte 13 1 v monoidu Z 19 ( ). 3 je hledaný inverz. 7. Spočtěte 5 1 v monoidu Z 22 ( ). 9 je hledaný inverz. 8. Spočtěte 7 1 v monoidu Z 23 ( ). 10 je hledaný inverz. 9. Spočítejte, kolik invertibilních prvků obsahuje monoid Z 888 ( ). Rovná se to ϕ(888) = 288. 10. Spočítejte, kolik invertibilních prvků obsahuje monoid Z 999 ( ). Rovná se to ϕ(999) = 648. 11. Spočítejte, kolik invertibilních prvků obsahuje monoid Z 777 ( ). Rovná se to ϕ(777) = 432. 12. Spočítejte, kolik generátorů obsahuje cyklická grupa řádu 870. Rovná se to ϕ(870) = 224. 13. Spočítejte, kolik generátorů obsahuje cyklická grupa řádu 880. Rovná se to ϕ(880) = 640. 14. Spočítejte, kolik generátorů obsahuje cyklická grupa řádu 1300. Rovná se to ϕ(1300) = 480. 12. Svazy podgrup, homomorfismy cyklických grup (2 body) 1. Uveďte všechny podgrupy grupy Z 12 (+). Triviální (celá, {0}), podgrupy generované dělitelama (2, 3, 4, 6). 2. Uveďte všechny podgrupy grupy Z 18 (+). Triviální (celá, {0}), podgrupy generované dělitelama (2, 3, 6, 9). 3. Uveďte všechny podgrupy grupy Z 16 (+). Triviální (celá, {0}), podgrupy generované dělitelama (2, 4, 8). 4. Uveďte všechny podgrupy grupy Z 50 (+). Triviální (celá, {0}), podgrupy generované dělitelama (2, 5, 10, 25). 5. Uveďte všechny podalgebry algebry Z 40 (+, 0). Podmnožina a uzavřené, takže jako u grup. Triviální, generované dělitelama 2, 4, 5, 8, 10, 20), ale každá musí obsahovat 0 (což už obsahuje). 6. Uveďte všechny podalgebry algebry Z 999 (+, 1). Každá musí obsahovat 1, takže každá obsahuje generátor. Tudíž je pouze jedna celá algebra. 7. Kolik kongruencí existuje na algebře Z 24 (+). Kongruence určuje jednu podgrupu, takže je to stejné, jako kolik existuje podgrup Z 24 (+). 8 (triviální, dělitelé 2, 3, 4, 6, 8, 12) 8. Kolik kongruencí existuje na algebře Z 20 (+). 6 (triviální, dělitelé 2, 4, 5, 10) 9. Kolik kongruencí existuje na algebře Z 30 (+, ). Opět dělitelé 30 určují, násobení nemá vliv. Bude jich 8. 10

10. Kolik kongruencí existuje na algebře Z 90 (+, 0, 1. 8 (triviální, dělitelé 2, 3, 9, 10, 30, 45 11. Kolik existuje homomorfismů grupy Z 30 (+) do grupy Z 50 (+)? GCD(30, 50) = 10 12. Kolik existuje homomorfismů grupy Z 50 (+) do grupy Z 70 (+)? GCD(50, 70) = 10 13. Kolik existuje homomorfismů grupy Z 12 (+) do grupy Z 24 (+)? GCD(12, 24) = 12 14. Kolik existuje prostých homomorfismů grupy Z 30 (+) do grupy Z 90 (+)? ϕ(gcd(30, 90)) = 8, GCD(30, 90) = 30, ϕ(30) = 1 2 4 = 8 15. Kolik existuje prostých homomorfismů grupy Z 2 (+) do grupy S 4 ( )? 9 0 na identitu, 1 na libovolnou transpozici (jsou 6) či dvojtranspozici (3). 16. Kolik existuje prostých homomorfismů grupy Z 3 (+) do grupy S 4 ( )? 8 0 na identitu, 1 a 2 mají řád 3 a to mají pouze trojcykly. Trojcyklů je 8, takže máme 8 způsobů jak zobrazit jeden prvek, druhý je určen. 17. Kolik existuje prostých homomorfismů grupy Z 4 (+) do grupy S 4 ( )? 6. S 4 ( ) obsahuje 6 čtyřcyklů, každý nageneruje jednu podgrupu řádu 4 izomorfní Z 4. 18. Nakreslete svaz kongruencí grupy Z 30 (+). Kongruence určuje jednu podgrupu Z 30 (+). Podgrupy jsou určené dělitelama. TODO obrázek. 