Číselné obory Seznamte se s jistým panem Novákem z Prahy. Je mu 48 let, má 2 děti a bydlí v domě s číslem popisným 157. Vidíte, že základní informace o panu Novákovi můžeme sdělit pomocí několika čísel, kterým bude rozumět i malé dítě. Pan Novák si vždy kupuje boty o velikosti 8,5 a každý den stráví cesty do práce v metru. Opět čísla, tentokrát by s nimi mohl mít malý školák již problémy. Jak víme, existují totiž různé druhy čísel... Přirozená čísla Přirozená čísla jsou čísla 1, 2, 3, 4, 5,... Pomocí nich můžeme vyjádřit například počet věcí, zvířat a lidí. Z přirozených čísel lze vytvořit množinu, která je nekonečná a značíme ji N. Můžeme tedy zapsat N {1, 2, 3, 4, 5,...} V případě, že bychom do množiny přirozených čísel zahrnuli také nulu, budeme tuto množinu zapisovat N 0. Platí: N 0 N {0}. Celá čísla Celá čísla jsou čísla..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,.... Pomocí celých čísel můžeme vyjádřit nejen počet, ale také změnu počtu, dluh či např. teplotu. Množinu celých čísel značíme Z. Jak vidíme na obrázku č. 5, množina celých čísel vznikne tak, že k přirozeným číslům připojíme nulu a záporná čísla. Je zřejmé, že platí: N Z. 1 Obrázek č. 5 - Konstrukce množiny celých čísel
Racionální čísla Racionální čísla jsou čísla, která je možno vyjádřit ve tvaru zlomku: kde r Z, s N Je důležité si uvědomit, že s 0. Množinu racionálních čísel značíme Q. Mezi racionální čísla patří například:,,,... Racionální čísla používáme i v běžném životě k vyjádření částí celku (např. "Koupil jsem si bochníku chleba.") Každé přirozené a také každé celé číslo je zároveň číslem racionálním, neboť ho můžeme vyjádřit ve tvaru zlomku, jehož jmenovatel je roven jedné, například: 2, 3, 10 0... atd. Je tedy zřejmé, že platí: N Z Q. Jedno racionální číslo můžeme vyjádřit nekonečně mnoha zlomky, například:...... Zlomek, v jehož čitateli a jmenovateli jsou nesoudělná čísla (kromě čísla 1 nemají žádného společného dělitele), se nazývá zlomek v základním tvaru (např.,,,...). Vynásobíme-li čitatel a jmenovatel zlomku stejným celým číslem k 0, provádíme rozšiřování zlomku. Příklad: ( 1) Vydělíme-li čitatel a jmenovatel zlomku stejným celým číslem k 0, provádíme krácení zlomku. Příklad: ( 1) 2
Při rozšiřování (krácení) zlomek v podstatě násobíme (dělíme) číslem jedna. Rozšiřováním ani krácením se hodnota zlomku nezmění! Chceme-li zjistit, zda se zlomky rovnají, převedeme je pomocí rozšiřování nebo krácení na zlomky se stejným jmenovatelem. Každé racionální číslo můžeme kromě zlomku zapsat také ve tvaru: a) desetinného čísla (např. 0,5; 1,25; 0,625) s ukončeným desetinným rozvojem, b) nekonečného desetinného periodického rozvoje (např. 0,33333... 0, ; 0,636363... 0, ; 0,3181818... 0,3 ). Poznámka: Pozor na zaokrouhlování ( např. 0,3). Složený zlomek je takový zlomek, v jehož čitateli nebo jmenovateli je také zlomek (např. ). Smíšené číslo je tvořeno z celého čísla a zlomku (např. zlomek můžeme zapsat pomocí smíšeného čísla 2 ). Počítání se zlomky a) Sčítání zlomků provádíme podle tohoto základního schématu: + + Příklad: + + 1 V případě, že jmenovatelé obou zlomků jsou čísla soudělná (mají společného dělitele), je možno vytvořit společného jmenovatele i jednodušším způsobem. Příklad: + + 1 3
b) Odčítání zlomků provádíme podle tohoto základního schématu: Příklad: V případě, že jmenovatele obou zlomků jsou čísla soudělná, lze postupovat při určení společného jmenovatele podobně jako při sčítání. Příklad: c) Násobení zlomků provádíme podle tohoto základního schématu: Příklad: Při násobení zlomků se snažíme, je-li to možné, zlomky krátit. Příklad: d) Dělení zlomků převádíme na násobení převráceným zlomkem: Příklad: Iracionální čísla Kromě racionálních čísel existují také čísla, která není možno vyjádřit ve tvaru zlomku. Jsou to čísla iracionální. Jejich množinu označujeme písmenem I, nebo ji neoznačujeme. Mezi iracionální čísla patří např. druhé odmocniny z přirozených čísel,,,,,... Mezi iracionální čísla patří také číslo ( 3,141 592...). 4
Desetinný zápis každého iracionálního čísla je vždy neukončený a neperiodický. Množina iracionálních čísel je stejně jako množina čísel racionálních nekonečná. Reálná čísla Čísla racionální a iracionální souhrnně označujeme jako čísla reálná. Množinu reálných čísel značíme R. Vztah mezi jednotlivými číselnými obory znázorňuje obr. 6. Platí: N Z Q R. Obrázek č. 6 - Vztahy mezi číselnými obory Použitá literatura a ostatní zdroje CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU - 1. díl. 1. vydání. Prometheus, 2008. ISBN 978-80-7196-020-1. Obrázky - zdroj: vlastní tvorba 5