Dynamia soustavy hmotných bo Tento velmi ležitý fyziální oem slouží e stuiu a moelování ohybu eálných obet složených z neatných hmotných ástic tlesa evná, aalná i lynná, nebo soustav tles, eichž veliosti lze o ibližné ešení zanebat slunení soustava. Definume zálaní aamety soustavy hmotných bo :. hmotný bo. hmotnosti m. má olohu. ychlost v. a hybnost m v. hmotný bo. hmotnosti m. má olohu. ychlost v. a hybnost m v. hmotný bo. hmotnosti m. má olohu. ychlost v. a hybnost m v. hmotný bo. hmotnosti m. má olohu. ychlost v. a hybnost m v.. -tý hmot.bo. hmotnosti.. -tý hmot.bo. hmotnosti m. má olohu. ychlost m. má olohu. ychlost v. a hybnost v. a hybnost m m v v m m m m Uvažme ále, aé síly sobí na libovolný hmotný bo soustavy naíla na uhý, viz ob. : o obet vn soustavy tzv. vnší síly o ostatních hmotných bo soustavy tzv. vnitní síly,,,,
Po ažý hmotný bo a naíšeme ewtonovu ohybovou ovnici v naé ineciální souané soustav : Dostáváme ta celem ovnic, teé všechny seteme ohomay t. seteme všechny eich levé stany a všechny eich avé stany : Poslení len na avé stan e fomáln zasaný souet všech vnitních sil v naší soustav hmotných bo. Pole. ewtonova záona e ažé enotlivé vnitní síle v tomto soutu vžy existue eí sten veliá a oan oientovaná eace viz ob. : Souet tchto vou sil e tey vžy nulový : Potože nezáleží na oaí sítanc, mžeme si estavit, že setení všech vnitních sil se usutení áv o tchto voicích, což vee enoznanému výsleu celého tohoto soutu : souet všech vnitních sil e nulový
Potože vnitní síly soustavy hmotných bo ve vtšin ía neznáme a o eich velý oet ani nelze oítat s eich naíla zmením, otom eich výslená nulovost vlastn otevíá einou možnou cestu, a oaovat v ešení naší soutové ovnice, teá má nyní výazn zenoušenou avou stanu : Jestliže efinume nové fyziální veliiny : P m v m celová hybnost soustavy výslená vnší síla Potom o úav levé stany ovnice, za oužití zálaních aviel o eivaci soutu funcí, vznine velmi enouchý vztah, oobný obyené ohybové ovnici o een hmotný bo : P. vta imulzová Slovní vyáení : asová zmna celové hybnosti soustavy hmotných bo za enotu asu e ovna výslené vnší síle. ebo ina : Zmnu celové hybnosti soustavy e možno osáhnout ouze omocí vnších sil, t. sil sobících z oolí soustavy. Tey aoliv velé síly vnitní aéoliv ovahy mechanicé, eletomagneticé, chemicé, a aéhooliv chaateu síly sobící omalu, ychle, exlosivn, niy neoážou zmnit celovou hybnost soustavy i yž samozem zmní enotlivé hybnosti hmotných bo. Pozn. : ezaomeme, že tento významný a enouchý teoeticý vztah byl osažen en íy latnosti tetího ewtonova záona - záona ace a eace. Bohužel fomální enouchost vní imulzové vty e vyouena omliovaností veliin na obou stanách ovnice sou tvoeny soutem obovsého otu enotlivých len u eálných tles áu Avogaova ísla, a oto taé není ihne zemé, aý e eí aticý význam. Situace se více vyasní teve o zaveení omu hmotný ste tžišt soustavy :
Uvažme, že v. vt imulzové sou vlastn všechny vnší síly nahazeny einou výslenou silou - a všechny hybnosti soustavy nahazue einá výslená hybnost. Pousme se oto taé všechny hmotné boy nahait einým hmotným boem, teému bychom iaili výslenou hybnost a ve teém by bylo sobišt výslené síly. Tento myšlený hmotný bo - hmotný ste tžišt soustavy teý bue eezentovat celou soustavu hmotných bo, musí mít ovnž efinovanou svoi hmotnost - ist i oložíme ovnou celové hmotnosti všech hmotných bo soustavy : m o m m m m m m hmotnost tžišt Jestliže ále oznaíme : o oloha voi tžišt Pa mžeme stanovit ychlost tžišt ao eivaci eího voie : o vo ychlost tžišt Taé hybnost tžišt mžeme stanan ole efinice vyáit ao : o o m vo m hybnost tžišt A ole výchozí úvahy se tato hybnost musí ovnat celové hybnosti soustavy : o P hybnost tžišt e ovna celové hybnosti Po osazení na obou stanách : o m m A oužitím zálaních aviel o eivacích ostaneme ovnici : m o m Z ovnosti eivací a lyne ovnost funcí ale až na libovolnou onstantu : m o m onst
