Cvičení 2 (MKP_příklad)

Transkript

1 VŠB Technicá univezita Ostava aulta stoní Kateda pužnosti a pevnosti (9) Úvod do MKP (Návody do cvičení) Cvičení (MKP_přílad) Auto: Jaoslav oíče Veze: Ostava 9

2 Úvod do Metody onečných pvů př. tyč. Každé těleso (soustavu těles) můžeme ozdělit na menší a ednodušší pvy. Znalost řešení těchto ednoduchých pvů pa můžeme využít řešení celého tělesa. ØD ØD Ob. Dáno: 5 mm, D mm, D mm (), N, MPa (G). Uči: eace. Ostatní vlivy (např. vlastní tíha) sou zanedbány. Tato úloha e ednoozměná a využívá pve (element) typu in. Tento pve má dva uzly i,, místa de se pve stýá s oolními pvy nebo oolím (vazby). se může posouvat ve směu osy pvu (posuv budeme nazývat ) a může obsahovat sílu (sílu budeme nazývat ). Pve má dva paamety, modul pužnosti v tahu a plochu půřezu. Dále můžeme aždému pvu přiřadit délu. chématicy e pve popsán v Tab.. Tab.,, i i i + Put uchytíme v uzlu i, pa platí: Po podloužení putu pa můžeme sestavit ovnici (viz cvičení ): i ( i ) (ovnice ). Podobně uchytíme put i v uzlu, pa platí: Po podloužení putu pa můžeme sestavit * i ovnici: i i ( i ) (ovnice ). Z těchto dvou ovnic sestavíme matici tuhosti pvu: i ( i ) i i K, ( i ) de epezentue veto vněších sil, K matici tuhosti pvu a veto posunutí. Matice tuhosti ednotlivých typů pvů lze nalézt v liteatuře, případně v manuálu MKP pogamům (Ansys, Mac, apod.). V našem příladu bude stačit vytvořit dva pvy viz Ob. a sestavit matice tuhosti pvů: K, K. Naši úlohu, viz Ob., můžeme sestavit pomocí dvou pvů typu lin. Úloha obsahue tři uzly, a. V uzlu e síla-eace, uzel e vetnutý (nemůže se tedy posouvat a platí ). V uzlu působí síla, uzel se může posouvat ve směu osy pvů a hodnotu posuvu neznáme. V uzlu e síla-eace, uzel e vetnutý (nemůže se tedy posouvat a platí ). /

3 / N N N,,,, Ob.. Globální matici tuhosti [K G ], teá popisue chování celé úlohy, sestavíme z loálních matic K, K. estavení globální matice tuhosti soustavy uazue Tab.. Tab.. Matice tuhosti pvů: Matice tuhosti globální K, K., Výše uvedený postup sestavení globální matice tuhosti lze použít pouze u velmi ednoduchých úloh (ednoozměné úlohy s edním nebo dvěma pvy). Po složitěší případy e nutné využít maticových metod (např. loalizační tabula). Obecněší odvození a postup e uveden např. v []. Dále musíme sestavit veto vněších sil a z oaových podmíne veto posunů. Z Ob. snadno zistíme, že síly, odpovídaí eacím, síla odpovídá síle. teným způsobem lze učit veto posunů. Posun uzlu označený má nulovou hodnotu, neboť uzel leží v místě vazby (vetnutí). Podobně posun uzlu označený bude taé nulový. Po dosazení výše uvedených hodnot zísáme: Dále upavíme ovnici do tvau vhodněšího po řešení. Přesuneme řády a sloupce matice tuhosti. Vyměníme duhý a třetí sloupec u matice tuhosti a ím odpovídaící hodnoty u vetou posuvů.

4 4/ Vyměníme duhý a třetí řáde u matice tuhosti a ím odpovídaící hodnoty u vetou sil. Nyní můžeme úlohu ozdělit A oznásobit ednotlivé matice Po dosazení nul v pvním vetou posunutí (oaové podmíny) dostaneme dvě soustavy ovnic, teé iž snadno vyřešíme. (a) (b) Nepve vyřešíme soustavu (b), (např. Mathcad): mm Dosadíme do soustavy (b) a vyřešíme. N Vyzoušete si celý postup na podobném příladu např. Ob.. Matice pvu bude stená, stačí na záladě obázu sestavit globální matici tuhosti, veto sil a posunů.

