a ar Zlomek umocnime tak, že umocnime zvlášt citatele ijmenovatele.

Transkript

1 30 4 Mocniny a odmocniny 41 Mocninv s piozeným exponentem S mocninami s piozeným exponentem jste se již sesnámili na základní škole V této kapitole si zopakujeme definici a základní pavidla po pocítání s mocninami s piozeným exponentem Definice: N -tou mocninou císla a ozumíme císlo d, kde a je eálné císlo~zvané základ, n je piozenécíslo,zvanéexponent(moc1utel) PnceDŽplatí: d = a a a a Nap: 24 = = 16 (~ =~~~ = :7 ~ (-3)- = (-3) (-3) (-3) (-3) (-3) = -243 Základní pavidla po pocítání s mocninami s piozeným exponentem: Po každé eálné císlo a :1=O, b :1= O a po každé piozené císlo, s platí: a d = a',v o" Mocniny se stejným základem násobme tak, že základ umocnime souctem exponentu (Nap = 28 =256) U a : d = a- Mocniny se"stejným základem delime tak, že základ umocnime ozdílem exponentu (27 : 25 = 22 = 4) m (a)' = as 00 Mocniny umocnime tak, že jejich základ umocnime soucinem exponentu(nap;(22t = 26 = 64) V (a b = a b o Soucin mocnin umocnime tak, že zvlášt umocníme každého cinitele (Nap (2 3)3 = = 8 27 = 216) V a a - -- Zlomek umocnime tak, že umocnime zvlášt citatele ijmenovatele ( b) - b" ( (Nap -) =-=-) Poznámka: Scítání a odcítání lze povést jen po mocniny se stejným základem i exponentem (Nap 4X2+ 5~ = 9~) POZOR!!! d + d :1=d+s (a + b ::j; d + b 32+33::j; 32+3 (2 + 3i ::j; 22 -j! 32 Píklad 34: Vypoctete za pedpokladu, že žádné z císelnení ovno nule: a) (x' :J [C)'J " Rešení: a) (x' x') U = (~) U ~x' x' ~ : =x' b)(2a3b4t b) (2a3 b4t : (2abt [ ] : (2ab)3 = (16a2b6) : (Sa3b3) = 2d b3 Píklad 35: Rozložte císla na soucin pvocísel: a) 98, b) 124 Rešení: a) 98 = 249 = 272, b) 124 = 2 62 = 2 2 o31 = 2-31

2 Z píkladu 36 c) :::::;> 2 = 1 1 zobecnení: ao = 1 platí \i a E R -{O} Mocninv s celocíselným exponentem V pedcházející kapitole jsme si zopakovali definici a základní pavidla po pocítání s mocninami s piozeným exponentem V této kapitole pojem mocniny s piozeným exponentem ozšííme tak, že exponentem mohou být i císla opacná k piozeným císlum a císlo nula Píklad 36: Vydelte: a) 27 : 25, b) 25 : 27, Rešeni: a) 27 : i; = 27-5 = 22 = 4 b) 25 : 27 = ~ = ~ = ~ () " nebo = 2 = 2 = 2 " " 25 c) 2- : 2- =""5 = 1 2 nebo = 25-5 = 2 = 1 c) 25 : = 22-4 Z píkladu 36 b) => T2 = (~)2 zobecnení: dm = (~)m platí \i a E R -{O}, mez <- POZllámka:Mocninu se zápo_;tmexponentem lze pevést na mocninu s kladným exponentem a to tak, že hodnotu",základumocniny pevátíme, ( Nap (43 =:t ) = 43 = 64 (~ =,[il O 5-1 = ( ~ )1 =, 05, = (~ = : 1 O = 2,5 () m ( b ) -m Zobecnení: \i a, ber - {O}, mez:; = a