Pi stananí volb nulové onstanty a obžíme bžn oužívaný vztah o olohu hmotného steu tžišt soustavy hmotných bo : o m m oloha hmotného steu tžišt soustavy Pvon libovolná onstanta vlastn znamenala, že za sobišt výslené síly by bylo možno ovažovat aýoliv bo v ostou, ale volba nulové onstanty ináší násleuící význanou vlastnost tžišt soustavy hmotných bo : K eímu obasnní oužieme tzv. tžišovou soustavu souanic mžeme i oznait S, t. taovou soustavu atézsých os, eíž oáte O oložíme áv o tžišt soustavy hmotných bo viz ob. : m m S m 5 m O m m V této vztažné soustav e ale voi tžišt nulový : o m m A tey latí o vynásobení ovnice hmotností : m yní ešt vynásobíme sumu vetoov zava - t. ažý eí len - vetoem tíhového zychlení : m g 5
A o esunu saláu ve vetoovém souinu vznine už velmi názoný vztah : m g Potože souiny tíhového zychlení a hmotností enotlivých bo sou tíhy tchto hmotných bo, mžeme naonec nasat : G ovnováha moment tíhových sil vzhleem tžišti Tento vztah znamená, že souet moment tíhových sil všech hmotných bo soustavy vzhleem tžišti e nulový. Tíhové gavitaní síly sou vnší síly ané soustavy a ostáváme ta enu z omíne liové ovnováhy tlesa viz násleuící aitola Aliace imulsových vt. Ja v násleuící aitole ále uviíte, e uhou omínou ovnovážného stavu ešt ovnováha sobících sil, tey nulový souet všech vnších sil, což se á zaistit oeením tlesa v tžišti nebo eho zavšením v tžišti - uvažte, že tím se nezmní nulovost moment - a soustava hmotných bo tleso musí zstat v liu viz ob.. m m 6 G 6 Tžišt e ta ovnovážným boem tlesa, oto mžeme o n enouše umístit veto celové tíhy tlesa ao výslenice gavitaních tíhových sil sobících na všechny boy tlesa a to bez oateného silového momentu ten bychom museli iat i umístní tíhy o naého iného bou - viz ot násleuící aitola. Tey : Tžišt tlesa e neenoušší sobišt gavitaní tíhy tlesa. A taé : Tžišt e ovnovážným boem tlesa. 6
Dále uvažme : estliže sme efinovali tžišt ao hmotný bo, ve teém e soustena hmotnost celé soustavy hmotných bo, ehož hybnost e ovna celové hybnosti a na teý sobí výslenice vnších sil - otom. vta se stává taé ohybovou ovnicí tohoto hmotného bou - tey tžišt soustavy : P o ebo zasáno omocí olohového vetou tžišt : m o ohybová ovnice tžišt Slovní vyáení : Tžišt se ohybue ao hmotný bo o hmotnosti celé soustavy, na teý sobí výslená vnší síla. Vyešením této ohybové ovnice otom mžeme zísat áhu tžišt soustavy hmotných bo ían eho oamžitou ychlost a zychlení. Dáha einého bou, by bou význaného, nemže ovšem osat obecn složitý ohyb celé soustavy - om secificého íau, yž by se všechny hmotné boy soustavy ohybovaly steným zsobem stenou ychlostí na geometicy stených ahách ao tžišt. Taový ohyb soustavy hmotných bo tlesa e a zcela uen ohybem tžišt a oznaue se ao osuvný ohyb tanslace tlesa. žeme tey onstatovat : Pvní vta imulzová, ao ohybová ovnice tžišt, uue tanslaci soustavy hmotných bo. ebo ina : Pvní imulzová vta e ohybovou ovnicí tanslace. Dáhy hmotných bo tlesa a tžišt mohou být i tanslaci a ímoaé na. vozilo ohybuící se na ímé áze, ta i ivoaé na. zavšené loiy na Rusém ole, balisticé yvalo, uzo oítaové myši na obazovce. Obecn e ale ohyb tles složitší než ouhá tanslace : Všimnme si naíla automobilu eoucího o silnici eho tžišt itom sice sleue tva silnice - ohybue se tey o naé soité ivce áhy, teá uue možnou tanslaci, ale auto ao cele ozhon tanslaci neoná, nebo eho natáení i zmnách smu ízy e vlastn loální otaní ohyb. S využitím znalostí o geometii ive lze ez auta zatáou osat ao otaci olem svislé osy, teá ochází steem íslušné osulaní užnice ivy áhy tžišt. Tento ois nám sice zevn 7