5 C D ut. Ob.. Podobným způsobem můžeme řešit i ostatní úlohy pužnosti - putové soustavy, ohyb, Úvod do Metody onečných pvů př. ut ØD Dáno:,,, D, D, D, M, M, G. M ØD Uči: eace. M Ob. 4 Řešení úlohy e velmi podobné předchozímu případu řešíme ednoozměnou úlohu. V aždém uzlu e pouze edna hodnota epezentuící moment a edna epezentuící úhel zoucení. Tento pve má dva uzly i,, místa de se pve stýá s oolními pvy nebo oolím (vazby). se může otáčet olmo e směu osy pvu (natočení budeme nazývat ) a může obsahovat moment (moment budeme nazývat ). Pve má dva paamety, G modul pužnosti v tahu a J p polání moment setvačnosti plochy (J p π D 4 ). Dále můžeme aždému pvu přiřadit délu. Zavedeme označení momentu a úhlu natočení shodné ao v předchozím příladu. chématicy e pve popsán v Tab.. Tab. i i i ØD, G, J p + Šipa označue naznačený smě otace a momentu. oální matice tuhosti pvu: G J p J p J p i ( i ) i i G K G J p J p J, p ( i ) de epezentue veto vněších sil, K matici tuhosti pvu a veto natočení. Vidíme, že postup e téměř stený ao v předchozím příladu. Na záladě zadání vytvoříme tři pvy a 4 uzly. Dosazením příslušných indexů do ovnic uvedených v Tab. sestavíme tři loální matice tuhosti: J p J p J p J p K G G, K G G J p J p J p J p, 5/

6 J p J p 4 K G G J p 4 44 J p. Naši úlohu, viz Ob. 4, můžeme sestavit pomocí tří pvů. Úloha obsahue čtyři uzly,, a 4. V uzlu N e moment-eace, uzel e vetnutý (nemůže se tedy otáčet a platí ). V uzlu N působí moment, uzel se může otáčet a hodnotu natočení neznáme. V uzlu N působí moment, uzel se může otáčet a hodnotu natočení neznáme. V uzlu N 4 e moment-eace, uzel e vetnutý (nemůže se tedy otáčet a platí ). Tyto podmíny sou schematicy naznačeny v Ob. 5. N G, J p, G, J p M G, J p 4 N M N N 4 4 Ob. 5. Globální matici tuhosti [K], teá popisue chování celé úlohy, sestavíme z loálních matic K. Každý uzel má volnosti a uzel se může natáčet paamet i. V našem K, K, případě má globální matice soustavy toli řádů a sloupců, oli e uzlů tedy 4x4. estavení globální matice tuhosti soustavy uazue Tab. 4. Tab. 4. Matice tuhosti pvů: K G, K G, 4 K G oální matice K i i převedeme na loalizované matice pvů K, teé maí stený řád ao globální matice K. Jednotlivé pvy loálních matic tuhosti přiřadíme odpovídaícím uzlům v nulové matici steného řádu ao globální matice. K, K, K Globální matici zísáme sečtením loalizovaných matic pvů. Výsledná hodnota pvu globální matice tuhosti e dána součtem hodnot pvů loalizovaných matic. čítáme pvy příslušné pvům (elementům), teé se v uzlu stýaí. K K + K + K Dále musíme sestavit veto vněších sil a z oaových podmíne veto natočení. Z Ob. 5 snadno zistíme, že momenty, 4 odpovídaí eacím, moment odpovídá M, moment odpovídá M. teným způsobem lze učit veto natočení. Natočení uzlu označené má nulovou hodnotu, neboť uzel leží v místě vazby (vetnutí). Podobně natočení uzlu 4 označené 4 bude taé nulové. Po dosazení výše uvedených hodnot zísáme: 6/

7 J p J p M M 4 G J p J p + J p J p J p J p + J p J p J p J p Po zednodušení předpoládeme, že: J p J p J p J p,. Po dosazení zísáme ovnici: oustavu upavíme: M G J p M 4 M M 4 4 M M G J p G J p G J p 4 + G J p G J p 4 M G J p M + G J p M G J p M Dále vydeme z ovnice: M G J p M M A A M A A Učíme invezní matici a dosadíme: 4 G J p G J p G J p G J p M M M M M M 7/

