Keplerova úloha. Abstrakt: Článek řeší problém pohybu planety (Země) kolem Slunce.

Transkript

1 Kepleova úloha Keple-2c.TEX Abstakt: Článek řeší poblém pohybu planety (Země) kolem Slunce. Úplná úloha: co zanebáme Chceme vyšetřit pohyb planety, např. Země, v naší sluneční soustavě. Jako jeinou sílu bueme uvažovat gavitační inteakci mezi Zemí a Sluncem. Úlohu bueme řešit klasicky (neelativisticky) a zanebáme řau alších okolností: ve sluneční soustavě jsou i jiné planety než Země a působí gavitačně na Zemi i na Slunce; Zemi obíhá Měsíc; ve sluneční soustavě jsou i jiné objekty než Slunce a planety (komety, asteoiy, meziplanetání hmota,... ) ; Slunce i Země jsou nepavielná tělesa; Slunce i Země otují kolem vlastních os; ani Slunce, ani Země nejsou tuhá tělesa: Slunce je celé plynné, Země je pokyta oceány a má tekutý vnitřek;... Bueme se zabývat nejjenoušším přípaem, a to soustavou složenou ze vou boových objektů hmotných boů B, B 2. Chování celé sluneční soustavy tey v pvním přiblížení popíšeme jako soubo soustav typu [Slunce + jena planeta], ke jak Slunce, tak i planeta jsou hmotné boy. K tomu nás opavňují tyto skutečnosti: gavitační pole po vstvách homogenní koule (ať je v kliu nebo ať otuje) je stejné jako gavitační pole hmotného bou; vzhleem k postatně větší hmotnosti Slunce ( kg) než planet (Země kg) je Slunce pakticky nehybné v těžišťové soustavě sluneční soustavy. Pvním alším kokem by bylo uvážit (slaboučkou) gavitační inteakci planet navzájem jakožto pouchu a oplnit pouchové, tzv. sekulání členy (lat. saeculum = století, louhé po člověka, ale přesto zanebatelné opoti věčnosti). To však ze ělat nebueme.

2 2 Poblém vou těles Kepleova úloha Vyšetříme pohyb vou hmotných boů B, B 2 o hmotnostech m, m 2 a polohových vektoech, po vlivem vzájemného gavitačního přitahování. Vycházíme z Newtonových pohybových ovnic oplněných Newtonovým gavitačním zákonem m = F 2 () m 2 = F 2 = F 2 (2) F = G m m 2, (3) ke G. = 6, 67 0 m 3 kg s 2 je gavitační konstanta a = (4) je elativní polohový vekto. Dosazením ostaneme m = G m m 2 m 2 = + G m m 2 (5) (6) (ozmyslete si znaménka obou výazů gavitace je přitažlivá). Úloha je tey tojozměná (3D) a hleáme 6 neznámých složek vektoů R k, k, k =, 2. 3 Těžišťová vztažná soustava Zaveeme těžiště (hmotný stře) jakožto bo o souřanicích R = m + m 2 m + m 2. (7) Potože je o soustavu uzavřenou (vnější síly jsou nulové), očekáváme, že se těžiště bue pohybovat ovnoměně přímočaře. To skutečně snano okážeme součtem ovnic (5) + (6), při němž se vyuší pavá stana a po vyělení součtem (m + m 2 ) vyje ovnou ovnice R = 0. Tu můžeme snano vakát integovat Ṙ = V 0, (8) R = V 0 t + R 0, (9) ke integační konstanty V 0, esp. R 0 mají fyzikální význam ychlosti, esp. polohy těžiště soustavy v čase t = 0 (počáteční pomínky). 2

3 4 Reukovaná úloha Přejěme o 6 poměnných, k 6 poměnným R,. Po pvní 3 poměnné R jsme už úlohu vyřešili (ov. 9). Pavé stany ov. 5 a ov. 6 obsahují jen. Zkombinujeme tey obě ovnice tak, aby zbylo samotné i na levé staně: pvní ovnici vyělíme m, uhou m 2 a sečteme. Dostaneme = ( m + m 2 µ = G m m 2 ) G m m 2 (0) µg 3, () s označením µ = m + = m m 2 (2) m 2 m + m 2 g = G m m 2 µ = G(m + m 2 ), (3) ke µ je tzv. eukovaná hmotnost. Všimněme si, že síla vyjářená pavými stanami ov. 5, ov. 6 a ov. je (až event. na znaménko) táž. Lze tey říci, že eliminací pohybu těžiště jsme úlohu převeli na náhaní úlohu pohyb tělesa s eukovanou hmotností µ v centálním silovém poli. Naše kvazislunce je nyní nehybné v počátku souřanic, jako kyby mělo setvačnou hmotnost nekonečnou (nepohne se) a gavitační hmotnost M = m + m 2. Kolem něj obíhá kvaziplaneta o hmotnosti µ pole ov. 2. Stejný tik se použije např. při vyšetřování hamonických kmitů soustavy navzájem pužně spřažených HB. Jejich polohy převeeme lineáními kombinacemi na polohy eukovaných částic kvazičástic. Ty se chovají jako volné (nespřažené) a kažá z nich koná hamonický pohyb nezávislý na ostatních kvazičásticích. Z polohy kvaziplanety ostaneme polohy planety i Slunce jenouchou lineání tansfomací 5 Rovinný poblém m = R + m + m 2 (4) = m 2 R. m + m 2 (5) Ukážeme, že náš poblém je tojozměný jen zánlivě. Ve skutečnosti se kvaziplaneta pohybuje pouze v jisté ovině pocházející počátkem souřanic (tj. centem síly). Tato ovina je kolmá k momentu hybnosti L kvaziplanety, přičemž vekto L zůstává s časem nepoměnný (vnější síly jsou nulové a mají tey výslený moment nulový): L = L 0 = konst. Dá se ukázat, že i půvoní Kepleova úloha (tey se Sluncem a planetou, nejen s kvazisluncem a kvaziplanetou, a nejen v těžišťové soustavě) se oehává v ovině pocházející počáteční polohou Slunce, planety a jejich těžiště a pohybující se ovnoměně přímočaře ychlostí těžiště. 3