3 32 Základní pavidla po pocítání s moctinami s éelocíselnýmexponentem: t au = 1 2 a-ni = (~)m, (~)m = (:)-m, a,b * O 3 a, d = a + "" 4 a : d = a-s 5 (a, b = a, b 6 ( ' ) ", s a = a' a a ( b) 7 - = -, b :;f::o b Píklad 37: Zjednodušte: a) (2:C y-3 Z-) (-5X5 y-3 z) b) (3X3y-Z z2 c) (24~ y-1oz): (-6xl Z=3) Rešení: a)(2x2 y-3 Z-) (-5x5 y-3 z) = _JOX7 y-6 ZO = -lox7 4 b) (3x3 y-2 z2 = 2 X~)'4 z=2 = ~ 9X6Z2 y6 C- _4X4Z4 c)(24x5 y-oz) : (-6x Z-3) = -4x4 y-12 Z4 = u y Píklad 38: Vypoctete (- ~)2 + (~) ( 1 2 ) ( ~ ~, ) ( Resenz: - 2 +"3-6 = 4 + 2) - 6" Píklad 39: Vypoctete , 16 v,, Rešelll: 123,25- (3, 5}2,~)3 24 = (223)3 (52l = = = ,,, -, , , , Poznámka: Zavedení moctin s celocíselným exponentem umožnuje také stucnejší a pehlednejší zápis císelve tvau a, On,kde 1 :5;a < Da n E Z, Píklad 40: Zapište následující císla ve tvau a On,kde 1 :5;a < Da n E Z: a) 0,0002 b) Rešení: a) O,000 2 = b) = 3,5 106 Píklad 41: Vypoctete co nejjednodušeji: a) 0, : 6000 b) ,002 Rešení: a} 0, : 6000 = (24,10-8) : (6103) = 4, = 4 lo-1l b) , 0,002 = 18, = = 36, 103 = 36000

4 33 43 Duhá a tetí odmocnina Definice: Duhá odmocnina libovolného nezáponého císla a je takové nezáponé císlo x, po ' kteepla ti ' x- '> = a zapisujeme: ~ Nap: J25 = 5,potože 52 = 25 Vlastnosti duhé odmocniny: G 1 1 -va- = la 1 po a E R 2 (~ = a po a ~ O 3~Jh = 0 J;; ~ 4 Jh = Vb ' po b * O POZOR!!! ~ +Jh * Ja+b ;; - Jh * Ja-b Píklad 42: Vypoctete: a) Z (J2 - J3) + 3 (2J3 + 3J2 ) b) J2 (J3- /5)- J3 (zj2 -,[3) c) (zj3-j2)2 -(3J2 +J3)2 Rešení: a) Z (J2 -,[3) +3 (2J3 + 3J2) = zj2 - z,[3 + 6,[3 + 9J2 = J2 + 4J3 b) J2 (J3-/5)-J3(zJ2-,[3) = -6--J1O-Z/6+3=3--6--J1O c) (2J3-J2)2_(3J2+J3f = (2,[3Y-zzJ3J2+(J2f -(3J2Y- -Z 3J2,[3 -(J3 = 12-4/ = Pokud se ve jmenovat zlomku vyskytují odmocniny, je teba je odstanit Tento postup se nazývá usmenováni zlomku Usmenování je vlastne ozšiování zlomku, jak jej znáte ze základní školy Zlomky se usmenují poto, že se tím ulehcí numeický výpocet Tak nap k pibližnému vycísleni zlomku ~ ve tvau desetinného císla bychom museli povést delení : 1,732, usmenime-li tento zlomek vynásobením citatele i jmenovatele císlem d l J3 J3 V D ' v V' v dn d vv' v, v, ostaneme :::= d V :::' ::: = - e cm tell1je uclte Je o USSlnez e} cm CSem, 1 732,,3,,3 --,,3 3 Píklad 43: Odstante v následujících zlomcích ze jmenovatele odmocniny: 2 b 1 l-j3 a) J2 ) J2-J3 c) 1+J3 J3