8 Úvod do Metody onečných pvů př. vlastní tíha ØD g Dáno:,, D,,, ρ, g. Uči: posunutí Ob. 6 Úlohu můžeme řešit více způsoby. Mezi ty neednodušší patří nahazení vlastní tíhy spoitým zatížením tedy modifiace zatížení. Znovu řešíme ednoozměný poblém a použieme stený pve ao v pvním případě. V aždém uzlu e pouze edna hodnota epezentuící sílu a edna epezentuící posunutí. Tento pve má dva uzly i,, místa de se pve stýá s oolními pvy nebo oolím (vazby). se může posouvat ve směu osy pvu (posunutí budeme nazývat ) a může obsahovat sílu (sílu budeme nazývat ). Pve má dva paamety, modul pužnosti v tahu a - plochu půřezu ( π D ). Dále můžeme aždému 4 pvu přiřadit délu. chematicy e pve popsán v Tab. 5. Tab. 5 i oální matice tuhosti pvu: i ( i ) i ( i ) de i i,, i K epezentue veto vněších sil, K matici tuhosti pvu a, veto natočení. ílu, teá e způsobena vlastní tíhou tělesa ozpočteme do uzlů. Postup e naznačen v Tab. 6. Tab. 6 g G i G / i G / G / G /+ G / G/ +G G / G/ Původní úloha tyč zatížená silou upostřed a vlastní tíhou. Tyč ozdělíme na dva pvy se třemi uzly. íla epezentuící vlastní tíhu bude působit v těžišti pvu. Tuto sílu ozdělíme na dvě části do uzlů pvu. Duhý pve upavíme steným způsobem a oba pvy spoíme. Posledním oem e přidání síly. Po zednodušení budeme předpoládat, že G G G. 8/

9 Nyní iž můžeme sestavit loální i globální matice tuhosti, veto pavých stan a veto posunů. oální matice tuhosti: K, K. Globální matice tuhosti: K sestavíme snadno z Tab. 6. Z Ob. snadno zistíme, že síla odpovídá eaci, hodnotu G G G ρ g dopočteme z ozměů pvu. Budeme taé předpoládat, že. teným způsobem lze učit veto posunů. Posun uzlu označený má nulovou hodnotu, neboť uzel leží v místě vazby (vetnutí). Po dosazení výše uvedených hodnot zísáme: Veto vněších sil a veto posunů Dále upavíme: G G G G + G G oustavu ovnic budeme řešit pomocí Gausovy eliminační metody: + G + G Ke duhé ovnici přičteme pvní: + G + + G + + G Po úpavě: + G + G Posuvy zistíme zpětným dosazením: + G + G + G + G + G 9/

10 A eaci: G + G + G + G + G Po poovnání výsledu znovu využieme znalosti lasicé pužnosti. Celové podloužení tyče zatížené silou a vlastní tíhou vypočtené analyticy e:. Což odpovídá podloužení v uzlu, dosadíme do ovnice: + G + ρ g + G + ρ g. Zísali sme tedy stený výslede. Zusme poovnat ednotlivá řešení a postup, teý sme po řešení použili, viz Tab. 7. Tab. 7. MKP pve Po pve platí: Po úpavě: Závislost mezi zatížením a podloužením e lineání. Analyticy úse Po úse : N x + x ρ g. N x dx + ρ g Závislost mezi zatížením a podloužením není lineání. Δ MKP e numeicá metoda. utečná závislost e nahazena funcí např. u x α + α x + α x. V našem případě sme používali pouze pvní dva členy. Řešení e tedy přibližné, snažíme se splnit učité podmíny v uzlech. V případech, dy sutečná závislost e lineání, zísáme analyticé řešení. V případech, dy sutečná závislost není lineání, zísáme řešení numeicé. Nyní se pousíme nastínit stený postup, ale pomocí vaiačního pincipu. Nepve se zaměříme na ozlišení vnitřních a vněších sil. Jednoduché vysvětlení e uvedeno v následuící Tab. 8. Tab. 8. Potenciální enegie vněších sil Potenciální enegie vnitřních sil ibovolné těleso zatížíme učitou silou. íla není závislá na posuvech w ale naopa. Můžeme tedy napsat: da dw. Celová páce e: A dw. Vzhledem (w) tomu, že síla není funcí posuvu, můžeme sílu vytnout. Tedy: A Potenciální enegie vněších sil e: A w dw (w) Vnitřní síly sou naopa vyvozeny vněšími silami nesou nezávislé. Vzáemnou závislost mezi napětím a defomacemi učue Hooův záon. Tedy: u ς(ε)dε ε dε. (ε) (ε) Měná potenciální enegie vnitřních sil e: ε ς ε u /