4 K ůkazu vynásobíme ov. zleva vektoově polohovým vektoem. Potože na pavé staně byl týž vekto, ostaneme Dále použijeme vztah µ = G m m 2 = 0. (6) ( ṙ) = (ṙ ṙ + ) = (7) t a z ov. 6 ostaneme zákon zachování momentu hybnosti (ZZMH) planety: t L ( µṙ) t = 0, (8) ( µṙ) = L 0 = konst. (9) Vekto momentu hybnosti L 0 tey nemění svůj smě v postou. Potože je oven vektoovému součinu polohového vektou (s ychlostí v), leží polohový vekto kvaziplanety stále v ovině kolmé k L 0. Pohyb v centálním poli je tey ovinný. Při ovození jsme nevyužili závislosti síly na čtveci vzálenosti. Pohyb HB je tey ovinný při libovolné závislosti síly na vzálenosti. 6 Zákony zachování ZZMH (platný po libovolné centální pole) jsme již ovoili a použili (ov. 8). Ukážeme, že po libovolné centální pole platí i zákon zachování mechanické enegie (ZZE) a využijeme toho ke zjenoušení úlohy. Rov. vynásobíme skaláně ychlostí v ṙ a využijeme elací t t (n ) = n n 2 ṙ (20) ( ) 2ṙ2 = ṙ. (2) Dostaneme t ( ) t 2 µv2 ( 2 µv2 µg ) = µg t (22) = 0 (23) 2 µv2 µg = konst = E 0 (24) E k + E p = E 0, (25) což je ovození ZZE po speciální přípa síly (po obecnou centální sílu). Ani ze jsme při ovození nevyužili závislosti síly na čtveci vzálenosti. 4

5 7 Řešení ovinného poblému 7. Polání souřanice Vzhleem k tomu, že uvažované pole je centální a jeho velikost tey závisí jen na vzálenosti o počátku souřanic, buou jistě polání souřanice výhonější než katézské. Polání souřanice jsou otogonální. Poto je v nich vyjáření čtvece ychlosti jenouché. Nejpve vyjáříme obecné posunutí s pomocí příůstku aiální souřanice (vzálenosti o počátku) a příůstku ϕ úhlu; při změně o ϕ se poloha změní o ϕ. Vztah mezi příůstky ostaneme z Pythagoovy věty: ( s) 2 = ( ) 2 + ( ϕ) 2 (26) a vyělením ( t) 2 v 2 = (ṙ) 2 + ( ϕ) 2 ṙ 2 + ϕ 2. (27) V poláních souřanicích má tey ZZE tva ZZMH zní velmi jenouše: 2 µ(ṙ2 + ϕ 2 ) µg = E 0. (28) ϕ = L 0 µ λ (29) a umožňuje nám ostanit ϕ z ov. 28. V této ovnici se pak vyskytuje jen ṙ, a t. Můžeme ji tey řešit samostatně. Upavíme ji o tvau ) (ṙ 2 + λ2 2 g = E 0 µ, (30) oku ṙ = Dále můžeme postupovat věma směy: 2E 0 µ + 2g λ2. (3) 7.2 Výpočet závislosti vzálenosti a času t Jena možnost je upavit ov. 3 na tva se sepaovanými poměnnými: = t (32) 2E 0 µ + 2g λ2 a přímo integovat: ostaneme t = t(), tey závislost, ve kteém čase se kvaziplaneta ostane o ané vzálenosti o centa. t = + t 0. (33) 2E 0 µ + 2g λ2 5