13. Lagrangeova věta, podgrupy a kongruence cyklických grup (2 body) Nějaká permutace má takový řád (vygeneruje tolik prvků), kolik je nejmenší společný násobek délek cyklů. 1. Kolik podgrup a kolik kongruencí má grupa Z 80 (+)? Odůvodněte. 10 a 10 (1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80) Stejně obojího, protože jde o komutující grupu, tj. kongruence přesně určuje podgrupu. 2. Kolik podgrup a kolik kongruencí má grupa Z 121 (+)? Odůvodněte. 3 a 3 3. Kolik podgrup a kolik kongruencí má grupa Z 100 (+)? Odůvodněte. 9 a 9 4. Kolik podgrup a kolik kongruencí má grupa Z 333 (+)? Odůvodněte. 6 a 6 5. Kolik normálních podgrup má grupa S 3 ( )? Odůvodněte. S 3 = {id, (123), (132), (12)(3), (13)(2), (23)(1)} Z Lagrangeovy věty musí index podgrupy dělit řád grupy, tj. můžeme hledat grupy řádu 2 a 3. Budou cyklické, takže hledáme prvky těchto řádů. Oba trojcykly jsou řádu 3 a generují stejnou množinu, ostatní prvky jsou řádu dva (kromě identity). Ověříme definici normálnosti vezmeme nějaký prvek z S 3, který není v dané množině (o které zjišťujeme, jestli je normální podgrupou). (13) (12) (31) = (1)(23) / H (12) (13) (21) = (1)(23) / H (13) (23) (31) = (12)(3) / H Má 3 normální podgrupy sebe, identitu a A 3. 6. Kolik podgrup řádu 4 má grupa S 4 ( )? Odůvodněte. Našla sem 3 podgrupy řádu 4 (s různýma prvkama), ale tabulka operace na prvcích je stejná. Podgrupy si jsou izomorfní. Jsou to konečné cyklické grupy se 4 prvkama, takže jsou izomorfní Z 4. Ještě je třeba Kleinova podgrupa (izomorfní Z 2 Z 2 ). Víc jich není, protože jsou jen 2 na 4 prvcích. 7. Kolik podgrup řádu 5 má grupa S 4 ( )? Odůvodněte. Žádnou. Z Lagrangeovy věty vyplývá, že řád podgrupy musí dělit řád grupy a 24 není dělitelné 5. 8. Kolik podgrup řádu 3 má grupa S 5 ( )? Odůvodněte. Je tam 20 trojcyklů (( 5 3) 2 ), ty mají řád 3. Trojcykly jsou v párech, takže podgrup je 10. 11

9. Kolik podgrup řádu 4, 5 a 6 má grupa Z 8660 (+)? Odůvodněte. Řádu 4 podgrupa musí být cyklická, takže izomorfní Z 4. A ta tam je jedna, generovaná 2165 (8660/4). Řádu 5 podgrupa cyklická, takže izom. Z 5, takže 8660/5. Víc ne, protože cyklické jsou všechny izom. Řádu 6 žádnou, protože 6 nedělí 8660. 10. Kolik podgrup řádu 4, 5, 6 a 7 má grupa Z 1200 (+)? Odůvodněte. Zbylých od každé 1. Řádu 7 žádnou, protože 7 nedělí 1200. 11. Kolik podgrup řádu 4, 5 a 6 má grupa Z 333 (+)? Odůvodněte. Nemá žádnou podgrupu daných řádů, protože ani jeden nedělí 333. 12. Kolik podgrup řádu 13 má grupa Q ( )? Odůvodněte. Grupa je nekonečná, každý prvek má nekonečný řád (kromě 1 řádu 1, -1 řádu 2), takže neexistuje nic, co by nagenerovalo grupu řádu 13. 13. Kolik podgrup řádu 2 má grupa Q ( )? Odůvodněte. Grupa je nekonečná, každý prvek má nekonečný řád (kromě 1 řádu 1, -1 řádu 2), takže pouze jednu { 1, 1}. 14. Kolik podgrup řádu 3 má grupa C ( )? Odůvodněte. Je to všechno až na nulu. Podgrupou budou třetí odmocniny z čísla (trojúhelník kolem počátku). Bude jedna s prvky (1, 1 2 + 3 1 2 i, 2 3 2 i) 15. Rozhodněte, zda grupa S 6 ( ) obsahuje podgrupu řádu a) 5, b) 8. Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, vysvětlete. Pěticyklus nageneruje podgrupu izomorfní Z 5. Řádu osm, generátory jsou (12), (34), (56). 16. Rozhodněte, zda grupa S 5 ( ) obsahuje podgrupu řádu a) 5, b) 6. Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, vysvětlete. Pěticyklus nageneruje podgrupu izomorfní Z 5. Řádu 6, generátory jsou (12)(345). 17. Rozhodněte, zda grupa S 5 ( ) obsahuje podgrupu řádu a) 4, b) 7. Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, vysvětlete. Čtyřcyklus nageneruje podgrupu izomorfní Z 4. Řádu 7 žádnou, protože 7 nedělí 120. 18. Rozhodněte, zda grupa A 4 ( ) obsahuje podgrupu řádu a) 4, b) 5. Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, vysvětlete. Řádu 4 je Kleinova, generovaná dvěma nezávislýma dvojtranspozicema. Řádu 5 žádnou, protože 5 nedělí 12. 19. Rozhodněte, zda grupa A 5 ( ) obsahuje podgrupu řádu a) 4, b) 5. Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, vysvětlete. Řádu 4 je Kleinova, generovaná dvěma nezávislýma dvojtranspozicema. Řádu 5 pěticyklus. 14. Generátory cyklických grup, příklady grup (2 body) 1. Je grupa S 3 ( ) cyklická? Zdůvodněte. Není, protože cyklická grupa řádu k musí obsahovat prvek řádu k. S n mají řád n!, ale prvek tohoto řádu tam není (platí od S 3 a A 4 dál). Když S n bude cyklická, musí být cyklická i každá její podgrupa, takže i S 3. Ta není (ukážeme bruteforcem). 2. Je grupa S 4 ( ) cyklická? Zdůvodněte. Není, protože cyklická grupa řádu k musí obsahovat prvek řádu k. S n mají řád n!, ale prvek tohoto řádu tam není (platí od S 3 a A 4 dál). Když S n bude cyklická, musí být cyklická i každá její podgrupa, takže i S 3. Ta není (ukážeme bruteforcem). 3. Je grupa A 4 ( ) cyklická? Zdůvodněte. Není, protože cyklická grupa řádu k musí obsahovat prvek řádu k. S n mají řád n!, ale prvek tohoto řádu tam není (platí od S 3 a A 4 dál). Tady to půjde bruteforcem. 4. Je grupa Q(+) cyklická? Zdůvodněte. Ne, protože není 1-generovaná. 5. Je grupa Q ( ) cyklická? Zdůvodněte. Ne, protože není 1-generovaná (potřebuje alespoň všechna prvočísla). 6. Je grupa Z 9 Z 3 (+) cyklická? Zdůvodněte. Ne, není prvek řádu 27 (každý má řád 9). 7. Je grupa Z 9 Z 12 (+) cyklická? Zdůvodněte. Ne, není prvek řádu 9*12 (každý má řád nejvýš 36 = lcm(9, 12)). 12

8. Je grupa Z 9 Z 14 (+) cyklická? Zdůvodněte. Ano, z čínské věty je izomorfní Z 126. 9. Je grupa Z10( ) cyklická? Zdůvodněte. Ano. Generuje ji třeba 3. 10. Je grupa Z Z(+) cyklická? Zdůvodněte. Ne, nenagenerujeme nic, co by mělo jinak odlišné souřadnice než na začátku. 11. Je grupa Z ( ) cyklická? Zdůvodněte. Ano, je izomorfní Z 2. 12. Je podgrupa 3Z grupy Z(+) cyklická? Zdůvodněte. Ano, 3 je generátor. 13. Určete řád podgrupy generované prvkem 66 v grupě Z 147 (+). 147 vydělím GCD(66, 147) = 3, tj. řád bude 49. 14. Určete řád podgrupy generované prvkem 27 v grupě Z 300 (+). 300/3 = 100. 15. Generuje prvek 2 grupu Z9 ( )? Zdůvodněte. Ano. 16. Generuje prvek 4 grupu Z15( )? Zdůvodněte. Ne. Není cyklická. 