11 Celová potenciální enegie tělesa e dána součtem potenciální enegie vněších a vnitřních sil: Π A + u dv A + U. Ze všech možných stavů, teé připouštěí vazby, nastane ten, (V) teý má minimální potenciální enegii. V matematice se vyhledání minima funce používala deivace, v našem případě použieme vaiaci. ozdíl e v tom, že nehledáme minimum (deivace), ale minimum, teé připouštěí vazby (vaiace). Tedy: δπ δa + δu. V našem případě bude výpočet vaiace a deivace stený. Nyní předeme z lasicých ovnic maticovým tvaům. Po podloužení v libovolném i uzlu platí: l i A l. Tansponovaný veto: l T T A T. ílu vyádříme z Hooova záona: ς ε. ovnici převedeme od maticového tvau:. Měnou potenciální enegii vnitřních sil můžeme vyádřit: u ς ε, potenciální enegii v elementu: du ς ε dv a celovou l enegii pa zísáme integací U ς ε dv. Po dosazení z ovnic,, (V) zísáme: U dv. ovnici převedeme do maticového tvau, tomu (V) použieme ednoduchou pomůcu: U x x + y y T Podobně učíme potenciální enegii vněších sil Q: A Q x x Q y y T Q. Z ovnic lasicé pužnosti:, l l l Nyní se vátíme celové potenciální enegii tělesa a dosadíme výše připavené maticové vztahy: Π A + U T Q + T T Q + T A T Π T Q + T A T T Q + T A T A Po zednodušení zavedeme matici tuhosti [K]: K A T A. Výsledná ovnice popisuící potenciální enegii tělesa v maticové fomě e: Π T Q + T K. Nyní povedeme vaiaci δπ. Znovu se uchýlíme demonstaci pomocí deivace. ovnici potenciální enegie schematicy nahadíme: Π x Q + x K, ovnici deivueme: dπ Q + x K a převedeme do maticové fomy δπ δ T Q + K. dx Výslede můžeme zapsat např. tato: Q + K nebo K Q, de K e matice tuhosti, e veto posuvů a Q e veto pavých stan. Naonec učíme matici tuhosti po náš případ: K A T A. Poovnáním s Tab. 5 zistíme, že sme zísali stený výslede. l /

12 4 Úvod do Metody onečných pvů př. 4 - putová soustava, α, α Dáno:,,,,,, α, α, α. Uči: eace, posunutí v uzlech. α Ob. 7 Na ozdíl od předchozích úloh e tato úloha ovinná, aždý uzel se může posouvat v ose x a ose y a má tedy dva stupně volnosti. Tento pve má dva uzly i,, místa de se pve stýá s oolními pvy nebo oolím (vazby). Vydeme znovu z tyčového pvu, v tomto případě má pve navíc paamet α, teý odpovídá slonu pvu, viz Tab. 9. Tab. 9 oální matice tuhosti pvu:,, i i i i i K Mezi posuvem ve směu osy putu a posuvem ve směu os x a y můžeme napsat y vztahy: ix i cos (α ) x iy i sin α x cos α,, x y y sin (α ) iy i V maticovém tvau: ix α ix cos (α ) iy sin (α ) i i ix x cos (α ) iy y sin (α ) Záladní tva tansfomační ovnice: T Po tansfomaci tenzoů ůzných souřadných systémů se používá vztah: T. Tenzo e fyziální veličina a poznáme e podle toho, že splňue tansfomační ovnici. Po matici tuhosti můžeme použít tansfomační vztah: K T K T T, odvození můžete nalézt např. v []. Nyní můžeme sestavit matici tuhosti po pootočený pve: cos (α ) T K sin (α ) cos (α ) sin (α ) cos (α ) cos (α ) sin (α ) sin (α ) a po úpavě: K cos (α ) sin α cos (α ) cos (α ) sin α cos (α ) sin α cos (α ) sin (α ) sin α cos (α ) sin (α ) cos (α ) sin α cos (α ) cos (α ) sin α cos (α ) sin α cos (α ) sin (α ) sin α cos (α ) sin (α ) /