6 Nás by ovšem zajímala spíše invezní funkce = (t), kteou bychom ále použili k řešení ϕ integací z ov. 29. Poto se vátíme k ov. 3 a bueme postupovat jinak. 7.3 Výpočet tajektoie kvaziplanety = (ϕ) Duhá možnost řešení eukovaného poblému je eliminovat čas a ponechat v ov. 28 a ov. 29 poměnné a ϕ. Výpočet lze vlastně povést jen v monotonní části tajektoie planety, ale na výsleku se toto omezení nepojeví. Beme tey = (ϕ). Vyjáříme ϕ = ṙ ϕ = ṙ 2 λ osaíme o ov. 3 a sepaujeme poměnné: (34) ϕ = λ. (35) 2E 0 µ + 2g λ2 Integace pavé stany je samozřejmě čistě záležitostí matematické analýzy (esp. kalkulu). Fyzika však může napomoci ieou: víme-li, že se planety pohybují po kuželosečkách v ohniskové poloze, bueme hleat řešení ve tvau ovnice kuželosečky, tey = p + ε cos(ϕ ϕ 0 ), esp. p = + ε cos(ϕ ϕ 0), (36) ke paamet p učuje velikost (měřítko) kuželosečky a ε učuje její chaakte: ε = 0: kužnice; 0 < ε < : elipsa; ε = : paabola; ε > : hypebola. Tva ov. 36 nás vee na vhoné substituce v ov. 35. Nejpve zaveeme ρ = λ, ρ = λ : 2 ρ ϕ =. (37) 2E0 µ + 2 g λ ρ ρ2 Výaz po omocninou známým způsobem zbavíme lineáního členu: zaveeme σ = ρ g λ, σ = ρ, K2 = 2E 0 µ + ( g 2, λ) ϕ = 2E 0 µ + ( g λ ρ ) 2 ( = g λ + ρ) 2 6 σ K2 σ 2. (38)

7 a konečně zaveeme s = σ/k, s = σ/k: ϕ = s s 2. (39) K této funkci již pimitivní funkci známe. Do ní pak postupně osazujeme všechny přechozí substituce. λ 2 g ϕ = accos s + ϕ 0 (40) s = cos(ϕ ϕ 0 ) (4) σ = K cos(ϕ ϕ 0 ) (42) ρ = g λ + K cos(ϕ ϕ 0) (43) λ = g λ + K cos(ϕ ϕ 0) (44) = + Kλ g cos(ϕ ϕ 0). (45) Tato ovnice opovíá plně uhé ov. 36, jestliže značíme 7.4 Pohyb planety a slunce p = λ2 g = L 2, (46) Gµm m 2 ε = Kλ g = 2E 0 L 2 µg 2 m 2 + (47) m2 2 2E0 p = + (48) Gm m 2 Ovoili jsme, že kvaziplaneta se pohybuje po kuželosečce (ov. 36) s ohniskem v počátku souřanic, tey s ovnicí p = + ε cos(ϕ ϕ 0 ), (49) ke ϕ 0 učuje úhel hlavní osu tajektoie vůči ose x, a ov. 46 a alší učují paamet p i excenticitu ε. Excenticita, a tím i chaakte tajektoie, je zřejmě ána znaménkem enegie E soustavy. Z pohybu kvaziplanety ovoíme pohyb skutečné planety a skutečného Slunce osazením výsleku eukované úlohy po kvaziplanetu o vztahů ov. 4 a ov. 5 s tím, že obvykle přepoklááme těžiště soustavy v kliu, tey R = 0. Je tey = = m 2 = µ m + m 2 m (50) m = µ m + m 2 m 2 (5) Snano nahléneme, že i v tom přípaě zůstane chaakte kuželosečky zachován a změní se jen paamety její tajektoie. 7

8 7.5 Shnutí a iskuse Vyřešili jsme pohybové ovnice po sílu mezi hmotnými objekty anou Newtonovým gavitačním zákonem. Zjistili jsme, že tajektoií planety (i Slunce) je kuželosečka s ohniskem (nikoli střeem!) v těžišti soustavy. Je-li skutečně o soustavu [Slunce - planeta] s hmotností planety zanebatelnou poti hmotnosti Slunce, pak Slunce pakticky stojí a jeho stře je i těžištěm soustavy. Naše řešení se však hoí i po soustavu typu vojhvězy tvořené složkami se stejnou či sovnatelnou hmotností, opisujícími pak eliptické áhy kolem společného těžiště. Enegie E soustavy zřejmě učuje chaakte áhy planety. po E < 0 má planeta uzavřenou áhu eliptickou (přípaně kuhovou), po E = 0 má planeta áhu paabolickou, po E > 0 má planeta áhu hypebolickou. Poslení va přípay opovíají návštěvníkům typu komety s půvoem mimo Sluneční soustavu. (Pochopitelně u nich, chceme-li být v soulau s ealitou, učitě nemůžeme zanebat veškeé ostatní objekty komě Slunce a uvažovaného návštěvníka.) Poznámka: Tento text je pacovní. Učitě v něm buou překlepy, chyby, méně sozumitelná místa. Dále ještě oplním výslovně 2. Kepleův zákon (zákon ploch; je ekvivalentní ZZMH) a 3. Kepleův zákon (pomě a 3 /T 2 po élku a hlavní poloosy a obu oběhu T je týž po všechny planety). Velice uvítám všechny kitické připomínky. J. O. 8