uazue zásan ležitou soitost tanslaního ohybu tžišt s ohybem otaním, ale eho matematicé vyáení by bylo velmi omliované. Pozn. : ebo om áhy tžišt bychom museli stanovit ešt áhu steu osulaní užnice, teá by asi inesla naé otíže, naíla svou nesoitostí v inflexních boech áhy tžišt, a ozhon by nelatil zálaní tva ovnice o otaci vli neineciální soustav souanic soené se steem osulaní užnice. aštstí e ale taé možné si namísto této sutené otace estavit, že automobil v zatáce oná tanslaní ohyb aný ohybem tžišt a itom se souasn natáí - t. otue - olem svislé osy, teá ochází tžištm. Uazue se, že taový ozla obecného ohybu evného tlesa na tanslaci anou ohybem tžišt a otaci olem osy oucí tžištm e vžy oveitelný - u nesložitších ostoových ohyb e samozem áha tžišt tvoena -ozmnou ivou a sm otaní osy e obecn olišný v ažém míst této áhy. Obecný ohyb tlesa e složený z tanslace a otace olem osy oucí tžištm. Pozn. : ahazení otaní osy oucí steem osulaní užnice myšlenou osou v tžišti e itom ist velmi výhoná, nebo u obecného ivoaého ohybu se oloha steu osulaní užnice i eí olom neustále mní. atematicý az nezávislosti této otace na tanslaci a z toho lynoucí enoznanosti ozlau obecného ohybu e oveen v násleuící aitole. aše vní imulzová vta ao ohybová ovnice tanslace tey oisue ouze enu ást obecného ohybu soustavy hmotných bo tlesa. To znamená, že o ois uhé ásti obecného ohybu soustavy - ohybu otaního - bue ešt nutno sestavit naou analogicou ohybovou ovnici otace. eml by to být zásan obtížný úol, otože sme iž íve, v aitole Dynamia hmotného bou ovoili tzv. ohybovou ovnici o otaci enoho hmotného bou : b Tato ovnice ist latí o libovolný hmotný bo soustavy, uvomme si tey neve, a máme fomáln esn efinovat moment eho hybnosti a moment síly, teá na n sobí : b mv m moment hybnosti -tého bou soustavy moment síly sobící na -tý bo soustavy 8
9 Pohybovou ovnici o otaci nyní naíšeme o ažý hmotný bo soustavy v naé ineciální soustav souanic a sten ao i ovození vní imulzové vty ozlíme sobící sílu na vnitní a vnší : b b b... b.... b.... b Dostáváme ta celem ovnic, teé ot všechny seteme ohomay : b b b b Poslení len na avé stan e fomáln zasaný souet moment všech vnitních sil v naší soustav hmotných bo. Tento souet e sten nulový, ta ao byl nulový souet všech vnitních sil, nebo e ažému momentu naé enotlivé vnitní síly existue sten veliý a oan oientovaný moment eí eace ouste se oázat s využitím obázu : O m m
Soutová ovnice se tey zenouší na tva : b b b b Jestliže ále nov efinueme celový moment hybnosti soustavy hmotných bo a výslený moment všech vnších sil ao : B b b b b b b m celový moment hybnosti výslený moment vnších sil Potom za oužití zálaních aviel o eivaci vznine z naší soutové ovnice alší velmi ležitý vztah, na vní ohle osti oobný obyené ovnici o otaci enoho hmotného bou - to e obé o zaamatování, ale neehlénte olišnosti : B. vta imulzová Slovní vyáení : asová zmna celového momentu hybnosti soustavy hmotných bo e ovna výslenému momentu vnších sil. Pole vní vty iž víme, že aoliv velié vnitní síly aéoliv ovahy a aéhooliv chaateu niy neoážou zmnit celovou hybnost soustavy - a nyní taé viíme, že tyto síly neoážou zmnit ani celový moment hybnosti soustavy i yž samozem zmní enotlivé momenty hybnosti hmotných bo. alezený vztah uhá vta imulzová - má zásaní ležitost zeména i zoumání otaního ohybu soustav hmotných bo, iemž v ía otace tuhého tlesa olem evné osy lze levou stanu ovnice ešt výazn zenoušit viz aitola Dynamia tuhého tlesa. Jeí onétní oužití o ois otace ao uhé ásti obecného ohybu soustav hmotných bo a bue secifiováno v násleuící aitole Aliace imulzových vt. žeme tey zenoušen tvit : Duhá imulzová vta e ohybovou ovnicí otace.
Uvomme si závem, že a. vtu imulzovou ta i.vtu sme zísali íy latnosti tetího ewtonova záona ace a eace a že latí v libovolné ineciální vztažné soustav souanic. Ob imulzové vty sou tey invaiantní nemnné vzhleem e Galileov tansfomaci a ina, vžy byly ovozeny ímo z ewtonových ohybových ovnic. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- onec aitoly K. Rusá, veze /6 ev. /7