13 Po zednodušení budeme psát: K c s c c s c s c s s c s c s c c s c s c s s c s Nyní popíšeme úlohu ta, abychom mohli sestavit ozšířené matice tuhosti, globální matici tuhosti, veto posuvů a veto pavých stan (sil), viz Ob. 8. Po zednodušení znovu položíme,. ozšířené matice tuhosti pvů: c s c c s c s c s s c s K c s c c s c s c s s c s Globální matice tuhosti: K K Veto posuvů a veto pavých stan (sil): Řešíme úlohu: y sin (α ) x y c s c c s c s c s s c s c s c c s c s c s s c s c s c c s c s c s s c s c s c c + c s c + s c c s c s c s s c + s c s + s s c s c s c c s c s c s s c s, x cos (α ) y x y α x y,, Q α Ob. 8 y x y cos(α ) sin(α ) x y x x.. /

14 c s c c s c s c s s c s c s c c + c s c + s c c s c s c s s c + s c s + s s c s c s c c s c s c s s c s Po úpavě: c s c c s c s c s s c s c s c c s c s c s s c s c s c c s c c + c s c + s c x s c s s c s s c + s c s + s y A ozdělení, nepve vyřešíme soustavu: c + c s c + s c x s c + s c s + s cos(α ) y sin(α ) Pa dosazením posuvů dořešíme eace: c s c x s c s x y c s c y x s c s y x y x y cos(α ) sin(α ) x y x y x y cos(α ) sin(α ) Po řešení soustav ovnic se často využívaí taé iteační metody. Nepve dosadíme číselné hodnoty, např. mm, mm, MPa, α 9, α 45, x N, y 4 N:,5,5,5,5 x y 4 Řešíme soustavu ovnic:,5 x +,5 y 4.8,5 x +,5 y 9 Mezi neednodušší patří následuící postup. Upavíme na iteační tva: 5 x +5 x 48 5 y + 5 x 5 y 9 5 x x 48 5 y + 5 x 5 y 9 5 x x y +. 5 x y.7. x Opaovaným dosazováním do vzoců zísáme výsledný posuv. Nultý o: x y.7..7 Pvní o: x y Duhý o, atd. Něoli dalších oů e v Tab. 9. Tab x y /

15 Konvegenci můžeme uychlit dosazením částečných výsledů. Nultý o: x y Pvní o: x y Duhý o, atd. Něoli dalších oů e v Tab. 9. Tab x y Výpočet opaueme, doud se hodnoty dostatečně mění. Dále dořešíme eace: c s c x.x 4 s c s 4.64 c s c 4.4 y.x 5 x x 5 s c s y x 5 5 Úvod do Metody onečných pvů př.5 - ohyb M Dáno:,, D, D, M,. Uči: eace, posunutí v uzlech ØD ØD Ob. 9 Úloha e ovinná, edná se o ohyb. Každý uzel se může posouvat v ose y ( i, ) a otáčet (, l ) a má tedy dva stupně volnosti. V aždém uzlu e taé síla v ose y ( i, ) a moment (, l ). Pve má dva uzly m, n, místa de se pve stýá s oolními pvy nebo oolím (vazby). Po ednoduchost budeme předpoládat pouze přímé nosníy (α) a záoveň zanedbáme síly a posuvy v ose x. Budeme předpoládat malé defomace (tg(φ) φ), chaateistia půřezu po ohyb e osový moment setvačnosti plochy (J πd4 ). Pve e popsán v Ob.. 64 l o, J o, l i o m i Ob. n Postup používaný odvození loálních matic tuhosti ve výše uvedených příladech se nazývá stutuální analýza. Při odvození sme vycházeli ze znalosti analyticých vztahů lasicé pužnosti (tah-tla, ut). V tomto případě použieme Castiglianovy věty na odvození potřebných ovnic. Úlohu zednodušíme a vyřešíme posuvy a natočení, pa výsledné ovnice upavíme do tvau odpovídaícího pvu popsanému na Ob.. Pve se obvyle nazývá Beam. chéma 5/