17. Generuje prvek 7 grupu Z50( )? Zdůvodněte. Ne. 18. Generuje prvek 27 grupu Z152( )? Zdůvodněte. Ne, není cyklická. 19. Generuje prvek 27 grupu Z153( )? Zdůvodněte. Ne, není cyklická. 20. Generuje prvek 16 grupu Z 170 (+)? Zdůvodněte. Musí platit, že generátor Z n je nesoudělný s n, ale GCD(16, 170) = 2.) 21. Generuje prvek 16 grupu Z 171 (+)? Zdůvodněte. Ano, protože 16 je nesoudělné se 171. 22. Generuje prvek 16 grupu Z170( )? Zdůvodněte. Ne, není cyklická. 23. Generuje prvek 16 grupu Z171( )? Zdůvodněte. Ne, není cyklická. 24. Generuje prvek 16 grupu Z256( )? Zdůvodněte. Je cyklická (izom. Z 128 ), ale 16 je soudělná, takže není generátorem. 25. Existuje nekomutativní 6-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. S 3 26. Existuje nekomutativní 7-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Protože 7 je prvočíslo a každá grupa prvočíselné velikosti je cyklická, takže ekvivalentní nějakému Z n, takže komutativní. 27. Existuje nekomutativní 8-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Ano. Dihedrální grupa pro čtverec (grupa symetrií čtverce) 4 osové souměrnosti, 4 rotace (resp. 3 a identita). 28. Existuje nekomutativní 12-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. A 4 nebo dihedrální pro šestiúhelník 29. Existuje nekomutativní nekonečná grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Grupa regulárních matic stupně n nad reálnýma číslama. 30. Existuje nekomutativní necyklická 8-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Ano. Dihedrální grupa pro čtverec (grupa symetrií čtverce) 4 osové souměrnosti, 4 rotace (resp. 3 a identita). 13

31. Existuje nekomutativní necyklická 11-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Protože 11 je prvočíslo a každá grupa prvočíselné velikosti je cyklická, takže ekvivalentní nějakému Z n, takže komutativní. 32. Existuje 100-prvková grupa obsahující podgrupu řádu 12? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Ne, 12 nedělí 100. 33. Existuje 99-prvková grupa obsahující podgrupu řádu 8? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Ne, 8 nedělí 99. 34. Existuje 99-prvková grupa obsahující podgrupu řádu 9? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Ano, vezmu Z 99 a z ní 11Z 99. 35. Existuje 74-prvková grupa obsahující podgrupu řádu 10? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Ne, 10 nedělí 74. 36. Existuje 64-prvková grupa, která má 16-prvkovou podgrupu? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Ano, vezmu Z 64 a z ní 4Z 64. 37. Existuje 70-prvková grupa, která má 15-prvkovou podgrupu? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Ne, 15 nedělí 70. 38. Existuje 60-prvková grupa, která má 15-prvkovou podgrupu? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Ano, vezmu Z 60 a z ní 4Z 60. 15. Dokazovací příklady (7 bodů) 1. Je-li G( ) konečná cyklická grupa a A, B její podgrupy, dokažte, že A B = GCD( A, B ). Můžete k tou použít všechna tvrzení z přednášky (nezapomeňte je správně ocitovat). 2. Dokažte, že aspoň dvouprvkový okruh je (obecně nekomutativní) tělese právě tehdy, když obsahuje právě dva levé ideály. 14