5 34 Rešení: a) ~ = ~Ji = z-12=j2 J2 J2Ji Z b) Abychom se zbavili odmocnin ve jmenovateli musíme zlomek ozšiit [2 + J3 a lim potom využili vzoce (a - b) (a + b) = a2 - b2 1 1 J2 +J3 J2 +J3 Ji +J3 Ji -/3 - Ji - /3 [2+/3 = (Ji -/3) ([2+/3) = (Ji)2 _(/3)2 = J2 +J) = J2 +J) :;;-J2-J) c) -J) = 1-J3 l-j) = (1-J)2 = l-zj3+3 = 4-ZJ) = +J3 1+/3' -J) (1+J)(-J) e-(/3i 1-3 = 4- ZJ) = -Z (-Z+J3) =-Z+/3 =/3- Z -2-2 Cástecné odmocnování Pi cástecném odmocnování se sn~e o to, aby byl základ odmocniny co možná nejmenší piozené císlo Dosáhneme toho tak, že císlo pod odmocninou ozložíme na soucin dvou cinitelu,picemž jeden z nich lze odmocnit Píklad 44: Cástecne odmocnete: a) J8 Rešení: a) J8 =F2 =J4Ji = zji b) J4i,=J4:1i =J4m =2m c) J125 =,jz5 5 =J25 J5 = 5J5 b)ffi c) -JZ5 Píklad 45: Vypoctete J24 - J63 +J54 - J28 Rešení: Tyto odmocniny nelze secíst, potože mají uzný základ Cástecným odmocnením se pokusíme odmocniny zjednodušit Píklad J24-J63+J54 [28 = F:6 - J9:7 +[9:6-J47i = z-16-3[7+ + 3J6 - z[7 = sj7 = 5(-16- [7) 46: Vyjádete jedinou odmocninou: a) 3J8 Rešení: a) 3/8 = J9/8=J72 b) zj5 = J4J5=J20 [3 (3 ~ c) 4 Vi = J16'Vi =~16'i =J6 b) 2J5 c)4~ Definice: Teli odmocnina libovolného nezáponého císla a je takové nezáponé císlo x, po vv 1 T 3 nez p atí x = a zapisujeme: if;; Nap V27 = 3, potože 33 = Z7

6 i i '--1 [ Vlastnosti tetí odmocniny: 1 3/3 - > O "a- - a pq a - 2 V;; Vb =Va b V;; t 3 3; = 3-0'0 po b"* O ~b b 3\15 Píklad 47: Usmenete zlomek v?,' Rešeni: 3V5 = YJ5 if32 = 3~ = YJ45 = YJ45 = V45 V?, V?, W V332 if33 3 Píklad 48: Cástecne odmocnete: a) Vi4 b) V7 000 Rešení: a) V24 = V8 3 = VS V?,::=2v?' b) V = V = V 000 V3 = lov? t 44 N - tá odmocnina 35 Definice:N-tá odmocnina znezáponého eálného císla a je takové nezáponé eálné císlo x; po kteéplatí x" = a zapisujeme: V;; a odmocnenec,n odmocnitel Nap: - Vl6 = 2, potože 24 = 16 Vlastnosti n -té odmocnmy: V a b E Ru+, V m, n, pe: 1 V;; 9Jb = if;j; if;; ~ 2 Vb = Vb b"*o 3{V;; ::=~ 4 ~~ =n~ 5 n_-flamp = '{jam POZOR!!! Scítat a odecítat lze jen odmocniny se stejným odmocnencem i odmocnitelem Píklad49:Zjednodušte: a) 2V4+ 3fi - if4- Ji b) ~ +VY- 4VY+ svx Rešení:a) 2V4+ 3Ji - if4 -Ji = (2if4 - V4)+(3fi -Ji) =V4 + 2Ji b) ~ +VY-4VY+5~ = (V; +svx)+(vy-4vy) = 6~-3VY Píklad 50: Podle vety o násobení odmocnin zjednodušte po a, x, y ~ o: a) U V b) V V2 3-3 c) 7Jx2y5 7Jx3y 7Jx9y Rešení: a) V;;; if;1 = Va15 = V(a3)4 a3 = V(a3)4 if;l = a3 if;l