16 řešení pvní poloviny úlohy a výpočet posunutí a natočení pomocí Castigliánových vět e popsán v Tab.. Tab. A Záladní ovnice : y B M(x J i ) M(x i) dx () i φ B M(x J i ) M(x i) dx () M i Moment v řezu: M x B x M B x, Deivace: M(x ) x, M(x ) M y B J B x M B x dx φ B J B x M B dx y B B M B φ J B B + M J B Matice tuhosti popisue závislost sil a defomací ve tvau: y. Pousíme se tedy převést výše uvedené ovnice do požadovaného tvau a odvodit pvní část matice tuhosti pvu. Při odvozování budeme využívat výše uvedené ovnice a ovnice ovnováhy. ovnice ovnováhy: B + A, B M B M A. y B B M B y J B B M B J φ B B + M J B φ B J B + M B y B J B φ B J B M B + M B J φ B + y J B B + B J φ B + y B B + J φ B + y B B B 6 B J φ B + 6y B J y B B M B J φ B B + M B J φ B + y B J J φ B + y B M B J M B J M B M B φ B + y B M B φ B + y B Tímto sme odvodili záladní část a stačí dosadit a seřadit po převod do maticového tvau. A B J φ B + 6y B M A B M B J M A J B J M A y A φ A A, J, φ B + 6y B J φ B + 6y B φ B y B J φ B + 6y B B M B B y B? φ B? φ B + y B φ B + y B 6/

17 M B J φ B + y B Nyní můžeme soustavu ovnic převést do maticového tvau. Postup e naznačen v Tab.. Tab. A J M A J B J M B J φ B + 6y B φ B + y B φ B + 6y B φ B + y B A M A B M B J 6 6 chéma řešení duhé poloviny úlohy a výpočet posunutí a natočení pomocí Castigliánových vět e popsán v Tab.. Tab. Záladní ovnice : y A M(x J i ) M(x i) M M B A dx () i, J, y φ A M(x J i ) M(x i) B dx () M i φ B φ A? B Moment v řezu: M x A x + M A A B x, Deivace: M(x ) x, M(x ) M y A A + M A φ J A A + M J A ovnice ovnováhy: B + A, B M B M A. y A A + M A y J A A + M A J φ A A + M J A φ A A + M J A A y A? J y A J φ A J φ A y A J A J A A + M A + M A J A A φ A y A A 6 φ A 6y A y A φ A y B φ B J y A A + M A φ A J J φ A y A J A + M A J M A J M A M A φ A y A M A φ A y A 7/

18 Tímto sme odvodili záladní část a stačí dosadit a seřadit po převod do maticového tvau. oustavu ovnic převedeme do maticového tvau. Postup e naznačen v Tab.. Tab. A J φ A 6y A M A J φ A y A B A J M B B M A J M B J A J M A J B J φ A 6y A φ A 6y A J φ A 6y A φ A + y A J φ A 6y A φ A y A φ A 6y A φ A y A φ A y A M B J φ A y A A 6 y A M A J φ A B 6 y B M B φ B loučením obou částí zísáme výslednou matici tuhosti nosníového pvu. Po odlišení pvního a duhého ou použieme honí index a. i l A + A M A + M A B + B i l J M B + M B Podobně ao síly sloučíme i veto defomace: y A + y A φ A + φ A y B + y B y A + φ A y B + φ B + y A + y A φ A + φ A y B + y B φ B + φ B φ B + φ B Chování pvu e popsáno pomocí maticové ovnice: i 6 6 i J 6 6 l l Celou úlohu můžeme popsat pomocí dvou pvů. Po zednodušení položíme, J J J. Popis úlohy připavený po sestavení globální matice tuhosti, vetou pavých stan a vetou defomace e na Ob.. 8/

19 M Ob., J o,, J o, 4 M J Po dosazení oaových podmíne: Po úpavě: J J ozdělíme na dvě části: J M 6 J Po další řešení si znovu zvolíme hodnoty. Nepve dosadíme číselné hodnoty, mm, dmm (J49.mm 4 ), MPa, M Nmm M ovnici můžeme přepsat ao: A Q. Po řešení použieme iteační tva. Řešíme soustavu ovnic: Upavíme na iteační tva: Ještě upavíme: M 5 5 M /

20 Opaovaným dosazováním do vzoců zísáme výsledný posuv a dalším dosazením eace , iteatua Přílady na pocvičení lze nalézt v učebnicích pužnosti a pevnosti II. Záladní teoii Metodě onečných pvů a další numeicé metody lze nalézt např.: [] enet, J., Úvod do metody onečných pvů, VŠB-TU Ostava, 999. [] Numeicá matematia, Další podlady výuce se nacházeí na stánách atedy v seci TUDIUM (odazy MKP a MHP, MKP, Úvod do MKP, Pužnost a pevnost v negetice). /